Analisis Aliran Daya

Darpublic

www.darpublic.com

Analisis Aliran Daya Sudaryatno Sudirham Dalam analisis rangkaian listrik, dilakukan idealisasi. Sumber dinyatakan sebagai sumber tegangan ideal atau sumber arus ideal, dan beban dinyatakan sebagai impedansi dengan karakteristik linier. Sumber tegangan ideal memberikan daya ke rangkaian pada tegangan tertentu, berapapun besar arus yang dibutuhkan oleh rangkaian; sumber arus ideal memberikan daya ke rangkaian pada arus tertentu, berapapun tegangan yang diperlukan oleh rangkaian. Oleh karena itu apabila rangkaian merupakan rangkaian linier, terdapat hubungan linier antara tegangan, arus dan impedansi, sehingga dalam melakukan analisis kita menghadapi persamaan-persamaan linier. Peubah-peubah rangkaian yang dilibatkan langsung dalam perhitungan adalah tegangan dan arus, sedangkan daya dihitung sebegai perkalian tegangan dan arus. Tegangan dan arus memberikan relasi-relasi linier sedangkan relasi daya tidaklah linier. Analisis aliran daya pada sistem tenaga, bertujuan untuk melihat bagaimana aliran daya dalam sistem. Peubah yang terlibat dalan perhitungan adalah daya. Dengan menggunakan daya sebagai peubah sebagai peubah dalam perhitungan, maka persamaan yang kita hadapi menjadi bukan persamaan linier. Sumber, merupakan sumber daya yang hanya boleh beroperasi pada batas daya dan tegangan tertentu. Sementara itu beban adalah bagian rangkaian yang menyerap daya, sehingga ia dapat dinyatakan sebagai besar daya yang diminta/diperlukan, pada tegangan tertentu. Suatu permintaan daya hanya dapat dilayani selama pembebanan tidak melampaui batas daya yang mampu disediakan oleh sumber. Jadi walaupun rangkaian tetap rangkaian linier, namun relasi daya antara sumber dan beban tidaklah linier. Oleh karena itu jika persamaan rangkaian dengan daya sebagai peubah merupakan persamaan nonlinier. Dalam memecahkan persamaan nonlinier ini kita memerlukan cara khusus. Ketentuan dalam Analisis Aliran Daya Dalam analisis aliran daya, kita mengambil ketentuan-ketentuan sebagai berikut: a). Sistem dalam keadaan seimbang; dengan keadaan seimbang ini kita dapat melakukan perhitungan dengan menggunakan model satu-fasa. b). Semua besaran dinyatakan dalam per-unit; dengan menggunakan sistem satuan ini kita terbebas dari persoalan perbedaan tegangan di berbagai bagian sistem yang diakibatkan oleh pemanfaatan transformator dalam upaya penyaluran daya. Bus-bus dalam rangkaian sistem tenaga merupakan simpul-simpul rangkaian yang biasa kita kenal dalam analisis rangkaian listrik. Bus-bus ini dapat dikelompokkan dalam beberapa jenis: i)

Bus-generator (generator bus), yaitu bus dimana generator dihubungkan melalui transformator. Daya yang masuk dari generator ke bus-generator ke-i (bus nomer i) dinyatakan sebagai

S Gi = PGi + jQGi

(1)

Dari bus ke-i ini, daya mengalir ke dua jurusan; jurusan yang pertama adalah langsung ke beban (jika ada) yang terhubung ke bus ini dan yang kedua adalah menuju saluran transmisi di mana daya akan mengalir ke tempat lain yang jauh. Daya yang langsung menuju beban dinyatakan dengan

S Bi = PBi + jQBi

(2)

sehingga daya yang menuju saluran transmisi di bus-i ini menjadi

S i = Pi + jQi = S Gi − S Bi

Sudaryatno Sudirham, “Analisis Aliran Daya”

(3)

1/20

Darpublic

www.darpublic.com

ii) Bus-beban (load bus), yaitu bus yang tidak terhubung ke generator tetapi terhubung hanya ke beban. Dari bus-beban ke-j (nomor bus j) mengalir daya menuju ke beban sebesar SBj. Daya yang masuk ke bus beban ini berasal dari saluran transmisi, yang dapat kita katakan bahwa daya mengalir dari bus-beban menuju saluran transmisi tetapi dengan tanda negatif; jadi daya yang keluar dari bus-beban ke-j adalah sebesar

S j = − S Bj

(4)

iii) Slack Bus. Jika kita hanya memperhatikan daya sumber dan daya beban, teorema Tellegen tidak akan terpenuhi karena masih ada daya keluar dari rangkaian yang tidak diketahui yaitu daya yang diserap oleh saluran dan transformator. Oleh karena itu, untuk keperluan analisis, jika tegangan semua bus-beban diketahui, baik melalui dugaan perhitungan maupun ditetapkan, tegangan busgenerator juga harus dapat ditetapkan, maka ada satu bus yang dibiarkan mengambang; bus mengambang ini disebut slack bus. Slack bus seolah berfungsi sebagai simpul sumber bebas (dalam analisis rangkaian listrik yang biasa kita kenal) yaitu sumber atau bus generator yang memberikan tegangan sesuai dengan permintaan sistem. Dengan cara ini maka teorema Tellegen akan bisa dipenuhi. Persamaan Arus-Tegangan Persamaan aliran daya yang tidak linier sebagaimana dijelaskan di atas, harus diturunkan melalui persamaan arus dan tegangan karena persamaan arus dan tegangan ini merupakan persamaan linier yang sudah biasa kita hadapi. Pada bus generator terhubung generator ke bus melalui transformator. Karena dalam penurunan persamaan ini kita menggunakan sistem per-unit, maka impedansi transformator dapat disatukan dengan impedansi generator sehingga transformator tak perlu digambarkan lagi dalam diagram satu garis untuk analisis ini. Sistem Dengan Dua Bus. Gb.1. berikut ini memperlihatkan diagram satu garis dan model satu-fasa suatu sistem yang terdiri dari hanya dua bus; keduanya adalah bus generator, yaitu bus-1 dan bus-2. Kedua bus dihubungkan melalui saluran transmisi dan di masing-masing bus terhubung beban yang menarik arus I B1 dan I B 2 . SG1

V1 I1

bus - 1

saluran transmisi

I B1

SG 2 I 2 V2 I B2

bus - 2

Diagram rangkaian

bus - 1

bus - 2 zs

I1 S G1

yp

S B1

I2 yp

S B2

SG2

Rangkaian ekivalen

Gb.1. Model satu-fasa. Diagram dan rangkaian ekivalen. S G1 , S G 2 : daya per fasa generator V1 , V1 : tegangan fasa - netral I1 , I 2 : arus ke saluran transmisi dari bus - 1 dan bus - 2 I B1 , I B 2 : arus beban (langsung) dari bus - 1 dan bus - 2. z12 : impedansi seri antar bus dalam rangkaian ekivalen π y p : admitansi paralel saluran transmisi pada rangkaian ekivalen π


