A1
ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tovább nem bontható anyag atomokból épül fel. Az atom atommagból és az atommagot körülvevő elektronhéjakból áll. Az atommagot protonok és neutronok, az elektronhéjat pedig a mag körül keringő elektronok alkotják. A külső héjon levő elektronok a valencia vagy vegyérték elektronok, amelyeknek fontos szerepük van az atomok egymáshoz való kapcsolódásában. Az elektron és a proton elektromos töltéssel rendelkező részecske. Az elektromos töltésű részecskék erőhatást gyakorolnak egymásra. Ez a protonnál és az elektronnál – a tömegük különbözősége ellenére – egyenlő nagyságú, míg neutronnál nincs ilyen erőhatás. Elektromos töltések egymásra ható ereje lehet vonzó vagy taszító. Ennek megfelelően két különnemű töltést különböztetünk meg: pozitív és negatív töltést. Azonos nemű töltések taszítják, különneműek vonzzák egymást. Megállapodás szerint a protonok töltése pozitív, az elektronoké negatív. Az elektromos töltést rendszerint Q betűvel jelöljük. A töltés egysége [Q] =1coulomb=1C=1As (amper szekundum). A protonnak és az elektronnak, mint legkisebb töltésnek az abszolút értéke Q=1,6.10-19 C. Az atom semleges állapotban annyi elektront tartalmaz, ahány protont. Ha az elektronok száma több vagy kevesebb a protonokénál, az atomot ionnak hívjuk. Az ion elektromosan nem semleges: elektronhiány esetén pozitív, elektrontöbblet esetén negatív töltésű. Az elektromos töltés tehát az elemi részecskék egyik jellemzője. Az anyagmegmaradás elve az elektromos töltés megmaradását is jelenti. Az elektromos töltések egymásra gyakorolt erőhatásán keresztül a töltés mérhető. Az elektromos jelenségekre vonatkozó legrégebben ismert összefüggés a Coulomb-törvény mérések sorozatának általánosítása. E törvény szerint homogén izotróp közegben elhelyezkedő, nyugalomban levő két pontszerű Q1, Q2 töltés által egymásra gyakorolt erő arányos mind a két töltéssel, fordítottan arányos a r12 távolságuk négyzetével és függ a teret kitöltő közegtől: 1 Q1 ⋅ Q 2 . F= 4 ⋅ π ⋅ ε r12 2 Az erő iránya a két töltést összekötő egyenesbe esik. Az ε anyagjellemző neve permittivitás vagy (abszolút) dielektromos állandó. Az ε értékét valamely anyagra úgy adjuk meg, mint a vákuum ε0 permittivitásának és az illető anyagnak a vákuumhoz viszonyított εr relatív permittivitásának szorzatát: ε=ε0.εr, ahol ε0=10-9/(4.π.9) As/Vm, εr pedig dimenzió nélküli szám. Az ismert anyagoknál εr>1, levegőnél εr ≈1. Két pontszerű töltés egymásra gyakorolt erőhatását úgy is értelmezzük, hogy az egyik töltés maga körül E elektromos teret hoz létre és ebben a térben a másik töltésre erő hat. Ez az erő arányos a térben levő Q töltés nagyságával: F=Q.E Az E arányossági tényező jellemzi az elektromos teret, neve: elektromos térerősség. Az E vektoriális mennyiség. Ha a Q töltés pozitív, akkor a töltésre ható erő iránya V N megegyezik az E irányával. Az elektromos térerősség egysége [E ] =1 =1 . m As
A2
Az elektromos áram Az elektromos töltések mozgása az elektromos áram. A kiszemelt A felületen áthaladó töltések i árama dQ . i= dt Ha az A felület i árama időben állandó, akkor egyenáramnak nevezik és I-vel jelölik. Ekkor Q I= . t Vezetők, szigetelők és félvezetők Az elektromos térben való viselkedés szempontjából az anyagok három csoportba oszthatók: vezetőkre, szigetelőkre és félvezetőkre. Vezető anyagok a fémek. Ezekben az atommaghoz szorosan kötődő törzselektronok és lazán kapcsolódó vegyérték- (valencia-) elektronok találhatók. A vegyértékelektronok az atomról termikus energiájuk hatására is leszakadhatnak. Így a vezetőkben sok ún. szabad töltéshordozó van (cm3-enként ~1022), amelyek elektromos tér hatására mozgásba jönnek. Ideális vezetőben a töltések mozgatása munkavégzést nem követel. Az anyagok másik csoportja a szigetelők, más néven dielektrikumok. Ezekben gyakorlatilag nincs szabad töltéshordozó . Ideális szigetelőkben a töltések az elektromos tér hatására nem mozdulnak el. Ideális vezető és ideális szigetelő nincs. A valóságos fémekben a töltések mozgatása munkavégzést igényel és a valóságos szigetelőkben a térerősség hatására a töltések elmozdulnak. Sok anyag azonban számos jelenségnél az ideális vezetőt, ill. szigetelőt jól közelíti. Félvezetőkben közepes nagyságú a vezetésben résztvevő szabad töltések száma (~1017/cm3). Félvezetőkből kialakított eszközökben az elektromos tér hatására különböző vezetési mechanizmusok alakulnak ki, amelyek sokszor kívülről adott energiával vezérelhetők (megindíthatók, ill. megszüntethetők). A vezetőket, félvezetőket és szigetelőket a fajlagos ellenállásuk alapján is megkülönböztethetjük. Így vezetőknél ρ=10-8…10-7 Ωm, félvezetőknél ρ=10-5…102 Ωm, szigetelőknél ρ=103…1016 Ωm. Elektromos feszültség Elektromos teret létesíthet olyan berendezés, ún. generátor, amelyben valamilyen energia hatására (mechanikai, hő-, vegyi, fény…) a pozitív és a negatív töltések szétválnak és a generátor egyik sarkán, (kivezetésén, pólusán) pozitív, a másikon negatív töltésű részecskék vannak többségben. Ezek a töltések a pólusok között elektromos teret létesítenek. Fémes kötésű atomokból álló anyagban –vezetőben– a valencia elektronok elektromos térben a térerősség irányával ellentétes irányban elmozdulnak. A generátor pólusait ilyen vezető két pontjával összekötve az tapasztalható, hogy a vezetőben áram folyik. A generátor negatív töltésű pólusából elektronok lépnek a vezetőbe, a vezetőből pedig a pozitív töltésű póluson keresztül a generátorba. A vezetőben kialakuló i áram a generátoron át záródik, mert a generátor töltésszétválasztása folyamatos lesz. A töltések mozgatása munkavégzéssel jár. A Q töltésnek a vezető két pontja közötti mozgatásánál végzett munka arányos a töltéssel: W=Q.u,
