Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Publication date 1997 Szerzői jog © 1997 dr. Korpás Attiláné, Sándorné dr. Kriszt Éva, Varga Edit, Veitzné Kenyeres Erika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Dr. Korpás Attiláné- főiskolai docens Sándorné Dr. Kriszt Éva - főiskolai docens (9. és 10. fejezet) Varga Edit - főiskolai adjunktus (11. fejezet) Veitzné Kenyeres Erika - főiskolai tanársegéd (6., 7. és 8. fejezet) A gyakorlófeladatokat: Dr. Korpás Attiláné állította össze. Szakmai lektor: Dr. Csernyák László - egyetemi tanár, tanszékvezető, a matematikatudomány kandidátusa A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, illetve utánközlése a kiadó engedélye nélkül tilos!

Tartalom 6. Mintavétel ................................................................................................................................................................................................. 1 6.1. Alapfogalmak, jelölések .................................................................................................................................................................. 1 6.2. Véletlen mintavételi eljárások .......................................................................................................................................................... 5 6.2.1. Független, azonos eloszlású minta kiválasztása ................................................................................................................... 5 6.2.2. Egyszerű véletlen mintavétel ................................................................................................................................................ 5 6.2.3. Szisztematikus mintavétel .................................................................................................................................................... 6 6.2.4. Rétegzett mintavétel ............................................................................................................................................................ 6 6.2.5. Csoportos mintavétel ........................................................................................................................................................... 9 6.2.6. Többlépcsős mintavétel ...................................................................................................................................................... 10 6.2.7. Kombinált eljárások ............................................................................................................................................................ 10 6.3. Nem véletlen mintavételi eljárások ................................................................................................................................................ 11 6.4. A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai ...................................................................................................................................... 12 6.5. Gyakorlófeladatok ......................................................................................................................................................................... 19 7. Statisztikai becslések .............................................................................................................................................................................. 23 7.1. Alapfogalmak ................................................................................................................................................................................ 23 7.2. A becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények ........................................................................................................... 24 7.2.1. Torzítatlanság .................................................................................................................................................................... 24 7.2.2. Konzisztencia .................................................................................................................................................................... 27 7.2.3. Hatásosság ....................................................................................................................................................................... 27 7.2.4. Elégségesség .................................................................................................................................................................... 28 7.3. Intervallumbecslés ........................................................................................................................................................................ 28 7.3.1. A sokaság várható értékének becslése ............................................................................................................................... 28 7.3.2. A sokasági értékösszeg becslése ....................................................................................................................................... 41 7.3.3. A sokasági arány becslése ................................................................................................................................................ 43 7.3.4. A sokasági szórásnégyzet becslése ................................................................................................................................... 45 7.4. A konfidenciaintervallum meghatározása rétegzett mintavétel esetén .............................................................................................. 48 7.5. A minta elemszámának meghatározása ........................................................................................................................................ 57 7.6. Gyakorlófeladatok ....................................................................................................................................................................... 59 8. Hipotézisvizsgálat .................................................................................................................................................................................... 66 8.1. A hipotézisvizsgálat alapfogalmai .................................................................................................................................................. 66 8.2. A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák ................................................................................................................................. 74 8.3. A statisztikai hipotézisvizsgálat menete ......................................................................................................................................... 81 8.4. Egymintás statisztikai próbák ........................................................................................................................................................ 82 8.4.1. A várható értékkel kapcsolatos próbák ............................................................................................................................... 82 8.4.2. A sokasági szórásra vonatkozó próba ................................................................................................................................ 88 iii

Általános statisztika II 8.4.3. A sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcsolatos próba .......................................................................................... 89 8.5. Kétmintás statisztikai próbák ......................................................................................................................................................... 91 8.5.1. Két sokasági várható érték különbségének vizsgálata ......................................................................................................... 92 8.5.2. Két sokasági arányra (valószínűségre) vonatkozó próba ..................................................................................................... 96 8.5.3. Két sokasági szórás egyezőségére vonatkozó statisztikai próba .......................................................................................... 98 8.6. Egyéb hipotézisvizsgálatok .......................................................................................................................................................... 101 8.6.1. Illeszkedésvizsgálat .......................................................................................................................................................... 101 8.6.2. Függetlenségvizsgálat ...................................................................................................................................................... 106 8.6.3. Varianciaanalízis .............................................................................................................................................................. 110 8.7. Gyakorlófeladatok ....................................................................................................................................................................... 115 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás ........................................................................................................................................ 123 9.1. Kétváltozós korrelációszámítás .................................................................................................................................................... 123 9.1.1. A kovariancia ................................................................................................................................................................... 124 9.1.2. A lineáris korrelációs együttható ....................................................................................................................................... 130 9.1.3. A rangkorrelációs együttható ............................................................................................................................................ 138 9.2. Kétváltozós regressziószámítás ................................................................................................................................................... 144 9.2.1. Az elméleti regresszió ...................................................................................................................................................... 145 9.2.2. A tapasztalati regresszió .................................................................................................................................................. 146 9.2.3. A regressziófüggvény paramétereinek meghatározása ...................................................................................................... 152 9.2.4. A változók felcserélhetősége ............................................................................................................................................ 170 9.2.5. A rugalmassági együttható ............................................................................................................................................... 172 9.3. Statisztikai következtetések a kétváltozós lineáris regresszió alapján ............................................................................................ 175 9.3.1. A regressziós modell feltételrendszere .............................................................................................................................. 176 9.3.2. A regressziós becslés pontosságának mérése .................................................................................................................. 177 9.3.3. A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése ................................................................................................ 182 9.3.4. Regressziós becslések és prognózisok ............................................................................................................................. 183 9.3.5. A regressziófüggvény eredményeinek hipotézis-ellenőrzése ............................................................................................... 187 9.3.6. A reziduális változó vizsgálata .......................................................................................................................................... 193 9.3.7. A paraméterek robusztus becslése ................................................................................................................................... 195 9.4. Nemlineáris regresszió ................................................................................................................................................................ 198 9.5. Gyakorlófeladatok ....................................................................................................................................................................... 205 10. Többváltozós korreláció- és regressziószámítás .................................................................................................................................... 213 10.1. A lineáris regressziófüggvény meghatározása ............................................................................................................................ 213 10.1.1. A háromváltozós lineáris regressziófüggvény .................................................................................................................. 213 10.1.2. A legkisebb négyzetek módszere és tulajdonságai .......................................................................................................... 226 10.1.3. A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése .............................................................................................. 230 10.1.4. A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése ........................................................................................................... 232

iv

Általános statisztika II 10.1.5. A varianciaanalízis alkalmazása a többváltozós regressziószámításban ............................................................................ 234 10.2. Többváltozós korrelációszámítás ............................................................................................................................................... 236 10.2.1. Páronkénti korrelációs együttható ................................................................................................................................... 237 10.2.2. Parciális korrelációs együttható ....................................................................................................................................... 242 10.2.3. Többszörös korrelációs és determinációs együttható ....................................................................................................... 244 10.2.4. A multikollinearitás és mérése ........................................................................................................................................ 245 10.3. Néhány kiegészítés a regressziószámításhoz ............................................................................................................................ 249 10.3.1. Minőségi ismérvek kezelése a regressziós modellben ..................................................................................................... 249 10.3.2. A tényezőváltozók kiválasztása ....................................................................................................................................... 252 10.4. Gyakorlófeladatok ................................................................................................................................................................... 253 11. Az idősorok összetevőinek vizsgálata ................................................................................................................................................... 257 11.1. Az idősorok összetevői ............................................................................................................................................................. 257 11.1.1. Additív és multiplikatív komponensek .............................................................................................................................. 259 11.2. Trendszámítás .......................................................................................................................................................................... 261 11.2.1. Trendszámítás mozgóátlagolással .................................................................................................................................. 261 11.2.2. Analitikus trendszámítás ................................................................................................................................................. 267 11.3. A szezonalitás vizsgálata .......................................................................................................................................................... 292 11.3.1. Szezonális eltérések számítása ...................................................................................................................................... 292 11.3.2. Szezonindexek számítása .............................................................................................................................................. 295 11.4. Előrejelzés az eredmények alapján ........................................................................................................................................... 299 11.5. Gyakorlófeladatok ..................................................................................................................................................................... 300 A. Függelék ............................................................................................................................................................................................... 309 B. Tárgymutató .......................................................................................................................................................................................... 325

v

Az ábrák listája 6,1. A képviselők életkor szerinti megoszlásának hisztogramja ...................................................................................................................... 15 6,2. A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 30 elemű minta alapján .......................................................................................... 17 6,3. A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 100 elemű minta alapján ........................................................................................ 18 7,1. 7,2. 7,3. 7,4.

A és becslőfüggvény eloszlás .................................................................................................................................... A konfidenciaintervallum ábrázolása ...................................................................................................................................................... A konfidenciaintervallum elhelyezkedése a mintavétel többszöri végrehajtása esetén .............................................................................. A standard normális és a Student-féle t-eloszlás ...................................................................................................................................

28 31 33 35

7,5. A sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok esetén ........................................................................................................... 46 8,1. Az elfogadási és a kritikus tartomány lehetséges elhelyezkedés ............................................................................................................. 69 8,2. ábra a. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél .................................................................................. 70 8,2. ábra b. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél .................................................................................. 71 8,2. ábra c. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél .................................................................................. 72 8,3. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés .............................................................................................................................. 76 8,4. Az α és a β grafikus meghatározása különböző alternatívhipotézisek esetén ........................................................................................... 78 8,5. Az α és a β grafikus meghatározása különböző kritikus értékek esetén .................................................................................................. 80 8,6. Az F-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok esetén ..................................................................................................... 100 9,1. Pontdiagramok különböző korrelációs együtthatókkal ........................................................................................................................... 134 9,2. Rangszámpárok ábrázolása ................................................................................................................................................................ 139 9,3. A munkában töltött évek számának és a bruttó kereseteknek megfelelő pontok ..................................................................................... 150 9,4. A bruttó átlagkereset a munkában töltött évek számának függvényében a középfokú végzettségű nőknél ............................................... 151 9,5. Korrrelálatlanság ................................................................................................................................................................................. 152 9,6. Függvényszerű kapcsolat .................................................................................................................................................................... 152 9,7. A függvénytípus kiválasztását segítő grafikus ábrák ............................................................................................................................. 154 9,8. A legkisebb négyzetek módszere ........................................................................................................................................................ 155 9,9. A megfigyelt adatok és a különböző módon számolt regressziófüggvények ........................................................................................... 160 9,10. A szállítási távolság és a szállítás időtartamának pontdiagramja ......................................................................................................... 162 9,11. A koordináta-rendszer transzformációja ............................................................................................................................................. 164 9,12. A változók felcserélése ..................................................................................................................................................................... 172 9,13. A hibatényező eloszlásának vizsgálata .............................................................................................................................................. 194 9,14. A mérési hiba hatása a regressziófüggvényre .................................................................................................................................... 197 10,1. A regressziós együtthatók közötti összefüggések ............................................................................................................................... 224 10,2. Útdiagram ......................................................................................................................................................................................... 225 11,1. Az idősorok komponensei ................................................................................................................................................................. 259

vi

Általános statisztika II 11,2. 11,3. 11,4. 11,5. 11,6.

A háztartások gázfelhasználásának alakulása Nógrád megyében 1990 és 1994 között ........................................................................ A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád megyében ..................................................................................................... Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása .......................................................................................................................... A kiemelt üdülőövezet vendéglétszámának idősora és exponenciális trendje ....................................................................................... Az urántermelés parabolikus trendje ..................................................................................................................................................

vii

267 276 280 287 291

A táblázatok listája 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

A sokaság típusa, a mintavétel módja és a mintaelemek kapcsolata ........................................................................................................ 3 30 elemű minták mintaátlagainak megoszlása ....................................................................................................................................... 15 A 100 elemű minták átlagai .................................................................................................................................................................. 16 100 elemű minták mintaátlagainak megoszlása ..................................................................................................................................... 16 A mintába került üvegek nettó töltési tömeg szerinti megoszlása ............................................................................................................ 39 A mintába került kávécsomagok megoszlása ......................................................................................................................................... 47 A rétegzett mintából történő becslés jelölésrendszere ............................................................................................................................ 49 A számításhoz szükséges adatok ......................................................................................................................................................... 53 A sokaság és a minta elemszámának megoszlása ................................................................................................................................ 54 1000 elemű minta adatai ...................................................................................................................................................................... 55 A hipotézisvizsgálat során hozott döntések és bekövetkezésük valószínűsége ........................................................................................ 74 A másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége különböző ellenhipotézisek esetén ................................................................................. 77 Az z-próba elfogadási tartományának határai szignifikanciaszint mellett .................................................................................................. 83 A t-próba elfogadási tartományának határai α szignifikanciaszint mellett ................................................................................................. 86

8.5. A elfogadási tartományának határai α szignifikanciaszint mellett .................................................................................................. 88 8.6. Két mintát igénylő próbák esetén alkalmazott jelölések .......................................................................................................................... 92 8.7. A 10 elemű minta mérési eredményei ................................................................................................................................................... 95 8.8. Az F-próba elfogadási tartományai α szignifikanciaszint mellett ............................................................................................................. 100 8.9. A minta valamilyen ismérv szerinti megoszlása .................................................................................................................................... 102 8.10. A kiválasztott vendégek kiszolgálási idő szerinti megoszlása .............................................................................................................. 104 8.11. A próbafüggvény számított értékének meghatározására szolgáló munkatábla ................................................................................. 105 8.12. A megkérdezett személyek nemhez való tartozás és beosztás szerinti megoszlása ............................................................................. 108 8.13. Munkatábla a próbafüggvény aktuális értékének meghatározásához .............................................................................................. 109 8.14. Varianciaanalízis-tábla sémája ........................................................................................................................................................... 113 8.15. Az egyes dolgozók teljesítményadatai ............................................................................................................................................... 114 9.1. Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött kötetek szerint ............................................................................................... 126 9.2. Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött kötetek szerint ............................................................................................... 127 9.4. Munkatábla a lineáris korrelációs együttható kiszámításához ................................................................................................................ 137 9.5. A versenyen elért helyezések ............................................................................................................................................................. 138 9.6. Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához ..................................................................................................................... 143 9.7. Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához ..................................................................................................................... 143 9.8. A hallgatók létszámmegoszlása ........................................................................................................................................................... 147 9.9. A hallgatók matematika- és statisztika-vizsgaeredményei közötti kapcsolat tapasztalati regressziófüggvénye ........................................... 148

viii

Általános statisztika II 9.11. A munkában töltött évek száma és a havi átlagkereset tapasztalati regressziófüggvénye a középfokú végzettségű nőknél ...................... 150 9.12. Munkatábla az analitikus regressziófüggvény meghatározásához ........................................................................................................ 158 9.13. Munkatábla a normálegyenletekkel történő megoldáshoz .................................................................................................................... 162 9.14. Munkatábla a transzformált normálegyenletekkel történő megoldáshoz ............................................................................................... 166 9.15. A maradék-négyzetösszeg kiszámításának táblázata .......................................................................................................................... 179 9.16. Varianciaanalízis-tábla ....................................................................................................................................................................... 191 9.17. Varianciaanalízis-tábla ....................................................................................................................................................................... 192 9.18. Eredménytábla a szállítási távolság és a szállítási idő közötti összefüggés vizsgálatához ..................................................................... 194 9.19. A feljegyzett adatok táblázata ............................................................................................................................................................ 196 9.20. Munkatábla a reziduumok számítására .............................................................................................................................................. 197 9.21. A megmaradó adatok táblázata a ...................................................................................................................................................... 197 9.22. Munkatábla a hatványkitevős regressziófüggvény meghatározásához ................................................................................................. 201 9.23. A tokaji aszú életkora és eladási ára közötti összefüggés ................................................................................................................... 203 9.24. Munkatábla az exponenciális regressziófüggvény meghatározásához ................................................................................................. 204 10.1. A szállítási idő vizsgálatára vonatkozó adatok .................................................................................................................................... 219 10.2. Számítások a transzformált változók alapján ...................................................................................................................................... 219 10.3. A maradéktag négyzetösszegének kiszámítása .................................................................................................................................. 228 10.4. Az eddigi részeredmények ................................................................................................................................................................ 231 10.5. A regressziófüggvény paramétereinek ellenőrzéséhez szükséges részeredmények .............................................................................. 233 10.6. A varianciaanalízis-tábla többváltozós regressziószámítás esetén ....................................................................................................... 234 10.7. A varianciaanalízis-tábla .................................................................................................................................................................... 235 10.8. A 20 elemű minta adatai ................................................................................................................................................................... 240 10.9. Az

felbontása ............................................................................................................................................................................ 247

10.10. Az

felbontása .......................................................................................................................................................................... 247

11.1. Háromtagú mozgóátlagok számítása (

) ....................................................................................................................................... 262

11.2. Négytagú mozgóátlagok számítása ( ) ......................................................................................................................................... 263 11.3. A háztartások számára értékesített gázmennyiség Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban ............................... 264 11.4. A mozgóátlagolású trendszámítás munkatáblája ( ) ...................................................................................................................... 11.5. A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád megyében ..................................................................................................... 11.6. Munkatábla a paraméterek meghatározásához .................................................................................................................................. 11.7. Munkatábla a paraméterek meghatározásához .................................................................................................................................. 11.8. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg kiszámítása ........................................................................................ 11.9. Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása Nógrád megyében 1991 és 1994 között (ezer fő) .................................................. 11.10. Munkatábla az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulását kifejező lineáris trendfüggvény kiszámításához ................................. 11.11. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg kiszámításának munkatáblája ............................................................

ix

265 271 271 273 274 276 277 281

Általános statisztika II 11.12. Egy kiemelt üdülőövezet vendégeinek létszáma 1982 és 1992 között ................................................................................................ 11.13. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg számítása ........................................................................................ 11.14. A trendtől való eltérések összehasonlítása ....................................................................................................................................... 11.15. Az urántermelés alakulása Magyarországon .................................................................................................................................... 11.16. Az egyedi szezonális eltérések számítási táblázata .......................................................................................................................... 11.17. Egy márkakereskedő személygépkocsi-értékesítésének adatai ......................................................................................................... 11.18. Munkatábla az egyedi szezonindexek kiszámításához ...................................................................................................................... 11.19. A személygépkocsi-értékesítés szezonalitását jellemző szezonindexek ............................................................................................. 11.20. A trend és a szezonhatás előrejezése ............................................................................................................................................. 1. A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének táblázata .............................................................................. 1. A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének táblázata (folytatás) ...............................................................

284 286 287 290 293 296 297 300 300 309 310

2. A

-eloszlás táblázata .......................................................................................................................................................................... 311

2. A

-eloszlás táblázata (folytatás) .......................................................................................................................................................... 313

3. AzF-eloszlás táblázata

.............................................................................................................................................................. 314

3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás)

.............................................................................................................................................. 316

3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás)

............................................................................................................................................ 317

3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás)

............................................................................................................................................ 319

3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás)

.............................................................................................................................................. 320

3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) .............................................................................................................................................. 322 4. A Student-féle t-eloszlás táblázata ......................................................................................................................................................... 323

x

6. fejezet - Mintavétel 6.1. Alapfogalmak, jelölések Tankönyvünk első kötetében a megfigyelt statisztikai sokaság elemzésére szolgáló különböző eszközökkel, mutatószámokkal ismerkedtünk meg. A sokaságot ismertnek feltételezve, figyelmünket csak arra fordítottuk, hogyan lehet annak összetételét, változását, törvényszerűségeit megvizsgálni. Nem tértünk ki részletesen arra, hogy az alapadatokhoz teljes körű vagy részleges felvétellel jutottunk. Utólag azt mondhatjuk, hogy az eddigiek során megfigyelésünk a sokaság minden elemére kiterjedt, tehát elemzéseink a sokaság teljes körű megfigyelésén alapultak. Ebben a kötetben olyan módszerekkel ismerkedünk meg, amelyekhez nem szükséges a sokaság minden egyes elemének megfigyelése, mivel erre gyakran nincs is lehetőségünk. A társadalmi-gazdasági statisztikában azonban az adatokhoz való hozzájutás gyakori formája a részleges adatgyűjtés, melynek egyik módja a reprezentatív megfigyelés. Reprezentatív megfigyelésre vagy más néven mintavételes megfigyelésre van szükség pl. a lakosság életkörülményeivel kapcsolatos kérdések (jövedelem, fogyasztási szokások stb.) megválaszolásához, a tömegtermelés minőség-ellenőrzési eljárásaihoz vagy a közvélemény-kutatásokhoz. Ily módon becsüljük pl. a várható termés mennyiségét a mezőgazdaságban vagy a kisvállalkozások tevékenységének eredményeit is. (Ilyen jellegű kérdésekkel már a Valószínűségszámítás c. tárgyban is foglalkoztunk.) A reprezentatív megfigyelés, röviden szólva a mintavétel célja, hogy valamely sokaság egy részének megfigyelése révén következtetéseket tudjunk levonni a sokaság egészére, annak jellemzőire, összetételére vonatkozóan. Azt a sokaságot, amelyre a mintavétel segítségével következtetni szeretnénk, alapsokaságnak, az alapsokaság azon részét, amely alapján a következtetéseket levonjuk, mintasokaságnak nevezzük. A továbbiakban az alapsokaságot röviden sokaságnak, a mintasokaságot pedig mintának fogjuk nevezni. Tekintsük át először a sokaság megadásának módjait és a legfontosabb sokasági jellemzőket. A sokaság elemszáma lehet véges vagy végtelen. Legyen Xa sokaság egy ismérve. Ha a sokaságból véletlenszerűen kiemelünk egy egyedet, ennek ismérvértéke a véletlentől függ, ezért valószínűségi változó, ezt a véletlentől függő ismérvértéket jelölje

Ekkor

eloszlásfüggvénye

Véges sokaság esetén az egyedeket, illetve azok ismérvértékeit nagyság szerint sorba rendezhetjük. Az ismérvértékek legyenek

(N az egyedek száma). Ekkor 1

Mintavétel

A

várható értéke, vagy másképpen a sokaság ismérvértékének várható értéke véges sokaság esetén – mint ismeretes – az átlaggal egyenlő:

szórásnégyzete

Végtelen elemszámú sokaság esetén két esetet különböztetünk meg. Ha

diszkrét valószínűségi változó, ami azt jelenti, hogy az ismérvértékek

véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak, akkor az F eloszlásfüggvény szintén egy „lépcsősfüggvény” (az intervallumban állandó), várható értéke

Ha

folytonos és létezik a sűrűségfüggvénye, akkor a várható értéke

(ha ez az improprius integrál is létezik). A szórásnégyzetet a szokásos módon kapjuk:

(A jobb oldalon szereplő várható értékeknek is létezniük kell.) 2

Mintavétel A gyakorlatban a mintavétel általában véges sokaságból történik. Ugyanakkor a nagy elemszámú sokaságokat tekinthetjük végtelennek, így a végtelen elemszámú sokaságra kidolgozott eszközök jól használhatók ezen sokaságok esetén is. Ezek után tekintsük át a mintával kapcsolatos alapfogalmakat. A minta elemszáma, tekintet nélkül arra, hogy véges vagy végtelen sokaságból származik, mindig véges. Elemszámát n-nel jelöljük. Az egyes mintaelemek valószínűségi változók, értékük mintáról mintára változhat. Ezeket célszerű -nel jelölni. A minta elemei csak addig tekinthetők változóknak, míg a mintavétel nem történt meg, a minta elemeinek kiválasztása után konkrét számértékek lesznek:

A mintából különböző mintajellemzők (átlag, szórás, értékösszeg, arány stb.) számíthatók. Miután a minta elemei valószínűségi változók, az ezekből számított mintajellemzők is valószínűségi változók lesznek, értékük mintáról mintára változhat attól függően, hogy mely sokasági elemek kerültek a mintába. Ez a mintajellemzőknek nagyon fontos tulajdonsága. A véges elemszámú sokaságból történő mintavételnél alapvető fontosságú, hogy rendelkezésre álljon egy ún. mintavételi keret, amely egyenként tartalmazza a vizsgálni kívánt sokaság elemeit, mégpedig mindegyiket, és mindegyiket csak egyszer. Egy ilyen teljes keret biztosítása sokszor nem könnyű feladat, mert vannak olyan sokaságok, amelyeknél az elemek száma és összetétele napról napra változik, s bármilyen jó is a megszűnő és az újonnan létrejövő egységek nyilvántartása, ez szükségszerűen különbözik a mintavételi keret összeállításakor létező sokaságtól. (Ilyen nehézség léphet fel a mintavételi keret összeállításánál, ha a sokaságot pl. Magyarország népessége vagy a Magyarországon működő kisvállalkozások stb. képezik.) A mintavétel tervezése, a mintavételi eljárás megválasztása során két egymásnak ellentmondó követelményt kell figyelembe vennünk. Az egyik követelmény a pontosság, a másik az olcsóság. Mivel az egyik követelmény előtérbe helyezése a másik háttérbe szorulását jelenti, lényeges a mintavétel tervezése során az elvárt célok és a lehetséges eszközök pontos megfogalmazása, számbavétele. Az, hogy ezen követelményeket mennyire vesszük figyelembe a mintavétel tervezése során, lényegesen befolyásolja a mintaelemek kiválasztási eljárását. A következőkben a mintaelemek kiválasztási módjait tekintjük át. A mintaelemek kiválasztása visszatevéssel vagy visszatevés nélkül történhet. Végtelen (vagy végtelennek tekintett) elemszámú sokaságból akár visszatevéssel, akár visszatevés nélkül választjuk ki a minta elemeit, azok mint valószínűségi változók minden esetben függetlenek lesznek egymástól. Véges sokaság esetén csak a visszatevéses mintavétel eredményez független mintaelemeket. A mintaelemek ezen tulajdonságára a későbbiek során még visszatérünk. Az elmondottakat a 6.1. táblázatban foglaltuk össze.

6.1. táblázat - A sokaság típusa, a mintavétel módja és a mintaelemek kapcsolata A sokaság elemszáma

A mintavétel módja

végtelen

visszatevéses

A mintaelemek

3

Mintavétel visszatevés nélküli véges

függetlenek

visszatevéses visszatevés nélküli

nem függetlenek

Az elmondottak alapján különbséget teszünk független mintavételi eljárások és nem független mintavételi eljárások között. Véges sokaság esetén a minta fontos jellemzője a kiválasztási arány, amely azt mutatja meg, hogy a sokaság elemeinek mekkora hányada kerül a mintába. Adott N mellett annál nagyobb valószínűséggel lehet a mintából a sokaságra következtetni, minél nagyobb a kiválasztási arány. Az n-nek, a minta elemszámának azonban nagyobb jelentősége van a kiválasztási aránynál, mert ez határozza meg a mintából való következtetésnél használható módszereket. A mintavétel során és a mintából történő következtetésnél meg kell különböztetnünk a kis és a nagy minta fogalmát. Ennek jelentőségét az adja, hogy a mintából számított jellemzők nagy részének (pl. mintaátlag, mintabeli arány) eloszlása nagy minta esetén közelítőleg normális eloszlásúvá válik, ennélfogva kezelésük egyszerűsödik. (Ezen megállapításra a későbbiek során még visszatérünk.) Felvetődik a kérdés, hogy mi tekinthető kis, illetve nagy mintának. Azt mondhatjuk, hogy már nagy mintának tekinthető, azaz egyes mintajellemzők eloszlásfüggvényei ezen mintaelemszám fölött már közelítőleg normális eloszlásúvá válnak. A mintanagysághoz szorosan kapcsolódik a mintavételi hiba fogalma. A mintavételi hiba abból adódik, hogy a sokaság egy részéből következtetünk az egészre. Meghatározásának módszerei matematikailag kidolgozottak. Nagysága, illetve annak valószínűsége – a sokaság jellege, az alkalmazott mintavételi eljárás és a mutató fajtája mellett – alapvetően a mintanagyságtól függ, hiszen a mintanagyság növelésével a sokaság egyre nagyobb részét vizsgáljuk meg, s így egyre kisebbé válik a mintavételből eredő nagy hiba valószínűsége. A mintaelemek kiválasztása során elkövethetünk ún. nem mintavételi hibát is, amely több forrásból adódhat: többek között a sokaságot nem tökéletesen fedi le a mintavételi keret (pl. ilyen fordulhat elő, ha a megfigyelt sokaság a Magyarországon működő kisvállalkozások), nem sikerül a megfigyeléseket a terv szerint végrehajtani, válaszmegtagadás vagy egyéb okok miatt hiányoznak adatok. Hiba adódhat abból is, hogy a kérdésekre kapott válaszok nem egészen pontosak (tudatosan vagy önhibáján kívül téves adatot szolgáltat a válaszadó), vagy hibákat követhetnek el a kódolás, táblázás stb. során. Az ilyen típusú hibák nagyságát nehéz meghatározni. Vizsgálatuknak, feltárásuknak elsődlegesen az a célja, hogy a mintavétel tervezésének és végrehajtásának különböző fázisaiban hatásukat csökkenteni lehessen. Egy mintából csak akkor lehet számítható megbízhatóságú következtetéseket levonni a sokaságra vonatkozóan, ha a minta elemeit nem önkényesen, hanem véletlenszerűen választjuk ki. A véletlenszerűség nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sokaság minden egyes elemének egyenlő esélye van a mintába történő kerülésre, hanem csak azt jelenti, hogy minden elemhez egy előre meghatározott ismert valószínűség tartozik, és biztosítjuk, hogy ezzel a valószínűséggel kerüljön be a mintába az adott elem, továbbá azt, hogy a mintaelemek kiválasztási eljárásának előre meghatározottnak és egyértelműnek kell lennie. 4

Mintavétel Ha a minta elemeit véletlenszerűen választjuk ki a sokaságból, véletlen (vagy valószínűségi) mintát kapunk. Attól függően, hogy a mintavétel során biztosítjuk-e a véletlenszerűséget vagy sem, különböző mintavételi eljárásokról beszélhetünk.

6.2. Véletlen mintavételi eljárások 6.2.1. Független, azonos eloszlású minta kiválasztása Független, azonos eloszlású mintát akkor kapunk, ha homogén és végtelen (vagy nagyon nagy) sokaságból veszünk véletlen (visszatevéses vagy visszatevés nélküli) mintát, illetve amikor véges sokaságból visszatevéssel választjuk ki a minta elemeit. Tehát független mintát veszünk. Ilyenkor a minta elemei

független (vagy függetlennek tekinthető), azonos eloszlású valószínűségi változók lesznek.

Ugyanis az i-edik mintaelem

ismérvértékére nyilvánvalóan igaz, hogy

valószínűségi változók eloszlása a

tehát az egyes mintaelemek mint

ismérvérték sokaságbeli eloszlásával azonos.

Alkalmazása elsősorban a tömegtermelés minőség-ellenőrzésénél célszerű. Például azonos eloszlású, független mintához jutunk, ha az 1 kg-os liszt töltési tömegének ellenőrzéséhez mintát veszünk. Ekkor a sokaság végtelennek tekinthető, így a minta elemei minden esetben függetlenek lesznek. A gyakorlatban azonban nem túl gyakran jutunk független, azonos eloszlású mintához, mivel a valóságban ritkán áll rendelkezésünkre végtelen vagy végtelennek tekinthető sokaság, vagy véges sokaság esetén nem minden esetben van lehetőség a mintaelemek megvizsgálása után a sokaságba történő visszatevésre (pl. egy adott cégtől vásárolt gumiabroncsok elhasználódásának minőségi vizsgálatakor). Ennek ellenére ez a mintavételi eljárás későbbi vizsgálataink során kiemelt szerepet kap, mert matematikailag rendkívül könnyen kezelhető, és ezen a mintatípuson keresztül lehet a legkönnyebben megmutatni a sokasági és a mintajellemzők kapcsolatát.

6.2.2. Egyszerű véletlen mintavétel Egyszerű véletlen mintavételt hajtunk végre homogén, véges elemszámú sokaság esetén, amikor a mintát visszatevés nélkül választjuk ki, elemenként egyenlő valószínűséggel. (Ezt az esetet a valószínűségszámításban is vizsgáltuk.) A végrehajtásához egy, a mintavételi keret minden elemét, de mindegyiket csak egyszer tartalmazó komplex lista szükséges. Ezen listából a mintaelemek kiválasztása történhet sorsolással, ún. véletlenszám-táblázattal, illetve számítógépes véletlenszám-generálással. A visszatevés nélküliség követelményét a sorsolásnál oly módon biztosíthatjuk, hogy a kihúzott cédulákat nem tesszük vissza az urnába, míg a véletlenszámtáblázatnál, illetve a számítógépes véletlenszám-generálásnál az ismételten előforduló sorszámot átugorjuk, és haladunk tovább a táblázatban, illetve a számítógép által előállított listában. 5

Mintavétel

Az egyszerű véletlen mintavétel során különböző összetételű mintát kaphatunk. Minden n elemű minta előfordulásának a valószínűsége ugyanakkora. Természetesen a mintavétel végrehajtása után csak egyetlenegy mintánk lesz, s ebből következtetünk a sokaság jellemzőire. A gyakorlatban a sokaságok ritkán homogének, ezért az egyszerű véletlen mintavétel tiszta alkalmazása sem fordul elő gyakran, de ugyanakkor kiindulópontként szolgál a bonyolultabb eljárásokhoz.

6.2.3. Szisztematikus mintavétel A gyakorlatban a véletlen kiválasztást a szisztematikus mintavétellel lehet legegyszerűbben megvalósítani. Az eljárás lényege a következő: egy n elemű mintát kívánunk venni egy N elemű sokaságból. Ehhez először a sokaságot valamely szempont szerint sorba rendezzük – általában eleve adott egy sorrend –, majd meghatározzuk a kiválasztjuk a

számértéket, ahol

a szám egész részét jelenti. Az első k elem közül egyenlő valószínűséggel

kiindulópontot, s ezután szisztematikusan az erre következő minden k-adik elem kerül be a mintába.

A szisztematikus mintavétel végrehajtása rendkívül egyszerű, nem igényel szakismeretet, ellenőrzése is könnyű. Ezen mintavételi eljárás azonban csak akkor eredményez véletlen mintát, ha a listaképző ismérv és a megfigyelt ismérv között nincs sztochasztikus kapcsolat. Súlyos torzítást okozhat az is, ha a lista rejtett trendet vagy periodicitást tartalmaz. Tekintsük a következő példát. Valamely főiskola hallgatóinak – akikről rendelkezésre áll egy ábécé szerinti lista – a tandíjfizetéssel kapcsolatos véleményére vagyunk kíváncsiak. Ekkor a szisztematikus mintavétel nagy valószínűséggel véletlen mintát fog eredményezni, hiszen nagyon valószínű, hogy a hallgató nevének kezdőbetűje és a tandíj fizetéséről alkotott véleménye között nincs sztochasztikus kapcsolat. Ebben az esetben a szisztematikus kiválasztás egyszerűsíti a munkát.

6.2.4. Rétegzett mintavétel Minden mintavételnél felmerül az a kérdés, hogyan lehet a mintaelemek kiválasztását úgy végrehajtani, hogy az meghatározott mintanagyság mellett minél jobban reprezentálja a vizsgálni kívánt sokaságot. Célszerű továbbá olyan becslési eljárásokat alkalmazni, amelyek minél kisebb hibával becsülik az ismeretlen sokasági jellemzőt. A leggyakrabban alkalmazott ilyen eljárás az ún. rétegzett mintavétel. A rétegzett mintavétel során a vizsgált ismérv szempontjából heterogén sokaságot több homogén (minél kisebb szórású) részsokaságra (rétegekre) bontjuk úgy, hogy a csoportok kiadják a teljes sokaságot, továbbá egyetlen sokasági elem se tartozzon két vagy több csoportba. Az egyes rétegeken belül a minta elemeinek a kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történik. A rétegzett mintavétel eredményeként egyrészt jobb keresztmetszetet kapunk a vizsgált sokaság összetételéről, másrészt az egyes rétegek nagyobb homogenitása miatt ezeken belüli kisebb mintákból is megfelelő pontosságú következtetést vonhatunk le. Ilyen módon az eredetileg heterogén 6

Mintavétel sokaságra ugyanakkora minta esetén pontosabb következtetést tudunk levonni rétegzett mintából, mint ha egyszerű véletlen mintavételt alkalmaztunk volna. A rétegzés nem csupán pontosságnövelő hatása miatt elterjedt mintavételi eljárás. A rétegzett kiválasztást arra is felhasználhatjuk, hogy az egyes rétegek sokasági jellemzőire megbízható becslést adjunk. Pl. az egyik kisvárosunkban a háztartások jövedelemviszonyait szeretnénk megvizsgálni. Ehhez a város háztartásait a gyermekszám alapján rétegekbe soroljuk. A mintavétel végrehajtása után lehetőség van egyrészt a kisvárosban lévő háztartások egy főre jutó jövedelmének, másrészt az egyes rétegek – tehát a gyermektelen, az 1 gyermekes, a 2 gyermekes stb. háztartások – esetén az egy főre jutó jövedelemnek a becslésére. Rétegzett mintavételt alkalmaz többek között a Központi Statisztikai Hivatal – negyedéves rendszerességgel – az 50 vagy kevesebb főt foglalkoztató iparba és a kivitelező építőiparba sorolt kisszervezetek reprezentatív megfigyelésére. (Az 50 főt meghaladó létszámú szervezetek megfigyelése teljes körű és folyamatos.) A rétegzés során több szempontot is figyelembe vettek: jogi személyiségű-e a gazdasági társaság; a jogi személyiségű társaságokon belül 21 és 50 fő közötti vagy 21 fő alatti létszámkategóriába tartozik-e; budapesti vagy vidéki székhelyű-e, illetve azt, hogy mikor 1 alakult meg a gazdasági társaság. Ezen szempontok alapján a feldolgozóiparban 16, a kivitelező építőiparban 12 réteget alakítottak ki a vizsgálat végrehajtásához. A továbbiak megértéséhez néhány újabb jelölés bevezetésére van szükség. A sokaság rétegeinek számát M-mel jelöljük, az egyes rétegeken belül a sokaság elemszáma pedig:

ekkor:

Rétegenként

elemű mintákat veszünk, és a mintákra igaz, hogy

Felvetődik a kérdés, hogy hogyan osszuk el a minta elemeit az egyes rétegek között. A mintaelemek szétosztása történhet arányos elosztással, illetve nem arányos elosztással. 1

A módszer részletes leírása Dr. Telegdi László: Az ipari és építőipari kisszervezetek reprezentatív megfigyelése (Statisztikai Szemle 1993. március) c. tanulmányában olvasható.

7

Mintavétel a) Az arányos elosztás lényege, hogy a mintában a sokasági rétegarányoknak megfelelően választjuk meg a minta elemszámát, tehát adott réteg aránya a mintában és a sokaságban megegyezik, azaz

Ezt a kedvező tulajdonságot a későbbi számításoknál fogjuk felhasználni. A j-edik réteg mintaelemszámát ekkor a következő összefüggéssel állapíthatjuk meg:

b) A nem arányos elosztás során a mintában a rétegarányok nem egyeznek meg a sokaságbeli arányokkal. Tehát

A következőkben – a nem arányos elosztáshoz tartozó – néhány, a statisztikai gyakorlatban legtöbbször előforduló eljárást mutatunk be. – Egyenletes elosztás során minden egyes rétegbe azonos számú mintaelem kerül. Így a j-edik réteg mintaelemszáma lesz. Előnyös tulajdonsága, hogy egyszerű, semmilyen tervezési előkészítést nem igényel, végrehajtása kényelmes. Hátránya pedig, hogy az egyes rétegek nagyságát, szórását stb. nem veszi figyelembe a szükséges mintaelemszám meghatározásához. Így nagyfokú torzítást okozhat. – A Neyman-féle optimális elosztás végrehajtásához szükséges, hogy előre ismerjük (vagy legalább hozzávetőlegesen becsülni tudjuk) a sokaság rétegenkénti szórásait. Ekkor rögzített mintaelemszám mellett kedvezőbb tulajdonságú mintát kapunk, ha nagyobb szórású rétegből aránylag nagyobb, kisebb szórásúból pedig kisebb mintát veszünk. Ezt az eljárást a rendszeres időközönként megismétlődő megfigyeléseknél alkalmazzák. Így a megelőző időszak eredményei felhasználhatók az egyes rétegek mintaelemszámának meghatározásához. A j-edik réteg mintaelemszáma az alábbi összefüggés alapján határozható meg:

ahol

a j-edik réteg elemszáma a sokaságban, 8

Mintavétel

a j-edik réteg szórása a sokaságban, n: a minta elemszáma.

6.2.5. Csoportos mintavétel Az egyszerű véletlen, a szisztematikus és a rétegzett mintavétel során feltételeztük, hogy rendelkezésünkre áll egy olyan lista – a mintavételi keret –, amely a sokaság összes elemét tartalmazza, s ebből választjuk ki a mintát. A gyakorlati feladatok egy részénél azonban ilyen lista nem áll rendelkezésre, bár elkészíthető volna, de előállítása költséges és munkaigényes lenne. Más esetekben rendelkezésre áll ugyan a lista, de ha abból választanánk ki közvetlenül a mintaelemeket, a felvétel végrehajtása rendkívül költséges lenne. Ezen feladatoknál célszerű a sokaság elemeit nem közvetlenül kiválasztani, hanem ezek természetes vagy mesterséges csoportjait megfigyelni. A csoportos mintavétel során a homogén sokaság elemeinek (természetes vagy mesterséges) csoportjai közül egyszerű véletlen mintát veszünk, majd a kiválasztott csoportokon belül minden egyes egyedet megfigyelünk. A csoportos mintavétel esetén a költségtakarékosságot tartjuk elsődleges szempontnak, míg a megfigyelés megbízhatósága némileg háttérbe szorul. Bizonyos esetekben a csoportos mintavétel segítségével, ugyanazon költségkeret mellett lényegesen nagyobb mintához juthatunk, mint egyszerű véletlen mintavétellel. Nézzünk néhány példát a csoportos mintavétel alkalmazására. Egy adott évben vizsgálni kívánjuk a szakközépiskolában végzettek továbbtanulását, illetve munkába állását az érettségi után 3 hónappal. Ha egyszerű véletlen mintavételt hajtanánk végre, akkor az országban található valamennyi szakközépiskola végzős évfolyamának tanulóiról teljes körű listát kellene összeállítani. A mintát ebből a listából kellene kiválasztani. Egy ilyen lista összeállítása rendkívül nehézkes és költséges lenne. További jelentős költséget jelentene, hogy az így kiválasztott diákok területileg is rendkívül szétszórtan helyezkednek el, így az információk begyűjtése is hosszadalmas lenne. Ha azonban csoportos mintavételt végzünk, akkor a középiskolák rendelkezésre álló országos listájából egyszerű véletlen mintavétellel kiválaszthatunk néhány középiskolát. Ilyenkor a kiválasztott iskola végzős évfolyamának valamennyi hallgatója belekerül a mintába, s a felvétel során mindannyiukat meg kell kérdezni. Ebben az esetben a csoportok területi koncentráltsága miatt a csoportos mintavétel olcsóbb, mint az egyszerű véletlen mintavétel. Az egyik nagy országos politikai párt valamely döntés meghozatala előtt kíváncsi a tagság véleményére. Ekkor egyszerűbb és olcsóbb a helyi pártszervezetek közül néhányat egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztani, s ezeknél minden párttagot megkérdezni, mint egy részletes címlistát összeállítani a párt tagságáról. Csak akkor célszerű a csoportos mintavétel alkalmazása, ha a helyi szervezeteken belül a párt tagjainak véleménye nem azonos a vizsgált kérdésről. Ellenkező esetben a csoportos mintavétel torz eredményre vezethet. A fenti példákból is kitűnik, hogy a csoportos mintavétel során kétféle egység különül el: elsődleges mintavételi egység, amelyre a felvétel közvetlenül irányul (iskolák, helyi szervezetek), végső mintavételi egység, amelyre vonatkozóan következtetéseket akarunk levonni a kapott mintából (tanulók, párttagok). 9

Mintavétel

6.2.6. Többlépcsős mintavétel A többlépcsős mintavételt hasonló esetekben alkalmazzuk, mint a csoportos mintavételt – amelyet egylépcsősnek is szoktak nevezni –, azzal a különbséggel, hogy többször ismételjük meg egymás után az egyszerű véletlen mintavételt, tehát a mintaelemek kiválasztása több fokozatban, több lépcsőben történik. A mintavétel végrehajtása során először kiválasztjuk az elsődleges mintavételi egységeket. Attól függően, hogy hányszor ismételjük meg egymás után az egyszerű véletlen kiválasztást, két-, három- vagy többlépcsős mintavételről beszélhetünk. Ha az elsődleges mintavételi egységeken belül rögtön a megfigyelni kívánt elemeket választjuk ki (egyszerű véletlen mintavétellel), akkor kétlépcsős a mintavétel. Ha az elsődleges mintavételi egységeken belül először újabb nagyobb csoportokat választunk ki, majd az így képzett csoportokból választjuk ki a mintaelemeket, akkor a mintavétel három- (vagy több-) lépcsős lesz. A többlépcsős mintavétel előnye a csoportos kiválasztással szemben, hogy homogén elsődleges mintavételi egységek homogenitása esetén a teljes körű megfigyelés helyett mintára támaszkodik, s ezáltal csökken a fölösleges adatfelvételek száma, s így ugyanakkora elemszámú minta esetén kisebb a mintavételi hiba valószínűsége, mint a csoportos mintavételnél. Előző példánkat folytatva, ha a helyi szervezetekben nem kérdeznek meg minden párttagot, hanem egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztanak néhányat, s csak ezeknek teszik fel a megfelelő kérdéseket, akkor kétlépcsős mintavételi eljárást hajtanak végre. Ebben az esetben az első lépcső a helyi szervezetek (elsődleges mintavételi egységek) kiválasztása, a második lépcső pedig a megkérdezésre kerülő tagok (végső mintavételi egységek) kiválasztása.

6.2.7. Kombinált eljárások A kombinált eljárások gyakorta egy lépésben alkalmaznak több, eddig megismert mintavételi módszert. Ily módon ötvözhető például a rétegzés pontosságnövelő előnye a csoportos vagy többlépcsős mintavétel költségmegtakarításával. A KSH pl. az egységes lakossági adatfelvételi rendszerben (ELAR) egyszerre alkalmaz rétegzést és lépcsőzést. A kombinált eljárások külön csoportját képezik a ismétlődő felvételek, illetve panelfelvételek. Ezen felvételek alkalmazására akkor van szükség, ha a vizsgált sokaság szerkezetét vagy az egyes egyedek jellemzőinek időbeni változását akarjuk vizsgálni. Az ismétlődő felvételek esetén nem szükséges, hogy a mintában szereplő egyedek azonosak legyenek. E módszer legfőbb erénye, hogy egy-egy időpontban a vizsgált sokaság keresztmetszetéről megbízható képet ad. Az ismétlődő felvételek általában úgy történnek (például a legtöbb országban a munkaerő-felvételek), hogy a minta elemei néhány egymás után következő megkérdezéskor azonosak, majd előírt rend szerint cserélődnek. A panelfelvételeknél a minta elemeinek a lehetőségek keretei között azonosaknak kell lenniük, s ezáltal alkalmasak az egyes egyedek jellemzőinek időbeni vizsgálatára. A panelfelvétel előnye, hogy számos társadalmi jelenségre vonatkozóan pontosabb információkat ad, mint a szerkezeti változásokból levonható következtetések. Ezeket az előnyöket már az 1940-es években felismerték, és törekedtek a panelfelvételek alkalmazására. 10

Mintavétel Az eljárás hátránya, hogy a mintába került egyedek nyomon követése nehéz, és a válasz megtagadása miatti torzítás gyorsan növekszik. Ilyen panelfelvételnek tekinthető például a KSH háztartás-statisztikája, amelyben ELAR mintára támaszkodva nyernek kétévenként összehasonlító adatokat a lakosság jövedelmére és fogyasztási szokásaira vonatkozóan. A gyakorlatban sokszor előfordul a teljes körű felvétel és a mintavétel összekapcsolása. Pl. Magyarországon jelenleg 3-4 évente tartanak teljes körű állatszámlálást, amikor a kisgazdaságok teljes állatállományát összeírják. Ezen információ kiegészítéseként negyedévente reprezentatív felvételt végeznek egyes fontosabb állatfajták állományának becslése érdekében. A teljes körű felvételek közötti időszakban a reprezentatív felvételből és a megelőző teljes körű felvételből következtetnek a sokaság állapotára, a teljes állatállományra. Ez úgy történik, hogy kiválasztják a sokaságnak a reprezentatív felvétel során a mintába került egyedeit, majd ezeknél a teljes körű és a reprezentatív megfigyelés során nyert eredményeket összehasonlítják. A tapasztalt változásokat a sokaságra matematikai módszerek segítségével általánosítják.

6.3. Nem véletlen mintavételi eljárások Az eddigiek során áttekintettük a véletlenen alapuló mintavételi eljárásokat. Vannak azonban olyan mintavételi eljárások, amelyekre a véletlen kiválasztás nem jellemző, így ezen eljárásokkal létrejövő minták nem tekinthetők véletlen avagy valószínűségi mintáknak. Az eddig ismertetett mintavételi eljárásoknak számtalan hátrányos tulajdonsága van. Ezek közül a leglényegesebb, hogy nincs biztosítva, a minta a sokaságra valóban jellemző legyen, így félrevezető következtetések forrása lehet. Továbbá a nem véletlen minták esetén nem lehetséges a mintából számított jellemzők hibájának a meghatározása, tehát nem tudjuk a bizonytalanság, a tévedés várható hibáját becsülni. Ennek ellenére a nem véletlen mintavételi eljárásokat széles körben alkalmazzák, mivel végrehajtásuk egyszerűbb és esetenként lényegesen olcsóbb, mint a korrektül megtervezett és végrehajtott véletlen mintavétel. Főleg igénytelen felvételeknél (gyors elővizsgálatoknál) használják, korlátozott következtetési lehetőségekkel. A szisztematikus kiválasztásról a véletlen mintavételi eljárások között már esett szó. Láttuk, ha a listaképző ismérv és a megfigyelt ismérv között nincs sztochasztikus kapcsolat, akkor ez az eljárás véletlen mintát eredményez. Ellenkező esetben a kapott mintaelemek nem lesznek függetlenek egymástól, így a következtetések levonása során figyelembe kell venni a mintaelemek függőségéből adódó torzítást is. Időbeni megfigyeléseknél a periodicitás veszélye miatt alkalmazása nem célszerű. Eléggé elterjedt mintavételi eljárás a kvóta szerinti kiválasztás. Ennek lényege, hogy a felvételt végző személyek (kérdezőbiztosok) előre megkapják, hogy milyen összetételű mintához kell jutniuk, de az előre adott kereteken belül rájuk van bízva a véletlenszerű kitöltés. A kvóta szerinti kiválasztás legnagyobb hátránya, hogy a kapott minta a kérdezőbiztosok szimpátiája, illetve ítélőképessége szerint áll össze. Ez a statisztikailag nem számszerűsíthető szubjektivitás jelentős mértékben befolyásolja a kapott eredményeket. Az önkormányzati választások várható eredményét mintavételes eljárással kívánják meghatározni. Kvóta szerinti kiválasztás esetén a kérdezőbiztos úgy kapja meg a feladatát, hogy kérdezzen meg az adott választókörzetben öt 18 és 30 év, tíz 31 és 40 év közötti férfit, három 18 és 30 közötti nőt stb. Ezeken a határokon belül saját maga választja ki a megkérdezett személyeket, elvben véletlenszerűen, gyakorlatban azonban szubjektíven, ötletszerűen. Annak ellenére, hogy a kérdezőbiztos korrektül jár el, előfordulhat, ha kora délutáni órában végzi a felmérést, hogy a felvett mintában nagyobb lesz pl. a munkanélküliek aránya, mint a sokaságban. Továbbá gyakori, hogy a kérdezőbiztos saját ismeretségi köréből igyekszik „véletlen mintát” biztosítani, ez viszont bizonyos szempontból homogén csoportok megfigyelését jelenti. 11

Mintavétel Az önkényes kiválasztás során a felvételt végző személy szakmai ismereteire támaszkodva – a véletlent figyelmen kívül hagyva – választja ki a sokaságra jellemző (vagy legalábbis általa jellemzőnek tartott) mintát. Sokéves tapasztalatok mutatják, hogy az ilyen kiválasztáson alapuló megfigyelés sokszor erősen torzított eredményt ad. Meg kell említenünk, hogy az önkényes kiválasztás a mintavétel történelmileg elsőként alkalmazott módszere volt, mára azonban eléggé visszaszorult. Az utóbbi időben elterjedt az ún. exit pool eljárás, amelyet elsősorban a választási eredmények előrejelzésére alkalmaznak. A módszer lényege, hogy a szavazóhelyiségből kijövő választót megkérdezik arról, hogy kire adta a voksát, s az így kapott minta alapján következtetnek a választási eredményekre.

6.4. A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai Ha a minta elemeit véletlen mintavételi eljárással választjuk ki, akkor a mintaelemek ismérvértékei változók lesznek.

és a mintajellemzők valószínűségi

A következőkben a mintajellemzők közül a minta átlagával foglalkozunk részletesen. Kiszámítása a

összefüggéssel történik, ahol

az i-edik mintaelem ismérvértéke. Egy konkrét mintavételnél, ha

adódik, akkor a mintaátlag

A mintaátlag tulajdonságait független, azonos eloszlású minta esetén mutatjuk be, mivel ezen mintavételi mód kezelése matematikailag egyszerűbb. Néhány esetben gyakorlati jelentősége miatt kitérünk az egyszerű véletlen mintavétel esetére is. Tekintsük először a mintaelemek eloszlását. A független, azonos eloszlású minta esetén a minta elemeinek eloszlása megegyezik a sokaság eloszlásával. A mintaelemek várható értéke és szórása pedig a sokaság várható értékével és szórásával fog megegyezni. Hiszen

és

Feladatunk azonban a mintaátlag vizsgálata. A mintaátlagot mint valószínűségi változót várható értékével, szórásával és eloszlásával jellemezhetjük. 12

Mintavétel Vizsgáljuk meg először a mintaátlag mint valószínűségi változó várható értékét. Valószínűségszámításból ismeretes, hogy

Így a minta átlagának várható értéke:

vagyis megegyezik a sokaságra vonatkozó várható értékkel. A mintaátlag szórásnégyzete a mintaelemek függetlensége miatt

Így a mintaátlag szórásnégyzete

azaz a mintaátlag szórása

A mintaátlag szórását, a

-ot a mintaátlag standard hibájának nevezzük. A standard hiba megmutatja, hogy mekkora a mintaátlagok

sokasági várható értéktől való átlagos (négyzetes) eltérésének várható értéke. Nagysága a sokasági szórástól és a mintanagyságtól (n) függ. Egyszerűbben fogalmazva a standard hiba arra ad választ, hogy egyetlen mintavétel esetén mekkora hibát követünk el „átlagosan”. Mivel a hiba elkövetésének „oka” maga a reprezentatív mintavétel, szokásos ezt a hibát a reprezentatív megfigyelés hibájának is nevezni. Ha a mintaelemek kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történt, akkor a mintaátlag standard hibájának meghatározása (bizonyítás nélkül) a következő összefüggéssel történik:

13

Mintavétel

ahol a

-t korrekciós tényezőnek vagy véges szorzónak nevezzük.

A fenti összefüggésben a korrekciós tényező alkalmazása egyszerű véletlen mintavételnél abból következik, hogy ezen eljárás esetén a mintaelemek nem függetlenek, és ezért a standard hiba levezetésekor a mintaelemek közötti kapcsolatszorosságról tájékoztató kovarianciát is figyelembe kell venni. Az összefüggésből jól látható, hogy egyszerű véletlen mintavétel esetén a mintaátlag szórása jelentős mértékben függhet a kiválasztási aránytól. A korrekciós tényező értéke 0 és 1 között lehet. Alacsony (pl. 1% alatti) kiválasztási arány esetén értéke közel esik 1-hez, ezért elhagyása lényegesen nem befolyásolja a kapott eredményt. Ha viszonylag magas a kiválasztási arány (5 és 10% közötti vagy ennél nagyobb), akkor a korrekciós tényező alkalmazására feltétlenül szükség van. Konkrét mintavételnél

a standard hibát

-gal fogjuk jelölni, és a

összefüggéssel határozzuk meg. Végül vizsgáljuk meg a mintaátlag eloszlását. Független, azonos eloszlású minta esetén a mintaátlag ( ) eloszlásáról a következők mondhatók (a bizonyításokat nem részletezzük, de felhívjuk a figyelmet arra, hogy a

a

valószínűségi változók összegének konstansszorosa):

1. Normális eloszlású sokaság esetén a mintaátlag is normális eloszlású, függetlenül a minta nagyságától. (Normális eloszlású valószínűségi változók összege is normális eloszlású.) 2. Ha a sokaság eloszlása nem ismert, de nagy mintát veszünk, akkor a mintaátlag közelítőleg normális eloszlású lesz, a centrális határeloszlás2 tétel következményeként. 3. Ha a sokaság eloszlása nem ismert és kis mintát veszünk, akkor a mintaátlag eloszlása függ a sokaság eloszlásától, ezért általánosan semmit sem tudunk mondani. A mintaátlag egy-egy mintavételnél megvalósuló konkrét értékeinek eloszlását is szemléltethetjük. Erre vonatkozóan nézzük a következő példát. 2

Matematika üzemgazdászoknak. Valószínűségszámítás. (Szerk: dr. Csernyák László.) Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. 187. oldal. (A további hivatkozásoknál: Valószínűségszámítás.)

14

Mintavétel 3

Az 1994-ben megválasztott 371 országgyűlési képviselő életkor szerinti megoszlása a következő hisztogrammal szemléltethető (6.1. ábra):

6,1. ábra - A képviselők életkor szerinti megoszlásának hisztogramja

A mintaátlag eloszlásának vizsgálatához a 371 elemű sokaságból először 30, majd 100 elemű mintákat vettünk számítógépes véletlenszámgenerálás segítségével, visszatevéssel, így független, azonos eloszlású mintához jutottunk. A mintavételt mindkét esetben 100-szor ismételtük meg, majd minden egyes mintára vonatkozóan kiszámítottuk a mintaátlagot. A 30 elemű minták mintaátlagainak megoszlása a következő volt (6.2. táblázat):

6.2. táblázat - 30 elemű minták mintaátlagainak megoszlása

3

A mintaátlag értéke (év)

A mintaátlagok megoszlása (%)

– 43,90

1

43,91 – 45,00

5

45,01 – 46,10

13

46,11 – 47,20

15

47,21 – 48,30

22

48,31 – 49,40

25

Az alapadatokat nem közöljük.