2/20

Darpublic

www.darpublic.com

Kita tinjau bus-1. Arus yang keluar dari bus-1 ke saluran transmisi adalah

I1 = y p V1 + y12 ( V1 − V2 ) = ( y p + y12 ) V1 − y12 V2

(5.a)

dengan y12 = 1 / z12 adalah admitansi transfer antara bus-1 dan bus-2. Admitansi total yang dilihat oleh bus-1 didefinisikan sebagai

Y11 = y p + y12

(5.b)

Dengan pengertian ini maka relasi (5.a) dapat ditulis

I1 = Y11 V1 − y12 V2

(6.a)

Dengan pengertian yang sama, kita peroleh relasi untuk bus-2 sebagai

I 2 = Y22 V2 − y12 V1

(6.b)

Dengan demikian kita memperoleh persamaan untuk sistem dengan dua bus (dengan mengubah urutan penulisan pada (6.b)

I1 = Y11 V1 − y12 V2

(7)

I 2 = −Y12 V1 + y 22 V1 Sistem Dengan Tiga Bus. Untuk sistem dengan tiga bus, relasi (7) menjadi

dikembangkan

I1 = Y11 V1 − y12 V2 − y13 V3 I 2 = − y12 V1 + Y22 V1 − y 23 V3

(8.a)

I 3 = − y12 V2 − y 23 V + Y33 V3 Secara formal, penulisan persamaan (8.a) adalah

I1 = Y11 V1 + Y12 V2 + Y13 V3 I 2 = Y12 V1 + Y22 V1 + Y23 V3

(8.b)

I 3 = Y12 V2 + Y23 V + Y33 V3 dengan Yij = − y ij . Persamaan (8.b) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai

 I1  Y11    I 2  = Y12  I 3  Y13  

Y12 Y22 Y23

Y13   V1    Y23   V2  Y33   V3 

(9)

Sistem Dengan n Bus. Persamaan untuk sistem dengan tiga bus (9) dikembangkan untuk sistem dengan n bus menjadi

 I1  Y11 Y12     I 2  Y12 Y22  I 3  = Y13 Y23    . .  . I  Y1n Y2 n  n


Y13 Y23 Y33 . Y3n

. Y1n   V1    . Y2 n   V2  . Y3n   V3    . .  .  . Ynn   Vn 

(10.a)

3/20

Darpublic

www.darpublic.com

Persamaan (10.a) ini dapat kita tulis dengan ringkasn menjadi:

~ ~ Ibus = [Ybus ]Vbus

(10.b)

Persamaan Aliran Daya Persamaan aliran daya dapat kita turunkan dengan memperhatikan arus yang mengalir ke saluran transmisi di setiap bus (tidak termasuk arus ke beban langsung). Untuk bus ke-i dalam sistim dengan n bus, kita dapatkan n

I i = ∑ Yij V j

(11)

j =1

j = 1, 2, ...i, ...n; Yij = Yij ∠θ ij ; θ ij = sudut fasa admitansi antara bus - i dan j V j = V j ∠ψ j ; ψ j = sudut fasa tegangan di bus j Dengan persamaan (11) ini kita dapat menghitung daya dari bus-i yang menuju saluran transmisi, yaitu n

S i = Vi I i∗ = Vi ∑ (Yij V j ) ∗ j =1

n

(

)

(12)

= Vi ∠ψ i ∑ Yij ∠ − θ ij V j ∠ − ψ j = Pi + jQi j =1

dengan

  n   n Pi = Vi  ∑ Yij V j cos(ψ i − θ ij −ψ j )  dan Qi = Vi  ∑ Yij V j sin(ψ i − θ ij −ψ j )   j =1   j =1 

(13)

Perhatikan bahwa Si adalah daya yang mengalir ke saluran transmisi. Hubungan dengan daya generator bisa diperoleh melalui relasi (3) yaitu

S i = Pi + jQi = S Gi − S Bi sehingga

 n  PGi − PBi = Vi  ∑ V j Yij cos(ψ i − ψ j − θ ij )  dan  j =1   n  QGi − QBi = Vi  ∑ V j Yij sin(ψ i − ψ j − θ ij )   j =1 

(14)

Persamaan (14) adalah dua persamaan yang kita peroleh untuk setiap bus-i. Dalam persamaan ini terdapat enam besaran peubah yang terkait dengan bus yang bersangkutan, yaitu

PGi , QGi , PBi , QBi , Vi , dan ψ i

(15)

Besaran yang lain adalah peubah di luar bus-i.


4/20

Darpublic

www.darpublic.com

Jika bus-i adalah bus-generator, maka sebagian besaran yang terdapat pada persamaan (14) merupakan besaran yang diketahui atau ditentukan: - PBi dan QBi adalah daya beban yang diketahui. - PGi merupakan besaran yang diketahui karena daya nyata ini bisa ditentukan dengan mengatur masukan uap di turbin misalnya. - Vi juga tertentu besarnya karena bisa di atur melalui arus eksitasi. - QGi walaupun tidak diketahui namun, akan tertentu besarnya jika tegangan dan sudut fasa di bus yang lain diketahui. - dengan demikian hanya tinggal satu peubah yang harus dihitung yaitu ψi (sudut fasa tegangan di bus-i). Jika bus-i adalah bus-beban, tak ada generator terhubung ke sini; PGi dan QGi bernilai nol, dan Pi = − PBi dan Qi = −QBi keduanya diketahui (tanda minus pda PBi dan QBi diberikan karena daya dianggap mengalir ke saluran). Dengan demikian untuk bus-beban hanya ada dua besaran peubah yang harus dihitung yaitu tegangan dan sudut fasanya, Vi dan ψi. Jadi di setiap bus pada dasarnya hanya ada dua atau satu peubah yang harus dicari, yaitu Vi dan ψi di bus-beban dan ψi di bus-generator. Dalam satu jaringan transmisi yang terdiri dari total n bus, dengan nG bus-generator dan satu slack-bus, terdapat besaran yang harus dihitung sebanyak

besaran harus dihitung = 2(n − 1) − n G

(16)

Kebanyakan bus dalam sistem tenaga adalah bus-beban; hanya sebagian kecil dari total jumlah bus merupakan bus-generator. Proses Pencarian Solusi Solusi suatu persamaan aliran daya adalah mencari profil tegangan di semua bus dalam suatu sistem tenaga. Karena persamaan daya merupakan persamaan non-linier, maka solusi dilakukan dengan cara iterasi. Proses pencarian solusi adalah sebagai berikut: 1. Berdasarkan data teknis dari jaringan, tentukan elemen-elemen dari matriks [Ybus]. 2. Pada bus-beban tentukan PB dan QB. 3. Pada bus-generator tentukan nilai tegangan bus V dan PG. 4. Buat slack-bus (bus nomer-1) bertegangan V1 = 1∠0o . 5. Asumsikan profil tegangan dan sudut fasanya, Vdan ψ, bus yang lain. 6. Masukkan data [Ybus] danprofil tegangan yang diasumsikan ke persamaan (14) untuk mencari Pi dan Qi. Setiap kali iterasi dilakukan, bandingkan hasil perhitungannya dengan besaran yang ditetapkan sesuai langkah-2 dan langkah-3 atau hasil perhitungan sebelumnya. 7. Selisih yang diperoleh pada langkah-6, digunakan sebagai dasar untuk melakukan koreksi pada langkah iterasi berikutnya sedemikian rupa sehingga selisih tersebut menjadi semakin kecil. 8. Ulangi langkah-langkah iterasi sampai selisih yang didapat mencapai nilai kecil yang dapat diterima. Profil tegangan pada situasi terakhir ini menjadi solusi yang dicari.


