Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

2

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 6 Hukum-Hukum Dasar Pekerjaan analisis pada suatu rangkaian linier yang parameternya diketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuan besaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupun penentuan hubungan antara keluaran dan masukan. Agar kita mampu melakukan analisis kita perlu memahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teorema rangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akan membahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm dan hukum Kirchhoff. Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan • mampu menghitung resistansi konduktor jika parameternya diketahui. • mampu mengaplikasikan Hukum Arus Kirchhoff (HAK) untuk menuliskan persamaan arus atau tegangan di suatu simpul. • mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) untuk menuliskan persamaan tegangan atau arus di suatu mesh ataupun loop. • mampu mengaplikasikan HAK untuk simpul super maupun HTK untuk mesh super. 6.1. Hukum Ohm Salah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh George Simon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendiri merupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yang didasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas. Formulasi Fourier untuk aliran panas adalah

dQ dT = − kA dt dl

(6.1)

dengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan k adalah konduktivitas panas, A luas penampang, dan T temperatur. 6-1

Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksi panas dan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradien temperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada konduktor dapat dinyatakan dengan A dv I= (6.2) ρ dl Jika konduktor mempunyai luas penampang A yang merata, maka persamaan arus itu menjadi

AV V ρl = dengan R = (6.3) ρ l R A V adalah beda tegangan pada konduktor sepanjang l dengan luas penampang A, ρ adalah karakteristik material yang disebut resistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan (6.3) dapat ditulis juga sebagai I=

V = IR

(6.4)

dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadi

v = iR

(6.5)

Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa ia hanya berlaku untuk material homogen ataupun elemen yang linier. COTOH-6.2: Seutas kawat terbuat dari tembaga dengan resistivitas 0,018 Ω.mm2/m. Jika kawat ini mempunyai penampang 10 mm2 dan panjang 300 m, hitunglah resistansinya. Jika kawat ini dipakai untuk menyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan jatuh pada saluran ini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran) jika arus yang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan di ujung kirim adalah 220 V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah daya yang “hilang” pada saluran ? Penyelesaian : Resistansi kawat adalah : ρl 0,018 × 300 = = 0,054 Ω R= A 10 Jika kawat ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluran balik sehingga resistansi total adalah :

6-2


Rsaluran = 2 × 0,054 = 0,108 Ω Tegangan jatuh pada saluran adalah :

∆Vsaluran = iRs = 20 × 0,108 = 2,16 V Jika tegangan ujung kirim adalah 220 V, maka tegangan di ujung terima adalah

vterima = 220 − 2,16 = 217,84 V Daya hilang pada saluran adalah :

p saluran = i × ∆V saluran = 20 × 2,16 = 43,2 W = i 2 R = (20) 2 × 0,108 = 43,2 W Pemahaman : Sesungguhnya resistansi kawat terdistribusi sepanjang kawat. Dalam analisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kita nyatakan sebagai suatu parameter R tergumpal (lumped parameter). Jadi resistansi kawat itu + sumber beban dinyatakan sebagai satu elemen − rangkaian, yaitu R, sehingga diagram rangkaian menjadi R seperti di samping ini. 6.2. Hukum Kirchhoff Kita telah mempelajari piranti dan modelnya serta bagaimana hubungan antara arus dan tegangan pada piranti tersebut dengan memandangnya sebagai suatu komponen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang terhubung membentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukum yang menyatakan sifat-sifat rangkaian, hasil pemikiran ilmuwan Jerman Gustav Kirchhoff (1824 - 1887), yang disebut hukum Kirchhoff. Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yang terkait dengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu : Terminal : ujung akhir piranti atau sambungan rangkaian. Rangkaian : beberapa piranti yang dihubungkan pada terminalnya. Simpul (ode): titik sambung antara dua atau lebih piranti. 6-3

Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertian sebagai sebuah titik tetapi kawat-kawat yang terhubung langsung ke titik simpul itu merupakan bagian dari simpul; jadi dalam hal ini kita mengabaikan resistansi kawat. Simpai (Loop) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalan mulai dari salah satu simpul mengikuti sederetan piranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih dari satu kali dan berakhir pada simpul tempat kita mulai perjalanan. Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubungan atau sambungan-sambungan kita akan menggunakan caracara seperti terlihat pada Gb.6.3.

a) Persilangan terhubung

b) Persilangan tak terhubung

c) Terminal dan sambungan terminal

Gb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian. 6.2.1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK) - Kirchhoff's Current Law (KCL) Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa : Setiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol. Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yang menuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkan simpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkan bertanda positif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensi dan bukan arah arus sebenarnya. Hukum Arus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasi muatan. Jumlah elektron per detik yang datang dan yang pergi haruslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus di suatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum

6-4


Coulomb akan terjadi “ledakan muatan”; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi. 6.2.2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) - Kirchhoff's Voltage Law (KVL) Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa : Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nol. Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalam menuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positif jika kita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda negatif bila kita bergerak dari “−” ke “+”. + v4 − i2 + v2 − i B 4 A 4

2

+ v1 1 −

i1 loop 1

i3 + loop 2 v3 3 −

i5

+ 5 v5

−

loop 3

HAK untuk simpul : A : − i1 − i 2 = 0

C

HTK untuk loop : 1 : − v1 + v 2 + v 3 = 0

B : + i2 − i3 − i4 = 0

2 : − v3 + v 4 + v5 = 0

C : + i1 + i 3 + i 4 = 0

3 : − v1 + v 2 + v 4 + v 5 = 0

Gb.6.4. HAK dan HTK Hukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsip konservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian piranti mungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban. Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan oleh sumber dalam suatu selang waktu tertentu harus sama dengan energi yang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Mengingat konvensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol.

6-5

v1i1 + v2i2 + v3i3 + v 4i4 + v5i4 = 0 Karena i1 = − i2 dan i2 = i3 + i4 maka persamaan di atas dapat kita tulis

v1 (− i3 − i4 ) + v2 (i3 + i4 ) + v3i3 + v 4i4 + v5i4 = 0 atau i3 (− v1 + v 2 + v3 ) + i4 (− v1 + v 2 + v4 + v5 ) = 0 Karena nilai arus tidak nol maka haruslah

−v1 + v2 + v3 = 0

dan

− v1 + v2 + v4 + v5 = 0

Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaan kedua adalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh −v1 + v2 = −v3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akan kita peroleh persamaan loop-2 yaitu:

−v3 + v4 + v5 = 0 Pengembangan HTK dan HAK. Loop-1 dan loop-2 pada Gb.6.4. merupakan loop-loop terkecil yang tidak melingkupi loop lain di dalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan loop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1 dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut juga mesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana telah ditunjukkan di atas. Kita perhatikan sekarang simpul A dan B pada Gb.6.4. HAK untuk kedua simpul ini adalah:

−i1 − i2 = 0

dan

+ i 2 − i3 − i4 = 0

Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh :

−i1 − i3 − i4 = 0 Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakan gabungan dari dua simpul, yaitu simpul A dan B. Simpul gabungan dari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lain untuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC ini adalah :

+i2 − i4 + i5 + i1 = 0 6-6


Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul. Jika simpul A, B, dan C kita gabungkan akan menjadi simpul super ABC yang persamaannya adalah :

−i4 + i5 = 0 . Dengan demikian maka : HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul super dan HTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh super COTOH-6.3: Aplikasikan HTK pada empat macam rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh dengan arus elemen sebagai peubah jika arus awal induktor dan tegangan awal kapasitor adalah nol. + v1 − + v1 − a). b). + + + vs R1 + vs R1 v v2 L −L − R2 − − + v1 −

c). + −

vs R1

+ v1 −

d).

C

+ vC −

+ −

vs

+ vL − L

R1

C

+ vC −

Penyelesaian : Aplikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikan a). − v s + v1 + v2 = 0 → v s = i1 R1 + i2 R2 di L dt 1 iC dt c). − v s + v1 + vC = 0 → v s = v1 + vC = i1 R1 + C d). − vs + v1 + vL + vC = 0 1 di → vs = v1 + vL + vC = i1R1 + L L + iC dt dt C b). − v s + v1 + v L = 0 → v s = v1 + v L = i1 R1 + L

∫

∫

6-7

COTOH-6.4: Aplikasikan HAK untuk simpul A dari berbagai macam bagian rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh dengan tegangan elemen sebagai peubah jika tegangan awal kapasitor dan arus awal induktor adalah nol. i1 R1 i1 R1 R2 i2 R2 i2 A A + v1 − + v3 − a). i1

R1

+ v1 − + v3 − c).

+ v2 − R3 i3

A

C iC

+ vC − R3 i3

+ v1 − + vL − b). i1

R1

+ v1 − + vL − d).

+ v2 − iL L

A

C

iC

+ vC

−

iL L

Penyelesaian : Aplikasi HAK untuk simpul A pada bagian-bagian rangkaian tersebut di atas memberikan: v v v a). i1 − i2 − i3 = 0 → 1 − 2 − 3 = 0 R1 R2 R3 v v 1 b). i1 − i2 − i L = 0 → 1 − 2 − ∫ v L dt = 0 R1 R2 L dv v v c). i1 − iC − i3 = 0 → 1 − C C − 3 = 0 R1 dt R3 dv v 1 d). i1 − iC − i L = 0 → 1 − C C − v L dt = 0 R1 dt L Pemahaman : Pada contoh 6.2. dan 6.3. di atas terlihat bahwa persamaan rangkaian dapat berbentuk persamaan aljabar biasa, yaitu apabila elemen-elemen rangkaian hanya terdiri dari resistor saja, atau berbentuk persamaan diferensial orde satu atau persamaan integro-diferensial. Dua bentuk persamaan terakhir ini terjadi jika rangkaian mengandung elemen dinamis.