A3
ahol u a vezető két pontja közötti feszültség. Ebből az u = mozgatásakor végzett munka. Egysége: [u] =1
W az egységnyi töltés Q
J = 1 volt=1 V. As
i + generátor, termelő
i
i u
vezető, fogyasztó, terhelő ellenállás, terhelés
i
A feszültségnek és az áramnak irányt is tulajdonítunk. A feszültség valóságos iránya – megállapodás szerint – a generátor pozitív töltésű pólusától a negatív töltésű felé, (a magasabb potenciálú helyről az alacsonyabb potenciálú hely felé) mutat. Ez azt jelenti, hogy a generátorban a feszültség és az áram iránya ellentétes, a vezetőben pedig azonos, mint ez az ábrán látszik. Az áram valóságos iránya – megállapodás szerint – a pozitív töltések mozgásirányával egyezik. (Vezetőkben az elektronok mozgásával ellentétes.) A hálózatszámítás során – mint látni fogjuk – a feszültségek, áramok iránya az esetek egy részében nem ismeretes, vagy az idő függvényében változik. Ezért ezeket az összefüggések felírásánál gyakran nem a tényleges iránnyal, hanem a két pont közötti nyíllal jelölve önkényesen választott vonatkozási iránnyal (a referencia vagy mérő iránnyal) vesszük figyelembe, a tényleges irány pedig a számításból derül ki. Ha ugyanis a számítás eredménye egyes áramokra, feszültségekre pozitív, akkor ezek tényleges, – vagyis előbbi megállapodásaink szerinti – iránya a felvett vonatkozási iránnyal megegyezik, azon áramok, feszültségek iránya, amelyekre a számítás negatív értéket ad, a választott vonatkozási iránnyal ellentétes. Az Ohm- és a Joule-törvény Adott vezető i árama – tapasztalat szerint sok esetben jó közelítéssel – arányos a vezető két pontja közötti u feszültséggel. Ezt fogalmazza meg az u=R.i Ohm törvény, ahol R a vezető két pontja, két kivezetése közötti ellenállás (rezisztencia). Az ellenállás egysége [R ] =1 ohm=1 Ω=1 V/A. Minthogy R ≥ 0, az ellenálláson a feszültség és az áram iránya minden pillanatban megegyező. Az Ohm-törvény azt fejezi ki, hogy a vezető anyaga az elektronok áramlásával szemben ellenállást fejt ki. Az ellenállás úgy magyarázható, hogy az elektromos tér hatására felgyorsult elektronok a vezető atomjaiba ütköznek és energiájuk egy részét átadják az atomoknak. R az anyag elektronáramlással szemben fellépő ellenállását fejezi ki. Ugyanakkora feszültség mellett annál kisebb az áram, minél nagyobb R értéke. Az R=0 ellenállást rövidzárnak, az R=∞-t szakadásnak mondjuk. Az R ellenállás jelét az ábra mutatja.
R=0
R=∞
R
A4
Homogén anyagú, állandó keresztmetszetű egyenes vezetőben az R ellenállás értéke függ a vezető anyagától (ρ), arányos az l hosszával és az erre merőleges A keresztmetszetének reciprokával: l 1 l R = ρ⋅ = ⋅ , A σ Α ahol ρ a vezető fajlagos ellenállása, σ=1/ρ a fajlagos vezetése. Az egységek: [ρ] =1 Ωm, [σ] =1 Ω-1m-1. A vezető R ellenállása helyett szokás ennek reciprokával, a G vezetéssel (konduktanciával) számolni: 1 i G= = [G ]=1 siemens = 1 S=1 Ω-1. R u A vezetőben mozgó, töltéssel bíró részecskék (pl. elektronok) energiájuk egy részét ütközések során a vezető atomjainak átadják és ez hőenergiává alakul, vagyis az áram a vezetőt felmelegíti. Egyenáram esetén a t idő alatt az átadott energia: W W=Q.U=U.I.t, a hőteljesítmény pedig: Egysége: P= = U⋅I. t [P ]=1 W=1 watt. Az U=R.I-t behelyettesítve kapjuk, hogy P = U ⋅ I =
U2 = R ⋅ I 2 ≥ 0. Ez a JouleR
törvény. Az ellenállásnak két kivezetése, pólusa van. A továbbiakban más két pólussal bíró elrendezést is kétpólusnak nevezünk. Generátorok, források Az olyan eszközt, amely nem villamos energiát villamos energiává alakít át generátornak nevezzük. A generátorok gyakran kétpólusok. A generátor egyik pólusán pozitív, a másikon negatív töltések jelennek meg. Generátorok pl. az akkumulátorok, a száraz elemek, amelyek kémiai, a villamos forgógépek, amelyek mechanikai, a fényelemek, amelyek fényenergia villamos energiává alakítására alkalmasak. A generátorok két fajtája az ideális feszültséggenerátor vagy feszültségforrás, ill. az ideális áramgenerátor vagy az áramforrás. Az ideális feszültséggenerátor áll egy ug feszültségforrásból, amelynek feszültsége állandó, független a forráson átfolyó áramtól. Az ug vonatkozási irányát az egyik pólustól a másik felé mutató nyíllal jelöljük, a nyíl mellett pedig feltüntetjük az időfüggvényét, vagy jelölését. Az ideális áramgenerátor áll egy ig áramforrásból, amelynek árama állandó, független a feszültségétől. Az ig vonatkozási irányát egy üres háromszög nyíllal szokás jelölni. +
+ ug
ideális feszültséggenerátor, vagy feszültségforrás
ig
ideális áramgenerátor, vagy áramforrás
A gyakorlatban előforduló generátorok nem tekinthetők ideális forrásoknak. Viselkedésüket azonban jól megadja, jól modellezi ilyen források ellenállások vagy más kétpólusok összekapcsolásával nyert kétpólus. A valóságos generátort feszültségének és áramának kapcsolatával jellemezzük.