15

Mintavétel 49,41 – 50,50

15

50,51 – 51,60

2

51,61 – 52,70

1

52,71 – 53,80

1

Összesen

100

Ezt követően a 100 elemű mintákat választottuk ki a 30 elemű mintákhoz hasonló módon. A kiszámított mintaátlagokat a 6.3. táblázat tartalmazza:

6.3. táblázat - A 100 elemű minták átlagai 47,08

48,64

48,38

46,54

48,68

47,74

46,29

47,52

48,46

48,02

49,51

47,78

46,94

49,34

46,25

47,48

48,21

47,71

46,78

46,03

51,25

47,71

47,55

47,57

47,21

47,78

47,82

46,13

48,58

48,32

48,99

46,74

46,62

47,83

46,70

48,04

47,33

45,68

48,13

47,39

49,45

48,71

46,08

47,16

47,14

48,52

49,47

47,06

48,33

47,65

49,34

47,05

48,13

47,14

50,17

47,54

48,07

48,45

47,98

48,37

46,09

47,87

46,07

47,69

47,79

50,11

47,89

48,68

46,99

47,80

47,97

46,88

47,92

47,48

46,77

47,91

47,35

47,32

46,70

46,73

48,27

49,10

46,17

47,77

48,14

47,16

49,45

46,86

48,96

48,49

48,49

48,44

46,66

50,24

48,05

48,64

47,22

48,17

46,08

46,94

A kapott mintaátlagokat osztályközös relatív gyakorisági sorba rendeztük (6.4. táblázat).

6.4. táblázat - 100 elemű minták mintaátlagainak megoszlása A mintaátlag értéke (év)

A mintaátlagok megoszlása (%) 16

Mintavétel – 46,10

6

46,11 – 47,20

25

47,21 – 48,30

40

48,31 – 49,40

21

49,41 – 50,50

7

50,51 – 51,60

1

Összesen

100

A mintaátlagok megoszlásait hisztogrammal szemléltethetjük (6.2. és 6.3. ábra).

6,2. ábra - A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 30 elemű minta alapján

17

Mintavétel

6,3. ábra - A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 100 elemű minta alapján

A grafikus ábrákat összehasonlítva azt láthatjuk, hogy a tapasztalati eloszlás 100 elemű minták esetén jobban közelíti a normális eloszlást, mint 30 elemű minták esetén. (A mintaátlag eloszlására tett 2. megállapításunk is ezt mondja ki.) A relatív gyakorisági sorokból és a hisztogramokból az is kitűnik, hogy a mintaátlagok kisebb intervallumban szóródnak 100 elemű minták esetén, mint 30 eleműeknél. Ez egyben azt is jelenti, hogy a 100 elemű minták esetén kisebb a standard hiba. A példánkban mindkét esetben meghatározhatjuk − a mintaelemek függetlenségének feltételezésével − a mintaátlag standard hibáját. (A sokasági szórás 9,84 év.) a) 30 elemű minták esetén: b) 100 elemű minták esetén:

év.

S mint vártuk, 100 elemű minták esetén valóban kisebb a mintaátlagok sokasági átlagtól vett átlagos négyzetes eltérésének várható értéke, mint 30 elemű minták esetén. A mintaátlagok átlagát is kiszámíthatjuk: a)30 elemű minták esetén: b) 100 elemű minták esetén: 18

Mintavétel Természetesen egyik esetben sem kaphatjuk eredményül a sokasági átlagot (ami 47,776 év), mert a 100 kísérlet lényegesen kisebb, mint az összes lehetséges minta száma, mely

de ennek ellenére a b) esetben a mintaátlagok átlaga nagyon jól megközelíti a sokasági átlagot.

Meg kell jegyeznünk, hogy csak a könnyebb megértés érdekében határoztuk meg a sokasági várható értéket. A gyakorlatban éppen ezen érték mintából történő becslése a cél, ezért ez természetesen ismeretlen.

6.5. Gyakorlófeladatok 1. Az alábbi adatokat, információkat ismerjük: a) A BKV által szállított utasok száma 1992-ben Budapesten 1481 ezer fő volt. b) A Budapestre hullott csapadék mennyisége 1996 februárjában 28 mm volt. c) Egy édességbolt kávéforgalma 1996 decemberében. d) A magyar lakosság egy főre jutó húsfogyasztása (kg/fő). e) A dohányzók aránya a 14–18 éves fiatalok körében. f) A kiszolgálási idő átlagos nagysága egy ARAL benzinkútnál. g) A fogyasztói árak alakulása. h) A lakossági tulajdonban lévő személygépkocsik átlagos életkora 8,2 év volt 1992-ben. i) A magyar háztartások jövedelmüknek átlagosan 30%-át fordítják élelmiszer-vásárlásra. j) A felsőfokú intézményekben végzettek száma 1995-ben. Feladat: Gondoljuk át, hogy a fenti információkból melyek azok, amelyek reprezentatív megfigyelésből származnak! 2. Tételezzünk fel egy mindössze 5 elemű sokaságot, amelyben egy mennyiségi ismérv értékei a következők: A sokaság elemei A

értékei 2 19

Mintavétel B

6

C

8

D

10

E

15

Feladat: a) Számítsuk ki az összes lehetséges kételemű és háromelemű – visszatevés nélküli kiválasztással kapható – mintákat és mintaátlagokat! b) Határozzuk meg a standard hibát: 1. a kételemű minták alapján, 2. a háromelemű minták alapján! c) Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket! 3. Néhány, a fejezetben található jelölés: a j-edik réteg nagysága a sokaságban, a sokaság szórásnégyzete, a mintaátlag szórása, a sokaság átlaga, a minta átlaga. Feladat: Párosítsuk a fenti jelöléseket a helyes megnevezéssel! 4. Tételezzük fel, hogy egy sokaság 10 elemből áll. Egy tetszőleges mennyiségi ismérv értékei a sokasági egységeknél: Sokasági egység

Ismérv értéke 20

Mintavétel

Feladat: a) Számítsuk ki a sokaság átlagát és szórását! b) Határozzuk meg az ismétlés nélkül kiválasztható kételemű minták átlagait! c) Rendezzük a kapott mintaátlagokat osztályközös gyakorisági sorba! Készítsünk az adatokból gyakorisági poligont! d) Vizsgáljuk meg a mintaátlagok sokasági átlag körüli szóródását! 5. A katonai sorozáson megjelenő fiúk átlagos testmagassága 175 cm, a testmagasság szórása 8 cm. (A testmagasság szerinti eloszlás normálisnak tekinthető.) Feladat: A sokaságból 20 elemű mintát véve, mekkora a valószínűsége annak, hogy a mintaátlag a sokasági átlag 3 cm-es környezetében lesz? 21

Mintavétel 6. A felnőtt korú népesség testtömege szerint normális eloszlású, 78 kg-os várható értékkel, 8 kg-os szórással. A sokaságból 10 fős véletlen mintát veszünk. Feladat: a) Mi a valószínűsége annak, hogy 1. a mintába kerülők mindegyikének a testtömege meghaladja a 80 kg-ot, 2. a mintaátlag nagyobb, mint 80 kg? b) Magyarázzuk meg a kapott eredményeket! 7. Valamely termék gyártásánál az éves termelésben a szabvány-előírásnak megfelelő termékek aránya 90%. Feladat: Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy 200 elemű egyszerű véletlen mintában legalább 95% a szabványnak megfelelő termékek aránya! (Megjegyzés: a mintabeli arányok normális eloszlásúak!) 8. Hosszú évek tapasztalata alapján feltételezhetjük, hogy a hallgatók statisztikadolgozatainak pontszáma normális eloszlást követ. Az átlagos pontszám: pont, a szórás: pont. (A dolgozatok elérhető maximális pontszáma 100 pont.) Feladat: a) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy 40 fős tanulócsoportban az átlagos pontszám 72 pont felett lesz! b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató 72 pont felett teljesít?

22

7. fejezet - Statisztikai becslések 7.1. Alapfogalmak Az előző fejezetben a mintavétel alapfogalmaival, a mintavételi eljárásokkal és a mintaátlag tulajdonságaival ismerkedtünk meg. Ebben a fejezetben valamely sokasági jellemző (várható érték, szórás, értékösszeg, arány stb.) mintából történő közelítő meghatározásával foglalkozunk. A mintából való következtetés fontos alapfogalma a becslőfüggvény. Becslőfüggvényen a mintaelemek olyan n-változós 1 paraméterének mintából történő becslésére szolgál.

függvényét értjük, amelynek

értéke a sokaság valamely

Becslőfüggvény lehet például a mintaelemek átlaga amellyel a sokasági várható értéket vagy a mintabeli arány, amellyel a sokasági arányt becsülhetjük. Ugyanazon sokasági jellemző értékének közelítő meghatározásához több becslőfüggvény is használható. Például a sokasági várható érték becslésére a mintaelemek számtani átlagán kívül szimmetrikus eloszlás esetén a mediánt, a harmonikus átlagot, a négyzetes átlagot stb. is használhatjuk. A sokasági szórásnégyzet

becslésére is több becslőfüggvényt konstruálhatunk. Ezek közül a legfontosabbakat emeljük ki. Becsülhetjük a

statisztikával, amelynek egy konkrét mintavételnél

az értéke az

összefüggéssel határozható meg. A fenti becslőfüggvényt tapasztalati szórásnégyzetnek nevezzük. A sokasági szórásnégyzet becslésére használhatjuk a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet, a 1

A mintaelemek ezen függvényét statisztikának is szokták nevezni.

23

Statisztikai becslések

becslőfüggvényt is, amelynek egy adott mintánál az értéke

Mivel a legtöbb sokasági jellemző becslésére több becslőfüggvény is konstruálható, ezért felvetődik a kérdés, hogy melyiket használjuk. Ehhez nyújtanak támpontot a becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények, amelyek alapján el tudjuk dönteni, hogy melyik becslőfüggvény mondható jónak, jobbnak, illetve bizonyos esetben a legjobbnak. A becslőfüggvény értéke valószínűségi változó, értéke mintáról mintára változhat, de egyetlen n elemű mintához csak egyetlenegy értéket rendel. Ezt az értéket nevezzük valamely sokasági jellemző pontbecslésének. Például -nek pontbecslése az és -nak az s* vagy az s. Ezzel szemben az intervallumbecslésnél egyetlenegy minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen sokasági jellemzőt. Ezt az intervallumot konfidenciaintervallumnak vagy megbízhatósági intervallumnak nevezzük.

7.2. A becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények 7.2.1. Torzítatlanság Torzítatlannak nevezünk egy becslőfüggvényt, ha annak várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági jellemző értékével. Jelöljük a sokasági jellemzőt becslőfüggvényének, ha

-val, a becslőfüggvényét pedig továbbra is

-pal. E követelmény szerint

akkor tekinthető

torzítatlan

Véges sokaság esetén a torzítatlanság tulajdonsága azt jelenti, hogy ha az összes lehetséges módon kiválasztjuk az n elemű mintákat, és minden egyes minta esetén kiszámítjuk a becslőfüggvény értékét, majd ezek számtani átlagát képezzük, akkor e követelmény szerint a sokasági jellemző értékét kell kapnunk. Vagyis az összes lehetséges pontbecslés átlaga a tényleges érték. 24

Statisztikai becslések Ennél kevésbé szigorú, ám a gyakorlatban mégis sokszor elfogadható az aszimptotikus torzítatlanság követelményének teljesülése is. Eszerint

azaz a minta elemszámának növelésével a becsülni kívánt paraméter és a becslőfüggvény várható értékének különbsége egyre kisebb lesz. Nézzük meg e követelmények teljesülését néhány becslőfüggvény esetén. A mintaátlag

a sokasági várható érték torzítatlan becslőfüggvénye.

E tulajdonság teljesülését már a 6.4. pontban bizonyítottuk. Vagyis beláttuk, hogy ha a alkotják a mintát, akkor

ahol

a sokaság (egyben a

azonos eloszlású, független valószínűségi változók

) várható értéke.

Ha konkrétan egy mintavételre sor kerül, és a valószínűségi változóknak, vagyis az felvett érték az , amelynek várható értéke ).

adódik, akkor úgy tekinthető, mint

az

értékeknek ugyanazon függvénye, mint

e minta esetén felvett értéke (azaz olyan valószínűségi változó által

Most vizsgáljuk meg, hogy a szórásnégyzetekre teljesül-e ez a követelmény. Tekintsük először a tapasztalati szórásnégyzet várható értékét:

25

Statisztikai becslések

Mivel

, továbbá

Vagyis a tapasztalati szórásnégyzet

, így

a sokasági szórásnégyzet torzított becslőfüggvénye. Igaz viszont, hogy

a tapasztalati szórásnégyzet tehát a sokasági szórásnégyzet aszimptotikusan torzítatlan becslőfüggvénye. A korrigált tapasztalati szórásnégyzet viszont már torzítás nélkül becsüli a -et. Ezt könnyen igazolhatjuk. A korrigált tapasztalati szórásnégyzetet a tapasztalati szórásnégyzet felhasználásával a következőképpen írhatjuk fel: 26

Statisztikai becslések

Ezen összefüggést és a tapasztalati szórásnégyzet

várható értékének levezetésénél leírtakat felhasználva

tehát a becslőfüggvény torzítatlan. Ezért a gyakorlatban a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet használjuk a sokasági szórásnégyzet becslésére.

7.2.2. Konzisztencia A konzisztencia követelménye azt írja elő, hogy a becslés torzítatlan (vagy legalább aszimptotikusan torzítatlan) legyen, és a mintanagyság minden határon túl történő növelése esetén annak a valószínűsége, hogy a becsülni kívánt paraméter és a becslőfüggvény eltérése kisebb egy számnál, 1 legyen. Képlettel felírva:

Másképpen megfogalmazva: a konzisztencia azt a követelményt támasztja a becslőfüggvényekkel szemben, hogy nagyon nagy minta esetén a becslőfüggvény mintából számított értéke nagy valószínűséggel közelítse meg a sokasági jellemző értékét. Véges (N elemű) sokaság és visszatevés nélküli mintavétel (tehát egyszerű véletlen mintavétel) esetén a konzisztencia azt jelenti, hogy esetén a becslőfüggvény „mintából” számított értéke megegyezik a sokasági paraméter értékével.

7.2.3. Hatásosság Ha a

és a

torzítatlan becslőfüggvénye

-nak, és

akkor azt mondhatjuk, hogy

hatásosabb becslőfüggvénye

-nak, mint

Más szavakkal: az a becslőfüggvény hatásosabb, amelynél a becslőfüggvény mintából számított értékeinek a sokasági paramétertől számított átlagos négyzetes eltérésének várható értéke (tehát szórása) kisebb. A 7.1. ábrán két torzítatlan ( , ) becslőfüggvény sűrűségfüggvénye látható. A kettő közül azt tekintjük hatásosabb becslőfüggvényének, amelynek szórása (standard hibája) kisebb, mivel ez azt jelenti, hogy becslésünk nagyobb valószínűséggel áll közel a sokasági paraméterhez. 27

Statisztikai becslések

7,1. ábra - A

és

becslőfüggvény eloszlás

Ha egy sokasági paraméter összes becslőfüggvénye között létezik egy olyan, amelynek minimális a szórása, azt hatásos becslésnek nevezzük.

7.2.4. Elégségesség Ez a követelmény azt mondja ki, hogy az elégséges becslés minden mintából nyerhető információt tartalmaz a becsülni kívánt jellemzőről.

7.3. Intervallumbecslés Az alapfogalmak áttekintése után a becslések különböző eseteivel foglalkozunk. A becslés egyik célja egy olyan intervallum megadása, amely megadott nagy valószínűséggel tartalmazza a sokasági jellemzőt. Ekkor konfidenciaintervallumot határozunk meg. A becslés során egyetlen n elemű minta alapján egyetlenegy értéket is adhatunk az ismeretlen sokasági jellemzőre. Ekkor – mint már említettük – pontbecslést hajtunk végre. Pl. pontbecslést adunk, ha azt mondjuk, hogy a sokaság várható értéke a mintaátlaggal ( ), vagy a sokasági arány a mintabeli aránnyal egyenlő stb. Térjünk vissza ismét a konfidenciaintervallum meghatározására.

7.3.1. A sokaság várható értékének becslése A sokaság várható értékének becslőfüggvényeként a mintaátlagot használjuk. Mint azt már beláttuk, torzítatlan és konzisztens becslést eredményez. A sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum meghatározásánál a mintaátlag eloszlásáról elmondottak (6.4. pont) alapján a következő alpontokat fogjuk megkülönböztetni: 28

Statisztikai becslések

a) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása

ismert.

b) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása

nem ismert.

c) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha nagy mintát vettünk. d) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha kis mintát vettünk, illetve ismeretlen eloszlású sokaság esetén. A további tárgyalás során a minta elemszáma legyen n, és az előre rögzített (magas) valószínűségi szint a) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása Ha a sokaság normális eloszlású, a minta elemei és a mintaátlag szórás

.

ismert is normális eloszlású lesz, a minta elemszámától függetlenül. Mivel a sokasági

ismert, definiálhatunk egy valószínűségi változót oly módon, hogy a normális eloszlású mintaátlagból kivonjuk annak várható értékét

és elosztjuk a szórásával

Jelöljük ezt a változót Z-vel, tehát

Így Z standard normális eloszlású valószínűségi változó lesz. A konfidenciaintervallum meghatározása során keressük azt a amely valószínűséggel tartalmazza a Z változót, azaz

és

intervallumot,

valószínűséggel nem tartalmazza azt. A keresett intervallumot úgy határozzuk meg, hogy ugyanakkora valószínűsége legyen annak, hogy a

Z változó kisebb, mint az intervallum alsó határa, mint annak, hogy a Z nagyobb, mint annak felső határa. Ez a valószínűség a keresett intervallum a Z valószínűségi változót valószínűséggel nem tartalmazza, azaz

29

-vel egyenlő, mivel

Statisztikai becslések Mivel a Z változó standard normális eloszlású (és ezen eloszlás szimmetrikus az Y tengelyre), ezért az intervallum is szimmetrikus lesz a Y tengelyre, így helyett határokat használhatunk. A keresett intervallumba esés valószínűsége (Z standard normális eloszlású, az ismert 2 összefüggések felhasználásával ) pedig:

Előre megadott magas valószínűségi szint esnie. Ekkor

esetén a Z valószínűségi változónak a

konfidenciaintervallumba

valószínűséggel kell

azaz

Ebből z meghatározható táblázat (Függelék 1. táblázat) alapján, a megoldás legyen kimetszi a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye alatti terület

2

Valószínűségszámítás 142. oldal

30

.A

tehát az az érték, amely mellett a

%-át. Ezt szemlélteti a 7.2. ábra.

intervallum

Statisztikai becslések

7,2. ábra - A konfidenciaintervallum ábrázolása

Mivel a sokaság várható értékére (μ-re) akarunk egy intervallumot adni, rendezzük át a

középpontjában a sokaság várható értéke (μ) álljon. Tehát

azt jelenti, hogy

Vagyis a konfidenciaintervallum Egy konkrét minta esetén

a konfidenciaintervallum

31

egyenlőtlenséget oly módon, hogy az intervallum

Ebből

Statisztikai becslések

A mennyiséget hibahatárnak vagy maximális hibának nevezzük és Δ-val jelöljük. Ez az érték azt mutatja meg, hogy a becslés során valószínűséggel Δ-nál kevesebbet tévedünk. A becslés hibahatárának csökkentésére több lehetőség is adódik. Csökkenthetjük a standard hibát, a értéket, illetve mindkettőt. A standard hiba, a mintaátlag szórása csak a minta elemszámától függ (a sokasági szórás ( ) adott), mégpedig annak gyökével fordítottan arányos. Így a standard hiba, s ezáltal a hibahatár csökkentésének egyik módja a minta elemszámának növelése. A értéke a megbízhatósági szinttől, az (1 – μ)-tól függ. Tehát a megbízhatósági szint csökkentésével (az intervallumunk kisebb valószínűséggel tartalmazza a sokasági paramétert) a hibahatárt is csökkentjük. Összefoglalva az elmondottakat, a becslési pontosságot a minta elemszámának növelésével vagy a megbízhatósági szint csökkentésével javíthatjuk. De ez utóbbi csak látszateredmény, mert hiába adunk meg kis intervallumot, ha kis valószínűséggel esik csak bele a μ. Jól látható, hogy az intervallum határai valószínűségi változók, értékük függ a minta átlagától. Mivel csak egyetlenegy minta áll a rendelkezésünkre, ezért a konfidenciaintervallum határai is konkrét számértékek lesznek. Ekkor a konfidenciaintervallumot úgy értelmezhetjük, hogy a sokaság várható értéke

valószínűséggel

határok közé esik.

Tekintsünk vissza a 6. fejezetben elkezdett számpéldára. Határozzuk meg, hogy milyen határok közé esik 95%-os valószínűséggel a 371 országgyűlési képviselő átlagéletkora, ha csak egyetlen 100 elemű mintát vettünk. A konfidenciaintervallum megadásához tételezzük fel, hogy a sokaság normális eloszlású, és a minta elemeit visszatevéssel választottuk ki (tehát függetleneknek tekinthetjük). A kiválasztott 100 elemű minta átlaga 47,08 év. A 371 képviselő életkorának szórása (sokasági szórás) 9,85 év. Tehát:

A becslőfüggvény értéke a 100 elemű minta alapján: A mintaátlag standard hibája:

Ezek után határozzuk meg a hibahatárt. Ehhez szükség van a normális eloszlás táblázatából kereshető ki.

értékére – a meghatározásához

. A hibahatár:

32

így

–, amely a standard

Statisztikai becslések Tehát 95%-os valószínűséggel 1,93 évnél kevesebbet tévedünk a becslés során. A konfidenciaintervallum határai: 47,08 ± 1,93, így a 371 képviselő átlagéletkora 95%-os valószínűséggel 45,15 év és 49,01 év között van.

7,3. ábra - A konfidenciaintervallum elhelyezkedése a mintavétel többszöri végrehajtása esetén

33

Statisztikai becslések Már említettük, hogy a konfidenciaintervallum határait befolyásolja a minta átlaga, vagyis az a tény, hogy a kiválasztás során melyik sokasági elem kerül be a mintába. Mivel a sokaság szórása ismert, továbbá változatlan a konfidenciaintervallumba esés valószínűsége (95%), ezért a maximális hiba, s ezáltal a konfidenciaintervallum hossza is ugyanaz lesz minden esetben. Tehát az intervallum elhelyezkedése csak egyetlen tényezőtől, a mintaátlagtól függ. A 7.3 ábra 5 különböző minta esetén – amelyek mintaátlagai a 6.3. táblázatban találhatók és amelyek rendre 47,08 év, 49,51 év, 51,25 év, 48,99 év és 49,45 év – a konfidenciaintervallum elhelyezkedését szemlélteti. b) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása ( ) nem ismert A becslés célja továbbra is az, hogy konfidenciaintervallumot készítsünk a sokaság várható értékére, Mivel a sokaság szórása (σ) nem ismert, ezért azt a mintából a korrigált tapasztalati szórás ( ) segítségével kell becsülni. Ennek következtében a

változót lehet csak használni az intervallum meghatározásához. Ez a változó (Student-féle) t-eloszlású valószínűségi változó 3

szabadságfokkal. (Azért

3

a szabadságfok, mert a számlálóban lévő valószínűségi változó nem független a

A Student-féle t-eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvénye a Valószínűségszámítás 196. oldalán található.

34

valószínűségi változóktól.)

Statisztikai becslések

7,4. ábra - A standard normális és a Student-féle t-eloszlás

A t-eloszlással kapcsolatban meg kell említenünk, hogy a standard normális eloszláshoz hasonlóan szimmetrikus az Y tengelyre, továbbá a szabadságfok növelésével a t-eloszlás egyre inkább közelít a standard normális eloszláshoz, 100 feletti szabadságfok esetén (azaz jelen esetben 4 100-nál több elemű minta esetén) a két eloszlás eltérése minimális lesz. A 7.4. ábrán a standard normális és a Student t-eloszlás sűrűségfüggvényét szemléltetjük. (Az N(0, 1) jelölés a standard normális eloszlásra utal.)

A konfidenciaintervallum az a) pontban megfogalmazott esethez hasonlóan vezethető le, azzal a különbséggel, hogy a Z helyett a használjuk, továbbá az egyenlet megoldása

helyett

lesz, amely a Student t-eloszlás táblázatából kereshető ki (Függelék 4. táblázat).

Az elmondottaknak megfelelően a konfidenciaintervallum határai:

Konkrét minta esetén: 4

változót

Ez az egyik magyarázata annak, hogy a 100-nál nagyobb elemű mintákat már nagy mintáknak tekintjük.

35

Statisztikai becslések

ahol

és

Folytassuk a példánkat azzal a feltevéssel, hogy a sokaság szórása (σ) nem ismert. Ekkor mintából kell becsülnünk. A minta elemeiből számított korrigált tapasztalati szórás

A mintaátlag standard hibája:

(Mivel a standard hiba kiszámításához a korrigált tapasztalati szórást használtuk fel, ezért konkrét minta esetén az A hibahatár kiszámításához a Student t-eloszlás táblázatából kell kikeresni a hibahatár:

jelölést használjuk a

-t, amelynek értéke a példában

helyett.)

Ennek megfelelően a

A konfidenciaintervallum pedig: (47,77 ± 2,0) év. Tehát a 371 képviselő átlagéletkora 95%-os valószínűséggel 45,77 év és 49,77 év között van. c) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha nagy mintát vettünk Nagy minta esetén – a 6.4. fejezetben elmondottak alapján – a mintaátlag a centrális határeloszlás tétele értelmében közelítőleg normális eloszlású lesz, így a sokaság várható értékére adott konfidenciaintervallum alsó és felső határa konkrét minta esetén az

illetve a

összefüggés alapján határozható meg attól függően, hogy ismert vagy sem a sokasági szórás. 36

Statisztikai becslések Mivel nagy mintánk van – és nagy mintához tartozó szabadságfok esetén a Student t-eloszlás megközelítőleg egybeesik a standard normális eloszlással –, a konfidenciaintervallum meghatározásához ismeretlen sokasági szórás esetén is használhatjuk a standard normális eloszlás táblázatát. (A fentiek közül az első intervallumot azzal a különbséggel, hogy a sokasági szórás (σ) helyett a mintabeli korrigált tapasztalati szórást (s) használjuk.) d) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha kis mintát vettünk, illetve ismeretlen eloszlású sokaság esetén Mivel ekkor a minta átlagának eloszlásáról általánosan semmit sem tudunk mondani, ezért a konfidenciaintervallum meghatározása a 5 valószínűségszámításból megismert Csebisev-egyenlőtlenség alapján történik, amely a következő formában írható fel:

Tegyük fel, hogy valószínűségi változónk

amelynek várható értéke

szórása pedig

ekkor a fenti egyenlőtlenség felírható a következő módon:

A felírt egyenlőtlenség nagyon hasonlít a korábban meghatározott konfidenciaintervallumra azzal a különbséggel, hogy itt a „szorzószám” nem egy eloszlás táblázatából vett érték, hanem az meg, hogy az intervallumba esés valószínűsége legalább

összefüggésből határozható meg. Tehát a Csebisev-egyenlőtlenség azt mutatja . Természetesen, ha a sokaság szórása nem ismert, a

is. Konkrét mintánál a Csebisev-egyenlőtlenség

formában írható fel, amelynél, ha a sokaság szórása nem ismert, a 5

Valószínűségszámítás 108. oldal

37

helyett az

is használható.

helyett használható a

Statisztikai becslések Tekintsük a következő példát! Egy biztosítótársaság központjában az átlagkereset meghatározása céljából egy 20 elemű mintát vettek. A mintában az átlagkereset a keresetek korrigált tapasztalati szórása pedig s = 21 300 Ft. Becsüljük meg legalább 95%-os valószínűséggel, hogy milyen határok között van a központ dolgozóinak átlagkeresete! Először határozzuk meg a k értékét!

A mintaátlag standard hibája: Ezek után kiszámíthatjuk a konfidenciaintervallum határait:

A központ dolgozóinak átlagkeresete legalább 95%-os valószínűséggel 26 910,3 Ft és 69 489,7 Ft között lesz. Az eddigiek során feltételeztük – a pontos matematikai tárgyalás érdekében –, hogy független, azonos eloszlású minta áll a rendelkezésünkre. Ha a minta elemei egyszerű véletlen mintavételből származtak, akkor a konfidenciaintervallum meghatározása némiképp módosul az eddigiekhez képest. A sokaság várható értékének a becslésére továbbra is a mintaátlag használható. A mintaátlag standard hibája (ami független, azonos eloszlású minta esetén

illetve

volt, konkrét minta esetén pedig

, illetve

) a 6.4. fejezetben leírtaknak megfelelően

illetve a korrigált tapasztalati szórás felhasználásával lesz. Az egyszerű véletlen mintavételnek számtalan jó tulajdonsága mellett hátránya, hogy kismintás vizsgálatoknál csak közelítő módon tudunk konfidenciaintervallumot adni az átlagbecslésre. Szerencsére belátható, hogy nagy minták esetén a

38

Statisztikai becslések változó standard normális eloszlást követ, így az intervallumbecslést az eddigiekben megismert módon lehet elvégezni. Egyetlen eltérés csupán, hogy a standard hiba kiszámításakor a korrekciós tényezőt is figyelembe kell venni. Mivel nagy mintánk van, a fenti valószínűségi változó akkor is standard normális eloszlású, ha a sokasági szórás (σ) helyett a mintából becsült korrigált tapasztalati szórást ( ) használjuk. Nézzünk néhány példát! Tegyük fel, hogy az országgyűlési képviselők életkorának becslésére felhasznált minta elemeit nem visszatevéssel, hanem visszatevés nélkül választottuk ki (tehát egyszerű véletlen mintavétel történt). A minta elemei nem függetlenek, így a mintaátlag standard hibájának kiszámításánál alkalmaznunk kell a korrekciós tényezőt:

A hibahatár: A konfidenciaintervallum pedig: (47,08 ± 1,65) év, azaz (45,43 ; 48,73) év. Az a) pontban számított eredménnyel (45,15 ; 49,01) összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy visszatevés nélküli mintavétel esetén a konfidenciaintervallum rövidebb – tehát pontosabb becslést eredményez –, mint visszatevéses mintavételnél. Ez az eltérés azzal magyarázható, hogy visszatevéses mintavétel esetén a „szélsőséges” mintaelemek ismét bekerülhetnek a mintába, így a becslési hiba nagyobb lehet. Vegyünk egy másik példát! Egy konzervipari vállalat 50 000 üvegből álló gyümölcskonzerv-szállítmány értékesítését tervezi. Minőség-ellenőrzés céljából egy 500 üvegből álló mintát vesznek egyszerű véletlen mintavétellel. A mintába került üvegek nettó töltőtömeg szerinti megoszlása a következő (7.1. táblázat):

7.1. táblázat - A mintába került üvegek nettó töltési tömeg szerinti megoszlása Üvegek nettó töltési tömege, gramm

Üvegek száma

441 – 460

15

461 – 480

85

481 – 500

160 39

Statisztikai becslések 501 – 520

190

521 – 540

50

Összesen

500

Becsüljük meg 95%-os valószínűséggel, hogy milyen határok között van az üvegek átlagos nettó töltőtömege a szállítmányban! Mivel a sokaság eloszlása nem ismert, de nagy mintát vettünk, a c) pontban megfogalmazott esettel van dolgunk. A feladat megoldása során első lépésként ki kell számolnunk a becslőfüggvény értékét, a mintaátlagot, majd a korrigált tapasztalati szórást kell meghatároznunk. A mintaátlag (súlyozott számtani átlag formát alkalmazva):

A korrigált tapasztalati szórás:

A mintaátlag standard hibája:

Az

értékhez és az

szabadságfokhoz tartozó Student t-eloszlású változó értéke

és így a hibahatár:

A konfidenciaintervallum határai pedig: az alsó határ: 497 – 1,7 = 495,3 gramm, a felső határ: 497 + 1,7 = 498,7 gramm. Tehát az 50 000 üveg átlagos nettó töltőtömege 95%-os valószínűséggel 495,3 és 498,7 gramm között van. 40

Statisztikai becslések Megjegyzés: A hibahatár meghatározásához (tekintettel a nagy mintaelemszámra) használhatjuk a Student t-eloszlás helyett a standard normális eloszlás táblázatát is. Az az eredményhez jutunk.

esetén a standard normális eloszlású változó értéke

.A

és a

érték megegyezik, ezért ugyanahhoz

7.3.2. A sokasági értékösszeg becslése A minta alapján a sokasági várható érték mellett lehetőségünk van ezen mutató N-szeresének, a sokasági értékösszegnek becslésére is. A sokasági értékösszeg becslőfüggvényeként nem a mintabeli értékösszeget Így a sokasági értékösszeg becslőfüggvénye:

a

használjuk, hanem a mintaátlag N-szeresét.

Mivel a becslőfüggvény az átlagbecslés becslőfüggvényének egy konstanssal (N) történő szorzásával jön létre, ezért a standard hiba négyzete is N-szerese lesz az átlagbecslés standardhiba-négyzetének:

attól függően, hogy ismert vagy sem a sokasági szórás. Konkrét mintából számolva a standard hiba négyzete:

Ezek után a sokasági értékösszegre adott konfidenciaintervallum alsó és felső határa a következő lesz:

Konkrét minta esetén pedig a határok az 41

Statisztikai becslések

összefüggéssel határozhatók meg, ahol Fontos megjegyeznünk, hogy a keresett intervallumot megkaphatjuk úgy is, hogy a sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum határait – pl. – megszorozzuk N-nel, hisz a sokasági értékösszegre adott konfidenciaintervallum levezetésénél a becslőfüggvényt és annak standard hibáját is megszoroztuk a sokaság elemszámával, N-nel. Az előzőekben meghatározott konfidenciaintervallum, ha a minta elemszáma nagy, mind független azonos eloszlású, mind egyszerű véletlen minta esetén használható. A különbség csak a standard hiba kiszámításában van. Kis minta esetén – hasonlóan az átlagbecsléshez – a megadott összefüggés csak akkor használható, ha független, azonos eloszlású mintánk volt. Folytassuk a gyümölcskonzerv-szállítmányra vonatkozó példánkat, és határozzuk meg, milyen határok között lesz 95%-os valószínűséggel az 50 000 üveg összes nettó töltőtömege ! A becslőfüggvény értéke az eddigi számítási eredmények felhasználásával:

Egyben 24 850 kg a pontbecslés értéke is, hiszen egyetlen mintához egyetlen értéket rendel. Az intervallumbecsléshez a becslőfüggvény standard hibája:

A konfidenciaintervallum pedig

esetén:

Ugyanarra az eredményre jutunk, ha a sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum határait megszorozzuk 50 000-rel. Így

Tehát 50 000 üveg összes nettó töltőtömege 95%-os valószínűséggel 24 765 és 24 935 kg között van. 42

Statisztikai becslések

7.3.3. A sokasági arány becslése A sokasági arány becslésének, az ún. aránybecslésnek az a lényege, hogy a sokaságot valamely minőségi vagy mennyiségi ismérv alapján két csoportba soroljuk, és az egyes csoportokba esés valószínűségét akarjuk meghatározni. Vizsgálhatjuk például a sokaságon belül a férfiak vagy a nők arányát, egy vállalaton belül azon dolgozók arányát, akiknek a keresete magasabb, mint 25 000 Ft, vagy valamely terméknél bizonyos minőségi követelményeknek megfelelő darabok arányát. A sokasági arányt P-vel jelöljük. Ez azt jelenti, hogy egy egyedet kiválasztva P a valószínűsége annak, hogy az egyed rendelkezik az adott tulajdonsággal. Továbbra is feltételezzük, hogy független, azonos eloszlású minta áll a rendelkezésünkre. Ha n elemű mintát veszünk, akkor legyen az adott tulajdonsággal rendelkező mintabeli elemek száma binomiális eloszlású (Bernoulli-féle kísérletsorozatról van szó) és

. Független minta esetén

Így a mintabeli arány

várható értéke

Mivel P és így

így

a P-nek torzítatlan becslése, és szórásnégyzete

eleve ismeretlen (hiszen a P-t akarjuk meghatározni), ezért a

Egy konkrét mintában p-vel jelöljük a értékét, a értékét pedig tulajdonsághoz tartozó karakterisztikus valószínűségi változók, azaz

43

-ot

-nel becsüljük. -nel. Úgy is felfoghatjuk, hogy

legyenek az adott

Statisztikai becslések

Ekkor

és

Ugyanakkor

vagyis

és

Az eddigiek során alkalmazott gondolatmenetnek megfelelően a mintából számított arány ( ) alapján a binomiális eloszlás segítségével megkaphatjuk a keresett konfidenciaintervallumot. Ezt az eljárást a gyakorlatban ritkán alkalmazzuk. Helyette (mivel nagy mintaelemszám esetén a binomiális eloszlás jól közelíthető normális eloszlással) definiálhatunk egy

valószínűségi változót, amely standard normális eloszlású, ha n elég nagy. Ekkor a konfidenciaintervallum meghatározásához a standard normális eloszlást használjuk, s ennek segítségével (hasonló gondolatmenetet alkalmazva, mint az átlagbecslésnél) a következő módon írhatjuk fel a keresett intervallumot:

amelyből a konfidenciaintervallum alsó és felső határa konkrét minta esetén:

ahol

a

egyenlet megoldása során a standard normális eloszlás táblázatából kikeresett érték.

Ha egyszerű véletlen minta áll a rendelkezésünkre, akkor a konfidenciaintervallum meghatározása az előzőektől csak annyiban különbözik, hogy az kiszámításánál a korrekciós tényezőt

is figyelembe kell venni. 44

Statisztikai becslések Egyik közvélemény-kutató cégünk a választók között a választás napján közvélemény-kutatást végzett abból a célból, hogy az urnák lezárása után röviddel közzétegye a választás becsült eredményét. A fővárosban az egyik pártra a 2000 megkérdezettből 700 szavazott. Becsüljük meg 99%-os valószínűséggel, hogy milyen határok között lesz a pártra szavazók aránya a szavazatok összeszámlálása után a fővárosban! A pártra szavazók aránya a mintában (a becslőfüggvény értéke):

majd kiszámítjuk a standard hibát:

A 99%-os valószínűséghez tartozó

táblázatbeli érték felhasználásával a konfidenciaintervallum határai:

Tehát a szavazatok összeszámlálása után 99%-os valószínűséggel arra számíthatunk, hogy a kiválasztott pártra szavazók aránya 32,2% és 37,8% között lesz.

7.3.4. A sokasági szórásnégyzet becslése A sokasági szórásnégyzet (

) becslésére a torzítatlan becslést eredményező korrigált tapasztalati szórásnégyzetet (

) használjuk.

Független, azonos eloszlású minta esetén definiáljuk az

változót. Ha a minta

tagjainak szórásnégyzete

és

akkor a

várható értéke 0 és szórásuk 1. Ha feltételezzük, hogy normális eloszlásúak, akkor négyzetösszegük, így 45

valószínűségi változók is

szabadságfokkal.

Statisztikai becslések

A

6

érdemes megjegyezni, hogy független standard normális eloszlású változók négyzetösszegének eloszlását fejezi ki. Egyetlen

szabadságfoka van, ami az összegezendő független változók számával egyenlő. A aszimmetrikus. Az eloszlás sűrűségfüggvényét a 7.5. ábra szemlélteti.

7,5. ábra - A

csak pozitív értékekre van értelmezve, s balról

sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok esetén

A 7.3.1. pontban már megállapítottuk, hogy annak valószínűsége, hogy a sokasági paraméter a konfidenciaintervallumba esik, valószínűsége, hogy nem,

. Sokasági paraméterünk

valószínűséggel lesz kisebb a konfidenciaintervallum alsó határánál, s ugyanekkora

valószínűséggel lesz nagyobb a felső határánál. Mivel a szimmetrikus a pontbecslésre.

aszimmetrikus, az eddigi esetekkel ellentétben a konfidenciaintervallum nem lesz

A konfidenciaintervallum képzéséhez írjuk fel az alábbi összefüggést:

6

s annak

Valószínűségszámítás 196. oldal

46

Statisztikai becslések

ahol a

illetve a

az

szabadságfok esetén a

eloszlásfüggvényének az

illetve az

értékhez tartozó kvantilise. Ezt a

táblázatából kereshetjük ki. (Függelék 2. táblázat.) Mivel az eloszlás nem szimmetrikus, mind a két értéket ki kell keresnünk a táblázatból. Átrendezés után a következő összefüggés írható fel:

Ebből már felírhatjuk a sokasági szórásra adott konfidenciaintervallumot. Konkrét minta esetén

Nézzünk egy példát az elmondottakra. Egy 250 grammos vákuumos kávét csomagoló gép működésének vizsgálatához egy 100 elemű véletlen mintát vettek az egyik munkanapon. A mintába került kávécsomagok nettó töltési tömeg szerinti megoszlása a következő volt:

7.2. táblázat - A mintába került kávécsomagok megoszlása A csomagok töltési tömege (gramm)

A csomagok száma

– 240

8

240 – 245

22

245 – 250

32

250 – 255

28

255 –

10

Összesen

1002

Tegyük fel, hogy a kávécsomagok töltési tömeg szerinti eloszlása normálisnak tekinthető. 47

Statisztikai becslések Határozzuk meg, hogy milyen határok között lesz a kávécsomagok töltési tömegének szórása 95%-os valószínűséggel! Először számítsuk ki a minta átlagát és szórását!

A

(Mivel a

táblázatából

szabadságfoknál kikeressük a megfelelő táblázati értékeket, melyek

táblázata a 99-es szabadságfokhoz tartozó értéket nem tartalmazza, ezért a 100-nál talált értékeket adtuk meg.)

Így a szórásra adott megbízhatósági intervallum határai:

Tehát a kávécsomagok nettó töltési tömegének ingadozása (szórása) 95%-os megbízhatóság mellett 2,1 és 2,7 gramm között van. Természetesen külön vizsgálat tárgyát képezi az a torzítás, amely abból származik, hogy a normalitási feltételünk hibás.

7.4. A konfidenciaintervallum meghatározása rétegzett mintavétel esetén A 6.2.4. pontban részletesen tárgyaltuk a rétegzett mintavételi eljárást. Emlékeztetőül itt csak annyit említünk meg, hogy ezen mintavételi módnál a sokaságot oly módon bontjuk rétegekre, hogy a sokaság minden elemét tartalmazzák a rétegek, de egyetlen elem se tartozzon egynél több csoportba, és rétegenként egyszerű véletlen mintát veszünk. 48

Statisztikai becslések Az eddigiek során a sokaság várható értékére, a sokasági értékösszegre és az arányra mind független azonos eloszlású minta, mind egyszerű véletlen minta esetén megadtuk a konfidenciaintervallumot. (A sokasági szórásra csak független azonos eloszlású minta esetén tettük meg mindezt.) Mivel a rétegzett mintavétel során a minta elemeit rétegenként egyszerű véletlen mintavétellel választjuk ki, ezért a konfidenciaintervallum meghatározásánál csak ezzel az esettel fogunk foglalkozni. A rétegzett mintából történő becslés tanulmányozásához további jelölések bevezetésére van szükség. Ezeket a 7.3. táblázatban tekintjük át.

7.3. táblázat - A rétegzett mintából történő becslés jelölésrendszere Megnevezés

Sokaságban

Mintában

Konkrét mintában

Elemszám

N

n

n

A rétegek száma

M

M

M

Elemszám az egyes rétegekben A j-edik réteg aránya (súlya) a sokaságban A j-edik réteg iedik eleméhez tartozó ismérvérték A j-edik réteg átlaga

A j-edik réteg szórása Adott tulajdonsággal rendelkezők aránya Véges sokaság feltételezése mellett az ismeretlen sokasági várható érték azonos az átlaggal számítható ki:

49

, és a rétegátlagok súlyozott számtani átlagaként

Statisztikai becslések Nézzük most a becslést a mintaelemek nem arányos elosztása esetén! Mivel minden rétegből egyszerű véletlen mintát veszünk, a rétegátlagokat célszerű a megfelelő mintaátlagokkal becsülni. Tehát a j-edik réteg átlagának a becslőfüggvénye a j-edik réteg mintaátlaga, a Célunk azonban nem a rétegátlag, hanem a sokasági átlag becslése. A sokasági várható érték becslőfüggvényét a mintaátlagoknak a sokasági rétegarányokkal súlyozott átlagaként kapjuk, amely képlettel felírva a következő:

A konfidenciaintervallum meghatározásához azonban szükségünk van a becslőfüggvény standard hibájára. (Az egyszerűség kedvéért az összefüggéseket a standard hiba négyzetére mutatjuk be.) Tehát

amely a rétegek függetlensége miatt tovább írható a következő módon:

Így az összefüggés redukálódott a j-edik réteghez tartozó mintaátlag szórásnégyzetének a rétegarányok négyzetével súlyozott átlagára. Egyszerű véletlen mintavétel esetén

Ezt visszahelyettesítve az előző összefüggésbe, azt kapjuk, hogy

Ennek négyzetgyöke a standard hiba. Természetesen, ha nem ismerjük a rétegenkénti szórásnégyzetet, akkor a mintából kell becsülnünk a korrigált empirikus szórásnégyzet segítségével, s így a standard hiba: 50

Statisztikai becslések

A konfidenciaintervallum meghatározásához a becslőfüggvény eloszlásának ismerete is szükséges. Ezen becslőfüggvényről belátható, hogy nagy minta esetén közelítőleg standard normális eloszlású (s a rétegzett mintavételnél általában nagy mintával van dolgunk). Így a sokasági várható értékre adott megbízhatósági intervallum határai a következők:

Konkrét minta esetén pedig

Vizsgáljuk meg, hogy a mintaelemek arányos elosztása esetén hogyan határozhatók meg a konfidenciaintervallum határai! Ha a minta elemeit arányos elosztással választottuk ki, akkor az egyes rétegek aránya a mintában és a sokaságban megegyezik, tehát behelyettesítve a rétegzett mintavétel esetén a sokasági várható érték becslőfüggvényébe

Ezt

adódik. Tehát a becslőfüggvény a rétegátlagoknak a mintabeli rétegarányokkal súlyozott számtani átlaga.

Ha

behelyettesítjük a rétegzett mintavétel esetén az átlagbecslés standard hibájának négyzetét mutató összefüggésbe,

adódik, és felhasználva, hogy -tel, azaz a mintabeli belső szórásnégyzettel, akkor arányos elosztás esetén az átlagbecslés standard hibájának négyzete a következőképpen is írható: 51

Statisztikai becslések

Ennek négyzetgyöke a standard hiba. Ha a rétegenkénti szórás nem ismert, akkor a fenti összefüggés helyett konkrét minta esetén az

képletet használjuk, ahol

továbbá

a mintából számított j-edik réteg korrigált tapasztalati szórásnégyzete.

Arányos rétegzés esetén így egyszerűsödik az átlagbecslés standard hibáját meghatározó összefüggés, és világossá válik, hogy a rétegzett mintavételnél a becslés pontossága csak a rétegeken belüli szóródástól függ. Továbbá belátható, hogy a rétegzett mintavétel standard hibája kisebb, mint az egyszerű véletlen mintavételé, mivel a mutató kiszámításánál csak a csoportokon belüli szórással számolunk, s nem vesszük figyelembe a rétegátlagok különbözőségét. (Ismeretes, hogy a sokaság teljes szórásnégyzete Ha a sokaság erősen heterogén, akkor a nagy, így az arányosan rétegzett becslés standard hibája lényegesen kisebb lesz az egyszerű véletlen mintavételen alapuló becslésénél. Ezért a rétegzett mintavétel pontosabb becslést eredményez, mint az egyszerű véletlen mintavétel. Ezzel szemben, ha a sokaság közel homogén volt, akkor a teljes szórásnégyzet nagy részét a

eredményezi, s ekkor a rétegzés nem vezet lényegesen pontosabb eredményre.

Mivel az arányos elosztás esetén használt összefüggést a nem arányos elosztás esetén használt összefüggésből vezettük le, ezért a becslőfüggvény nagy minta esetén továbbra is standard normális eloszlású lesz, így a konfidenciaintervallum konkrét minta esetén az

összefüggésekkel határozható meg, attól függően, hogy ismert vagy sem a rétegenkénti szórás. 52

Statisztikai becslések Értékösszegbecslés esetén a rétegzett mintavételnél hasonlóan járunk el, mint egyszerű véletlen minta esetén. Nevezetesen a sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum határait meg kell szorozni N-nel. Aránybecslésnél a sokasági arány becslőfüggvénye a mintabeli arányok súlyozott átlagaként számítható ki, azaz

Konkrét minta esetén A standard hiba kiszámítása során konkrét mintánál – mind arányos, mind nem arányos elosztásnál – a nem arányos elosztás esetén használt összefüggésben a rétegszórások ( ) helyett a

szerepel. Tehát

A konfidenciaintervallum határait pedig konkrét minta esetén a

összefüggésbe történő behelyettesítéssel határozhatjuk meg. Tekintsük a következő példát! A díjköteles levélpostai küldemények egyhavi forgalmát kívánta megbecsülni a Magyar Posta. Ezért a postahivatalokat a forgalom nagysága szerint három csoportba (A, B és C) sorolták, és az egyes csoportokból egyszerű véletlen kiválasztással mintát vettek. A sokaság és a minta megoszlását, továbbá a számítási eredmények egy részét valamely hónapban a 7.4. táblázat tartalmazza.

7.4. táblázat - A számításhoz szükséges adatok Hivatalok száma Rétegek

a sokaságban

a mintában

Levélpostai küldemények számának átlaga (E db)

szórása (E db) 53

Statisztikai becslések a mintában

A

80

38

101,0

54,0

B

420

26

12,0

6,0

C

2690

32

1,5

0,8

Összesen

3190

96

...

...

Adjunk pont- és intervallumbecslést a Magyar Posta havi átlagos levélforgalmára! (A megbízhatósági szint 95%.) Először vizsgáljuk meg, hogy a mintaelemeket arányosan osztották-e el az egyes rétegek között! Ehhez határozzuk meg az egyes rétegek arányát a sokaságban és a mintában! A számítási eredményeket a 7.5. táblázat mutatja.

7.5. táblázat - A sokaság és a minta elemszámának megoszlása Rétegek

Az egyes rétegek aránya (%) a sokaságban

a mintában

A

2,5

39,6

B

13,2

27,1

C

84,3

33,3

Összesen

100,0

100,0

Mivel az egyes rétegek aránya nem egyezik meg az alapsokaságban és a mintában, így a mintaelemek szétosztása nem arányos elosztással történt.

Becsüljük meg a postahivatalok átlagos forgalmát a nem arányos elosztás esetén használt

Tehát a Magyar Posta havi átlagos levélforgalma 5378 db. (Ekkor pontbecslést adtunk a levélforgalomra.) 54

képlet alapján! A példában:

Statisztikai becslések

A standard hiba négyzetének meghatározására – mivel a rétegszórások a sokaságban nem ismertek – az használjuk. Így a példában:

képletet

amelyből a standard hiba: A keresett megbízhatósági intervallum határai pedig

felhasználásával:

Megállapíthatjuk, hogy az egyhavi átlagos levélforgalom 95%-os megbízhatósággal 4890 és 5866 db között van adott hónapban. Becsüljük meg 95%-os valószínűséggel az adott havi összes levélforgalmat!

Tehát a Magyar Posta összes levélforgalma a vizsgált hónapban 95%-os valószínűséggel 15 599,1 E db és 18 712,54 E db között van . Tekintsük a következő példát! Egy városban kérdőíves felméréssel vizsgálták a házi munkára fordított idő nagyságát. A vizsgált településen 80 000 felnőtt lakos lakik, akik közül 36 000 férfi. A nem szerinti hovatartozás alapján rétegzett 1000 elemű mintára vonatkozó információkat a 7.6. táblázat tartalmazza.

7.6. táblázat - 1000 elemű minta adatai A lakosság száma a mintában Nem

A házi munkával töltött idő átlaga (óra)

szórása (óra)

a mintában 55

Statisztikai becslések

Férfi

450

0,6

1,5

Nő

550

4,0

1,2

Összesen

1000

...

...

Határozzuk meg a házi munkával töltött napi átlagos időt a felnőtt lakosság egészére 95,5%-os megbízhatósági szinten! Mivel a férfiak aránya a mintában és a sokaságban megegyezik (a férfiak aránya 45%, a nőké pedig 55%), a mintát arányos elosztással választották ki. A házi munkával töltött idő átlaga:

Mivel a rétegenkénti sokasági szórás nem ismert, ezért a standard hiba kiszámítására az célszerű meghatározni a belső szórásnégyzetet:

összefüggést használjuk. Ehhez először

Ennek felhasználásával a standard hiba:

Mivel

a keresett konfidenciaintervallum határai:

Megállapíthatjuk, hogy a városban a házi munkára fordított átlagos idő 95,5%-os valószínűséggel 2,386 óra és 2,554 óra között van. 56

Statisztikai becslések Induljunk ki az előző példa eredményeiből! Határozzuk meg, hogy mekkora lenne a becslés standard hibája, ha a minta elemeit nem rétegzett, hanem egyszerű véletlen mintavétellel választottuk volna ki! Természetesen a becslőfüggvény értéke, a mintaátlag továbbra is 2,47 óra. A standard hiba meghatározásához szükség van a mintaelemek teljes szórására, amely nemcsak a rétegeken belüli szórástól ( ), hanem a rétegek közötti szórástól ( szórást. Ehhez először kiszámítjuk a mintában a külső szórásnégyzetet:

A már korábban kiszámított

) is függ. Ezért meg kell határoznunk a külső

ismeretében a teljes szórásnégyzet:

Ezek után egyszerű véletlen mintavétel feltételezése esetén a standard hiba:

Megállapíthatjuk, hogy egyszerű véletlen mintavételnél a standard hiba 0,068 óra, míg rétegzett mintavétel esetén csak 0,042 óra. Tehát a rétegzett mintavétel alkalmazása csökkentette a standard hibát.

7.5. A minta elemszámának meghatározása Az eddigiek során feltételeztük, hogy rendelkezésre áll egy meghatározott elemszámú minta, amely elemeinek felhasználásával meghatároztuk valamely sokasági jellemzőt adott megbízhatósággal tartalmazó konfidenciaintervallum határait. A becslést ismert mintanagyság alapján végezzük el. Ekkor a becslés pontossága a mintaelemek számától is függ. Közelítsük meg a problémát a másik oldalról. Határozzuk meg, hogy mekkora mintára van szükségünk ahhoz, hogy egy adott megbízhatósági szint mellett egy adott pontosságot ( ) tudjunk biztosítani. Ezen gondolatmenetet az is indokolja, hogy a reprezentatív adatfelvétel során előre megtervezzük, rögzítjük a pontossági és a megbízhatósági követelményeket. A minta elemszámának meghatározását független, azonos eloszlású minta és egyszerű véletlen minta esetén mutatjuk be. Független, azonos eloszlású mintánál a hibahatár a már megismert képlet szerint: 57

Statisztikai becslések

amelyből átrendezéssel meghatározhatjuk a szükséges minta elemszámát:

A fenti összefüggésből látható, hogy a mintaelemszám négyzetesen arányos a megbízhatósággal és a sokasági szórással, fordítottan arányos a hibahatár négyzetével (a pontossággal). Egyszerű véletlen mintavétel esetén a standard hiba meghatározásánál a korrekciós tényezőt, ..-t is figyelembe kell venni, amely a hibahatárt is módosítja. Így:

Átrendezés után a szükséges minta elemszáma:

Igazolható, hogy ha véges sokaságból visszatevéssel választjuk ki a minta elemeit (tehát független, azonos eloszlású mintát veszünk), akkor adott pontossági és megbízhatósági feltételek mellett nagyobb mintaelemszámra van szükség, mint ha véges sokaságból visszatevés nélkül (egyszerű véletlen mintavétellel) választottuk volna ki a minta elemeit. A mintanagyságot az egyéb véletlen kiválasztási módok esetén is rögzített pontossági és megbízhatósági feltételek mellett határozzuk meg a fenti összefüggések alkalmazásával. Így például rétegzett mintavétel esetén, ha a mintaelemeket arányos elosztással választottuk ki, a fenti összefüggésben a

helyett a

kell használnunk.

Fontos megjegyzés: ha a sokasági szórás nem ismert, a minta elemszámának meghatározásánál használhatjuk a korábbi mintavételből származó szórást is. Térjünk vissza a gyümölcskonzerv-szállítmánnyal foglalkozó példánkhoz, amelynek eredményei a következők voltak: A mintába került konzervek nettó töltőtömegének szórása:

A hibahatár 1,7 gramm, a megbízhatósági szint pedig 95%, és 50 000 üveget tartalmaz a szállítmány.

a) Határozzuk meg, hány elemű mintára van szükség, ha változatlan megbízhatóság és szórás esetén a pontosságot a felére csökkentjük! 58

Statisztikai becslések

Ha a pontosság a felére csökken, akkor a hibahatár kétszeresére nő, tehát

Ekkor lényegesen kevesebb (126) elemű minta is elegendő lenne. b) Hány elemű mintára van szükség, ha változatlan pontosság mellett a megbízhatóságot 98%-ra akarjuk növelni? Ekkor a

a szükséges minta elemszáma pedig

Tehát ha a megbízhatóságot 98%-ra növeljük, változatlan pontosság mellett nagyobb (698 elemű) mintára lenne szükség.

7.6. Gyakorlófeladatok 1. Egy szoros elszámolásra nem kötelezett bolt napi eladási forgalmára 12 véletlenszerűen kiválasztott napon az alábbi megfigyeléseket tették. (Forgalom 1000 Ft-ban, kerekítve.) 17,2; 10,8; 14,6; 15,5; 20,4; 16,3; 16,8; 17,5; 16,3; 18,1; 16,6; 20,5. Korábbi tapasztalatok alapján azt állíthatjuk, hogy a napi forgalom normális eloszlású. Feladat: a) Készítsünk 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést a napi átlagos forgalomra! b) Mondjuk meg a standard hiba, a maximális hiba és a konfidenciaintervallum jelentését! 2. Egy üdítőital-féleség palackozására új automata gépsort vásároltak. 500 elemű (10%-os) véletlen minta segítségével vizsgálják a gép teljesítményét. Feltételezzük, hogy a töltési tömeg normális eloszlást követ. Üdítőital tömege (gramm)

Palackok száma (db)

– 960

50 59

Statisztikai becslések 961 – 980

75

981 – 1000

300

1001 – 1020

50

1021 – 1040

25

Összesen

500

Feladat: a) Készítsünk intervallumbecslést: 1. a palackok átlagos töltőtömegére (95%-os megbízhatósággal), 2. az 1000 gramm töltőtömeg feletti üvegek arányára (90%-os megbízhatósággal)! b) 5000 palack eladott üdítőital esetén maximálisan hány olyan palack van, amelyben 1000 gramm feletti a töltőtömeg? (Valószínűségi szint 90%.) 3. Egy gazdaságban tájékozódni kívánnak arról, hogy az 1000 hektáros búzavetés-területen milyen termés várható. Ennek érdekében véletlen 2 koordináták alapján kijelölt 1 m -es mintavételi tereken 100 mintavételt végeznek. A mintából nyert adatok a következők: Terméknagyság2 csoportok (g/m )

A mintaelemek száma

– 450

4

451 – 500

8

501 – 550

20

551 – 600

32

601 – 650

20

651 – 700

12

701 –

4

Összesen

100 60

Statisztikai becslések Feladat: Becsüljük meg 95%-os megbízhatósági szinten a) a várható termésátlagot, b) az 1000 ha-os területen várható búzatermés mennyiségét! 4. Az egyik húsipari vállalatnál 500 gramm névleges tömegű húskonzerv töltésére új gépet állítottak üzembe. Egy 100 elemű minta segítségével vizsgálták a gép teljesítményét. Feltételezhető, hogy a töltési tömeg normális eloszlást követ. A 100 elemű mintában az átlagos töltési tömeg 498,6 gramm, a szórás 11,2 gramm. Feladat: a) Jelöljünk ki a konzervek átlagos töltőtömegére konfidenciaintervallumot 1. 95%-os megbízhatósági szinten, 2. 98%-os megbízhatósági szinten! b) Ha ugyanezen információk 200 elemű mintából származnának, hogyan módosulnának az a) pontbeli intervallumok? 5. Egy 500 elemű minta alapján arra kívántak választ kapni, hogy Magyarországon a gyümölcscentrifuga mennyire elterjedt. A megkérdezett háztartások közül 80-ban volt ilyen gép. A háztartások száma a vizsgált évben 4 millió volt. Feladat: a) Becsülje meg 95,5%-os megbízhatósági szinten a gyümölcscentrifugával rendelkező háztartások arányát! b) Hány darabra becsülhető a háztartásokban használt gyümölcscentrifugák száma? (Valószínűségi szint: 95,5%.) 6. Egy könyvtárban egy adott héten a beiratkozott olvasók 5%-a fordult meg és kölcsönzött könyvet. Elemzés céljából feljegyezték az olvasók által kölcsönzött könyvek számát: A kölcsönzött könyvek száma

Olvasók száma

1

14

2

15 61

Statisztikai becslések 3

24

4

20

5

15

6

10

7

8

8

4

Összesen

110

Feladat: a) Adjunk 90%-os megbízhatósági intervallumot a háromnál több könyvet kölcsönzők arányára vonatkozóan! b) Milyen szóródást mutat a mintában a kölcsönzött könyvek száma? (A szórás mutatószámával mérve.) c) Milyen határok között becsülhető – 95%-os megbízhatósági szinten – a b) pontbeli mutatószám? 7. Egy bizonyos típusú televíziókészülék javításával Budapesten csak egy szerviz foglalkozik. Egy 100 elemű mintából az újonnan vásárolt és garanciális időn belül meghibásodott készülékek száma 30 db volt. Készítsünk 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést arra vonatkozóan, hogy az adott évben értékesített 10 000 db készülék közül hány db szorul majd garanciális javításra? Feladat: Hány elemű mintából kapnánk olyan becslést, amelynek a) 98%-os a megbízhatósága változatlan hibahatár mellett? b) változatlan megbízhatóság mellett kétszeres a pontossága? 8. Valamely felsőoktatási intézményben a napi átlagos ebédköltség nagyságának becslésére az ott tanuló 1800 diákból 200 fős mintát vettek. Az intézményen belül a hallgatók 60%-a fiú. A 200 fős minta eredményei: Nem

Megkérdezettek száma (fő)

Átlagos ebédköltség (Ft/fő/nap)

Az ebédköltség rétegen belüli szórása (Ft/fő/nap)

Fiú

120

400

124 62

Statisztikai becslések Lány

80

220

118

Együtt

200

...