5/20

Darpublic

www.darpublic.com

Metoda Newton-Raphson Formula Iterasi – Persamaan Rekursi. Dalam buku buku referensi, formula iterasi biasanya diturunkan melalui penguraian fungsi nonlinier menjadi deret Taylor dan mengabaikan sukusuku dengan orde tinggi. Di sini kita akan menurunkannya melalui pengamatan grafis. Persamaan dengan Peubah Tunggal. Kita misalkan sebuah persamaan nonlinier dengan peubah tunggal (17) p( x) = 0 dan kita akan mencari solusinya dengan cara iterasi. Ruas kiri persamaan ini dapat kita pandang sebagai sebuah fungsi, dan kita misalkan fungsi ini adalah kontinyu dalam domain yang ditinjau. Kita dapat menggambarkan kurva fungsi ini di bidang px; nilai x sebagai solusi adalah titik potong kurva dengan sumbu-x, yaitu x sol , seperti terlihat pada Gb.2 di bawah ini. Indeks atas digunakan untuk menunjukkan langkah iterasi; misalnya x0 adalah iterasai ke-0 yaitu dugaan awal, x1 adalah iterasi ke-1, dan seterusnya. p

p (x ) 0

p( x )

dp dx

p ( x1 ) x

sol

0

2

p( x ) x0 x 2 x1 0 1 ∆ x ∆x

x

Gb.2. Proses iterasi untuk persamaan p ( x ) = 0 . Langkah pertama adalah menentukan dugaan awal solusi persamaan, yaitu x0. Jika kita masukkan solusi dugaan ini ke dalam persamaannya, kita memperoleh p ( x 0 ) . Antara p ( x 0 ) ini dengan nilai yang ditentukan pada persamaan (17) yaitu 0, terdapat selisih sebesar ∆p ( x 0 ) = 0 − p ( x 0 ) ; perhatikan bahwa selisih ini bernilai negatif. Karena terjadi selisih tersebut, kita melakukan dugaan solusi baru yaitu x1 yang mendekati xsol; dugaan baru ini kita masukkan ke persamaan, dan akan memberikan p ( x 1 ) . Jika p ( x 1 ) belum juga bernilai nol sebagaimana diharapkan, kita coba lagi nilai x2, dan demikian seterusnya sampai kita memperoleh suatu nilai x yang memberikan p ( x ) = 0 atau sangat dekat dengan 0. Menetukan x1 secara efektif dilakukan sebagai berikut. Setelah dugaan solusi x0 memberikan 0

p(x0), kita buat garis singgung pada kurva di titik p(x0) yaitu dp / dx ; garis singgung ini akan memotong sumbu-x di x1 yang berposisi tergeser sebesar ∆x 0 dari posisi x0. Karena 0

dp / dx = p( x 0 ) / ∆x 0 maka ∆x 0 =

∆p ( x 0 ) (dp / dx)

0

. Karena ∆p( x 0 ) bernilai negatif maka x1 kita tentukan

dengan formula:

x 1 = x 0 + ∆x 0 = x 0 +

∆p ( x 0 ) (dy / dx)

0

1 1 x1 akan memberikan p ( x 1 ) yang memungkinkan kita menghitung ∆x = ∆p( x ) / (dp / dx)

1

yang akan memberikan x2; dan demikian seterusnya sampai kita mendapatkan ∆x n yang akan memberikan p( x n ) ≈ 0 .


6/20

Darpublic

www.darpublic.com

Secara umum formulasi dari proses iterasi ini dapat kita turunkan sebagai berikut: Jika xk adalah nilai x untuk iterasi ke-k maka

x k = x k −1 +

∆p ( x k −1 ) (dp / dx)

(18)

k −1

Persamaan (18) inilah persamaan rekursi atau formula iterasi. Uraian di atas adalah untuk persamaan (17) dimana ruas kanan bernilai nol. Kita tinjau sekarang persamaan dengan ruas kanan tidak bernilai nol, yang kita tuliskan sebagai

p ( x) = P

(19)

denganP adalah tetapan. Ruas kiri (19) kita pandang sebagai fungsi x dengan kurva seperti pada Gb.2; akan tetapi solusi xsol yang dicari adalah nilai x pada titik potong antara p(x) dengan garis P sejajar sumbu-x . Situasi ini digambarkan pada Gb.3. p

p ( x) 0

p( x )

dp / dx

0

p( x 0 ) − p( x1 )

p ( x1 ) P

x sol

x 2 x1 1

∆x

∆x

0

x

x0

Gb.3. Proses iterasi untuk persamaan p ( x) = P . Untuk persamaan (19) ini ∆x 0 adalah

∆x 0 =

P + ∆p x0 (dp / dx)

(20)

0

Kita coba untuk memahami persamaan terakhir ini. ∆p x0 = P − p ( x 0 ) adalah perbedaan antara nilai fungsi yang seharusnya, yaitu P, dengan nilai fungsi jika dugaan awal peubah x0 kita terapkan; perbedaan ini bernilai negatif. Perbedaan ini harus dikoreksi dengan mengoreksi dugaan awal sebesar ∆x0 sehingga nilai peubah berubah dari x0 menjadi x 1 = x 0 + ∆x 0 ; koreksi inilah koreksi terhadap dugaan awal. Setelah koreksi awal ini, perbedaan nilai fungsi terhadap nilai seharusnya adalah ∆p1 = P − p( x1 ) yang lebih kecil dari ∆p 0 yang berarti nilai fungsi mendekati P. Koreksi peubah kita lakukan lagi untuk lebih mendekat lagi ke P; langkah koreksi ini merupakan iterasi pertama. Pada iterasi pertama ini kita akan memperoleh perbedaan ∆p x2 = P − p ( x 2 ) yang mungkin masih harus di koreksi lagi pada itersi ke-dua. Demikian seterusnya sampai kita peroleh ( P − p ( x n )) ≈ 0 . Dalam perjalanan menuju P tersebut alur yang kita lewati adalah kurva p(x). Secara umum, pada iterasi ke-k kita akan mempunyai persamaan yang memberikan perbedaan nilai fungsi dengan nilai seharusnya, yaitu ∆ p k = ( dp / dx )

k

∆x k

(21)

Dengan pemahaman ini kita lanjutkan pengamatan pada suatu persamaan dengan dua peubah.