A5
Kondenzátor A kondenzátor olyan kétpólus, amely két, egymástól szigetelt vezetőből, elektródából áll. Jele az ábrán látható. A kondenzátort állandó U feszültségre kapcsolva az egyik elektródán +Q, a másikon –Q töltés halmozódik fel. A tapasztalat azt C mutatja, hogy a kondenzátoron a Q töltés és az elektródák közötti U + feszültség arányos egymással. Q=C.U. A C arányossági tényező a kondenzátor kapacitása. Egysége: [C] =1 As/V=1 farad=1F. A gyakorlatban a kondenzátorok nagy része olyan, hogy a C kapacitás kizárólag a kondenzátor elektródáinak és szigetelő anyagának geometriai elrendezésétől, valamint a A szigetelőanyag εr relatív permittivitásától függ. Síkkondenzátornál: C = ε r ⋅ ε 0 ⋅ , d ahol: A az elektródák felülete, d az elektródák közötti távolság. Ha a kondenzátorra kapcsolt u(t) feszültség az időben változik, akkor Q(t)=C.u(t), vagyis az elektródák töltése is időben változó. Az időben változó töltés áramot dQ du eredményez: i( t ) = = C ⋅ , vagyis a kondenzátorhoz csatlakozó vezetőkben áram dt dt folyik. A kondenzátor elektródáira töltést juttatva a kondenzátorral energiát közlünk. Ez az energia: 1 Q2 1 1 W= ⋅ = ⋅ C ⋅ U 2 = ⋅ Q ⋅ U. 2 C 2 2 A kondenzátor elektromos energia tárolására alkalmas kétpólus. Mágneses tér Ha két vezetőben áram folyik, akkor – a tapasztalat szerint – ezekre erő hat. Ezt a jelenséget úgy írjuk le, hogy az egyik vezetőben folyó áram mágneses teret, B mágneses indukciót hoz létre. Az ebben a térben elhelyezkedő vezetőben mozgó töltésre, (a másik vezetőben folyó áramra, közvetve pedig a vezetékre) erő hat. Egyenáramtól átjárt, hosszú, egyenes vezető környezetében a B indukció koncentrikus körvonalak mentén állandó, iránya az I irányához a jobbcsavar-szabály szerint igazodik. I A hosszú, egyenes vezető I árama és mágneses tere között a B = µ ⋅ kapcsolat 2⋅r⋅π van, ahol: µ=µr.µ0, µr a relatív permeabilitás, maximális értéke ferromágneses anyagoknál 300…30000 ⎡ Vs ⎤ , µ0 a vákuumbeli permeabilitás, µ0=4.π.10-7 ⎢ ⎣ Am ⎥⎦ r a vezetőtől számított távolság. (A para- és diamágneses anyagoknál gyakorlatilag µr≈1.) A B indukcióval jellemzett mágneses térben az I árammal átjárt, l hosszúságú másik vezetőre, (az I ⋅ l áramvezetőre) ható erő, ha a B ⊥ az I ⋅ l -re F=B.I ⋅ l Ezt Laplace erőtörvénynek nevezzük. Ebből adódik a B mértékegysége: [B] = N = Vs2 = tesla = T . Am m Két, párhuzamos, igen hosszú, I1 és I2 áramú vezetőpár l hosszúságú darabjára ható erőt úgy is kifejezhetjük, hogy pl. az I1-es áramú vezető által létesített B1 mágneses
A6
térben az I2–re ható erőt fejezzük ki. Ekkor F = B1 ⋅ I 2 ⋅ l = µ ⋅
I1 ⋅ I 2 ⋅ l . Ezt a képletet 2⋅r ⋅π
Ampère erőtörvényének nevezzük. A mágneses térben kijelölt egymenetű vezető által körülvett A felület és a rajta áthaladó B indukció szorzata a φ mágneses fluxus. A legegyszerűbb esetben: φ=B.A. Mértékegysége: [φ] = 1⋅ Vs =1 weber=1 Wb. Sokszor a mágneses teret az A felület fluxusával jellemezzük. Sorba kapcsolt N menetű vezető esetén (pl. egy szolenoid) tekercs fluxusról beszélünk, amit ψ-vel jelölünk. ψ=N.B.A. Ha B-t a vezető saját I árama hozza létre, a ψ (egyes esetektől eltekintve) arányos a vezető áramával: ψ=L.I, ahol L a vezető keret öninduktivitása (önindukciós tényezője). Vs Egysége: [L] = 1 = 1 Henry =1 H. Szokásos jelölése az ábrán látható. L A Az l hosszúságú tekercs (szolenoid) önindukciós tényezője, ha l », mint a D átmérő: µ ⋅ N2 ⋅ A , ahol N a tekercs menetszáma. L= l Két (vagy több) vezetőkeret egymás közötti induktivitását kölcsönös induktivitásnak hívjuk. Jelölése: L12=L21. A nyugalmi indukció jelensége Zárt vezetőkeretet (induktivitást) időben változó áram mágneses terébe helyezve tapasztalható, hogy a keretben feszültség indukálódik. Ez a feszültség a felület ψ-t dψ fluxusából számítható: u i = − . Ez az összefüggés a Faraday-féle indukció törvény. dt A vezetőben akkor is feszültség indukálódik, ha a vezető által körülvett felület időben változó mágneses fluxusát ennek a vezetőnek az árama hozza létre. Erre az esetre di ψ(t)=L.i(t) alakban írható. Ezzel: u i = − L . Ez az összefüggés ui és i egymással dt ellentétes vonatkozási iránya esetén érvényes. Ilyen vonatkozási irány elsősorban generátoroknál szokásos. A következőkben tárgyalásra kerülő hálózatszámítások során – a ellenálláshoz és a kondenzátorhoz hasonlóan – az induktivitás áramának és feszültségének a vonatkozási irányát egymással egyezőnek szokás felvenni. Az egyik vonatkozási irány megváltoztatása az egyenletben az illető mennyiség –1-gyel való szorzásának felel meg, vagyis ekkor di u L = L . Megkülönböztetésül uL-t induktív feszültségnek nevezzük. dt 1 1 1 ψ2 Az I áramú induktivitásban tárolt mágneses energia: W = ⋅ L ⋅ I 2 = ⋅ ψ ⋅ I = ⋅ . 2 2 2 L A mozgási indukció jelensége A B homogén mágneses térben v sebességgel mozgó vezetőben levő töltött részecskékre erő hat. Ez az erő szétválasztja a töltéseket. A vezető egyik végén negatív töltések (elektronok) a másik végén pozitív töltések (elektron hiány) halmozódnak fel, a vezető két vége között feszültség keletkezik. Az l hatásos hosszúságú vezetőben keletkező indukált feszültség, ha a B, l és v merőlegesek egymásra: ui=B. l .v. A Lenz-törvény szerint az indukált feszültség mindkét fajta indukciónál, (amelyek csak szemléletben különböznek) olyan irányú, hogy az általa létrehozott hatás (az általa