...

Feladat: a) Becsüljük meg a hallgatók átlagos napi ebédköltségét 95%-os megbízhatósággal! b) Becsüljük meg, mekkora bevételre tenne szert naponta az étkezést biztosító cég, ha valamennyi hallgató az intézményben ebédelne! c) Számítsuk ki, hogy mennyi lenne a becslés során elkövetett standard hiba, ha nem rétegeztük volna a mintát? 9. Egy országban új társasági adótörvény bevezetését tervezi a kormány. Szeretnék a lehető legmagasabb adót kivetni, de nem akarják elveszíteni a sok külföldi befektetőt s lehetetlen helyzetbe hozni a vállalkozásokat. Ezért a törvény alkotása előtt egy előzetes felmérést végeztek arra vonatkozóan, mi az a maximális adókulcs, amit még a vállalkozók is elfogadhatónak tartanak. Az országban 348 600 vállalkozás működik. Egy 1000 elemű mintavétel eredményei: A vállalkozás tulajdonosa Belföldi

A vállalkozások A aránya a megkérdezett sokaságban vállalkozások (%) száma (db)

Javasolt maximális adókulcs átlaga (%)

Javasolt maximális adókulcs szórása (%)

26

300

30

6

32

250

20

5

Vegyes tulajdonú

42

450

25

7

Összesen

100

1000

...

...

Külföldi

Feladat: Becsüljük meg 95,5%-os megbízhatósági szinten, mennyi a vállalkozások által javasolt adókulcs átlagos nagysága! 10. Egy reprezentatív felmérés során vizsgálták a libamájtermelést a libamáj-hasznosítású hibrideknél. A 25 ezer db-os hibridállomány 40%-a gödöllői májhibrid, 30%-a Hungavis-kombi, 30%-a Hungavis-barna. A vizsgálat során levágott 500 lúdra vonatkozó adatok: Fajta

Ludak száma (db)

A máj átlagos tömege (gramm)

A tömeg relatív szórása (%) 63

Statisztikai becslések Gödöllői májhibrid

175

695

16,0

Hugavis-kombi

75

530

13,0

Hungavis-barna

250

610

14,0

Összesen

500

...

...

Feladat: Becsüljük meg 95,5%-os valószínűségi szinten a) a libamáj átlagos tömegét – az egyes fajtáknál, – az állatállomány egészére, b) a májhasznosítású hibridek által termelt libamáj várható össztömegét! 11. Egy gazdaságban 3000 almafa össztermését kívánják megbecsülni. Ennek érdekében a két almafajta (A és B) terméséből arányosan rétegzett 10%-os mintát vesznek. A 2250 A fajtából kiválasztott 225 fán az összes termés 27 000 kg, a B fajtából a mintába került almafákon az összes termés pedig 11 250 kg volt. A mintaátlagoktól számított eltérés-négyzetösszeg az egyes fajtáknál a következő: A-nál 201 600, B-nél 118 400. Feladat: a) Számítsuk ki – az egyes rétegekben az átlagos almatermést, – az egyes rétegek szórását! b) Becsüljük meg a gazdaság várható össztermését 95%-os megbízhatósági szinten! c) Az A fajtánál a „nagyon gyenge” termésű fák aránya: 12%, a B fajtánál pedig 8%. Mennyire becsülhető ez az arány az egész gazdaságban? Hány ilyen almafa „pótlásáról” célszerű gondoskodni? (A valószínűségi szint 90%-os.) 12. A személygépkocsi-abroncsok minőségét egyszerű véletlen minta segítségével ellenőrzik. A késztermékek minőség-ellenőrzése során az abroncsok 20%-a nem felelt meg a minőségi követelményeknek. Feladat: 64

Statisztikai becslések

Határozzuk meg a minőségileg kifogásolt termékek arányának konfidenciaintervallumát, ha a fenti értéket kaptuk (a megbízhatóság 95%-os)!

65

és

elemű mintából

8. fejezet - Hipotézisvizsgálat Az előző fejezetben megismert becslési eljárások során a sokasági paramétert ismeretlennek tekintettük, és a mintából származó adatokat arra használtuk fel, hogy az ismeretlen sokasági paraméter közelítő értékét meghatározzuk. A hipotézisvizsgálatnál ezzel szemben egy (vagy több) sokaságról állítunk valamit, majd a rendelkezésünkre álló minta (vagy minták) alapján az állítás helyességét ellenőrizzük. Másképpen megfogalmazva: azt próbáljuk eldönteni, hogy valamely mintából számított érték és egy általunk előre feltételezett érték közötti eltérés elég nagye ahhoz, hogy állításunk helyességét megkérdőjelezzük.

8.1. A hipotézisvizsgálat alapfogalmai Egy vagy több sokaságra vonatkozó állítást, feltevést hipotézisnek nevezünk. A hipotézis vonatkozhat az egy (vagy több) sokaság eloszlására, de a szóban forgó eloszlás egy (vagy több) paraméterére is. A hipotézis helyességét mintából (vagy mintákból) származó adatok alapján ellenőrizzük. A fent elmondottakhoz hozzá kell fűzni, hogy nincs értelme hipotézisként kezelni olyan feltevéseket, amelyek helyességéről teljes körű számbavétellel is meggyőződhetünk. A statisztikai hipotézis fogalmához hozzátartozik, hogy a rendelkezésre álló információt a minta képviseli, ezért a következtetésünk bizonytalanságot hordoz, valószínűségi jellegű. Hipotézis például, hogy egy csomagológép a szabványnak megfelelően tölti a tasakokat, vagy hogy egy új eljárás eredményesebb, mint a régi. A hipotézisvizsgálat első lépése a vizsgálni kívánt hipotézis matematikai megfogalmazása. Pontosabban, két hipotézist kell egyszerre megfogalmaznunk. Az ún. nullhipotézist és egy azzal szemben álló másik állítást, az ún. alternatív hipotézist. Ez utóbbit ellenhipotézisnek is szokták nevezni. A továbbiakban a nullhipotézist

az alternatív hipotézist

fogjuk jelölni. Magukat a konkrét feltételezéseket a

illetve a

szimbólumot követő kettőspont után írjuk fel, mégpedig olyan formában, hogy azok egymást kölcsönösen kizárják. Erre azért van szükség, mert minden hipotézisvizsgálat végeredménye, hogy a két hipotézis közül valamelyiket elfogadjuk a másikkal szemben. A nullhipotézis és az ellenhipotézis is lehet egyszerű vagy összetett hipotézis. Egyszerű hipotézis esetén az állításunkat egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, míg az összetett hipotézis több önálló hipotézis összessége. Így állításunk megfogalmazása során az < és > relációjeleket használhatjuk. A nullhipotézist mi mindig egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, azaz a nullhipotézis a továbbiakban mindig egyszerű hipotézis, míg az alternatív hipotézisünk többnyire összetett hipotézis lesz. Például, ha az állításunk az, hogy a sokaság várható értéke ( ) egyenlő egy értékkel, akkor a nullhipotézis és az alternatív hipotézis a következő módon fogalmazható meg:

66

előre rögzített

Hipotézisvizsgálat

Ha pedig alternatív hipotézisként azt állítjuk, hogy az alapsokaság várható értéke kisebb az

számnál, akkor

Az a hipotézis, amelynek helyességéről közvetlenül döntünk, a nullhipotézis, és döntésünket mindig az alternatív hipotézisünkkel szemben hozzuk meg. Mivel a nullhipotézis és az alternatív hipotézis kölcsönösen kizárják egymást, döntésünk – a nullhipotézist illetően – alternatív döntés lesz, vagy a nullhipotézist (

), vagy az alternatív (

) hipotézist fogadjuk el.

A hipotézisvizsgálat eszköze a statisztikai próba. A próba egy olyan eljárás, amelynek során a mintából származó információk alapján döntünk a nullhipotézis elfogadásáról vagy elutasításáról. A statisztikai próba végrehajtásakor a nullhipotézis és az alternatív hipotézis megfogalmazása után feladatunk a mintaelemek egy olyan függvényének a keresése, amelynek valószínűségeloszlása a nullhipotézis helyességének feltételezése, a sokaságra tett bizonyos kikötések és a mintavétel adott módja mellett egyértelműen meghatározható. Az e követelménynek eleget tevő függvényt próbafüggvénynek nevezzük. A próbafüggvény a hipotézisvizsgálat során hasonló szerepet tölt be, mint a becslőfüggvény a paraméterek becslésekor. A próbafüggvény konstruálása matematikai feladat. A próba végrehajtásakor az alkalmazónak csak a megfelelő próbafüggvényt kell kiválasztania. Ehhez tudnia kell, hogy az adott hipotézist milyen feltételek fennállása esetén, milyen mintából stb. melyik próbafüggvénnyel lehet ellenőrizni. A további tárgyalások előtt ismerkedjünk meg egy gyakran használt függvénnyel, az ún. z próbafüggvénnyel. A sokasági várható értékre vonatkozó állítás teszteléséhez (nevezetesen van és a sokasági szórás

) – ha normális eloszlású sokaságból származó n elemű

független, azonos eloszlású mintánk

1

ismert – a z próbafüggvény használható, amely a következő formában írható fel:

Ha valóban a sokaság várható értéke (átlaga), akkor láttuk, hogy és így ezen próbafüggvény a fent meghatározott feltételek mellett standard normális eloszlású valószínűségi változó lesz. Ezt a változót oly módon képeztük, hogy kivontuk egy valószínűségi változóból annak várható értékét és elosztottuk a szórásával (röviden standardizáltuk a valószínűségi változónkat). Tehát teljesíti a próbafüggvényekkel szemben támasztott azon követelményt, hogy eloszlása egyértelműen meghatározható, ha a nullhipotézisünk igaz. 1

Néhány próbafüggvényt – annak ellenére, hogy valószínűségi változó – a szakirodalom nem görög, hanem latin betűvel jelöl. Bár eddig a valószínűségi változót görög, az általa felvett értéket a megvalósult minta esetén latin betűvel jelöltük, ezen próbafüggvényeknél alkalmazkodunk a megszokott jelölésmódhoz, megkülönböztetésül a próbafüggvény (z) megvalósult értékét az alsó indexbe írt 0-val (pl. z0 ) jelöljük.

67

Hipotézisvizsgálat Mivel z a nullhipotézis teljesülése esetén standard normális eloszlású, pontosan meg lehet mondani, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy z valamely intervallumba essen Fordítva, ha megadunk egy valószínűséget (pl. meghatározható a standard normális eloszlás táblázata (Függelék 1. táblázat) segítségével:

ebből

), akkor az a értéke

. A táblázat alapján

Ez azt jelenti, hogy ha 100-szor veszünk n elemű mintát és minden esetben kiszámítjuk a z konkrét értékét:

akkor ezen értékek közül várhatóan 95 esik a

intervallumba, ha helyes a

hipotézis.

Mivel egyetlen minta áll rendelkezésünkre, ezért csak ennél tudjuk ellenőrizni, hogy a

érték az adott intervallumba esik-e. Ha beleesik, akkor elfogadjuk a esélye is az adott valószínűségtől függ.

hipotézist. Könnyen látható, hogy az intervallum hossza, így a beleesés

Általánosan fogalmazva: a hipotézisvizsgálat végrehajtása során a próbafüggvény lehetséges értékeinek tartományát osztópontok segítségével két egymást át nem fedő tartományra bontjuk. Az egyik az elfogadási tartomány, legyen ez a

intervallum, a másik ennek komplementere, az

elutasítási vagy kritikus tartomány. Az egyes tartományok határait úgy választjuk meg, hogy a próbafüggvény értéke a nullhipotézis (

) elfogadása

esetén előre megadott nagy valószínűséggel az elfogadási tartományba essen, azaz esetünkben legyen, és a kritikus tartományba esés csak valószínűséggel következzen be. Ha ezek után a rendelkezésre álló minta adataiból kiszámítjuk a próbafüggvény ún. aktuális értékét és ez beleesik az elfogadási tartományba, akkor a

elfogadjuk, ellenkező esetben a

elutasítjuk és a

A próbafüggvény kritikus tartományba esésének valószínűségét szignifikanciaszintnek nevezzük, és α-val jelöljük. 68

fogadjuk el.

Hipotézisvizsgálat

Példánkban az szignifikanciaszint azt jelenti, hogy ha a mintavételt végtelen sokszor végrehajtjuk, akkor 100 esetből mindössze átlag ötször fordul elő az az esemény, hogy a próbafüggvényünk minta alapján kiszámított értéke a kritikus tartományba esik. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a

hipotézist 0,05-ös szignifikanciaszinten fogadjuk el vagy vetjük el annak megfelelően, hogy a mintából számított érték hova esik.

Az elfogadási és a kritikus tartomány egymáshoz viszonyított elhelyezkedése háromféle lehet. Az egyes eseteket a 8.1. ábra szemlélteti.

8,1. ábra - Az elfogadási és a kritikus tartomány lehetséges elhelyezkedés

Bal oldali vagy jobb oldali – egyoldali – kritikus tartományhoz abban az esetben jutunk, ha az ellenhipotézisben a nullhipotézishez képest egy meghatározott irányú eltérést írunk fel. Ha a sokasági várható értékre oldali kritikus tartományról beszélünk.

akkor bal oldali kritikus tartományról, ha pedig

akkor jobb

Kétoldali kritikus tartomány kijelölésére olyan esetben kerül sor, amikor a nullhipotézisben megfogalmazott állítástól való bármilyen irányú eltérés érdekel bennünket. Ekkor pl. a sokasági várható értékre vonatkozóan 69

az alternatív hipotézis.

Hipotézisvizsgálat

Az elfogadási és a kritikus tartományt elválasztó és értékeket kritikus értékeknek nevezzük, és az alsó, a felső kritikus értéket jelöljük. A kritikus érték(ek)et a szignifikanciaszint és a próbafüggvény eloszlásának ismeretében táblázatok segítségével egyértelműen meghatározhatjuk. A 8.2. ábrán megvizsgálhatjuk az eddig elmondottakat a z próbafüggvény esetén.

8,2. ábra a. ábra - Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél

70

Hipotézisvizsgálat

8,2. ábra b. ábra - Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél

71

Hipotézisvizsgálat

8,2. ábra c. ábra - Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés a z próbafüggvénynél

A szemléltető ábrák áttekintése után nézzük meg, hogyan határozzuk meg a z próbafüggvény kritikus értékeit 5%-os szignifikanciaszint esetén. (Tehát ) Mivel a z próbafüggvény standard normális eloszlást követ, ezért az értékek kikereséséhez a Függelék 1. táblázatát használjuk. a) Ha a az alternatív hipotézisünk, akkor bal oldali kritikus tartománnyal van dolgunk, s a kritikus értéket tartományba esés valószínűsége α, tehát

és a z standard normális eloszlású, így

72

jelöltük. Mivel a kritikus

Hipotézisvizsgálat

Most már az

ezért

esetén a standard normális eloszlás táblázatából (Függelék 1. táblázat) kikereshetjük a

értéket. Mivel

így

A következőkben ezt

fogjuk jelölni, ahol a z a standard normális eloszlásra, az pedig arra a valószínűségre utal, amekkora valószínűséggel

kisebb a próbafüggvény aktuális értéke a kritikus értéknél. Itt b) Ha

akkor az elfogadási tartományba esés valószínűsége

Ezt az intervallumot a bevezetőben már meghatároztuk:

és

tehát

vagy másképpen felírva

illetve

Tehát hasonló, mint a kétoldalú konfidenciaintervallum esete. c) Ha a az alternatív hipotézisünk, akkor jobb oldali kritikus tartományunk van, és annak a valószínűsége, hogy próbafüggvény számított értéke, Tehát

amely átrendezés után:

esetén

amiből

Az a) pontban leírt jelöléseket alkalmazva: 73

nagyobb a

Hipotézisvizsgálat

8.2. A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák Mint már korábban elmondtuk, a mintából a sokaságra vonatkozóan csak valószínűségi következtetés lehetséges, így a hipotézisvizsgálat során hozott döntésünk bizonyos kockázattal jár. Előfordulhat, hogy a

hipotézis helyes, s a próbafüggvény adott mintából számított értéke mégis a

kritikus tartományba esik. Ilyenkor a annak ellenére, hogy fennáll, elutasítjuk. Ezt a hibás döntést elsőfajú hibának nevezzük. Az ilyen hiba elkövetésének valószínűsége az elfogadási és a kritikus tartomány konstrukciója alapján – hisz annak a valószínűsége, hogy a próbafüggvény a kritikus tartományba esik –, amelyet, mint már említettük, szignifikanciaszintnek nevezünk. Előfordulhat, hogy a

nem áll fenn (nem „igaz”), és a próbafüggvény mintából számított értéke mégis az elfogadási tartományba esik. Ez szintén

hibás döntés, s ilyenkor másodfajú hibát követünk el. Ezen esemény bekövetkezésének valószínűségét

szokás jelölni.

Az elmondottakat a 8.1. táblázat szemlélteti.

8.1. táblázat - A hipotézisvizsgálat során hozott döntések és bekövetkezésük valószínűsége A valóságos helyzet

Az

A -ra vonatkozó döntést elfogadjuk

elutasítjuk

igaz

helyes döntés

elsőfajú hiba

igaz

másodfajú hiba

helyes döntés

valószínűséget a próba (megbízhatósági) szintjének, az

pedig a próba erejének nevezzük.

Összefoglalásként megállapíthatjuk, hogy az elsőfajú hiba elkövetése során az igaz nullhipotézist elutasítjuk, a másodfajú hiba elkövetésénél pedig a hamis nullhipotézist fogadjuk el. Az első- és a másodfajú hibáról leírtak szemléltetésére nézzük a következő példát! Egy alkatrész-összeszerelő műhelyben a futószalag mellett valamely munkafolyamat elvégzésének normaideje 15 perc. Vizsgáljuk meg 25 elemű minta alapján, hogy ennyi idő alatt el lehet-e végezni az adott munkafolyamatot! Tekintsük az alkatrész összeszerelésére fordított időt normális eloszlásúnak, a szignifikanciaszint pedig legyen 5%, azaz

Az ismert sokasági szórás 74

: 3 perc.

Hipotézisvizsgálat

A vizsgálandó nullhipotézis: adott munkafolyamat elvégzésére, tehát

Az alternatív hipotézisben azt fogalmazzuk meg, hogy a norma nem helyes, és több mint 15 perc kell az Ekkor jobb oldali kritikus tartományunk van.

Azt mondtuk, hogy a próbafüggvény kritikus tartományba esésének a valószínűsége α. Tehát:

A

próbafüggvényre vonatkozó összefüggés figyelembevételével a fenti képletet a következőképpen alakíthatjuk át:

A rendelkezésre álló adatok alapján a zárójelben álló egyenlőtlenség jobb oldalán lévő kifejezés értéke, figyelembe véve a 8.1. pontban leírtakat (azaz

), meghatározható, így konkrét minta esetén

Mivel azonos átalakításokat végeztünk, továbbra is annak a valószínűsége, hogy a mintaátlag nagyobb, mint 16 perc. Ekkor a 16 percet tekinthetjük kritikus értéknek, mivel ez az érték választja el az elfogadási és az elutasítási tartományt.

75

Hipotézisvizsgálat

8,3. ábra - Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés

A 8.3. ábra az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedését mutatja az átalakítás után. (Tehát a feltételezett várható érték 15 perc, a kritikus érték esetén pedig 16 perc.) Az ábráról leolvasható, hogy

annak valószínűsége, hogy a mintaátlag kisebb, mint 16 perc, és

annak, hogy nagyobb, mint 16 perc.

Vizsgáljuk meg, hogyan lehet meghatározni a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűségét! A fenti példában (pl.

az ellenhipotézis pedig

azaz összetett ellenhipotézisünk van. A β meghatározása azonban csak egyszerű

alternatív hipotézis esetén lehetséges.

Számítsuk ki a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűségét a a korábban meghatározott kritikus értéket, a 16 percet!

nullhipotézis és a

ellenhipotézis esetén! Használjuk fel

Másodfajú hibát akkor követünk el, ha elfogadjuk a nullhipotézist, holott az ellenhipotézis volt az igaz. Másképpen megfogalmazva ez azt jelenti, hogy a mintaátlagunk az elfogadási tartományba esik (kisebb, mint 16 perc) annak ellenére, hogy a 76

az igaz. Képlettel felírva:

Hipotézisvizsgálat

Mivel csak a standard normális eloszlás táblázata áll a rendelkezésünkre, először a változónkat át kell alakítani standard normális eloszlásúvá (standardizálnunk kell), s ezt követően határozhatjuk csak meg a β értékét. Tehát:

azaz 79,67%.

nullhipotézis és

ellenhipotézis esetén az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége 5%, a másodfajú hibáé pedig

A összetett ellenhipotézis azonban számtalan egyszerű hipotézisre bontható fel. Válasszunk ki ezek közül néhányat, s határozzuk meg ezen esetekben a fenti gondolatmenetet követve a β értékét. Az eredményeket a 8.2. táblázatban foglaltuk össze.

8.2. táblázat - A másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége különböző ellenhipotézisek esetén H1:

β érték

μ = 15,1

0,9332

μ = 15,4

0,8413

μ = 15,5

0,7967

μ = 16,0

0,5000

μ = 16,5

0,2033

μ = 17,0

0,0485

μ = 17,2

0,0228

Tehát a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége függ attól, hogy mely ellenhipotézis esetén határoztuk meg. A 8.4. ábrán a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűségét ábrázoltuk különböző alternatív hipotézisek esetén.

77

Hipotézisvizsgálat

8,4. ábra - Az α és a β grafikus meghatározása különböző alternatívhipotézisek esetén

Az ábrán jól látszik, hogy a

helyzetnek megfelelő eloszlás egy része benne van a

– téves – fennállása alapján kijelölt elfogadási tartományban.

Ez a terület, amelyet besatíroztunk, a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja. Továbbá az ábráról leolvasható, hogy alternatív hipotézis esetén a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége nagy (0,7967) lesz, míg kicsi (0,028). Vizsgáljuk meg, hogyan változik és elkövetésének valószínűségét 0,05-ről 0,01-re csökkentjük. (Ebben az esetben

ellenhipotézisnél ez a valószínűség

fennállása esetén a másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége, ha az elsőfajú hiba

)

A korábbi példák eredményeit felhasználva ( perc, perc) határozzuk meg azt a kritikus értéket, amely esetén 0,01 annak a valószínűsége, hogy a mintaátlag nagyobb, mint a kritikus érték! Behelyettesítve a kritikus érték meghatározására alkalmazható összefüggésbe:

78

Hipotézisvizsgálat Tehát annak a valószínűsége, hogy a mintaátlag nagyobb, mint 16,4 perc, 0,01. A 8.5. ábrán láthatjuk, hogyan változik a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége, ha a kritikus értéket 16 percről 16,4 percre növeljük, ami egyben azt jelenti, hogy a szignifikanciaszintet (α -t) 0,05-ről 0,01-re csökkentjük. Az ábra alapján megállapíthatjuk, hogy ha csökkentjük az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét (α -t) akkor e csökkentésnél nagyobb mértékben nő meg a másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége (β). Az előzőekben már meghatároztuk (5%-os szignifikanciaszinten) valószínűségét, ami 0,028 volt.

és

esetén a másodfajú hiba elkövetésének

Most határozzuk meg, hogy mekkora a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége, ha a kritikus érték 16,4 perc, azaz a szignifikanciaszint 1%.

79

Hipotézisvizsgálat

8,5. ábra - Az α és a β grafikus meghatározása különböző kritikus értékek esetén

80

Hipotézisvizsgálat Mint vártuk a 8.5. ábra alapján, az elsőfajú hiba elkövetésének a valószínűsége lecsökkent (0,05-ről 0,01-re), de ugyanakkor nagymértékben megnőtt (0,0228-ról 0,0918-ra) a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége. Általánosságban is elmondhatjuk, hogy az csökkentése esetén megnő a β elkövetésének a valószínűsége. Felvetődik a kérdés, hogy a hipotézisvizsgálat során az első- vagy a másodfajú hiba elkövetése-e a veszélyesebb. Kérdés továbbá, hogy egy-egy konkrét hipotézisvizsgálatnál milyen szignifikanciaszintet célszerű választani. Elterjedt az a nézet, hogy a másodfajú hiba veszélyesebb az elsőfajú hibánál. Vizsgáljuk meg, mi az alapja ennek az állításnak? Ha elsőfajú hibát követünk el – vagyis az igaz nullhipotézist visszautasítjuk –, akkor a hipotézisvizsgálat eredménye, hogy a

elutasítjuk. Ezt

követően egy újabb nullhipotézist fogalmazunk meg, majd a hipotézisvizsgálat végrehajtása után a ismét elutasítjuk, hisz az eredeti nullhipotézis volt az igaz. Ha következetesen végighaladunk az összes lehetséges hipotézisen – s természetesen minden esetben új mintát veszünk –, akkor mindegyiket vissza kell utasítanunk, s visszajutunk az eredeti állításunkhoz. Azt mondhatjuk tehát, hogy az elsőfajú hiba elkövetése nem okoz „jóvátehetetlen” hibát. Másodfajú hibát viszont akkor követünk el, ha egy hamis hipotézist elfogadunk. Abból viszont, hogy elfogadjuk a hipotézist, az következik, hogy a probléma vizsgálatát befejeztük. A hiba korrigálására tehát nincs lehetőség. A szignifikanciaszint megválasztásánál olyan kompromisszumos megoldásra van szükség, hogy nem túl magas mellett a másodfajú hiba elkövetésének a valószínűsége viszonylag alacsony legyen. Ez az vagy ehhez közeli szignifikanciaszint, amit a gyakorlatban sokszor alkalmaznak. Az eddig elmondottak alapján nyilvánvaló, hogy egy-egy nullhipotézis helyességének ellenőrzésére olyan próbát és ezáltal próbafüggvényt célszerű választani, amelynél az elsőfajú hiba adott elkövetési valószínűsége mellett minimális a másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége. A különböző próbák e szempontból történő összehasonlításánál jó szolgálatot tesz a próbák erőfüggvénye. Erőfüggvényen azt a függvényt értjük, amely úgy áll elő, hogy minden lehetséges egyszerű alternatív hipotézishez meghatározzuk a megfelelő kiegészítő valószínűségeket és ezeket (az alternatív hipotézisben meghatározott érték) függvényében ábrázoljuk. Az erőfüggvénnyel e könyv keretei között részletesebben nem foglalkozunk, mint ahogyan a következőkben az egyszerű alternatív hipotézisekkel sem. Ezek után tekintsük át a statisztikai próba végrehajtásának általános gondolatmenetét röviden, hisz ezen gondolatmenet egyes részeivel a korábbiakban már foglalkoztunk. A 8.3. fejezetben leírt lépések bármely hipotézis vizsgálata esetén alkalmazhatók.

8.3. A statisztikai hipotézisvizsgálat menete 1. Megfogalmazzuk a

nullhipotézist és a vele szemben álló

alternatív hipotézist.

2. Megkeressük a

megfogalmazott állításnak és az egyéb feltételeknek megfelelő próbafüggvényt. 81

Hipotézisvizsgálat 3. Megválasztjuk az elsőfajú és a másodfajú hibáról elmondottak alapján a szignifikanciaszintet. 4. Végrehajtjuk a mintavételt, meghatározzuk a mintajellemzők értékét és kiszámítjuk a próbafüggvény aktuális (számszerű) értékét. 5. Az alternatív hipotézissel összhangban a szignifikanciaszintnek megfelelően felosztjuk a próbafüggvény lehetséges értéktartományát elfogadási és visszautasítási tartományra. 6. Döntünk a

és a

hipotézisről. Ha a próbafüggvény értéke az előre meghatározott elfogadási tartományba esik, elfogadjuk a

hipotézissel szemben, ellenkező esetben elutasítjuk, és a

a

alternatív

ellenhipotézis kerül elfogadásra.

Ismét elmondjuk, hogy mivel minta alapján hozzuk meg a hipotézisvizsgálat során a döntésünket, az valószínűségi jellegű lesz, bizonytalanságot hordoz. A hipotézist nem tudjuk „igazolni” vagy „cáfolni”, ezért azt mondjuk, hogy a hipotézist szignifikanciaszinten elfogadjuk vagy elutasítjuk. (Szokásos szóhasználat még a „fenntartjuk” vagy „elvetjük” megállapítás is.) A következőkben a fontosabb próbák részleteit tekintjük át. Az áttekintés során feltételezzük, hogy egy vagy több azonos eloszlású, független elemekből álló minta áll a rendelkezésünkre. Mivel az egyéb mintáknak a független, azonos eloszlású mintától vett eltérésének a hatása az egyes próbákra még szinte alig van feltérképezve, illetve bonyolult, ezért e szigorú megkötés. A leggyakrabban használt egyszerű véletlen mintáról azonban elmondhatjuk, hogy ha a kiválasztási arány kicsi, akkor ez a minta jó közelítéssel független, azonos eloszlású mintának tekinthető. A hipotézisvizsgálat során alkalmazott statisztikai próbákat több szempont alapján is csoportosíthatjuk. Azokat a statisztikai próbákat, amelyek alkalmazása csak előírt eloszlású statisztikai sokaság esetén lehetséges, paraméteres statisztikai próbáknak nevezzük, míg a nemparaméteresek azok a statisztikai próbák, amelyek bármely eloszlású sokaság esetén alkalmazhatók. Az elfogadási és kritikus tartomány elhelyezkedése alapján beszélhetünk továbbá egyoldali és kétoldali statisztikai próbáról. Vannak olyan statisztikai próbák, amelyek végrehajtásához egy mintára van szükség, és vannak olyanok, amelyekhez két minta kell. Ez alapján megkülönböztetünk egymintás, illetve kétmintás statisztikai próbákat. Az egyes statisztikai próbák tárgyalása során is ez utóbbi csoportosítást fogjuk alkalmazni.

8.4. Egymintás statisztikai próbák E pontban az egymintás statisztikai próbák közül csak azok tárgyalására kerül sor, amelyek a sokaság valamely paraméterének (várható érték, szórás, arány) tesztelésére szolgálnak. A következőkben az alapján csoportosítjuk az egymintás próbákat, hogy mely sokasági paraméterre vonatkoznak.

8.4.1. A várható értékkel kapcsolatos próbák Az e csoportba tartozó két próba esetén azt teszteljük, hogy egy sokaság ismeretlen várható értéke (μ) megegyezik-e az általunk feltételezett értékkel. Nullhipotézisünk ekkor a következő lesz:

82

Hipotézisvizsgálat Alternatív hipotézisünk pedig:

Az ismertetésre kerülő két próba kizárólag az alkalmazási feltételek tekintetében tér el egymástól. Az egymintás z-próba

2

Ha a sokaság normális eloszlású, és a sokaság σ szórása (valamilyen előzetes tény birtokában) ismert, akkor próbafüggvényként a 8.1. pontban felírt

valószínűségi változót használjuk, amely standard normális eloszlást követ – a mintanagyságtól függetlenül –, ha a nullhipotézis igaz. Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értékét a 8.1.-ben leírtaknak megfelelően a

összefüggéssel határozzuk meg. A próba végrehajtása során az elfogadási és a kritikus (visszautasítási) tartomány elhelyezkedése – mint ahogy a 8.2. ábrán is bemutattuk – az alternatív hipotézistől függ. Az elfogadási tartomány α szignifikanciaszint melletti határait a 8.3. táblázatban foglaltuk össze.

8.3. táblázat - Az z-próba elfogadási tartományának határai szignifikanciaszint mellett Alternatív hipotézis

2

Elfogadási tartomány

A szakirodalomban használatos az u-próba elnevezés is.

83

Hipotézisvizsgálat Tekintsük a következő példát! Egy automata gépsor lisztet csomagol, szabvány szerint 100 dkg-os tömeggel és 3 dkg-os megengedett szórással. Az automata ellenőrzésére 30 db-os véletlen mintát vettek. A lemért liszteszacskók átlagos tömege 98 dkg volt. Feltételezhető, hogy a gép által töltött liszteszacskók töltési tömege normális eloszlást követ. Ellenőrizzük, hogy a gép a szabványnak megfelelően csomagol-e ( )! Nullhipotézisünket – a töltési tömeg megfelel a szabványnak – a

egyenlőséggel fogalmazzuk meg. Alternatív hipotézisünk pedig

tehát kétoldali statisztikai próbát végzünk. Mivel a sokaság normális eloszlású és a szórás ismert, z-próbát alkalmazhatunk. Ezután kiszámítjuk a próbafüggvény aktuális értékét és n = 30 ismeretében:

Az 5%-os szignifikanciaszint (

) esetén a standard normális eloszlás táblázatából (Függelék 1. táblázat) az alternatív hipotézis

figyelembevételével a felső kritikus érték: tartomány:

Az alsó kritikus érték pedig ennek mínusz egyszerese lesz, azaz

vagyis az elfogadási

Mivel az elfogadási tartomány nem tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét, a –3,65-öt, a nullhipotézist elutasítjuk az alternatív hipotézissel szemben. Vagy azt is mondhatjuk, hogy a liszteszacskók töltési tömege 5%-os szignifikanciaszinten nem felel meg a szabványnak. Felvetődik a kérdés, hogy van-e olyan szignifikanciaszint, amelynél elfogadjuk a nullhipotézist. Ha megnézzük a standard normális eloszlás táblázatát, azt tapasztaljuk, hogy x = 3,65-höz érték tartozik. Mivel kétoldali próbát végeztünk, amelyből Tehát csak ennél kisebb szignifikanciaszint esetén fogadjuk el a próbát, ami „gyakorlatilag” azt jelenti, hogy minden szignifikanciaszinten elutasítjuk a nullhipotézist. 84

Hipotézisvizsgálat A kritikus értéket a vizsgált jelenség „mértékegységében” is kifejezhetjük. Ehhez a

egyenlőtlenséget a

behelyettesítése és

felhasználása után a következő formába kell átrendezni:

Az egyenlőtlenségbe behelyettesítve kiszámolhatjuk a kritikus értékeket:

Tehát az elfogadási tartományunk 98,9 és 101,1 dkg között van. A mintaátlagunk, ami 98 dkg, nem esik bele ebbe az intervallumba. Így a os szignifikanciaszinten elutasítjuk.

5%-

Ez utóbb mondottakat és a becsléselméletben tanultakat figyelembe véve nem nehéz észrevenni a kétoldali hipotézisvizsgálat és az intervallumbecslés közötti hasonlóságot. A hasonlóság ellenére a két eset között a különbség a következő. Az intervallumbecslésnél a sokaság valamilyen paraméterére adunk egy, az adott paramétert valószínűséggel tartalmazó, a mintától függő végpontokkal határolt intervallumot valamely mintajellemzőből kiindulva. A hipotézisvizsgálat esetében pedig valamely paraméternek a nullhipotézisben feltételezett értékéből indulunk ki, és a mintajellemzőre adunk egy olyan intervallumot, amely a mintajellemzőt.

fennállása esetén

valószínűséggel tartalmazza a mintáról mintára változó

A vizsgált jelenség „mértékegységben” kifejezett kritikus értékeinek meghatározása csak a könnyebb megértést szolgálta, a későbbiek során nem fogjuk alkalmazni. Az egymintás z-próba abban az esetben is használható, ha egy véges szórású, tetszőleges eloszlású sokaságból nagy elemszámú független mintát veszünk (a sokasági szórást ekkor nem szükséges ismernünk). A mintaelemek függetlensége és a valószínűségszámításból megismert centrális határeloszlás tétele miatt a 85

Hipotézisvizsgálat

próbafüggvény – ahol a lehetséges mintákból számított korrigált empirikus szórás – közelítőleg standard normális eloszlású lesz, ha a próba végrehajtása során használt kritikus értékek természetesen ugyanazok maradnak.

igaz. A

Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értékének kiszámítása a

képlettel történik. Az egymintás t-próba Enyhítsünk valamelyest a z-próba alkalmazásának meglehetősen szigorú feltételein! Az egymintás t-próba végrehajtásához a sokasági eloszlás szórását nem kell ismernünk, de a sokaság eloszlásának továbbra is normálisnak kell lennie. Ebben az esetben a

próbafüggvény használható a ellenőrzésére. Amennyiben a igaz, és a sokaság eloszlása valóban normális, akkor a t próbafüggvény szf = n – 1 szabadságfokú Student t-eloszlást követ. Erre alapozva könnyen felírhatjuk a próba végrehajtásához szükséges elfogadási tartományokat, amelyeket a 8.4. táblázatban foglaltunk össze.

8.4. táblázat - A t-próba elfogadási tartományának határai α szignifikanciaszint mellett Alternatív hipotézis

Elfogadási tartomány

86

Hipotézisvizsgálat Konkrét minta esetén a próbafüggvény értékét a következő összefüggéssel határozzuk meg:

Térjünk vissza az előző példához! Fogadjuk el továbbra is azt, hogy a sokaság eloszlása normális, de a szórást ezúttal a mintából becsüljük. 30 mérés eredményei alapján:

A nullhipotézis és az alternatív hipotézis továbbra is

A próbafüggvény mintából számított értéke:

A

szabadságfokhoz és 0,05 szignifikanciaszinthez tartozó felső kritikus érték a Student t-eloszlás táblázatából (Függelék 4. táblázat) Az alsó kritikus érték ennek a mínusz egyszerese, azaz

Az elfogadási tartomány: [–2,05; 2,05]. Mivel próbafüggvényünk értéke beleesik az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elfogadjuk. Tehát 5%-os szignifikanciaszinten a gép a szabványnak megfelelően csomagol. Vizsgáljuk meg, hogy más szignifikanciaszinten elutasítjuk-e a próbát. A Student t-eloszlás táblázatában a szf = 29 szabadságfoknál olyan értéket kell keresni, amelynél a t0 (vagy annak mínusz 1-szerese) nagyobb. Ez az 1,70. Ekkor már elutasítjuk a

Ekkor 10% annak a valószínűsége, hogy az igaz 87

elutasítjuk.

amiből

Tehát 0,1-es szignifikanciaszinten

Hipotézisvizsgálat

8.4.2. A sokasági szórásra vonatkozó próba Gyakori feladat a sokasági szórásra vonatkozó feltevés ellenőrzése is. A 7.4.3. pontban láttuk, hogy a sokasági szórás becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk. Intervallumbecslést csak akkor tudunk adni, ha a sokaság normális eloszlású. A konfidenciaintervallum meghatározását a

alapoztuk. A sokasági szórásra vonatkozó hipotézis ellenőrzésekor is ezekre az ismeretekre támaszkodunk. Röviden

ismételjük meg az ott elmondottakat. Ha a sokaság szórása

és várható értéke (átlaga) m0, akkor

független, azonos eloszlású minta esetén

a valószínűségi változók standard normális eloszlásúak, így négyzetösszegük, az Ezért a sokasági eloszlás szórására vonatkozó

valószínűségi változó

hipotézis ellenőrzésére (ha a sokaság normális eloszlású) a

próbafüggvény használható, amely szf = n – 1 szabadságfokú

követ, ha a

igaz. Figyelembe véve a 7.4.3. pontban a

elmondottakat, a próba végrehajtása során az elfogadási tartomány határai különböző alternatív hipotézisek esetén a következők lesznek (8.5. táblázat):

8.5. táblázat - A

elfogadási tartományának határai α szignifikanciaszint mellett

Alternatív hipotézis

Elfogadási tartomány

Előző példáinkban feltettük, hogy a liszt csomagolásánál a gép 3 dkg-os szórással tölt. A 30 elemű mintában pedig 5,5 dkg volt a szórás. Ellenőrizzük le, hogy helyes volt-e az a feltevés, hogy a csomagológép maximum 3 dkg szórással tölt! A szignifikanciaszint továbbra is 5%. Konkrét minta esetén a próbafüggvény magvalósult értékének kiszámítása a 88

Hipotézisvizsgálat

képlettel történik. A nullhipotézist továbbra is egyenlőség formájában írjuk fel:

3

Az alternatív hipotézisben pedig azt a feltételezést fogalmazzuk meg, hogy a szórás meghaladja az előírtat , azaz

Az alternatív hipotézis szerint egyoldalú próbát hajtunk végre jobb oldali kritikus tartománnyal. A mintából számított szórás: s = 5,5 dkg. A próbafüggvény számított értékének meghatározásához szükséges adatok tehát n = 30, s = 5,5 dkg és

Az érték pedig:

A kritikus érték a Függelék 2. táblázatából Az elfogadási tartomány tehát 0 és 42,6 között van. Mivel próbafüggvényünk aktuális értéke nem esik bele az elfogadási tartományba, ezért elutasítjuk a nullhipotézist. A elvetésével automatikusan az alternatív hipotézist fogadjuk el, azaz a töltés során a szórás meghaladja az előírást. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a minta adatai – 5%-os szignifikanciaszinten – ellentmondanak annak a feltevésnek, hogy a gép maximum 3 dkg szórással tölt.

8.4.3. A sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcsolatos próba Legyen P egy arányszám, amely a 7.3.3. pontban leírtaknak megfelelően meghatározott típusú egyedek előfordulásának valószínűségét mutatja a sokaságban, vagyis P annak a valószínűsége, hogy egy egyedet véletlenszerűen kiválasztva az rendelkezik az adott tulajdonsággal. Ellenőrizni kívánjuk azt, hogy a sokasági arány egyenlő-e egy általunk előre feltételezett P0 értékkel. A nullhipotézis tehát 3

Ekkor a nullhipotézis elfogadása azt jelenti, hogy a csomagológép 3 dkg vagy annál kisebb szórással tölt 5%-os szignifikanciaszinten.

89

Hipotézisvizsgálat H0 : P = P0. Legyen A az az esemény, hogy egy mintaelem kiválasztásakor az rendelkezik az adott tulajdonsággal. Ha igaz a H0 : P = P0 hipotézis, akkor P(A) = P0. Ha

az i-edik mintaelem kiválasztásakor az A esemény karakterisztikus valószínűségi változója, akkor

A feltevés szerint

ha a sokaság nagy.

Ekkor

az adott tulajdonságú elemek aránya a mintában és

valószínűségi változó várható értéke nulla és szórása 1.

Így a

ugyanakkor n db azonos eloszlású valószínűségi változó összege, ezért nagy n esetén

a centrális határeloszlás-tétel szerint közel standard normális eloszlású. Így a

próbafüggvénynek választva, egy megvalósult minta esetén a

értéket kell vizsgálni, ahol p a megvalósult mintabeli arány. A próba kritikus értékei megegyeznek a z-próba kritikus értékeivel, mivel mindkét próbafüggvény standard normális eloszlású. Nézzünk egy példát a próba alkalmazására. 90

Hipotézisvizsgálat Egy biztosítótársaság feltevése szerint az első számú vezetők egynegyedének van nagy életbiztosítása. Ezen feltevés ellenőrzésére véletlenszerűen kiválasztottak 1000 vállalatot. A megkérdezett cégek vezetői közül 226 kötött már valamilyen nagy összegű életbiztosítást. Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten a feltevés helyességét! Nullhipotézisünket – az első számú vezetők negyedének (25%-ának) van nagy összegű életbiztosítása – H0 : P = 0,25 formában fogalmazzuk meg. Az alternatív hipotézis pedig H1 : P ≠ 0,25, tehát kétoldalú próbát hajtunk végre.

A mintabeli arány: A próbafüggvény minta alapján számított (aktuális) értéke:

Az alternatív hipotézisnek megfelelő kritikus érték: az elfogadási tartomány pedig -tól 1,96-ig terjed. Mivel az elfogadási tartomány tartalmazza a próbafüggvény megvalósult értékét, a nullhipotézist elfogadjuk. Tehát 5%-os szignifikanciaszinten elfogadjuk azt az állítást, hogy az első számú vezetők egynegyedének van nagy összegű életbiztosítása.

8.5. Kétmintás statisztikai próbák A hipotézisvizsgálatot eddig arra az esetre korlátoztuk, amikor adva volt egy sokaság, és a hipotézis ennek a sokaságnak valamely paraméterére vonatkozott. Előfordul azonban, hogy nem egy, hanem két sokasággal van dolgunk, és a hipotézis két paraméter értékének egymáshoz való viszonyára (általában különbségére) vonatkozik. Ilyenkor kétmintás próbát hajtunk végre, azaz a sokaságokból egy-egy független, véletlen mintát veszünk a hipotézis ellenőrzése céljából. Tipikus döntési probléma két eljárás (pl. két különböző technológia, módszer vagy kezelés) hatásának az összehasonlító vizsgálata. Ennek speciális esete, hogy az egyik hagyományos, a másik új eljárás. Ekkor azt az állítást vizsgáljuk, hogy az új eljárás eredményesebb, mint a hagyományos. 91

Hipotézisvizsgálat Noha a feltevés az, hogy az új eljárás (módszer stb.) eredményesebb, mint a hagyományos, a nullhipotézisben az egyenlőség szerepel. Az „igazi” állítást mindig az alternatív hipotézisben fogalmazzuk meg. Így többnyire egyoldalú próbát hajtunk végre. Gyakran előforduló döntési feladat az is, amikor két sokaságot (pl. férfiak–nők, falu–város stb.) kívánunk összehasonlítani valamilyen átlagos színvonal szempontjából. Feltevésünkben ekkor a két sokaság átlagos színvonala közötti eltérés szerepel. A két sokaságot két véletlen és független mintának kell képviselnie.

8.5.1. Két sokasági várható érték különbségének vizsgálata Legyen adott két sokaság, rendre illetve paraméterekkel. A két sokaságból egy-egy véletlen és egymástól független mintát veszünk. A mintákból rendelkezésünkre álló adatokat a 8.6. táblázatban foglaltuk össze.

8.6. táblázat - Két mintát igénylő próbák esetén alkalmazott jelölések Megnevezés

Sokaság 1. sokaság

Minta

2. 1. minta 2. minta sokaság

Megvalósult minta 1. minta

2. minta

Elemszám Átlag Szórás A minták alapján ellenőrizni kívánjuk a

hipotézis helyességét a bal oldali, a kétoldali vagy a jobb oldali alternatív hipotézissel szemben. A H0 tetszőleges, előre megadott érték, és azt a különbséget fejezi ki, ami feltevésünk szerint a két várható érték között lehetséges. Az, hogy melyik próbafüggvényt alkalmazzuk a H0 helyességének ellenőrzésére – a várható értékkel kapcsolatos egymintás próbákhoz hasonlóan –, attól függ, hogy milyen információkkal rendelkezünk a két sokaságról. A kétmintás z-próba 92

Hipotézisvizsgálat

Tegyük fel, hogy mindkét sokaság normális eloszlású

illetve

paraméterekkel, és ismerjük a sokasági szórásokat. Legyen

a mintaátlaguk, akkor ezek is normális eloszlásúak, így különbségük is az.

és

ha H0 helyes és a függetlenség miatt

Ezért ez esetben a

próbafüggvény standard normális eloszlást követ, függetlenül a mintaelemszámoktól, ha a H0 igaz. Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értékét a következő összefüggéssel határozhatjuk meg:

A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával. A gyakorlatban rendszerint nem ismerjük a sokasági (

) szórásokat, ezért azokat a mintából becsüljük a korrigált tapasztalati szórások (

illetve

) segítségével. Ha kellően nagy mintánk van, a

próbafüggvény közelítőleg standard normális eloszlást alkot, ha a H0 igaz. (Ennek igazolásával nem foglalkozunk.) A próbafüggvény megvalósult értékét a

összefüggéssel számolhatjuk ki konkrét minta esetén. Ezek után a próba elvégzése már egyszerű. A próba végrehajtásához itt annál nagyobb mintára van szükség, minél jobban eltér a sokaság eloszlása a normális eloszlástól. 93

Hipotézisvizsgálat A kétmintás t-próba Két várható érték különbségére vonatkozó feltevés kis minták alapján is ellenőrizhető, ha az alábbi kikötések teljesülnek: a) a minták normális eloszlású sokaságból származnak, 4

b) az ismeretlen sokasági szórások azonossága feltételezhető . A nullhipotézis ellenőrzésére a

próbafüggvény használható, amelyben

továbbá a

és

a lehetséges minták korrigált tapasztalati szórásai.

Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értéke a

összefüggéssel határozható meg, ahol

továbbá s1 és s2 a korrigált tapasztalati szórás konkrét értékei egy mintánál. Ez a próbafüggvény H0 helyessége és az alkalmazási feltételek fennállása esetén szf = n1 + n2 – 2 szabadságfokú Student t-eloszlást követ. 4

E feltevés ellenőrzésére a 8.5.3. pontban ismertetésre kerülő F-próba szolgál.

94

Hipotézisvizsgálat Tekintsük a következő példát! Egy autóabroncsokat gyártó cég az új típusú abroncs kopásállóságának ellenőrzése érdekében 10 gépkocsira véletlen mintavétellel kiválasztott új típusú, 10 gépkocsira pedig hasonló módon kiválasztott régi típusú abroncsot szerelt. 50 000 km megtétele után megmérte az abroncsok kopását. A mérési eredményeket a 8.7. táblázat tartalmazza. A 10 elemű minták alapján a cég arról kíván meggyőződni, hogy az új típusú abroncsok kopásállóbbak-e, mint a régi típusúak. A szignifikanciaszint 5%. Az, hogy az abroncsok kopásának eloszlása normális, továbbá hogy a sokasági szórások egyenlőek, feltételezhető. Mivel feltevésünk a két típus eltérésének csak az irányára vonatkozik (δ = 0), ezért

ahol 1-gyel a régi, 2-vel pedig az új típusú abroncsot jelöltük. Az alternatív hipotézisben azt fogalmazzuk meg, hogy az új abroncs kopásállóbb, mint a régi (vagyis a mm-ben mért kopása számszerűen kisebb), azaz

8.7. táblázat - A 10 elemű minta mérési eredményei Sorszám

Régi típusú

Új típusú

abroncsok kopása mm-ben 1

1,4

1,2

2

2,1

2,0

3

1,7

1,7

4

2,9

2,6

5

1,0

1,1

6

3,4

2,5

7

2,5

2,3

8

1,7

1,5

9

2,4

2,1 95

Hipotézisvizsgálat 10

2,0

1,6

A minta adatainak átlaga és szórása:

Mivel a sokasági szórások nem ismertek és kis mintát vettünk, t-próbát alkalmazhatunk. A próbafüggvény számított értéke:

A szabadságfok: szf = 10 + 10 – 2 = 18, a kritikus érték a Függelék 4. táblázata alapján pedig: Az elfogadási tartomány: A próbafüggvény megvalósult értéke beleesik az elfogadási tartományba, így a nullhipotézist fogadjuk el. A kétféle típusú gumiabroncs kopásállósága 5%-os szignifikanciaszinten azonosnak tekinthető. A minta tehát nem igazolta a feltevést.

8.5.2. Két sokasági arányra (valószínűségre) vonatkozó próba Legyen P1 és P2 két ismeretlen sokasági arányszám (valószínűség). A próba végrehajtása során ellenőrizni kívánjuk, hogy a két paraméter különbsége egyenlő-e egy megadott értékkel (pl. nullával). Ezért a sokaságokból egy-egy független mintát veszünk, és meghatározzuk a kérdéses arányszámokat torzítatlanul becslő

és

relatív gyakoriságokat.

Tehát a nullhipotézis

melynek ellenőrzésére a kétmintás z-próba használható. Ha a vizsgálni kívánt két sokaságból rendelkezésünkre áll két nagy minta, akkor a

96

Hipotézisvizsgálat próbafüggvény standard normális eloszlást alkot (lásd 8.4.3. és 8.5.1. alatti megfontolásainkat). Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értéke a

összefüggéssel határozható meg. Ha

akkor a nullhipotézis

Ellenőrzésére célszerű a fenti összefüggés helyett az ugyancsak standard normális eloszlású

próbafüggvényt használni, ahol most

az egyes minták elemszámai,

pedig a mintákból számított relatív gyakoriságok.

Konkrét minta esetén a

összefüggés használható, ahol A próba végrehajtása során a kritikus értékek megegyeznek az egymintás z-próba kritikus értékeivel.Nézzünk egy példát. Az egyik országos közvélemény-kutató cég 1000 elemű független, azonos eloszlású mintával dolgozik. Két, egymás után 1 hónapos eltéréssel megismételt közvélemény-kutatás eredménye szerint valamely politikust a lakosság 32%-a, illetve 38%-a tartotta rokonszenvesnek. 97

Hipotézisvizsgálat Vizsgáljuk meg 5%-os szignifikanciaszinten azt a feltevést, hogy adott politikus iránt nőtt-e a rokonszenv! A mintában: n1 = n2 = 1000, továbbá p1 = 0,32, p2 = 0,38. A kérdés megválaszolása a

nullhipotézis vizsgálatát jelenti, ahol 1-gyel a korábbi, 2-vel a későbbi vizsgálat eredményét jelöltük. Az alternatív hipotézisben azt fogalmazzuk meg, hogy a politikus iránti rokonszenv nőtt, azaz

Mivel a két arányszám közötti eltérésnek csak az iránya érdekel bennünket, ezért az számított értéke:

esetén felírt próbafüggvényt használjuk. Ennek a mintából

melynek meghatározásához

A kritikus érték bal oldali kritikus tartomány esetén

Az elfogadási tartomány pedig

Mivel a próbafüggvény számított értéke nem esik bele az elfogadási tartományba, a H0-t elutasítjuk a H1-gyel szemben. Tehát 5%-os szignifikanciaszinten nőtt az adott politikus iránti rokonszenv a lakosság körében .

8.5.3. Két sokasági szórás egyezőségére vonatkozó statisztikai próba A kétmintás t-próba alkalmazásának egyik feltétele a két sokasági szórás egyezősége volt. A két mintát igénylő próbák közül ismerkedjünk meg utolsónak ezen probléma tesztelésére is alkalmas próbával. A 8.6. táblázatban bevezetett jelöléseket alkalmazzuk. Szükséges azonban az a további megszorítás, hogy a sokaság eloszlásának mindkét sokaság esetén pontosan vagy igen jó közelítéssel normálisnak kell lennie. 98

Hipotézisvizsgálat Célunk a két sokasági szórásra vonatkozó

nullhipotézis vizsgálata. Erre az

próbafüggvény használható, ami H0 helyessége esetén szf1 = n1 – 1 és szf2 = n2 – 1 szabadságfokú F-eloszlást alkot. Hiszen a számláló is és a valószínűségi változó (lásd 7.3.4. pont). Ezért ezt a próbát F-próbának nevezzük.

nevező is

Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értéke a következő összefüggéssel határozható meg:

Fontos megjegyeznünk, hogy a szf1 a számláló szabadságfoka, a szf2 pedig a nevező szabadságfoka. Az, hogy melyik sokaságot jelöljük 1-essel, illetve 2-essel, elhatározás dolga. Ha ezt azonban egyszer már eldöntöttük, akkor e döntéshez a továbbiakban következetesen ragaszkodnunk kell, s a számláló és a nevező szabadságfokát ennek megfelelően kell megállapítani. (Erre később még visszatérünk.) 5

Az F-eloszlás – a hasonlóan – nem szimmetrikus eloszlás. Ez befolyásolja az elfogadási tartomány határainak kikeresését. Az eloszlás sűrűségfüggvényét a 8.6. ábra szemlélteti, különböző szabadságfokpárok esetén. Az F-próba kritikus értékei szintén külön erre a célra készített táblázatokból olvashatók ki (Függelék 3. táblázat). Mivel most a szf1 és szf2 szabadságfokok a táblázatban egy-egy külön dimenziót igényelnek, így a „p” értékek a táblázat címe alatt szerepelnek. A táblázatból közvetlenül kiolvasható a cf felső kritikus érték, míg az ca alsó kritikus értékek a következő összefüggéssel határozhatók meg:

5

Sűrűségfüggvénye a Valószínűségszámítás 197. oldalán található.

99

Hipotézisvizsgálat

8,6. ábra - Az F-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok esetén

Tehát az alsó kritikus értéket úgy határozhatjuk meg, hogy a felcserélt szabadságfokok mellett kikeresett felső kritikus érték reciprokát vesszük. Ezek után tekintsük át az F-próba elfogadási tartományait különböző alternatív hipotézisek esetén (8.8. táblázat)!