7/20

Darpublic

www.darpublic.com

Persamaan Dengan Dua Peubah. Sepasang persamaan dengan dua peubah kita tuliskan sebagai

p( x, y) = P

(22)

q( x, y) = Q

denganP dan Q adalah tetapan. Kita harus melakukan iterasi untuk dua peubah x dan y. Dugaan solusi awal memberikan persamaan yang merupakan pengembangan dari (21) yaitu

∆p 0 = P − p( x 0 , y 0 ) = (∂p / ∂x) ∆x 0 + (∂p / ∂y ) ∆y 0 0

0

∆q 0 = P − q( x 0 , y 0 ) = (∂q / ∂x) ∆x 0 + (∂q / ∂y ) ∆y 0 0

0

(23)

yang dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks

∆p  ∂p / ∂x ∂p / ∂y  ∆x  0  ∆x  ∆q  = ∂p / ∂x ∂p / ∂y  ∆y  = J ∆y          0

0

0

0

(24)

Matriks 2×2 turunan parsial terhadap x dan y disebut jacobian dan dinyatakan dengan simbol J. Apabila ∆p0 dan ∆q0 tidak bernilai nol maka

∆x  −1 0  ∆p  ∆y  = J ∆q      0

( )

0

(25)

Inilah persamaan untuk menentukan besar koreksi yang harus dilakukan setelah kita membuat dugaan awal. Dengan (25) ini dapat dihitung ∆x0 dan ∆y0 sehingga dapat diperoleh x1 dan y1 guna iterasi selanjutnya.

 x  x + ∆x   y  =  y + ∆y      1

0

(26)

Persamaan (26) ini adalah langkah iterasi ke-1. Secara umum, pada langkah ke-k kita mempunyai identitas dan persamaan-persamaan sebagai berikut: k

k

 ∆p   P − p( x)  1).   ≡   ;  ∆q   P − p ( y ) k

k

∆p   ∆x  2).  = J k   ; ∆ q   ∆y 

(27)

k

∂p / ∂x  3). J k =   ; ∂p / ∂y  k

( )

 ∆x  4).   = J −1  ∆y 

k

 ∆p   ∆q   

k

Kita perhatikan persamaan ini. Persamaan pertama dari (27), yang berupa identitas, akan menentukan perlu tidaknya dilakukan koreksi (iterasi) lagi terhadap hasil perhitungan sebelumnya; oleh karena itu persamaan pertama tersebut disebut corrective force. Identitas ini menjadi ruas kiri persamaan ke-dua, yang terkait dengan koreksi peubah yang harus dilakukan melalui jacobian Jk yang nilainya diberikan oleh persamaan ke-tiga. Besar koreksi yang harus dilakukan diberikan oleh persamaan ke-empat. Setelah koreksi dilakukan, kita kembali pada persamaan pertama untuk melihat perlu tidaknya iterasi dilanjutkan lagi.


8/20

Darpublic

www.darpublic.com

Aplikasi Metoda Newton-Raphsin Pada Analisis Aliran Daya Berapa banyak peubah yang harus ditentukan dalam satu jaringan transmisi diberikaan oleh persamaan (16). Namun dalam menuliskan persamaan aliran daya, kita memperlakukan semua bus sebagai bus-beban, agar penulisan lebih terstruktur; ini berarti bahwa semua bus megandung dua peubah yaitu tegangan dan sudut fasanya, walaupun ada peubah yang sudah ditetapkan di beberapa bus-generator. Karena slack-bus ditetapkan sebagai bus nomer-1, dengan tegangan 1∠0 o pu , maka kita bekerja mulai dari bus-2, dan nilai peubah yang harus dicari agar persamaan aliran daya terpenuhi adalah tegangan serta sudut fasa di setiap bus yaitu (V2 , V3, Vi ,..., Vn) dan (ψ2, ψ3, …., ψi, … ψn). Pengembangan dari persamaan (28) untuk jaringan transmisi dengan n bus adalah sebagai berikut: ∆p 2   P2 − p 2 (V 2 k ,......., ψ nk )   ∆p   P − p (V ,......., ψ )  3 2k nk   3  3  M    M     k ~ 1). ∆u = ∆p n  ≡  Pn − p n (V 2 k ,......., ψ nk )  ∆q 2  Q 2 − q 2 (V 2 k ,......., ψ nk )      M  M    ∆q  Q − q (V ,......., ψ ) n 2k nk   n  n

k

(28.a)

~ k = J k ∆x k 2). ∆u  ∂p2  ∂V  2  ∂p3  ∂V2  M  ∂p 3). J k =  n  ∂V2  ∂q  2  ∂V2  M  ∂q  n  ∂V2

∂p2 ∂V3 ∂p3 ∂V3 ∂pn ∂V3 ∂q2 ∂V3 ∂qn ∂V3

(28.b) ∂p2 ∂Vn ∂p3 L ∂Vn

∂p2 ∂ψ 2 ∂p3 ∂ψ 2

∂pn ∂Vn ∂q2 L ∂Vn

∂pn ∂ψ 2 ∂q2 ∂ψ 2

∂qn ∂Vn

∂qn ∂ψ 2

L

L

L

L L

L L

L

∂p2  ∂ψ n   ∂p3  ∂ψ n    ∂pn  ∂ψ n  ∂q2   ∂ψ n   ∂q2   ∂ψ n 

k

(28.c)

k

 ∆V 2   ∆V   3  M    k ~ 4). ∆x ≡  ∆V n  = J −1  ∆ψ 2     M  ∆ψ   n

( ) ∆u~ k

k

(28.d)

Kiranya perlu kita fahami arti dari persamaan-persamaan (28) ini, sebelum kita melangkah lebih lanjut. •

~ k adalah vektor yang berisi perbedaan nilai daya di setiap bus terhadap nilai daya ∆u yang ditetapkan/diperoleh di bus yang bersangkutan pada iterasi ke-k, baik daya nyata maupun daya reaktif.


9/20

Darpublic •

•

www.darpublic.com ∆~ x k adalah vektor yang berisi koreksi peubah di setiap bus, yaitu tegangan dan sudut fasanya, yang diperoleh pada iterasi ke-k untuk melakukan iterasi selanjutnya. Pada waktu menetapkan dugaan awal misalnya, diperoleh ∆~x 0 untuk melakukan koreksi pada iterasi ke-1; pada itersai ke-1 diperoleh ∆~x1 untuk melakukan koreksi pada iterasi ke-2; dan seterusnya. Matriks jacobian adalah matriks yang berisi laju perubahan daya, baik daya nyata maupun reaktif, terhadap perubahan tegangan maupun sudut fasa di setiap bus. Perhatikan bahwa daya merupakan fungsi semua peubah di setiap bus.Oleh karena itu perbedaan nilai daya di setiap bus dengan daya yang diperoleh dalam perhitungan pada iterasi ke-k, merupakan hasil kali matriks jacobian pada iterasi ke-k dengan vektor koreksi tegangan maupun sudut fasa pada iterasi ke-k. Jika matriks jacobian tidak bernilai nol, yang berarti bahwa dalam peninjauan secara grafis (pada persamaan dengan peubah tunggal misalnya), garis singgung pada kurva tidak sejajar dengan sumbu-x, besaran koreksi dapat dihitung dengan relasi (28.d),