A7
létrehozott áram és a mágneses tér kölcsönhatása) az indukciót létrehozó változás ellen hat. Az áram hatásai Foglaljuk össze az áram hatásait: 1) Hőhatás, fényhatás. Ezt a hatást fejezi ki Joule-törvény. Alkalmazási példák: rezsó, vasaló, izzó, ívhegesztés, villamos fűtésű kemencék, indukciós hevítés. 2) Mágneses teret okozó hatás, ezáltal erőt (ill. nyomatékot) létrehozó hatás. Ezt fejezi ki a Laplace erőtörvény. Alkalmazás pl. villamos műszerekben, és gépekben. 3) Vegyi hatás. Ezt fejezik ki az elektrolízisre vonaztozó Faraday törvények. Példák: elektrolízis → alumínium gyártás, galvanizálás, szárazelemek, akkumulátorok. 4) Élettani hatás. Példák: hasznos → gyógyászati alkalmazás (fizikoterápia, EKG, pacemaker), káros → áramütés. Megelőzésével az áramütés elleni védelem foglalkozik. A felsoroltakból látszik, hogy legtöbbször az áramot ill. a hatásait hasznosítjuk. Nem véletlen tehát, hogy az elektrotechnikai számításoknál mindenekelőtt az áramok számítjuk ki. A villamos hálózat fogalma Egy villamos hálózat: aktív kétpólusokból, generátorokból és passzív kétpólusokból, ellenállásból, kondenzátorból, induktivitásból áll. Ilyen kétpólusokat sorba, párhuzamosan vagy vegyesen kapcsolva kapunk egy hálózatot. Az alábbi táblázat összefoglalja, hogy a kétpólusok árama és feszültsége milyen fizikai kapcsolatban van. Jelölés
ug
i
ig
u
u, i
R
u, i
u, i
A feszültség és áram kapcsolata
C
L
Megnevezés
ug független az i-től
feszültségforrás
ig független az u-tól
áramforrás
u=R.i
i = C⋅
ellenállás
du dt
u = L⋅
kondenzátor
di dt
induktivitás
A8
Egyenáramú hálózatok Az egyenáramú hálózatok valamennyi árama és feszültsége időben állandó, így a tárgyalt hálózati elemek közül az induktivitás feszültsége és a kondenzátor árama nulla (lásd a táblázat), vagyis ez esetben az induktivitás rövidzárral, a kondenzátor szakadással helyettesíthető. Így az egyenáramú hálózat modelljében csak az R ellenállás jelenik meg, mint passzív elem. Az aktív elemeknek, a generátoroknak kétféle modellje van. A valóságos feszültséggenerátor (röviden csak feszültséggenerátor, a későbbiekben Thevenin generátor) egy feszültségforrásból és vele sorosan kapcsolt Rb belső ellenállásból áll. A (valóságos) áramgenerátor (a későbbiekben Norton generátor) pedig egy áramforrásból és vele párhuzamosan kapcsolt Rb belső ellenállásból. A két modell a generátorok kapcsaira nézve egyenértékű, ill. egymásba átszámítható. Hálózatszámítási fogalmak Az ág a hálózatnak az a része, amelyiken ugyanaz az áram folyik. Pl. sorba kapcsolt kétpólusok egy ágat alkotnak. A csomópont, ahol 3 vagy több ág találkozik. A hurok. A hálózat egy pontjából kiindulva az ágakon és a csomópontokon egyszer áthaladva, visszaérve a kiindulási ponthoz, az érintett ágak a hálózat egy hurokját alkotják. A hurkot egy körüljárási iránnyal jelöljük meg. Referencia, (vonatkozási, mérő) irányok. Az egyenletek felírásához előre fel kell venni az áramok és feszültségek vonatkozási irányát. Ha a számítás eredménye pozitív, akkor „eltaláltuk” a valóságos irányt. Ez azonban csak egyszerű hálózatoknál sikerül. Ha nem találtuk el a valóságos irányt, (ez nem baj,) akkor a negatív eredmény a helyes. Általában a táblázatba látható referencia irányokat célszerű felvenni, azaz passzív kétpólusoknál a feszültség és áram irányát egyezőre, aktív kétpólusoknál ellentétesre. Ha ismerjük a valóságos irányt, akkor persze ezt vesszük fel vonatkozási iránynak. Hálózatszámítási módszerek a Kirchhoff egyenleteken alapulnak. A csomóponti egyenlet: ∑ I = 0. Egy csomópontba (a referencia irány szerint) befolyó és kifolyó áramok összege zérus. A csomóponti egyenlet a töltésmegmaradás (ezen keresztül az anyagmegmaradás) elvét fejezi ki. A hurok egyenlet: ∑ U = 0. Egy zárt hurokban a körüljárási iránnyal megegyező és ellentétes (referencia) irányú feszültségek összege zérus. A hurok egyenlet az energiamegmaradás elvét fejezi ki. A Kirchhoff egyenletekkel mindenekelőtt bonyolult hálózatok egyes ágaiban folyó ismeretlen áramokat lehet meghatározni, ha ismerjük a hálózat kétpólusainak, (az ellenállásoknak és a generátoroknak) a paramétereit. A hálózat „megoldása” azt jelenti, hogy az ismeretlen áramú ágak számával megegyező számú, lineárisan független egyenletet kell felírni. Jelöljük az ismeretlen ágáramok számát b-vel. Ennyi lineárisan független egyenletet kell tehát felírni a Kirchhoff egyenletekkel. Jelöljük a hálózat csomópontjainak számát n-nel. A lineárisan független csomóponti egyenletek száma (n-1). A felírandó hurokegyenletek száma: m=b-(n-1).
A9
A hurokegyenletek akkor lesznek függetlenek, ha minden ág legalább egyszer egy hurokegyenletben szerepel, de hurok nem záródik Ig-t tartalmazó ágon, mert az Ig-s ág (soros) ellenállása ∞, így az idegen áramokra szakadást jelent. A következő ábrán egy egyszerű áramkör látható. Az áramkör Ug ismert feszültségforrást és egyetlen hurkot I tartalmaz. A hurokegyenlet: − U g + (R 1 + R 2 ) ⋅ I = 0 , I-t R1
R1.I= UR1
Ug R2
R2.I=UR2
kifejezve
I=
Ug R1 + R 2
=
Ug Re
,
amiből
látszik,
hogy
Re=R1+R2+…, azaz sorba kapcsolt ellenállások eredője az összetevők összegével egyezik.