8.8. táblázat - Az F-próba elfogadási tartományai α szignifikanciaszint mellett Alternatív hipotézis

Elfogadási tartomány

Az alsó kritikus érték kikeresésével kapcsolatos kellemetlenséget elkerülhetjük, ha a számlálóba mindig a nagyobb szórást írjuk. Így eleve biztosítjuk, hogy a próbafüggvény értéke 1-nél nagyobb legyen. Mivel

mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 1, így az alsó kritikus érték mindig kisebb vagy 100

Hipotézisvizsgálat egyenlő lesz, mint 1. Ezért nem fordulhat elő, hogy a próbafüggvény számított értéke kisebb legyen az alsó kritikus értéknél, így nem feltétlenül szükséges ezen érték meghatározása. Az F-próbáról elmondottak igazak a

és a

ellenhipotézis esetén is. Mivel a

nagyobb szórást írtuk, a próbafüggvény értéke mindig az elfogadási tartományba esik, így a ellenhipotézissel szemben.

ellenhipotézis esetén, ha a számlálóba a nullhipotézist mindig elfogadjuk a

Mint már említettük, a kétmintás t-próba alkalmazásának feltétele, hogy a sokasági szórások megegyezzenek. Az új és a régi típusú gumiabroncsok kopásállóságát összehasonlító példában feltételeztük, hogy 1-gyel a régi, 2-vel az új típusú abroncsokat jelöljük.) A vizsgálandó nullhipotézis:

Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten ezen állítás helyességét! (Továbbra is

illetve az ellenhipotézis:

A próbafüggvény megvalósult értéke: Az alternatív hipotézis kétoldali statisztikai próbát határozott meg. Annak ellenére, hogy a számlálóba a nagyobb mintabeli szórás került, (csupán a gyakorlás céljából) határozzuk meg az alsó és a felső kritikus értéket is! A két szabadságfok:

A kritikus értékek pedig:

illetve

és

Az elfogadási tartomány: [0,248 ; 4,03]. A próbafüggvény számított értéke beleesik az elfogadási tartományba, így a nullhipotézisünket elfogadjuk. Tehát 5%-os szignifikanciaszinten a régi és az új típusú gumiabroncs kopásállóságának a szórása azonosnak tekinthető.

8.6. Egyéb hipotézisvizsgálatok A 8.4. és a 8.5. pontban tárgyalt próbák sokasági paraméterekre vagy ezek egymáshoz való viszonyára vonatkoztak. Ebben a pontban olyan hipotézisvizsgálati módszerekkel foglalkozunk, amelyek egy vagy több változó sokasági eloszlására irányulnak. Megismerkedünk továbbá a varianciaanalízis legegyszerűbb modelljével.

8.6.1. Illeszkedésvizsgálat Egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés ellenőrzését illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Attól függően, hogy a hipotézisünket mennyire konkretizáljuk, kétféle illeszkedésvizsgálatot különböztetünk meg. 101

Hipotézisvizsgálat 1. Ha a feltételezett (hipotetikus) eloszlás egyértelműen meghatározott – a típusát és paramétereit előre rögzítjük –, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk. 2. Ha a feltételezett (hipotetikus) eloszlásnak csak a típusát adjuk meg – a paramétereit pedig a mintából becsüljük –, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk. Tegyük fel, hogy a sokaságot valamely (többnyire mennyiségi, de néha minőségi) ismérv(ek) alapján k számú részre bontottuk, azaz a sokaság egységeit a szóban forgó ismérv(ek) alapján osztályoztuk. Tegyük fel, hogy ugyanezt az osztályozást a mintára vonatkozóan is elvégeztük. A mintaelemek osztályozásának eredményeit a 8.9. táblázatban foglaltuk össze.

8.9. táblázat - A minta valamilyen ismérv szerinti megoszlása Az ismérv alapján képzett

a

A kategória előfordulásának

kategóriák ismérvértéke gyakorisága a mintában

a konkrét mintában

X1

v1

n1

X2

v2

n2

.

.

.

.

.

.

Xi

vi

ni

.

.

.

.

.

.

Xk

vk

nk

Összesen

n

n

a

Az ismérvértékek alapján képzett kategóriák lehetnek egyedi értékek, illetve mennyiségi ismérv esetén osztályközök. Egyedi értékek esetén a minta eloszlásáról, míg osztályközök esetén megoszlásáról beszélünk.

Az általunk feltételezett eloszlás minden ismérvváltozathoz egy meghatározott Pi valószínűséget rendel. A Pi megmutatja, hogy a feltételezett (elméleti) eloszlás fennállása esetén mekkora lenne az i-edik ismérvváltozat előfordulásának valószínűsége, vagyis egy elemet véletlenszerűen kivéve ennyi a valószínűsége, hogy az adott ismérvváltozatba tartozik. 102

Hipotézisvizsgálat Ennek megfelelően a nullhipotézis az alábbi módon adható meg:

ahol Az alternatív hipotézist pedig a H1 : létezik olyan i, amelyre formában fogalmazhatjuk meg. Világos, hogy

Egy mintában az eltérést a

összeggel mérhetnénk.

Ha a rendelkezésre álló minta elég nagy, akkor a H0 hipotézis ellenőrzésére a

(ahol ) próbafüggvény használható, amely jó közelítéssel szabadságfokú követ, ha a igaz. (A bizonyítással nem foglalkozunk.) A szabadságfoknál a b a Pi meghatározásához szükséges azon paraméterek számát jelenti, amelyet a mintából becsültünk, k pedig a képzett kategóriák száma. (Természetesen tiszta illeszkedésvizsgálatnál a b értéke 0, így A próbafüggvény csak akkor közelíti meg jól a

)

ha nagy mintánk van. További követelmény a jó közelítéshez, hogy a legkisebb feltételezett

gyakoriság (nPi) nagyobb vagy egyenlő legyen, mint 10, de legalább Ez a szigorú feltétel valójában a mintanagyságra, valamint a képzett kategóriák számára vonatkozó korlát. Ha ez nem teljesül és a minta elemszáma valamilyen oknál fogva előre adott, célszerű új kategóriákat képezni a próba végrehajtásához. A próbafüggvény képzésének logikája, hogy igaz H0 esetén az n elemű mintában az i-edik kategória előfordulásának gyakorisága az körül ingadozik, hiszen – mint azt láttuk – ennyi a várható értéke. A próbafüggvény számlálójában lévő különbség tehát a nullhipotézis fennállása esetén csak a véletlenszerű (a mintavétel véletlen jellege miatti) eltéréseket mutatja. Ha az alternatív hipotézis igaz, akkor a két eloszlás (a feltételezett elméleti és a mintából előállt eloszlás) eltérése már nemcsak a véletlentől függ, ezért várható, hogy a próbafüggvény eloszlása a megfelelő szabadságfokú 103

képest jobbra fog tolódni. Így az illeszkedésvizsgálatot jobb

Hipotézisvizsgálat

oldali kritikus tartománnyal kell végrehajtani. Ez azt jelenti, hogy az végrehajtásához az elfogadási tartomány

szignifikanciaszinthez felső kritikus értéket kell keresni, azaz

a kritikus tartomány pedig

A próba

lesz.

Konkrét minta esetén a próbafüggvény megvalósult értékét a

összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol Az illeszkedésvizsgálatnak számtalan felhasználási területe van. Az eddig megismert egy- és kétmintás statisztikai próbák feltétele volt, hogy a minta normális vagy közelítőleg normális eloszlású sokaságból származzon. Ezen megkötés teljesülését illeszkedésvizsgálattal ellenőrizhetjük, magát a vizsgálatot pedig normalitásvizsgálatnak nevezzük. Nézzünk erre vonatkozóan egy példát. Valamely gyorsbüféhálózat üzleteiben a vevőket 45 másodperc alatt kell kiszolgálni. A kiszolgálási idő megengedett szórása 7 másodperc. 400 véletlenszerűen kiválasztott vendég kiszolgálási idő szerinti megoszlását a 8.10. táblázat mutatja:

8.10. táblázat - A kiválasztott vendégek kiszolgálási idő szerinti megoszlása Kiszolgálási idő (másodperc)

Vendégek száma (fő)

– 35

20

35 – 40

80

40 – 45

100

45 – 50

100

50 – 55

60

55 –

40

Összesen

400 104

Hipotézisvizsgálat Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a mintánk az előírt paraméterű (μ = 45, σ = 7) normális eloszlásból származott! A szignifikanciaszint 5%. A vizsgálathoz először a normális eloszlás feltételezése melletti Pi elméleti valószínűségeket kell meghatározni. Ha az i-edik osztályköz felső határát xif-fel, illetve alsó határát xia-val jelöljük, akkor az i-edik osztályközbe esés valószínűsége μ várható értékű és σ szórású normális eloszlás feltételezésével:

A valószínűségek meghatározásához először ki kell számolni a hányadosokat, amelyeket a számítások elvégzéséhez szükséges munkatábla (8.11. táblázat) (3) oszlopában tüntettünk fel. Ezek után a standard normális eloszlás táblázatából (Függelék 1. táblázat) kikeressük a hányadosokhoz tartozó eloszlásfüggvény-értékeket (a munkatábla (4) oszlopa). Az (5) oszlopban a Pi valószínűségeket határozzuk meg a (4) oszlop szomszédos elemeinek kivonásával. (Ennek magyarázatát az i-edik osztályközbe esés valószínűségére az előzőekben felírt összefüggés adja.) A kiszámított Pi elméleti valószínűség megmutatja, hogy mekkora az i-edik kategória előfordulásának valószínűsége, ha normális eloszlású sokaságból származik a minta. A normális eloszlás feltételezése melletti gyakoriságok – (6) oszlop – segítségével meghatározzuk a (7) oszlop összesen sorában a próbafüggvény számított értékét. Fontos megjegyeznünk, hogy az utolsó osztályközhöz tartozó zif értéket mindig ∞-nek vesszük. Ennek következtében ezen osztályközhöz tartozó eloszlásfüggvény értéke 1 lesz, és így teljesül a

összefüggés.

A számítások elvégzésének gondolatmenetét alkalmazzuk a példánkra. Az eredményeket a 8.11. táblázat tartalmazza.

8.11. táblázat - A Kiszolgálási idő (sec)

próbafüggvény számított értékének meghatározására szolgáló munkatábla

Vendégek száma (fő)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

– 35

20

–1,43

0,0764

0,0764

30,56

3,65

35 – 40

80

–0,71

0,2389

0,1625

65,00

3,46

40 – 45

100

0,00

0,5000

0,2611 104,44

0,19

45 – 50

100

0,71

0,7611

0,2611 104,44

0,19

105

Hipotézisvizsgálat 50 – 55

60

1,43

0,9236

0,1625

65,00

0,38

55 –

40

∞

1

0,0764

30,56

2,92

Összesen

400

–

–

1,0000 400,00

10,79

A táblázat alapján a próbafüggvény aktuális értéke: A kritikus érték meghatározásához a szabadságfok tiszta illeszkedésvizsgálatot hajtottunk végre.

mivel az osztályközök (kategóriák) száma 6 és a sokaság paraméterei adottak, így

A kritikus érték az elfogadási tartomány pedig [0 ; 11,1]. Mivel a számított érték az elfogadási tartomány része, elfogadjuk a nullhipotézist. A kiszolgálási időt tehát 5%-os szignifikanciaszinten 45 perc várható értékű, 7 perc szórású normális eloszlású valószínűségi változónak lehet tekinteni. Az illeszkedésvizsgálatot nemcsak a normális eloszlás, hanem egyéb elméleti eloszlások (pl. egyenletes, lognormális, Poisson- stb. eloszlás) fennállásának ellenőrzésére is használhatjuk. Természetesen az egyes eloszlások esetén a feltételezett elméleti eloszlás melletti gyakoriság meghatározása különbözni fog a normalitásvizsgálatnál bemutatott gondolatmenettől.

8.6.2. Függetlenségvizsgálat A függetlenségvizsgálat azon nullhipotézis ellenőrzésére szolgál, hogy két ismérv független egymástól. Az alternatív hipotézisben pedig azt 6 fogalmazzuk meg, hogy nem függetlenek. Ez az alternatív hipotézis két ismérv közötti sztochasztikus, illetve függvényszerű kapcsolatot enged meg. Ha a sokaságról teljes körű információval rendelkezünk, akkor az I. kötet 3.4. pontjában szereplő kontingenciatábla segítségével és a 3.4.1. pontban felírt függetlenség definíciójának felhasználásával eldönthetjük, hogy a két ismérv független-e egymástól. Más a helyzet, ha a véges sokaságot nem ismerjük, és a következtetést mintából származó adatokra kell alapoznunk. Ilyenkor is egy méretű (ahol s a sorok, t az oszlopok számát mutatja) kontingenciatáblából indulunk ki – általános sémája Tankönyvünk I. kötetének 3.15. táblázatában található –, amely most a mintában észlelt gyakoriságokat tartalmazza. A függetlenségvizsgálat során a

6

Általános statisztika I. (Szerk. Korpás Attiláné dr.) Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 1996. 3.4. pont (A további hivatkozásoknál: I. kötet.)

106

Hipotézisvizsgálat nullhipotézist a van olyan i és j, amelyre

(ha

és

)

alternatív hipotézissel szemben teszteljük, ahol: az első ismérv i-edik és a második ismérv j-edik változata együttes előfordulásának valószínűsége a sokaságban, és

a peremeloszlás megfelelő valószínűségei.

Ha a nullhipotézis fennáll, akkor a két szóban forgó ismérv

szignifikanciaszinten függetlennek tekinthető egymástól .

Nyilvánvaló, hogy a együttes valószínűségek a és a peremvalószínűségek ismeretében meghatározhatók, ha a ezeket a peremvalószínűségeket sem ismerjük. Becslésükre a minta gyakoriságait használjuk. Legyen

az 1. ismérv szerinti i-edik osztályhoz tartozó gyakoriság a mintánál és

a 2. ismérv j-edik osztályához tartozó

gyakoriság. Jelölje továbbá az 1. ismérv i-edik és a 2. ismérv j-edik osztályába eső mintaelemek számát

Ha a

és

szabadságfokú,

hipotézis igaz. Általában

Ekkor

valószínűségek ismeretesek, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról van szó, és a próbafüggvény

valószínűségi változó, mivel

osztály van. Ha a

és

ismeretesek, akkor ezeket becsüljük a és gyakoriságok segítségével. Itt tulajdonképpen illetve mindkét peremen a valószínűségek összege 1. Így a becsléses illeszkedésvizsgálat próbafüggvénye, a

107

valószínűségek (paraméterek) nem szabad paramétert kell becsülni, hiszen

Hipotézisvizsgálat

valószínűségi változ szabadságfokú alkot. Tehát a szabadságfok levezethető a becsléses illeszkedésvizsgálatnál alkalmazott szabadságfokból. A függetlenségvizsgálat így valóban az illeszkedésvizsgálat speciális eseteként kezelhető. A következőkben a konkrét mintában az 1. ismérv i-edik előfordulásának és a 2. ismérv j-edik előfordulásának együttes gyakoriságát jelölje peremgyakoriságokat pedig

és

a

Ekkor a próbafüggvény megvalósult értéke a következőképpen határozható meg:

A próba elutasítási tartománya a becsléses illeszkedésvizsgálatnak megfelelően jobb oldali, így a ha a próbafüggvény megvalósult értéke a

szignifikanciaszint esetén akkor fogadjuk el,

elfogadási tartományba esik.

Tekintsük a következő példát. Egy szociológiai vizsgálat során azt kívánjuk ellenőrizni, hogy az egyetemet végzett férfiak és nők előrejutási lehetőségei azonosnak tekinthetők-e. Ehhez a vizsgálathoz az egyik egyetem 15 évvel ezelőtt végzett évfolyamának hallgatói közül véletlenszerűen kiválasztottunk 200 főt. A megkérdezettek adatait a 8.12. táblázat tartalmazza:

8.12. táblázat - A megkérdezett személyek nemhez való tartozás és beosztás szerinti megoszlása Megnevezés

Férfi

Nő

Összesen

Beosztott

20

40

60

Középvezető

60

40

100

Felső vezető

30

10

40

Összesen

110

90

200

A vizsgálat során a szignifikanciaszint 5%. A nullhipotézis és az alternatív hipotézis a következő formában írható fel:

van olyan i és j, amelyre

(ha

és

). 108

Hipotézisvizsgálat A próbafüggvény kiszámításához készítsük el a 8.13. táblázatot.

8.13. táblázat - Munkatábla a

próbafüggvény aktuális értékének meghatározásához

Megnevezés

Férfi

Nő

Beosztott

20

33

5,121

Középvezető

60

55

0,455

Felső vezető

30

22

2,909

Beosztott

40

27

6,259

Középvezető

40

45

0,556

Felső vezető

10

18

3,556

200

200

18,856

Összesen

A táblázat alapján a próbafüggvényünk számított értéke: A szabadságfok: A kritikus érték szf szabadságfok és 5%-os szignifikanciaszint esetén Mivel a kritikus érték kisebb, mint a számított érték, a elutasítjuk. Tehát a rendelkezésre álló adatok 5%-os szignifikanciaszinten ellentmondanak annak az állításnak, hogy a nemhez való tartozás és a beosztás független egymástól. A függetlenség történő ellenőrzése során – hasonlóan a Tankönyvünk I. kötete 3.4.1. pontjában ismertetett függetlenség definíciójához – nem tettünk megkötést az ismérvek típusára vonatkozóan. Így ezen eljárás bármilyen ismérvek esetén alkalmazható. A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy két minőségi (vagy területi) ismérv közötti kapcsolat szorosságát kívánjuk meghatározni, de a teljes véges sokaságot nem ismerjük. Mivel következtetéseinket mintára kell alapoznunk, a 3.4.2. pontban megismert asszociációs mutatószámok által mért kapcsolat szorossága félrevezető lehet, mert nem tudunk a mutatóhoz a mintanagyságtól függő konfidenciaintervallumot rendelni. Ezért célszerű a sokaságban érvényesülő sztochasztikus kapcsolat hiányát hipotézisként kezelni, és a minta adatai alapján függetlenségvizsgálattal ellenőrizni, hogy a két ismérv független-e egymástól, vagy van közöttük sztochasztikus vagy függvényszerű kapcsolat. 109

Hipotézisvizsgálat

8.6.3. Varianciaanalízis A varianciaanalízis annak a nullhipotézisnek az ellenőrzésére szolgál, hogy kettőnél több azonos szórású normális eloszlású valószínűségi változónak azonos-e a várható értéke is. A próba végrehajtásához szükség van legalább egy nominális mérési skálán és egy arányskálán mért ismérvre. A nominális mérési skálán mért ismérv alapján M db egymástól független sokaságot hozunk létre, amelyekből független, azonos eloszlású mintát veszünk. Így M db egymástól független mintához jutunk. Legyen

a j-edik sokaságból származó i-edik megfigyelés (

). A varianciaanalízis modellje szerint

ahol : az egész sokaságra jellemző várható érték, : a sokasági hatást képviselő, csak a j-edik sokaságra jellemző konstans, : az előző kettőhöz képest a véletlen ingadozást képviselő, 0 várható értékű és

szórású normális eloszlású valószínűségi változó.

Tehát a modellünk szerint minden megfigyelés három tagból tevődik össze. Az első két komponens összege várható érték, amit is szoktak jelölni. A modell szerint a j-edik sokaságon belüli megfigyelések a normális eloszlás törvényszerűségeinek megfelelően. A felírt modell szerint a j-edik sokaságból származó

elemű minta alapján számított

mintabeli átlag várható értéke:

mivel

továbbá

és

rögzített j mellett állandó paraméterek. 110

amely a j-edik sokaságra jellemző

várható érték körül ingadoznak a

szórású

Hipotézisvizsgálat Legyen

az „egyesített” minta átlaga. (Felírásánál a rész- és a főátlagok közötti összefüggést használtuk fel a mintákra alkalmazva.) Igaz továbbá, hogy

Ezután belátható, hogy

Tehát az egyesített minta átlaga

csak akkor lehet torzítatlan becslése a

(az egyesített sokaság várható értékének), ha

Vezessük be a

vagy a

nullhipotézist. A felírt nullhipotézisek egyenértékűek azzal az állítással, hogy az X (az arányskálán mért ismérv) várható értéke független a sokaságokat megkülönböztető tényezőtől (a nominális mérési skálán mért ismérvtől). A várható érték tehát minden részsokaságban egyenlő az egyesített sokaság várható értékével, a A felírt – két egymással ekvivalens – nullhipotézissel szemben az az alternatív hipotézis áll, hogy a egybe a

sokasági átlagoknak nem mindegyike esik

az egyesített sokasági átlaggal. (Ezzel egyenértékű az az ellenhipotézis, hogy létezik olyan 111

amely nem egyenlő 0-val.)

Hipotézisvizsgálat A nullhipotézis ellenőrzésére szolgáló próbafüggvény a

összefüggésen alapul, ami nem más, mint az I. kötet 3.4.3. pontjában megismert összefüggésnek az egyes mintákra és az egyesített mintára történő alkalmazása. A modell kiinduló feltételei (az egyes sokaságok normális eloszlásúak, és a szórásaik megegyeznek) esetén a nullhipotézis tesztelésére az

próbafüggvényt használjuk, amely várható értéke

és

szabadságfokú F-eloszlást alkot, ha a igaz. Az is bizonyítható továbbá, hogy a számláló

lesz. A nevező várható értéke pedig, mivel

Tehát a próbafüggvénynek mind a számlálója, mind a nevezője becslését adja. Ha az ellenhipotézis az igaz, akkor a számláló nagyobb lesz, mint a nevező, ezért a próbát jobb oldali kritikus tartománnyal kell végrehajtani. Konkrét minta esetén jelöljük és

a j-edik sokaságból származó i-edik megfigyelés eredményét

az „egyesített” minta átlagát. Legyen 112

,

a j-edik (rész)minta átlagát

Hipotézisvizsgálat

a konkrét mintából számított teljes eltérés-négyzetösszeg, a konkrét mintából számított külső eltérés-négyzetösszeg,

a konkrét mintából számított belső eltérés-négyzetösszeg. Ekkor a próbafüggvény megvalósult értéke a következő összefüggéssel határozható meg:

Ha a nullhipotézis igaz, akkor azt mondhatjuk, hogy a nominális mérési skálán mért ismérvnek szignifikanciaszinten semmilyen hatása sincs az arányskálán mért ismérv átlagos nagyságára. Ha pedig az alternatív hipotézis az igaz, akkor a két ismérv között sztochasztikus (vagy függvényszerű) kapcsolat áll fenn. A próba végrehajtásához szükséges számítások elvégzését megkönnyíti a varianciaanalízis- tábla, amelynek sémáját – konkrét minta esetén – a 8.14. táblázat tartalmazza.

8.14. táblázat - Varianciaanalízis-tábla sémája Összetevő

Négyzetösszeg

Szabadságfok

Becsült szórásnégyzet

Külső Belső

Teljes

–

113

Hipotézisvizsgálat Az eddigiek során a próba végrehajtásához egy nominális és egy arányskálán mért ismérvre volt szükség. A varianciaanalízist akkor alkalmazhatjuk, ha mintavételből származó információk alapján kívánjuk eldönteni, hogy egy mennyiségi ismérv (arányskálán mérhető) átlagos nagysága függe valamilyen minőségi ismérvtől (nominális skálán mérhető), vagy független attól. Ekkor a varianciaanalízist a vegyes kapcsolat fennállásának tesztelésére használjuk. Nézzük a következő példát. Egy összeszerelő-üzemben ugyanazon alkatrész összeszerelését 4 dolgozó végzi. Az üzem vezetése szerint az egyik dolgozó rosszabb teljesítményt nyújt, mint a többi. Ennek ellenőrzésére 15 napon keresztül figyelemmel kísérték a gyártott alkatrészek számát. Az egyes dolgozók teljesítménye normális eloszlásúnak tekinthető, továbbá a szórások egyezősége feltételezhető. A megfigyelés eredményeit a 8.15. táblázat tartalmazza.

8.15. táblázat - Az egyes dolgozók teljesítményadatai Megfigyelt napok száma

Átlagos teljesítmény (db)

Eltérés-négyzetösszeg

A

15

59,3

117,6

B

15

57,9

173,4

C

15

61,0

228,2

D

15

60,2

86,4

Összesen

60

...

...

Dolgozó

Vizsgáljuk meg, hogy a 4 dolgozó átlagos teljesítménye azonosnak tekinthető-e (α = 5%). Először írjuk fel a nullhipotézist és az ellenhipotézist! létezik olyan

amely nem egyenlő a többivel.

A próbafüggvény kiszámításához:

114

Hipotézisvizsgálat

Ezek után kiszámíthatjuk a próbafüggvény megvalósult értékét, ami

A kritikus érték megállapításához a szabadságfokok: és A kritikus érték pedig 5%-os szignifikanciaszint esetén A próba elfogadási tartománya: [0 ; 2,79]. Mivel a próbafüggvény értéke az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk. A 4 dolgozó átlagos teljesítménye között nincs szignifikáns különbség, más szóval nem bizonyult igaznak az a feltételezés, hogy egyik dolgozójuk rosszabb teljesítményt nyújt.

8.7. Gyakorlófeladatok 1. A zacskóba csomagolt 1 kg-os kristálycukor tömegének ellenőrzésére 10 elemű véletlen mintát vettünk. Feltételezhető, hogy a csomagolóautomata normális eloszlással tölt. Mérési eredmények dkg-ban: 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102. A töltősúly szórásának megengedett mértéke 1 dkg. Feladat: a) Ellenőrizzük, hogy a kristálycukor töltési tömege megfelel-e a szabványnak! (α = 1%.) b) Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten azt a feltevést, hogy a csomagolási tömeg szórása meghaladja az 1 dkg-os mértéket! 2. Egy konzervgyárban a húskonzervek töltését automata gép végzi. A dobozok szabvány szerinti töltési tömege 450 gramm, szórása 10 gramm. A gyár egyik szállítmányából 30 darabból álló véletlen mintát vettek. A mintába került dobozok átlagos töltési tömege 448 gramm, a szórása 12 gramm. A dobozok töltési tömeg szerinti eloszlása normális. Feladat: 115

Hipotézisvizsgálat Vizsgáljuk meg annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a) a konzervek átlagos töltési tömege nem tér el a szabványtól! – A megengedett szórás felhasználásával, – a mintából becsült szórás felhasználásával. b) a szórás nem tér el szignifikánsan a szabvány szerintitől! Az elsőfajú hiba elkövetésének mindhárom esetben 5% esélyt adunk. 3. Adott technológiai folyamattal évek óta készítenek tv-képcsöveket. A képcső szabvány szerinti átlagos élettartama 12 000 óra, a megengedett szórás 3000 óra. Új technológiát vezetnek be a képcsövek minőségi paramétereinek javítására. Egy 60 db-os mintában az átlagos élettartam 12 800 óra, 3 100 órás szórással. A képcsövek élettartama normális eloszlást alkot. Feladat: Ellenőrizzük az alábbi hipotéziseket: a) Az új technológiával gyártott képcsövek élettartama nem felel meg a szabványnak (α = 0,05 és α = 0,01 szignifikanciaszinteken)! b) Az új képcsövek élettartama meghaladja a szabványosat! (α = 0,05.) 4. Egy titkárnőképző hirdetésében azt állítják, hogy a végzettek 90%-ának garantálják az elhelyezkedését. Az utolsó tanfolyamon 100-an végeztek, és közülük 84-nek sikerült elhelyezkedni. Feladat: a) Mondjunk véleményt a hirdetésről 5, illetve 1%-os szignifikanciaszinten! b) Megerősítené-e döntésünket, ha az információk 200 elemű mintából származtak volna? 5. 200 grammos mosóport 3 műszakban töltenek. Műszakonként 50 elemű mintát vesznek a töltés mennyiségének ellenőrzésére. A töltési tömeg átlagára vonatkozó adatok:

116

Hipotézisvizsgálat A töltőgép 5 grammos szórással képes tölteni. A töltési tömeg normális eloszlása feltételezhető. Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az egyes műszakok töltési mennyiségei eltérnek-e szignifikánsan a névleges értéktől! (α = 0,05.) 6. Egy reprezentatív felmérés során vizsgálták a juhok gyapjúhozamát 300 elemű minta alapján. A vizsgálat során a következő adatok váltak ismeretessé. A fésűs merinó fajta részletes adatai: Gyapjúhozam (kg)

Juhok száma (db)

– 4,0

6

4,0 – 5,0

32

5,0 – 6,0

40

6,0 – 8,0

59

8,0 –

13

Összesen

150

A német húsmerinó fajtára számított eredmények: a megfigyelt juhok száma: 150 db, az átlagos gyapjúhozam: 5 kg, a gyapjúhozam szórása: 1,24 kg, a 6 kg feletti gyapjúhozamú juhok aránya 32%. Mindkét fajtánál a gyapjúhozam szerinti normális eloszlás feltételezhető. Feladat: a) Szakértők tapasztalatai szerint a fésűs merinó juhok átlagos hozama 1,5 kg-mal meghaladja a német húsmerinó gyapjúhozamát. Alátámasztja-e a minta a szakértői tapasztalatokat? (α = 10%.) A szórások azonossága feltételezhető! 117

Hipotézisvizsgálat b) Van-e szignifikáns különbség a 6 kg feletti hozamú juhok aránya között? (α = 5%.) 7. Az M-0-ás autópálya valamely szakaszán forgalomszámlálást tartanak. Az egyes napokon történő számlálás eredményei (az áthaladó gépkocsik száma szerint csoportosítva): Gépkocsik száma

Napok száma

– 1000

14

1001 – 2000

19

2001 – 3000

31

3001 – 4000

19

4001 – 5000

15

5001 felett

12

Összesen

110

A megfigyelt napokon átlagosan 2851 gépkocsi haladt át a vizsgált helyen, a szórás 1506 gépkocsi. (Kerekített adatok!) Feladat: Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a gépkocsiforgalom normális eloszlású! (α = 5%.) 8. Termésátlagbecsléshez az alábbi 100 elemű mintát használjuk. A mintaelemek száma

Termésnagyság-

*

csoportok (g/m )

ténylegesen

N(579; 69,51) eloszlás feltételezésével

– 450

4

3,14

451 – 500

8

9,57

501 – 550

20

21,01

551 – 600

32

28,07

2

118

Hipotézisvizsgálat

601 – 650

20

...

651 – 700

12

...

701 –

4

...

Összesen

100

...

*

A mintából számított paraméterek.

Feladat: a) Számítsuk ki a hiányzó adatokat! b) Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy normális eloszlásúnak tekinthető-e a minta! 9. Egy lakótelepen 420 háztartásnál elemezték a mosógéppel való ellátottságot. A minta adatai: Háztartástípus

Egyedülállók és gyermektelen házaspárok

Gyermekes házaspárok

Összesen

Nincs mosógép

20

44

64

Hagyományos

40

236

276

Félautomata és automata

40

40

80

Összesen

100

320

420

Mosógép- ellátottság

Feladat: a) Ellenőrizzük megfelelő próbával azt a feltevést, hogy a mosógép nélküli háztartások aránya szignifikánsan nagyobb az egyedülálló (és gyermektelen) háztartásokban! (α = 5% és α = 1% mellett.) b) Számítsuk ki, hogy milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között! c) Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a szorossági mérőszám szignifikáns kapcsolatot jelez-e! 10. Egy közvélemény-kutató intézet azt vizsgálja, hogy három párt szavazói a választások után 1 évvel mennyire ragaszkodnak ahhoz a párthoz, amelyikre a választáskor szavaztak. Az erre vonatkozó vizsgálat eredményei a következők: 119

Hipotézisvizsgálat Most kire szavazna?

Szavazat a választás idején

A-ra

B-re

C-re

Nem tudja

Összesen

A

142

8

41

34

225

B

37

103

24

23

187

C

5

8

67

8

88

Összesen

184

119

132

65

500

Feladat: a) Milyen következtetésre jut a közvélemény-kutató intézet a kapott adatok birtokában a választók „ragaszkodását” illetően? (α = 0,01.) b) Számítsuk ki a két ismérv közötti kapcsolat szorosságát! 11. A közlekedési balesetek elemzésére szolgál az alábbi minta: Megnevezés

Autópálya

Főút–autóút

Egyéb

Összesen

Halálos

50

60

10

120

Sérüléses

80

690

110

880

Összesen

130

750

120

1000

Feladat: a) Ellenőrizzük, hogy a baleset kimenetele és az út típusa között van-e szignifikáns kapcsolat! (α = 5%.) b) Szignifikáns különbség van-e a halálos balesetek aránya között a főút–autóút és az egyéb utak esetében? (α = 1%.) 12. 50 véletlenszerűen kiválasztott hallgató dolgozatának eredménye valamely tantárgyból: Feladatsor A

Hallgatók

Elért pontszám

száma (fő)

átlaga

szórása

8

41

7,5 120

Hipotézisvizsgálat

B

10

37

10,0

C

14

40

7,0

D

8

34

8,7

E

10

37

6,4

Összesen

50

...

...

Feladat: a) Vizsgáljuk meg, hogy két (tetszőlegesen választott) feladatsor eredményei szignifikánsan eltérnek-e egymástól 5%-os szinten! b) Igazolható-e az az állítás, hogy a feladatsorok (összességükben) eltérő nehézségűek voltak? (α = 0,05.) 13. Egy marketinggel foglalkozó cég vezetője arra kíváncsi, hogy jól kiképzett munkatársainak ügynöki teljesítménye független-e az életkortól. Az adatokat úgy gyűjtötték, hogy egy adott termékből egy hónap alatt hány darabot sikerült az ügynöknek eladni. A 600 elemű minta adatai: Eladások száma Életkor

5 és 9 között

10 és 15 között

16 és 20 között

Összesen

30 év alattiak

50

80

70

200

30 és 40 év között

80

90

90

260

40 év felettiek

60

50

30

140

Összesen

190

220

190

600

Feladat: Befolyásolja-e az életkor az ügynökök munkájának eredményességét? (α = 5%.) 14. Egy piackutatás során különböző csomagolásban (A, B, C, D, E) mutattak be egy terméket. 300 vevő az alábbi megoszlásban választott: Csomagolás

Vevők száma 121

Hipotézisvizsgálat A

45

B

55

C

70

D

65

E

65

Összesen

300

Feladat: Ellenőrizze 5%-os szignifikanciaszinten, hogy egyenlő arányban választják-e az egyes csomagolási fajtákat!

122

9. fejezet - Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A társadalmi-gazdasági jelenségek alakulását, viselkedését vizsgálhatjuk teljes körű vagy részleges megfigyeléssel, nézhetjük önmagukban, de elemezhetjük a velük szoros kapcsolatban levő tényezőkkel együttesen is. Ha önmagukban vizsgáljuk azokat, akkor csak az események rögzítésére, egy állapot leírására van lehetőségünk. A hatótényezők összefüggésének elemzése ennél bővebb lehetőséget kínál, mivel arra is választ kaphatunk, hogy a bekövetkezett állapot milyen tényezők hatására jött létre, mely tényezők, milyen mértékben határozták meg a vizsgált jelenség alakulását. Ebben a fejezetben a társadalmi-gazdasági folyamatokat alakító tényezők összefüggéseivel foglalkozunk és a becslési eljárásokhoz, valamint a hipotézisvizsgálathoz hasonlóan mintából származó adatokat használunk fel. A közgazdasági elemzőmunkában a mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatának van elsődleges szerepe. A gazdasági élet jelenségei ugyanis rendszerint számszerűsíthetők. Vizsgálhatjuk például a gazdasági társaságok nettó árbevételének és jövedelmezőségének összefüggését, vagy a nemzetgazdaság fizetési mérlegének hiánya és az export volumene közötti kapcsolatot. Korábban, a kombinációs táblák 1 elemzésekor már megismerkedtünk a sztochasztikus kapcsolat fogalmával, az ismérvek közötti tendenciaszerű összefüggéssel. Az ismérvek fajtája szerint megkülönböztettünk asszociációt, vegyes kapcsolatot és megismerkedtünk a korrelációs kapcsolattal is. A csoportosított adatokból végzett elemzés kapcsán alkalmazható a korrelációs tábla, a kapcsolat szorossága mérhető a megismert korrelációs hányadossal, az összefüggések feltárásában pedig segít a tapasztalati regressziófüggvény. A következőkben a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatvizsgálat speciális eszközeivel fogunk megismerkedni. Ha aziránt érdeklődünk, vajon fennáll-e a kapcsolat vagy sem, illetve milyen irányú és erősségű az összefüggés, a korrelációszámítás eszközeivel kaphatunk választ kérdésünkre. Az ismérvek közötti függőségi viszonyok feltárásával, az összefüggésekben rejlő tendenciák matematikai függvényekkel történő leírásával pedig a regressziószámítás foglalkozik. A gyakorlati elemzőmunkában a korreláció- és a regressziószámítást általában együtt, egymást kiegészítve alkalmazzák. Ha a korrelációszámítás során szoros kapcsolat mutatkozik az ismérvek között, akkor a regressziós függvényt bátran felhasználhatjuk az összefüggés jellemzésére, gyenge kapcsolat esetén viszont a regressziófüggvénnyel szemben is fenntartásaink lehetnek.

9.1. Kétváltozós korrelációszámítás 2

A sztochasztikus kapcsolatok elemzése során már megismertük a korrelációs hányadost . Ebben a fejezetben további mérőszámok meghatározásával foglalkozunk, amelyek szintén a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat szorosságát fejezik ki, kiszámításuk azonban reprezentatív megfigyelések adataiból, azaz mintából történik. 1 2

I. kötet 125. oldal I. kötet 159. oldal

123

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A korrelációszámítás célja a kapcsolat intenzitásának és irányának mérése. A kapcsolatszorosság vizsgálatánál a két mennyiségi ismérvet szimmetrikusan kezeljük. A korrelációs kapcsolat szorossági mérőszámainak esetében is ésszerűnek látszik megvizsgálni, hogy egy összefüggés mennyire áll közel a függetlenséghez és mennyire közelíti meg a függvényszerű kapcsolatot. Ezért a mutatószámokkal szemben az asszociációs együtthatókhoz hasonló követelményt támasztunk: – ha nincs összefüggés az ismérvek között, vagyis függetlenek egymástól, a szorosság mérőszámának nullát kell adnia; – ha egyértelmű (lineáris függvényszerű) kapcsolat van az ismérvek között, a mérőszámnak 1 (illetve +1 vagy –1) értéket kell felvennie (a kapcsolat irányának megfelelően). A szorossági mérőszámok meghatározásánál fontos szerepet játszanak a vizsgált ismérvek mérhetőségi tulajdonságai. A szóba jöhető mérőszámok közül, amelyeket a statisztika ilyen célra használ, itt csak a legfontosabbakat mutatjuk be.

9.1.1. A kovariancia Induljunk ki a mennyiségi ismérvek kétdimenziós eloszlásainak speciális paraméteréből, a kovarianciából. A valószínűségszámításban két valószínűségi változó,

és

kovarianciáján a

számot értjük, ha a definícióban szereplő várható értékek léteznek. Ott bebizonyítottuk, hogy

3

1. 2. Ha

és

függetlenek, akkor

fordítva nem igaz, ha

3. Ha

és

együttes eloszlása (kétváltozós) normális eloszlás, akkor

akkor még nem biztos, hogy akkor csak akkor, ha

Adott egy sokaság, amelynek két mennyiségi ismérvét, X-et és Y-t vizsgáljuk. Diszkrét esetet feltételezve 3

Valószínűségszámítás 163., 168., 179. oldal

124

és

és

függetlenek.

függetlenek.

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

X lehetséges értékei Y lehetséges értékei (mindkét esetben elképzelhető, hogy a lehetséges értékek száma nem véges). Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy egyedet,

az úgynevezett együttes valószínűségek és

a peremvalószínűségek, akkor

ahol

az X, illetve az Y ismérv várható értéke. Ha a sokaság véges N tagú és 4 a peremgyakoriságok , akkor

Így a kovariancia (amelyet most 4

az együttes gyakoriságok (azon egyedek száma, amelyek az

-nal jelölünk):

I. kötet 127. oldal

125

ismérvértékkel rendelkeznek),

illetve

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Itt az

illetve

az X ismérv, illetve az Y ismérv átlaga.

A kovariancia gyakran használt képlete még – az abszolút gyakoriságokat felhasználva, a definíciónak megfelelően – az átlagtól való eltérések szorzatának átlagaként felírt formula:

A kovariancia tehát az átlagtól való eltérések szorzatának számtani átlaga, amely az együttes szóródás nagyságrendjét jellemzi. Abban a speciális esetben, amikor

a kovariancia a szórásnégyzettel azonos, így valóban a két ismérv együttes szórásának tekinthető,

Nézzünk egy példát! Egy település könyvtárának összesen 50 beiratkozott olvasója van. A kölcsönzött kötetek száma (db) és a kölcsönzési idő (hét) közötti összefüggést kívánjuk vizsgálni. (A könyvtár kéthetes időtartamokra kölcsönöz és legfeljebb kétszer hosszabbítja meg a kölcsönzési időt.) X: a kölcsönzési idő (hét), Y: a kölcsönzött kötetek száma (db). (Adatok a 9.1. táblázatban.)

9.1. táblázat - Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött kötetek szerint Kölcsönzött kötetek száma (db) Y

Kölcsönzési idő (hét) X

Összesen

Összesen 3

9

2

1

15

8

7

2

3

20

4

9

1

1

15

15

25

5

5

50 126

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

A kölcsönzési idő átlaga 4 hét (

). A kölcsönzött kötetek átlagos száma 2 (

).

Ha a kovariancia másik képletéből indulunk ki, a számítás menete a következő:

Kérdés, hogy a kovariancia nagysága mennyire szoros sztochasztikus kapcsolatot jelez. Erre azért is nehéz válaszolni, mert a kovariancia nem dimenzió nélküli szám, nagysága függ a vizsgált ismérvek mértékegységétől. Számítsuk ki a kovarianciát az előbbi példa adataiból, a kölcsönzési időt azonban most napokban mérjük! (9.2. táblázat.)

9.2. táblázat - Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött kötetek szerint Kölcsönzött kötetek száma (db) Y

Kölcsönzési idő (nap) X

Összesen 3

9

2

1

15

127

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Összesen

8

7

2

3

20

4

9

1

1

15

15

25

5

5

50

Az átlagos kölcsönzési idő most:

A kölcsönzött kötetek átlaga:

(Itt már csak a nullától különböző szorzatokat írtuk fel.) A kovariancia lényegesen nagyobb lett, pedig csak a kölcsönzési idő dimenzióján változtattunk. A kétváltozós korrelációs kapcsolat vizsgálatánál a kovariancia képlete általában leegyszerűsödik, ha egyedi adatokból dolgozunk, azaz minden értékpár csak egyetlenegyszer fordul elő, így a súlyok szerepét betöltő előfordulások száma mindegyik eltérésnél egy. Ekkor a kovariancia:

ahol Mielőtt a kovariancia felhasználásáról beszélnénk, összegezzük, hogy milyen tulajdonságai vannak. A következőket állapíthatjuk meg: 1. Előjelét a

szorzatösszeg előjele határozza meg.

2. A sokaság elemszámától független. 3. Nagysága az ismérvek szóródásától és a kapcsolat szorosságától függ. Minél szorosabb a korreláció, annál nagyobb abszolút értékű szorzatösszegre számíthatunk. 128

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

4. A két ismérv korrelálatlansága esetén 5

5. Ha az X, Y ismérvek függetlenek , akkor dimenziójától is, amint azt a példánkban láttuk.

Ha

akkor értéke nemcsak a kapcsolat szorosságától függ, hanem a mennyiségi ismérvek

Célszerű a kapcsolat erősségének mérésére, ahogy erre már utaltunk, normált, a teljesülnek a szorossági mérőszámokkal szemben megfogalmazott követelmények.

intervallumban elhelyezkedő mérőszámot alkalmazni. Ekkor

Tegyük fel, hogy az X és Y ismérv között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz

Ekkor a számtani átlag és a szórás ismert tulajdonságai alapján:

Írjuk fel a

Minden

(mivel

-t:

helyettesíthető tehát

Ezt az átalakítást elvégezve a kovariancia a következőképpen írható:

).

Fordítva is igaz, ha

akkor van olyan a és b, hogy

(Ezt az állítást nem bizonyítjuk.) 5

Valószínűségszámítás 168. oldal

129

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Minden más esetben Bizonyítás:

És ez akármilyen

ekkor

-nál igaz. Legyen

,

azaz Lineáris függvénykapcsolat esetén tehát a kovariancia az ismérvek külön-külön számított szórásainak szorzatával azonos.

9.1.2. A lineáris korrelációs együttható A sztochasztikus kapcsolatok szorosságának mérésére szolgáló dimenzió nélküli mérőszám a korrelációs együttható. Mi megkülönböztetésül lineáris korrelációs együtthatónak nevezzük. Ha két valószínűségi változó kovarianciáját ( ) elosztjuk a két változó szórásával ( illetve megkapjuk a korrelációs együtthatót, melyet Pearson angol statisztikusról Pearson-féle korrelációs együtthatónak is neveznek. (Jele: R.) Képlete:

A kovarianciánál leírtak miatt fennáll, hogy 130

),

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Eddigi megfontolásainknak megfelelően a sztochasztikus kapcsolat két valószínűségi változó között annál szorosabb, minél közelebb van az az 1-hez. Ha

a

és az

valószínűségi változók a kovarianciánál leírtak szerint korrelálatlanok.

Ha véges sokaságra kívánjuk felírni a lineáris korrelációs együtthatót (jele:

), képlete a következő:

Számítsuk ki példánk adataiból a lineáris korrelációs együtthatót! (Adatok a 9.1. táblázatban.) A gyakoriságeloszlás alapján már kiszámítottuk a kovarianciát:

volt.

A peremeloszlások szórására a következőket kapjuk:

és

A lineáris korrelációs együttható:

(gyenge, negatív kapcsolat). 131

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Számítsuk ki a lineáris korrelációs együtthatót a napokban mért kölcsönzési idők adataival is! (Adatok a 9.2. táblázatban.) Ebben az esetben a kölcsönzési idő szórása:

Vegyük észre, hogy a szórás 2. tulajdonsága értelmében ez a hetekben mért kölcsönzési idő alapján számított szórásból egyszerűbben is kiszámítható: (A minimális eltérés természetesen kerekítésből adódik.) A kölcsönzött kötetek számának szórása változatlan:

A lineáris korrelációs együttható most:

egyezően az előbbivel, mutatva, hogy dimenzió nélküli mérőszámról van szó.

függetlenül attól, hogy a kölcsönzési időt hetekben vagy napokban mérjük. A kapcsolat szorosságáról grafikus úton is tájékozódhatunk. Ha az összes

értékpár egy növekvő egyenesen fekszik :

Ha az összes értékpár egy csökkenő egyenesen fekszik: Ha akkor az ismérveket korrelálatlanoknak nevezzük. Ha az X és Y ismérvek függetlenek, akkor 6 a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Minél közelebb vannak a szemlélteti a 9.1. ábra. 6

A tétel azonban nem fordítható meg,

pontok az egyeneshez, annál közelebb kerül a lineáris korrelációs együttható +1-hez, illetve #1-hez. Az elmondottakat

Lásd 9.1.1. A kovariancia

132

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Általában nem áll rendelkezésünkre az együttes peremeloszlás-függvény, illetve az egész sokaság. Ilyenkor egy a korrelációs együtthatót. (A

például azt jelenti, hogy az első mintaelem X ismérvértéke

és Y ismérvértéke

A lineáris korrelációs együttható becslésére használt becslőfüggvényünk:

ahol

:az X ismérv lehetséges mintaátlaga,

: az Y ismérv lehetséges mintaátlaga, :az X ismérv szórásának becslése, : az Y ismérv szórásának becslése, n: a minta elemszáma.

133

)

mintából becsüljük

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,1. ábra - Pontdiagramok különböző korrelációs együtthatókkal

134

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az

az

aszimptotikusan torzítatlan és erősen konzisztens becslése.

Egy konkrét mintavételnél, ha

ahol

7

és

, a lineáris korrelációs együttható:

a mintaátlagok, pedig a tapasztalati szórások (a képletek nevezőiben a mintanagyság, n szerepel).

Ha a kovarianciára, illetve a változók szórására külön nincsen szükségünk és a mintában mindegyik értékpár egyetlenegyszer fordul elő, megfelelő 8 átalakítás után a lineáris korrelációs együtthatót egy konkrét mintából kiszámíthatjuk a következőképpen is:

egyszerűbben

Kiszámítható az átalakítások: 7 8

úgy is, hogy magukat az eltérésszorzatokat és az eltérés-négyzetösszegeket nem számítjuk ki. Elvégezhetők ugyanis a következő

Ennek bizonyítását lásd Köves Pál–Párniczky Gábor: Általános statisztika II. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, 1981. 208. oldal Ennek belátását az olvasóra bízzuk.

135

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ezek alapján:

A következő példánkban egy egyéni vállalkozó adatait dolgoztuk fel. A vállalkozó fő tevékenységi körében teherszállítással foglalkozik. Munkájának elemzése során 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar alapján vizsgálta, hogy van-e összefüggés a szállítás időtartama és távolsága között. A megfigyelés eredménye a 9.3. táblázatban található. Sorszám

Szállítás távolsága (km) x Szállítás időtartama (perc) y

11.

114

110

12.

114

113

13.

112

118

14.

110

120

15.

119

127

16.

120

135

17.

116

122

18.

120

140

19.

125

145

10.

130

150 136

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás ∑

150

270

A számításokat célszerű munkatáblában elhelyezni (9.4. táblázat).

9.4. táblázat - Munkatábla a lineáris korrelációs együttható kiszámításához Sorszám

x

y

11.

4

10

#11

#17

187

121

289

12.

4

13

#11

#14

154

121

196

13.

2

8

#13

#19

247

169

361

14.

10

20

#5

#7

35

25

49

15.

19

27

4

0

0

16

0

16.

20

35

5

8

40

25

64

17.

16

22

1

#5

#5

1

25

18.

20

40

5

13

65

25

169

19.

25

45

10

18

180

100

324

10.

30

50

15

23

345

225

529

150 270

0

0

1248

828

2006

∑

A munkatábla adatainak felhasználásával számítsuk ki a lineáris korrelációs együtthatót! Az átlagtól való eltérések segítségével számított lineáris korrelációs együttható:

A kapott eredmény alapján megállapíthatjuk, hogy szoros pozitív irányú kapcsolat van a szállítási távolság és a szállítási idő között. 137

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Ha a gyakorlatban olyan összefüggéseket vizsgálunk, melyeknél nem zárható ki, hogy nemlineáris kapcsolat áll fenn az ismérvek között, a lineáris korrelációs együttható értelmezésénél kellő óvatossággal kell eljárni, és további elemzésre is szükség van. A korrelációs együttható ugyanis a lineáris kapcsolat mérőszáma, nemlineáris esetben nem használható.

9.1.3. A rangkorrelációs együttható A lineáris korrelációs együttható arányskálán mért mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat szorosságát mérte. Szükséges lehet azonban olyan tulajdonságok közötti összefüggés vizsgálata is, melyek legfeljebb sorrendi (ordinális) skálán mérhetők. Ennek a problémának a megközelítésére nézzük a következő példát. Az olimpiai játékokra készülve egy sícsapat az Alpokba utazott edzőtáborba. A hatfős csapat tagjai: Eszter, Brigitta, Karin, Bence, István és Pál. A sportolók a felkészülési idő végén versenyt rendeztek lesiklásban és műlesiklásban. A feljegyzett eredményeket a 9.5. táblázat tartalmazza.

9.5. táblázat - A versenyen elért helyezések Diák

Eszter

Brigitta

Bence

István

Karin

Pál

Lesiklás (X)

2.

1.

3.

4.

5.

6.

Műlesiklás (Y)

2.

3.

1.

5.

4.

6.

Edzőjük ki akarta számítani, hogy vajon van-e kapcsolat a lesiklásban és a műlesiklásban elért helyezések között. Mivel ő korábbi tanulmányaiból 9 a lineáris korrelációs együtthatót ismerte, ezt számította ki, és a következő eredményt kapta :

Az eredményből arra következtetett, hogy viszonylag szoros kapcsolat van a helyezési számok között. Gondoljuk végig, hogy a lineáris korrelációs együttható számítása helyes volt-e az edző részéről. A helyezési számok sorrendi skálán mért értékek. A teljesített időről és az idők különbségéről az egyes sífutókra vonatkozóan a helyezési számok alapján nem tudunk semmit mondani. A 9.2. ábra alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a 6 futó helyezési számaira vonatkozó értékpárok egy emelkedő egyenesen fekszenek, ha mindkét versenyen azonos helyezést érnek el. 9

A felkészülésen csak ez a hat sportoló vett részt, tehát a teljes sokaságot vizsgáljuk.

138

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,2. ábra - Rangszámpárok ábrázolása

Nézzük meg a 9.2. ábra A) részét. A lineáris korrelációs együttható ebben az esetben értéket vesz fel. Ez egyértelmű lineáris (függvényszerű) kapcsolatra utal, így a kérdésfeltevés jogos. Egy másik szélsőséges eset akkor áll fenn, ha a műlesiklás sorrendje pontosan a fordítottja a lesiklásénak. Grafikusan ábrázolva ezt az esetet, a 9.2. ábra B) részéhez hasonló rajzunk lesz. A helyezési számok értékpárjai most egy csökkenő egyenesen helyezkednek el. A lineáris korrelációs együttható most arra utal, hogy a lineáris korrelációs együttható a kapcsolat vizsgálatára alkalmas mérőszám.

lesz. Ez az érték is

A példa átgondolása után tehát logikusnak tűnik a lineáris korrelációs együttható alkalmazása ordinális skála esetében is. De a lineáris korrelációs együttható számítása csak akkor lehetséges, ha az ismérvváltozatok természetes számok. Ez az ordinális skálánál nem mindig teljesül. Ezt a problémát úgy tudjuk megoldani, hogy mindegyik ismérv megfigyelési értékeit önmagában rangsoroljuk. A rendezett értékek rangsort adnak, melyek már alkalmasak lesznek a számítások elvégzésére. Nézzünk egy következő példát! Két rangskálán mért ismérv következő # együtt fellépő # értékeit figyeltük meg egy mintában. A lehetséges ismérvváltozatokat az ábécé betűivel jelöltük. A megadott sorrendek: (B,D); (C,E); (A,F); (D,B); (E,G). A két ismérv lehetséges értékeinek sorrendje és a hozzájuk tartozó rangszámok a következők: A

B

C D

E

B

D

E

F

G 139

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Az eredeti megfigyelt értékek helyébe a rangszámokat téve a következő párokat kapjuk: (2;2), (3;3), (1;4), (4;1) (5;5). Mivel a rangszámok pontosan a megfigyelési értékek sorrendjét adják meg, a két ordinális skálán mért ismérv közti esetleges kapcsolat a rangszámok alkalmazásán keresztül vizsgálható. Mivel a rangszámok természetes számok, rendelkeznek a mennyiségi ismérvekre jellemző tulajdonságokkal. Ezen meggondolások következtetései alapján ésszerűnek látszik, hogy a rangszámokból lineáris korrelációs együtthatót számoljunk az ismérvek kapcsolatszorosságának mérésére. A mérőszám értelmezésénél arra kell ügyelni, hogy az elsősorban az együtt megfigyelt ismérvváltozatok sorrendje közötti kapcsolat szorosságát méri. Ahhoz, hogy a rangszámokra korrelációs együtthatót számoljunk, nem a korábbi fejezetben megismert formulát használjuk, hanem egy átalakított formulát, melyet a következőkben vezetünk le. Mivel minden gyakoriság 1, a lineáris korrelációs együttható:

A nevezőben szereplő szórások a megfigyelt értékek négyzetes és számtani átlaga alapján is kiszámíthatók.

10

Az átalakított formula:

Az és az megfigyelési értékpárjaira vonatkozóan igaz, hogy mindegyik ismérv rangszámai 1-től n-ig vesznek fel értékeket, melyek számtani sorozatot alkotnak, és

így 10

I. kötet 73. oldal

140

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

valamint

(A szummázási határok a következő képletekben is, ahol külön nem jelöljük, 1-től n-ig értendők, a továbbiakban eltekintünk kiírásuktól.) Ezáltal a fenti korrelációs együttható nevezője átalakítható a következőképpen:

A korrelációs együttható számlálójára, vagyis a kovarianciára vonatkozóan kihasználhatjuk az alábbi összefüggést:

amelyből átrendezéssel a

egyenlőséget kapjuk. Ennek alapján a számláló:

Az utolsó lépésben felhasználtuk a nevezőre kapott eredményeinket. Ha a fenti kifejezéseket behelyettesítjük a korrelációs együttható képletének számlálója, illetve nevezője helyébe, a következőt kapjuk: 141

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

vagy:

A rangszámok különbségét többnyire

jelöljük, és rangkülönbségnek nevezzük.

Az adott módon a korrelációs együtthatót nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni. Ezt a mutatószámot (Spearman-féle) rangkorrelációs együtthatónak nevezzük. A mutatószám levezetését egy konkrét mintára mutattuk be. Itt is becslésről van tehát szó. A sokaságra számítható rangkorrelációs együttható:

a rangskálán mért ismérvek kapcsolatszorossági mérőszáma. Értéke: Becslőfüggvénye:

Szemléltetésképpen térjünk vissza a témakör elején bemutatott példára. A példában a megfigyelt értékek közvetlenül a rangszámok voltak. A rangkülönbségeket legegyszerűbben a 9.6. táblázatban számíthatjuk ki. 142

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.6. táblázat - Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához Lesiklás (

)

Műlesiklás ( )

2

1

3

4

5

6

2

3

1

5

4

6

0

#2

2

#1

1

0

0

4

4

1

1

0

A rangkorrelációs együttható számítása:

Ha a sorrend azonos a két ismérv szerinti rangsorolásnál, akkor

(minden i-re), így

Fordított sorrend esetén pedig: A gyakorlati felhasználás során, ha több ismérvérték megegyezik egymással, ezekhez a megfelelő rangszámok számtani átlagát rendeljük, és így közelítjük a rangkorrelációs együtthatót. Túlságosan sok egyező helyezési szám esetén azonban ezzel a formulával nem célszerű számolni. Ezzel a problémával találkozunk a következő példában. Egy hetipiacon 11 kiválasztott gyümölcskereskedőnél minőségvizsgálatot végeztek. Az almát és a körtét, amelyet eladásra kínáltak, A, B, C, D, E és F minőségi osztályba sorolták. A megfigyelési értékeket és a megfelelő rangszámokat a 9.7. táblázat tartalmazza:

9.7. táblázat - Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához Alma

Gyümölcs-

Körte

kereskedő sorszáma

Minőségi osztály

Rangszám

Minőségi osztály

Rangszám

1.

B

2,5

B

3

#0,5

0,25

2.

A

1,0

A

1

0,0

0,00

3.

F

11,0

F

10,5

0,5

0,25

143

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 4.

E

9,5

F

10,5

#1,0

1,00

5.

E

9,5

E

9

0,5

0,25

6.

D

7,5

D

7

0,5

0,25

7.

D

7,5

D

7

0,5

0,25

8.

C

5,0

D

7

#2,0

4,00

9.

B

2,5

B

3

#0,5

0,25

10.

C

5,0

B

3

2,0

4,00

11.

C

5,0

C

5

0,0

0,00

Ebben az esetben a rangszámokat az alábbiak szerint képezzük. A 2. sorszámú kereskedőnél a legjobb minőségű (A kategóriájú) az alma, ezért ő az 1 rangszámot kapja. Az 1. és a 9. sorszámú kereskedőnél az almára vonatkozó ismérvértékek megegyeznek (B kategóriájúak), ezért a 2 és a 3 rangszám számtani átlagát, azaz 2,5-öt rendelünk mindkettőhöz. Hasonló megfontolás alapján a C kategóriájú almát árulók a rangszámot kapják. A rangkorrelációs együttható számítása:

Szoros, pozitív irányú kapcsolat mutatkozik az alma és a körte minőségi osztályokba sorolása között, azaz aki jobb minőségi árut kínál az egyik gyümölcsből, annál a másik gyümölcsből is jobb minőségű kapható és fordítva.

