ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK AVIAN INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA
PANDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
ABSTRAK PANDI. Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Flu burung merupakan penyakit yang diakibatkan virus influenza subtipe H5N1 yang ditularkan melalui unggas atau manusia. Proses penularan flu burung pada populasi manusia dijelaskan pada model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap unggas bebas penyakit yang bersifat saddle dan titik tetap endemik yang bersifat stabil. Pada titik tetap endemik, flu burung menginfeksi unggas dan mampu menular pada manusia saat bilangan reproduksi bernilai lebih besar dari satu. Model prepandemik mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan terjadi pada kondisi bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu manusia terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik dan bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu burung terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik bernilai kurang dari satu dan bilangan reproduksi flu burung bernilai lebih besar dari satu. Kata kunci:
model unggas, model prepandemik, model pandemik, bilangan reproduksi, titik tetap bebas penyakit, titik tetap endemik, titik tetap flu burung dominan, titik tetap flu manusia dominan.
ABSTRACT PANDI. Model Analysis of Pandemic and Prepandemic Avian Influenza in the Human Population. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO. Avian influenza is a viral disease caused by a virus within the subtype of H5N1 in which its transmission caused by birds or human. In human population, transmission process of avian influenza is discussed in the model called: bird model, prepandemic model and pandemic model. The bird model has two equlibrium points. These are saddle disease free equilibrium and stable endemic equilibrium. The endemic equlibrium occurred when the reproduction number of avian influenza is greater than one. In the endemic equilibrium, avian influenza may infect both bird and human. The prepandemic model has two equilibrium points. These are avian influenza dominant equilibrium and human influenza dominant equilibrium. The human influenza dominant equilibrium occurred when the reproduction number of human influenza is greater than one. The pandemic model has one pandemic equlibrium. The human influenza pandemic occurred when the ratio of human influenza invasion, pandemic invasion and the reproduction number of human influenza is greater than one, respectively. The avian influenza pandemic occurred when the ratio of human influenza invasion, pandemic invasion is less than one and the reproduction number of avian influenza greater than one, respectively. Keywords: birds model, prepandemic model, pandemic model, reproduction number, disease free equilibrium, stable endemic equilibrium, avian influenza dominant equilibrium, human influenza dominant equilibrium.
ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK AVIAN INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA
PANDI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi : Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia Nama : Pandi NIM : G54070073
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Paian Sianturi NIP. 196202121990111001
Drs. Ali Kusnanto, M. Si. NIP. 196508201990031001
Mengetahui
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
Ketua Departemen Matematika
NIP. 19620305 198703 1 001
NIP. 19651218 199002 1 001
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Mengetahui: Ketua Departemen Matematika
Tanggal Lulus:
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Keluarga tercinta: Nanang Safrudin, Tihanah dan Ramanti Hutama selaku kedua orang tua dan kakak yang selalu menasehati, mendoakan dan memotivasiku menjadi lebih baik. 2. Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa, 3. Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya, 4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya, 5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. Staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Mas Deni, dan Mas Hery atas semangat dan doanya, 7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Fani, Aswin, Eka, Ali, Lazuardi, Imam, Aqil, Ihsan, Fajar, Rofi, Denda, Rizqy, Dian, Wahyu, Ruhiyat, Yogi, Lugina, Sholih, Rochim, Hendro, Saeful, Tendy, Yanti, Ririh, Indin, Devi, Wenti, Yuyun, Devina, Lilis, Sri, Rachma, Mutia, Lembayung, Della, Tyas, Nurisma, Dora, Ucu, dan temanteman yang lainnya. 8. Teman-teman yang membantu dalam penyusunan karya tulis ini yaitu Mutyarini, Izzudin, Irwan, Bram, Chastro, Mega, Dane, Romanto dan teman-teman lainnya. 9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2013
Pandi
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Juni 1989 dari pasangan Bapak Nanang Safrudin dan Ibu Tihanah. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara, tahun 2001 penulis lulus dari SD Negeri 09 Lubang Buaya, tahun 2004 penulis lulus dari SMP Negeri 81 Lubang Buaya Jakarta Timur, tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 48 Pinang Ranti Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) IPB. Selama masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) penulis mendapatkan juara 1 futsal dalam acara TPB CUP. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi pengajar privat mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus tahun akademik 2010-2012. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus MahasiswaMatematika) sebagai Staf Divisi Sosial dan Komunikasi (Coffilatae) tahun 2008-2009 dan pada tahun 20011-2012 menjadi panitia Olimpiade Mahasiswa IPB (OMI) untuk cabang olahraga tenis meja. Penulis pernah menjadi panitia Masa Perkenalan Departemen untuk mahasiswa angkatan 45. Penulis juga pernah menjadi panitia Pesta Sains tahun 2008 dan 2009. Penulis juga aktif di berbagai acara kemahasiswaan lainnya.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL……………............................................................................................... ix DAFTAR GAMBAR……..…………………………………………………………………
ix
DAFTAR LAMPIRAN….………………………………………………………………….
x
I
PENDAHULUAN…...………………………………………………………………. 1.1 Latar Belakang……..……………………………...…………………………….. 1.2 Tujuan…....………………………………………….…………………………… 1.3 Sistematika Penulisan……...…………………...………………………………...
1 1 1 1
II
LANDASAN TEORI…...…………………………………………………………… 2.1 Sistem Persamaan Diferensial…………………………………………………… 2.2 Titik Tetap…...…………………………………………………………………... 2.3 Pelinearan………………………………………………………………………... 2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen…………………………………………………… 2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap…….……………………………………………. 2.6 Klasifikasi Titik Tetap……………………………………………………………
2 2 2 2 2 2 3
III
PEMODELAN…..…………………………………………………………………... 3.1 Model Unggas………………………………………………………………….... 3.2 Model Prepandemik……..………………………………………………………. 3.3 Model Pandemik………………………………………………………………….
4 4 4 6
IV
PEMBAHASAN…..………………………………………………………………… 4.1 Analisis Model Unggas………...…………….……………………...…………... 4.2 Analisis Model Prepandemik…..…………………………………………...…… 4.3 Analisis Model Pandemik………………………………………………………...
8 8 9 10
V
SIMULASI………...…………………………………………………………………. 5.1 Simulasi Model Unggas...…………………………………………...…………… 5.1.1 Parameter Model Unggas ………………………………..……………...… 5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas .......………………...…………………. 5.2 Simulasi Model Prepandemik………………………………………..…………... 5.2.1 Parameter Model Prepandemik……………………...………………….…. 5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik………………………………… 5.3 Simulasi Model Pandemik……………………………..………………………… 5.3.1 Parameter Model Pandemik………...………………...…………………… 5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik………………………...………......
12 12 12 12 13 13 13 15 15 15
VI
SIMPULAN …..……………………………………………………………………...
18
DAFTAR PUSTAKA…. …………………………………………………………………...
18
LAMPIRAN …..…………………………………………………………………………….
19
viii 1
DAFTAR TABEL Halaman 1
Daftar parameter dan variabel bebas model unggas........................................................
4
2
Daftar parameter dan variabel bebas model prepandemik...............................................
4
3
Daftar parameter dan variabel bebas model pandemik………………………………....