Az UR2=R2.I-be I-t behelyettesítve és rendezve az R2 ellenállás feszültségét R2 R1 . Értelemszerűen U R1 = U g ⋅ . Ezek a kapjuk U R 2 = U g ⋅ R1 + R 2 R1 + R 2 feszültségosztó képletei. Egy másik egyszerű áramkör. Ez az áramkör Ig ismert áramforrást, I1, I2 ismeretlen áramot és 2 csomópontot tartalmaz. Egy lineárisan független csomóponti egyenletet lehet Ig I1 R1 U I2 R2 felírni. (A másik egyenlet ennek -1-szerese, tehát nem független.) -Ig+I1+I2=0 A második egyenlet egy hurokegyenletet, (de a hurok nem záródhat az Ig-n). -R1.I1+R2.I2=0 Az Ohm-törvényt használva U= R1.I1= R2.I2 U U I1 = I2 = , de az első egyenlet szerint A harmadik egyenletből R1 R2 Ig ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ U ⎟⎟ = I1+ I2= Ig= U ⋅ ⎜⎜ , amiből = = + + ... azaz + U R e R1 R 2 ⎝ R1 R 2 ⎠ R e párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciproka az összetevők reciprokának összege, amin az Ig áram folyik. R ⋅R 1 1 1 = + . Rendezve Re = 1 2 , Két ellenállás esetén U=Re.Ig. R e R1 R 2 R1 + R 2 R ⋅R Ezt felhasználva U = 1 2 ⋅ I g = R 1 ⋅ I1 = R 2 ⋅ I 2 . Ebből megkapjuk az R1 + R 2 R2 R1 és I2 = Ig ⋅ áramosztó képleteit I1 = I g ⋅ R1 + R 2 R1 + R 2
Az előző két áramkört kissé átalakítva és az indexeket megváltoztatva az R ellenállással terhelt (valóságos) feszültséggenerátor és (valóságos) áramgenerátor modelljét kapjuk.
A10
Feszültséggenerátoros modell Uk Rb Ug
I Uk
Áramgenerátoros modell
Áramgenerátoros működés
Ug
I Ig
R Feszültséggenerátoros működés
Rb
Uk
R
I Ig
A berajzolt kis hurokból Uk=I.R A nagy hurokból Ug=Rb.I+R.I Uk-t helyettesítve és rendezve Uk=Ug-Rb.I
Itt Uk=I.R Áramosztóval Rb I = Ig ⋅ Rb + R Rb.I+R.I= Ig.Rb. Uk–t helyettesítve és rendezve Uk=Rb.Ig- Rb.I
A két utolsó egyenlet és így a két modell egyenértékű, ha az Rb azonos és az Ug=Rb.Ig. Ez egyben a két modell átalakítási lehetőségét is megadja. Külső kapcsokon végzett mérések adataiból akár a feszültséggenerátoros, akár az áramgenerátoros modell előállítható. Mégis a gyakorlatban feszültséggenerátorról, ill. áramgenerátorról beszélünk. Feszültséggenerátorról (feszültséggenerátoros működésről) akkor beszélünk, ha Uk az Ug-hez képest a működés közben csak kicsit (∼10%-kal) csökken az Rb.I feszültségesés miatt. A felírt egyenletekből látszik, hogy ez akkor következik be, ha az Rb«R. Az Rb=0 esetén bármilyen I-nél Uk=Ug=áll. Ha I=0 üresjárásról beszélünk. Természetesen ilyenkor is Uk=Ug, ezért az Ug-t üresjárási feszültségnek is nevezik és U0-lal is jelölik. Ug = Ig , Rövidzáráskor, a kapcsokat összekötjük, R=0. Ekkor a rövidzárási áram I z = Rb mint ez az előzőekből is következik. Az energetikai berendezéseknél, generátoroknál, akkumulátoroknál, telepeknél inkább a feszültséggenerátoros helyettesítést használjuk. Ezeknél az Rb.I feszültségesés mértéke adott Rb-nél megszabja az I maximális értékét, és az Rb«R biztosítja a jó hatásfokot. Áramgenerátorról (áramgenerátoros működésről) akkor beszélünk, ha I az Ig-hez képest a működés közben csak kicsit (∼10%-kal) csökken az Rb felé elfolyó áram miatt. A felírt egyenletekből látszik, hogy ez akkor következik be, ha az Rb»R. Az Rb=∞ esetén bármilyen Uk-nál I=Ig=áll. Ez azt is jelenti, hogy az ideális áramgenerátoron csak az Ig folyhat, idegen áramok számára szakadást jelent. Ha Uk=0, rövidzárásról beszélünk. Természetesen ilyenkor is I=Ig, ezért az Ig–t rövidzárási áramnak is nevezik, és Iz-vel is jelölik. Üresjáráskor a kapcsok nyitottak, R=∞. Ekkor az üresjárási feszültség U0=Rb.Ig=Ug, mint ez az előzőekből is következik. Az áramgenerátoros
A11
helyettesítés inkább az elektronikában használatos. Ezek zömmel kis teljesítményűek és a pontos információátvitel fontosabb a hatásfoknál.
Az egyenáramú teljesítmény U2 >0 alakban számítjuk. Az R U.I>0 megfelel annak az állapotnak, hogy az ellenállásokon az U és az I referencia irányai egyeznek. A teljesítményt egy generátor szolgáltatja. Az energiamegmaradás elve szerint egy zárt rendszerben az összes felvett és leadott teljesítménynek meg kell egyezni. Ezért szükséges, hogy a Pg<0 legyen, ill. P+Pg=0. A feszültséggenerátoros helyettesítő kapcsolásban látszik, hogy a generátoron az Ug és az I referencia irányai ellentétesek. Ezt a generátorok teljesítmény kifejezésében negatív előjellel vesszük figyelembe, vagyis Pg=-Ug.I<0. Általánosítva az elmondottakat bármely kétpólus esetén a teljesítményt P=U.I alakban számítjuk, ha az U és az I referencia irányai a kétpóluson egyeznek, és P=-U.I alakban számítjuk, ha az U és az I referencia irányai a kétpóluson ellentétesek. Ezt figyelembe véve bármelyik képletből a felvett (fogyasztott) teljesítmény >0-nak, a leadott (termelt) teljesítmény <0-nak adódik.