( ) ∆u~

∆~ x k = J −1

k

k

. Inversi matriks jacobian dalam relasi ini, akan kita fahami dengan meninjau sistem dengan dua bus seperti dalam contoh berikut. CONTOH Sistem Dua Bus Untuk melihat aplikasi dalam perhitungan, kita akan melihat sistem dua bus seperti pada gambar berikut. Contoh ini diambil dari buku referensi, sedangkan perhitungan-perhitungan akan dilakukan secara manual dengan menggunakan “excel”. Dengan cara ini kita akan memahami langkah demi langkah proses perhitungan; angka hasil perhitungan yang kita lakukan dengan cara ini sedikit berbeda dengan angka yang tercantum dalam buku referensi karena pembulatan angka desimal. Diagram rangkaian untuk contoh ini terlihat pada halaman berikut, dimana saluran transmisi digambarkan sebagai rangkaian ekivale π. P1 , Q1 bus - 1

bus - 2

z12 = 20 + j80

1 + j1 pu

V1 = 1∠0o pu y p = 0, 27 × 10 −3 S

S B2 =

yp

V2 = V2 ∠ψ 2 pu

Bus-1 adalah bus-generator tanpa beban langsung.Bus-2 adalah bus-beban. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengumpulkan data jaringan; kemudian data jaringan ini kita nyatakan dalam per unit dengan memilih suatu nilai basis tertentu. Data jaringan adalah: z12 = 20 + j80 = 82,4621∠75,96 o Ω y12 = 1 / 82,4621∠75,96 o = 0,012127∠ − 75,96 o = 0,002941 − j 0,011765 S y p = j 0,27 × 10 −3 S y11 = y 22 = y12 + y p = 0,002942 − j 0,011495 = 0,011865∠ − 75,65 o S Kemudian kita tetapkan nilai basis dan menyatakan besaran-besaran dalam per-unit, termasuk besaran yang ditetapkan. Nilai Basis:

S basis = 100 MVA ; Vbasis = 230 kV ⇒ Z basis = 100 / 230 2 = 529 Ω;


Ybasis = 1 / 529 = 0,001890 S

10/20

Darpublic

www.darpublic.com Besaran dalam per-unit: → Y12 = Y21 = − y12 Y12 = Y21 = 0,012127 / 0,00189 = 6,4151 θ12 = θ 21 = −75,96 + 180 = 104,04 o → Y11 = Y22 = 6,2766;

θ11 = θ 22 = −75,65 o

Nilai-nilai peubah dan daya yang ditetapkan di bus adalah: Bus - 1 (sebagai slack bus ) : V1 = 1; ψ 1 = 0 o P2 = −1; Q2 = −1;

Bus - 2 (bus - beban) :

V2 dan ψ 2 (harus dihitung)

Matriks Y-bus. Dari data jaringan kita peroleh matriks [Ybus] sebagai berikut

[Ybus ] = 

Y11

Y21

Y12  6,2766∠ − 75,64 o = Y22   6,4151∠104,04 o

6,4151∠104,04 o   6,2766∠ − 75,64 o 

(29)

Persamaan Aliran Daya dan Jacobian. Secara umum, persamaan aliran daya di bus-i adalah pi = Vi ∠ψ 2

n

∑YijV j cos(−θij − ψ j ) j =1

qi = Vi ∠ψ 2

n

∑YijV j sin(−θij − ψ j ) j =1

Karena bus-1 menjadi slack bus sedangkan system ini terdiri dari hanya dua bus, maka perhitungan hanya dilakukan untuk bus-2. Persamaan daya untuk bus-2 dalam contoh ini menjadi p 2 = V2 [Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22V 2 cos(ψ 2 − θ 22 − ψ 2 )] = V2 [Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22V2 cos( −θ 22 ] q 2 = V2 [Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22V2 sin(ψ 2 − θ 22 − ψ 2 )]

(30)

= V 2 [Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22V 2 sin( −θ 22 )]

Daya nyata maupun reaktif untuk bus-2, dituliskan dengan huruf kecil karena ia masih akan berubah menuju nilai yang ditetapkan yaitu P2 = −1 dan Q2 = −1. Sebenarnya, nilai yang sudah diketahui (ditetapkan) yaitu V1 = 1 , ψ 1 = 0 di slack bus, dan elemen-elemen matriks [Ybus], dapat kita masukkan ke dalam persamaan daya ini dan kita akan mendapatkan persamaan yang lebih sederhana. Namun karena kita akan menggunakan excel, kita biarkan persamaan aliran daya ini seperti apa adanya agar mudah ditelusuri dalam spreadsheet. Karena kita hanya menghadapi dua persamaan daya, yaitu persamaan p2 dan q2 dengan dua peubah yaitu V2 dan ψ2, maka matriks jacobian akan berukuran 2×2.

∂p / ∂ψ 2 J = 2 ∂q 2 / ∂ψ 2

∂p 2 / ∂V 2  ∂q 2 / ∂V 2 

(31.a)

dengan elemen-elemen:


11/20

Darpublic

www.darpublic.com ∂p 2 = −V 2 Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) ∂ψ 2 ∂p 2 = Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + 2Y22V 2 cos(−θ 22 ] ∂V 2 ∂q 2 = V 2 Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) ∂ψ 2

(31.b)

∂q 2 = Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + 2Y22V 2 sin( −θ 22 )] ∂V 2

Dugaan Awal dan Iterasi. Kita buat dugaan awal yaitu nilai awal daya di bus-2. Seberapa dekat nilai dugaan yang kita buat ini ke nilai yang ditetapkan, akan menentukan seberapa cepat kita sampai ke iterasi terakhir. Kita coba dugaan awal

ψ 0  0  ~ x 0 ≡  02  =   V 2  1

(32)

Kita masukkan dugaan awal ini ke persamaan aliran daya (30) untuk mendapatkan nilai p20 dan q20 . Dari sini kita peroleh corrective force: 0

0 ~ 0 =  ∆p 2  ==  − 1 − p 2  ∆u   ∆q  0  − 1 − q 2   2

(33)

Corrective force menentukan besar koreksi yang harus dilakukan, yaitu koreksi atas dugaan awal yang kita buat. Koreksi itu adalah:

( )

( ) −−11−− qp

 ∆ψ 0  0 ~0 ∆x~ 0 ≡  20  = J −1 ∆u = J −1 ∆V2 

0



0 2 0 2 

(34)

Setelah dugaan awal dikoreksi, hasil koreksi menjadi besaran-besaran pada iterasi berikutnya yaitu iterasi ke-1. Formulasi (29) sampai dengan (34) kita gunakan dalam perhitungan menggunakan excel. Semua besaran akan berubah setiap kali iterasi, kecuali besaran yang sudah ditetapkan, P2, Q2, dan elemen matriks [Ybus]. Hasil Perhitungan. Dalam perhitungan ini, sudut fasa tegangan dinyatakan dalam radian. Perhitungan jacobian inversi dilakukan dengan eliminasi Gauss-Jordan. Berikut ini ditulis lagi data [Ybus] , persamaan aliran daya, kemudian diberikan hasil perhitungan dalam tabel. Elemen matriks jacobian dan inversinya langsung dicantumkan dalam tabel. Y11 Y12  6,2766∠ − 75,64 o = o Y21 Y22   6,4151∠104,04

[Ybus ] = 

6,4151∠104,04 o   6,2766∠ − 75,64 o 

 p 2  V 2 Y21V1 cos( ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22 (V 2 ) 2 cos( −θ 22 )  q  =  2  2   V 2 Y21V1 sin( ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y22 (V 2 ) sin( −θ 22 ) 

− V Y V sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + 2Y22V2 cos( −θ 22 ] J =  2 21 1   V2Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) Y21V1 sin( ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + 2Y22V2 sin( −θ 22 )]