6
4
Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas………………….
10
5
Daftar reproduksi dan invasi model pandemik………………………………................
11
6
Daftar nilai parameter……………………………………………………..…………….
12
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Diagram model unggas………………...………………..…………………………..…..
4
2
Diagram model prepandemik………………………………………………………...…
4
3
Diagram model pandemik………………………………………………………………
6
4
Dinamika populasi unggas rentan………….. ………… ………………………………
12
5
Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung .............................................................
13
6
Dinamika populasi manusia rentan………………………….…………………….……
14
7
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia………….…………….……….…...
14
8
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia………….………………….…...
15
9
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ...........................................................
15
10
Dinamika populasi manusia rentan …………………….………..……………………..
16
11
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia …………………..…………...…....
16
12
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia ....................................................
17
13
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ...........................................................
17
14
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan...............
17
15
Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung...........................................
17
ix 2
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Titik tetap model unggas …………………...................................................................
20
2
Matriks Jacobi model unggas dengan
....................................................
20
3
Nilai eigen dari
…...…………………………………………….……..…...
20
4
Jenis titik tetap untuk titik tetap
……………………………………………...
21
5
Matriks Jacobi model unggas,
6
Nilai eigen
......................................
24
……………………...…………….…………...
24
7
Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6………………...…..………
24
8
Nilai eigen model unggas untuk titik tetap
…………….....…
25
9
Nilai eigen model unggas titik tetap
……….…….
25
10
Titik tetap model prepandemik …………………….…………………………………
25
11
Matriks Jacobi model prepandemik…………………………………………...………
26
12
Matriks
Jacobi
model
prepandemik titik tetap ......................................................................
26
13
Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua…………………………..
26
14
Nilai eigen dari dari
………………………....…….……...
27
15
Jenis titik tetap untuk titk tetap
……………………………....
27
16
Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6……………..……………..
30
17
Nilai eigen dari
……………………………….…………
31
18
Nilai eigen dari
………………….………..
32
19
Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6.……………....…………..…..
33
20
Matriks Jacobi model pandemik……………………………………………………
33
21
Nilai eigen dari
34
22
Nilai eigen ,
dengan , dengan
, ,
,
, …………...
, , , , …………………………………………….…………………………………
34
x 3
23
Nilai eigen
dengan ,
,
, , , ………………………………………….…...
35
24
Nilai eigen
, , , …………………………………………………………………………..
35
25
Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6……..…………….…
36
26
Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6………….....………
36
27
Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6……....……..
36
28
Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6…….………..…..…...
36
29
Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6.........................
37
30
Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia ……….………………
37
31
Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung ………
37
32
Banyaknya manusia rentan flu manusia……………………………………...………..
37
33
Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia……...…………………………….………
37
34
Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia…………......………………………….
38
35
Total populasi unggas ……..…………………………………………….……………
38
36
Laju populasi total unggas.............................................................................................
38
37
Total populasi manusia……………………………………………………………………….…………………….
38
38
Laju populasi total manusia…………………………………………………………………………………….
38
39
Banyaknya unggas rentan flu burung…………………………………………………………….………….
38
40
Banyaknya unggas terinfeksi flu burung……………………………………………………………………
39
41
Banyaknya manusia rentan flu burung………………………………………………………………………
39
42
Banyaknya manusia terinfeksi flu burung……………….………………………….…………..
39
43
Total populasi manusia saat flu burung dominan.........................................................
39
44
Dinamika populasi model unggas …………………..……...…………………………
40
45
Dinamika populasi model prepandemik …………………..………………..…………
41
46
Dinamika populasi model pandemik …………... ……..………………………..…….
43
dengan , ,
xi 4
1
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Pada tahun 2003 beberapa negara di dunia dirugikan dengan kematian hampir 10 juta unggas yang dimusnahkan karena penyakit avian influenza. Avian influenza atau yang lebih dikenal flu burung menyerang unggas liar (wild birds) dan unggas ternak (domestic birds) dan mampu menular pada manusia. Penyakit ini telah menginfeksi lebih dari 500 orang dan hampir 60% yang terinfeksi meninggal. (Alexander dan Capua 2007) Flu burung adalah penyakit yang diakibatkan virus influenza A subtitipe H5N1 yang ditularkan oleh hewan (zoonotic) yaitu burung. Virus H5N1 mempunyai rumus kimia hampir sama dengan penyakit flu manusia H1N1. Virus flu burung awalnya hanya menular pada populasi unggas seperti virus flu manusia yang menular pada populasi manusia. Interaksi virus flu burung dan flu manusia membuat virus flu burung mampu menginfeksi manusia hingga meninggal. Korban manusia meninggal yang meningkat akibat flu burung membuat potensi terjadinya pandemik flu burung semakin besar. Pandemik flu burung dapat menyebabkan kematian dalam jumlah besar tidak hanya unggas namun juga manusia. Kemunculan pandemik flu burung pada populasi manusia dilihat berdasarkan jumlah invasi flu burung dari tahun ke tahun. Reproduksi invasi yang terjadi mendorong para ilmuwan melakukan prediksi jumlah kasus flu burung untuk melihat kemungkinan terjadinya pandemik flu burung pada manusia. Studi tentang pandemik flu burung diwujudkan dalam sebuah model matematika yang memodelkan proses transmisi virus dari unggas ternak menuju manusia dan transmisi manusia ke manusia. Hasil prediksi model dapat digunakan untuk melihat pertumbuhan virus flu burung setiap tahun dengan melihat jumlah unggas yang mati. Data demografi dan data epidemik burung dan manusia menjadi parameter dari model ini. Persamaan differensial digunakan sebagai alat untuk mempelajari transmisi flu burung yang menularkan unggas dan manusia untuk menjelaskan dinamika populasi virus secara tahunan. Unggas yang rentan flu burung adalah unggas liar yang hidup di alam bebas (wild birds) dengan sifat transmisi lemah (Low Pathogen Avian Influenza/LPAI). Unggas ternak (domestic birds) dan manusia juga
rentan terhadap flu burung dengan transmisi bersifat kuat (High Pathogen Avian Influenza/HPAI). Dalam tugas akhir ini pertumbuhan virus flu burung yang dibahas dibatasi pada interaksi yang terjadi dalam populasi unggas ternak (domestic birds) dan populasi manusia. Pada tugas akhir ini akan dianalisis kemungkinan terjadinya pandemik flu burung atau flu manusia dalam populasi manusia. Model yang dipakai dibagi dalam tiga model yaitu model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan jumlah unggas yang sehat dan unggas yang terinfeksi flu burung. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung menginfeksi populasi manusia. Pada model prepandemik dibahas juga keterkaitan pandemik flu manusia terhadap kemungkinan pandemik flu burung. Model pandemik memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau pandemik flu manusia. 1.2
Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau pandemik flu manusia dalam populasi manusia 1.3
Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang, tujuan, dan sistematika dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisikan landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga adalah pemodelan. Pada bab ini dibahas diagram keterkaitan tiga model yakni model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Bab empat yaitu analisis model berupa pencarian titik tetap dan jenis titik tetap. Bab lima yaitu simulasi model dengan variasi parameter yang digunakan dan gambar-gambar dinamika populasi ketiga model. Simpulan karya ilmiah ini akan dibahas pada bab enam.