9.2. Kétváltozós regressziószámítás Ebben a részben olyan kérdésekre keressük a választ, hogy milyen összefüggés mutatható ki például a mezőgazdasági üzemekben a burgonya termésátlaga és a felhasznált öntözővíz mennyisége között. (Adott öntözővíz-mennyiség felhasználása esetén hogyan következtethetünk a várható termésátlagra.) A következőkben olyan módszerekkel ismerkedünk meg, amelyek segítségével megválaszolható az a kérdés, hogy az egyik ismérv (változó) hogyan hat a másik ismérvre (változóra), egy változó adott értékéhez a másik változónak mekkora a várható értéke. Ugyanis figyelembe kell venni, hogy az összefüggés sztochasztikus, hiszen a termésátlagot sok más egyéb tényező (pl. a ráfordított munkaidő, a napsütéses órák száma stb.) is befolyásolja. A továbbiakban először a regressziószámítás valószínűségszámítási alapjait elevenítjük fel. 144

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.2.1. Az elméleti regresszió Matematikai tanulmányainkban találkoztunk már ezzel a fogalommal. Két valószínűségi változó együttes valószínűségeloszlását vizsgálva 11 definiálható a feltételes várható érték fogalma. Idézzük fel ezeket a fogalmakat először diszkrét, majd folytonos valószínűségi változók esetén. Ha és diszkrét valószínűségi változók, melyek lehetséges értékei melletti várható értékén az alábbi összeget értjük:

ahol

illetve

akkor az

valószínűségi változó

feltétel

és

Ez a mennyiség megmutatja, hogy amelyet az

várható értéke hogyan függ a

valószínűségi változó

lehetséges értékeitől, vagyis

az

pontokban értelmezett függvény,

valószínűségi változóra vonatkozó regressziós függvényének nevezünk. Grafikonja diszkrét pontokból áll.

Hasonlóan definiálható a

a

valószínűségi változó

vonatkozó regressziós függvénye.

A valószínűségszámításban tárgyaltuk, hogy a regressziós függvényekhez úgy is eljuthatunk, hogy keressük azt a

illetve

függvényt, amelyre az

várható értékek (átlagok) minimálisak. Ha 11

és

folytonos valószínűségi változók, akkor minden olyan x-re, ahol az

Valószínűségszámítás 6.6. pont.

145

feltételes eloszlásfüggvény értelmezve van,

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ha és függetlenek, akkor a feltételes várható érték megegyezik az adott változó feltétel nélküli várható értékével. Ezt az állítást arra a valószínűségszámítási tételre alapozzuk, hogy függetlenség esetén az együttes sűrűségfüggvény a perem-sűrűségfüggvények szorzatával egyenlő, és így például

független az x-től. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy

ebben az esetben konstans, de nem biztos, hogy az egész számegyenesen értelmezett.

Az együttes eloszlás ismeretében a regressziófüggvény egyértelműen megadható. Kiemelt szerepe van a kétdimenziós normális eloszlásnak. Ha és

együttes eloszlása normális,

-nak

-re vonatkozó és

A regressziós görbe tehát egyenes. Például

-nek

-ra vonatkozó regressziós függvénye lineáris függvény.

ahol

9.2.2. A tapasztalati regresszió Ha a véges N elemű sokaság ismert és az X, illetve Y ismérv lehetséges értékei diszkrétek, és

illetve

a peremgyakoriságokat

Ebben az esetben kiválasztva egy egyedet, az egyes valószínűségek, mint az előző pontban is láttuk: 146

illetve

akkor jelölje

az együttes

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Így a regressziós függvények:

(Ha valamely lehetséges érték nulla gyakoriságú, ott a megfelelő regressziós függvény nem értelmezhető.) Az

illetve

az úgynevezett részátlagok, vagyis

például azon egyedek Y ismérvértékeinek átlaga, amelyeknek X ismérve

egyenlő. Ez azt

jelenti, hogy koordináta-rendszerben ábrázolva az pontokat, a függvényérték az abszcisszájú ( „feletti”) pontok ordinátájának átlaga. Ezzel a módszerrel az I. kötetben már megismerkedtünk, most a mélyebb elméleti háttér átgondolása után a teljesség igénye miatt térünk 12 rá vissza. Nézzünk egy példát! Vizsgáljuk meg egy felsőoktatási intézmény közgazdászhallgatóinak matematika- és statisztikaosztályzatai közötti összefüggést! Az adatokat a 9.8. táblázatban láthatjuk.

9.8. táblázat - A hallgatók létszámmegoszlása Statisztika- osztályzat Matematikaosztályzat 1 12

1

2

3

4

5

Összesen

4

2

2

1

0

9

I. kötet 156. oldal

147

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 2

3

4

2

1

1

11

3

1

15

14

10

4

44

4

1

0

16

6

3

26

5

1

0

5

1

3

10

Összesen

10

21

39

19

11

100

A regressziófüggvényt a 9.9. táblázatban helyeztük el.

9.9. táblázat - A hallgatók matematika- és statisztika-vizsgaeredményei közötti kapcsolat tapasztalati regressziófüggvénye Matematikaosztályzat

Átlagos statisztikaosztályzat

1

2,00

2

2,36

3

3,02

4

3,38

5

3,50

Számításaink eredményei egyértelműen mutatják, hogy pozitív irányú sztochasztikus kapcsolat mutatkozik a két tantárgy osztályzatai között. A jobb matematika-érdemjegyekhez általában jobb statisztika-érdemjegyek tartoznak és fordítva. Ha X és Y, vagy csak az egyik folytonos ismérv, akkor osztályközöket képezhetünk, és például az az i-edik osztályköz közepe, és értéke az ebben az osztályközben található egyedek Y ismérvértékeinek átlaga. Így természetesen a tényleges regressziófüggvénynek a közelítését kapjuk. Példaként nézzünk meg egy olyan céget, ahol 20 középfokú végzettségű nő dolgozik, és vizsgáljuk meg, hogyan befolyásolja a munkában eltöltött idő (X) az elérhető bruttó keresetet (Y). A megfigyelt adatokat a 9.10. táblázatban találjuk. 9.10. táblázat Sorszám

Munkában töltött évek száma, X

Bruttó átlagkereset, (ezer Ft) Y 148

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 1.

23

33,4

2.

36

31,0

3.

18

27,5

4.

35

35,8

5.

35

28,1

6.

24

26,0

7.

25

26,4

8.

4

24,1

9.

21

33,4

10.

23

27,0

11.

40

31,0

12.

30

28,6

13.

22

28,9

14.

5

22,1

15.

23

24,0

16.

17

27,0

17.

24

27,9

18.

4

14,2

19.

25

26,0

20.

26

27,6

Ha egyedi adatokból dolgozunk, mindenekelőtt érdemes tájékozódni az ismérvek közötti összefüggésről. Ehhez ábrázoljuk is az adatokat. Az ismérvek közötti kapcsolat lényegének megismerésében fontos szerepet játszik a grafikus ábrázolás. Kétváltozós kapcsolat esetén ilyen grafikus ábrát úgy készítünk, hogy a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes tengelyére az ok szerepét játszó tényezőváltozó (más néven magyarázóváltozó) (X) értékeit, függőleges tengelyére pedig a vizsgált jelenség, vagyis a függő változó (más néven eredményváltozó) (Y) értékeit mérjük fel. Ily módon pontdiagramot kapunk. Példánk adatait ábrázolva ilyen pontdiagramot látunk a 9.3. ábrán. A nők munkában töltött éveinek és bruttó keresetének kapcsolatára már a pontdiagramból is következtethetünk. 149

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,3. ábra - A munkában töltött évek számának és a bruttó kereseteknek megfelelő pontok

Vizsgáljuk tovább az összefüggést, és készítsük el a tapasztalati regressziófüggvényt! Ha ugyanazt az eljárást követnénk, mint az előző példában (matematika-, statisztikaosztályzatok), akkor a regressziófüggvényünk 14 pontból állna. Ezt ábrázolva sem kapnánk a pontdiagramnál sokkal áttekinthetőbb ábrát. (A pontok száma 6-tal csökken, ugyanis 14 különböző értéke van az X ismérvnek.) Ezért az X értékeiből négy osztályközt képezve a következő eredményt kaptuk, amelyet a 9.11. táblázatban helyeztünk el.

9.11. táblázat - A munkában töltött évek száma és a havi átlagkereset tapasztalati regressziófüggvénye a középfokú végzettségű nőknél Munkában töltött évek száma

Átlagos bruttó kereset

# 10

20,13

11 # 20

27,25

21 # 30

28,11

31 # 40

31,48 150

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A regresszió tanulmányozása megerősíti a kapcsolat fennállására vonatkozó feltételezésünket, egyúttal annak irányát is jelzi: X növekedésével Y is növekvő tendenciát mutat. Azaz minél hosszabb valakinek a munkaviszonya, annál több a bruttó átlagkeresete. A függvény grafikus képét a 9.4. ábrán látjuk.

9,4. ábra - A bruttó átlagkereset a munkában töltött évek számának függvényében a középfokú végzettségű nőknél

töltött évek számának függvényében a középfokú végzettségű nőknél A regressziófüggvényt közelítő grafikonból következtetések vonhatók le a kapcsolat irányáról és természetéről. Korrelációs kapcsolat esetén a pontdiagram pontjai szóródnak a regressziófüggvényt közelítő grafikon körül. A szóródás mértéke a kapcsolat szorosságára vonatkozóan ad felvilágosítást. Ha a két ismérv korrelálatlan, akkor a regressziós függvényértékeket ábrázoló pontok az X tengellyel párhuzamos vonalon vannak. Ebben az esetben ugyanis az

bármilyen értéke mellett ugyanolyan

értékek jöhetnek szóba, vagyis az

151

valamennyi

azonos érték (9.5. ábra).

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,5. ábra - Korrrelálatlanság

Függvényszerű kapcsolat esetén a pontdiagramon a pontok a kapcsolatot megadó függvény grafikonján helyezkednek el. A regressziófüggvény körül nincs szóródás (ha eltekintünk a mérési pontatlanságoktól). (9.6. ábra.)

9,6. ábra - Függvényszerű kapcsolat

9.2.3. A regressziófüggvény paramétereinek meghatározása Két probléma merülhet fel a regressziószámítás során: 152

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 1. Ismerjük a sokaságot (illetve az együttes eloszlást), de a regressziós függvény nem alkalmas az elemzésre (például nagyon ingadozik). 2. Nem ismerjük a sokaságot (illetve az együttes eloszlást), ezért minta alapján kell becsülnünk a regressziós függvényt. Mindkét esetben azt tesszük, hogy egy analitikus (akárhányszor differenciálható) függvénytípusból (pl. lineáris függvények, másodfokú függvények, hatványfüggvények) választjuk ki azt, amelyikre a 9.2.1. alatt már felírt kifejezés,

minimális. Ezt nevezzük analitikus regressziófüggvénynek. (A valószínűségszámításban elsőfajú, illetve másodfajú regressziós függvényről beszéltünk.) Természetesen felmerül a kérdés, hogy mely típusú függvényekkel dolgozzunk. A regressziófüggvény típusának kiválasztása Ahhoz, hogy a regressziófüggvény típusát meghatározzuk, elsősorban az adott terület szakmai ismerete szükséges. A gazdasági élet, a gazdasági jelenségek közötti sokoldalú, bonyolult összefüggések miatt már a tényezők (ismérvek) kiválasztásához is szakmai megfontolásokra, szakértői véleményekre van szükség. Segítségünkre lehetnek a függvénytípus kiválasztásánál a korábban említett egyszerűbb módszertani eszközök. Ilyen a grafikus ábrázolás eredményeképpen kapott pontdiagram. A pontdiagram nemcsak ahhoz nyújt segítséget, hogy érdemes-e tovább vizsgálódni, mint ahogy ezt az előző pontban mondtuk, hanem a pontok sűrűsödési helye és vonulási iránya támpontot ad a függvénytípus kiválasztásához is (9.7. ábra).

153

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,7. ábra - A függvénytípus kiválasztását segítő grafikus ábrák

A statisztikai gyakorlatban a következő függvénytípusokat használjuk: 1. lineáris regresszió, 2. hatványkitevős (vagy multiplikatív) regresszió, 3. exponenciális regresszió, 4. parabolikus regresszió, 5. hiperbolikus regresszió. A legkisebb négyzetek módszere A függvénytípus kiválasztásával azonban a regressziófüggvény meghatározásának problémája még nincs megoldva. A végtelen sok egyenes (vagy parabola, hatványkitevős, exponenciális vagy más típusú függvény) közül azt az egyet keressük, amely az összefüggést a lehető legjobban írja le. Ennek a függvénynek a paramétereit (állandóit) a gyakorlatban a legkisebb négyzetek módszere segítségével határozzuk meg. 154

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Induljunk ki ismét abból, hogy adott egy véges (N elemű) sokaság

értékpárokkal. A problémát a 9.8. ábrán szemléltetjük.

9,8. ábra - A legkisebb négyzetek módszere

(Megjegyezzük, hogy a pontok és a regressziós egyenes megfelelő pontjai közötti távolságot különbözőképpen értelmezhetjük: vertikálisan, ahogy az ábrán látjuk, de horizontálisan és geometriailag is mérhetők a távolságok. A leggyakrabban használatos eljárásból indultunk ki, ahol a pont és az egyenes távolságát vertikálisan az Y tengellyel párhuzamosan mérjük.) A legkisebb négyzetek módszerét # amellyel már az analízisben is foglalkoztunk # abban az esetben tárgyaljuk részletesen, amikor a választott függvénytípus lineáris. Egy lineáris

függvény grafikonja egyenes, legyen ennek az egyenlete:

Ha az

értéket helyettesítjük az egyenes egyen- letébe, nem biztos, hogy

értékpárt nézzük, és az azaz

155

Az eltérést jelölje

vagyis

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Nyilvánvaló, hogy a hogy

és

és

paraméterek (együtthatók) megválasztásától függ, hogy mekkorák ezek az

értékek. A módszer onnan kapta a nevét,

meghatározására feltételként azt szabjuk, hogy a

összeg legyen minimális. Az E kétváltozós függvénynek ott lehet minimuma, ahol

Ebből # mint láttuk

13

#

-ra és

-re a

úgynevezett normál- (lineáris) egyenletrendszer adódik, amelynek megoldása:

13

Matematika üzemgazdászoknak. Analízis. (Szerk. dr. Csernyák László.) Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. 6.7. pont. (A további hivatkozásoknál: Analízis.)

156

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ha az első egyenletet

osztjuk, a számlálóban és a nevezőben már ismert kifejezéseket kapunk.

Végezzük el ugyanezt az osztást a

kifejezésben is:

Ugyanazt az eredményt kaptuk, mint amikor az ismert együttes eloszlás normális. Így a regressziós egyenes egyenlete:

Ha az X, Y értékek függetlenek, ahogy ezt a 9.1.1. pontban beláttuk,

Ekkor

Egyenletünk az

alakra hozható. Ha az X és Y ismérvértékeket standardizáljuk, azaz

157

és

akkor egyenesünk egyenlete:

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Ugyanezeket az eredményeket kapjuk, ha a 9.2.3. pont elején említett feltételből indulunk ki. A regressziószámításban az ismérvek közötti ok-okozati összefüggés feltárására törekszünk. Ez a változók elnevezésében is kifejezésre jut. A szakirodalomban, mint már említettük, az ok szerepét játszó X változót független változónak vagy magyarázóváltozónak, az okozat szerepét betöltő Y változót pedig függő változónak vagy eredményváltozónak szokták nevezni. Az eredmények értelmezése A

paraméter azt fejezi ki, hogy az

helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel, ha a 0 szerepel az X lehetséges értékei között.

A paraméter geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az X változó egységnyi változása átlagosan mekkora változást okoz az Y változóban. Térjünk vissza a munkában eltöltött idő és a bruttó átlagkereset kapcsolatát vizsgáló példához! (A megfigyelt adatokat a 9.10. táblázatban találjuk.) Válasszuk a lineáris függvénytípust, és számítsuk ki az analitikus regressziófüggvény paramétereit! A szükséges mellékszámításokat a 9.12. táblázatban találjuk.

9.12. táblázat - Munkatábla az analitikus regressziófüggvény meghatározásához Sorszám 1.

23

33,4

768,2

529

2.

36

31,0

1116,0

1296

3.

18

27,5

495,0

324

4.

35

35,8

1253,0

1225

5.

35

28,1

983,5

1225

6.

24

26,0

624,0

576

7.

25

26,4

660,0

625 158

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 8.

4

24,1

96,4

16

9.

21

33,4

701,4

441

10.

23

27,0

621,0

529

11.

40

31,0

1240,0

1600

12.

30

28,6

858,0

900

13.

22

28,9

635,8

484

14.

5

22,1

110,5

25

15.

23

24,0

552,0

529

16.

17

27,0

459,0

289

17.

24

27,9

669,6

576

18.

4

14,2

56,8

16

19.

25

26,0

650,0

625

20.

26

27,6

717,6

676

∑

460

550,0

13 267,8

12 506

159

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,9. ábra - A megfigyelt adatok és a különböző módon számolt regressziófüggvények

Értelmezések: A

azt fejezi ki, hogy a pályakezdő alkalmazottak bruttó átlagkeresete várhatóan 20,1 ezer Ft, azaz 20 100 Ft.

A paraméter pedig azt jelenti, hogy az egy évvel hosszabb ideje dolgozó nők bruttó átlagkeresete átlagosan 0,32 ezer Ft-tal, azaz 320 Ft-tal magasabb. A különböző módon számolt regressziófüggvényeket a 9.9. ábrán mutatjuk be. A lineáris regresszió együtthatóinak becslése Ha nem ismerjük a sokaságot, a regressziófüggvényt csak mintából becsülhetjük. Induljunk ki ismét egy

n elemű mintából. A becslőfüggvények az alábbiak lesznek:

160

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

A becslőfüggvények torzítatlan becslést adnak, ennek fontosságára a 9.3. pontban még visszatérünk. Egy konkrét mintavétel után, ahol a mintaelemek ismérvértékei

a megoldandó normálegyenletek:

A regressziós együtthatók kiszámítási formulái az alábbiak lesznek:

Végezzük el az elemzést egy konkrét példán! A 9.1.2. pontban megvizsgáltuk egy teherfuvarozással foglalkozó vállalkozó adatai alapján, hogy van-e összefüggés a szállítási távolság és a szállítás időtartama között. A lineáris korrelációs együtthatóból ( ) szoros kapcsolatra következtettünk. Nézzük most meg, milyen természetű az összefüggés a két ismérv között! Az alapadatokat a korábbi, 9.7. táblázatban találjuk. Mindenekelőtt ábrázoljuk a megfigyelt statisztikai adatokat! 161

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,10. ábra - A szállítási távolság és a szállítás időtartamának pontdiagramja

A 9.10. ábra lineáris összefüggésre enged következtetni. Ezek után határozzuk meg a lineáris regressziófüggvényt. A normálegyenlet-rendszer megoldásához szükséges számítások a 9.13. táblázatban találhatók.

9.13. táblázat - Munkatábla a normálegyenletekkel történő megoldáshoz Szállítás távolsága (km) x

Sorszám

Szállítás időtartama (perc) y

xy

1.

4

10

40

16

2.

4

13

52

16

3.

2

8

16

4

4.

10

20

200

100

5.

19

27

513

361

6.

20

35

700

400

7.

16

22

352

256 162

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 8.

20

40

800

400

9.

25

45

1125

625

10.

30

50

1500

900

Együtt:

150

270

5298

3078

A normálegyenletek segítségével határozzuk meg a függvény paramétereit:

Értelmezések: A

paraméter közgazdaságilag csak akkor értelmezhető, ha a magyarázóváltozó értelmezési tartománya az

Jelen esetben a

paraméter igazán nem értelmezhető, mert az

helyet tartalmazza.

hely nem tartozik az X-ek értelmezési tartományába.

A paraméter az egyenes meredeksége (iránytangense), megmutatja, hogy az X magyarázóváltozó egy egységgel nagyobb értékéhez az Y eredményváltozó átlagosan mennyivel nagyobb (vagy kisebb) értéke tartozik. A paramétereket természetesen mindig az adott feladat, a vizsgált összefüggés tartalmának megfelelően értelmezzük. A

paraméter jelentése: 1 km-rel hosszabb út átlagosan másfél perccel növeli a szállítási időt.

Az egyenletrendszer megoldását különböző technikákkal is elvégezhetjük. Az egyik lehetőség az ún. transzformált normálegyenletekkel történő megoldás, amely a következőket jelenti. 163

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A normálegyenletek megoldásának egyszerűsítése céljából transzformációt hajtunk végre. A változókat az átlaguktól vett eltéréseikkel helyettesítjük. Ez megfelel egy geometriai transzformációnak, amennyiben a koordináta-rendszer kezdőpontját az érték helyébe

és minden

helyébe

pontba helyezzük át. Akkor minden

kerül. A koordináta-rendszer transzformációját a 9.11. ábra szemlélteti.

9,11. ábra - A koordináta-rendszer transzformációja

A normálegyenleteket az új változókra

felírva a következőket kapjuk.

Transzformált normálegyenletek:

Mivel # mint tudjuk # a számtani átlagtól vett eltérések kiegyenlítődnek, összegük 0, a transzformált normálegyenletekből mindazon tagok kiesnek, amelyek A

tényezőt tartalmaznak.

paraméter meghatározására az alábbi egyszerű képlet adódik: 164

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

,

mert

14

és

.

A kapott képlet megegyezik az eredeti normálegyenletekből meghatározottal. Nem is lehet más, mert a geometriai transzformációval az egyenes helyzete nem változott meg, így iránytangense is ugyanaz maradt.

A

paramétert a normálegyenletekből már levezetett összefüggés alapján határozzuk meg:

.

De úgy is gondolkodhatunk, hogy az új koordináta-rendszerben

, minthogy az eredeti koordináta-rendszerben ábrázolva a regresszióvonal

áthalad az

.

ponton. Ezt az alábbi formában írhatjuk fel:

Minket azonban a meghatározható a

értéke az eredeti x, y változók szerint érdekel. Amennyiben

értékét a fentiek szerint már kiszámítottuk, könnyen

:

. A

paraméter a rendelkezésre álló adatoktól függően a már ismert összefüggések felhasználásával további módon is meghatározható:

A magyarázat egyszerű, hiszen ahogy már láttuk:

14

Vessük össze az eredeti normálegyenletekből kapott képlettel!

165

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás így

Ha az összefüggést végigegyszerűsítjük n-nel, valóban -et azaz -et kapunk. Rajtunk múlik # illetve a rendelkezésünkre álló adatokon #, hogy adott esetben melyik számítási módot követjük a regressziós paraméterek meghatározásánál; a különböző megoldások (normálegyenletekbe történő behelyettesítés vagy képletekkel történő számítás) egyenrangúak, ugyanahhoz az eredményhez vezetnek. A lényeg, hogy a kapott paramétereket helyesen értelmezzük, elemezzük. A számítások nyomon követéséhez folytassuk az előző példát! A szükséges számításokat célszerű a 9.14. táblázat szerinti munkatáblában elvégezni. Miután a transzformált normálegyenletekből nyert képletekkel kívánunk dolgozni, először az átlagokat kell meghatároznunk:

9.14. táblázat - Munkatábla a transzformált normálegyenletekkel történő megoldáshoz Sorszám

x

y

1.

4

10

#11

#17

187

121

289

2.

4

13

#11

#14

154

121

196

3.

2

8

#13

#19

247

169

361

4.

10

20

#5

#7

35

25

49

5.

19

27

4

0

0

16

0

6.

20

35

5

8

40

25

64

7.

16

22

1

#5

#5

1

25

8.

20

40

5

13

65

25

169 166

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 9.

25

45

10

18

180

100

324

10. 30

50

15

23

345

225

529

0

1248

828

2006

∑

150 270 0

A lineáris regressziófüggvény mindkét megoldás szerint:

15

További megoldási lehetőség a paraméterek mátrixalgebrai műveletekkel történő meghatározása. Ebben az esetben az eredeti változókra felírt egyenletrendszert mátrix-, vektorjelölésekkel adjuk meg. A paramétervektort ez esetben a mátrixegyenlet megoldásával kapjuk. A módszer 16 alkalmazásánál támaszkodunk a matematikai tanulmányokban megismertekre. Jelölésrendszerünk is az ott bevezetett jelölésekkel azonos. Jelölések:

ahol y: X:

rendű n elemű oszlopvektor, melynek elemei az Y megfigyelt értékei. rendű mátrix, melynek első oszlopa n elemű összegezővektor, második oszlopa pedig az X megfigyelt értékei.

A függvény paramétereit tartalmazó b vektor pedig: 15 16

Lényeges könnyítést nem jelent, de a későbbiekben, ha kettőnél több változónk lesz, sokkal egyszerűbb ez a megoldási mód. Operációkutatás II. Szerk. Dr Csernyák László. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 1991.

167

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az X mátrix transzponáltja:

Ha az X mátrix transzponáltját megszorozzuk jobbról az eredeti mátrixszal, az ún. együtthatómátrixot kapjuk:

Így a mátrix elemeiként a normálegyenletek együtthatóit kapjuk. Az

szorzat pedig:

Ezzel a művelettel tehát a normálegyenletek bal oldalán szereplő kifejezéseket kapjuk. A normálegyenletek mátrixalgebrai jelöléssel a következőképpen írhatók fel:

Az együtthatómátrix inverzével balról végigszorozva az egyenletet eljutunk a becsült paraméterek vektorához. (Az inverz mátrix általában létezik, mivel, kivételes esetektől eltekintve a normálegyenletek függetlenek. Így nem szinguláris.)

Amint látjuk, a paraméterek kiszámításához szükség van az mátrix inverzére. A még ma sem ritka kézi számításoknál a ( inverzének számítására egyszerűsített formulát szokás használni. Egyszerű szorzással meggyőződhetünk arról, hogy az 168

)-es

mátrix

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

mátrix inverze az

mátrix. Példánk megoldása mátrixalgoritmussal az alábbi:

A paraméterek meghatározása:

A lineáris regressziófüggvény:

A kapott eredmények statisztikai jelentését ismételten összefoglaljuk. A lineáris regressziófüggvény

paramétere a regressziós egyenes meredekségét meghatározó iránytangens. Ebből a geometriai értelmezésből

következően nagyon fontos eredményt szolgáltat. A változást okoz az eredményváltozóban. A

paraméter kifejezi, hogy a magyarázóváltozó egy egységnyi változása átlagosan mekkora

paraméter előjele megegyezik a lineáris korrelációs együttható

ha akkor pedig negatív irányú kapcsolatra következtethetünk. A legtöbb esetben nincs közgazdasági jelentése. 169

előjelével. Ha

akkor pozitív irányú a kapcsolat a két ismérv között,

paramétert regressziós együtthatónak nevezzük. A

paraméternek a

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.2.4. A változók felcserélhetősége Tekintettel arra, hogy a regressziószámításnál mindkét ismérv mennyiségi ismérv, nemcsak X ismérv hatását vizsgálhatjuk Y-ra, hanem fordítva is. Minden esetben két regressziós egyenes határozható meg. Bizonyos esetekben egyértelmű oksági viszony van az ismérvek között, s ekkor indokolt egyik vagy másik ismérvet független változónak tekinteni. Vannak azonban olyan esetek, amikor az ismérvek kölcsönhatásáról beszélhetünk, s tetszőleges az egyes változók szerepe. Elvileg tehát X és Y ismérvek megfigyelt

adatai alapján mindig felírható az alábbi két regressziós egyenes:

Y-nak X szerinti regressziófüggvénye (amit már ismerünk):

továbbá X-nek Y szerinti regressziófüggvénye:

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben az esetben mindenképpen indokolt jelölni a paraméterek után zárójelben a változók közötti viszonyt, vagyis, hogy adott esetben melyik az eredményváltozó és melyik a tényezőváltozó. Tehát a fenti egyenletekben a regressziós együtthatók:

Az

függvény

paramétere pedig:

A két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét a kapcsolat szorossága befolyásolja. Könnyű belátni, hogy a két regressziós egyenes és a lineáris korrelációs együttható között szoros az összefüggés. Felírható: A korreláció hiánya esetén:

vagyis

ebből

paraméterei

.

az egyenesek a megfelelő tengellyel párhuzamosak, egymásra pedig merőlegesek. 170

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Lineáris függvényszerű kapcsolat esetén

ezért

a két egyenes egybeesik.

Sztochasztikus kapcsolatnál a két egyenes annál közelebb kerül egymáshoz, minél szorosabb a kapcsolat. A paraméter hasonlóan értelmezhető, mint a részletesen ismertetett változik (nő vagy csökken) az x változó.

Vagyis: az y változó egységnyi változásának hatására mennyivel

A gyakorlatban ezt az információt az eredeti összefüggés más szempontból történő megvilágítására használjuk: A ahhoz, hogy az y változó egy egységgel változzon meg, mennyivel kell megváltoznia az x változónak.

azt fejezi ki, hogy

Példánkban:

A kapott eredmény azt fejezi ki, hogy a szállítási idő 1 perccel való növekedéséhez a távolság átlagosan 0,6 km-rel, azaz 600 m-rel történő növekedése szükséges.

Az

és az

regressziós függvényeket a 9.12. ábra szemlélteti.

171

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9,12. ábra - A változók felcserélése

A két egyenes láthatóan közel esik egymáshoz, mivel egymáshoz viszonyított helyzetüket a korreláció szorossága befolyásolja. Könnyű belátni, hogy 17 a kapcsolat szorosságát nem befolyásolja az a kérdés, hogy a változók szerepet cserélnek. A számítási formulából látható, hogy Y-nak X-re vonatkozó korrelációs együtthatója megegyezik X-nek Y-ra vonatkozó korrelációs együtthatójával.

9.2.5. A rugalmassági együttható A lineáris regressziófüggvény paramétere, # mint már említettük # az X ismérv Y-ra gyakorolt hatásának nagyságát, vagyis azt mutatja, hogy X egységnyi változása Y-nak mekkora változását indukálja. Természetesen a két ismérvnek nemcsak a különbségeit, hanem relatív változásait is

17

Gondoljunk vissza az

kiszámítási képletére.

172

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás szembeállíthatjuk egymással. Ily módon a közgazdasági elméletben igen fontos szerepet játszó rugalmasság (idegen szóval elaszticitás) fogalmához 18 jutunk, amelyet példaként az analízisben is említettünk. Általánosságban a rugalmasság arra ad választ, hogy az egyik változó relatív változása a másik változó milyen mértékű relatív változását eredményezi, ha függvénykapcsolat van köztük. Ennek mérésére a rugalmassági (elaszticitási) együttható (jele: Ε) szolgál, amely a matematikai tanulmányokból ismert differenciálhányados segítségével definiálható. Jelöljük X ismérv tetszőleges értékét x-szel, Y ismérv hozzá tartozó értékét pedig y-nal (

). Vegyük x-nek egy nagyon kicsiny (abszolút)

változását, ezt jelöljük Δx-szel. Az ennek megfelelő függvénynövekmény Δy. Ez azt jelenti, hogy az X ismérv érték tartozik.

értékéhez az

A relatív növekmények ennek alapján:

A rugalmassági együttható arra ad választ, hogy az Y változó relatív változása hányszorosa az X változó relatív változásának. Ezt az alábbi hányados fejezi ki:

Mivel ez a hányados a vesszük a határértékét

hosszúságú intervallumra vonatkozik (ezen belül egy átlagos értéknek tekinthető), az x-beli értéket úgy kapjuk, hogy esetén.

Így képezhető Y-nak X-re vonatkozó rugalmassági együtthatója. (Természetesen hasonlóan képezhető X-nek Y-ra vonatkozó rugalmassági együtthatója.) A rugalmassági együttható:

Ez a határérték akkor létezik, ha az f függvény minden pontban differenciálható. A határértéket képezve a következő összefüggéshez jutunk: 18

Analízis 192. oldal

173

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az együtthatót a sztochasztikus kapcsolatra alkalmazva figyelembe kell venni, hogy y-nak csupán becsült értéke áll rendelkezésünkre:

Az elaszticitási együttható becsléséhez ezen regressziófüggvény differenciálhányadosát használjuk fel. Ily módon a rugalmassági együttható becslése a következő:

A vizsgált gazdasági jelenségnek a hatótényezővel szembeni viselkedését a mutató előjele és abszolút nagysága jellemzi. A rugalmassági együttható előjele a differenciálhányados előjelével egyezik meg. Azt fejezi ki, hogy az adott jelenség a hatótényező változásával azonos irányban (ekkor pozitív az előjel) vagy ellentétes irányban (ekkor negatív az előjel) változik. A mutató abszolút nagyságának vizsgálata során három fő értéket, illetve értékcsoportot kell megkülönböztetnünk.

Ez azt jelenti, hogy a hatótényező 1%-os változása esetén a vizsgált gazdasági jelenség ennél kisebb mértékben változik az adott helyen. Ez esetben azt mondjuk, hogy az Y változó rugalmatlan az X változásával szemben. Ilyen esettel találkozhatunk például az élelmiszerek jövedelemrugalmasságának vizsgálata során.

A hatótényező változásával az adott helyen arányosan változik a gazdasági jelenség. Azaz, ha X 1%-kal növekszik, akkor ennek hatására az Y változóban is 1%-os változás következik be.

Ez az eset akkor fordul elő, ha az adott helyen a vizsgált jelenség érzékenyen reagál a hatótényező változására. A hatótényező 1%-os változása az adott helyen tehát 1%-nál nagyobb változást eredményez a vizsgált jelenségben. Ezeket a jelenségeket az adott hatótényező szempontjából rugalmasnak tekintjük. Rugalmasnak tekintjük például a luxuscikkek forgalmát az ár szempontjából. 174

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A lineáris regresszió rugalmassági együtthatója a következő:

ugyanis

és deriváltja

A rugalmassági együttható ebben az esetben is x függvénye, kivéve azt az esetet, amikor , azaz a regressziófüggvény grafikonja origón átmenő egyenes. Az x bármely kiválasztott értékére számítható. A gyakorlatban azonban többnyire az átlagos szinten (szokásos megfogalmazással élve az átlagpontban) vizsgálják, hogy a független változó 1%-os változása hány %-os változást idéz elő a függő változóban.

esetén ui. a függvényérték A szállítási távolság és az időtartam összefüggését vizsgáló példánkban az átlagos szinten mért rugalmasság:

A mutatószám egynél kisebb, ezért azt mondhatjuk, hogy a szállítás időtartama rugalmatlanul reagál a szállítási távolságra. Az átlagos szállítási időtartam környezetében a szállítási távolság 1%-os növekedése átlagosan 0,84%-kal hosszabbítja meg a szállítás időtartamát.

9.3. Statisztikai következtetések a kétváltozós lineáris regresszió alapján Az analitikus regressziószámítás során az elméleti regresszió becslését végeztük el adott számú megfigyelésből származó adatok, azaz n elemű minta alapján. Így az elméleti összefüggést mintából származó analitikus függvénnyel közelítjük. A tapasztalati adatokból a becslésére kerül sor. A becsült paraméterek valószínűségi változók, értékük mintáról mintára ingadozik.

paraméterek

Célunkat, miszerint az alapsokasági összefüggésekre kívánunk következtetni, csak akkor érhetjük el, ha előtte megismerkedünk a regressziós modell feltételrendszerével és a becsült paraméterek valószínűségi eloszlásával. 175

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.3.1. A regressziós modell feltételrendszere Tételezzük fel, hogy az X tényezőváltozó és az Y eredményváltozó között lineáris sztochasztikus kapcsolat áll fenn, ami alatt azt értjük, hogy

Hangsúlyozni szeretnénk, hogy továbbra is feltételezzük, hogy az X magyarázóváltozó ismert (mindig rögzített) érték és az eredményváltozó, Y a sztochasztikus változó. Ha a sokaság véges, akkor a fentiek azt jelentik, hogy ha az akkor ezen értékek átlaga mellett) a fentiek alapján nulla. A

és a

értéket rögzítve vesszük az összes olyan

Korábbi jelölésünket megtartva, ha

értéket, amely az

akkor a lehetséges

értékpárt alkot,

értékek átlaga (rögzített

a már ismert módszerekkel meghatározható.

Most térjünk rá arra az esetre, amikor érték mellett a mintaelem Yismérvértéke

és

értékét minta alapján becsüljük. Mivel csak Y a sztochasztikus változó, ezért valamely rögzített

valószínűségi változó. Természetesen

általában nem egyenlő

Legyen

ahol

is a definícióból adódóan valószínűségi változó. Az is nyilvánvaló, hogy különböző

változók (így

és

) eloszlása különböző lehet. (

eloszlása az Y változó

és

vonatkozó feltételes eloszlása.)

Ahhoz, hogy a paraméterek értékeinek becslését vizsgálhassuk, szükségünk van néhány feltevésre. 1. 2. 3.

és így

is normális eloszlású (az ha

(

Ezzel ekvivalens, hogy

és

különbsége

állandó;

), (

), 176

értékekre a megfelelő

),

és

valószínűségi

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

4.

(független

). Nyilvánvaló, hogy az

szórása is ugyanennyi (

).

Ezen feltételek teljesülése esetén standard lineáris modellről beszélünk.

9.3.2. A regressziós becslés pontosságának mérése A regressziós becslés során elkövetett hibák alapvetően kétféle okra vezethetők vissza. 1. Az analitikus regresszió az elméleti regresszió mintából számított közelítése, becslése. Ezért a regressziófüggvény paraméterei a valóságos paraméterek becsült értékei (pontbecslései). A mintából számított regressziós paraméterek # mint minden reprezentatív mintából származó becsült paraméter értéke # szóródnak az elméleti értékek körül. Ezt a szóródást az együtthatók standard hibája fejezi ki. 2. A hiba másik forrása, hogy a vizsgált ismérvek között sztochasztikus kapcsolat van. Y-nak X szerinti regressziós becslése nem a tényleges Y értékeket, hanem azoknak csak az X-től függő részét adja. A tényleges és a regressziófüggvénnyel becsült értékek eltérése miatt beszélhetünk a regresziófüggvény, illetve a regresszióértékek hibájáról. Az eltérések nagyságát értelemszerűen befolyásolja a kapcsolat szorossága. Szoros korreláció esetén a becsült értékek jól közelítik az eredményváltozó értékeit. Laza kapcsolatnál viszont a kétféle érték között # az Y-t befolyásoló egyéb tényezők jelentős súlya miatt # nagy eltérések mutatkoznak. A paraméterek hibái A 9.2.3. pontban és kapott becslőfüggvényeket most a következőképpen írhatjuk, mivel a minta X ismérvértéke rögzített és csupán az Y ismérvérték valószínűségi változó:

Ez azt jelenti, hogy állításokat:

és így

is az

(

) valószínűségi változók lineáris kombinációja. Ennek alapján már nem nehéz bizonyítani az alábbi

177

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

1. 2. A

és és

vagyis torzítatlan becslésről van szó.

valószínűségi változók szórása, vagyis a becslés standard hibája:

3. A becslés konzisztens. (Az állítást nem bizonyítjuk.) 4. Konkrét minta esetén a standard hibát az alábbi képletekkel számítjuk ki:

A 2. pontbeli képletekben szereplő és

az

illetve az

szórása. Értékét a gyakorlatban nem ismerjük, ezért a mintabeli adatok alapján becsüljük

jelöljük.

Konkrét mintából történő becsléséhez a következő gondolatmenettel jutunk el: – elméleti szórás: 178

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

– mintából becsült szórás:

,

– konkrét mintából becsült szórás: ahol

,

„maradéktag”, vagy más néven becsült reziduum. az a reziduális négyzetösszeg, amelynek nagyságát a legkisebb négyzetek módszerével történő becslés során minimalizáljuk. Elméleti megfontolásból, a torzítatlanság követelményének teljesüléséért a négyzetösszeget a szabadságfokkal korrigáljuk, ami jelen esetben

(mert képzése

alapján történik). Így elérjük, hogy lesz az alapsokasági varianciának,

tényezőváltozó

torzítatlan becslőfüggvénye -nek.

Bemutatópéldánk adatai alapján számítsuk ki a paraméterek standard hibáját!

9.15. táblázat - A maradék-négyzetösszeg kiszámításának táblázata Sorszám

y

1.

10

10,5

–0,5

0,25

2.

13

10,5

2,5

6,25

3.

8

7,5

0,5

0,25

4.

20

19,5

0,5

0,25

5.

27

33,0

–6,0

36,00

6.

35

34,5

0,5

0,25

7.

22

28,5

–6,5

42,25 179

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 8.

40

34,5

5,5

30,25

9.

45

42,0

3,0

9,00

10.

50

49,5

0,5

0,25

0,0

125,00

Együtt:

270 270,0

A szórás ( ) becslése:

A becsült paraméterek standard hibái:

Megjegyzés: A számítási részeredmények a 9.13. és a 9.14. táblázatban találhatók. A paraméterek hibáit a következőképpen értelmezzük: Az

kifejezi, hogy a 10 elemű mintavételeket végtelen sokszor ismételve a lehetséges becsült értékek – a

egységgel térnek el az elméleti Az

paramétertől.

pedig azt jelenti, hogy a lehetséges becsült

regressziófüggvény

paraméterek # átlagosan 2,41

paraméterek átlagosan 0,1374 egységgel szóródnak az alapsokasági

paramétere körül, az összes lehetséges 10 elemű minta esetén.

A regressziós becslés abszolút és relatív hibája A regressziófüggvény hibája a regressziós becslés második hibaforrására, az ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolatra vezethető vissza. A paraméterek hibájának meghatározásánál bevezettük a maradéktag szórásának becslésére az 180

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

formulát, amely önmagában is fontos.

a regressziós becslés abszolút hibájának nevezzük.

Hasznos információt nyújt a regressziós függvény útján nyerhető regressziós becslések megbízhatóságáról, alkalmazhatóságáról. Az abszolút hiba a 9.1. pontban megismert korrelációs együttható (r) felhasználásával is meghatározható:

Az abszolút hiba kifejezi, hogy a regressziós becslések

átlagosan mennyivel térnek el az eredményváltozó

megfigyelt értékeitől.

A regressziófüggvény használhatóságát a gyakorlatban a hiba relatív mértéke alapján jobban megítélhetjük. A regressziós becslés relatív hibáját az abszolút hiba és az átlag hányadosaként számítjuk. Relatív hiba:

A relatív hiba kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan hány %-kal térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől. A regressziófüggvény megbízhatóságáról a relatív hiba ad felvilágosítást. Minél kisebb a relatív hiba, annál megbízhatóbb a regressziófüggvény. A gyakorlatban általában 10% alatti relatív hiba esetén fogadjuk el jónak a regressziós becslést. Példaként ismét a távolság és a menetidő közötti kapcsolatot leíró regressziófüggvényt idézzük fel. Az abszolút hiba :

A becsült értékek átlagosan 3,95 perccel térnek el a tényleges szállítási időtől. A relatív hiba: 181

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

A becsült értékek átlagosan 14,6%-kal térnek el a tényleges szállítási időtől. Mivel a relatív hiba 10%-nál nagyobb, az eredményeket kellő óvatossággal kell kezelnünk.

9.3.3. A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése A paraméterek becslésével, a pontbecslés, intervallumbecslés fogalmával korábban már megismerkedtünk. A becsléselméletben tanultak alkalmazhatók a regressziós becslésekre is. A regressziós modell feltételeinek rögzítése és a paraméterek becslőfüggvényének kidolgozása után lehetővé válik, hogy összefüggést teremtsünk a mintából becsült paraméterek és az elméleti, alapsokasági paraméterek között. Így módunkban áll a gyakorlatban egyetlen mintából következtetni az alapsokasági paraméterekre. A regressziós paraméterek pontbecslésének ismeretében intervallumbecslés is adható. Mivel feltételezzük, hogy az azonos szórású normális eloszlású független valószínűségi változók és a be lehet látni (mi nem bizonyítjuk), hogy a

valószínűségi változó

szabadságfokú Student t-eloszlást alkot, azaz

ezek lineáris kombinációja,

valószínűségi szint esetén

Átalakítva:

A zárójelen belüli egyenlőtlenségek a amelynek középpontja

paraméterre konfidenciaintervallumokat jelölnek ki,

valószínűségi szinten. A konfidenciaintervallum #

# mintáról mintára ingadozik, azaz valószínűségi változó. Ezért az előző összefüggést úgy értelmezzük, hogy ha ismételt 182

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás mintavételeket hajtunk végre, azaz a regressziószámításnál többször elvégezzük az adott számú megfigyelést, és mindegyik után elkészítjük a konfidenciaintervallumot, várhatóan az intervallumok

%-a tartalmazni fogja a sokasági paramétert.

Egyetlen mintából készített konfidenciaintervallum a

Példánkban # 95%-os megbízhatósági szintet választva # a t-táblázatbeli érték: Így a

A korábban már kiszámított standard hiba

az alábbi konfidenciaintervallum írható fel:

Ennek alapján azt mondhatjuk, hogy a sokasági

paraméter 95%-os megbízhatósággal ezen intervallumban van.

9.3.4. Regressziós becslések és prognózisok A regressziós függvénnyel két ismérv közötti összefüggés tendenciáját írjuk le. A becslőfüggvényt felhasználhatjuk a tényezőváltozó egy rögzített értéke mellett az eredményváltozó értékének becslésére. Ehhez a megfelelő hozzá tartozó Ezt az

értéket behelyettesítjük a regressziófüggvénybe, és kiszámítjuk a

becsült értéket.

értéket kétféleképpen foghatjuk fel:

a) Ez az érték az várható érték, illetve véges diszkrét esetben az lehetséges értékpárok értékeiből képzett becslése. Becsülhetjük például a testmagasság és a testsúly közötti összefüggés vizsgálata alapján az adott testmagasságú emberek átlagos testsúlyát. Az az

becslőfüggvénye definíció szerint. 183

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

b) Ez az érték annak becslése, hogy egy

minta esetén

mekkora lehet.

Mindkét esetben intervallumbecslést adunk. Az

értékhez tartozó feltételes várható érték intervallumbecslése

A regressziófüggvény segítségével kapott becslések azonban eltérhetnek a Az

tartozó feltételes várható értéktől, mivel mintából dolgoztunk.

szórása, azaz a standard hiba a paraméterek szórásának ismeretében meghatározható:

(Nem bizonyítjuk és a formulákat már csak konkrét mintára alkalmazva írjuk fel.) Látható, hogy a standard hiba akkor a legkisebb, ha a rögzített hely ( egyszerűsödik:

) éppen az átlaggal egyenlő. Ebben az esetben a képlet az alábbi formulára

Ennek alapján azt mondhatjuk, hogy regressziós becslésünk az átlag környezetében a legjobb, a szélső értékek felé haladva egyre romlik. A konfidenciaintervallumot szintén a t-eloszlás segítségével határozzuk meg:

A becsült konfidenciaintervallum

valószínűséggel tartalmazza az

helyhez tartozó feltételes

várható értéket (átlagot).

A teherfuvarozó vállalkozó adatainak felhasználásával 95%-os valószínűségi szinten adjunk intervallumbecslést a 12 km távolságra történő szállítások átlagos idejére! 184

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Az átlagos színvonal becsült értéke:

Korábbi számításokból ismert:

A standard hiba:

A konfidenciaintervallum:

A 12 km távolságra történő szállítások átlagos ideje 95,0%-os megbízhatósági szinten 19,4 és 25,4 perc között van. Az egyedi

becslések konfidenciaintervalluma

Előfordulhat, hogy nem átlagos szintet, hanem egy hiányzó használjuk. Mivel

értéknél valamely

adatot kívánunk becsülni az

érték az

185

helyen. Erre a célra is ugyanezt a becslőfüggvényt

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás módon számítható, ezért

A behelyettesítés és a gyökvonás után az egyedi érték becslésekor a standard hiba kiszámításának képlete egy konkrét mintára a következő:

Egyedi

érték

valószínűségi szinthez tartozó konfidenciaintervalluma:

Ismét a korábbi példa adataiból becsüljük meg 95,0%-os valószínűségi szinten most konkrétan egy 12 km távolságra történő fuvarozás menetidejét. Az egyedi érték becslése:

A standard hiba:

A konfidenciaintervallum:

Az eredmények is mutatják, hogy az egyedi értékek becslése lényegesen pontatlanabb. A konfidenciaintervallum ebben az esetben lényegesen szélesebb sávot ölel fel. 186

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Bármilyen formában történik is a becslés, óvakodni kell az általánosítástól. A regressziós becslésnek csak az adott keretek között, a vizsgált adathalmazra vonatkozóan van értelme. Attól is tartózkodni kell, hogy a regressziós függvényt tetszés szerint meghosszabbítsuk. A függvény mindig csak a megfigyelt értékek értelmezési tartományában érvényes.

9.3.5. A regressziófüggvény eredményeinek hipotézis-ellenőrzése Az eredmények valóságtartalmának ellenőrzése a hipotézisvizsgálat eszközeivel történhet. Mivel az eredmények mintából származnak, felmerül a kérdés, hogy a kapott eredmények a sokaságra is igazak-e. Kétféle vizsgálatot végezhetünk: – ellenőrizhetjük, hogy szignifikáns-e a

regressziós együttható;

– szignifikánsnak bizonyul-e maga a regressziófüggvény. (Megjegyezzük, hogy a kétféle módszer – két ismérv kapcsolatának vizsgálatakor – azonos eredményre vezet. A teljesség kedvéért mindkét módszert bemutatjuk.) A regressziós együttható (

) tesztelése

Az ellenőrzés gondolatmenete a következő. Feltételezzük, hogy valójában nincs korreláció, az elméleti paraméter ( tapasztalati adatokból számított ( ) paraméter nullától való eltérését csak a véletlen okozza. A regressziós együttható tesztelése t-próbával történik. A hipotézisek matematikai megfogalmazása a

módon történik. A nullhipotézis helyességét próbafüggvénnyel ellenőrizhetjük. Mint láttuk, n elemű minta esetén a

valószínűségi változó

szabadságfokú t-eloszlást alkot. 187

) nullával egyenlő, és a

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Az ellenőrzés

szignifikanciaszinten azt jelenti, hogy a

teljesülése esetén fogadhatjuk el ezen a szignifikanciaszinten a nullhipotézist. Konkrét minta esetén a próbafüggvény számított értéke:

A próbafüggvény nem más, mint a regressziós együttható becsült értékének és a hozzá tartozó standard hibának a hányadosa. Számított értékét az

Ha

szignifikanciaszinthez és az

,a

szabadságfokhoz tartozó kritikus értékhez viszonyítjuk.

hipotézist elfogadjuk. Ez azt jelenti, hogy a paraméter nem különbözik szignifikánsan nullától. Abban az esetben, ha

,a

hipotézist elvetjük. A mintabeli információk ekkor azt mutatják, hogy szignifikáns a kapcsolat az X és az Y változó között. Teszteljük le a mintapéldánkban szereplő regressziófüggvény paraméter standard hibája

paraméterét! A 10 elemű mintából származó függvény

; továbbá a

volt.

A próbafüggvény számított értéke:

A próbafüggvény kritikus értéke (5%-os szignifikanciaszinten, Mivel a számított

):

érték (10,95) meghaladja a t kritikus értékét (2,31), a

hipotézist fogadjuk el. A szállítási távolság és a fuvarozási időtartam

között a valóságban is # mivel a számított érték minden szignifikanciaszinten meghaladja a kritikus értéket # fennálló összefüggés van, a szignifikáns. A varianciaanalízis alkalmazása a regressziószámításban 188

paraméter

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A regressziós együttható tesztelése mellett magának a regressziófüggvénynek a hipotézis-ellenőrzése is elvégezhető. Ez a varianciaanalízis módszerével történhet. Elsőként írjuk fel az eredményváltozó és a magyarázóváltozó közötti összefüggést az i-edik megfigyelésre:

azaz

ahol

az Y megfigyelt értéke ( az

),

tartozó regressziós becslés,

a maradéktag vagy reziduum. Megállapíthatjuk, hogy a maradéktagok összege nulla. Ez belátható, ha a már ismert normálegyenleteink közül az I. normálegyenletet átrendezzük:

Ebből következik, hogy

Ez azt jelenti, hogy a regressziós becslések összege és ebből következően átlaga is megegyezik az eredményváltozó tényleges értékeinek összegével és átlagával. Kiinduló összefüggésünk tehát az átlagtól vett eltérések alapján is felírható: 189

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ez fontos összefüggés számunkra, mert kifejezi, hogy az eredményváltozó megfigyelt értékeinek átlagtól való eltérése két komponenssel magyarázható, egyrészt a becsült regressziófüggvény szóródásával, másrészt a maradéktag ingadozásával. Bizonyítás nélkül közöljük, hogy az eltérések összetevőkre bontása az eltérés-négyzetösszegekre is felírható:

Az eltérés-négyzetösszegeket a következőképpen is szokás jelölni:

Különleges jelentősége van a reziduális négyzetösszegnek (SSE), mivel a megfigyelt

értékeknek a regressziófüggvény körüli szóródását fejezi ki.

Ha ez azt jelenti, hogy a függő változó teljes varianciája megmagyarázható a tényezőváltozó segítségével. Minden megfigyelt érték a regressziófüggvényen helyezkedik el. Egyéb tényezőknek nincs hatása az eredményváltozóra, vagyis az ismérvek között függvényszerű kapcsolat van. Ha az akkor a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn. Minél nagyobb a reziduális négyzetösszeg értéke, annál nagyobb a becslés hibája, mert a modellben nem szereplő egyéb magyarázóváltozók hatása annál nagyobb szerepet játszik a függő változó szóródásában. A varianciaanalízis-tábla # a 8. fejezetben elmondottak figyelembevételével # a következőképpen készíthető el (9.16. táblázat): 190

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.16. táblázat - Varianciaanalízis-tábla A szórásnégyzet forrása

Eltérésnégyzetösszeg

Szabadságfok

Átlagos négyzet- összeg

Regresszió

Hibatényező

Teljes

#

A szabadságfokokról a következőket kell tudni: A teljes négyzetösszeg (SST) szabadságfoka

mert számításához először a mintából az

A hibatényező négyzetösszegének (SSE) szabadságfoka szükséges.

azaz egy paramétert kell kiszámítani.

Ennek az a magyarázata, hogy számításához két paraméter, a

és a

becslése

A regresszióból becsült négyzetösszeg szabadságfoka pedig a szabadságfokok között fennálló additív összefüggésből következik.

A tesztelésnél itt is a regresszió fennállásának tagadásából indulunk ki. Hipotéziseinket a következőképpen írhatjuk fel:

A regresszióból származó becslést a szórásnégyzet „külső” becslésének, a hibatényezőből származót pedig „belső” becslésének tekinthetjük. (Így teljes az analógia a 8. fejezetben megismert F-próbával.) 191

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A nullhipotézist F-próbával ellenőrizzük, amelynek képlete konkrét minta esetén:

ahol a számláló szabadságfoka,

a nevező szabadságfoka pedig

Abban az esetben, ha az MSE (a „belső” szórásnégyzet becslése) relatíve nagy az MSR-hez (a „külső” szórásnégyzet becsléséhez) képest, a regressziófüggvény rosszul illeszkedik a ponthalmazhoz, ami a változók közötti lineáris kapcsolat hiányára utal, és így elfogadását támasztja alá. A fordított eset a magyarázóváltozó és az eredményváltozó lineáris kapcsolatára utal. Ekkor az X és Y változók közötti lineáris kapcsolat hiányát megfogalmazó nullhipotézisnek ellentmond, és így az alternatív hipotézist (

) támasztja alá.

A bemutatópéldánkhoz kapcsolódóan a szállítási távolság és a fuvarozási idő közötti összefüggés vizsgálatából elkészítettük a varianciaanalízistáblát. A felhasznált számítási részeredmények az alábbiak:

Ezen adatokból állítottuk össze a varianciaanalízis-táblát (9.17. táblázat).

9.17. táblázat - Varianciaanalízis-tábla Szórásnégyet forrása

Eltérésnégyzetösszeg

Szabadságfok

Átlagos négyzetösszeg

Regresszió

1881

1

1881

Hibatényező

125

8

15,625

Teljes

2006

9

– 192

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A próbafüggvény számított értéke:

Kritikus értéke 5%-os szignifikanciaszint mellett:

.

A szerinti feltételezést 5%-os szignifikanciaszint mellett elvetjük. Megállapítható, hogy a vagyis a szállítási távolság és a menetidő között szignifikáns kapcsolat van.

paraméter értéke szignifikánsan különbözik nullától,

A szorosság mérése a varianciaanalízis-tábla alapján Az eltérésnégyzetek közötti összefüggés alapján kiszámíthatjuk a regresszió által megmagyarázott

eltérés-négyzetösszegnek az y teljes eltérés-

négyzetösszegéhez való arányát. Ezt a mutatószámot determinációs együtthatónak nevezzük. (Jele:

)

Értéke sztochasztikus kapcsolat esetén 0 és 1 közé eshet, és százalékos formában fejezzük ki. Bizonyítás nélkül közöljük, hogy a most megismert determinációs együttható négyzetgyöke a lineáris korrelációs együttható. (Ez a számítás a 9.1.2. pontban megismert számítási képleteket egy újabb lehetőséggel bővíti.)

9.3.6. A reziduális változó vizsgálata Eddigi eredményeinknél feltételeztük, hogy jól választottuk ki a regressziós függvényt, azaz helyesen specifikáltuk a függvény típusát, továbbá teljesülnek a lineáris regresszió feltételei. A regressziószámítás alkalmazása során azonban a feltételek teljesülését ellenőrizni is kell. Ez az úgynevezett diagnosztikai tesztekkel történhet, amelyek egyrészt értékelik a modellt, másrészt a levont következtetések valódiságát támasztják alá. A legtöbb regressziószámításhoz készült programcsomag tartalmazza ezeket a diagnosztikai teszteket. Az eredmények értékelése azonban minden esetben a felhasználóra vár. Arra a kérdésre, hogy a regressziófüggvény jól írja-e le a valóságot, a reziduális változó tapasztalati értékeinek ( ) vizsgálata ad választ. Ez a változó az elméleti véletlen változó tapasztalati megfelelője, és rendelkeznie kell annak tulajdonságaival. Ha ez nem áll fenn, akkor ez azt jelenti, hogy a véletlen mellett más, szisztematikus hatás is érvényesül a reziduális eloszlásban, ezért a modell felülvizsgálatra szorul. 193

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A reziduális változó eloszlását kétféleképpen vizsgálhatjuk: a reziduumok grafikus ábrázolásával, valamint a hipotézisvizsgálat eszközeivel. E vizsgálat részletes bemutatása meghaladja tankönyvünk kereteit. A problémát csak grafikonokkal szemléltetjük. A hibatényező grafikus ábráját az x magyarázóváltozó függvényében a 9.13. ábrán mutatjuk be.

9,13. ábra - A hibatényező eloszlásának vizsgálata

Az a) ábrán a vízszintes szalag x nagyságától független szóródást jelent. A reziduális eloszlás véletlen jellegűnek tekinthető, ha a pontdiagram a sávon belül helyezkedik el. A variancia állandóságának feltétele teljesül. A b) ábra szétnyíló tendenciát mutat. A variancia az x érték növekedésével nő, tehát ellentmond az állandó szórás feltételének. Ez esetben vagy a modell (a függvénytípus), vagy a becslési eljárás újragondolása szükséges. A becslési módszerek közül célszerű például a legkisebb négyzetek módszere helyett az úgynevezett súlyozott legkisebb négyzetek módszerével dolgozni. A következőkben bemutatjuk a szállítási távolság és a szállítási idő vizsgálata közötti összefüggés EXCEL 5.0 szoftverrel való megoldása után kapott eredménytábláját (9.18. táblázat). Vessük össze az eredményeket az eddig közöltekkel!

