Sudaryatno Sudirham
Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s
2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
BAB 7 Sistem Dan Persamaan Ruang Status Persamaan ruang status (state space equations) atau representasi ruang keadaan (state space reprentation) merupakan satu alternatif untuk menyatakan sistem dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan ini dapat diturunkan dari diagram blok integrator. 7.1. Blok Integrator dan Blok Statis Kita lihat lebih dulu blok integrator menunjukkan hubungan Y ( s) =
X(s)→
1 →Y(s) s
yang
1 X ( s) . Hubungan ini di kawasan t s
adalah
y (t ) =
∫
x(t ) yang dapat kita tuliskan sebagai x(t ) = y& (t )
Hubungan terakhir di kawasan t ini dapat kita baca sebagai : sinyal masukan adalah turunan dari sinyal keluaran.
1 kita pandang sebagai integrator dan bukan s sebagai gambaran dari fungsi alih 1/s. Dengan pandangan ini maka jika keluaran integrator adalah q(t) masukannya adalah q& (t ) . Kita dapat menggambarkan hubungan keluaran dan masukan di kawasan t dari integrator sebagai Sekarang blok
q& (t ) →
1 → q(t ) s
Perhatikan: Secara teknis penggambaran di atas tidak benar. Akan tetapi kita harus mengartikan gambar tersebut sebagai diagram sub-sistem yang mempunyai sinyal masukan q& (t ) dan sinyal keluarannya q(t) dan bukan q(t) sama dengan (1/s) kali q& (t ) .
7-1
Berbeda dengan blok integrator, blok statis memberikan hubungan Y ( s) = aX ( s) yang memberikan hubungan
X(s)→ a →Y(s) di kawasan t
y (t ) = ax(t ) hubungan y (t ) = ax(t ) dengan
Jadi kita dapat menggambarkan menggunakan blok statis, yaitu
x(t)→ a →y(t). 7.2. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t Berikut ini kita akan melihat contoh suatu diagram blok integrator yang sinyal masukan dan keluaran dari setiap integrator dinyatakan sebagai fungsi t. CO&TOH-7.1: Dalam diagram blok di bawah ini nyatakanlah sinyal masukan dan keluaran pada setiap blok integrator sebagai fungsi t. b a − X(s)
c
1 s
−
+
1 s
+
Y(s)
d Penyelesaian : Dalam diagram blok ini terdapat dua blok integrator. Jika sinyal masukan setiap blok integrator adalah q&i (t ) dan sinyal keluarannya adalah qi(t) maka diagram blok di atas dapat kita gambarkan seperti di bawah ini, di mana masukan dua blok integrator adalah
q&1 (t ) dan q& 2 (t ) sedangkan keluarannya adalah q1(t) dan q2(t).
7-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Dengan diagram ini keluaran sistem adalah y (t ) = q 2 (t ) + dx(t ) . b a x(t )
c
+
− q&1(t )
1 s
+
−
q1(t )
q&2 (t )
1 s
q2 (t ) +
+
y (t )
d
y (t ) = q2 (t ) + dx(t ) 7.3. Membangun Persamaan Ruang Status Dari diagram blok di atas, kita dapat memperoleh satu set persamaan di kawasan t yang akan memberikan hubungan antara sinyal masukan dan sinyal keluaran sistem, yaitu x(t) dan y(t). Dengan perkataan lain kita dapat memperoleh persamaan sistem di kawasan t. Set persamaan tersebut kita peroleh dengan memperhatikan masukan blok-blok integrator, dan keluaran sistem. Dalam contoh ini set persamaan tersebut adalah :
q&1 (t ) = −bq 2 (t ) + cx(t ) q& 2 (t ) = q1 (t ) − aq 2 (t )
(7.1)
y (t ) = q 2 (t ) + dx(t ) Dengan cara ini set persamaan yang kita peroleh, yaitu persamaan (7.1), akan terdiri dari dua kelompok. Kelompok pertama adalah persamaan yang ruas kirinya berisi q& (t ) , yang merupakan masukan blok integrator, dan kelompok kedua adalah yang ruas kirinya berisi y(t), yaitu keluaran sistem. Kelompok pertama dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks
q&1 (t ) 0 − b q1 (t ) 1 & = + x(t ) q 2 (t ) 1 − a q 2 (t ) 0
(7.2)
7-3
r q& (t ) r q (t ) Dengan mendefinisikan vektor q& = 1 dan q = 1 maka & ( ) q t 2 q 2 (t ) (7.2) dapat kita tuliskan 0 − b r 1 r q& (t ) = (7.3) [q (t )] + x(t ) − a 1 0
[ ]
Kelompok kedua dari (7.1) adalah y (t ) = q2 (t ) + dx(t ) dan dengan definisi untuk vektor q(t) maka ia dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks r y (t ) = [0 1][q (t )] + [d ]x(t ) (7.4) Dengan demikian maka set persamaan (7.1) dapat kita tuliskan sebagai 1 0 − b r r q& (t ) = [q (t )] + x(t ) (7.5) 1 − a 0 r y (t ) = [0 1][q (t )] + [d ]x(t )
[ ]
Secara umum bentuk persamaan (7.5) dapat kita tulis sebagai r r q& (t ) = [A][q (t )] + [B ]x(t ) r y (t ) = [C ][q (t )] + [D]x(t )
[ ]
(7.6)
Set persamaan (7.6) ini disebut representasi ruang status dari sistem. Sebutan lain dari representasi ini adalah model ruang status atau juga persamaan peubah status atau persamaan ruang status. CO&TOH-7.2: Carilah representasi ruang status dari sistem berikut.