2
II
LANDASAN TEORI
2.1
Sistem Persamaan Diferensial Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut.
dalam bentuk matriks
.
(2.1) dengan dan adalah fungsi dari waktu t. Jika adalah suatu fungsi matriks A berukuran n n dengan koefisien konstan dan dinyatakan sebagai vektor konstan b maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut , x(0)=x0
(2.2)
Matriks
disebut matriks
Jacobi pada titik tetap . Karena , maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear
(Farlow 1994) (2.5) 2.2
Titik Tetap Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut.
(Strogatz 1994) 2.4
(2.3) Titik
disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. (Tu 1994) 2.3 Pelinearan Diketahui
(2.4) andaikan
Vektor Eigen dan Nilai Eigen Misalkan A matriks berukuran n n, maka suatu vektor tak nol di Rn disebut vektor eigen dari A jika suatu skalar λ berlaku Ax = λx.
(2.6)
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran n n maka persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali sebagai berikut (A – λI) x = 0
adalah titik tetap dari
(2.7)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (2.7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika Misalkan, didapatkan
dan
, maka
det (A – λI) = |A – λI| = 0
(2.8)
Persamaan (2.8) disebut karakteristikdari matriks A.
persamaan (Anton 1995)
2.5
Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan suatu SPD memiliki bentuk seperti
(2.9)
3
Matriks koefisien dari (2.9) adalah
dengan persamaan karakteristik det (A – λI) = 0, I adalah matriks identitas dan adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya menjadi
sehingga dperoleh persamaan
2 0 dengan: . sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks A yaitu
1,2
2 4 2
(2.10)
2.6 Klasifikasi Titik Tetap Persamaan karakterisitk 2 0 dapat diubah dalam bentuk
didapat
,
Untuk Δ < 0, Kedua nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik pelana (saddle point). Untuk Δ > 0, nilai eigen berupa bilangan real dengan tanda yang sama maka titik tetapnya berupa nodes atau bilangan kompleks conjugate titik tetapnya berupa spiral atau center. titik tetapnya berupa nodes o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat simpul tidak stabil. o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat simpul stabil. , titik tetapnya berupa spiral o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat spiral tidak stabil. o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat spiral stabil. o Jika τ = 0 maka titik tetap bersifat center.
persamaan adalah garis batas antara simpul dengan spiral. Jika kedua nilai eigen bernilai negatif maka titik tetap tersebut bersifat simpul sejati. Untuk Δ = 0 setidaknya ada satu nilai eigen bernilai nol maka titik tersebut disebut sebagai titik tetap tak terisolasi. (Strogatz 1994)
4
III PEMODELAN Proses penularan flu burung pada burung dan berpandemiknya pada populasi manusia melibatkan tiga model. Tiga model tersebut adalah model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan jumlah unggas yang sehat dan unggas yang terinfeksi flu burung. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia menginfeksi populasi manusia. Model pandemik memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau pandemik flu manusia dalam populasi manusia. Model yang dibahas dalam bab ini berdasarkan jurnal dari Martcheva (2011). 3.1
dikurangi tingkat kematian alami unggas dan tingkat kematian akibat flu burung . Garis terang/jelas tanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan. Persamaan model unggas dijelaskan dalam persamaan (3.1)
(3.1)
Total populasi unggas adalah
Model Unggas
(3.1.1)
B(t)
Laju populasi total unggas dibawah didapat dari jumlah persamaan (3.1)
βb
Y(t)
(3.1.2) 3.2
Model Prepandemik
Vb
Gambar 1 Diagram model unggas. Tabel 1 Daftar parameter dan kompartemen model unggas Parameter Arti laju kelahiran dalam populasi unggas µb tingkat kematian alami unggas βb koefisien transmisi flu burung pada unggas vb tingkat kematian burung akibat flu burung Nama Arti Kompartemen banyaknya unggas rentan banyaknya unggas terinfeksi flu burung total populasi unggas Laju perubahan jumlah unggas rentan terinfeksi flu burung terhadap waktu t dipengaruhi rata-rata kelahiran alami burung dalam populasi dikurangi unggas yang terinfeksi flu burung dengan koefisien transmisi βb dan tingkat kematian burung mati alami µb. Laju perubahan jumlah unggas terinfeksi flu burung terhadap waktu t dipengaruhi banyaknya unggas terinfeksi flu burung
B(t)
βb
S(t)
β
w
I(t)
R(t)
α
βY Y(t) Vb
Ib(t) v
βY
Gambar 2 Diagram model prepandemik. Tabel 2 Daftar parameter dan kompartemen model prepandemik Parameter Arti laju kelahiran dalam populasi manusia µ tingkat kematian alami manusia β koefisien transmisi flu manusia βY koefisien transmisi flu burung pada manusia α lama masa penyembuhan manusia terinfeksi flu manusia v tingkat kematian manusia akibat flu burung w proporsi berkurangnya imunitas setelah terkena flu manusia
5
Nama Kompartemen
Arti banyaknya manusia rentan banyaknya manusia terinfeksi flu manusia banyaknya manusia sembuh dari flu manusia banyaknya manusia terinfeksi flu burung total populasi manusia
Unggas yang terinfeksi flu burung berinteraksi dengan manusia sehingga manusia terinfeksi flu burung. Flu burung yang terdapat pada populasi manusia membuat manusia juga rentan terhadap flu burung. Hal ini menggambarkan keterlibatan model unggas dalam model prepandemik. Pada Gambar 2 terdapat garis terang/jelas bertanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan. Garis putusputus bertanda panah adalah garis yang menyatakan pengaruh atau influence. Jumlah manusia terinfeksi flu burung yang ditularkan unggas disimbolkan Ib(t) dengan nilai koefisien transmisi sebesar βY dan tingkat kematian sebesar v. Manusia rentan terinfeksi flu manusia sebesar I(t) dengan koefisien transmisi sebesar β dan sembuh pada masa penyembuhan sebesar α. Manusia yang sembuh dari flu manusia yaitu R(t) dapat terinfeksi flu burung yang ditularkan unggas dengan koefisien transmisi sebesar βY dan tingkat kematian sebesar v. Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)
Laju perubahan jumlah manusia rentan terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata kelahiran manusia dalam populasi sebesar ditambah jumlah manusia rentan dikurangi jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi banyaknya manusia yang mati alami. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia dalam waktu t dipengaruhi oleh banyak manusia rentan flu
manusia dikurangi total jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami manusia. Laju perubahan manusia sembuh dari flu manusia dalam waktu t dipengaruhi oleh banyak manusia terinfeksi flu manusia dikurangi orang sembuh namun kembali terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami manusia dan manusia rentan. Laju perubahan manusia terinfeksi flu burung pada waktu t dipengaruhi oleh total jumlah manusia terinfeksi flu burung dan manusia sembuh terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami manusia dan tingkat kematian manusia terinfeksi flu burung. Total populasi manusia dalam model prepandemik adalah (3.2.1) Laju populasi total manusia terdapat pada persamaan (3.2.2) (3.2.2)
6
3.3
Model Pandemik B(t)
βb
S(t) βY
Y(t)
Ib(t) v
Vb
Z(t) βY
vZ
I(t)
w βZ
ρ βJ
β
βZ
R(t)
J(t)
α βJ
VJ
Gambar 3 Diagram model pandemik. Daftar parameter dan kompartemen pada model pandemik sebagian telah dijelaskan pada Tabel 2. Tabel 3 Daftar parameter dan kompartemen model pandemik Parameter Arti βJ koefisien transmisi terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan ρ proporsi mutasi genetik flu burung vZ tingkat kematian manusia akibat pandemik flu burung βZ koefisien transmisi pandemik flu burung vJ tingkat kematian manusia akibat terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan Nama Arti Kompartemen Z(t) banyaknya manusia terinfeksi pandemik flu burung J(t) banyaknya manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan Model pandemik ditandai munculnya pandemik flu burung menyerang populasi manusia. Jumlah manusia terinfeksi pandemik flu burung disimbolkan dengan Z(t).
Jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan disimbolkan J(t) dengan koefisien transmisi sebesar βJ. Tingkat kematian manusia yang terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan disimbolkan dengan vj. Pada gambar 3 garis terang/jelas bertanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan. Garis putus-putus bertanda panah adalah garis yang menyatakan pengaruh atau influence. Manusia yang rentan berpotensi terinfeksi pandemik flu burung. dengan koefisien transmisi pandemik flu burung sebesar βZ dan tingkat kematian akibat flu burung sebesar vZ.. Virus flu burung mengalami rata-rata mutasi sebesar ρ sehingga dapat menularkan sesama manusia. Gambar 3 menunjukkan manusia rentan, manusia yang baru sembuh dari flu manusia dan manusia terinfeksi flu burung menjadi objek paling rentan terinfeksi pandemik flu burung. Flu burung dan flu manusia hidup berdampingan (coexist) mendorong terjadi pandemik.
7
Model pandemik dijelaskan dalam persamaan (3.3)
Laju perubahan jumlah manusia rentan terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata kelahiran manusia ditambah jumlah manusia rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi pandemik flu burung dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia terinfeksi flu manusia dikurangi manusia sembuh namun kembali terinfeksi flu burung dan pandemik flu burung dikurangi manusia rentan dan tingkat kematian manusia alami. Laju perubahan jumlah penderita flu burung pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia yang terinfeksi flu burung dan manusia yang telah sembuh namun terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat flu burung. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi tingkat kematian alami manusia dan kematian akibat terinfeksi keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya kedua penyakit. Laju perubahan jumlah manusia yang terinfeksi pandemik flu burung terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu tunda yang diperlukan agar flu manusia dan flu burung menginfeksi manusia secara
bersamaan ditambah manusia terinfeksi pandemik flu burung ditambah manusia yang sembuh namun terinfeksi pandemik flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat terinfeksi pandemik flu burung.
8
IV PEMBAHASAN Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan reproduksi virus pada setiap model akan dibahas dalam bab ini. Model unggas memodelkan jumlah populasi unggas yang sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan reproduksi flu burung pada populasi unggas. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia dalam populasi manusia. Model ini juga memodelkan reproduksi flu manusia dan reproduksi invasi flu manusia. Model pandemik memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau flu manusia pada populasi manusia. Model pandemik juga memodelkan reproduksi pandemik, reproduksi invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia. Invasi pandemik menghasilkan dua kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu burung dan pandemik flu manusia. Dua kemungkinan tersebut melibatkan invasi setiap model dengan kondisi tertentu. 4.1 Analisis Model Unggas Analisis pada model ini mengacu pada persamaan (3.1). Reproduksi flu burung pada model ini terjadi saat flu burung menginfeksi populasi unggas namun belum menginfeksi manusia. Pada persamaan (3.1) terdapat dua persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat sama dengan nol untuk mendapatkan titik tetapnya. Berdasarkan persamaan (3.1) didapatkan dua titik tetap secara berturutturut
(Lampiran 4 bagian 4.2). Jika dan maka (Lampiran 4 bagian 4.3), (Lampiran 4 bagian 4.4). nilai eigennya real bertanda Untuk sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen persamaan (3.1) real tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika dan maka (Lampiran 4 bagian 4.5), (Lampiran 4 bagian 4.6). Jika dan maka (Lampiran 4 bagian 4.7), (Lampiran 4 bagian 4.8). Jika nodes stabil maka (Lampiran 4 bagian 4.9). Jika nodes tidak stabil maka (Lampiran 4 bagian 4.10). Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah
yaitu
(Lampiran 2). Matriks Jacobi titik tetap pertama adalah
Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan karena nilai eigen yang rumit sehingga identifikasi hanya dapat dikenali dengan memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu burung terdapat dalam persamaan (4.1) berikut.
. Nilai
(4.1)
eigen untuk titik tetap pertama adalah
Pada reproduksi jumlah flu burung nilai merupakan koefisien transmisi unggas terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu
(Lampiran 1). Titik tetap kedua biasa disebut titik tetap endemik. Berdasarkan persamaan (3.1) dicari matriks Jacobi, misalkan saja yaitu
dan (Lampiran 4). Misalkan , untuk titik tetap berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda. Jika dan maka (Lampiran 4 bagian 4.1),
burung menginfeksi seekor unggas sampai timbul gejala. merupakan jumlah populasi unggas.
9
Jumlah unggas rentan dan unggas terinfeksi flu burung secara berturut-turut terdapat dalam persamaan (4.2) berikut.
prepandemik
untuk titik adalah
tetap
(4.2) Misal tetap dan burung.
biasa disebut titik tetap endemik flu
4.2
Analisis Model Prepandemik Pada model ini terdapat reproduksi flu manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi flu manusia terdapat pada persamaan (4.3) berikut. (4.3) (Martcheva 2011) Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β merupakan nilai koefisien transmisi flu manusia dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu manusia menginfeksi manusia sampai timbul gejala. merupakan jumlah populasi manusia. Model prepandemik mempunyai titik tetap bebas penyakit ). Kondisi bebas penyakit akan berlangsung jika dan . Berdasarkan penghitungan ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi (Lampiran 25 dan 26). Meningkatnya flu burung pada unggas tidak serta merta menginfeksi manusia secara meluas dan berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi . Analisis model prepandemik mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model prepandemik yang pertama adalah dan titik tetap kedua
, untuk titik berupa saddle
node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif diantara semua nilai eigen yang positif. Misalkan sedangkan . Jika maka (Lampiran 15, persamaan 15.1) . Untuk titik tetap berupa nodes jika nilai eigennya real bertanda sama atau bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen dan merupakan nilai eigen real bukan kompleks sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral. Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen. Jika dan maka (Lampiran 15 bagian 15.2),
(Lampiran 15 bagian 15.3), (Lampiran 15 bagian 15.4),
Misal
(Lampiran 15 bagian 15.5). dan maka (Lampiran 15 bagian 15.6),
(Lampiran 15 bagian 15.7), (Lampiran 15 bagian 15.8),
(Lampiran 15, bagian 15.9). Jika nodes stabil maka (Lampiran 15
adalah
bagian 15.10), tidak stabil maka (Lampiran 15 bagian
Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama terdapat pada Lampiran 12. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat pada Lampiran 13. Nilai eigen model
15.11). Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap kedua hanya dapat diidentifikasi dengan memasukkan nilai parameter. Model prepandemik mempunyai dua titik tetap disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik tersebut adalah titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik
10
tetap flu burung dominan ada dan menginfeksi manusia karena jumlah reproduksi flu burung lebih besar dari 1, . Titik tetap flu burung dominan adalah ) dimana dan didefinisikan oleh persamaan (4.4) berikut.