12/20

Darpublic

substitusi ke persamaan Corrective force

www.darpublic.com

Besaran P2 Q2 ψ2 V2 p2 q2 ∆p2 ∆q2

Elemen jacobian Elemen jacobian inversi Koreksi


∆ψ2 ∆v2 Besaran P2 Q2 ψ2 V2 p2 q2 ∆p2 ∆q2

Elemen jacobian Elemen jacobian inversi Koreksi


∆ψ2 ∆v2 Besaran P2 Q2 ψ2 V2 p2 q2 ∆p2 ∆q2

Elemen jacobian Elemen jacobian inversi ∆ψ2 Koreksi ∆v2

Awal -1 -1 0 1 5.29E-06 -0.14283 -1.0000 -0.8572 6.2235 -1.5559 0.1508 0.0395 -0.1169 -0.1750

Iterasi ke-1

(tetapan) (dugaan awal)

1.5559 5.9379 -0.0395 0.1581

Iterasi ke-2

-0.1506 0.7625 -0.9803 -0.9784 -0.0197 -0.0216 4.5137 -1.8849 0.2243 0.1261 -0.0046 -0.0090

-0.1169 0.8250 -0.8149 -0.8109 -0.1851 -0.1891 4.9496 -1.8739 0.1966 0.0913 -0.0337 -0.0625

-0.1552

(koreksi atas 0.7535 iterasi ke-2) -0.9996 -0.9996 -0.0004

-0.0004 4.4518 -1.8830 0.2292 0.1326 -0.0001 -0.0002

-0.0993 3.3532 0.0066 0.3020

Iterasi ke-4

0.7533 -0.99999983 -0.99999981 -2.0000 -2.0000 4.4505 -1.8829 0.2293 0.1327 -0.4806 -0.8930


0.2959 4.0337 -0.0144 0.2412

Iterasi ke-3

(koreksi atas iterasi ke-1)

-0.1553

(koreksi atas dugaan awal)

-0.1543 3.2551 0.0109 0.3135

Iterasi ke-5

(koreksi atas iterasi ke-3) ≈ −1 ≈ −1

-0.1554 3.2531 0.0110 0.3137

Iterasi ke-5 tidak dilakukan. Pada iterasi ke-4 p2 dan q2 sudah dianggap sama dengan P2 dan Q2 yang ditetapkan. Daya di slack bus: P1 = 1.1229 Q1 = 1.2677

13/20

Darpublic

www.darpublic.com

Sampai iterasi ke-3, p 2 = −0.9996 ≈ −1 dan q 2 = −0.9996 ≈ −1 . Pada iterasi ke-4 nilai tersebut sudah dapat dikatakan sama dengan nilai P2 dan Q2 yang ditetapkan. Oleh karena itu iterasi ke-5 tidak perlu dilakukan lagi. Profil Tegangan Sistem dan Daya Pada Bus-Generator. Pada Iterasi terakhir (iterasi ke-4) kita peroleh profil tegangan sistem dua bus ini sebagai berikut V1 = 1 pu; ψ1 = 0 o dan V2 = 0,7533 pu ; ψ 2 = −0,1553 rad = -8.90o dengan diagram fasor: V1

V2

Pada kondisi ini, daya yang dialirkan ke saluran transmisi dari bus-2 adalah (seperti tercantum dalam tabel, iterasi terakhir): P2 = −1 pu ;

Q 2 = −1 pu (bus - beban)

Sedang dari slack bus (dihitung dari persamaan aliran daya) adalah: P1 = 1,12 pu ;

Q1 = 1,27 pu (bus - generator)

Dalam contoh ini tegangan jatuh di saluran cukup besar, dan susut daya di saluran, yang diperlihatkan oleh selisih P1 dan P2 cukup besar pula yaitu Psal = 1,12 − 1 = 0,12 pu ≈ 12%.

CONTOH Sistem Tiga Bus Contoh ini juga diambil dari buku referensi. Seperti pada contoh sebelumnya, perhitunganperhitungan di sini dilakukan secara manual dengan menggunakan excel. Diagram rangkaian beserta data jaringan yang diketahui diberikan berikut ini. o S G1 V1 = 1∠0 pu bus - 1 G1

S B1 S = 2 pu B1

bus - 2

y12 = − j10 pu

y13 = − j15 pu y 23 = − j12 pu

V3 = 1.1 P3 = 2.0

G3

bus - 3 SG 3 S

2,5 pu − j 2 pu

B2

j1, 2 pu

= 2.5 + j1,2 − j 2 = 2,5 − j 0,8

Sbasis = 100 MVA, Vbasis = 230 V Zbasis = 2302 / 100 = 529 Ω, Ybasis = 1/ 529 = 0,00189 S

G1 = 300 MVA, 15 kV G3 = 250 MVA, 15 kV Saluran transmisi dianggap sebagai lossless line dan admitansi parallel tidak diperhitungkan. Admitansi seri saluran per fasa sudah dihitung dalam per unit: Y11 = y12 + y13 = 25∠ − 90o ; Y12 = − y12 = 10∠90o ; Y13 = − y13 = 15∠90o Y22 = y12 + y23 = 22∠ − 90o ; Y21 = − y21 = 10∠90o ; Y23 = − y23 = 12∠90o Y33 = y31 + y32 = 27∠ − 90o ; Y31 = − y31 = 15∠90o ; Y32 = − y32 = 12∠90o


14/20

Darpublic

www.darpublic.com

Matriks Ybus. Dari perhitungan di atas kita dapatkan matriks sebagai berikut: o Y11 Y12 Y13  25∠ − 90  [Ybus ] = Y21 Y22 Y23  =  10∠90o Y31 Y32 Y33   15∠90o 

10∠90o 22∠ − 90o 12∠90o

15∠90o   12∠90o  27∠ − 90o  

(35)

Peubah-Peubah Dan Pembebanan Pada Bus. Bus-1: slack bus, V1 = 1 ψ1 = 0o . Daya di bus P1 dan Q1 ini tergantung dari profil tegangan di semua bus; jadi P1 dan Q1 merupakan peubah tak bebas, dihitung setelah iterasi selesai. Bus-2: bus-beban. Beban di bus ini dinyatakan dengan resistor yang menyerap daya nyata PR = 2,5 pu , terhubung seri dengan induktor yang menyerap daya reaktif Q L = j1,2 pu . Sebuah kapasitor dihubungkan ke bus-2 dan menyerap daya reaktif sebesar QC = − j 2 . Total beban yang tersambung ke bus-2 menjadi S B 2 = 2,5 − j 0,8 . Beban di bus-2 yang mengalir ke saluran transmisi menjadi P2 = −2,5 dan Q 2 = j 0,8 . Peubah di bus ini adalah tegangan dan sudut fasanya, V2 dan ψ 2 . Bus-3: bus-generator. Daya nyata dari generator di diberikan melalui pengaturan masukan uap (di turbin) sebesar P3 = 2,0 pu sedangkan tegangan diatur melalui arus eksitasi sebesar V3 = 1,1 pu ; oleh karena itu peubah di bus ini tinggallah sudut fasa tegangan ψ 3 . Jadi peubah yang harus dihitung pada sistem ini adalah V 2 , ψ 2 , dan ψ 3 .