Egy ellenálláson hővé váló teljesítményt P=U.I=R.I2=
Példa. Számítsuk ki az áramokat és az U feszültséget, ha Ug=16 V Ig=5 A R1=2 Ω R1 U R2=20 Ω R=20 Ω! Határozzuk meg az + I R I. 2 II. Ug ellenállások és generátorok teljesítményét! Ig Az ismeretlen áramú ágak száma b=3 I 2 R + I1 A csomópontok száma n=2, n–1=1 csomóponti egyenlet írható fel, és m=2 hurokegyenlet. Az egyenletek: Csomóponti I1+I+I2–Ig=0 Hurok R1.I1–R.I–Ug=0 R2.I2–R.I=0 A megoldás: U=–5 V I1=5,5 A I=–0,25 A I2=–0,25 A PR1=60,5 W PR=1,25 W PR2=1,25 W PU=–88 W PI=25 W ∑ PR = 63 W ∑ Pg = −63 W A PI>0 azt jelenti, hogy az áramgenerátor most fogyasztó, hiszen a kivezetésein az U feszültség valóságos iránya és az áramának iránya egyezik, (mint az ellenállásnál). Ennek ellenére továbbra is áramgenerátornak mondjuk. A szuperpozíció elve: Több generátorból táplált hálózat bármely ágának árama (feszültsége) egyenlő azoknak az áramoknak (feszültségeknek) az összegével, amelyet egy-egy generátor hozna létre, ha a vizsgálat időtartama alatt a többi feszültségforrás helyét rövidrezárnánk, az áramforrás ágait pedig megszakítanánk. Számítsuk ki az előbbi példa áramait és az U feszültséget a szuperpozíció elvének alkalmazásával.
A12
Az Ug működik. (A számított mennyiségeket ’-vel jelöljük.) Az I1' kiszámításához az eredő ellenállást U' használjuk R2 ' Ug I Ug I '2 = 1,333 A, I1' = R R ⋅R2 + I1' R1 + R + R2 R2 majd az áramosztót alkalmazzuk. Pl. I ' = −I1' ⋅ R + R2 I’=-0,666 A I2’=-0,666 A végül U’=R.I’=-13,333 V R1
Az Ig működik. (A számított mennyiségeket ’’-vel jelöljük.) Az U’’-t az ellenállások eredője és az Ig szorzata adja. Re=1,666 Ω U’’=8,333 V R1 Ezzel a részáramok I1’’=4, 166 A + U '' R2 '' I’’=0,4166 A I2’’=0,4166 A I Ig '' és pl. az U=U’+U’’=-5 V I 2 R I1''
Thevenin és Norton tétele Több generátorból és ellenállásból álló lineáris hálózat mindig helyettesíthető egyetlen UTh feszültségű, és vele sorba kapcsolt Rb belső ellenállású kétpólussal, az un. Thevenin generátorral, vagy egyetlen IN áramú és vele párhuzamosan kapcsolt Rb belső ellenállású kétpólussal, az un. Norton generátorral. Ha a bonyolult hálózat egyetlen ágának villamos állapotára vagyunk csak kíváncsiak, akkor a következő módon járunk el. Az adott ágat a hálózatból eltávolítjuk, és az így keletkezett két pontjára nézve a maradék (egyszerűbb) hálózatot helyettesítjük Thevenin vagy Norton generátorral. Ezeknek a paramétereit meghatározva az eltávolított ágat ide kapcsoljuk. Ebből az egyszerű áramkörből a kívánt áram vagy feszültség könnyen meghatározható. Eredeti hálózat, amelyben az I8 áramot kell meghatározni.
12 V
2A
1Ω
2Ω
a 8Ω I8 b
a
Maradék hálózat az a,b pontok közötti U0 üresjárási feszültséggel.
12 V
2A
1Ω
U0 2Ω b
Thevenin generátoros helyettesítő kép, amelynek U0 feszültsége meg kell, hogy egyezzen a maradék hálózat U0 feszültségével. Azaz mindkét hálózat a,b (üresjárási) pontja között ugyanazt a feszültséget kell mérni!
a
Rb U Th
U0 b
A13
A Thevenin kép alapján pedig az UTh=U0.Vagyis az UTh feszültség a maradék hálózat üresjárási feszültségével egyezik. a
Az Rb-nek a dezaktivizált hálózat eredő ellenállásával kell megegyezni. Azaz mindkét hálózatnál ugyanazt az ellenállást kell mérni az a,b pontok között! Az eredeti hálózat
2Ω
1Ω
b
és a Thevenin generátor dezaktivizálva.
a
Rb
b
A Norton helyettesítő képhez a maradék hálózat a,b pontjai közötti IZ rövidzárási áramot kell meghatározni.
a 2A
12 V 1Ω
Norton generátoros helyettesítő kép, melynek, IZ rövidzárási árama meg kell, hogy egyezzen a maradék hálózatéval. Azaz mindkét hálózat a,b pontja között ugyanazt a rövidzárási áramot kell mérni. A Norton helyettesítő kép alapján pedig IN=IZ. Vagyis az IN áram a maradék hálózat rövidzárási áramával egyezik.
IZ 2Ω b
a IN
Rb
IZ b
Az Rb ellenállás meghatározása ugyanúgy történik, mint a Thevenin helyettesítésnél. Vagyis a Norton és a Thevenin generátor Rb ellenállása megegyezik. Az I8 áram pl. a 8 Ω-os ellenállással kiegészített Norton helyettesítő kapcsolásból áramosztóval számítható.
a
IN
Rb
8Ω I8 b
A kétféle helyettesítő modell közül a kevesebb számítási munkát igénylőt célszerű meghatározni, mert abból a másik a feszültséggenerátoros ill. az áramgenerátoros modellnél mondottak alapján is meghatározható. A hurokáramok módszere Több generátorból és ellenállásból álló hálózat minden áramának meghatározására a Kirchhoff csomóponti és hurokegyenletekből álló egyenletrendszer szolgál, amelyek száma az ismeretlen (kiszámítandó) áramok számával egyezik.