(4.4)
adalah jumlah manusia yang rentan terhadap flu burung. adalah jumlah manusia yang terinfeksi flu burung. Total populasi manusia pada titik tetap flu burung dominan dinotasikan oleh . Pada model prepandemik selain titik tetap flu burung dominan terdapat titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan ada jika . Berikut titik tetap flu manusia dominan ).
adalah jumlah manusia rentan flu manusia, adalah jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan adalah jumlah manusia yang sembuh dari flu manusia. Adanya titik tetap flu burung dan flu manusia dominan menunjukan flu burung dan flu manusia tidak saling bergantung sama lain dalam populasi manusia. Pada model ini terdapat keadaan flu manusia hidup berdampingan (coexist) dengan flu burung. Flu burung tidak berkompetisi dengan flu manusia untuk menyerang burung rentan namun mereka berkompetisi menginfeksi manusia rentan. Pada kondisi dan flu manusia dan flu burung hidup berdampingan (coexist) dalam populasi manusia. Reproduksi invasi flu manusia disimbolkan dengan . yang didefinisikan pada persamaan (4.6) berikut.
Definisi macam-macam reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas terdapat dalam Tabel 4. Tabel 4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas Reproduksi dan penjelasan invasi bilangan reproduksi flu manusia bilangan reproduksi flu burung bilangan reproduksi invasi flu manusia 4.3
Analisis Model Pandemik Pada model pandemik penyebaran flu burung ditularkan oleh manusia. Pada model ini terdapat reproduksi pandemik, invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia. Pada model pandemik titik tetap dan nlai eigen tanpa nilai parameter tidak dibahas karena nilainya terlalu panjang, rumit dan sangat kompleks. Titik tetap model pandemik dengan parameter dapat dilihat pada Lampiran 19. Matriks Jacobi model pandemik dengan nilai parameter terdapat pada Lampiran 20. Pada model ini populasi manusia merupakan wadah kompetisi dari tiga invasi penyakit yaitu invasi flu burung, invasi flu manusia, dan invasi pandemik. Reproduksi pandemik terjadi jika dimana didefinisikan oleh persamaan (4.7) berikut. (4.7) Invasi pandemik didefinisikan persamaan (4.8) berikut.
pada
(4.8) Pada persamaan (4.9) terdapat yang merupakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung.
(4.9) Invasi pandemik menginvasi flu burung dan flu manusia pada populasi manusia terjadi pada kondisi . didefinisikan pada persamaan (4.10) berikut. (4.10)
11
Pandemik terjadi pada kondisi , , dan . Invasi pandemik flu burung akan menginvasi populasi manusia dimana dengan jika jumlah reproduksi dan jumlah reproduksi invasi tetap lebih besar dari satu. (4.11) Pandemik yang muncul akan menjadi pandemik flu manusia pada kondisi , , , dan Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi , , , dan . Definisi macam-macam reproduksi dan invasi dalam model pandemik terdapat dalam Tabel 5 Tabel 5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik Reproduksi dan Penjelasan invasi bilangan reproduksi pandemik bilangan reproduksi invasi pandemik bilangan rasio invasi flu manusia dengan invasi pandemik bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia
12
SIMULASI
Pada bab ini dilakukan simulasi yang dibagi menjadi tiga bagian yaitu simulasi model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Pada setiap simulasi akan dilakukan identifikasi titik tetap, pemilihan parameter dan dilihat dinamika populasinya. Tabel 6 Daftar nilai parameter Parameter Nilai unggas per tahun ½ per tahun 0.0099 unggas per tahun vb 365/10 per tahun manusia per tahun 1/65 per tahun 0.00122 manusia per tahun ½ per tahun manusia per tahun 365/6 per tahun v 365/10 per tahun vJ 36.5 per tahun 0.00277 manusia per tahun 5.1
Simulasi Model Unggas Simulasi model unggas mengacu pada persamaan (3.1) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari jumlah unggas sehat, jumlah unggas terinfeksi flu burung, reproduksi flu burung, populasi total unggas, jenis titik tetap dan kestabilannya, dinamika populasi model unggas. 5.1.1 Parameter Model Unggas Populasi unggas yang digunakan sebagai nilai parameter sebesar . Angka ini didapat dari nilai titik tetap pertama persamaan (3.1) saat tidak ada unggas terinfeksi flu burung . Tingkat kematian alami unggas sebesar per tahun. Koefisien transmisi flu burung sebesar 0.0099 per tahun. Tingkat kematian unggas pada 10 hari adalah per tahun, asumsikan masa hidup maksimal unggas yang terifeksi adalah satu tahun. Nilai parameter lainnya terdapat pada Tabel 6. 5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas Model unggas memodelkan jumlah populasi unggas rentan dan unggas yang terinfeksi flu burung. Pertumbuhan flu burung dapat dilihat pada persamaan (4.1). Pada
kondisi manusia tertular flu burung akibat berinteraksi dengan burung sakit. Berdasarkan penghitungan persamaan (4.1) repoduksi flu burung berjumlah per tahun (Lampiran 25). Pada analisis model unggas didapat dua titik tetap yaitu (Lampiran 7) dan dan (Lampiran 7). Jumlah dari titik tetap kedua merupakan nilai total populasi unggas (3.1.1). Jumlah populasi unggas saat . tidak ada flu burung sebesar Jumlah unggas rentan saat terjadi flu burung adalah (Lampiran 39) dan jumlah unggas terinfeksi flu burung sebesar (Lampiran 40). Total populasi unggas ternak sebesar dengan laju pertumbuhan sebesar (Lampiran 35 dan 36). Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik tetap dan adalah , titk tetapnya berupa saddle node (Lampiran 8). Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik tetap dan adalah , titk tetapnya berupa nodes stabil (Lampiran 9). Gambar pada model unggas diproyeksikan oleh persamaan (3.1). Gambar dibagi menjadi dua yaitu gambar dinamika populasi unggas rentan dan dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung. 500
400
U n g g as ren t an
V
300
200
100
0 0
2
4
6
8
10
Waktu
Gambar 4
Dinamika populasi unggas rentan.
12
13
Pada Gambar 4 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah unggas rentan flu burung misalkan sejumlah 100 yaitu .