Persamaan Aliran Daya.Bentuk umum persamaan aliran daya adalah  n  pi = Vi  ∑ Yij V j cos(ψi − θij − ψ j )     j =1   n  qi = Vi  ∑ Yij V j sin(ψ i − θij − ψ j )     j =1  Karena bus-1 adalah slack bus maka kita akan bekerja pada bus-2 dan bus-3. Di bus-2, daya yang harus dicapai pada akhir iterasi adalah P2 = −2,5 dan Q 2 = 0,8 . Sedangkan di bus-3 daya nyata yang harus dicapai adalah P2 = 2,0 . Jadi dalam sistem ini diberikan tiga tetapan daya, dengan tiga peubah. Oleh karena itu persamaan aliran daya terdiri dari tiga persamaan yaitu untuk p2, p3, dan q2. p 2 = V 2 Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + V 2 Y23V3 cos(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + Y22 (V 2 ) 2 cos(−θ 22 )] p3 = V3Y31V1 cos(ψ 3 − θ 31 − ψ 1 ) + V3Y32V 2 cos(ψ 3 − θ 32 − ψ 2 ) + Y33 (V3 ) 2 cos(−θ 33 )]

(36)

q 2 = V 2 Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + V 2 Y23V3 sin(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + Y22 (V 2 ) sin(−θ 22 )] 2

Jacobian.Persamaan aliran daya terdiri dari tiga persamaan seperti ditunjukkan oleh (36) dengan tiga peubah yaitu V2 , ψ 2 , dan ψ 3 . Matriks jacobian akan berukuran 3×3, yaitu

∂p 2 / ∂ψ 2 J = ∂p 3 / ∂ψ 2 ∂q 2 / ∂ψ 2

∂p 2 / ∂ψ 3 ∂p 3 / ∂ψ 3 ∂q 2 / ∂ψ 3

∂p 2 / ∂V2  ∂p 3 / ∂V2  ∂q 2 / ∂V2 

(37.a)

Elemen-elemen matriks ini adalah:


15/20

Darpublic

www.darpublic.com

∂p 2 = −V2 Y21V1 sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) − V2 Y23V3 sin(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) ∂ψ 2 ∂p 2 = +V2 Y23V3 sin(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) ∂ψ 3 ∂p 2 = Y21V1 cos( ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + Y23V3 cos(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + 2Y22V2 cos( −θ 22 )] ∂V2 ∂p 3 = +V3Y32V 2 sin(ψ 3 − θ 32 − ψ 2 ) ∂ψ 2 ∂p 3 = −V3Y31V1 sin(ψ 3 − θ 31 − ψ 1 ) − V3Y32V2 sin(ψ 3 − θ 32 − ψ 2 ) ∂ψ 3 ∂p 3 = +V3Y32 cos(ψ 3 − θ 32 − ψ 2 ) ∂V2 ∂q 2 = V2 Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + V2 Y23V3 cos(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) ∂ψ 2 ∂q 2 = − V2 Y23V3 cos(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + 2Y22V 2 sin( −θ 22 ) ∂ψ 3

(37.b)

Dugaan Awal dan Iterasi. Kita coba dugaan awal

V 20  1   ∆x~ 0 ≡ ψ 02  = 0 ψ 0  0   3  

(38)

Kita masukkan dugaan awal ini ke persamaan aliran daya untuk mendapatkan corrective force: 0 0 ∆p 2   P2 − p 2  − 2,5 − p 2  ~ 0 ≡  ∆p  =  P − p 0  =  2 − p 0  ∆u 3  3   3  3 0   ∆q 2  Q2 − q 2 0,8 − q 20     

(39)

Besar koreksi

( ) ∆u~ = (J )

∆~ x0 = J

−1 0

0

− 2,5 − p 20  0   2 − p3   0,8 − q 0  2  

−1 0 

(40)

Hasil Perhitungan. Dalam perhitungan ini, sudut fasa tegangan dinyatakan dalam radian. Perhitungan jacobian inversi pada dilakukan dengan eliminasi Gauss-Jordan. Berikut ini ditulis lagi data Ybus , persamaan aliran daya, formulsi jacobian, kemudian diberikan hasil perhitungan dalam tabel. Elemen matriks jacobian dan inversinya langsung dicantumkan dalam tabel.

Ybus

o Y11 Y12 Y13   25∠ − 90  = Y21 Y22 Y23  =  10∠90o Y31 Y32 Y33   15∠90o 


10∠90o 22∠ − 90o 12∠90o

15∠90o   12∠90o  27∠ − 90o  

16/20

Darpublic

www.darpublic.com

2  p 2  V2 Y21V1 cos(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + V 2 Y23V3 cos(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + Y22 (V2 ) cos(−θ 22 )]   p  = V Y V cos(ψ − θ − ψ ) + V Y V cos(ψ − θ − ψ ) + Y (V ) 2 cos(−θ )]  3 31 1 3 32 2 3 32 2 33 3 33   3   3 31 1 2   q 2  V Y V sin(ψ 2 − θ 21 − ψ 1 ) + V2 Y23V3 sin(ψ 2 − θ 23 − ψ 3 ) + Y22 (V2 ) sin( −θ 22 )]   2 21 1 

∂p 2 / ∂ψ 2 J = ∂p 3 / ∂ψ 2 ∂q 2 / ∂ψ 2

Sistem 3 bus

substitusi ke persamaan aliran daya p,q corrective force

Besaran

∂q 2 / ∂ψ 3

∂p 2 / ∂V2  ∂p 3 / ∂V2  ∂q 2 / ∂V2 

Awal

P2 P3 Q2

-2.5 2 0.8

ψ1 V1

0 1

ψ2 V2

0 1

ψ3 V3 p2 p3

0 1.1 0.0000 3E-15

q2

-1.2000

Iterasi ke-1

(tetapan)

(dugaan awal)

-0.0929 1.0962 0.0260 -2.7349 2.2399

∆p2

-2.5

∆p3

2

-0.2399

∆q2

2.0000 23.2000 -13.2000 0.0000 0.0577 0.0256 0.0000

Elemen matriks jacobian inversi

Koreksi atas dugaan awal

(tetapan)

1.1530 0.2349

Elemen matriks jacobian

Koreksi

∂p 2 / ∂ψ 3 ∂p 3 / ∂ψ 3

-13.2000 0.0000 29.7000 0.0000 0.0000 20.8000 0.0256 0.0000 0.0451 0.0000 0.0000 0.0481

-0.3530 25.2812 -14.3669 -2.4950 -14.3669 30.8614 1.5668 -2.7349 1.7175 25.1673 0.0542 0.0250 0.0038 0.0250 0.0441 -0.0003 0.0042 -0.0003 0.0402

ψ2

-0.0929

0.0054

ψ3 V2

0.0260 0.0962

-0.0046 -0.0131


17/20

Darpublic Sistem 3 bus

substitusi ke persamaan aliran daya corrective force

www.darpublic.com Besaran P2 P3 Q2 ψ1 V1 ψ2 V2 ψ3 V3 p2 p3 q2 ∆p2 ∆p3 ∆q2

Elemen matriks jacobian Elemen matriks jacobian inversi

Koreksi

ψ2 ψ3 V2 P1 Q1 Q3 P12 Q12 P13 Q13 P31 Q31 P32 Q32 P21 Q21 P23 Q23

Iterasi ke-2 -2.5 2 (tetapan) 0.8 0 1 -0.0876 (Koreksi atas 1.0830 iterasi ke-1) 0.0214