A14
Az ismeretlenek ill. az egyenletek számának csökkentésére többféle módszer ismert. Ezek közül a hurokáramok módszerét és a csomóponti potenciálok módszerét ismertetjük. A hurokáramok módszerénél az ismeretlenek száma, és így a felírandó egyenletek száma a Kirchhoff szerinti hurokegyenletek számával (m) egyezik. A feladat előkészítése is a Kirchhoff egyenletek felírásával egyezik, azaz fel kell venni az ágáramok (referencia) irányait, és kijelölni a hurkokat. Ezek körüljárási iránya lehetőleg azonos legyen. A továbbiakban egy példán követjük végig a módszert. Az egyenletek felírására előkészített hálózat 5 ismeretlen áramú ág b=5 egyenlet kellene. n=3 csomópont, n-1=2 csomóponti egyenlet m=b-(n-1)=3 hurok, a,b,c 3 hurok egyenlet
I1
R1 I a
R3
I3
Ic R5
Ug2
U g1
R2
Ib I2
I4
R4
Felírjuk a Kirchhoff szerinti hurokegyenleteket
(a) R1.I1+R3.I3+Ug2+R2.I2-Ug1=0 (b) -R2.I2-R4.I4-Ug2=0 (c) R4.I4-R3.I3-R5.I5=0 Minden huroknak saját (fiktív) áramot tulajdonítunk. Ezeket a hurokáramokat (Ia,Ib,Ic) az ágáramoktól való megkülönböztetésül kis betűkkel indexeljük. Kifejezzük az ágáramokat a hurokáramokkal, I1=Ia, I2=Ia-Ib, I3=Ia-Ic, amelyek a hurokáramok előjeles összege lesz. I4=-Ib+Ic, I5=-Ic
A hurokegyenletekbe az ágáramok (a) R1.Ia+R3.(Ia-Ic)+R2.(Ia-Ib)=Ug1-Ug2 helyére behelyettesítjük a hurokáramokkal (b) -R2.(Ia-Ib)-R4.(-Ib+Ic)=Ug2 kifejezett értéküket. (c) -R3.(Ia-Ic)+R4.(-Ib+Ic)-R5.(-Ic)=0 Rendezés után megkapjuk a hurokáramok egyenletrendszerét. Ezt megoldva az ágáramokat is kiszámítjuk.
(a) (R1+R2+R3).Ia-R2.Ib-R3.Ic=Ug1-Ug2 (b) -R2.Ia+(R2+R4).Ib-R4.Ic=Ug2 (c) -R3.Ia-R4.Ib+(R3+R4+R5).Ic)=0
A hurokáramok (R1+R2+R3) -R2 -R3 Ug1-Ug2 Ia Ib egyenletrendszerét -R2 (R2+R4) -R4 = Ug2 mátrix alakban is -R3 -R4 (R3+R4+R5) I c 0 felírjuk. Azt látjuk, hogy a mátrix egyenlet első sora a hurokáramos egyenletrendszer (a) egyenletének együtthatóit (ellenállásait) tartalmazza. Mégpedig az első tag az (a) hurokban lévő ellenállások összegét. A második tag az (a) és (b) hurok közös ágának ellenállását negatív előjellel, mert a két hurok irányítása a közös ágon (R2-n) ellentétes irányítású. A harmadik tag az (a) és (c) hurok közös ágának ellenállása negatív előjellel, mert itt is ellentétes a két hurok irányítása a közös ágon (R3-on). Ha a közös ágon a
I5
A15
hurkok irányítása azonos lenne, a közös ág ellenállását pozitív előjellel kellene a mátrixba beírni. A jobboldalon lévő feszültségek előjele a hurokegyenletből követhető. Ha a hurokban lévő feszültség iránya a hurok körüljárási irányával egyezik, a hurokegyenletben az előjele pozitív. Rendezés után az egyenlet másik oldalán az előjel ellentétesre változik. A mátrix egyenletet kis rutin megszerzése után az előtte lévő levezetés nélkül is felírhatjuk, betartva az előbb elmondott szabályokat. Ennek megoldása után a hurokáramokból az ágáramokat számíthatjuk. A hurokáramok módszere a feszültséggenerátorokat tartalmazó hálózatok esetén egyszerű. (A hurokegyenletben feszültségek vannak!) Amennyiben a hálózatban Norton generátor fellelhető, ezt előbb Thevenin generátorrá alakítjuk, és így végezzük a számítást. Ekkor I1 azonban figyelni kell arra, hogy az átalakított rész árama egy csomóponti egyenleten keresztül kapcsolódik az átalakítás előtti rész áramaihoz. U g1 (Az átalakítás csak a külső kapcsokra nézve ekvivalens.) Ennek illusztrálására vizsgáljuk a mellékelt hálózatot. Az eredeti hálózatban az Ig2 áramforrás és az R2 ellenállás Norton generátort képez, amit I1 Thevenin generátorrá alakítunk. Ezután a fent írtak szerint járunk el. Az átalakított hálózat mátrix egyenlete az Ia, Ib U g1 hurokáram rendszerrel, figyelembe véve, hogy Ug2=R2.Ig2.
(R 1 + R 2 + R 3 ) − (R 2 + R 3 )
− (R 2 + R 3 )
(R 2 + R 3 + R 4 )
•
Ia Ib
=
R1
Ia
R3
I3 Ib
Ig2
I2
R4 I4
R2
R1
Ia
R3
I3 Ib
R4
R2 I4 Ug2
U g1 − R 2 ⋅ I g 2 R 2 ⋅ Ig2
Az eredeti I2 áram a hurokáramokból kiszámított I3 árammal és az Ig2-vel számítható: I2=-Ig2-I3. A további számításokat (pl. a teljesítmények számítását) már az átalakítás előtti hálózaton kell végezni. Ha a hálózat áramforrást is tartalmaz, feladatot a következőképpen is megoldhatjuk. Felveszünk egy olyan további hurkot, (Ic-t) amelyik az Ig2-n záródik. Természetesen Ic=Ig2. Erre a hurokra nem írhatunk fel egyenletet, (mert az I3 R3 I1 R1 Ig2-s ág az idegen áramokra szakadást jelent), Ia Ib de az ebben a hurokban lévő ellenálláson, (most az R2-n) az Ig2 által okozott feszültséget Ig2 figyelembe kell venni a többi -ezt az ágat érintő- U g1 I2 I c hurokban (Ia, Ib-ben). R2 Az Ia, Ib, Ic-vel felírt hurokáramos egyenletek:
R4 I4
A16
(R 1 + R 2 + R 3 ) ⋅ I a − (R 2 + R 3 ) ⋅ I b + R 2 ⋅ I g 2 − U g1 = 0 − (R 2 + R 3 ) ⋅ I a + (R 2 + R 3 + R 4 ) ⋅ I b − R 2 ⋅ I g 2 = 0 , amit összehasonlítva a mátrix egyenlettel az azonosság látható. Természetesen az Ic–s hurkot más úton is felvehetjük. A csomóponti potenciálok módszere A csomóponti potenciálok módszerénél az ismeretlenek száma, és így a felírandó egyenletek száma a Kirchhoff szerinti csomópontok számával (n-1) egyezik. Itt is fel kell venni az ágáramok (referencia) irányát. Az n csomópontból egyet nulladiknak (0) választunk, és felvesszük a többi (1),(2),(3),… csomópont felől a (0) csomópont felé mutató csomóponti feszültség irányait p1,p2,p3,…. R 3 I3 (1) (2) A továbbiakat egy példán követjük. n=3 csomópont, n-1=2 csomóponti egyenlet
b
R1 I1
a
p1
Ug2
p2
I g1
c
d
I2
I4
R2
(0) Felírjuk a Kirchhoff szerinti (1) Ig2+I1+I3=0 csomóponti egyenleteket (2) -I2-I3+I4=0 Felveszünk olyan hurkokat, (szaggatottan (a) R 1 ⋅ I1 − p1 = 0 vannak rajzolva) amelyekben csak egy (b) R 3 ⋅ I 3 + p 2 − p1 = 0 ismeretlen ágáram feszültsége szerepel, (c) R 2 ⋅ I 2 − U g 2 + p 2 = 0 (d) R 4 ⋅ I 4 − p 2 = 0
a többi feszültségforrás és csomóponti potenciál.