U n g g as t eri n fek s i fl u b u ru n g
100
80
60
40
20
0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Waktu
Gambar
5
Dinamika populasi terinfeksi flu burung.
unggas
Pada Gambar 5 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah unggas terinfeksi flu burung. Misalkan dari 100 unggas yang sehat 50 unggas terserang flu burung yaitu . 5.2
Simulasi Model Prepandemik Simulasi model prepandemik mengacu pada persamaan (3.2) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari jumlah manusia rentan, jumlah manusia terinfeksi flu burung, jumlah manusia terinfeksi flu manusia, jumlah manusia sembuh dari flu manusia, reproduksi dan invasi flu manusia, total populasi manusia, jenis titik tetap dan kestabilannya, dinamika populasi model prepandemik. 5.2.1 Parameter Model Prepandemik Parameter yang digunakan dalam model prepandemik melibatkan infeksi flu manusia dan kondisi normal manusia tanpa terserang penyakit. Lama masa penyembuhan penyakit flu manusia adalah . Proporsi hilangnya imunitas tubuh akibat terinfeksi flu manusia sebesar tahun. Masa hidup normal seluruh manusia di dunia berbeda di setiap negara. Pada parameter diambil umur rata-rata manusia normal 65 tahun dengan tingkat kematian alami per tahun. Populasi manusia di
dunia mendekati jumlah 6.5 milyar sehingga nilai paramater yang diambil dengan nilai koefisien transmisi flu manusia . Koefisien transmisi flu burung pada manusia Tingkat kematian manusia akibat flu burung pada 10 hari adalah v = 36.5 tahun-1. Nilai parameter secara jelas terangkum dalam Tabel 6. 5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik Pada model prepandemik dilakukan penghitungan reproduksi flu manusia, reproduksi invasi flu manusia. Reproduksi flu burung didapat dari persamaan (4.1) dengan hasil sebesar . Pada terdapat titik tetap flu burung kondisi dominan ditandai dengan flu burung mampu menginfeksi manusia. Titik tetap flu burung dominan disimbolkan dengan . Masukkan nilai parameter pada titik tetap flu burung dominan sehingga didapat . Berdasarkan titik tetap flu burung dominan didapat jumlah manusia rentan flu burung, sebesar (Lampiran 41), jumlah manusia terinfeksi flu burung, sebesar (Lampiran 42). Total populasi manusia saat flu burung dominan sebesar (Lampiran 43) Pada model prepandemik, populasi manusia juga rentan terhadap infeksi flu manusia. Infeksi flu manusia terjadi dengan adanya titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan disimbolkan . Masukkan nilai parameter pada titik tetap flu manusia dominan sehingga didapat . Berdasarkan titik tetap flu manusia dominan didapat jumlah manusia rentan flu manusia, sebesar (Lampiran 32), jumlah manusia terinfeksi flu manusia, sebesar (Lampiran 33), jumlah manusia sembuh dari flu manusia, sebesar (Lampiran 34). Titik tetap flu manusia dominan terjadi saat reproduksi flu manusia lebih besar dari 1, . Berdasarkan penghitungan didapat nilai (Lampiran 26). Pada populasi manusia juga terdapat kondisi bebas penyakit. Kondisi bebas
14
150 M an u s i a R en t an
parameter pada titik tetap bebas penyakit sehingga didapat nilai Berdasarkan penghitungan sebelumnya diketahui bahwa titik tetap bebas penyakit tidak stabil. Total populasi manusia sebesar (Lampiran 37) dengan laju pertumbuhan sebesar 0.0135 (Lampiran 38). Flu burung pada populasi manusia akan berinteraksi dengan flu manusia dan hidup berdampingan disebut coexist. Kondisi coexist terjadi saat dan . Berdasarkan penghitungan nilai (Lampiran 27). Dinamika populasi model prepandemik diproyeksikan oleh persamaan (3.2). Berdasarkan analisis persamaan (3.2) didapat dua titik tetap yaitu nilai titik tetap pertama ( ) dan titik tetap kedua ( ). Nilai eigen untuk titik tetap pertama adalah , , , . Titik tetap pertama berupa titik sadlle node (Lampiran 17). Nilai eigen untuk titik tetap kedua adalah , , , . Titik tetap kedua berupa nodes stabil (Lampiran 18). Gambar pada model prepandemik akan dibagi menjadi empat yaitu gambar dinamika populasi manusia rentan, dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia, dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dari unggas.
200
100
50
0 0
2
4
6
8
10
12
Waktu
Gambar 6
Dinamika rentan.
populasi
manusia
Pada Gambar 6 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia rentan misalkan sejumlah 200, . 40
M an u s i a T eri n fek s i F l u M an u s i a
penyakit stabil jika dan . Kondisi bebas penyakit adalah kondisi saat flu burung dan flu manusia tidak menginfeksi manusia. Kondisi bebas penyakit berada pada titik bebas penyakit yaitu . Masukkan nilai
30
20
10
0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Waktu
Gambar
7
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia.
Pada Gambar 7 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Misalkan dari 200 manusia rentan asumsikan manusia terinfeksi flu manusia sebesar 25 orang, .
15
M an u s i a S em b u h d ari F l u M an u s i a
60
50
40
30
20
10
0 0.0
0.5
Gambar
8
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Waktu
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia.
Pada Gambar 8 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia sembuh dari flu manusia. Misalkan dari 25 orang sakit flu manusia semuanya sembuh, .
M an u s i a T eri n fek s i F l u B u ru n g
200
150
100
50
0 0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Waktu
Gambar
9
Dinamika populasi terinfeksi flu burung.
manusia
Pada Gambar 9 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu burung. Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia diasumsikan terinfeksi flu burung, . 5.3
Simulasi Model Pandemik Simulasi model pandemik mengacu pada persamaan (3.3) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari reproduksi dan invasi pandemik, invasi pandemik flu manusia, jenis titik tetap dan kestabilannya dan dinamika populasinya.
5.3.1 Parameter Model Pandemik Parameter pada model pandemik hampir sama dengan parameter yang digunakan pada model prepandemik namun dengan penambahan parameter , , dan . Nilai berada pada kisaran 36.5-89 namun dengan asumsi tingkat kematian manusia akibat flu burung sama dengan tingkat kematian manusia akibat pandemik flu burung yaitu didapat . , dimana Koefisien transmisi pandemik flu burung sebesar 0.00277 dengan asumsi tidak ada mutasi genetik yang terjadi . Koefisien transmisi virus flu burung dan flu manusia terinfeksi bersamaan . Parameter sisanya terdapat pada Tabel 6. 5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik Pada tahap pandemik terdapat reproduksi pandemik, . Kondisi coexist pada model prepandemik memunculkan pandemik. Pandemik yang muncul terjadi pada kondisi , , dan . Berdasarkan penghitungan (Lampiran (Lampiran 29) dan 28), 023 (Lampiran 30). Pada model prepandemik terdapat titik tetap dominan flu burung dan flu manusia. Salah satu dari dua dominasi ini akan muncul sebagai pandemik. Serangan pandemik akan menghasilkan pandemik flu manusia atau pandemik flu burung. Pandemik yang terjadi dalam populasi manusia bergantung pada titik tetap dominan penyakit pada populasi manusia. Pandemik flu manusia muncul saat terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu manusia dominan dengan kondisi , , , dan . Pandemik flu burung muncul saat terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu burung dominan dengan kondisi , , , dan dimana . Berdasarkan penghitungan didapat , , 023, (Lampiran 29). dan . Hasil simulasi menunjukkan pandemik flu burung mampu menginvasi dan mengubah pandemik flu manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia. Meskipun terjadi pandemik flu burung tetap ada infeksi flu manusia namun dengan jumlah kecil yaitu sebesar (Lampiran 31).