Iterasi ke-3

-0.0874 1.0828 0.0217

(Koreksi atas iterasi ke-2)

-2.5023 -2.5000 1.9963 1.9998 0.8049 0.8000 0.0023 0.0000 0.0037 0.0002 -0.0049 0.0000 24.9999 -14.2111 -2.3105 -14.2111 30.7073 1.4359 -2.5023 1.5551 24.5698 Proses iterasi dihentikan; 0.0546 0.0251 0.0037 nilai p2, p3, dan q2 sudah 0.0251 0.0442 -0.0002 dapat dianggap sama 0.0040 -0.0002 0.0411 dengan nilai tetapan yang 0.0002 diberikan yaitu 0.0002 P2 = −2,5 P3 = 2 Q2 = 0,8 -0.0002 0.5876 -2.2832 1.9653 -0.9448 0.7870 0.3573 1.4961 -0.3573 Dihitung setelah iterasi terakhir sesuai dengan persamaan aliran daya. -1.6539 -1.5552 -0.3115 -0.9448 0.9382 -1.5552 -0.1382

Profil Tegangan Sistem. Pada iterasi terakhir kita perloeh profil tegangan sistem tiga bus ini yaitu V1 = 1 pu;

ψ1 = 0 o

V 2 = 1,08 pu ψ 2 = −0,0876 rad = −5,0 o V3 = 1,1 pu

ψ 3 = 0,0214 rad = 1,24 o

Diagram fasor tegangan di tiga bus tersebut kurang lebih adalah:


18/20

Darpublic

www.darpublic.com

V3 V2

V1

Aliran Daya Antar Bus. Kita akan melihat bagaimana aliran daya antar bus di saluran transmisi. Aliran daya ini kita hitung menggunakan relasi

(

S ij = Vi × I ij∗ = Vi Yij (Vi − V j )

)∗ = Vi Yij∗Vi ∗ − Vi Yij∗V j∗

⇒ Pij = Yij Vi 2 cos(−θ ij ) − Vi Yij V j cos(ψ 1 − θ ij − ψ j ) ⇒ Qij = Yij Vi 2 sin( −θ ij ) − Vi Yij V j sin(ψ 1 − θ ij − ψ j ) yang tidak lain adalah bentuk awal dari persamaan aliran daya sebelum cara penulisannya diubah untuk memperoleh bentuk pernyataan yang lebih terstruktur. Hasil perhitungan tercantum dalam bagian tabel yang diberi batas garis tebal. Dari bagian tabel tersebut kita peroleh daya kompleks antar bus dan daya kompleks di setiap bus. Bus-1: S12 = −0,945 + j 0,787 pu S13 = 0,357 + j1,496 pu ⇒ S1 = −0,588 + j 2,283 pu Bus-3: S 31 = −0,357 − j1,654 pu S 32 = −1,555 − j 0.311 pu ⇒ S 3 = − j1,912 − j1,965 pu Bus-2: S 21 = −0,945 + j 0.938 pu S 23 = −1,555 − j 0,138 pu ⇒ S 2 = −2,500 + j 0,800 pu Antara bus-1 dan bus-3 aliran daya hanya terjadi dari bus-3 ke bus-1; daya di bus-3 S 31 = −0,357 − j1,654 sedangkan daya di bus-1 S13 = 0,357 + j1,496 . Daya nyata yang dikirim oleh bus-3 tepat sama dengan daya nyata yang diterima bus-1; hal ini terjadi karena saluran transmisi merupakan lossless line. Perbedaan antara daya reaktif yang dikirim bus-3 dan yang diterima bus-1 adalah daya reaktif yang terserap di saluran yaitu sebesar j 0,158 pu . Aliran daya di bus-2 dari arah bus-1 adalah S 21 = −0,945 + j 0.938 sedang dari arah bus-3 S 23 = −1,555 − j 0,138 dengan jumlah yang sesuai yang ditetapkan yaitu S 2 = −2.500 + j 0.800 . Penyerapan daya reaktif di saluran antara bus-1 dan bus-2 adalah j 0,151 pu sedangkan antara bus-3 dan bus-2 j 0,499 pu .

Bus-Generator.Kita perhatikan sekarang dua bus-generator pada sistem ini yaitu bus-1 dan bus-3. Seperti kita pelajari di bab sebelumnya, mesin sinkron memiliki batas-batas maksimum dan minimum dalam mencatu daya reaktif agar tidak over-excited ataupun under-excited. Oleh karena itu pada setiap langkah iterasi perlu dicermati apakah batas-batas tersebut tidak dilampaui.Jika pada suatu tahap iterasi batas tersebut dicapai, maka batas tersebut dijadikan besaran tetapan untuk dipakai dalam melakukan iterasi selanjutnya.


19/20

Darpublic

www.darpublic.com

Persamaan aliran daya di bus generator adalah  n  PGi − PBi = Vi  V j Yij cos(ψ i − ψ j − θ ij )  dan    j =1 

∑

 n  QGi − Q Bi = Vi  V j Yij sin(ψ i − ψ j − θ ij )     j =1 

∑

atau PGi − PBi = Pi

dan QGi − Q Bi = Qi

Dengan demikian maka

PG1 = P1 + PB1 = −0,588 + 2 = 1,412 pu QG1 = Q1 + Q B1 = 2,283 + 0 = 2,283 pu ⇒ S G1 = 1,412 + j 2,283 = 2,684∠58,3 o pu dan PG 3 = P3 + PB 3 = −1,912 + 0 = −1,912 pu QG 3 = Q3 + Q B3 = −1,965 + 0 = −1,965 pu ⇒ S G 3 = 2,742∠45,8 o pu Karena daya basis adalah 100 MVA, maka S G1 = 2684 MVA

dan

S G 3 = 2742 MVA

Ternyata SG1 masih dalam batas kapasitas G1 yaitu 300 MVA; akan tetapi SG3 melebihi kapasitas generator G3 yang 250 MVA. Kita dapat menurunkan pasokan daya nyata oleh G3; pasokan daya ini ditetapkan PG 3 = 2 pu pada awal iterasi. Jika tetapan ini kita kurangi dengan diimbangi tambahan daya nyata dari G1 agar kebutuhan daya di seluruh sistem terpenuhi, maka hasil iterasi ulang dari awal (tidak disajikan dalam tabel) memberikan: profil tegangan V1 = 1 pu; ψ1 = 0 o V 2 = 1,083 pu ψ 2 = −0,0977 rad = −5,60 o V3 = 1,1 pu

ψ 3 = 0,0035 rad = 0,21o

daya di setiap bus S1 = −0.9978 + j 2.2772 pu S 2 = −2.5000 + j 0.8000 pu S 3 = −1.5022 − j1.9491 pu daya generator:

S G1 = 1,0022 − j 2,2772 = 2,488∠ − 66,25 o pu S G 3 = − 1,5022 − j1,9491 = 2,461∠52,38 pu


20/20

Analisis Aliran Daya

Recommend Documents