9.18. táblázat - Eredménytábla a szállítási távolság és a szállítási idő közötti összefüggés vizsgálatához x

y

4

10

xy 16

40

e #11 #17

187

121

10,4203

#0,4203 194

0,1766

#16,5797

274,8868

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 4

13

16

52

#11 #14

154

121

10,4203

2,5797

6,6549

#16,5797

274,8868

2

8

4

16

#13 #19

247

169

7,4058

0,5942

0,3531

#19,5942

383,9328

10

20

100

200

#5

#7

35

25

19,4638

0,5362

0,2875

#7,5362

56,7948

19

27

361

513

4

0

0

16

33,0290

#6,0290

36,3487

6,0290

36,3487

20

35

400

700

5

8

40

25

34,5362

0,4638

0,2151

7,5362

56,7948

16

22

256

352

1

#5

#5

1

28,5072

#6,5072

42,3443

1,5072

2,2718

20

40

400

800

5

13

65

25

34,5362

5,4638

29,8528

7,5362

56,7948

25

45

625

1125

10

18

180

100

42,0725

2,9275

8,5705

15,0725

227,1792

30

50

900

1500

15

23

345

225

49,6087

0,3913

0,1531

22,6087

511,1531

150

270

3078

5298

0

0

1248

828 270,0000

0,0000

124,9565

0,0000

1881,0435

paraméter értéke

→

1,507246

4,391304

standard hiba

→

0,137347

2,409648

determinációs eh.

→

0,937709

3,95216

F próbafv. értéke

→

120,4287

8

SSR

→

1881,043

124,9565

F kritikus értéke

5,317645

t próbafv. értéke

10,974

t kritikus értéke

2,306006

← ←szf ←

1,822384

9.3.7. A paraméterek robusztus becslése A megismert becslési eljáráson kívül még sok más lehetőség is van a sztochasztikus összefüggések vizsgálatára. Ezek közül a robusztus becslés módszerét emeljük ki. A gyakorlati számításoknál ugyanis mindkét változónál előfordulhatnak úgynevezett mérési hibák. Az adatok pontatlansága, a hibák mértéke és iránya értelemszerűen kihat mindenfajta további statisztikai számítás eredményére, így a regressziófüggvény paramétereinek becsült értékeire is. 195

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Léteznek olyan becslési eljárások, amelyek kevésbé érzékenyek az adatbázisban lévő mérési hibákra vagy a modellekben rögzített feltételek teljesülésére. Ezek az eljárások a robusztus becslési módszerek. Ezzel az eljárással számíthatjuk például az úgynevezett nyesett átlagot, amelyet az átlagszámítás ismert szabálya szerint határozhatunk meg azzal a különbséggel, hogy a rangsor szélén elhelyezkedő kiugróan nagy vagy kicsi értékeket, azaz a szélsőséges értékeket elhagyjuk. A módszer a regressziós paraméterek becslésére is kiterjeszthető. Ebben az esetben első lépésben a legkisebb négyzetek módszerével meghatározzuk a paramétereket, majd kiszámítjuk a reziduumokat. Ezt követően elhagyjuk azokat a megfigyeléseket, amelyekhez a legnagyobb és a legkisebb reziduumok tartoznak. Összesen (ahol ) megfigyelést hagyunk el a rangsor mindkét szélén, majd a megmaradt adatok alapján újra végrehajtjuk a becslést a legkisebb négyzetek módszerével. Kövessük végig a leírtakat az alábbi példán! Abból indulunk ki, hogy ismert az elírás történt, és tévedésből az

függvény, amellyel leírható az y és az x változók közötti determinisztikus kapcsolat. A megfigyelés során jegyezték fel

helyett (9.19. táblázat).

9.19. táblázat - A feljegyzett adatok táblázata Sorszám

y

x

1.

17

1

2.

21

3

3.

50

2

4.

25

5

5.

29

7

Ebből az öt adatpárból, amely a téves adatot is tartalmazza, meghatározzuk a regressziófüggvényt, majd pedig kiszámítjuk a maradéktagokat. (A részletes számításokat nem közöljük.) A lineáris regressziófüggvény:

Számítsuk ki a becslési hibákat!

196

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

9.20. táblázat - Munkatábla a reziduumok számítására Sorszám

y

1.

17

28,7

#11,7

2.

21

28,5

#7,5

3.

50

28,8

21,2

4.

25

28,2

#3,2

5.

29

27,9

1,1

Annak illusztrálására, hogy egyetlen hibás adat mekkora eltérést okoz, nézzük meg a 9.14. ábrát!

9,14. ábra - A mérési hiba hatása a regressziófüggvényre

A továbbiakban elhagyjuk az első és a harmadik megfigyelést, mert a maradéktag az elsőnél a legkisebb és a harmadiknál a legnagyobb. Ezt követően a megmaradó megfigyelések alapján (9.21.táblázat) újra becsüljük a regressziófüggvény paramétereit.

9.21. táblázat - A megmaradó adatok táblázata a Sorszám

y

x

1.

21

3

2.

25

5

3.

29

7

A regressziófüggvény: 197

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Elhagytuk a mérési hibát tartalmazó megfigyelést az adataink közül, és így visszakaptuk a determinisztikus összefüggést leíró függvényünket, amelyből kiindultunk.

9.4. Nemlineáris regresszió A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat törvényszerűségeinek leírására igen gyakran nem alkalmas a lineáris függvény. A kapcsolatnak egyenessel történő kifejezése ugyanis feltételezi, hogy az X változó egységnyi változása Y-nál mindig adott nagyságú (konstans) változást eredményez. A közgazdasági összefüggéseknél e feltétel gyakran nem teljesül. Ilyen esetekben nemlineáris modellek alkalmazására kerül sor. A műtrágyafelhasználás és a terméshozam nagysága között például korrelációs kapcsolat van. A műtrágya-felhasználás mennyiségének növekedésével csak bizonyos határig nő a terméshozam # az adagolás mértékétől függően is eltérő nagysággal #, majd a hozam csökkenése figyelhető meg. Bizonyos termékek egy főre jutó fogyasztása és az egy főre jutó jövedelemszint között sem állapíthatunk meg egyértelmű lineáris összefüggést, ugyanis egy adott jövedelemszint felett a termék fogyasztásában telítettség következik be, és a jövedelem további emelkedésével nem, vagy csak nagyon kis mértékben növekszik a termék fogyasztása. A vállalati gyakorlatban alkalmazható költségfüggvények és termelési függvények legtöbbje is nemlineáris típusú. Nemlineáris regressziófüggvényt akkor használunk, ha az X változó Y-ra gyakorolt hatásának mértéke függ az X változó nagyságától. A megfelelő függvénytípus kiválasztásához az érintett szakterület alapos ismerete szükséges. A megfigyelt minta adatainak # a korábban megismert egyszerű eszközökkel történő # elemzése is sokat segíthet a megfelelő függvénytípus kiválasztásában. A nemlineáris, vagy másképpen görbevonalú regresszió fontosabb típusai : a hatványkitevős, az exponenciális, a parabolikus, a hiperbolikus függvények. Mielőtt ezen függvénytípusok tárgyalására rátérnénk, idézzük fel a regressziós függvény paramétere meghatározási elvét, amit a legkisebb négyzetek módszereként ismertünk meg. E módszer segítségével határozhatjuk meg adott függvénytípuson belül a ponthalmazhoz legjobban illeszkedő függvényt. A legkisebb négyzetek módszerét nemlineáris regresszióra is alkalmazhatjuk. Parabolikus regressziófüggvény Ha egy parabola típusú regressziófüggvény adott, tehát

akkor a következő megoldás lehetséges. 198

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A legkisebb négyzetek kritériuma most is azt igényli, hogy a regressziófüggvény paramétereit úgy határozzuk meg, hogy a megfigyelt y értékeknek a regressziófüggvény megfelelő értékeitől számított eltérés-négyzetösszege minimális legyen. Tehát a következő kifejezést kell minimalizálni:

Ha a függvény megállapítására:

szerinti parciális deriváltjait egyenlővé tesszük nullával, az alábbi normálegyenleteket kapjuk a regressziós paraméterek

I. normálegyenlet:

,

II. normálegyenlet:

,

III. normálegyenlet:

.

(Az összegzési határokat most nem írtuk ki, értelemszerűen

)

Előfordulhat, hogy nem polinomokkal, hanem más, pl. racionális törtfüggvényekkel közelítünk. Világosan látszik az általánosítás lehetősége. Magasabb fokú polinomnál hasonlóan járhatunk el, a paraméterek (együtthatók) száma mindig a fokszámnál 1-gyel nagyobb, és ugyanannyi a lineáris normálegyenletek száma is. A normálegyenletek egyszerűsíthetők, ha a változókat a lineáris regressziónál tanult módon transzformáljuk. Ha a változókat az átlaguktól vett eltérésükkel helyettesítjük #

és

változókkal #, akkor

és

nulla. Nulla továbbá minden páratlan hatványsor összege, tehát

és

is. Így a normálegyenletek egyszerűbben megoldhatók. A parabolikus regressziót a gyakorlatban általában akkor használjuk, ha a két változó közötti összefüggés jellege bizonyos határig növekvő (vagy csökkenő), de ezen túl megfordul a tendencia. (A műtrágya-felhasználás például egy adott szintig növeli a termésátlagot, bizonyos határon túl pedig alacsonyabb hozamot eredményez.) A parabolikus regressziófüggvény paramétereinek értelmezése nem olyan kézenfekvő. A független változó hatását nem tudjuk olyan szemléletesen megfogalmazni. Az x helyen az X ismérvérték egységnyi változása az Y ismérvérték

mértékű változását vonja maga után (tehát függ az x -től).

A parabolikus regressziót elsősorban valamely meghatározott x értékhez tartozó függvényérték kiszámításához használjuk fel. Gyakori, hogy éppen azt kutatjuk, hogy a függvény milyen x érték mellett maximális. 199

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Hatványkitevős regressziófüggvény Az X és Y változók kapcsolatát az x és y megfigyelt értékei alapján az alábbi becslőfüggvénnyel írhatjuk le:

Logaritmikus transzformációval # mindkét oldal logaritmusát véve # a következő egyenletet kapjuk:

Természetesen itt feltételeznünk kell a változók és

pozitivitását.

Az egyenletből látható, hogy most az x és y értékek logaritmusai között van lineáris kapcsolat. A paramétereket ezért a lineáris regressziónál megismert formulák segítségével határozhatjuk meg. A különbség csupán annyi, hogy x helyett log x és y helyett log y szerepel.

Az eredeti függvény felírásához a

visszakeresésével a

-t is meg kell határozni. Jelöljük a transzformált változókat az alábbi módon:

A regressziófüggvény:

200

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

ahol

.

A hatványkitevős függvény regressziós együtthatója a rugalmassági együtthatóval azonos, ugyanis

és így

A hatványkitevős regresszió paramétere tehát elaszticitási (rugalmassági) együtthatóként értelmezhető. Megmutatja, hogy 1%-kal nagyobb x értékhez hány %-kal nagyobb vagy kisebb y érték tartozik. (Amennyiben a hatványkitevős függvény paramétere 1 vagy annál nagyobb értéket vesz fel, azt mondhatjuk, hogy adott esetben az eredményváltozó rugalmasan reagál az tényezőváltozó alakulására.) Hatványkitevős regresszió esetén tehát a rugalmasság független a hatótényező nagyságától. A függvény minden pontján állandó. A következő példában a hatványkitevős függvény alkalmazását mutatjuk be. Grafikus ábrázolás útján dönthetjük el az alapadatok ismeretében a függvény típusát. Feltételezzük, hogy ez korábban elkészült, és a hatványkitevős függvény látszott a legjobb közelítésűnek. 30 négytagú (2 felnőttből és 2 gyerekből álló) aktív keresős háztartásban megfigyelték az egy főre jutó havi jövedelem és az egy főre jutó havi utazási és szórakozási kiadások nagyságát. Az alapadatokat és a szükséges részszámítások eredményeit a 9.22. táblázat tartalmazza. (A könnyebb áttekinthetőség kedvéért nem írjuk ki valamennyi rendelkezésre álló adatot és részeredményt.)

9.22. táblázat - Munkatábla a hatványkitevős regressziófüggvény meghatározásához Sorszám

x

y

1

18

4

1,255

0,602

0,009

0,033

0,000297

0,000081

2

25

7

1,398

0,845

0,152

0,276

0,041952

0,023104

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... 201

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás ...

...

...

...

...

...

...

...

...

30

19

4

1,279

0,602

0,033

0,033

0,00099

0,001100

Együtt

#

#

37,394

17,084

#

#

1,00822

0,4612

ahol x: egy főre jutó jövedelem (E Ft), y: egy főre jutó utazási és szórakozási kiadás (E Ft).

A paraméter azt jelenti, hogy amelyik háztartásban 1%-kal magasabb az 1 főre jutó jövedelem, ott átlagosan 2,186%-kal több az utazási és szórakozási kiadás összege. Tehát az utazási és szórakozási kiadás nagysága rugalmasan reagál a jövedelem változására. Exponenciális regressziófüggvény Becslőfüggvényünk x és y megfigyelt értékei alapján a következő:

Az exponenciális függvény olyan esetben kerül alkalmazásra, amikor az Y ismérv növekedése arányos az adott helyen felvett értékével:

A

regressziós paraméter arra ad választ, hogy a tényezőváltozó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az eredményváltozó értékét.

Lineáris alakra transzformálva:

202

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az exponenciális függvényekre az a jellemző, hogy lineáris összefüggés van a függő változó logaritmusa és az x változó között. Jelöljük a transzformált változókat és a paramétereket a következő módon:

A regressziós modell a bevezetett jelölésekkel:

Nézzük a következő példát! Magyarország történelmi borvidékén vizsgálták a tokaji aszú életkora (év) és export eladási ára (dollár) közötti összefüggést. 28 véletlenszerűen kiválasztott palack megfigyelt adatait a 9.23. táblázat tartalmazza:

9.23. táblázat - A tokaji aszú életkora és eladási ára közötti összefüggés Sorszám

Életkor (év)

Eladási ár (dollár)

1.

25

2100

2.

22

1325

3.

20

800

4.

19

700

5.

17

550

6.

17

460

7.

16

400

8.

13

220

9.

12

170

10.

10

100

11.

10

125

12.

10

89

13.

9

79 203

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 14.

9

70

15.

8

59

16.

8

55

17.

8

51

18.

7

60

19.

7

39

20.

7

34

21.

6

39

22.

6

25

23.

6

18

24.

5

24

25.

5

8

26.

4

16

27.

4

11

28.

4

9

A bevezetett jelölések szerint a paraméterek logaritmusait az alábbi normálegyenletekkel becsüljük:

9.24. táblázat - Munkatábla az exponenciális regressziófüggvény meghatározásához Sorszám

Életkor (év) x

Eladási ár (dollár) y

11.

125

2100

3,322219

83,05548

1625

12.

122

1325

3,122216

68,68875

1484

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... 204

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás ...

...

...

...

...

27.

114

1111

1,041393

4,165571

1116

28.

114

1119

0,954243

3,81697

1116

Összesen:

294

7636

54,40651

674,4496

4024

(A könnyebb áttekinthetőség kedvéért itt sem közlünk minden részeredményt.) Normálegyenletek:

A regressziófüggvényünk lineáris alakban:

A paraméterek logaritmusainak visszakeresett értékei:

Így az összefüggés exponenciális regressziófüggvénye:

Az eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy az 1 évvel idősebb borok export eladási ára átlagosan 28,9%-kal magasabb.

9.5. Gyakorlófeladatok 205

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 1. Egy utazási iroda programfüzetéből véletlenszerűen kiválasztottunk 10 társasutat. Vizsgáljuk az utak időtartama (X) és részvételi díja (Y) közötti kapcsolatot. A 10 elemű minta adatai: Sorszám

Időtartam (nap)

Részvételi díj (E Ft)

1.

3

19

2.

4

24

3.

4

25

4.

5

26

5.

7

33

6.

8

35

7.

8

34

8.

9

40

9.

10

44

10.

12

50

Feladat: a) Számítsuk ki a kovarianciát, a lineáris korrelációs együtthatót! b) Csoportosítsuk az adatokat az utazás időtartama szerint! Számítsuk ki a korrelációs hányadost! 2. Egy pályázatra benyújtott 8 művet 3 bíráló véleményezett az alábbi rangsorolással: A pályaművek jelölése

A

B

C

D

E

F

G

H

Első bíráló

5

2

4

3

7

8

1

6 206

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Második bíráló

4

1

6

2

5

7

3

8

Harmadik bíráló

5

2

3

4

7

8

1

6

Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy mennyire vannak „összhangban” a bírálati eredmények! 3. 10 országot rangsoroltak az alábbi szempontok szerint: Ország

Hitelképesség

1 főre jutó GDP rangsora

A

1

3

B

2

1

C

3

5

D

4

2

E

5

9

F

6

10

G

7

7

H

8

8

I

9

6

J

10

4

Feladat: Számítsuk ki a rangkorrelációs együtthatót, és értelmezzük a kapott eredményt! 4. Egy kereskedelmi cég felmérést végzett ügynöki beosztású munkatársai körében, hogy egy hónap alatt hányszor sikerült megkötni az üzletet. 5 ügynöktől a következő adatokat kapták: Ajánlat

200

400

300

150

250

207

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Eladás

30

70

55

20

45

Feladat: a) Számítsuk ki a lineáris regressziófüggvény paramétereit, és mondjuk meg jelentésüket! b) Számítsuk ki a regressziófüggvény értékeit, és ellenőrizzük a

összefüggés teljesülését!

c) Számítsuk ki a regressziós becslés abszolút és relatív hibáját! d) Állítsuk össze a varianciaanalízis-táblát és teszteljük a regressziót (

)!

e) Számítsuk ki a determinációs együtthatót! f) Adjunk becslést egy 500 ajánlatot tevő ügynök eladásainak várható számára! g) Cseréljük fel a változókat, és számítsuk ki az

regressziófüggvény paramétereit! Értelmezzük a

paramétert!

5. Mutassuk ki a társasutak időtartama és részvételi díja közötti összefüggést (1. feladat) lineáris regressziófüggvénnyel! Feladat: a) Számítsuk ki a paramétereket, valamint a regresszióval becsült értékeket, és hasonlítsuk össze a megfigyelt értékekkel! b) Teszteljük a

paramétert 5%-os szignifikanciaszinten t-próbával!

c) Jelöljük ki a

paraméter 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumát!

d)Vizsgáljuk a függvény rugalmasságát az

helyen!

6. Egy város 10 véletlenszerűen kiválasztott élelemiszer-áruházának értékesítési forgalom- és készletadatai 1996-ban: Sorszám

Forgalom (M Ft)

Készlet (M Ft)

1.

56,9

3,5

2.

117,5

7,5 208

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 3.

60,7

3,9

4.

75,5

4,7

5.

60,7

3,6

6.

72,8

4,5

7.

67,7

3,9

8.

72,6

5,1

9.

85,9

5,4

10.

73,6

5,2

Néhány számítási eredmény:

Feladat: a) Számítsuk ki a lineáris regressziófüggvény paramétereit, és mondjuk meg a regressziós együttható jelentését! b) Számítsuk ki a lineáris korrelációs és a determinációs együtthatót a kovarianciából kiindulva, a regressziófüggvény

paraméterének felhasználásával!

c) Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten a d) Jelöljük ki a

paramétert!

paraméter konfidenciaintervallumát 95%-os megbízhatósági szinten!

7. Egy likőripari vállalatnál vizsgálták, hogy a palackozó gépsor óránkénti teljesítménye és a selejtes töltés között milyen kapcsolat van. A megfigyelt 15 nap adatai: 209

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Teljesítmény (1000 palack/nap) X

Selejtszám (palack/nap) Y

17

9,0

18

9,0

19

8,9

20

9,1

21

9,3

22

9,2

23

9,7

24

10,4

25

10,4

26

11,6

27

14,1

28

18,2

29

25,0

30

38,3

31

57,0

360

249,2

Az összefüggést exponenciális regresszióval leírva, a következő eredményt kapták: Feladat: a) Értelmezzük a regressziófüggvény paramétereit! b) Számítsuk ki a selejtszám regresszióval becsült értékeit, és állapítsuk meg a maradék-négyzetösszeget! 210

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás c) Adjunk becslést a selejtes palackokra, hatványkitevős összefüggést feltételezve! d)Döntsük el, hogy melyik típusú függvény írja le jobban a két ismérv kapcsolatát! 8. 19 ország adatai alapján vizsgálták az 1 lakosra jutó GDP (USA-dollár), X és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik száma (db), Y ismérvek közötti összefüggést. Számítási eredmények: Lineáris regressziófüggvény: A megfigyelt változók szórásai:

Feladat: a) Milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között? b) Hány %-ban játszik meghatározó szerepet az X ismérv az Y ismérv szóródásában? c) Írjuk fel a hatványkitevős regresszió normálegyenleteit, és számítsuk ki a paramétereket! d) Értelmezzük mindkét regressziófüggvény

paraméterét!

e) Adjunk becslést egy olyan országra, amelynek az 1 lakosra jutó GDP-mutatója 7200 dollár! 9. Egy élelmiszer-áruházban véletlenszerűen kiválasztottak 10 vevőt, és megkérdezték őket, hogy naponta hány percet töltenek vásárlással (X), percben és mennyit költenek átlagosan naponta élelmiszerre (Y) Ft-ban. Az elvégzett számításokból az alábbiak ismeretesek: A vásárlásra fordított átlagos idő 21 perc, az átlagos kiadás pedig 5420 Ft. Lineáris regresszióval becsülve megállapították, hogy az a vevő, aki 1 perccel több időt töltött az áruházban, átlagosan 240 Ft-tal költött többet. A regressziófüggvénnyel becsült értékek és a tényleges vásárlási összegek eltéréseinek négyzetösszege: 112 878. 211

Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás A két ismérv kapcsolatának szorosságát vizsgálva megállapították, hogy a vásárlási idő 46,4%-os mértékben játszik meghatározó szerepet a napi átlagos vásárlási kiadásban. Feladat: a) Írjuk fel számszerűen a lineáris regressziófüggvényt! b) Számítsuk ki a regressziós becslés abszolút és relatív hibáját! c) Állapítsuk meg, hogy milyen szoros és milyen irányú a kapcsolat a két ismérv között!

212

10. fejezet - Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A korábbi fejezetben a korrelációs összefüggést két mennyiségi ismérv között értelmeztük. A társadalmi-gazdasági élet jelenségei azonban sokkal összetettebbek, bonyolultabbak annál, mint amit két tényező összefüggése kifejez. Egy-egy jelenség változása általában több tényező változásával van összefüggésben. A gyakorlatban általában nem lehetséges egyetlen magyarázóváltozó segítségével leírni a vizsgált jelenség alakulását. A kétváltozós kapcsolat vizsgálatánál az Y-ra ható tényezők közül csak egyet, X-et választottuk ki # feltételezve, hogy ennek hatása jelentős. A bérből és fizetésből élők havi bruttó átlagkeresetét jelentősen befolyásolja például iskolai végzettségük foka, de ezen kívül egyéb tényezők, pl. beosztás, gyakorlati idő stb. is alakítják. A lakások eladási ára és a lakások mérete közötti kapcsolat elemzésénél számszerűsíthetjük pl. a lakások életkorának hatását is. A gazdasági társaságok gazdálkodásának mutatóit vizsgálva is arra a következtetésre jutunk, hogy az eredmény alakulását több tényező befolyásolja, ilyenek például a nettó árbevétel, a hatékonyságot kifejező vagyonarány mutatója stb. Az eredményváltozóra ható tényezők körének kibővítésével többszörös vagy többváltozós sztochasztikus kapcsolathoz jutunk.

10.1. A lineáris regressziófüggvény meghatározása A többváltozós regresszióanalízis segítségével több ismérv eredményváltozóra gyakorolt hatását vizsgáljuk. A kapcsolat az ismérvek száma szerint három-, négy-, öt- stb. változós, a függvény típusa szerint pedig lineáris és nemlineáris kapcsolat lehet. A többváltozós lineáris regressziós modellt a következőképpen írhatjuk fel:

A továbbiakban csak a háromváltozós lineáris kapcsolattal foglalkozunk, de az itt elmondottak akárhány változóra általánosíthatók.

10.1.1. A háromváltozós lineáris regressziófüggvény Az előző fejezetben tárgyalt kétváltozós kapcsolathoz hasonlóan ebben az esetben is az a cél, hogy a mennyiségi ismérvek közötti összefüggések tendenciáját egy minta alapján.

függvénnyel leírjuk. Ekkor lényegében az elméleti regressziófüggvényt közelítjük analitikus függvénnyel a megfigyelt

Tegyük fel, hogy a sokaság N egyedből áll, és az egyedek ismérvértékeit a következő vektorok tartalmazzák: 213

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ez azt jelenti, hogy az i-edik egyed Y ismérvértéke ismérvértéke és egyenletű síkot illeszthetjük a legkisebb négyzetek módszerével. Ekkor az

ismérvértéke

A tér

pontjaihoz az

háromváltozós függvény minimumát kell keresni. Szélsőérték ott lehet, ahol a parciális deriváltak nullák.

Ebből a következő, ún. normálegyenlet-rendszert kapjuk:

Ez az egyenletrendszer az ismérvértékeket tartalmazó vektorok segítségével is felírható (1 az ún. összegzővektor, minden komponense 1):

214

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Legyen

Ekkor az egyenletrendszer

Amennyiben az

mátrixnak létezik az inverze, akkor

Ezt leíró regressziónak is szokás nevezni. Ha a sokaság nem véges vagy nem ismert, akkor minta segítségével becsülhetjük a regressziós függvény együtthatóit. A legáltalánosabb esetben a véletlenszerűen kiválasztott egyedek mindhárom ismérvértéke valószínűségi változó. Gyakran fordul elő az az eset, hogy csupán az eredményváltozó függ a véletlentől, a magyarázóváltozókat pontosan ismerjük. Például említhetjük a következő kísérletet. Különböző parcellákon más-más műtrágyaés öntözővíz-mennyiség mellett mérjük a termésátlagot. Kíváncsiak vagyunk arra, hogy a műtrágya és az öntözővíz mennyisége hogyan befolyásolja a termésátlagot. Itt a magyarázóváltozók értékét pontosan ismerjük, de az eredményváltozó értékét más véletlen jelenségek is befolyásolhatják, így az valószínűségi változó. A következőkben ezzel az esettel foglalkozunk, vagyis amikor az Y eredményváltozó értéke valószínűségi változó, de a magyarázóváltozók értékei ismertek; ezt standard lineáris regressziónak nevezzük. Tegyük fel, hogy n elemű mintát veszünk, az egyes mintaelemek ismérvértékei:

215

illetve

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A megfelelő Y ismérvértékek (valószínűségi változók):

Ekkor

(

ahol

), vagy ami ugyanaz vektorok segítségével:

és

Itt nyilvánvalóan az meg, hogy az

(

) is valószínűségi változók, amelyeket reziduumoknak nevezünk. A

várható érték minimális legyen. A leíró regressziónál alkalmazott módszerrel az ottanival analóg eredményt kapunk. A

Ha

becslőértékre vonatkozó normálegyenlet:

inverze létezik, akkor a

becslőfüggvénye

216

együtthatóvektort itt is azon feltétel határozza

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Ekkor Itt jegyezzük meg, hogy ahhoz, hogy az X mátrix oszlopai függetlenek legyenek (ez az inverz létezésének szükséges feltétele), elengedhetetlen, hogy X-nek legalább annyi sora legyen, mint oszlopa, vagyis a minta elemeinek száma nagyobb legyen, mint a regressziós együtthatók száma. Amennyiben egy konkrét mintáról van szó, akkor

A normálegyenletek megoldásával az

(

(

), és a normálegyenletek a következő alakúak:

) pontrendszerhez legjobban illeszkedő sík paramétereit kapjuk.

A változók transzformálásával viszonylag egyszerű megoldási lehetőség adódik. Vezessünk be új változókat:

A zérussal egyenlő összegek elhagyása után a normálegyenletek „maradványaiból” a meghatározhatók.

paraméterek # regressziós együtthatók # könnyen

A második és harmadik normálegyenletre

adódik. Ebből A

és

meghatározható.

paraméter kiszámítási módja pedig # a kétváltozós kapcsolathoz hasonlóan # az első egyenletből: 217

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Háromnál több változó esetében jól használható, praktikus egyszerűsítésre nincs lehetőség. Megfelelő számítástechnikai apparátus felhasználásával azonban a megoldás mátrixalgebrai műveletekkel lehetséges.

Az

egyenletből a regressziófüggvény paramétereinek becslése az alábbi:

Az együtthatómátrix elemei:

Az

vektor elemei pedig:

Számítástechnikai szempontból az inverz mátrix létezése lehet kétséges. A gyakorlati regressziószámítási feladatoknál azonban általában teljesül az a feltétel, hogy a normálegyenletek független egyenletrendszert alkotnak. Ezért az együtthatómátrix nem szinguláris, és így invertálható. Végezzük el a számításokat egy gyakorlati példán! A kétváltozós modellben szereplő változókat kibővítve 10 megfigyelésből vizsgáljuk meg a szállítás időtartama (y), a szállítási távolság ( ) és a szállítási tömeg ( ) közötti összefüggést! (Az adatok a 10.1. táblázatban találhatók.) A regressziós sík paramétereit határozzuk meg a transzformált változók alapján és mátrixalgebrai módszerrel egyaránt. 218

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

10.1. táblázat - A szállítási idő vizsgálatára vonatkozó adatok Sorszám

Szállítás időtartama (perc) y

1.

10

4

4

2.

13

4

5

3.

8

2

2

4.

20

10

5

5.

27

19

5

6.

35

20

7

7.

22

16

6

8.

40

20

7

9.

45

25

9

10.

50

30

10

Összesen:

270

150

60

Szállítás

Szállított tömeg

távolsága (km)

(tonna)

1. A paraméterek meghatározása a transzformált változók alapján. A szükséges számításokat a 10.2. táblázat tartalmazza.

10.2. táblázat - Számítások a transzformált változók alapján Sorszám

y

1.

10

4

4

#17 #11 #2

121

4

22

187

34

289

2.

13

4

5

#14 #11 #1

121

1

11

154

14

196

3.

8

2

2

#19 #13 #4

169

16

52

247

76

361

4.

20

10

5

#7

#5

#1

25

1

5

35

7

49

5.

27

19

5

0

4

#1

16

1

#4

0

0

0

6.

35

20

7

8

5

1

25

1

5

40

8

64

7.

22

16

6

#5

1

0

1

0

0

#5

0

25

8.

40

20

7

13

5

1

25

1

5

65

13

169

219

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás 9.

45

25

9

18

10

3

100

9

30

180

54

324

10.

50

30

10

23

15

4

225

16

60

345

92

529

Összesen 270 150

60

0

0

0

828

50

186

1248

298

2006

A második és a harmadik normálegyenlet „maradványa”:

Megoldás a regressziós együtthatókra:

Az előbbiek felhasználásával:

A háromváltozós regressziófüggvény becslése:

2. A paraméterek mátrixalgebrai műveletekkel történő meghatározása:

220

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

A háromváltozós lineáris regressziófüggvény becslése: 221

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

(A 10.2. táblázat alapján számított paraméterektől való minimális eltérést az adatok különböző pontossága, azaz a kerekítés okozza.) A regressziófüggvény paramétereinek értelmezése Becslőfüggvényünk # az eddig elmondottak alapján # a következő volt:

Először a konkrét mintából kapott regressziós együtthatók (

és

) értelmezésével foglalkozunk. Ha

értékét változatlanul hagyjuk #, akkor az eredményváltozó (Y) becsült értéke (y) éppen lehet előjelétől függően.) Az tényezőváltozó egységnyi növelésével pedig # becsült értékében bekövetkező hatás.

értékét egy egységgel növeljük # miközben

egységgel változik. (A változás növekedés vagy csökkenés

értékének változatlanul hagyása mellett #

az eredményváltozó

A regressziós együttható tehát kifejezi, hogy egy adott tényezőváltozó egységnyi növekedése mekkora növekedést (vagy csökkenést) okoz az eredményváltozó becsült értékében, miközben a másik tényezőváltozó értéke változatlan. A regressziós együtthatók tehát egy-egy tényezőváltozó részleges hatását mutatják, ezért ezeket parciális regressziós együtthatóknak nevezzük. Szokásos a mutató parciális jellegét a jelölésben is érzékeltetni. Például hatása mutatkozik meg,

így is írható:

ami arra utal, hogy az eredményváltozóban csak

változatlan.

Példánkkal kapcsolatban a következőket állapíthatjuk meg. Amennyiben a szállítási távolság 1 km-rel hosszabb, a menetidő átlagosan 1,025 perccel hosszabb, azonos szállítási tömeg mellett (

). A szállított tömeg hatása pedig abban nyilvánul meg, hogy azonos szállítási távolság mellett

2,148 perccel hosszabb átlagosan a menetidő, ha 1 tonnával nagyobb tömeget kell elszállítani ( függvényérték, ha ott értelmezve van. Értelmezése példánkban logikailag nem indokolt.

). A

a konstans, az

helyen vett

A parciális regressziós együtthatóhoz hasonlóan parciális rugalmassági együttható is értelmezhető. Ez a mutató arra ad választ, hogy egy adott tényezőváltozó egységnyi relatív változása milyen relatív változást eredményez az y-ban a másik változó változatlan színvonala mellett. Általános képlete:

222

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

ahol

a j-edik tényezőváltozó. (Háromváltozós esetben

.)

Regressziófüggvényünkre alkalmazva:

Mint látható, a parciális rugalmassági együttható nagysága attól függ, hogy azt a tényezőváltozók milyen színvonala mellett számítjuk. Vizsgáljuk először az átlagos szinten a rugalmasságot a példában!

szerinti rugalmasság (

):

Ez azt jelenti, hogy átlagos távolság és átlagos szállítandó tömeg esetén 1%-os szállításiút- növekedés 0,57%-os menetidő-növekedést eredményez. szerinti rugalmasság (

):

A fuvaronkénti átlagos tömeg 1%-os növelése # változatlan szállítási távolság mellett # átlagosan 0,48%-kal növeli a szállítási időt. Számítsuk most ki a parciális rugalmasságot az

helyeken!

szerinti rugalmasság:

223

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

szerinti rugalmasság:

Ez utóbbiak jelentése: A szállítási távolság 25 km-ről történő 1%-os növelése # változatlan szállítási tömeg mellett # átlagosan 0,559%-kal növeli a menetidőt. A szállított tömeg 10 tonnáról való 1%-os növelése pedig # változatlan távolság esetén # átlagosan 0,469%-kal növeli a szállítás idejét. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy lineáris esetben a rugalmasság mértéke a vizsgált helytől is függ. Az értelmezés minden esetben a rögzített hely környezetére érvényes. A paraméterek értelmezésével kapcsolatban fel kell hívnunk a figyelmet az ún. multikollinearitás veszélyére. Általában # a jelenségek sokoldalú összefüggései miatt # a tényezőváltozók között sztochasztikus kapcsolat mutatkozik. Multikollinearitásnak nevezzük a tényezőváltozók közötti lineáris kapcsolatot. Ha a tényezőváltozók között lineáris kapcsolat van, vagyis az mátrix valamely oszlopa felírható a többi lineáris kombinációjával, akkor inverze nem létezik. Ez komoly problémákat okozhat. Egyértelmű lineáris függőségre általában nem számíthatunk a független változók között, de a sztochasztikus összefüggés is zavarja az eredmények értelmezését és bizonytalanná teszi a becslést. A regressziós modell változói közötti összefüggések elemzéséhez a legtöbb információt a regressziós függvény és paraméterei jelentik. A regressziós együtthatók között kimutatható összefüggéseket szemlélteti háromváltozós esetre a 10.1. ábra.

10,1. ábra - A regressziós együtthatók közötti összefüggések

A 10.1. ábrán a nyilak irányában haladva vizsgálhatjuk a tényezőváltozók hatását az eredményváltozóra. A tényezőváltozót és az eredményváltozót közvetlenül összekötő nyíl a magyarázóváltozó közvetlen hatását fejezi ki, számszerű értékét a regressziófüggvényben az adott magyarázóváltozó együtthatója mutatja. Ezt a grafikus ábrát útdiagramnak is szokás nevezni. 224

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A háromváltozós modellben a magyarázóváltozók nemcsak az eredményváltozóval, hanem egymással is kapcsolatban lehetnek. Ezért egy-egy magyarázóváltozó hatása az eredményváltozóra két részből # a direkt hatásból és az indirekt hatásból, más változókon keresztül begyűrűző hatásból # tevődik össze. Így például az X1 változó Y-ra gyakorolt hatása a következőképpen írható fel:

A teljes (totális) hatás e két hatás együttese. Az összefüggésből a tényezőváltozók közötti kapcsolatra is következtethetünk. Minél erősebb a magyarázóváltozók közötti kapcsolat, annál nagyobb a változók közvetett hatásának aránya. A direkt és az indirekt hatás kimutatásához meg kell határozni a kétváltozós lineáris regressziófüggvényeket is. Mutassuk be a változók közötti direkt és indirekt hatást az előző példa adatai alapján! Készítsük el az útdiagramot is! (10.2. ábra.)

10,2. ábra - Útdiagram

A változókat páronként vizsgálva a kétváltozós lineáris regressziófüggényeket a 9.2. pontban tanultak szerint határozhatjuk meg. A részletes számítást nem közöljük. A kapott eredmények a következők: A kétváltozós lineáris regressziófüggvények:

225

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az előzőekben meghatározott háromváltozós lineáris regressziófüggvény:

A kétváltozós és a háromváltozós regressziós együtthatók összefüggései:

Az összefüggésekből látható, hogy a direkt és az indirekt hatásoknak egyaránt szerepe van. A magyarázóváltozók között pozitív irányú a kapcsolat. Ez azt jelenti, hogy a nagyobb súlyú rakományt általában hosszabb távolságra szállítják.

10.1.2. A legkisebb négyzetek módszere és tulajdonságai Az előzőekben csak a háromváltozós, lineáris regressziós modellel foglalkoztunk, ahol a paraméterek becslésére a már ismert legkisebb négyzetek módszerét alkalmaztuk. Mint már említettük, eredményeink könnyen általánosíthatók arra az esetre, amikor két magyarázóváltozó helyett több van. Ezek számát jelölje m. Ekkor az mátrix a következő alakú:

226

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Említettük azt is, hogy esetben megismertekkel:

esetén számíthatunk csak arra, hogy

illetve

.

Ekkor

(

inverze létezik. Ekkor becslőfüggvényeink teljesen azonosak a háromváltozós

).

Azt a feltevést, hogy csak az eredményváltozó valószínűségi változó, a magyarázóváltozók meghatározottak (determinisztikusak), továbbra is fenntartjuk, és továbbiakkal egészítjük ki: a) legyen minden b) Ha

szórása ugyanakkora,

, ha

(

). Ez azt is jelenti, hogy

(

).

.

akkor

jelölje azt az

mátrixot, amelynek i-edik sorában a j-edik elem

, azaz

valószínűségi változó kovarianciamátrixának nevezzük. Feltevésünk azt jelenti, hogy

A

mátrixot az

ahol

az egységmátrix. (Felhasználtuk, hogy

.) 227

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Hangsúlyozzuk, hogy

eloszlásáról nem tételeztünk fel semmit.

Be lehet látni, hogy ezen feltevés mellett

vagyis a

ahol

a

torzítatlan becslése, és

valószínűségi vektorváltozó

Az előző összefüggésben szereplő formula szerint becsüljük:

típusú kovarianciamátrixa. (Ezen állítások bizonyítását nem részletezzük.)

értékét általában nem ismerjük, ezért a konkrét mintából számított reziduumok felhasználásával a következő

ahol n: a megfigyelések száma, m: a tényezőváltozók száma, így (

a szabadságfok, );

.

A legkisebb négyzetek módszerével kapott regressziós együtthatók a sokasági paraméterek legjobb lineáris torzítatlan becslései. Ez azt jelenti, hogy a lineáris becslések közül a legkisebb négyzetek módszere esetében a legkisebb a paraméterbecslések szórása, vagyis a standard hiba. Egy becslés során a standard hiba nagysága is fontos információt jelent a becslési eredmények megítélése szempontjából. Számítsuk ki a vizsgált példánkban meghatározott regressziófüggvény paramétereinek standard hibáját! Ehhez első lépésben az eredményváltozó megfigyelt értékeinek és becsült értékeinek eltéréseit, vagyis a maradéktagokat (reziduumokat), majd azok négyzetösszegét kell kiszámítani. A számításokat a 10.3. táblázatban találjuk.

10.3. táblázat - A maradéktag négyzetösszegének kiszámítása Sorszám

y

228

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás 1.

10

11,429

#1,429

2,042041

2.

13

13,577

#0,577

0,332929

3.

8

5,083

2,917

8,508889

4.

20

19,727

0,273

0,074529

5.

27

28,952

#1,952

3,810304

6.

35

34,273

0,727

0,528529

7.

22

28,025

#6,025

36,300625

8.

40

34,273

5,727

32,798529

9.

45

43,694

1,306

1,705636

10.

50

50,967

#0,967

0,935089

Összesen:

270

270,000

0,000

87,037100

A maradéktag szórásnégyzete:

Az együtthatók kovarianciamátrixa:

A paraméterek varianciái (standardhiba-négyzetei) és szórásai (standard hibái)

229

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

A becsült paraméterek standard hibái a mintavételből származó átlagos véletlen hiba nagyságát mutatják.

10.1.3. A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése Most az előbbiek mellett még azt is tegyük fel, hogy

eloszlása

normális eloszlású valószínűségi változók lineáris kombinációja, azt az előző pontban láttuk.

Levezethető, hogy ekkor és

, ahol

az

(

) is normális eloszlású, mivel mátrix főátlójának i-edik eleme, amint

Ez azt jelenti, hogy a

valószínűségi változó standard normális eloszlású. De

nem ismert,

kell becsülni, ez azt jelenti, hogy

szabadságfokú t-eloszlást alkot. Ennek alapján az intervallumbecslés is elvégezhető. Ehhez első lépésben előírjuk a becslés megbízhatósági szintjét, majd a t-eloszlás segítségével meghatározzuk a maximális hibát, ezt követően pedig kijelöljük a konfidenciaintervallumot. Az i-edik változóhoz tartozó

paraméterre a következő valószínűségi megállapítást tehetjük (a formulákat csak konkrét mintára írjuk fel):

230

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Az elméleti paraméter konfidenciaintervalluma

valószínűségi szinten:

A becslésnél tanultak természetesen itt is alkalmazandók, azaz nagy minta esetén a t-eloszlás helyett a standard normális eloszlás használható. Ebben az esetben a konfidenciaintervallum számítása az alábbi formában történik:

Példánk adataiból végezzük el a paraméterek becslését 95%-os megbízhatósági szinten! Gyűjtsük össze a korábbi részeredményeket (10.4. táblázat)!

10.4. táblázat - Az eddigi részeredmények Paraméterek

A paraméterek becsült értéke

A paraméterek standard hibája

A konfidenciaintervallum meghatározásához szükséges t értéket magyarázóváltozók száma.) Így

.

A konfidenciaintervallumok 95%-os megbízhatósági szinten a következők:

231

szabadságfoknál keressük ki. (n a minta elemszáma, m pedig a

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

10.1.4. A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése A regressziós modell specifikálása a függvény típusának és a paramétereknek a meghatározását jelenti. Az első probléma tehát a függvénytípus kiválasztása. Számunkra többváltozós esetben most ez a kérdés nem vetődik fel, mert azt mondtuk, hogy csak a lineáris függvénytípussal foglalkozunk. A gyakorlatban azonban ebben a szakaszban feltétlenül figyelembe kell venni az adott terület szakértőjének véleményét is. A következőkben azt vizsgáljuk, hogy a modellképzésnél szóba jöhető magyarázóváltozók valóban szignifikáns kapcsolatban vannak-e az eredményváltozóval. Ehhez el kell végezni a paraméterek hipotézis-ellenőrzését. A tényezőváltozók paramétereinek teszteléséhez ismerni kell a regressziós együtthatók eloszlását. Ha az eredményváltozó (Y) normális eloszlást követ, akkor, mint már említettük, a b regressziós együtthatók is normális eloszlást követnek, mivel a b lineáris kombinációja az Y értékeinek. A minta nagyságának növelésével a b eléggé általános feltételek mellett akkor is normális eloszlású lesz, ha az

változó nem követ normális eloszlást. Ezt a központi határeloszlás tétele alapján állíthatjuk,

melyet matematikai tanulmányainkból jól ismerhetünk. A maradéktag szórásnégyzetét ( ) nem ismerjük, közelítő értékét mintából becsültük. A becslőformula nevezőjében ezért nem a mintanagyságot, hanem a becsült paraméterek számával csökkentett mintanagyságot szerepeltetjük, amit szabadságfoknak nevezünk. A maradéktag szórásának torzítatlan becslése így biztosítható. Mivel a számításokhoz szükséges reziduális szórásnégyzetet a mintából becsüljük, bizonyítható, hogy a b paraméterek nem normális, hanem Student t-eloszlást követnek. (Lásd 10.3. pont.) Ily módon t-próbával ellenőrizhető, hogy egy-egy tényezőváltozó szignifikáns kapcsolatban van-e az eredményváltozóval. Általános formában az i-edik tényezőváltozó ellenőrzésére szolgáló nullhipotézis a következőképpen írható fel:

A kétoldalú ellenhipotézis pedig:

A paraméterek tesztelésére a t-próbafüggvényt használjuk. A próbafüggvény:

Konkrét minta esetén pedig: 232

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Mivel kétoldalú próbát végzünk, a próba szabadságfoka az intervallumbecsléshez hasonlóan:

.

Az ellenőrzés során meghatározzuk a próbafüggvény számított értékét és azt az adott szabadságfokhoz és választott szignifikanciaszinthez tartozó kritikus értékkel hasonlítjuk össze. Ha a próbafüggvény számított értékének abszolút értéke kisebb, mint a kritikus érték, a vizsgált feltevések közül a nullhipotézist ( ) fogadjuk el. Ezt azt jelenti, hogy az i-edik magyarázóváltozó nincs szignifikáns kapcsolatban az eredményváltozóval, ezért célszerű kihagyni a modellből. Abban az esetben, ha a próbafüggvény számított értéke abszolút értékben nagyobb, mint a kritikus érték, akkor a nullhipotézist (melyben a kapcsolat tagadását fogalmaztuk meg) elvetjük, és a alternatív hipotézist fogadjuk el. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált tényezőváltozó ( ) és az eredményváltozó (Y) között a vizsgált szignifikanciaszinten valós kapcsolat mutatkozik. Vizsgáljuk meg a példánk adataiból meghatározott regressziófüggvény paramétereinek szignifikanciáját! A szignifikanciaszintet válasszuk a szokásos 5%-nak! A legtöbb korreláció-regressziószámításra készült szoftver már közli az ellenőrzéshez szükséges részeredményeket. Az elrendezés általában a 10.5. táblázatban bemutatott módon történik.

10.5. táblázat - A regressziófüggvény paramétereinek ellenőrzéséhez szükséges részeredmények Magyarázóváltozó

A becsült paraméter értéke

standard hibája

térték

1,025

0,30229

3,39078

2,148

1,230089

1,746

A próbafüggvény kritikus értéke Ez azt jelenti, hogy a

A becsült paraméter

. Ezt a

értékkel összehasonlítva a

parciális regressziós együttható szignifikánsnak bizonyul, a

hipotézist elvetjük; a

hipotézist pedig elfogadjuk.

viszont nem.

Ez utóbbi azt jelenti, hogy a szállítási idő és a szállított tömeg között nem mutatható ki szignifikáns összefüggés. A gyakorlati felhasználás során ilyenkor meg kell kísérelnünk a változó elhagyását vagy esetleges transzformációját, vagy másik magyarázóváltozó bevonását. Az új változó ellenőrzését természetesen szintén el kell végezni. A feladat ez irányú folytatására most nem térünk ki. 233

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Vizsgáljuk meg a paramétereket

-os szignifikanciaszinten. A kritikus t érték ebben az esetben 1,90. Itt még elfogadjuk ugyan a nullhipotézist,

de lényegesen kisebb az eltérés a számított t érték és a kritikus t érték között. szignifikánsnak mutatkozik a

-nál a t kritikus értéke 1,42. Ezen a szignifikanciaszinten már

paraméter.

10.1.5. A varianciaanalízis alkalmazása a többváltozós regressziószámításban Az előző fejezetben bemutattuk kétváltozós esetben a szórásnégyzet-felbontás egy speciális alkalmazási területét. Az eredményváltozó varianciáját a regressziós modell és a hibatényező hozzájárulására bontottuk. A többváltozós regressziós modell feltételei segítségével bizonyítható, hogy többváltozós esetben is felírható az eltérés-négyzetösszegek között a következő összefüggés:

Ezt az összefüggést felhasználhatjuk további mutatószámok számítására is, de a varianciaanalízis végrehajtásával a regressziós függvény ellenőrzése is elvégezhető. A következő hipotéziseket vizsgáljuk:

A nullhipotézisben azt fogalmaztuk meg, hogy mindegyik parciális regressziós együttható értéke nulla. Tehát a regresszió tagadásából indulunk ki. Az alternatív hipotézis azt jelenti, hogy a modellben van szignifikáns paraméter. A varianciaanalízis-táblát a 10.6. táblázatban látjuk.

10.6. táblázat - A varianciaanalízis-tábla többváltozós regressziószámítás esetén A szórásnégyzet forrása Regresszió

Eltérésnégyzetösszeg

Szabadságfok

Átlagos négyzetösszeg

m

234

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Hibatényező Teljes

#

A kétváltozós regressziónál megismert összefüggéshez képest a szabadságfoknál található eltérés, mert figyelembe kell venni a tényezőváltozók számát is, ami jelen esetben m. A próbafüggvény számított értéke konkrét minta esetén:

A számláló szabadságfoka:

, a nevező szabadságfoka pedig:

.

Az F próbafüggvény lényegében azt vizsgálja, hogy az Y eredményváltozó szórásnégyzetéből szignifikánsan nagy hányadot magyaráz-e meg a regressziófüggvény. A próba végrehajtása úgy történik, hogy a számított F értéket összehasonlítjuk a választott szignifikanciaszinthez tartozó kritikus F értékkel. Ha a számított érték nem haladja meg a kritikus értéket, akkor a nullhipotézist elfogadjuk, ami azt jelenti, hogy elfogadjuk a regresszió tagadását, vagyis az adott szignifikanciaszinten nem áll fenn a lineáris regresszió. Ellenkező esetben a nullhipotézist elutasítjuk, és az alternatív hipotézist fogadjuk el. A nullhipotézis elfogadása nem jelenti szükségképpen a rossz specifikációt. Előfordulhat, hogy a változókat – vagy csak valamelyik változót – választottuk ki helytelenül, vagy a függvény típusa nem lineáris. Mindenesetre a modellalkotást ilyenkor felül kell vizsgálni. Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten a korábban meghatározott regressziófüggvényünket! Az táblázatban adjuk meg.

10.7. táblázat - A varianciaanalízis-tábla A szórásnégyzet forrása

Eltérésnégyzetösszeg

Szabadságfok

Átlagos négyzetösszeg

Regresszió

1919

2

959,5

235

kiszámításához szükséges adatokat a 10.7.

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Hibatényező

87

7

12,4

Teljes

2006

9

#

Az F-próba a következő:

A kritikus érték 5%-os szignifikanciaszinten:

A próbafüggvény számított értéke nagyobb, mint a kritikus érték. Ebből arra a következtetésre juthatunk, hogy a szállítási út hossza és a szállított tömeg együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak a szállítás menetidejével (azaz a függvény 5%-os szignifikanciaszinten elfogadható). Megjegyezzük, hogy a többváltozós modellben is kiszámíthatjuk a determinációs együtthatót. Az eltérés-négyzetösszegek hányadosaként határozható meg, és ebben az esetben többszörös determinációs együtthatónak nevezzük:

A többszörös determinációs együttható 0 és 1 között vehet fel értékeket. Továbbá kifejezi, hogy a modellben lévő magyarázóváltozók mennyiben magyarázzák meg az eredményváltozó szóródását. Példánkban:

A menetidő szóródását az út hossza és a szállított tömeg együttesen 95,7%-ban befolyásolja. (Erre a mutatószámra a 10.2. pontban még visszatérünk.)

10.2. Többváltozós korrelációszámítás A többváltozós korrelációszámítás célja a többváltozós korreláció szorosságának mérése. A regressziószámítással szemben a korreláció szorosságának vizsgálatakor minden változót valószínűségi változónak tekintünk. Vagyis kizárjuk az olyan kontrollált kísérletek eredményeként kapott magyarázóváltozókat, amelyekkel a többi befolyásoló tényező értékét rögzíteni tudjuk, és így 236

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás hatásukat a vizsgálat során ellenőrzésünk alatt tartjuk. Az eredményváltozót ennek ellenére megkülönböztetjük a tényezőváltozóktól. Ezt azonban csak amiatt tesszük, hogy jelölésrendszerünk összhangban legyen a regressziószámításnál tanultakkal. A kapcsolat szorosságának vizsgálata önmagában a megkülönböztetést nem tenné szükségessé. Kettőnél több változó esetén a korreláció szorosságáról háromféle értelemben beszélhetünk. A kapcsolat szorossága vizsgálható páronként, továbbá páronként, de a többi változó hatásának kiszűrésével. Végül pedig az eredményváltozó és az összes tényezőváltozó közötti szorosság is mérhető.

10.2.1. Páronkénti korrelációs együttható A páronkénti korrelációs együtthatóval csak két-két változó közötti kapcsolat szorosságát mérjük, a többváltozós kapcsolatot kétváltozós kapcsolatra redukáljuk és az eddig megismert lineáris korrelációs együtthatókat számítjuk. A mutatószám meghatározásakor eltekintünk a többi tényezőváltozótól, ezért kiszámítási módja megegyezik a kétváltozós kapcsolatnál megismert formulával. Ezeket az együtthatókat totális korrelációs együtthatóknak is szokták nevezni. A többváltozós lineáris modellben az R korrelációs mátrixba rendezzük a lineáris korrelációs együtthatókat. (A jelöléseket és a képleteket ebben a részben ismét csak a konkrét mintára vonatkozóan közöljük, egyszerűsítve ezzel a problémát.) A korrelációs mátrix a páronkénti korrelációs együtthatókat tartalmazza. Egy (

)-változós modell esetén a korrelációs mátrix a következő:

Vegyük észre, hogy a korrelációs mátrix szimmetrikus mátrix. A mátrix fődiagonálisában szereplő korrelációs együtthatók értéke 1. Ez a kétváltozós lineáris korrelációs együtthatók képzési módjából adódik, hiszen egy-egy változó önmagával való kapcsolatát méri. Könnyen belátható, hogy minden változó tökéletesen korrelált önmagával. A mátrix első sora és első oszlopa az eredményváltozó és az egyes tényezőváltozók közötti kapcsolat szorosságát mérő lineáris korrelációs együtthatókat tartalmazza, a mátrix többi eleme pedig a tényezőváltozók egymás közötti korrelációját méri. A korrelációs mátrix nagy segítséget nyújt a regressziós modell megalkotásához. Az elemzés kezdeti szakaszában módot ad a megfelelő tényezőváltozók kiválasztásához. Gyakran előfordul, hogy a korrelációs mátrix mellett a változók páronkénti kovariancia-mérőszámait tartalmazó, variancia-kovariancia mátrixra is szükségünk van. 237

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A mátrix általános formája a következő:

ahol

az eredményváltozó és a j-edik magyarázóváltozó;

pedig az i-edik és a j-edik magyarázóváltozó kovarianciája. A mátrix diagonális elemei pedig a regressziós modellben szereplő változók szórásnégyzetei. A korrelációs mátrix és a variancia-kovariancia mátrix között a következő összefüggés áll fenn:

A modellben szereplő S a változók szórásaiból álló diagonális mátrix:

A részletesen tárgyalt háromváltozós kapcsolat esetén # a kétváltozós esetnél leírt formula szerint # a következő lineáris korrelációs együtthatók számíthatók: a) Y és

között:

b) Y és

között: 238

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

c)

és

között:

Számítsuk ki az előző, 10.1. pontban tárgyalt példa adataiból a szállítási idő (Y), a távolság ( együtthatókat, és írjuk fel a korrelációs mátrixot!

) és a szállított tömeg (

Eredményeink azt mutatják, hogy szoros pozitív irányú kapcsolat van a menetidő (Y) és a távolság ( lazább kapcsolat mutatkozik a menetidő (Y) és a rakomány súlya (

) közötti páronkénti korrelációs

), valamint szintén pozitív irányú, valamivel

) között. A tényezőváltozók között is erős a sztochasztikus kapcsolat.

A variancia-kovariancia mátrix pedig:

239

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

Nézzünk egy másik példát! Egy ingatlanközvetítő iroda adatai alapján 1996 októberében 20 budapesti öröklakás eladási ára (millió Ft), életkora (év) és területe ( volt. (Az adatokat a 10.8. táblázatban találjuk.)

10.8. táblázat - A 20 elemű minta adatai Sorszám

Eladási ár (M Ft) y

1.

2,45

48

2

2.

4,10

55

2

3.

2,15

71

3

4.

4,20

82

0

5.

4,50

100

3

6.

6,00

85

1

7.

3,00

70

8

8.

2,76

73

9

9.

2,70

74

10

10.

2,45

66

7

11.

1,20

35

47

12.

2,10

53

18

13.

2,40

73

18

14.

1,25

39

63

Terület (

)

Életkor (év)

240

) a következő

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás 15.

2,00

67

23

16.

1,40

48

64

17.

1,70

51

31

18.

3,40

61

5

19.

1,55

53

40

20.

1,45

54

78

Ismeretesek az alábbi számítási eredmények is:

A páronkénti korrelációs együtthatók a következőképpen számíthatók:

241

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A totális korrelációs együtthatók azt mutatják, hogy az eladási ár és a terület között közepesnél szorosabb pozitív irányú kapcsolat van. Az eladási ár és az életkor között pedig szintén közepesnél szorosabb, de negatív irányú a kapcsolat. A két tényezőváltozó között közepes erősségű negatív irányú kapcsolat mutatkozik.

10.2.2. Parciális korrelációs együttható A parciális korrelációs együttható annyiban különbözik a páronkénti együtthatótól, hogy számításánál a többi változótól nem tekintünk el, de hatásukat kiküszöböljük. Az így kapott parciális korrelációs együttható azt mutatja meg, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényezőváltozó és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását mind a vizsgált tényezőváltozóból, mind az eredményváltozóból kiszűrjük. Kiszámításának # a korrelációs mátrix elemeiből történő # közvetett módját közöljük. a) Az Y és

közötti kapcsolat szorossága, ha

hatását kiszűrjük:

b) Az Y és

közötti kapcsolat szorossága, ha

hatását kiszűrjük:

c) A két tényezőváltozó közötti parciális korrelációs együttható:

Ügyeljünk a jelölésekre is! A parciális korrelációs együttható alsó indexében megjelöljük, hogy mely változók kapcsolatát vizsgáljuk, majd a pont után írjuk azt a változót, amelyiknek hatását a kapcsolat vizsgálata során kiszűrjük. (Hasonlóan, mint a parciális regressziós együtthatónál.) Az ingatlanközvetítő iroda adataiból: 242

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

A parciális korrelációs együtthatók lényegesen eltérnek a páronkénti korrelációs együtthatóktól. Az eladási ár és a lakásméret között lényegesen lazább kapcsolat mutatkozik, ha kiszűrjük mindkét változóból a lakások életkorának hatását. Hasonlóan lazább a kapcsolat az eladási ár és az életkor között is, ha megtisztítjuk az összefüggést a lakásméret hatásától. Lényegesen eltér a tényezőváltozók között kapcsolatot mérő korrelációs együttható a totális mérőszámtól, az

parciális

-től.