16
700 600
M an u s i a ren t an
500 400 300 200 100 0 0
1
2
3
4
5
Waktu
Gambar 10
Dinamika populasi manusia rentan.
Pada Gambar 10 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia rentan. Berbeda dari model prepandemik, jumlah manusia rentan pada model pandemik dimisalkan sejumlah 600, . 100
M an u s i a T ers eran g F l u M an u s i a
Dinamika populasi model pandemik diproyeksikan oleh persamaan (3.3). Pada model pandemik didapat tujuh titik tetap. Titik tetap yang diambil hanya titik tetap dengan . nilai Berdasarkan syarat tersebut didapat empat titik tetap yaitu sebagai berikut. Titik tetap pertama adalah ( ) jenis titik tetapnya berupa saddle nodes (Lampiran 21). Titik tetap kedua ( ) dengan jenis titik tetapnya berupa nodes stabil (Lampiran 22). Titik tetap ketiga adalah ( ) dengan titik tetap berupa saddle nodes (Lampiran 23). Titik tetap keempat adalah ( ) dengan jenis titik tetap berupa nodes tidak stabil (Lampiran 24). Berdasarkan penghitungan didapat jumlah manusia terinfeksi pandemik flu burung sebesar . Nilai eigen setiap titik tetap terdapat pada Lampiran 21, 22, 23 dan 24. Gambar model pandemik akan dibagi menjadi 6 terdiri dari: dinamika populasi manusia rentan, dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia, dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia , dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung, dinamika populasi manusia yang secara bersamaan terinfeksi flu burung dan flu manusia, dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung. Dinamika populasi model pandemik memiliki kesamaan dengan model prepandemik perbedaannya pada dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung bersama flu manusia.
80
60
40
20
0 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Waktu
Gambar 11
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia.
Pada Gambar 11 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Enam ratus manusia rentan diasumsikan 100 orang diantaranya terserang flu manusia, .
M an u s i a S em b u h d ari F l u M an u s i a
200
150
100
50
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
M an u s i a T eri n fek s i F l u B u ru n g d an F l u M an u s i a
17
Waktu
Gambar 12 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia. Pada Gambar 12 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia sembuh dari flu manusia. Asumsikan setengah dari manusia terinfeksi flu manusia sembuh, .
40
20
0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan.
Pada Gambar 14 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia yang terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan. Manusia yang terserang flu manusia dan flu burung diasumsikan berjumlah 100, . 800
100
50
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Waktu
Gambar 13
60
Waktu
150
0 0.0
80
Gambar 14
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung.
M an u s i a T eri n fek s i P an d em i k F l u B u ru n g
M an u s i a T eri n fek s i F l u B u ru n g
200
100
600
400
200
0
Pada Gambar 13 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu burung. Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia dapat terinfeksi flu burung asumsikan sebesar 200, .
0
5
10
15
20
25
30
Waktu
Gambar 15
Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung.
Pada Gambar 15 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi pandemik flu burung. Manusia yang terserang flu burung menularkan pada manusia lain sehingga mengakibatkan pandemik misalkan jumlahnya 200 orang, .
18
VI SIMPULAN Flu burung merupakan panyakit yang ditularkan virus H5N1. Flu burung tidak hanya menginfeksi unggas namun juga manusia. Transmisi virus melibatkan bilangan reproduksi virus yang lebih besar dari satu. Proses transmisi flu burung dibagi dalam tiga model yaitu model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas membahas infeksi flu burung dalam populasi unggas ternak. Model ini memperlihatkan banyaknya unggas sehat dan banyaknya unggas terinfeksi flu burung. Model prepandemik membahas penularan flu burung dari unggas ke dalam populasi manusia. Pada model prepandemik flu manusia dan flu burung hidup berdampingan dalam populasi manusia. Model prepandemik memperlihatkan banyaknya manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia. Dalam simulasi
yang dilakukan, titik tetap bebas penyakit tidak stabil. Model pandemik membahas penularan flu burung antar manusia. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu manusia diperoleh nilai yang lebih besar dari satu. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu burung diperoleh nilai yang lebih kecil dari satu. Berdasarkan penghitungan dengan nilai parameter yang dipilih, pandemik flu burung mampu menginvasi manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia.
DAFTAR PUSTAKA Alexander DJ, Capua I. 2007. Animal and Human Implications of Avian and Influenza Infections. Biosci. 27: 359-372. Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga. Chowell G, Miller M, Vibound C. 2008. Seasonal influenza in the United States, France, and Australia: transmission and prospect for control. Epidemiol Infect. 136:852-864. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. New York: McGraw-Hill. Martcheva M. 2011. Avian Flu: Modeling and Implications for Control. Ams. 92D: 30-40. Smith D, Lapedes A, De Jong J, Bestebroer. 2004. Mapping the antigenic and genetic evolution of influenza virus. Science. 305: 371-376
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg, Germany: Springer-Verlag. [WHO] World Health Organization. 2005. Avian Influenza (H5N1) infection in humans. N Engl J Med. 353(13): 1374:1385
19
LAMPIRAN
20
Lampiran 1 Titik tetap model unggas Model unggas ada pada persamaan (3.1)
Titik tetap model unggas adalah
dan
dan
Lampiran 2 Matriks Jacobi model unggas dengan Misal matriks Jacobi model unggas untuk titk tetap
Matriks Jacobi model unggas dengan
Lampiran 3 Nilai eigen dari
dan
adalah
misalkan
21
Lampiran 4 Jenis titik tetap untuk titik tetap Misalkan
untuk
titik tetap
berupa saddle node
jika nilai eigen real dan berbeda tanda
dan
maka
(4.1)
rumus mencari akar :
misalkan
,
,
,
untuk
dan jadi nilai eigen real dan berbeda tanda jika
(4.2) dan
maka
(4.3)
22
rumus mencari akar :
,
,
,
untuk
dan jadi Untuk
(4.4) titik tetap
berupa nodes jika
nilai eigen real dengan tanda yang sama jika
dan
maka
(4.5)
rumus mencari akar :
,
,
,
untuk
dan jadi
(4.6)
23
nilai eigen real bertanda sama jika
dan
maka
(4.7)
rumus mencari akar :
,
,
,
dan jadi
(4.8)
,,
Jika nodes stabil Jika nodes tidak stabil
maka maka
(4.9) (4.10)
24
Lampiran 5 Matriks Jacobi model unggas dengan Matriks Jacobi model unggas untuk titik tetap
misalkan
Lampiran 6 Nilai eigen
Jenis titik tetap
sulit untuk dikenali tanpa nilai parameter karena nilai
eigennya yang sangat rumit Lampiran 7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6
25
Lampiran 8 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap
Titik tetapnya berupa saddle node Lampiran
9
Nilai
eigen
model
unggas
untuk
titik
tetap
karena titik tetapnya berupa nodes karena titik tetapnya stabil titik tetapnya berupa nodes stabil Lampiran 10 Titik tetap model prepandemik Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)
Titik
tetap
model
prepandemik
adalah
dan
26
Lampiran 11 Matriks Jacobi model prepandemik Misalkan saja
Lampiran 12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap
Misalkan saja
Lampiran 13 Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua Titik tetap kedua model prepandemik adalah
27
Matriks Jacobinya adalah
Lampiran 14 Nilai eigen dari
Lampiran 15 Jenis titik tetap untuk titik tetap Misalkan
untuk
titik tetap
berupa saddle node jika
nilai eigennya real dan berbeda tanda
titik tetap
dapat berupa saddle node setidaknya ada satu nilai eigen
bernilai negatif. Ambil salah satu nilai eigen misalnya jika
28
(15.1) Untuk
titik tetap
berupa nodes jika
nilai eigen real dan bertanda sama misalkan
(15.2)
rumus mencari akar :
,
,
,
dan
29
jadi
(15.3)
(15.4)
(15.5) misalkan
(15.6)
rumus mencari akar :
,
,
,
30
dan jadi
(15.7)
(15.8)
(15.9) nodes stabil jika
Jika nodes stabil
maka
Jika nodes tidak stabil
(15.10) maka
Lampiran 16 Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6 Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)
(15.11)
31
Titik tetap model prepandemik adalah , , , ,
Lampiran 17 Nilai eigen dari
=
Titik tetapnya berupa titik saddle node
,
,
32
Lampiran 18 Nilai eigen dari
Matriks Jacobi adalah
karena titik tetapnya berupa nodes karena titik tetapnya stabil titik tetapnya berupa nodes stabil Lampiran 19 Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6 Model pandemik terdapat persamaan (3.3) dengan nilai ,
,
,
33
Persamaan (3.3) mempunyai 7 titik tetap yaitu
namun titik tetap yang memenuhi , , , , , , , , , ,
0 hanya 4 titik tetap yaitu, , , , ,
Lampiran 20 Matriks Jacobi model pandemik Misalkan saja
,
,
, ,
, ,
34
Lampiran 21 Nilai eigen dari
dengan ,
,
, ,
,
,
,
Titik tetapnya berupa saddle nodes Lampiran 22 Nilai eigen ,
dengan
karena titik tetapnya berupa nodes karena titik tetapnya stabil titik tetapnya berupa nodes stabil
,
,
35
Lampiran 23 Nilai eigen
dengan
, ,
,
,
,
Titik tetapnya berupa saddle node Lampiran 24 Nilai eigen
dengan
, ,
,
karena titik tetapnya berupa nodes karena titik tetapnya stabil titik tetapnya berupa nodes tidak stabil
,
,
36
Lampiran 25 Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6 0b
b b b vb b 2060 5 106 0.5 36.5 0.5
=551.189 4
Jika
maka flu burung mampu menular pada manusia melalui interaksi langsung. Jika maka terdapat titik tetap flu burung dominan dengan titik tetapnya ,
Lampiran 26 Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6 1
v 108 1 1 36.5 65 65
= 217168.7439
Jika
dan
maka titik tetap bebas penyakit yaitu
stabil.
Masukkan nilai parameter Tabel 6 sehingga . Satu syarat tidak terpenuhi maka titik tetap bebas penyakit tidak terwujud. Berdasarkan hasil penghitungan titik tetap bebas penyakit tidak terwujud pada populasi manusia. Jika maka terdapat titik tetap flu manusia dominan dengan titik tetapnya ,
Lampiran 27 Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6 ˆ
Y Y * J Y *
108 0.00122 1 365 1 9 2.28 10 278378327.7 0 65 6 65 3084.15916
Jika
dan
maka flu burung coexist dengan flu manusia pada populasi manusia.
Lampiran 28 Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6 2
Z
v
Z
108 0.00277 1 1 36.5 65 65 493079.853
37
Lampiran 29 Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6 Z
ˆ p
Y Y * v Z
108 0.00277
1 1 9 2.28 10 278378327.7 36.5 65 65 11668.96329 Pandemik flu manusia terjadi dengan kondisi , Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi ,
, ,
, ,
dan dan
.
dimana
Lampiran 30 Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia ˆ pH
Z
Z I * J Y * Y Y * vZ
108 0.00277 1 1 1 0.00277 0.029059118 0 2.28 109 36.5 65 65 65 493078.7023
Pandemik terjadi pada kondisi
,
, dan
.
Lampiran 31 Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung
Lampiran 32 Banyaknya manusia rentan flu manusia S1*
365 1 65 6 0.00122 = 49875.9955
Jumlah manusia rentan flu manusia sebesar 49875.9955 Lampiran 33 Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia
Jumlah manusia terinfeksi flu manusia sebesar
38
Lampiran 34 Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia
Jumlah manusia sembuh dari flu manusia sebesar Lampiran 35 Total populasi unggas
Total populasi unggas sebesar Lampiran 36 Laju populasi total unggas
Laju populasi total unggas sebesar Lampiran 37 Total populasi manusia
Total populasi manusia sebesar Lampiran 38 Laju populasi total manusia
Laju populasi total manusia sebesar Lampiran 39 Banyaknya unggas rentan flu burung
Jumlah unggas rentan flu burung sebesar
39
Lampiran 40 Banyaknya unggas terinfeksi flu burung
Jumlah unggas terinfeksi flu burung sebesar Lampiran 41 Banyaknya manusia rentan flu burung
Jumlah manusia rentan flu burung sebesar Lampiran 42 Banyaknya manusia terinfeksi flu burung
Jumlah manusia terinfeksi flu burung sebesar Lampiran 43 Total populasi manusia saat flu burung dominan .
Total populasi manusia saat flu burung dominan sebesar
40
Lampiran 44 Dinamika populasi model unggas Dinamika populasi unggas rentan
500
U n g g as ren tan
400
300
200
100
0 0
2
4
6
8
10
12
Waktu
Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung
U n g g as terin fek si flu b u ru n g
100
80
60
40
20
0 0.00
0.02
0.04
0.06 Waktu
0.08
0.10
41
Lampiran 45 Dinamika populasi model prepandemik
Dinamika populasi manusia rentan
200
M an u sia R en tan
150
100
50
0 0
2
4
6
8
10
12
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia
M an u sia T erin fek si F lu M an u sia
40
30
20
10
0 0.00
0.02
0.04
0.06 Waktu
0.08
0.10
42
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia
M an u sia S em b u h d ari F lu M an u sia
60
50
40
30
20
10
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung
M an u sia T erin fek si F lu B u ru n g
200
150
100
50
0 0.00
0.05
0.10 Waktu
0.15
0.20
43
Lampiran 46 Dinamika populasi model pandemik
Dinamika populasi manusia rentan
700 600
M an u sia ren tan
500 400 300 200 100 0 0
1
2
3
4
5
0.3
0.4
0.5
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia
M an u sia T erseran g F lu M an u sia
100
80
60
40
20
0 0.0
0.1
0.2 Waktu
44
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia
M an u sia S em b u h d ari F lu M an u sia
200
150
100
50
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung
M an u sia T erin fek si F lu B u ru n g
200
150
100
50
0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan
M an u sia T erin fek si F lu B u ru n g d an F lu M an u sia
45
100
80
60
40
20
0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Waktu
Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung
M an u sia T erin fek si P an d em ik F lu B u ru n g
800
600
400
200
0 0
5
10
15 Waktu
20
25
30