x(t )
a1
q&1
+
1 s
−
q&3
q1
1 s
q3
c3
ω2 a2
+
q&2
1 s
−
q2
c2
+ +
b d
7-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
+ +
y (t )
Penyelesaian: Dari diagram blok di atas, masukan blok-blok integrator dan keluaran sistem memberi kita persamaan berikut.
q&1 = a1 x(t ) − ω2 q3 q& 2 = a2 x(t ) − bq2 q& 3 = q1 y(t ) = c3 q3 + c2 q2 + dx(t ) Persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks, menjadi 2 q&1 (t ) 0 0 − ω q1 (t ) a1 r q& (t ) = q& 2 (t ) = 0 − b 0 q 2 (t ) + a 2 x(t ) q& 3 (t ) 1 0 0 q3 (t ) 0 q1 (t ) y (t ) = [0 c 2 c3 ] q 2 (t ) + [d ]x(t ) q3 (t )
Inilah representasi ruang status dari sistem yang kita cari 7.4. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status Melalui contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram blok dari suatu sistem dapat dibangun jika persamaan ruang statusnya diketahui. CO&TOH 7.3: Bangunlah diagram blok sistem yang persamaan ruang statusnya adalah sebagai berikut.
0 r q& (t ) = 0 − a1
y (t ) = [b1 b2
0 q1 (t ) 0 1 q 2 (t ) + 0 x(t) − a3 q3 (t ) 1 r b3 ] q (t )
1 0 − a2
Penyelesaian :
7-5
Langkah pertama adalah melakukan pengembangan dari persamaan yang diketahui sehingga diperoleh set persamaan berikut.
q&1 (t ) = q 2 (t ) q& 2 (t ) = q3 (t ) q& 3 (t ) = −a1q1 (t ) − a 2 q 2 (t ) − a3 q3 (t ) + x(t ) y (t ) = b1q1 (t ) + b2 q 2 (t ) + b3 q3 (t ) Langkah berikutnya adalah menggambarkan blok-blok integrator dengan masukan dan keluaran masing-masing. Langkah ini memberikan diagram blok integrator sebagai berikut q&1
1 s
q&2
q1
1 s
q&3
q2
1 s
q3
Langkah berikutnya adalah melakukan penghubungan blok-blok ini sesuai dengan persamaan yang diketahui, yaitu persamaan q&1 (t ) = q 2 (t ) berarti bahwa masukan blok integrator nomer-1 adalah keluaran dari blok integrator nomer-2. persamaan q& 2 ( t ) = q 3 ( t ) berarti masukan blok integrator nomer-2 adalah keluaran blok integratir nomer-3. Kita mendapatkan hubungan: q&3
1 s
q3
q&2
1 s
q2
q&1
1 s
q1
Selanjutnya kita membuat pencabangan-pencabangan dan penjumlahan dengan blok-blok statis, sesuai dengan persamaan yang diketahui, yaitu
q& 3 (t ) = −a1q1 (t ) − a 2 q 2 (t ) − a3 q3 (t ) + x(t ) Hasil yang kita peroleh adalah:
7-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
x(t )
q&3
+ −
1 s
q&2
q3
1 s
q2
q&1
1 s
q1
− − a3 a2 a1
Satu persamaan lagi yang harus kita penuhi, yaitu persamaan keluaran
y (t ) = b1q1 (t ) + b2 q 2 (t ) + b3 q3 (t ) Dengan pencabangan dan penjumlahan persamaan ini kita penuhi. b3 b2 q&3
+ x(t ) −
1 s
q3
q&2
1 s
q2
− −
q&1
1 s
q1
+ b1
+
+
y (t )
a3 a2 a1
7-7
Soal-Soal 1. Carilah persamaan ruang status dari sistem-sistem dengan diagram blok di bawah ini.
X (s)
+ −
1 s
10
+
Y(s)
+
k
a).
1 s
X(s) +
1 s
Y(s)
ω2
b).
X(s) 1 s +1
c).
+ Y(s)
−
s+2
1 s
X(s) + + − −
1 s
+ +
Y(s)
3 4 d).
1 s
7-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
X(s)
+ −
1 s
+ −
+ +
Y(s)
3
1 s
+ − 4
e). X(s) + −
1 s
1 + − s
1 s
+ +
Y(s)
4
1 s
+ − 5
f). 2. Gambarkan diagram blok dari sistem dengan persamaan status berikut ini.
2 1 0 3 r& r q ( t ) = 7 3 5 q ( t ) + x ( t ) a). 5 0 6 4 r y (t ) = [9 0 0] q (t ) + 10 x (t ) 0 0 2 0 r& r q (t ) = 4 0 − 1 q (t ) + 1 x (t ) b). 2 0 0 0 r y (t ) = [5 0 0] q (t ) + 5 x (t )
7-9
− σ ω r r 1 q& (t ) = q (t ) + x ( t ) c). − ω − σ 1 r y (t ) = [1 1] q (t ) 1 r 0 0 r q& (t ) = 2 q (t ) + x (t ) d). − 2ζω − ω 1 r y (t ) = [1 0] q (t )
1 r 0 0 r q& (t ) = 2 q (t ) + x (t ) e). − 2ζω − ω 1 r y (t ) = [0 1] q (t )
7-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
7-11