Korábbi példánkban:

Az parciális korrelációs együttható azt mutatja meg, hogy azonos szállított tömeg mellett a szállítási idő és a szállítási út hossza között közepesnél erősebb pozitív irányú kapcsolat van. A másik két parciális korrelációs együttható is hasonlóképpen értelmezhető. Vegyük észre, hogy a parciális korrelációs együtthatók lényegesen lazább kapcsolatot mutatnak, mint a páronkénti korrelációs együtthatók. Ez azt jelenti, hogy ha kiszűrjük két változóból a harmadik változó hatását, gyengébb kapcsolat mutatkozik közöttük. A páronkénti kapcsolatot tehát a harmadik változó hatása mindegyik esetben felerősítette. 243

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

10.2.3. Többszörös korrelációs és determinációs együttható A páronkénti korrelációs együtthatókra és a parciális korrelációs együtthatókra egyaránt az jellemző, hogy két változó között mérik a kapcsolatot. A többváltozós lineáris modellnél azonban arra a kérdésre is válaszolni kell, hogy milyen szoros a kapcsolat az eredményváltozó (Y) és a modellbe bevont tényezőváltozók ( ) összessége között. Ezt a kapcsolatot a többszörös korrelációs együttható méri. Másképpen fogalmazva azt is mondhatjuk, hogy a többszörös korrelációs együttható megmutatja, hogy milyen szorosan illeszkedik a regressziófüggvény az eredményváltozó (Y) megfigyelt értékeihez. A többszörös korrelációs együttható olyan speciális kétváltozós korrelációs együttható, amely az Y eredményváltozó és az magyarázóváltozók alapján becsült

kapcsolatának szorosságát méri. Képlete:

(Jelölés: az alsó indexben először az eredményváltozót jelöljük, majd egy pont után felsoroljuk a regressziófüggvényben szereplő magyarázóváltozókat.) A háromváltozós modellben a többszörös korrelációs együtthatót a páronkénti korrelációs együtthatók felhasználásával is kiszámíthatjuk:

A többszörös korrelációs együttható előjelét mindig pozitívnak tekintjük. A többszörös korrelációs együttható négyzetét többszörös determinációs együtthatónak nevezzük. Ezt a mutatószámot már ismerjük a 10.1.5. pontból, ahol a regresszióból származtattuk, és a varianciaanalízis segítségével definiáltuk. Ezzel a mutatószámmal azt mérjük, hogy a független változók együttesen milyen erősséggel határozzák meg az Y változó ingadozását. Másképpen fogalmazva az együttható arra ad választ, hogy a függő változó teljes szórásnégyzetéből mekkora a regressziónak tulajdonítható, tehát a tényezőváltozókkal megmagyarázható hányad. A 10.8. táblázatban megadott adatokból kiszámított többszörös korrelációs és determinációs együttható:

244

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Az eladási ár, a lakásméret és az életkor között szoros kapcsolat mutatkozik.

Az eladási ár szórásnégyzetének 64,1%-át a lakásméret és az életkor határozza meg. A 10.1. pontban tárgyalt példa eredményeiből számított többszörös korrelációs és determinációs együttható pedig:

A szállítási idő, a szállítási út és a szállított tömeg között a többszörös korrelációs együttható szoros kapcsolatot mutat. A többszörös determinációs együttható:

A szállítási idő varianciájának 95,7%-át a szállítási út hossza és a szállított tömeg nagysága magyarázza. A variancia fennmaradt hányadát (

) egyéb, a modellben nem szereplő tényezők okozzák.

10.2.4. A multikollinearitás és mérése A matematikai-statisztikai módszerek alkalmazására széles körben nyílik lehetőség a gyakorlatban. A módszerek felhasználása azonban csak akkor lehet hatékony, ha az elméletileg megalapozott, vagyis, ha fennállnak az alkalmazás feltételei. A többváltozós lineáris regressziós modellnél abból a feltételezésből indultunk ki, hogy a tényezőváltozók lineárisan függetlenek egymástól. Ennek az alapvető feltételnek az a magyarázata, hogy a legkisebb négyzetek elve alapján becsült regressziós együtthatók (

) meghatározásához szükség van az

mátrix inverzére. Mint

ismeretes, az mátrix rangja azaz megegyezik a változók számával. Amennyiben az X mátrix rangja kisebb, mint a regressziófüggvény együtthatói nem becsülhetők. Ez az eset akkor fordul elő, ha a tényezőváltozók egyike kifejezhető a többi tényezőváltozó lineáris kombinációjaként, vagyis a tényezőváltozók között függvényszerű kapcsolat áll fenn. Ezt teljes multikollinearitásnak nevezzük. Felismerése viszonylag könnyű, és a problémát valamelyik változó elhagyásával meg tudjuk oldani. A társadalmi, gazdasági jelenségek vizsgálatánál gyakoribb a tényezőváltozók közötti sztochasztikus kapcsolat. Szinte elképzelhetetlen, hogy a tényezőváltozók között ne jelentkezzen multikollinearitás. A regressziófüggvény együtthatói ekkor is meghatározhatók és értelmezhetők is, de a multikollinearitás csökkenti becsléseink értékét, bizonytalanságot okozva bennük. 245

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A vizsgálat céljától függ, hogy a becslés bizonytalansága mennyiben jelent problémát. Abban az esetben, ha az eredményváltozó nagyságának a tényezőváltozók adott színvonala melletti becslése, előrejelzése a cél, pl. egy adott termék iránti kereslet színvonalát kívánjuk megbecsülni, a modellt alkalmazhatjuk akkor is, ha jelentős multikollinearitás mutatkozik a tényezőváltozók között. Más a helyzet azonban, ha gazdasági elemzésre, a hatótényezők kimutatására szolgáló regressziós modellről van szó. Ebben az esetben a parciális regressziós együtthatók jelentik a legfontosabb információt, tehát a multikollinearitás jelenléte káros. Ebből következik, hogy a tényezőváltozók kölcsönös függőségének mértékét és hatását ellenőriznünk kell. A multikollinearitás mérésére többféle eljárás ismert. Tananyagunkban csak a következő módszert mutatjuk be. A mérés logikai menetének megértéséhez gondoljuk végig a következőket. Ha egy-egy új tényezőváltozót bekapcsolunk a vizsgálatba, akkor a többszörös determinációs együttható vagy nagyobb lesz, vagy egyáltalán nem változik a nagysága. A modellben szereplő minden változóra kiszámíthatjuk, hogy mennyivel növeli a többszörös determinációs együtthatót, ha a változót utolsóként vonjuk be. Ekkor lényegében azt vizsgáljuk, hogy az utoljára bevont változónk növeli-e az eredményváltozó varianciájának a függvény által megmagyarázott részét. Ha ezeket a változónkénti hatásokat összeadjuk, és a kapott összeg egyenlő a többszörös determinációs együtthatóval, akkor a multikollinearitást nullának tekintjük. Ebben az esetben ugyanis a többszörös determinációs együtthatót fel tudjuk bontani a változónkénti hatások összegére. A gyakorlatban ilyen eset ritkán fordul elő. Általában azzal az esettel találkozunk, hogy a többszörös determinációs együtthatónak van egy olyan hányada, amit a tényezőváltozók együttesen magyaráznak meg. A multikollinearitás mérésére ezért a többszörös determinációs együttható és a tényezőváltozók által megmagyarázott rész különbségét célszerű használni. A mérőszám három változó esetén a következő:

ahol

a magyarázóváltozók számát jelöli.

Minél nagyobb az M értéke, annál inkább számolni kell a multikollinearitásból adódó veszélyekkel. Számítsuk ki a multikollinearitás mérőszámát a példában meghatározott páronkénti korrelációs együtthatókból és a többszörös determinációs együtthatóból! (Alapadatok a 10.8. táblában.) Az M mérőszám az alábbi:

A többszörös determinációs együttható felbontását a 10.9. táblázatban adjuk meg. 246

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

10.9. táblázat - Az Változók

felbontása A változók hozzájárulása az

-hez

0,08900 0,13590 0,41605 Összesen

0,64095

Számottevő a multikollinearitás, mert a kapcsolat jelentős részét az és az külön-külön vizsgált hatása is a többszörös determinációs együtthatóra.

együttes hatása teszi ki, de emellett jelentős az

és az

változók

Vizsgáljuk meg ezek után az egész fejezeten végigvonuló, szállítási idő, távolság és szállítási tömeg közötti kapcsolatot bemutató példában a multikollinearitást.

A többszörös determinációs együttható felbontását a 10.10. táblázatban adjuk meg.

10.10. táblázat - Az Változók

felbontása A változók hozzájárulása az

-hez 0,0190 0,0715 0,8663

247

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Összesen

0,9568

Ennél a feladatnál nagymértékű multikollinearitással találkozunk. Szinte a teljes hatás a tényezőváltozók együttes hatásaként érvényesül az eredményváltozóra. Amennyiben előrejelzés a célunk, vagyis a szállítási időt kívánjuk megbecsülni a távolság és a szállított tömeg meghatározott színvonala mellett, némi fenntartással ugyan, de alkalmazható a modell. A változók közötti összefüggések részletes elemzéséhez azonban célszerű lenne vagy a szállítási távolság (

), vagy a szállított tömeg (

) helyett másik magyarázóváltozót beépíteni a modellbe.

Nézzünk még egy másik példát is a multikollinearitás vizsgálatára! 30 véletlenszerűen kiválasztott mezőgazdasági üzem 1992. évi adatai alapján megvizsgáltuk az alábbi változók kapcsolatát: Y: a kukorica termésátlaga (q/ha), a műtrágya-felhasználás (kg/ha), az öntözésre felhasznált víz mennyisége (

/ha).

A számítások során a következő részeredmények adódtak:

A parciális korrelációs együtthatók a következők:

A többszörös determinációs együttható: 248

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

A multikollinearitás mérőszáma:

Ennél a feladatnál már jóval kisebb multikollinearitás mutatkozik. Ezt vélelmezhetjük a páronkénti és a parciális korrelációs együtthatók közötti viszonylag kis mértékű eltérésből is, de a multikollinearitás mérőszáma is erről tanúskodik. Megjegyezzük, hogy a gyakorlati tapasztalatok alapján a multikollinearitást akkor szokásos káros mértékűnek tekinteni, ha létezik a korrelációs mátrixnak a tényezőváltozókra vonatkozó részében a többszörös korrelációs együtthatónál nagyobb abszolút értékű elem. Természetesen léteznek ennél jóval egzaktabb módszerek is a multikollinearitás mérésére, a probléma kezelésére. A statisztikai módszertan számos eljárást ismer multikollinearitást tartalmazó regressziós modellek paramétereinek becslésére, ilyen például a faktoranalízis.

10.3. Néhány kiegészítés a regressziószámításhoz A regressziós modellképzés elsődleges és egyben leglényegesebb feladata a modell specifikálása. A vizsgált tényezőt leginkább meghatározó változók kiválasztása és beépítése a modellbe nem könnyű feladat. Ha például a közalkalmazotti réteg átlagjövedelmét befolyásoló tényezőket kívánjuk számba venni, feltehetően fontos változó lesz a közalkalmazotti munkaviszony hossza, az életkor, az iskolai végzettség, a beosztás stb. Az utóbbiak azonban minőségi ismérvek. Kérdés, hogyan tudjuk megoldani, hogy minőségi ismérvek is szerepelhessenek a regressziós modellben.

10.3.1. Minőségi ismérvek kezelése a regressziós modellben A regressziószámítás alapvetően a mennyiségi ismérvek közötti összefüggések elemzésének eszköztára. Az eredményváltozót illetően ezt a kikötést továbbra is megtartjuk. A magyarázóváltozók között azonban gyakran találkozunk minőségi vagy területi ismérvekkel is. Ebben az esetben az ismérveket alternatív ismérvekké alakítjuk, és mesterséges változók segítségével illesztjük be a modellbe. A mesterséges változók ily módon 1 és 0 értéket tartalmazó változók. A minőségi vagy területi ismérveket eggyel kevesebb változóval tudjuk bevinni a modellbe, mint ahány változata van az ismérvnek. Alternatív ismérveknél, ha a minőségi ismérv csupán két változattal rendelkezik (pl. férfi, nő), akkor elegendő egy mesterséges változót bevezetni (pl. férfi =1, nő =0). Három változattal rendelkező ismérvnél két mesterséges változó elegendő stb. 249

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Nézzük meg általánosságban, hogyan történhet a minőségi ismérvek kezelése a regressziós modellben. Vizsgáljuk a bruttó átlagkeresetnek az életkorral, a nem szerinti hovatartozással és a beosztással való összefüggését! Képezzük ennek érdekében a következő modellt:

ahol a változók az alábbiak: Y: a havi átlagos bruttó kereset (Ft), X: életkor (év), N: Nem

, ha a megfigyelés férfira vonatkozik,

, ha a megfigyelés nőre vonatkozik, B: Beosztás

, ha a megfigyelésbe bevont dolgozó vezető,

, ha a megfigyelésbe bevont dolgozó beosztott. Ennek megfelelően a modell szerint például egy 45 éves, vezető beosztásban dolgozó férfi havi bruttó átlagkeresetének várható értéke:

míg egy ugyancsak 45 éves, vezető beosztásban dolgozó nőé:

azaz

kevesebb. Ez pedig azt jelenti, hogy

értelmezést adhatunk a B mesterséges változó

az azonos korú és beosztású férfiak és nők keresetének várható értéke közötti különbség. Hasonló parciális regressziós együtthatójának is.

Ezek alapján választ kapunk arra, hogy a keresetek színvonalában mennyiben jut kifejezésre az életkor és a beosztás, illetve, hogy azonos életkorú és beosztású férfiak és nők esetében van-e szignifikáns különbség a havi átlagkeresetek nagyságában. A mesterséges változókat tartalmazó modell paramétereinek becslése ugyanúgy a legkisebb négyzetek módszerének segítségével történik, mint ahogy azt a korábbiakban láttuk. 250

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Nézzük a következő példát! Az egyik budapesti kerületi önkormányzat felmérést végeztetett 50 eladásra meghirdetett zöldövezeti családi házra. A vizsgálat során a következő változókat figyelték meg:

Lineáris regressziós modell segítségével közelítve az Y változó alakulását, a következő regressziófüggvényhez jutottak:

A paraméterek meghatározása a legkisebb négyzetek elve alapján történt. Az ellenőrzés során a paraméterek szignifikánsnak bizonyultak. Értelmezésük a következő: A

paramétert nem értelmezzük. : Az egy évvel idősebb lakások kínálati ára # azonos telefonellátottságot, csatornázottságot és garázzsal való ellátottságot feltételezve # átlagosan

1000 Ft/

-rel alacsonyabb.

: A telefonos lakások kínálati ára # a velük azonos életkorú, azonos csatornázottságú és garázsellátottságú lakásokénál # átlagosan 950 Ft/ rel magasabb. : A csatornázott lakások ára átlagosan 520 Ft/

-rel magasabb az azonos életkorú, azonos telefon- és garázsellátottságú lakásokhoz képest. 251

-

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

: A garázzsal rendelkező # a többi vizsgált tényező szempontjából egyforma típusú # lakások kínálati ára átlagosan 1200 Ft-tal magasabb négyzetméterenként. A regressziós együtthatók értelmezésekor hasonlóan járunk el, mint azt a standardizálás során tettük. Itt is egy-egy tényező hatásának elkülönítéséről van szó, a többi tényező változatlansága mellett. Nem hagyható azonban figyelmen kívül, hogy az eredményhez alapvetően más módszerrel jutottunk. A regressziószámítás általánosabb, mint a standardizálás módszere, mivel elméletileg tetszőleges számú minőségi és mennyiségi ismérv hatásának szétválasztására alkalmas. A regressziószámítás további előnye még, hogy az eredmények a megismert hipotézisvizsgálati módszerekkel ellenőrizhetők. A számítógépes programcsomagok alkalmazásánál azonban ügyelni kell arra, hogy a számítógép nem tesz különbséget a „természetes” és a „mesterséges” változók között. Ilyen esetekben a korrelációs mátrix elemei egészen különböző (asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció) kapcsolat szorosságát mérik azonos formulával, a páronkénti korrelációs együtthatókkal.

10.3.2. A tényezőváltozók kiválasztása A regressziós modell specifikálásánál az első és egyben legnehezebb feladat az eredményváltozót befolyásoló magyarázóváltozók kiválasztása. Ehhez általában javasolható az adott terület szakértőinek tanácsát is kikérni. Minden szóba jöhető változót általában nem lehetséges és rendszerint nem is szükséges beépíteni a modellbe. Az „optimális” regressziófüggvény meghatározásához két fő szempontot szokás mérlegelni: 1. Úgy kell kialakítani a regressziófüggvényt, hogy becslési célokra alkalmas legyen. 2. A legkevesebb tényezőváltozót tartalmazza a vizsgált sztochasztikus kapcsolat leírására. A felsorolt követelmények egyidejű betartása azonban nem lehetséges. A gyakorlatban bizonyos kompromisszumra van szükség. Több módszer ismeretes az „optimális modellek” szerkesztésére. A végső döntésnél azonban mindig támaszkodni kell a vizsgált területre vonatkozó szakmai ismeretekre. A tényezőváltozók kiválasztásának módszertanával részletesen nem foglalkozunk. Megemlítjük, hogy az optimális regressziófüggvény specifikálásának legegyszerűbb, de rendkívül munkaigényes módszere az összes lehetséges regressziófüggvény kiszámítása és összehasonlítása a tényezőváltozók adott halmazából. Ilyenkor az összehasonlításnál általában a többszörös determinációs együtthatóra támaszkodunk. Ez a mutató ugyanis (mint azt már ismertettük) azt fejezi ki, hogy az adott modellben szereplő tényezőváltozók együttesen milyen arányban magyarázzák meg az eredményváltozó szóródását. Nem elegendő azonban csak a többszörös determinációs együtthatóra figyelni. A túlságosan bonyolult, sokváltozós modell áttekinthetetlen. Ezért azok közül a modellek közül, amelyeknek közel azonos a többszörös determinációs együtthatója ( ), a kevesebb változót tartalmazó regressziós függvényt választjuk. Ezzel kettős célt érünk el. Egyrészt egyszerűsítjük a modellt, másrészt csökkentjük a multikollinearitás veszélyét. 252

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

10.4. Gyakorlófeladatok 1. Egy 10 elemű véletlen minta alapján azt vizsgáljuk, hogy milyen összefüggés van valamely tantárgy zárthelyieredménye (Y), a felkészülési idő (

) és a hallgató intelligenciahányadosa (

) között. A 10 hallgató adatai az alábbiak:

A dolgozat eredménye (%)

Felkészülési idő (óra)

IQ

33

2

99

44

5

99

54

5

116

56

8

98

65

8

114

70

10

109

72

13

94

79

11

118

85

15

100

94

18

97

Feladat: a) Írjuk fel a transzformált normálegyenleteket (

), és számítsuk ki a regressziófüggvény paramétereit!

b) Értelmezzük a kapott eredményeket! c) Számítsuk ki és értelmezzük a két-két változó közötti kapcsolat szorosságát! d) Számítsuk ki és értelmezzük a többszörös determinációs együtthatót! e) Vizsgáljuk meg a parciális rugalmasságokat az

és

helyen! 253

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás 2. A Közlekedéstudományi Intézet megvizsgálta a munkába járással kapcsolatos utazások (ingázások) alakulását. A regressziós modell változói a következők voltak: Y: ingázók száma (ezer fő), aktív keresők száma (ezer fő), városi lakónépesség aránya (%). A kapott részeredmények a következők: A regressziós függvény: A paraméterek standard hibái sorrendben:

A korrelációs mátrix: Feladat: a) Értelmezzük a kapott eredményeket! b) Számítsuk ki a többszörös korrelációs és determinációs együtthatót! c) Határozzuk meg és értelmezzük az

-t!

d) Teszteljük 5%-os szignifikanciaszinten a

és

regressziós együtthatókat!

3. A vállalati eredmény (Y) alakulását 20 elemű minta alapján regresszióelemzéssel vizsgáltuk. Független változó a nettó árbevétel ( (

) volt.

Eredmények: Változó

A paraméter értéke

A paraméter standard hibája 254

) és a létszám

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás X1

0,025

0,005

X2

0,019

0,004

Ismeretes továbbá, hogy a regresszióból származó összes eltérés-négyzetösszeg 36 900, a maradék-négyzetösszeg pedig 9300. Feladat: a) Készítsünk 95%-os megbízhatósági szinten konfidenciaintervallumot a regressziós együtthatókra! b) Állítsuk össze a varianciaanalízis-táblát és teszteljük a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! 4. 40 véletlenszerűen kiválasztott személygépkocsi üzemeltetési költségét (ezer Ft/év), Y; életkorát (év), év),

vizsgáltuk.

A regressziófüggvény: A paraméterek standard hibái sorrendben: Az eltérés-négyzetösszegek:

.

Feladat: a) Értelmezzük a paramétereket! b) Teszteljük a c) Készítsük el a

nullhipotézist 5%-os szignifikanciaszinten! paraméter 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumát!

d) Becsüljük meg egy 15 ezer km-t futott 6 éves gépkocsi éves üzemeltetési költségét! 5. 50 véletlenszerűen kiválasztott nőnél a következő változókat figyeltük meg: Testsúly (kg): Y, Testmagasság (cm): X1 , 255

és kilométerteljesítményét (ezer km/

Többváltozós korreláció- és regressziószámítás Életkor (év): X2 . Az alábbi számítási részeredmények ismertek:

Feladat: Ellenőrizzük a varianciaanalízis módszerével, hogy szignifikáns-e a felsorolt változók közötti összefüggés! (Szignifikanciaszint 5%.) 6. Mezőgazdasági szövetkezetnél a kukorica termésátlagát befolyásoló tényezőket vizsgálták. A megfigyelt szövetkezetek száma 30 volt. A két legfontosabb hatótényezőnek a műtrágya-felhasználás (hatóanyag q/ha), tényező összefüggését vizsgálva az alábbi részeredmények ismertek: A regressziófüggvény:

és a felhasznált öntözővíz mennyisége (

/ha),

.

A paraméterek standard hibái sorrendben: 0,446; 0,174 és 0,00039. A regressziófüggvény értékeinek ( ) és a termésátlag megfigyelt értékeinek (y) összes eltérés-négyzetösszege: 118,44. A maradék-négyzetösszeg:10,11.

A korrelációmátrix:

.

Feladat: Elemezzük a korreláció- és regressziószámítás eredményeit!

256

bizonyult. E három

11. fejezet - Az idősorok összetevőinek vizsgálata Tankönyvünk első kötetében már találkoztunk az időbeli ismérv szerinti elemzés egyszerűbb eseteivel. Megismerkedtünk az idősorok főbb típusaival és azok grafikus megjelenítésével. Bemutattuk továbbá azokat az egyszerűbb mutatószámokat, amelyekkel a jelenségekben, folyamatokban bekövetkezett változások vizsgálhatók. A felsorolt módszerek alkalmazása lehetőséget nyújt a vizsgált jelenség múltbeli fejlődésének megállapítására. Gyakorlati tapasztalatok, szakmai ismeretek birtokában # bár erősen korlátozott mértékben # módunk van a törvényszerűségek feltárására és a jelenség jövőbeni alakulásának az előrejelzésére is. Az előző fejezetekben ismertettük azokat a matematikai-statisztikai elemzési eszközöket, amelyeket felhasználva az idősorok mélyebb, megbízhatóbb elemzését is elvégezhetjük. Statisztikai elemzés szempontjából az idősor úgy is felfogható, mint az egyes időpontokhoz (időszakokhoz) rendelt valószínűségi változók összessége. Lényeges sajátossága, hogy minden olyan időponthoz (időszakhoz), amelyben megfigyelést végzünk, a valószínűségi változó különböző (rendszerint végtelen sok) lehetséges értéke tartozik, de ezek közül természetesen csak egy realizálódik. A jelenségek fejlődése, alakulása, és így az azoknak megfelelő idősor számos tényező együttes hatásának az eredménye. Az egy-egy jelenség változását befolyásoló sok-sok tényezőről mélyebb, részletesebb információnk általában nincs. E változások hatását is csak közvetve, az időtényezőn keresztül érzékeljük. Az időtényező ily módon gyűjtője a jelenséget befolyásoló tényezők sokaságának. Ebből következően az idősorokat speciális sztochasztikus kapcsolatnak tekintjük, ahol a magyarázóváltozó szerepét formailag az időtényező tölti be. Az idősorelemzésnek két fő megközelítési módja ismert, a determinisztikus és a sztochasztikus idősorelemzés. A determinisztikus idősorelemzés abból a feltevésből indul ki, hogy az idősort tartósan érvényesülő hosszú távú tendencia (trend), tartósan ható szabályos, jól modellezhető hullámmozgás (szezonalitás) határozza meg, és ezektől eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez a véletlen. A sztochasztikus idősorelemzés kiindulópontja pedig az, hogy minden idősor sztochasztikus folyamat, amelynek pillanatnyi alakulását saját korábbi állapotából és a véletlen hatásokból lehet magyarázni. E felfogás szerint a véletlen változó beépül a folyamatba, annak aktív alkotóeleme lesz, és a jelenség fő mozgatójává válik. Tananyagunkban csak a determinisztikus idősorelemzéssel foglalkozunk.

11.1. Az idősorok összetevői A statisztikai elemzés szempontjából az idősornak három összetevője van: az alapirányzat vagy trend, a periodikus ingadozás és a véletlen ingadozás. Az idősorok legfontosabb összetevője az alapirányzat vagy trend. 257

Az idősorok összetevőinek vizsgálata A trend az idősorban hosszabb időszakon át tartósan érvényesülő tendencia. Az alapirányzat maga is több tényező együttes hatásának a következménye, alapvetően társadalmi-gazdasági törvényszerűségek határozzák meg. A gazdasági jelenségek fejlődési tendenciájának kialakulásában lényeges szerepe van a demográfiai változásoknak, a műszaki fejlődésnek és a vizsgált jelenséggel összefüggő egyéb speciális körülményeknek. A jelenség trendje addig érvényes, amíg a magyarázó törvényszerűségek stabilak, azokban lényeges változások nem következnek be. Ha a társadalmi-gazdasági környezetben minőségi változások következnek be, a régi fejlődési tendenciákat új tendenciák váltják fel. A periodikus ingadozás az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelenti. Két típusát különböztetjük meg, a szezonális vagy idényszerű hullámzást és a konjunkturális ingadozást. A szezonális vagy idényszerű hullámzás periodikus ingadozás, azaz a trendtől való abszolút vagy relatív mértékű eltérés periodicitást mutat. A szezonalitás legtöbbször az évszakok változásának következménye, általában olyan idősorokban érvényesül, amelyeknél a megfigyelések időközei egy évnél jóval rövidebbek. (Pl. a kereskedelmi áruforgalom, az építőipari termelés.) A természeti tényezők mellett társadalmi szokások, hagyományok is szerepet játszanak a szezonalitás kialakulásában. (Pl. az ünnepek is hatással vannak a kereskedelmi forgalomra.) Előfordulhat, hogy a periódus hossza egy évnél rövidebb. Példaként említhető a tömegközlekedés, ahol egy éven, egy hónapon, sőt egy napon belüli ingadozás is kimutatható. Ebben az esetben többszörös szezonalitást mutató idősorról beszélünk. Vannak olyan idősorok, ahol az ingadozások periódusának hosszúsága nem állandó. Ezek egy részének természeti okai vannak. Kimutathatók bizonyos meteorológiai ciklusok, amelyek elsősorban a mezőgazdasági termelést befolyásolják. Jellemzőek az ún. gazdasági (konjunktúra-) ciklusok. A gazdasági ciklus a konjunktúra, a recesszió, az üzleti pangás és a megújulás időszakait foglalja magába. A továbbiakban a megfigyelt adatnak a trendből, illetve a periodikus ingadozásból származó részét determinisztikusnak tételezzük fel. Az idősorokban lehetnek még véletlenszerű, szabálytalan ingadozások is. Ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük. A véletlen ingadozás sok (önmagában nem jelentős) tényező együttes hatása az idősorra. A véletlen hatás eredménye, hogy az idősorok adatai a trendből, illetve a periodikus komponensből adódó görbe körül sztochasztikusan ingadoznak. Az idősorokban bizonyos körülmények hatására egyszeri kiugró értékek is előfordulhatnak, melyek nagyságuknál és egyes esetekben utóhatásuknál fogva nem tekinthetők véletlen ingadozásnak. (Pl. háborúk, súlyos természeti csapások hatása.) E kiugró értékeket, melyeket strukturális töréseknek nevezünk, el kell különítenünk a fentebb felsorolt komponensektől. Hogy torzító hatásuk ne jusson kifejezésre az egyes összetevők meghatározásánál, a strukturális töréseket és az utóhatásukat jellemző adatokat célszerű kihagyni az elemzéseknél. Az egyes tényezők szerepét az idősor kialakításában a 11.1. ábra sémáival szemléltetjük.

258

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11,1. ábra - Az idősorok komponensei

Egy-egy jelenség idősora nem tartalmazza feltétlenül mindhárom összetevőt. Ha például egy jelenséget csak évenként figyelünk meg, akkor az idősorban nem tapasztalunk idényszerű hullámzást, az esetleges ingadozások az éves periódusban kiegyenlítődnek. Előfordulhat az is, hogy egy jelenség értékeit havonként rögzítjük, és a megfigyelt adatok kis eltérésekkel egy állandó érték körül ingadoznak. Ez esetben nem beszélhetünk alapirányzatról, az ilyen idősorokat stacionárius idősoroknak nevezzük. Az idősorok elemzésének alapvető feladata a komponensek elkülönítése. A tényezőkre bontás többféle elméleti feltevés alapján történhet. Az egyes komponensek között additív (összegszerű), multiplikatív (szorzatszerű), vagy ezeknél bonyolultabb kapcsolat lehetséges. Mi a továbbiakban csak az additív, illetve a multiplikatív összefüggést feltételezve vizsgáljuk az idősorok összetevőit.

11.1.1. Additív és multiplikatív komponensek Szemléltető ábránkon (11.1. ábra) feltételeztük, hogy a komponensek összeadódnak, és a komponensek összege adja az idősort. A gyakorlatban az elemzés fordítva történik, az idősor adataiból kell elkülöníteni az egyes összetevőket, az idősort kell komponenseire bontani. Abban az esetben, ha azt feltételezhetjük, hogy az idősor adatai a komponensek összegeként adódnak, additív kapcsolatról beszélünk. Ha megfigyelésünk p számú periódusra (pl. évre) és egy perióduson belül m időszakra (szezonra) vonatkozik, akkor az i-edik időszak megfigyelt adata

ahol

a periódus sorszámát (pl. évet) jelöli, 259

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

a perióduson belüli időszak sorszámát (pl. negyedévet, hónapot) jelöli, az i-edik periódus j-edik időszakának megfigyelt adata, a szezonális ingadozást (bármely i-edik periódus j-edik szakaszában) fejezi ki, a véletlen hatás értéke az i-edik periódus j-edik szakaszában. Egyetlen indexet használva (

):

A szezonális eltérés a periódusok különböző szakaszaiban különböző mértékű és irányú lehet. Az egyes periódusokban a különböző irányú, pozitív, negatív eltérések kiegyenlítik egymást. (Ha a kiegyenlítés nem következnék be, akkor a különbözetet a trendbe kellene beépítenünk.) Tehát egy m szakaszból álló periódus esetén:

A

véletlen komponens # mint már említettük # valószínűségi változó. Additív kapcsolat esetén feltételezzük, hogy várható értéke

Vannak olyan jelenségek, amelyeknél azzal a feltételezéssel élünk, hogy az idősor adatait a komponensek szorzata alkotja, az összetevők kapcsolata multiplikatív:

ahol

a multiplikatív módon ható szezonális ingadozás, 260

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

a multiplikatív módon ható véletlen hatás. Az alapirányzat szerinti értéket nem befolyásolja a komponensek kapcsolódási módja. A periodikus ingadozás és a véletlen hullámzás viszont lényegesen eltérő módon viselkedik additív és multiplikatív kapcsolat esetén. Ebben az esetben a szezonális (és a véletlen) komponens relatív módon fejti ki hatását. Az idősor értékét meghatározott arányban téríti el a trendtől. Az

összefüggést pozitív tényezők esetén logaritmizálva

a összefüggést kapjuk. Az additív kapcsolatnál elmondott feltételezések ebben az esetben a logaritmusokra vonatkoznak és megegyeznek azokkal. Így

Ebből következik, hogy

A gyakorlatban a vizsgált jelenségre vonatkozó ismeretek, valamint az adott idősor grafikus ábrájának áttekintése alapján dönthetjük el, hogy milyen az idősorban a komponensek kapcsolódási módja. Ha a szezonális hullámzás abszolút nagysága mutat állandóságot, additív, ha a relatív nagysága, akkor multiplikatív modellel állunk szemben.

11.2. Trendszámítás A trendszámítás feladata az idősor fő komponensének, az alapirányzatnak a kimutatása. Az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus ingadozás és a véletlen ingadozás hatását kiküszöböljük. Az idősorok kiegyenlítése többféle módszerrel történhet, közülük a mozgóátlagolás és az analitikus trendszámítás módszerét ismertetjük. Megemlítjük az alapirányzat meghatározásának előzetes, gyors információszerzésre alkalmazott módszerét, a grafikus becslést. Az idősor vonaldiagramjába # számítás nélkül # becslésszerűen egy kiegyenlítő vonalat rajzolunk, és a vonal értékeit kezeljük alapirányzati értékekként. A módszer önkényes, nem tekintjük megbízható eljárásnak (kivéve az egyszerű eseteket), csak előzetes tájékozódásra alkalmazható.

11.2.1. Trendszámítás mozgóátlagolással Ha a komponenseket illetően additivitást tételezünk fel, akkor a 261

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

feltételezésből és a periodicitásból az következik, hogy bármely

esetén:

Míg multiplikatív kapcsolat esetén:

Foglalkozzunk csupán az additív esettel. (A multiplikatív eset hasonlóan tárgyalható.) Ha a mozgóátlag k tagszáma az m-mel vagy annak egész számú többszörösével egyenlő, akkor a felírt összefüggések miatt várható, hogy az átlagban a szezonális és a véletlen komponens már nem szerepel. A számítás menete a következő. Az

fajú adatsorozat 1, 2, ..., k; 2, 3, ...,

;

indexű elemeinek kiszámítjuk a számtani átlagát

1

(multiplikatív esetben a geometriai átlagát) , és ezt az átlagot páratlan k esetén a részsorozat középső elemének tekintjük ( Ezt mutatja a 11.1. táblázat

esetén.

11.1. táblázat - Háromtagú mozgóátlagok számítása ( Időszak (időpont)

Idősor adata

)

Mozgóösszeg

Mozgóátlag

#

#

t 1 2 1

Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban # a komponensek kapcsolódási módjától függetlenül # a mozgóátlagokat számtani átlaggal számítjuk az itt ismertetett módon.

262

-edik elem).

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 3

#

n

Itt

az

#

valószínűségi változó adott megfigyelésből (mintából) származó értéke,

pedig az

becslése.

Ha k páros, akkor az nem egész, hanem pl. esetén 2,5; 3,5; 4,5; ...; n – 1,5. Ezért az így kapott átlagokból kéttagú mozgóátlagok képzésével kapjuk az egész indexű elemeket. Ez utóbbi műveletet középre igazításnak vagy centrírozásnak nevezzük. Az eljárást a 11.2. táblázat szemlélteti.

11.2. táblázat - Négytagú mozgóátlagok számítása ( Időszak Idősor (időpont) adata

Mozgóösszeg

Mozgóátlag

)

Centrírozás (

t #

1 2

#

# #

3 4

#

263

)

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

–

#

n

–

A bemutatott sémákból jól látható, hogy a kiegyenlített idősor rövidebb, mint az eredeti idősor. Páratlan tagszám esetén taggal, páros tagszám esetén k taggal kevesebb trendértéket tudunk meghatározni. Célunk, hogy a megrövidült kiegyenlített idősor alkalmas legyen az elemzésre, következtetések levonására, az idősor rövidülése ne okozzon túlzott mértékű információveszteséget. A mozgóátlag tagszámának megválasztása függ az idősor hosszúságától. Viszonylag rövid idősorból nem célszerű nagy tagszámú mozgóátlagot számolni. Ha az idősor nem tartalmaz szezonális ingadozást, célszerű páratlan tagszámot választani az alapirányzat feltárásához. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a szezonális hullámzást mutató idősorok esetén a mozgóátlag tagszámát úgy kell megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok) számával azonos (

), vagy annak egész számú többszöröse legyen.

Ha egy jelenség értékeit pl. negyedéves bontásban ismerjük, a szezonhatás kiküszöbölése érdekében 4 vagy 8, esetleg 12 tagú mozgóátlagot célszerű számítani attól függően, hogy mennyire hosszú idősor áll rendelkezésre. A véletlen hatás kiküszöbölése annál hatékonyabb, minél nagyobb tagszámú az átlag, ugyanis annál jobban eltűnnek az egyedi átlagolandó értékekben jelen lévő véletlen ingadozások, hiszen az átlag nagy valószínűséggel a várható értékkel, nullával lesz egyenlő. Az elmondottakból látható, hogy viszonylag rövid, szezonalitást mutató idősor esetén a mozgóátlag tagszáma nem növelhető, amelynek következtében a véletlen komponens értéke nem szűrődik ki teljes egészében az idősorból, de hatása tompított lesz. A mozgóátlagolású trendszámítás előnye a módszer egyszerűségében, széles körű alkalmazhatóságában rejlik. Nem igényel előzetes feltételezéseket a trend alakjára vonatkozóan. Hátránya, hogy a kiegyenlített idősor megrövidül, továbbá, hogy a módszer közvetlenül nem eredményez analitikusan ismert trendfüggvényt. Tekintsük a módszer bemutatására a következő példát. (Adatok a 11.3. táblázatban.)

11.3. táblázat - A háztartások számára értékesített gázmennyiség Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban Adatok: millió m Év

I.

II.

III.

IV.

negyedév

1990

3,5

3,1

2,4

13,9

1991

6,7

6,4

5,1

17,2 264

3

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1992

7,4

7,2

5,2

18,0

1993

8,2

8,1

7,2

18,5

1994

9,3

8,0

7,2

11,7

Mivel éves periodicitásról és negyedéves szezonalitásról van szó, k csupán 4 vagy annak egész számú többszöröse lehet. Az adatsor mérete miatt válasszuk a k-t 4-nek. A számításokat a 11.4. táblázat tartalmazza.

11.4. táblázat - A mozgóátlagolású trendszámítás munkatáblája ( 3

Adatok: millió m Negyed-

Értékesített

év

mennyiség

Év

Négytagú mozgóösszeg

átlag

Centrírozott átlag

1990 I.

3,5

12,9

3,225

#

1991 II.

3,1

16,1

4,025

#

1992 III.

2,4

19,4

4,850

3,6

1993 IV.

3,9

22,1

5,525

4,4

1994 I.

6,7

25,4

6,350

5,2

II.

6,4

26,1

6,525

5,9

III.

5,1

26,9

6,725

6,4

IV.

7,2

27,0

6,750

6,6

I.

7,4

27,8

6,950

6,7

II.

7,2

28,6

7,150

6,8

III.

5,2

29,5

7,375

7,0

IV.

8,0

31,5

7,875

7,3 265

)

Az idősorok összetevőinek vizsgálata I.

8,2

II.

8,1

III.

7,2

IV.

8,5

I.

9,3

II.

8,0

III.

7,2

IV.

11,7

7,6 32,0

8,000

33,1

8,275

33,0

8,250

33,0

8,250

36,2

9,050

7,9 8,1 8,3 8,2 8,7 # #

A jelenség megfigyelt értékeit és a mozgóátlagolással számított trendértékeket ábrázoltuk a 11.2. ábrán.

266

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11,2. ábra - A háztartások gázfelhasználásának alakulása Nógrád megyében 1990 és 1994 között

11.2.2. Analitikus trendszámítás Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, analitikus trendszámításról beszélünk. Az analitikus trendszámítás tehát a regressziószámítás egy speciális esete, amennyiben az idősorban bekövetkezett változásokat az időtényező (t) függvényében vizsgáljuk tapasztalati adatok, a valószínűségi változók minden egyes időpontban egyetlen, realizálódott értéke alapján. A vizsgálatba bevont időtáv nagyon ritkán bővíthető, nem képzelhető el a mintavétel megismétlése. Jelölje az elméleti idősort, az eddigieknek megfelelően idősor értékeinek analitikus függvény segítségével történő becslése.

267

pedig a tapasztalati idősort. Az

az elméleti

Az idősorok összetevőinek vizsgálata Első lépésként arról kell döntenünk, hogy milyen típusú függvénnyel becsüljük az alapirányzat értékeit. A jelenség fejlődési tendenciáját legjobban le#ró függvényre az idősor adatai, annak grafikus ábrája alapján következtetünk. Szakmai ismeretek, a jelenség természetének ismeretében feltételezéssel élünk a fejlődés irányvonalára vonatkozóan. Az alkalmazható függvényekkel már foglalkoztunk a regressziószámítás témakörénél. Trendszámítás során a leggyakrabban alkalmazott függvénytípusok: lineáris trendfüggvény, exponenciális trendfüggvény, parabolikus trendfüggvény. Amennyiben eldöntöttük az alkalmazandó függvény típusát, feladatunk a függvény paramétereinek meghatározása. A függvény paraméterei meghatározásának leggyakrabban alkalmazott módszere a már jól ismert legkisebb négyzetek módszere. Lineáris trend Ha olyan jelenség időbeni változását vizsgáljuk, amelynél azt tapasztaljuk, hogy az időegységenként bekövetkezett változás, növekedés vagy csökkenés abszolút értelemben közel állandó, a változás egyenletes, az alapirányzat értékeit lineáris trenddel határozzuk meg. Foglalkozzunk először azzal az esettel, amikor nincs szezonális hatás, vagy ami ugyanaz, a szezonális hatást a trend részének tekintjük. Az idősor tényleges trendfüggvénye:

ahol a Ha a

és a

a lineáris trendfüggvény ismeretlen paraméterei. időpontban mintát veszünk, akkor ez valószínűségi változó lesz:

ugyanis tartalmaz egy véletlen változót. A véletlen változóról feltételezzük, hogy a időpontok véletlen változói egymástól függetlenek, így

, 268

. Ekkor

időpontban 0 a várható értéke (

), és a különböző

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A

időpontokban mért

lineáris trendfüggvényt. Itt a

adatokból a legkisebb négyzetek módszerével meghatározhatjuk az

a

a

pedig a

értékének egy becslése.

A normálegyenletek # mint azt a 9. fejezetben láttuk # a következők:

A normálegyenleteket itt is egyszerűsíthetjük egy lineáris transzformációval. Az időegységeket kódolhatjuk úgy is, hogy a t értékek összege 0 legyen, azaz

.

Ezt az eljárást csak akkor használhatjuk, ha az idősor egymást követő azonos hosszúságú időszakokra vagy egymástól egyenlő távolságra lévő időpontokra vonatkozik. A kódolást úgy végezzük, hogy megkeressük a vizsgálatba bevont időtáv középső időegységét, és hozzárendeljük a értéket. Időben előre (a jelen felé) pozitív egész sorszámokat, visszafelé pedig negatív egész sorszámokat írunk. Amennyiben páros számú a vizsgálatba bevont időegységek száma, nincs konkrét középső időegység. Úgy járunk el, hogy két időszakot (időpontot) tekintünk középsőnek, a jelentől távolabbit

-gyel a jelenhez közelebbit

-gyel jelöljük. Mivel így két szomszédos időszak kódjának

különbsége nem egységnyi, hanem ( ), a többi időszak távolságát is 2 egységnek vesszük. A jelen felé pozitív páratlan sorszámokat írunk, a múlt felé pedig negatív páratlan számokat rendelünk az egyes időszakokhoz a t értékeként. Ha egy jelenség értékeit pl. 1989 és 1994 között éves bontásban ismerjük, akkor az időszakok kódolása az alábbi lehet: 1. Év:

1989

1990

1991

1992

1993

1994

t:

1

2

3

4

5

6 269

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

2. Év:

1989

1990

1991

1992

1993

1994

t:

#5

#3

#1

1

3

5

Ez utóbbi transzformációnak az az előnye, hogy a normálegyenletek módosulnak, egyszerűsödnek:

A paraméterek közvetlenül adódnak:

A paraméterek értelmezése A paraméterek értékét befolyásolja az időpontok kódolási módja, amelyet azok értelmezésénél figyelembe kell vennünk. A Ha

paraméter az alapirányzat értéke a

jelölt időpontban.

, akkor a vizsgálatba bevont időpontot megelőző időpont trend szerinti értéke.

Ha

és páratlan az időpontok száma: a középső időpont alapirányzata, és egyben a vizsgált idősor adatainak számtani átlaga.

Ha

és páros az időpontok száma, nincs 0-val jelölt időpont, a

paraméter az idősor adatainak számtani átlaga.

A paraméter az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke, előjelétől függően növekedést vagy csökkenést jelez a vizsgálatba bevont időtartam alatt. Ha

és az időpontok száma páros, akkor

trendfüggvény

az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke. Jelentését tekintve a lineáris

paramétere megegyezik az időbeli változás átlagos mértékével, azaz a 270

mutatószámmal. (Lásd I. kötet 2.2.4. pont.)

Az idősorok összetevőinek vizsgálata A lineáris trend számítását a következő példával szemléltetjük. Mint ismeretes, a népesség növekedését (csökkenését) alapvetően a születések és a halálozások számának viszonya befolyásolja. A halálozások és a születések különbsége az ún. természetes fogyás. Nógrád megyében 1983 és 1993 között ez a jelenség a következőképpen alakult (11.5. táblázat):

11.5. táblázat - A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád megyében Év

Természetes fogyás (fő)

1983

332

1984

273

1985

510

1986

505

1987

478

1988

367

1989

700

1990

584

1991

498

1992

828

1993

1100

Összesen

6175

Először a

számítási módot mutatjuk be. A paraméterek meghatározásához szükséges számításokat a 11.6. táblázat tartalmazza.

11.6. táblázat - Munkatábla a paraméterek meghatározásához Év

t

1983

11

1332

332

1

1984

12

1273

546

4 271

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1985

13

1510

1530

9

1986

14

1505

2020

16

1987

15

1478

2390

25

1988

16

1367

2202

36

1989

17

1700

4900

49

1990

18

1584

4672

64

1991

19

1498

4482

81

1992

10

1828

8280

100

1993

11

1100

12 100

121

Összesen

66

6175

43 454

506

Normálegyenletek:

Az egyenletrendszer megoldásával kapott paraméterek:

A természetes fogyás alapirányzatát leíró lineáris trend:

1982-ben az alapirányzat szerinti természetes fogyás 212 fő volt. 1983 és 1993 között Nógrád megye népessége évente átlagosan 58 fővel csökkent a természetes fogyás növekedése következtében. A

módszer alkalmazásához a következő számítások elvégzése szükséges. (Adatok a 11.7. táblázatban.) 272

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11.7. táblázat - Munkatábla a paraméterek meghatározásához Év

t

1983

#5

332

#1660

25

1984

#4

273

#1092

16

1985

#3

510

#1530

9

1986

#2

505

#1010

4

1987

#1

478

#478

1

1988

0

367

0

0

1989

1

700

700

1

1990

2

584

1168

4

1991

3

498

1494

9

1992

4

828

3312

16

1993

5

1100

5500

25

Összesen

0

6175

6404

110

A

paraméter értéke:

A

paraméter értéke:

A lineáris trend egyenlete: A kétféle módszerrel kapott trendfüggvényt összehasonlítva látható, hogy csak a (ahol a függvény a

paraméter értéke különbözik. Ennek magyarázata, hogy a

értékét felveszi) más-más időszakhoz tartozik. Ez utóbbi megoldásnál a 273

értékét az idősor átlagos értékeként is értelmezzük.

Az idősorok összetevőinek vizsgálata Számítsuk ki ezek után a trendértékeket! Ha bármelyik trendfüggvénybe behelyettesítjük a megfelelő t értékeket, megkapjuk az idősor alapirányzatának becsült értékeit, az

-ket (Adatok a 11. 8. táblázatban.)

11.8. táblázat - A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg kiszámítása A természetes fogyás (fő) Év

tényleges

trend szerinti

létszám

létszám

1983

332

270

62

3 844

1984

273

328

#55

3 025

1985

510

387

123

15 129

1986

505

445

60

3600

1987

478

503

#25

625

1988

367

561

#194

37 636

1989

700

620

80

6 400

1990

584

678

#94

8 836

1991

498

736

#238

56 644

1992

828

794

34

1 156

1993

1100

853

247

61 009

Összesen

6175

6175

0

197 904

Megfigyelhetjük, hogy a trendfüggvénnyel kapott létszámadatok összege megegyezik a tényleges létszámadatok összegével, 6175 fővel. Általánosítva is igaz, hogy

. Ezt könnyen igazolhatjuk, ugyanis

normálegyenlet jobb oldalán álló kifejezés (lásd 11.2.2. pont). E normálegyenlet bal oldalán pedig 274

, ami nem más, mint az első szerepel.

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

Így, ha létezik is szezonalitás, abban az esetben, ha a vizsgált időtartam a szezonalitás periódusidejének egész számú többszöröse, szezonalitástól független. A szezonalitás az

(

és

a

) különbségekben azonban már jelentkezik.

A táblázat utolsó oszlopában szereplő 197 904 nem más, mint a legkisebb négyzetek módszere szerint minimalizált négyzetösszeg. Példánkban tehát

. Erről a függvényről természetesen csak azt állítjuk, hogy a legjobb a lineáris függvények közül, lehetséges, hogy más

típusú trendfüggvény jobban illeszkedik. Használjuk a továbbiakban is az eddig alkalmazott jelöléseket:

(Ha nincs szezonhatás, akkor ez

a mintabeli értéke, ha van, akkor ebben a szezonalitásból származó eltérések is benne vannak.) E négyzetösszeget n-nel osztva a reziduális szórásnégyzetet kapjuk:

E mutató önmagában nem értelmezhető, legfeljebb más típusú # nem lineáris # függvénnyel való közelítések hasonló módon nyert mutatójával összehasonlítva tájékoztat az illeszkedésről. Az a függvény illeszkedik jobban, ahol ez a szórásnégyzet kisebb. Példánkban:

A négyzetgyökvonással kapott reziduális szórás úgy értelmezhető, mint az idősorértékek trend szerinti értékektől vett eltéréseinek négyzetes átlaga. Példánkban:

fő.

Képezhető a relatív reziduális szórás mutatószáma is:

.

Példánkban , tehát a természetes fogyás lineáris trenddel becsült létszámai a valós létszámoktól átlagosan közel 24%-kal térnek el. Különböző típusú trendfüggvények közül a jelenség életpályáját az a függvénytípus jellemzi legjobban, ahol a relatív reziduális szórás értéke a legkisebb. 275

Az idősorok összetevőinek vizsgálata A trendadatok ismeretében elkészíthető a trendfüggvény grafikonja (11.3. ábra). Figyeljük meg, hogy hogyan illeszkedik a trendvonal az idősor tényleges adataihoz. (A változás tendenciáját az idősor első és utolsó adata alapján is bemutatja az ábra.)

11,3. ábra - A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád megyében

A következőkben páros tagszámú idősor lineáris trendjének meghatározását mutatjuk be. A munkanélküliek, de már semmiféle ellátásban nem részesülők adatait a 11.9. táblázatban adjuk meg.

11.9. táblázat - Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása Nógrád megyében 1991 és 1994 között (ezer fő) Év

I.

II.

III.

IV.

2,2

2,8

negyedév 1991

1,4

1,5

276

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1992

3,2

3,8

5,5

6,0

1993

7,4

9,0

11,1

11,1

1994

11,4

12,2

13,0

12,8

11.10. táblázat - Munkatábla az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulását kifejező lineáris trendfüggvény kiszámításához Létszám (ezer

Lineáris trend

Év

Negyedév

1991

I.

1,4

1

1,4

1

#15

#21,0

225

0,4

II.

1,5

2

3,0

4

#13

#19,5

169

1,3

III.

2,2

3

6,6

9

#11

#24,2

121

2,2

IV.

2,8

4

11,2

16

#9

#25,2

81

3,1

I.

3,2

5

16,0

25

#7

#22,4

49

4,0

II.

3,8

6

22,8

36

#5

#17,5

25

4,9

III.

5,5

7

38,5

49

#3

#16,5

9

5,8

IV.

6,0

8

48,0

64

#1

#6,0

1

6,7

I.

7,4

9

66,6

81

1

7,4

1

7,6

II.

9,0

10

90,0

100

3

27,0

9

8,5

III.

11,1

11

122,1

121

5

55,5

25

9,4

IV.

11,1

12

133,2

144

7

77,7

49

10,3

I.

11,4

13

148,2

169

9

102,6

81

11,2

II.

12,2

14

170,8

196

11

134,2

121

12,1

1992

1993

1994

fő)

t

t

277

Az idősorok összetevőinek vizsgálata III.

13,0

15

195,0

225

13

169,0

169

13,0

IV.

12,8

16

204,8

256

15

187,5

225

13,9

Összesen

114,4

136

1278,2

1496

0

608,6

1360

114,4

Normálegyenletek a

számítással:

Az egyenletrendszer megoldásával kapott paraméterek:

A lineáris trend függvénye:

.

A paraméter példánkban az 1990-es év negyedik negyedévéhez (a t értéke ebben az időpontban lenne nulla) tartozó trend szerinti érték. Ismerve a jelenség időbeli alakulását (hogy ui. ebben az időszakban már voltak munkanélküliek, de még nem telt el annyi idő, amennyi után már nem jár a munkanélküli támogatás), el kell fogadnunk a paraméter negatív értékét. A paraméter azt fejezi ki, hogy a munkanélküli-ellátásban nem részesülők létszáma negyedévenként átlagosan 0,899 ezer fővel, azaz mintegy 900 fővel növekedett 1991 és 1994 között. A

módszer alapján a paraméterek értékei:

A trendegyenlet pedig:

278

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A kétféle módszerrel számított trendegyenlet mindkét paramétere különbözik egymástól. A

paraméter azért, mert a

hely ez utóbbi megoldásnál

az idősor „közepén” van, elvileg az 1992-es év IV. negyedéve és az 1993-as év I. negyedéve között. E megoldásnál a

paraméter megoldóképletéből

adódó (

) gyakorlatiasabb jelentéstartalmat hangsúlyozzuk. Eszerint 1991 és 1994 között az ellátatlan munkanélküliek negyedévenkénti

átlagos száma 7150 fő volt Nógrád megyében. A paraméter értéke azért nem egyezik meg a módszerrel kapott eredménnyel, mert (mivel páros számú adattal dolgoztunk) az időegységek kétegységnyi távolságra kerültek egymástól. A negyedévenkénti átlagos változást ezért a kapott paraméter kétszerese fejezi ki.

megközelítően 900 fő, jelentéstartalma azonos a már leírtakkal.

A fejlődési tendenciát egyszerűbb módszerrel kiszámítva más eredményt kapunk:

Eszerint 760 fővel nő a munkanélküliek száma negyedévenként átlagosan. A két szélső adatot összekötő egyenes iránytangense jelentősen kisebb, mint a legkisebb négyzetek módszerével illesztett egyenesé. (A 11.4. ábrán látható, hogy az utolsó negyedévben # a folyamatos növekedéssel szemben # visszaesés mutatkozik.)

279

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11,4. ábra - Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása

A 11.10. táblázat utolsó oszlopában az alapirányzat szerinti létszámok szerepelnek. A trendfüggvénnyel kapott létszámadatok összege megegyezik a tényleges létszámadatok összegével. Kisimítottuk az idősort, vizsgáljuk meg, hogy a lehetséges további komponensek összege nulla-e (11.11. táblázat). A táblázat utolsó oszlopában szereplő 8,64 nem más, mint a legkisebb négyzetek módszere szerint minimalizált négyzetösszeg:

Ebből a reziduális szórás:

280

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A relatív reziduális szórás:

11.11. táblázat - A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg kiszámításának munkatáblája Tényleges Év

Negyed-

Trend szerinti

létszám, ezer fő

év 1991

1992

1993

1994

I.

1,4

0,4

1,0

1,00

II.

1,5

1,3

0,2

0,04

III.

2,2

2,2

0,0

0,00

IV.

2,8

3,1

#0,3

0,09

I.

3,2

4,0

#0,8

0,64

II.

3,8

4,9

#0,9

0,81

III.

5,5

5,8

#0,3

0,09

IV.

6,0

6,7

#0,7

0,49

I.

7,4

7,6

#0,2

0,04

II.

9,0

8,5

0,5

0,25

III.

11,1

9,4

1,7

2,89

IV.

11,1

10,3

0,8

0,64

I.

11,4

11,2

0,2

0,04 281

Az idősorok összetevőinek vizsgálata II.

12,2

12,1

0,1

0,01

III.

13,0

13,0

0,0

0,00

IV.

12,8

13,9

1,1

1,21

114,4

114,4

0,0

8,64

Összesen

A munkanélküli-ellátásban nem részesülők lineáris trenddel becsült létszámai a valós létszámoktól átlagosan 735 fővel térnek el. Ez az eltérés az 1991 és 1994 közötti negyedévenkénti átlagos létszám alig több mint 10%-a. Exponenciális trend A társadalmi-gazdasági folyamatok változó környezetben nem mindig követnek lineáris tendenciát. Ha a vizsgált jelenség egyik időszakról a másik időszakra megközelítőleg mindig ugyanannyiszorosára, azonos százalékkal nő vagy csökken, azaz az időegységenkénti relatív változás ingadozik egy állandó körül, a tartós irányzatot exponenciális trenddel fejezzük ki. Az exponenciális trendfüggvény általános alakja:

Az exponenciális függvény pozitív esetén logaritmikus transzformációval lineáris alakra hozható, a paraméterek meghatározása visszavezethető a lineáris függvényre (a logaritmus alapja tetszőleges lehet):

A transzformáció mutatja, hogy a függvényértékek logaritmusa, mért

és az időegységek, t között lineáris összefüggés van. A

adatokból a legkisebb négyzetek módszerével meghatározhatjuk az

exponenciális trendfüggvényt. Itt a

időpontban a

a

pedig a

értékének egy realizálódott idősor alapján történt becslése. A felírt logaritmustranszformációból következik, hogy az idősor adatainak logaritmusai és a t értékek alapján a lineáris trend paramétereinek megoldására szolgáló normálegyenletek és a megoldóképletek alkalmasak az exponenciális trend paramétereinek a meghatározására. Ezúttal is kétféleképpen választhatjuk meg az időt jelölő t értékeit. Ha az időszakokat folyamatosan sorszámozzuk, akkor a normálegyenletek a következők lesznek: 282

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A normálegyenletek megoldásai a A logaritmus visszakeresése megadja a

A

és

értékek. és

paraméter értékét, és ezek segítségével felírható az eredeti exponenciális trendegyenlet:

módszerrel pedig a paraméterek logaritmusai az alábbiak:

A paraméterek értelmezése A paraméter a jelenség alapirányzat szerinti értéke a adatainak mértani átlaga. A

jelölt időpontban. Ha

, és nincs 0-val jelölt időpont, a

paraméter az idősor

paraméter az időegységenkénti átlagos relatív változás mutatószáma. Jelzi, hogy a vizsgált időszak alatt a jelenség értéke időegységenként

átlagosan hányszorosára, hány %-ra (

) vagy hány %-kal (

Amennyiben a paramétereket páros tagszámú idősorra a átlagos relatív változást.