∫

6-8


COTOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan di sekitar simpul A dari suatu rangkaian. Tentukan i2 dan tegangan di simpul-simpul yang bukan simpul referensi. C iL =2cos2t A L=4H i1=3A i2 A B D R1=2Ω R2=2Ω + iC vC =5sin2t V − C=2F E Penyelesaian : Aplikasi HAK pada simpul A memberikan : i1 + i L + i 2 − iC = 0 → i 2 = iC − i L − i1 → i2 = 2

d (5 sin 2t ) − 2 cos 2t − 3 = 18 cos 2t − 3 A dt

Tegangan simpul-simpul non-referensi adalah v A = vC = 5 sin 2t V

v B = v A + i1 R1 = 5 sin 2t + 6 V

vC = v A + v L = 5sin 2t + 4

d (2 cos 2t ) = −11sin 2t V dt

v D = v A + i2 R2 = 5sin 2t + 36 cos 2t − 6 V COTOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwa arus-arus i1 = 5A, i2 = 2 A, dan i3= 8 A. Tentukanlah arus i1 , i2, dan tegangan v. i4 i5 A v

i1

+ − B i 2

3Ω 4Ω C i 3

6-9

Penyelesaian : Jika kita gabungkan simpul A, B, dan C menjadi satu simpul super dan kita aplikasikan HAK, kita akan mendapatkan persamaan untuk simpul super ABC :

i4 + i1 − i3 = 0 ⇒ i4 = i3 − i1 = 8 − 5 = 3 A Aplikasi HAK untuk simpul C memberikan:

i2 + i5 − i3 = 0 ⇒ i5 = i3 − i2 = 8 − 2 = 6 A Tegangan v dapat kita cari dengan mengaplikasikan HTK untuk loop ABCA :

−v + 3i5 − 4i2 = 0 → v = 3 × 6 − 4 × 2 = 10 V 6.3. Basis Analisis Rangkaian Sesungguhnya dalam contoh-contoh 6.1. sampai 6.5. kita telah melakukan analisis rangkaian. Analisis tersebut kita lakukan dengan cara menerapkan langsung hukum Kirchhoff. Secara tidak sadar, disamping hukum Kirchhoff, kita telah pula memasukkan batasanbatasan elemen yang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupa karakteristik i-v dari elemen. Pada resistor R misalnya, harus berlaku vR = iR R ; untuk induktor harus berlaku vL = L di/dt dan untuk kapasitor iC =C dvC / dt. Jadi di dalam suatu rangkaian, Hukum Kirchhoff harus dipenuhi sementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itu mempunyai karakteristik i-v masing-masing yang juga harus dipenuhi. Kita katakan bahwa Hukum Kirchhoff merupakan persyaratan rangkaian sedangkan karakteristik i-v elemen merupakan persyaratan elemen. Dalam suatu rangkaian, kedua persyaratan tersebut secara bersamaan harus dipenuhi dan hal ini menjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian. Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaian yang kita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehingga rangkaian kita merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semua elemen juga mempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktu sehingga kita mempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsi waktu atau invarian waktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akan kita pelajari dalam buku ini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsi waktu sedangkan karakteristik rangkaian tidak merupakan fungsi waktu.

6-10


Soal-Soal 1. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber) pada rangkaian-rangkaian berikut.

+ 30V −

5Ω

5Ω

1A

10Ω

10Ω

a)

b)

5Ω 2cos10t A

10Ω

c)

5Ω + −

20cos10t V

10Ω

d).

5Ω 0.1F

20cos10t V e)

20cos10t V

+ −

5Ω

2H

f)

6-11

2. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian berikut ini. 1A

5Ω 5Ω

5Ω − 10Ω 10V 10Ω + 5Ω

10Ω

10Ω a)

b) 5cos10t A

5Ω 10µF

10Ω

`10 c) Ω

5cos10t A

5Ω 10µF

10Ω

10Ω d) 5Ω 2H 10Ω

+ 10cos10t V −

10Ω

e) 3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian ini.

5Ω 5Ω 10Ω 10Ω

1A 5Ω 2A

a)

2A 5Ω − 10V + 10Ω

10Ω

5A 5Ω − 10V 10Ω +

10Ω

10Ω 5A

5Ω

10Ω

10Ω

5Ω

b) 5Ω 5Ω 2A 10Ω

c)

6-12

5Ω 10Ω

1A 5Ω

d)


13

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

Recommend Documents