, ha növekedés,

eljárással határozzuk meg, a

283

, ha csökkenés) változott. paraméter négyzete (

) jelzi az időegységenkénti

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

Jelentését tekintve a

paraméter megegyezik az

jelölt

2

, az időbeli változás átlagos üteme elnevezésű mutatóval. Megbízhatóbbnak tartjuk az

exponenciális trendfüggvény paraméterét, mert azt az idősor minden egyes adatát felhasználva határozzuk meg, míg az utolsó adata alapján kerül kiszámításra. Az exponenciális trend számítását a következő példán mutatjuk be (11.12. táblázat).

11.12. táblázat - Egy kiemelt üdülőövezet vendégeinek létszáma 1982 és 1992 között Év

Létszám (ezer fő)

1982

135,8

#5

2,1329

#10,6645

25

1983

151,5

#4

2,1804

#8,7216

16

1984

157,0

#3

2,1959

#6,5877

9

1985

165,8

#2

2,2196

#4,4392

4

1986

182,9

#1

2,2622

#2,2622

1

1987

188,4

0

2,2751

0

0

1988

185,3

1

2,2679

2,2679

1

1989

225,4

2

2,3529

4,7058

4

1990

341,1

3

2,5329

7,5987

9

1991

440,4

4

2,6438

10,5752

10

1992

447,2

5

2,6505

13,2525

25

Összesen

2620,8

0

25,7141

5,7249

110

Az exponenciális trendfüggvényt a

2

t

módszer alapján írjuk fel.

Általános statisztika I. kötet 2.2.4. pont.

284

az idősor első és

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

Az üdülőövezet vendéglétszámát leíró exponenciális trendfüggvény paraméterének értéke 217,6 ezer fő, amelynek példánkban egyidejűleg kettős jelentése van: egyrészt az idősor adatainak mértani átlaga, másrészt a páratlan tagszámú idősor miatt a nullával jelölt időpont trend szerinti értéke. Konkrétan: 1982 és 1992 között az üdülőövezet vendéglétszáma évenként átlagosan 217,6 ezer fő volt, és 1987-ben az alapirányzat szerinti létszám is 217,6 ezer fő. Gyakorlatiasabb a

paraméter átlagként való értelmezése.

A paraméter értéke 1,127, ez azt jelenti, hogy 1982 és 1993 között a vendégek száma évenként átlagosan 1,127-szeresére, azaz 12,7 %-kal növekedett.

A fejlődési tendenciát az egyszerűbb, a fejlődés átlagos üteme mutatóval meghatározva: paraméterrel azonos átlagos relatív növekedést mutat. (A számítás „egyenértékűségét”.)

és az

, amely most éppen a

„azonossága” véletlenszerűen lehetséges ugyan, de nem jelentheti a kétféle

Vizsgáljuk meg ezek után, hogy mennyire illeszkedik jól a függvény (adatok a 11.13. táblázatban). Exponenciális trend esetén a tényleges és a trendértékek logaritmusainak összege egyezik meg, azaz normálegyenlet alapján igazolható.) Az eredeti adatokra nézve nem áll fenn az egyenlőség (

. (Ez az egyenlőség az első

).

A 11.13. táblázat utolsó oszlopában szerepel a legkisebb négyzetek módszere szerint minimalizált eltérések négyzetösszege (19 266,79), amely alapján elvégezzük az illeszkedésvizsgálatot.

A reziduális szórásnégyzet: A reziduális szórás:

. .

285

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11.13. táblázat - A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg számítása Év 1982

135,8

119,7

16,1

259,21

1983

151,5

134,9

16,6

275,56

1984

157,0

152,0

5,0

25,00

1985

165,8

171,3

#5,5

30,25

1986

182,9

193,1

#10,2

104,04

1987

188,4

217,6

#29,2

852,64

1988

185,3

245,2

#59,9

3588,01

1989

225,4

276,4

#51,0

2601,00

1990

341,1

311,5

29,6

876,16

1991

440,4

351,0

89,4

7992,36

1992

447,2

395,6

51,6

2662,56

Összesen

2620,8

#

#

19 266,79

A relatív reziduális szórás: átlagosan 41,85 ezer fővel térnek el.

. Az üdülőövezet vendégeinek exponenciális függvénnyel becsült létszámai a tényleges létszámoktól

Az exponenciális függvény szerinti létszámok 17,6%-os hibával illeszkednek a tényleges létszámadatokhoz. Tekintsük meg a 11.5. ábrát, ahol az eredeti idősort és annak exponenciális trendfüggvényét látjuk.

286

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11,5. ábra - A kiemelt üdülőövezet vendéglétszámának idősora és exponenciális trendje

Mint már említettük, a

összeg annak eldöntésére is alkalmas, hogy különböző típusú trendfüggvények közül melyik fejezi ki jobban

az idősor alapirányzatát. Példánk adataiból a lineáris trendfüggvényt is meghatároztuk: meghatározva a trendértékeket és a minimalizált négyzetösszeget, a következőket kapjuk (11.14. táblázat).

11.14. táblázat - A trendtől való eltérések összehasonlítása Tényleges Év

Lineáris trend szerinti

létszám (ezer fő) lineáris

exponenciális

287

. Mindkét trendfüggvény alapján

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1982

135,8

84,3

2652,25

259,21

1983

151,5

115,1

1324,96

275,56

1984

157,0

145,9

123,21

25,00

1991

440,4

361,4

2641,00

7992,36

1992

447,2

392,2

3025,00

2662,56

Összesen

2620,8

2620,8

29 231,70

19 266,79

Az utolsó oszlopban szereplő adatokat a 11.13. táblázatból vettük át. Az exponenciális függvény jobban illeszkedik (19 266,79 < 29 231,70) és minden kiszámítható mutatószám is értelemszerűen kedvezőbb lesz, mint a lineáris trendfüggvény esetén. Parabolikus trend A jelenségek idősorai között gyakran találkozhatunk olyan típusokkal is, amelyek fejlődési tendenciájában nem figyelhető meg sem a lineáris függvényre jellemző abszolút, sem az exponenciális függvényre jellemző relatív változás állandósága. Amennyiben az idősorban irányvonal-változást tapasztalunk, növekedésből csökkenést vagy csökkenésből növekedést, az idősor elég jól jellemezhető a parabolikus függvénnyel. A továbbiakban csak a másodfokú parabolikus trendfüggvénnyel foglalkozunk, amelynek általános alakja:

A paramétereket ebben az esetben is a legkisebb négyzetek módszerével becsüljük. A normálegyenletek a következők:

288

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A háromismeretlenes egyenletrendszer megoldása helyett általában a már megismert páratlan hatványainak összege is nulla. Így a

A

és a

és a

módszert használjuk. Ha

tagok kiesése után fennmaradó második normálegyenletből a

akkor t további paraméter:

paraméter értékét pedig az alábbi egyenletrendszer megoldása eredményezi:

(Az első és a harmadik egyenlet „maradványa”.) Ekkor a becslés

.

A parabolikus trendfüggvény paramétereinek szakmai jelentést nem tulajdonítunk, az alapirányzat értékei alapján elemezzük a vizsgált jelenséget. A parabolikus trend számítását a magyarországi urántermelés 5 évenkénti folytonos idősorán mutatjuk be. Az adatokat és a megfelelő számításokat a 11.15. táblázatban találjuk.

289

eljárásnak

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11.15. táblázat - Az urántermelés alakulása Magyarországon Év

Termelés (ezer

t

tonna) 1960

380

#3

9

81

#1140

3420

426

#46

2116

1965

720

#2

4

16

#1440

2880

641

79

6241

1970

760

#1

1

1

#760

760

780

#20

400

1975

850

0

0

0

0

0

844

6

36

1980

830

1

1

1

830

830

832

#2

4

1985

690

2

4

16

1380

2760

745

#55

3025

1990

620

3

9

81

1860

5580

582

38

1444

Összesen

4850

0

28

196

730

16 230

4850

0

13 266

Az egyszerűsödött egyenletrendszer:

Megoldása:

A parabolikus trendfüggvény:

Az urántermelés ötévenkénti adatait és az alapirányzat szerinti értékeit a 11.6. ábra szemlélteti.

290

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11,6. ábra - Az urántermelés parabolikus trendje

Napjainkban nem következett be az urántermelés irányvonalának változása. A trendfüggvények alkalmazásával kapcsolatban a következőket jegyezzük meg: 1. Tananyagunkban csak a lineáris, az exponenciális és a parabolikus trendfüggvényt ismertettük. A gyakorlatban további függvénytípusokat is alkalmaznak az idősorban lévő tendencia leírására. A számítógépes programcsomagok segítségével bármilyen trendfüggvény könnyen előállítható a vizsgált adathalmazra. Pl. nemcsak másod-, hanem harmadrendű vagy p-edrendű parabola is használható. Ezek az ún. polinomiális trendfüggvények. A polinomiális trendfüggvény az időtényező p-edfokú polinomja:

291

Az idősorok összetevőinek vizsgálata Tapasztalati adatok alapján a legkisebb négyzetek módszerével számolva:

Ha eltérő fokszámú polinomokat hasonlítunk össze abból a szempontból, hogy melyik illeszkedik jobban az idősorhoz, akkor a reziduális szórás mutatóját a szabadságfokkal korrigálva kell használni. Ennek képlete:

ahol p a polinom fokszáma. 2. A trendfüggvény tárgyalásakor abból indulunk ki, hogy az egy speciális regressziófüggvény, ahol a független változó az időtényező. Felmerülhet bennünk, hogy különböző jelenségek időben megfigyelt adataiból regressziószámítást végezzünk. Az ilyen számításoknak számtalan „buktatója” lehet. Előfordulhat ugyanis, hogy két jelenség időbeli alakulása között akkor is mutatkozik regresszió, ha azok között semmiféle közvetlen oksági kapcsolat nincs. Lehetséges továbbá, hogy feltételezhető ugyan sztochasztikus kapcsolat a két jelenség (X és Y) között, de a kiszámított regressziós együtthatóban a magyarázóváltozó (X) hatása „keveredik” a trendhatással. Ez a keveredés önmagában nem zavar, ha a regressziószámítás fő célkitűzése a függő változó színvonalának előrejelzése, becslése. (Pl. egy áru keresletét akarjuk előre jelezni az áralakulás függvényében.) Ha 3 a regressziós együtthatónak is önálló jelentést tulajdonítunk, akkor indokolt a trendhatást kiszűrni. Ennek módszereivel tananyagunkban nem foglalkozunk.

11.3. A szezonalitás vizsgálata A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalitás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonális komponens eltérő módon viselkedik additív és multiplikatív modell esetén. Additív összefüggés esetén a szezonhatás a trendtől való abszolút eltérés, multiplikatív kapcsolat esetén pedig relatív eltérés formájában jelentkezik. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén szezonindexekkel jellemezzük.

11.3.1. Szezonális eltérések számítása Additív összefüggés és lineáris trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek összegeként írhatjuk fel: 3

A módszer ismertetését lásd Köves Pál#Párniczky Gábor: Általános statisztika II. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1981.

292

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeiből rendre kivonjuk a trendértékeket:

Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik eltérést ( számtani átlagát képezzük. Ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk:

) és ezek

Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határoztuk meg, akkor nem teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) nulla legyen. Mozgóátlagolással kapott trendértékek esetén ez elméletileg teljesül ugyan, de ha kevés számú megfigyelésünk van, akkor előfordulhat, hogy

.

Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára kerül sor. A korrigálás úgy történik, hogy az előbbiekben kiszámított ún. nyers szezonális eltérések átlagát képezzük, és az átlagot levonjuk az

értékekből. A korrigált szezonális eltérések:

A szezonális eltérések azt fejezik ki, hogy adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan mennyivel magasabb vagy alacsonyabb a trend szerinti értéknél. Tekintsük ismét a 11.3. táblázatban közölt adatokat. A Nógrád megyei háztartások gázfogyasztását és a mozgóátlagolással kimutatott trend szerinti fogyasztását a 11.16. táblázatban ismét közöljük.

11.16. táblázat - Az egyedi szezonális eltérések számítási táblázata Adatok: millió 293

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

Év

Negyedév

1990

1991

1992

1993

1994

Mozgóátlagolású trend

Értékesített mennyiség

I.

3,5

#

#

II.

3,1

#

#

III.

2,4

3,6

#1,2

IV.

3,9

4,4

#0,5

I.

6,7

5,2

1,5

II.

6,4

5,9

0,5

III.

5,1

6,4

#1,3

IV.

7,2

6,6

0,6

I.

7,4

6,7

0,7

II.

7,2

6,8

0,4

III.

5,2

7,0

#1,8

IV.

8,0

7,3

0,7

I.

8,2

7,6

0,6

II.

8,1

7,9

0,2

III.

7,2

8,1

#0,9

IV.

8,5

8,3

0,2

I.

9,3

8,2

1,1

II.

8,0

8,7

#0,7

III.

7,2

#

#

294

Az idősorok összetevőinek vizsgálata IV.

11,7

#

#

Az egyes negyedévek szezonális eltérései (millió

):

A korrekciós tényező:

A korrigált szezonális eltérések (millió

):

I.

II.

III.

IV.

Nyers szezonális eltérés

0,975

0,100

#1,300

0,250

#Korrekciós tényező

#0,006

#0,006

#0,006

#0,006

Korrigált szezonális eltérés

0,969

0,094

#1,306

0,244

Az I. negyedévi szezonális eltérés azt jelenti, hogy a háztartások számára értékesített gázmennyiség 1990 és 1994 között az I. negyedévekben átlagosan 0,969 millió

haladja meg az alapirányzat szerinti mennyiséget. A III. negyedévekben a szezonhatás miatt elmarad az értékesítés az

alapirányzattól, átlagosan 1,306 millió

11.3.2. Szezonindexek számítása Multiplikatív összefüggés és exponenciális trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek szorzataként írhatjuk fel: 295

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeit rendre elosztjuk a trendértékekkel:

Az így nyert hányadosokat egyedi szezonindexeknek nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik szezonindexet ( mértani átlagát képezzük. Ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk:

Ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le, akkor nem teljesül az a feltétel, hogy felhasználása esetén is előfordulhat, hogy a véletlen hatás nem szűrődik ki teljes egészében.

) és ezek

. Mozgóátlagolással számított trendértékek

Ilyen esetben a szezonindexek korrekciójára kerül sor. A korrigálás úgy történik, hogy az előbbiekben kiszámított ún. nyers szezonindexek mértani átlagát képezzük, és ezzel az átlaggal elosztjuk az

értékeit.

A korrigált szezonindexek:

A szezonindex azt fejezi ki, hogy az adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan hányszorosa az alapirányzat szerinti értéknek. A szezonindexek számítását a következő példán mutatjuk be. (Adatok a 11.17. táblázatban.)

11.17. táblázat - Egy márkakereskedő személygépkocsi-értékesítésének adatai Negyedév Év

I.

II.

III.

IV.

1991

13

10

30

38 296

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1992

21

17

42

22

1993

21

17

45

41

1994

25

18

47

42

Az alapirányzatot az

egyenlet fejezi ki, ha

Számítsuk ki az egyedi szezonindexeket! Ehhez először kiszámítjuk a trendértékeket, majd a megfelelő hányadosokat képezzük (11.18. táblázat). Az egyes negyedévek szezonindexei (%):

A négy szezonindex szorzata:

Példánkban, mivel a trendet lineáris függvénnyel fejeztük ki, a szezonindexek szorzata jelentősen eltér a kívánatos 1-től. Mivel a korrekciós tényezőt képezve korrigálnunk kell.

11.18. táblázat - Munkatábla az egyedi szezonindexek kiszámításához Év

Negyedév

1991

I.

13

19

68,4

II.

10

20

50,0 297

, ezért

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

1992

1993

1994

III.

30

21

142,9

IV.

38

22

172,7

I.

21

23

91,3

II.

17

25

68,0

III.

42

26

161,5

IV.

22

27

81,5

I.

21

29

72,4

II.

17

30

56,7

III.

45

31

145,2

IV.

41

32

128,1

I.

25

34

43,8

II.

18

35

51,4

III.

47

36

130,6

IV.

42

38

110,5

A korrekciós tényező:

.

A korrigált szezonindexek %-os formában:

(Ezek szorzata:

.)

Az eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy a személygépkocsi-értékesítés pl. a II. negyedévben átlagosan csak 60,7%-a a trend szerintinek, míg pl. a IV. negyedévben a szezonhatás miatt átlagosan 28,5%-kal meghaladja a trend szerint várható forgalmat. 298

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

11.4. Előrejelzés az eredmények alapján A piaci viszonyokhoz való gyors alkalmazkodás szükségessé teszi, hogy bizonyos jelenségeket rövidebb, hosszabb időszakra előre megbecsüljünk. E tevékenység egyik eszköze a gazdasági előrejelzés, a prognosztika. A gazdasági előrejelzés statisztikai módszertana igen széles körű, ennek egyik fontos területe az idősorok extrapolációja. Ez abban áll, hogy a feltárt törvényszerűségeket előrevetítjük a jövőbe, feltételezve azok további folytatódását. Az extrapoláció egyik legegyszerűbb módja az, hogy a fejlődés átlagos mértéke ( ) vagy a fejlődés átlagos üteme ( ) alapján végzünk becslést. Ha az abszolút változást tételezzük fel egyenletesnek, akkor lineáris; ha a relatív változást tételezzük fel egyenletesnek, akkor exponenciális extrapolációt hajtunk végre. Ha az idősor

(vagy legalább az első és utolsó) megfigyelt adatát ismerjük, akkor az idősor

adatának becslése:

Lineáris extrapolációval:

Exponenciális extrapolációval:

A két adat alapján történő becslés eredménye félrevezető is lehet. Megbízhatóbb előrejelzést végezhetünk a trendfüggvénnyel meghatározott alapirányzat alapján. Az extrapolációt úgy végezzük, hogy az előre jelezni kívánt időegység t értékét behelyettesítjük a trendfüggvénybe. Végezzünk előrejelzést a 11.12. táblázatban közölt idősorra. Az exponenciális trendfüggvény: es évhez tartozó t érték 5 volt. Becslés 1996-ra:

volt, melyet a vendégforgalom 1982-től 1992-ig ismert adataiból számítottunk. Az 1992-

(A t értékeit „továbbvezettük”.)

Ha az idősor szezonális ingadozást is tartalmaz, az extrapolációnál azt is figyelembe kell venni. Ha megfigyeléseink negyedévekre (vagy hónapokra) vonatkoznak, akkor az (

)-adik periódus j-edik szezonjában az extrapolált érték:

Additív kapcsolatot feltételezve:

. 299

Az idősorok összetevőinek vizsgálata

.

Multiplikatív kapcsolatot feltételezve:

Példaként tekintsük a személygépkocsi-értékesítés korábban kiszámított adatait. Az 1991. I. negyedéve és 1994. IV. negyedéve közötti időszakot jellemző trendegyenlet: (

és 1992. IV. negyedév

, 1993. I. negyedév

).

11.19. táblázat - A személygépkocsi-értékesítés szezonalitását jellemző szezonindexek Negyedév

I.

II.

III.

IV.

Szezonindex (%)

82,1

60,7

156,4

128,5

Becslés az 1996-os év egyes negyedéveire:

11.20. táblázat - A trend és a szezonhatás előrejezése Negyedév

t

Trendérték (db)

Megjegyzés: 1994. IV. negyedév

Várható értékesítés (db)

; kettesével továbbvezetve jutottunk el 1996. I. negyedévére a

-höz.

Mint példáinkból látjuk, az előrejelzések egyszerűen végrehajthatók. Óvakodnunk kell azonban az előrejelzések mechanikus alkalmazásától. Megbízható előrejelzést csak akkor tudunk adni, ha az alapirányzatot, a múltbeli tendenciát megbízható adatokat tartalmazó, kellően hosszú idősorok alapján állapítottuk meg.

11.5. Gyakorlófeladatok 1. A színházlátogatások számának alakulása Magyarországon: 300

Az idősorok összetevőinek vizsgálata Év

Látogatás (1000)

1984

5998

1985

6072

1986

5957

1987

5868

1988

5717

1989

5195

1990

4991

1991

5094

1992

4749

Feladat: a) Ábrázoljuk az adatokat! b) Vizsgáljuk meg az idősorban érvényesülő tendenciát lineáris trendfüggvény segítségével! c) Értelmezzük a paramétereket! d) Adjunk becslést 1995-re! 2. Egy intézmény létszámának alakulása: Év

Létszám (fő)

1990

20

1991

22

1992

25

1993

28 301

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1994

30

1995

34

Feladat: a) Számítsuk ki a lineáris trendfüggvény paramétereit a

, valamint a

módszerrel!

b) Számítsuk ki a trendértékeket! 3. A légi szállítás adatai: Év

Szállított utasok (1000 fő)

Utaskilométer (millió)

Díjbevétel (millió Ft)

1986

1197

1143,0

4 124,8

1987

1320

1285,6

5 032,7

1988

1310

1344,3

6 160,9

1989

1472

1576,6

7 873,3

1990

1517

1694,8

12 230,0

1991

1045

1286,7

15 717,6

1992

1213

1478,1

18 779,8

Feladat: a) Vizsgáljuk a légi szállítás alakulását az 1986-os évhez képest, valamint évről évre! b) Számítsunk trendfüggvényeket mindhárom idősorra! c) Adjunk becslést 1995-re: # az átlagos utazási távolságra, # az 1 utasra számított átlagos díjbevételre vonatkozóan! 302

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 4. Az egyéni vállalkozásokban foglalkoztatottak létszámának alakulása a kereskedelmi ágazatban: Év

Létszám (1000 fő) január 1-jei állapot

1984

43,5

1985

50,9

1986

58,6

1987

67,6

1988

78,0

1991

146,6

1992

201,5

Feladat: a) Ábrázoljuk az adatokat! b) Az ábra alapján döntsünk a trendfüggvény típusáról! Számítsuk ki a megfelelő trendfüggvény paramétereit! c) Számítsuk ki a függvényértékeket, és rajzoljuk be a grafikus ábrába! d) Adjunk becslést az 1995-ös évre vonatkozóan a trendfüggvény, a fejlődés átlagos mértéke ( ), valamint a fejlődés átlagos üteme ( ) alapján! Hasonlítsuk össze az eredményeket! 5. A lakosság takarékbetét-állományának alakulása Magyarországon: Év

Betétállomány (Mrd Ft)

1980

145,3

1981

160,1

1982

175,7 303

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1983

197,1

1984

219,4

1985

244,1

1986

274,9

1987

287,5

1988

312,7

1989

309,5

1990

368,6

1991

466,0

1992

634,7

A megadott adatok alapján kiszámított exponenciális trendfüggvény szerint a betétállomány évente átlagosan 11,2%-kal növekedett. Ismert továbbá, hogy az 1980-ra becsült trend 140,4 Mrd Ft, 1992-re pedig 501,9 Mrd Ft. A trendfüggvény jellemzésére kiszámított . Feladat: a) Írjuk fel az exponenciális trendfüggvény egyenletét a

módszer szerint!

b) Számítsuk ki a lineáris trend paramétereit, és értelmezzük azokat! c) Adjunk becslést 1995-re a jobb közelítést adó trendfüggvény alapján! 6. A GYES-en, GYED-en lévők számának alakulása Magyarországon: Év

1000 fő

1980

264

1981

254 304

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1982

242

1983

233

1984

224

1985

218

1986

220

1987

225

1988

231

1989

241

1990

245

1991

247

1992

272

Feladat: a) Ábrázoljuk az adatokat! Döntsünk a legmegfelelőbb trendfüggvény típusáról! b) Számítsuk ki a paramétereket, és írjuk fel a trendfüggvényt! c) A trendadatok ismeretében rajzoljuk az ábrába a függvényt! 7. Egy áruházlánc boltjaiban értékesített fűszerek forgalmának alakulása: Év

Negyedév

Forgalom (millió Ft)

1990

I.

38

II.

23

III.

37

IV.

71 305

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1991

1992

1993

I.

35

II.

27

III.

36

IV.

72

I.

38

II.

27

III.

41

IV.

75

I.

41

II.

25

III.

41

IV.

80

Feladat: a) Ábrázoljuk az adatokat! b) Számítsuk ki a mozgóátlagolású trend adatait! c) Vizsgáljuk a szezonhatást! Értelmezzük a kapott eredményeket! d) Mivel a mozgóátlagok alapján nem készíthetünk pontos előrejelzést, számítsunk lineáris trendfüggvényt a centrírozott mozgóátlagokból! e) Adjunk becslést az 1996-os év fűszerforgalmára vonatkozóan, a szezonalitást is figyelembe véve! 8. Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele a következőképpen alakult (M Ft): Év

Negyedév I.

II.

III.

IV.

306

Az idősorok összetevőinek vizsgálata 1991

20

30

40

10

1992

22

33

50

13

1993

25

36

60

15

1994

28

40

70

20

Az alapirányzatot leíró lineáris trend egyenlete: Feladat: a) Az összetevők szorzatszerű kapcsolatának feltételezésével vizsgáljuk meg az árbevétel alakulásának szezonalitását! b) Adjunk becslést az 1995-ös év egyes negyedéveire vonatkozóan! c) Számítsuk ki, hogy mennyi a véletlen hatás 1994 IV. negyedévében? 9. Egy déligyümölcsöket importáló gazdálkodó szervezet citromforgalmának szezonalitását vizsgáltuk. A trendértéket az függvény alapján becsültük. (Mértékegység: tonna.) Az egyedi szezonális eltérések táblázata: Év

Negyedév I.

II.

III.

IV.

1980

158

15

#208

#10

1991

107

#25

#168

#21

1992

167

#16

#198

#31

1993

206

44

#148

#1

1994

186

43

#129

#22

Feladat: a) Számítsuk ki az egyes negyedévek korrigált szezonális eltérését! Mondjuk meg jelentésüket! 307

Az idősorok összetevőinek vizsgálata b) Adjunk becslést az 1995-ös év megfelelő negyedéveire a trend- és a szezonhatás ismeretében! c) Mennyi a véletlen tényezők szerepe 1995 II. negyedévében, ha ismerjük, hogy ennek az időszaknak a tényleges forgalma 680 tonna volt?

308

A. függelék - Függelék 1. táblázat - A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének táblázata x

x

x

x

0,00

0,5000

0,34 0,6331

0,68

0,7517

1,02 0,8461

0,01

0,5040

0,35 0,6368

0,69

0,7549

1,03 0,8485

0,02

0,5080

0,36 0,6406

0,70

0,7580

1,04 0,8508

0,03

0,5120

0,37 0,6443

0,71

0,7611

1,05 0,8531

0,04

0,5160

0,38 0,6480

0,72

0,7642

1,06 0,8554

0,05

0,5199

0,39 0,6517

0,73

0,7673

1,07 0,8577

0,06

0,5239

0,40 0,6554

0,74

0,7704

1,08 0,8599

0,07

0,5279

0,41 0,6591

0,75

0,7734

1,09 0,8621

0,08

0,5319

0,42 0,6628

0,76

0,7764

1,10 0,8643

0,09

0,5359

0,43 0,6664

0,77

0,7794

1,11 0,8665

0,10

0,5398

0,44 0,6700

0,78

0,7823

1,12 0,8686

0,11

0,5438

0,45 0,6736

0,79

0,7852

1,13 0,8708

0,12

0,5478

0,46 0,6772

0,80

0,7881

1,14 0,8729

0,13

0,5517

0,47 0,6808

0,81

0,7910

1,15 0,8749

0,14

0,5557

0,48 0,6844

0,82

0,7939

1,16 0,8770

0,15

0,5596

0,49 0,6879

0,83

0,7967

1,17 0,8790

0,16

0,5636

0,50 0,6915

0,84

0,7995

1,18 0,8810

0,17

0,5675

0,51 0,6950

0,85

0,8023

1,19 0,8830

0,18

0,5714

0,52 0,6985

0,86

0,8051

1,20 0,8849

0,19

0,5753

0,53 0,7019

0,87

0,8078

1,21 0,8869

0,20

0,5793

0,54 0,7054

0,88

0,8106

1,22 0,8888

0,21

0,5832

0,55 0,7088

0,89

0,8133

1,23 0,8907 309

Függelék 0,22

0,5871

0,56 0,7123

0,90

0,8159

1,24 0,8925

0,23

0,5910

0,57 0,7157

0,91

0,8186

1,25 0,8944

0,24

0,5948

0,58 0,7190

0,92

0,8212

1,26 0,8962

0,25

0,5987

0,59 0,7224

0,93

0,8238

1,27 0,8980

0,26

0,6026

0,60 0,7257

0,94

0,8264

1,28 0,8997

0,27

0,6064

0,61 0,7291

0,95

0,8289

1,29 0,9015

0,28

0,6103

0,62 0,7324

0,96

0,8315

1,30 0,9032

0,29

0,6141

0,63 0,7357

0,97

0,8340

1,31 0,9049

0,30

0,6179

0,64 0,7389

0,98

0,8365

1,32 0,9066

0,31

0,6217

0,65 0,7422

0,99

0,8389

1,33 0,9082

0,32

0,6255

0,66 0,7454

1,00

0,8413

1,34 0,9099

0,33

0,6293

0,67 0,7486

1,01

0,8438

1,35 0,9115

1. táblázat - A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének táblázata (folytatás) x

x

x

x

1,36 0,9131

1,70 0,9554

2,08

0,9812

2,76 0,9971

1,37 0,9147

1,71 0,9564

2,10

0,9821

2,78 0,9973

1,38 0,9162

1,72 0,9573

2,12

0,9830

2,80 0,9974

1,39 0,9177

1,73 0,9582

2,14

0,9838

2,82 0,9976

1,40 0,9192

1,74 0,9591

2,16

0,9846

2,84 0,9977

1,41 0,9207

1,75 0,9599

2,18

0,9854

2,86 0,9979

1,42 0,9222

1,76 0,9608

2,20

0,9861

2,88 0,9980

1,43 0,9236

1,77 0,9616

2,22

0,9868

2,90 0,9981

1,44 0,9251

1,78 0,9625

2,24

0,9875

2,92 0,9982

1,45 0,9265

1,79 0,9633

2,26

0,9881

2,94 0,9984

1,46 0,9279

1,80 0,9641

2,28

0,9887

2,96 0,9985

1,47 0,9292

1,81 0,9649

2,30

0,9893

2,98 0,9986

310

Függelék 1,48 0,9306

1,82 0,9656

2,32

0,9898

3,00 0,9987

1,49 0,9319

1,83 0,9664

2,34

0,9904

3,05 0,9989

1,50 0,9332

1,84 0,9671

2,36

0,9909

3,10 0,9990

1,51 0,9345

1,85 0,9678

2,38

0,9913

3,15 0,9992

1,52 0,9357

1,86 0,9686

2,40

0,9918

3,20 0,9993

1,53 0,9370

1,87 0,9693

2,42

0,9922

3,25 0,9994

1,54 0,9382

1,88 0,9699

2,44

0,9927

3,30 0,9995

1,55 0,9394

1,89 0,9706

2,46

0,9931

3,35 0,9996

1,56 0,9406

1,90 0,9713

2,48

0,9934

3,40 0,9997

1,57 0,9418

1,91 0,9719

2,50

0,9938

3,45 0,9997

1,58 0,9429

1,92 0,9726

2,52

0,9941

3,50 0,9998

1,59 0,9441

1,93 0,9732

2,54

0,9945

3,55 0,9998

1,60 0,9452

1,94 0,9738

2,56

0,9948

3,60 0,9998

1,61 0,9463

1,95 0,9744

2,58

0,9951

3,65 0,9999

1,62 0,9474

1,96 0,9750

2,60

0,9953

3,70 0,9999

1,63 0,9484

1,97 0,9756

2,62

0,9956

3,75 0,9999

1,64 0,9495

1,98 0,9761

2,64

0,9959

3,80 0,9999

1,65 0,9505

1,99 0,9767

2,66

0,9961

1,66 0,9515

2,00 0,9772

2,68

0,9963

1,67 0,9525

2,02 0,9783

2,70

0,9965

1,68 0,9535

2,04 0,9793

2,72

0,9967

1,69 0,9545

2,06 0,9803

2,74

0,9969

2. táblázat - A

-eloszlás táblázata

szf

0,005

0,01

0,025

0,05

0,1

0,25

1

0,0000

0,0002

0,0010

0,0039

0,0158

0,102

2

0,0100

0,0201

0,0506

0,103

0,211

0,575 311

Függelék 3

0,072

0,115

0,216

0,352

0,5844

1,21

4

0,207

0,297

0,484

0,711

1,06

1,92

5

0,412

0,554

0,831

1,15

1,61

2,67

6

0,676

0,872

1,24

1,64

2,20

3,45

7

0,989

1,24

1,69

2,17

2,83

4,25

8

1,34

1,65

2,18

2,73

3,49

5,07

9

1,73

2,09

2,70

3,33

4,17

5,90

10

2,16

2,56

3,25

3,94

4,87

6,74

11

2,60

3,05

3,82

4,57

5,58

7,58

12

3,07

3,57

4,40

5,23

6,30

8,44

13

3,57

4,11

5,01

5,89

7,04

9,30

14

4,07

4,66

5,63

6,57

7,79

10,2

15

4,60

5,23

6,26

7,26

8,55

11,0

16

5,14

5,81

6,91

7,96

9,31

11,9

17

5,70

6,41

7,56

8,67

10,1

12,8

18

6,26

7,01

8,23

9,39

10,9

13,7

19

6,84

7,63

8,91

10,1

11,7

14,6

20

7,43

8,26

9,59

10,9

12,4

15,5

21

8,03

8,90

10,3

11,6

13,2

16,3

22

8,64

9,54

11,0

12,3

14,0

17,2

23

9,26

10,2

11,7

13,1

14,8

18,1

24

9,89

10,9

12,4

13,8

15,7

19,0

25

10,5

11,5

13,1

14,6

16,5

19,9

26

11,2

12,2

13,8

15,4

17,3

20,8

27

11,8

12,9

14,6

16,2

18,1

21,7

28

12,5

13,6

15,3

16,9

18,9

22,7

29

13,1

14,3

16,0

17,7

19,8

23,6

30

13,8

15,0

16,8

18,5

20,6

24,5

312

Függelék 40

20,7

22,2

24,4

26,5

29,1

33,7

50

28,0

29,7

32,4

34,8

37,7

42,9

60

35,5

37,5

40,5

43,2

46,5

52,3

80

51,2

53,5

57,2

60,4

64,3

71,1

100

67,3

70,1

74,2

77,9

82,4

90,1

200

152,2

156,4

162,7

168,3

174,8

186,2

2. táblázat - A

-eloszlás táblázata (folytatás)

szf

0,5

0,75

0,9

0,95

0,975

0,995

1

0,455

1,32

2,71

3,84

5,02

7,879

2

1,39

2,77

4,61

5,99

7,38

10,6

3

2,37

4,11

6,25

7,81

9,35

12,8

4

3,36

5,39

7,78

9,49

11,1

14,9

5

4,35

6,63

9,24

11,1

12,8

16,7

6

5,35

7,84

10,6

12,6

14,4

18,5

7

6,35

9,04

12,0

14,1

16,0

20,3

8

7,34

10,2

13,4

15,5

17,5

22,0

9

8,34

11,4

14,7

16,9

19,0

23,6

10

9,34

12,5

16,0

18,3

20,5

25,2

11

10,3

13,7

17,3

19,7

21,9

26,8

12

11,3

14,8

18,5

21,0

23,3

28,3

13

12,3

16,0

19,8

22,4

24,7

29,8

14

13,3

17,1

21,1

23,7

26,1

31,3

15

14,3

18,2

22,3

25,0

27,5

32,8

16

15,3

19,4

23,5

26,3

28,8

34,3

17

16,3

20,5

24,8

27,6

30,2

35,7

18

17,3

21,6

26,0

28,9

31,5

37,2 313

Függelék 19

18,3

22,7

27,2

30,1

32,9

38,6

20

19,3

23,8

28,4

31,4

34,2

40,0

21

20,3

24,9

29,6

32,7

35,5

41,4

22

21,3

26,0

30,8

33,9

36,8

42,8

23

22,3

27,1

32,0

35,2

38,1

44,2

24

23,3

28,2

33,2

36,4

39,4

45,6

25

24,3

29,3

34,4

37,7

40,6

46,9

26

25,3

30,4

35,6

38,9

41,9

48,3

27

26,3

31,5

36,7

40,1

43,2

49,6

28

27,3

32,6

37,9

41,3

44,5

51,0

29

28,3

33,7

39,1

42,6

45,7

52,3

30

29,3

34,8

40,3

43,8

47,0

53,7

40

39,3

45,6

51,8

55,8

59,3

66,8

50

49,3

56,3

63,2

67,5

71,4

79,5

60

59,3

67,0

74,4

79,1

83,3

92,0

80

79,3

88,1

96,6

101,9

106,6

116,3

100

99,3

109,1

118,5

124,3

129,6

140,2

200

199,3

213,1

226,0

234,0

241,1

255,3

3. táblázat - AzF-eloszlás táblázata 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54

2

18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

314

Függelék 5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

2,71

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

2,65

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

2,64

2,59

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,61

2,55

2,49

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45

2,39

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

2,37

22

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,46

2,40

2,34

23

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,44

2,37

2,32

24

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,42

2,36

2,30

25

4,24

3,39

2,99

2,76

2,60

2,49

2,40

2,34

2,28

26

4,23

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,39

2,32

2,27

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,37

2,31

2,25

28

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,45

2,36

2,29

2,24

29

4,18

3,33

2,93

2,70

2,55

2,43

2,35

2,28

2,22

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,25

2,18

2,12

50

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,29

2,20

2,13

2,07

315

Függelék 100

3,94

3,09

2,70

2,46

2,31

2,19

2,10

2,03

1,97

120

3,92

3,07

2,68

2,45

2,29

2,18

2,09

2,02

1,96

∞

3,85

3,00

2,61

2,38

2,22

2,11

2,02

1,95

1,89

3. táblázat - Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 10

15

20

30

40

50

100

120

∞

241,88 245,95 248,02 250,10 251,14 251,77 253,04 253,25 254,19

1

19,40 19,43 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,49 19,49

2

8,79

8,70

8,66

8,62

8,59

8,58

8,55

8,55

8,53

3

5,96

5,86

5,80

5,75

5,72

5,70

5,66

5,66

5,63

4

4,74

4,62

4,56

4,50

4,46

4,44

4,41

4,40

4,37

5

4,06

3,94

3,87

3,81

3,77

3,75

3,71

3,70

3,67

6

3,64

3,51

3,44

3,38

3,34

3,32

3,27

3,27

3,23

7

3,35

3,22

3,15

3,08

3,04

3,02

2,97

2,97

2,93

8

3,14

3,01

2,94

2,86

2,83

2,80

2,76

2,75

2,71

9

2,98

2,85

2,77

2,70

2,66

2,64

2,59

2,58

2,54

10

2,85

2,72

2,65

2,57

2,53

2,51

2,46

2,45

2,41

11

2,75

2,62

2,54

2,47

2,43

2,40

2,35

2,34

2,30

12

2,67

2,53

2,46

2,38

2,34

2,31

2,26

2,25

2,21

13

2,60

2,46

2,39

2,31

2,27

2,24

2,19

2,18

2,14

14

2,54

2,40

2,33

2,25

2,20

2,18

2,12

2,11

2,07

15

2,49

2,35

2,28

2,19

2,15

2,12

2,07

2,06

2,02

16

2,45

2,31

2,23

2,15

2,10

2,08

2,02

2,01

1,97

17

2,41

2,27

2,19

2,11

2,06

2,04

1,98

1,97

1,92

18

2,38

2,23

2,16

2,07

2,03

2,00

1,94

1,93

1,88

19

316

Függelék 2,35

2,20

2,12

2,04

1,99

1,97

1,91

1,90

1,85

20

2,32

2,18

2,10

2,01

1,96

1,94

1,88

1,87

1,82

21

2,30

2,15

2,07

1,98

1,94

1,91

1,85

1,84

1,79

22

2,27

2,13

2,05

1,96

1,91

1,88

1,82

1,81

1,76

23

2,25

2,11

2,03

1,94

1,89

1,86

1,80

1,79

1,74

24

2,24

2,09

2,01

1,92

1,87

1,84

1,78

1,77

1,72

25

2,22

2,07

1,99

1,90

1,85

1,82

1,76

1,75

1,70

26

2,20

2,06

1,97

1,88

1,84

1,81

1,74

1,73

1,68

27

2,19

2,04

1,96

1,87

1,82

1,79

1,73

1,71

1,66

28

2,18

2,03

1,94

1,85

1,81

1,77

1,71

1,70

1,65

29

2,16

2,01

1,93

1,84

1,79

1,76

1,70

1,68

1,63

30

2,08

1,92

1,84

1,74

1,69

1,66

1,59

1,58

1,52

40

2,03

1,87

1,78

1,69

1,63

1,60

1,52

1,51

1,45

50

1,93

1,77

1,68

1,57

1,52

1,48

1,39

1,38

1,30

100

1,91

1,75

1,66

1,55

1,50

1,46

1,37

1,35

1,27

120

1,84

1,68

1,58

1,47

1,41

1,36

1,26

1,24

1,11

∞

8

9

3. táblázat - Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 1

2

3

4

5

6

7

1

647,79 799,48 864,15 899,60 921,83 937,11 948,20 956,64 963,28

2

38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39

3

17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47

4

12,22 10,65

9,98

9,60

9,36

9,20

9,07

8,98

8,90

5

10,01

8,43

7,76

7,39

7,15

6,98

6,85

6,76

6,68

6

8,81

7,26

6,60

6,23

5,99

5,82

5,70

5,60

5,52

317

Függelék 7

8,07

6,54

5,89

5,52

5,29

5,12

4,99

4,90

4,82

8

7,57

6,06

5,42

5,05

4,82

4,65

4,53

4,43

4,36

9

7,21

5,71

5,08

4,72

4,48

4,32

4,20

4,10

4,03

10

6,94

5,46

4,83

4,47

4,24

4,07

3,95

3,85

3,78

11

6,72

5,26

4,63

4,28

4,04

3,88

3,76

3,66

3,59

12

6,55

5,10

4,47

4,12

3,89

3,73

3,61

3,51

3,44

13

6,41

4,97

4,35

4,00

3,77

3,60

3,48

3,39

3,31

14

6,30

4,86

4,24

3,89

3,66

3,50

3,38

3,29

3,21

15

6,20

4,77

4,15

3,80

3,58

3,41

3,29

3,20

3,12

16

6,12

4,69

4,08

3,73

3,50

3,34

3,22

3,12

3,05

17

6,04

4,62

4,01

3,66

3,44

3,28

3,16

3,06

2,98

18

5,98

4,56

3,95

3,61

3,38

3,22

3,10

3,01

2,93

19

5,92

4,51

3,90

3,56

3,33

3,17

3,05

2,96

2,88

20

5,87

4,46

3,86

3,51

3,29

3,13

3,01

2,91

2,84

21

5,83

4,42

3,82

3,48

3,25

3,09

2,97

2,87

2,80

22

5,79

4,38

3,78

3,44

3,22

3,05

2,93

2,84

2,76

23

5,75

4,35

3,75

3,41

3,18

3,02

2,90

2,81

2,73

24

5,72

4,32

3,72

3,38

3,15

2,99

2,87

2,78

2,70

25

5,69

4,29

3,69

3,35

3,13

2,97

2,85

2,75

2,68

26

5,66

4,27

3,67

3,33

3,10

2,94

2,82

2,73

2,65

27

5,63

4,24

3,65

3,31

3,08

2,92

2,80

2,71

2,63

28

5,61

4,22

3,63

3,29

3,06

2,90

2,78

2,69

2,61

29

5,59

4,20

3,61

3,27

3,04

2,88

2,76

2,67

2,59

30

5,57

4,18

3,59

3,25

3,03

2,87

2,75

2,65

2,57

40

5,42

4,05

3,46

3,13

2,90

2,74

2,62

2,53

2,45

50

5,34

3,97

3,39

3,05

2,83

2,67

2,55

2,46

2,38

100

5,18

3,83

3,25

2,92

2,70

2,54

2,42

2,32

2,24

120

5,15

3,80

3,23

2,89

2,67

2,52

2,39

2,30

2,22

318

Függelék ∞

5,03

3,69

3,12

2,79

2,57

2,41

2,29

2,19

2,11

3. táblázat - Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 10

15

20

30

40

50

100

120

∞

968,63 984,87 993,08 1001,4 1005,6 1008,1 1013,2 1014,0 1018,2

1

39,40 39,43 39,45 39,46 39,47 39,48 39,49 39,49 39,50

2

14,42 14,25 14,17 14,08 14,04 14,01 13,96 13,95 13,90

3

8,84

8,66

8,56

8,46

8,41

8,38

8,32

8,31

8,26

4

6,62

6,43

6,33

6,23

6,18

6,14

6,08

6,07

6,02

5

5,46

5,27

5,17

5,07

5,01

4,98

4,92

4,90

4,85

6

4,76

4,57

4,47

4,36

4,31

4,28

4,21

4,20

4,14

7

4,30

4,10

4,00

3,89

3,84

3,81

3,74

3,73

3,67

8

3,96

3,77

3,67

3,56

3,51

3,47

3,40

3,39

3,33

9

3,72

3,52

3,42

3,31

3,26

3,22

3,15

3,14

3,08

10

3,53

3,33

3,23

3,12

3,06

3,03

2,96

2,94

2,88

11

3,37

3,18

3,07

2,96

2,91

2,87

2,80

2,79

2,73

12

3,25

3,05

2,95

2,84

2,78

2,74

2,67

2,66

2,60

13

3,15

2,95

2,84

2,73

2,67

2,64

2,56

2,55

2,49

14

3,06

2,86

2,76

2,64

2,59

2,55

2,47

2,46

2,40

15

2,99

2,79

2,68

2,57

2,51

2,47

2,40

2,38

2,32

16

2,92

2,72

2,62

2,50

2,44

2,41

2,33

2,32

2,25

17

2,87

2,67

2,56

2,44

2,38

2,35

2,27

2,26

2,19

18

2,82

2,62

2,51

2,39

2,33

2,30

2,22

2,20

2,13

19

2,77

2,57

2,46

2,35

2,29

2,25

2,17

2,16

2,09

20

2,73

2,53

2,42

2,31

2,25

2,21

2,13

2,11

2,04

21

319

Függelék 2,70

2,50

2,39

2,27

2,21

2,17

2,09

2,08

2,00

22

2,67

2,47

2,36

2,24

2,18

2,14

2,06

2,04

1,97

23

2,64

2,44

2,33

2,21

2,15

2,11

2,02

2,01

1,94

24

2,61

2,41

2,30

2,18

2,12

2,08

2,00

1,98

1,91

25

2,59

2,39

2,28

2,16

2,09

2,05

1,97

1,95

1,88

26

2,57

2,36

2,25

2,13

2,07

2,03

1,94

1,93

1,85

27

2,55

2,34

2,23

2,11

2,05

2,01

1,92

1,91

1,83

28

2,53

2,32

2,21

2,09

2,03

1,99

1,90

1,89

1,81

29

2,51

2,31

2,20

2,07

2,01

1,97

1,88

1,87

1,79

30

2,39

2,18

2,07

1,94

1,88

1,83

1,74

1,72

1,64

40

2,32

2,11

1,99

1,87

1,80

1,75

1,66

1,64

1,55

50

2,18

1,97

1,85

1,71

1,64

1,59

1,48

1,46

1,35

100

2,16

1,94

1,82

1,69

1,61

1,56

1,45

1,43

1,31

120

2,05

1,83

1,71

1,57

1,49

1,43

1,30

1,27

1,00

∞

8

9

3. táblázat - Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 1

2

3

4

5

6

7

1

4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 5859,0 5928,3 5981,0 6022,4

2

98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39

3

34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34

4

21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66

5

16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16

6

13,75 10,92

9,78

9,15

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7

12,25

9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

8

11,26

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

320

Függelék 9

10,56

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

10

10,04

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

11

9,65

7,21

6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,74

4,63

12

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

4,50

4,39

13

9,07

6,70

5,74

5,21

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19

14

8,86

6,51

5,56

5,04

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03

15

8,68

6,36

5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89

16

8,53

6,23

5,29

4,77

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78

17

8,40

6,11

5,19

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68

18

8,29

6,01

5,09

4,58

4,25

4,01

3,84

3,71

3,60

19

8,18

5,93

5,01

4,50

4,17

3,94

3,77

3,63

3,52

20

8,10

5,85

4,94

4,43

4,10

3,87

3,70

3,56

3,46

21

8,02

5,78

4,87

4,37

4,04

3,81

3,64

3,51

3,40

22

7,95

5,72

4,82

4,31

3,99

3,76

3,59

3,45

3,35

23

7,88

5,66

4,76

4,26

3,94

3,71

3,54

3,41

3,30

24

7,82

5,61

4,72

4,22

3,90

3,67

3,50

3,36

3,26

25

7,77

5,57

4,68

4,18

3,85

3,63

3,46

3,32

3,22

26

7,72

5,53

4,64

4,14

3,82

3,59

3,42

3,29

3,18

27

7,68

5,49

4,60

4,11

3,78

3,56

3,39

3,26

3,15

28

7,64

5,45

4,57

4,07

3,75

3,53

3,36

3,23

3,12

29

7,60

5,42

4,54

4,04

3,73

3,50

3,33

3,20

3,09

30

7,56

5,39

4,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07

40

7,31

5,18

4,31

3,83

3,51

3,29

3,12

2,99

2,89

50

7,17

5,06

4,20

3,72

3,41

3,19

3,02

2,89

2,78

100

6,90

4,82

3,98

3,51

3,21

2,99

2,82

2,69

2,59

120

6,85

4,79

3,95

3,48

3,17

2,96

2,79

2,66

2,56

∞

6,64

4,61

3,78

3,32

3,02

2,80

2,64

2,51

2,41

321

Függelék

3. táblázat - Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 10

15

20

30

40

50

100

120

∞

6055,9 6157,0 6208,7 6260,4 6286,4 6302,3 6333,9 6339,5 6365,6 1 99,40 99,43 99,45 99,47 99,48 99,48 99,49 99,49 99,50 2 27,23 26,87 26,69 26,50 26,41 26,35 26,24 26,22 26,13 3 14,55 14,20 14,02 13,84 13,75 13,69 13,58 13,56 13,46 4 10,05 9,72

9,55

9,38

9,29

9,24

9,13

9,11

9,02

5

7,87

7,56

7,40

7,23

7,14

7,09

6,99

6,97

6,88

6

6,62

6,31

6,16

5,99

5,91

5,86

5,75

5,74

5,65

7

5,81

5,52

5,36

5,20

5,12

5,07

4,96

4,95

4,86

8

5,26

4,96

4,81

4,65

4,57

4,52

4,41

4,40

4,31

9

4,85

4,56

4,41

4,25

4,17

4,12

4,01

4,00

3,91

10

4,54

4,25

4,10

3,94

3,86

3,81

3,71

3,69

3,60

11

4,30

4,01

3,86

3,70

3,62

3,57

3,47

3,45

3,36

12

4,10

3,82

3,66

3,51

3,43

3,38

3,27

3,25

3,17

13

3,94

3,66

3,51

3,35

3,27

3,22

3,11

3,09

3,01

14

3,80

3,52

3,37

3,21

3,13

3,08

2,98

2,96

2,87

15

3,69

3,41

3,26

3,10

3,02

2,97

2,86

2,84

2,75

16

3,59

3,31

3,16

3,00

2,92

2,87

2,76

2,75

2,65

17

3,51

3,23

3,08

2,92

2,84

2,78

2,68

2,66

2,57

18

3,43

3,15

3,00

2,84

2,76

2,71

2,60

2,58

2,49

19

3,37

3,09

2,94

2,78

2,69

2,64

2,54

2,52

2,42

20

3,31

3,03

2,88

2,72

2,64

2,58

2,48

2,46

2,36

21

3,26

2,98

2,83

2,67

2,58

2,53

2,42

2,40

2,31

22

3,21

2,93

2,78

2,62

2,54

2,48

2,37

2,35

2,26

23

322

Függelék 3,17

2,89

2,74

2,58

2,49

2,44

2,33

2,31

2,21

24

3,13

2,85

2,70

2,54

2,45

2,40

2,29

2,27

2,17

25

3,09

2,81

2,66

2,50

2,42

2,36

2,25

2,23

2,13

26

3,06

2,78

2,63

2,47

2,38

2,33

2,22

2,20

2,10

27

3,03

2,75

2,60

2,44

2,35

2,30

2,19

2,17

2,07

28

3,00

2,73

2,57

2,41

2,33

2,27

2,16

2,14

2,04

29

2,98

2,70

2,55

2,39

2,30

2,25

2,13

2,11

2,01

30

2,80

2,52

2,37

2,20

2,11

2,06

1,94

1,92

1,81

40

2,70

2,42

2,27

2,10

2,01

1,95

1,82

1,80

1,68

50

2,50

2,22

2,07

1,89

1,80

1,74

1,60

1,57

1,43

100

2,47

2,19

2,03

1,86

1,76

1,70

1,56

1,53

1,38

120

2,32

2,04

1,88

1,70

1,59

1,53

1,36

1,33

1,00

∞

4. táblázat - A Student-féle t-eloszlás táblázata szf

0,55

0,6

0,7

0,8

0,90

0,95 0,975 0,9775 0,99 0,995

1

0,158 0,325 0,727 1,376 3,08

6,31 12,71 14,12 31,82 63,66

2

0,142 0,289 0,617 1,061 1,89

2,92

4,30

4,55

6,96

9,92

3

0,137 0,277 0,584 0,978 1,64

2,35

3,18

3,32

4,54

5,84

4

0,134 0,271 0,569 0,941 1,53

2,13

2,78

2,88

3,75

4,60

5

0,132 0,267 0,559 0,920 1,48

2,02

2,57

2,66

3,36

4,03

6

0,131 0,265 0,553 0,906 1,44

1,94

2,45

2,52

3,14

3,71

7

0,130 0,263 0,549 0,896 1,41

1,89

2,36

2,44

3,00

3,50

8

0,130 0,262 0,546 0,889 1,40

1,86

2,31

2,37

2,90

3,36

9

0,129 0,261 0,543 0,883 1,38

1,83

2,26

2,33

2,82

3,25

10

0,129 0,260 0,542 0,879 1,37

1,81

2,23

2,29

2,76

3,17

11

0,129 0,260 0,540 0,876 1,36

1,80

2,20

2,26

2,72

3,11

12

0,128 0,259 0,539 0,873 1,36

1,78

2,18

2,24

2,68

3,05

13

0,128 0,259 0,538 0,870 1,35

1,77

2,16

2,22

2,65

3,01

323

Függelék 14

0,128 0,258 0,537 0,868 1,35

1,76

2,14

2,20

2,62

2,98

15

0,128 0,258 0,536 0,866 1,34

1,75

2,13

2,19

2,60

2,95

16

0,128 0,258 0,535 0,865 1,34

1,75

2,12

2,17

2,58

2,92

17

0,128 0,257 0,534 0,863 1,33

1,74

2,11

2,16

2,57

2,90

18

0,127 0,257 0,534 0,862 1,33

1,73

2,10

2,15

2,55

2,88

19

0,127 0,257 0,533 0,861 1,33

1,73

2,09

2,15

2,54

2,86

20

0,127 0,257 0,533 0,860 1,33

1,72

2,09

2,14

2,53

2,85

21

0,127 0,257 0,532 0,859 1,32

1,72

2,08

2,13

2,52

2,83

22

0,127 0,256 0,532 0,858 1,32

1,72

2,07

2,13

2,51

2,82

23

0,127 0,256 0,532 0,858 1,32

1,71

2,07

2,12

2,50

2,81

24

0,127 0,256 0,531 0,857 1,32

1,71

2,06

2,12

2,49

2,80

25

0,127 0,256 0,531 0,856 1,32

1,71

2,06

2,11

2,49

2,79

26

0,127 0,256 0,531 0,856 1,31

1,71

2,06

2,11

2,48

2,78

27

0,127 0,256 0,531 0,855 1,31

1,70

2,05

2,10

2,47

2,77

28

0,127 0,256 0,530 0,855 1,31

1,70

2,05

2,10

2,47

2,76

29

0,127 0,256 0,530 0,854 1,31

1,70

2,05

2,10

2,46

2,76

30

0,127 0,256 0,530 0,854 1,31

1,70

2,04

2,09

2,46

2,75

40

0,126 0,255 0,529 0,851 1,30

1,68

2,02

2,07

2,42

2,70

50

0,126 0,255 0,528 0,849 1,30

1,68

2,01

2,06

2,40

2,68

100 0,126 0,254 0,526 0,845 1,29

1,66

1,98

2,03

2,36

2,63

120 0,126 0,254 0,526 0,845 1,29

1,66

1,98

2,03

2,36

2,62

1,65

1,96

2,01

2,33

2,58

∞

0,126 0,253 0,524 0,842 1,28

324

B. függelék - Tárgymutató becslés intervallum# pont# sokasági arány sokasági értékösszeg sokasági szórásnégyzet sokasági várható érték becslőfüggvény determinációs együttható elégségesség elfogadási tartomány előrejelzés (extrapoláció) elsőfajú hiba erőfüggvény F-próba függetlenségvizsgálat hatásosság hiba elsőfajú 325

Tárgymutató #határ másodfajú mintavételi nem mintavételi standard hipotézis alternatív null# #-ellenőrzés #vizsgálat idősorelemzés determinisztikus sztochasztikus idősorok összetevői additív multiplikatív illeszkedésvizsgálat becsléses tiszta kiválasztási arány konfidenciaintervallum 326

Tárgymutató egyedi becslések paraméterek konzisztencia korrekciós tényező korrelációs együttható lineáris parciális páronkénti rang# többszörös korrelációs mátrix kovariancia #mátrix kritikus érték kritikus tartomány bal oldali jobb oldali kétoldali legkisebb négyzetek módszere lineáris regresszió másodfajú hiba 327

Tárgymutató minta # elemszáma #jellemző egyszerű véletlen független rétegzett mintaelosztás arányos egyenletes Neyman-féle mozgóátlagolás multikollinearitás # mérőszáma normálegyenletek transzformált periodikus ingadozás pontdiagram próba (teszt) #függvény arányra vonatkozó egymintás t328

Tárgymutató egymintás zFkétmintás tkétmintás z2

χ szórásra irányuló regresszió analitikus elméleti standard lineáris tapasztalati regressziófüggvény # abszolút hibája # relatív hibája analitikus exponenciális hatványkitevős parabolikus tapasztalati regressziós együttható parciális 329

Tárgymutató # tesztelése robusztus becslés rugalmassági együttható parciális standard hiba szezonális eltérés szezonindex szignifikanciaszint torzítatlanság aszimptotikus trend 243 analitikus exponenciális lineáris mozgóátlagolású parabolikus polinomiális útdiagram varianciaanalízis #-tábla variancia-kovariancia mátrix 330