I1 =
Ezekből kifejezzük az ágáramokat és
I2 =
behelyettesítjük a csomóponti egyenletekbe.
Rendezés után megkapjuk a csomóponti
(1) (
U g2 − p 2 R2
I3 =
p1 − p 2 R3
I4 =
p2 R4
(1)
p1 p1 p 2 + − = −I g1 R1 R 3 R 3
(2)
p 2 U g 2 p 2 p1 p 2 − + − + =0 R2 R2 R3 R3 R4
1 1 1 + ⋅ p 2 = I g1 ) ⋅ p1 − R1 R 3 R3
(2) (−
potenciálok egyenletrendszerét.
p1 R1
U g2 1 1 1 1 ) ⋅ p2 = ⋅ p1 + ( + + R2 R2 R3 R4 R3
Ezt megoldva a csomóponti potenciálokkal az ágáramokat is kiszámíthatjuk. A csomóponti potenciálok 1 1 1 − p1 ( + ) egyenletrendszerét mátrix R3 R1 R 3 alakban is felírjuk = 1 1 1 • −
1 R3
(
R2
+
R3
+
R4
)
p2
R4
− I g1
Ug2 R2
A17
Azt látjuk, hogy a mátrix egyenlet első sora a csomóponti potenciálos egyenletrendszer (1) sorának együtthatóit (
1 = G , vezetéseit) tartalmazza. Mégpedig az R
első tag az (1)-es csomóponthoz csatlakozó vezetések összegét, a második tag az (1) és (2)-es csomópontot összekötő ág vezetését (mindig) negatív előjellel. A jobboldalon lévő áramok előjele a csomóponti egyenletből követhető. A csomópontba befutó áram negatív. Rendezés után az egyenlet másik oldalán az előjel ellentétesre változik. A mátrix egyenletet kis rutin megszerzése után az előtte lévő levezetés nélkül is felírhatjuk, betartva az előbb elmondott szabályokat. Ennek megoldása után a csomóponti potenciálokból az ágáramokat számíthatjuk. A csomóponti potenciálok módszere, áramgenerátorokat tartalmazó hálózatok esetén egyszerű. (A csomóponti egyenletekben áramok vannak!) Amennyiben a hálózatban Thevenin generátor fellelhető, ezt előbb Norton generátorrá alakítjuk és így végezzük a számítást. A módszer így könnyebben mechanizálható. Ekkor azonban figyelni kell arra, hogy az átalakított rész feszültsége egy hurokegyenleten keresztül kapcsolódik az átalakítás előtti rész feszültségeihez. A mátrixos egyenleteket a számítógépes megoldásoknál használhatjuk előnyösen. Amennyiben a mátrix egyenletet Cramer szabállyal oldjuk meg, és csak egyetlen áramot akarunk kiszámítani, a kevesebb számítási munka érdekében célszerű úgy felvenni a hurokáramokat, vagy a csomóponti potenciálokat, hogy csak egyetlen hurokáramot (amelyik éppen a keresett árammal egyenlő), vagy egyetlen csomóponti potenciált, (amelyből a kívánt áramot egyszerűen) kelljen kiszámítani. Ha a hálózat feszültségforrást is tartalmaz, mint amellékelt ábrán látható, I U3 R 3U g 3 I3 a (0)-dik csomópontot úgy célszerű (1) (0) felvenni, hogy az a feszültségforrás negatív végénél (nyilánál) legyen. Ekkor p1 R1 ez egy ismert csomóponti potenciál Ug2 I1 p1=Ug3. Ezzel csökken az ismeretlen p2 csomóponti potenciálok, és a felírandó R4 csomóponti egyenletek száma. I2 I I4 Csomóponti egyenletet csak azokra a g1 R2 csomópontokra írhatunk fel, amelyeket nem érint feszültségforrás. (2) -Ig1-I1+I2-I4=0 (2) Az ebben lévő áramokat az ismert módon kifejezve és behelyettesítve a csomóponti egyenletbe a csomóponti potenciálokat (most p2-t) kiszámíthatjuk. (2)
(
U g3 U g 2 1 1 1 , mert ) ⋅ p 2 = I g1 + + + − R1 R4 R1 R 2 R 4
p1=Ug3. A bemutatott példában a
feszültségforrás miatt csomóponti potenciálos (mátrix) egyenlet egyváltozóssá vált. Felhasználva még, hogy I 3 =
U g3 R3
az
(1) Ig1+I1+I3-IU3=0 csomóponti egyenletből az IU3 számítható, ezzel pl. az Ug3 teljesítménye.
A18
A hurokáramok a csomóponti potenciálok módszerét, a feszültségforrásokkal és az áramforrásokkal kapcsolatos megfontolásokat célszerű használni, mert a numerikus számítás egyszerűsödik.
A szinuszos váltakozó áramú hálózatok Egy időben szinuszosan váltakozó áram kifejezése: i=Imax.sin(ωt-ψi), ahol Imax az 1 a frekvencia, T a amplitúdó, vagy csúcsérték, ω=2.π.f a körfrekvencia, f = T periódusidő, ψi az áram kezdő fázisszöge. Sokszor a koszinusz függvényt használjuk, de akkor is szinuszos hálózatról beszélünk. T I 1 ⋅ ∫ i 2 dt = max , ezzel Az áram effektív értéke (négyzetes középértéke): I = T 0 2
i = 2 ⋅ I ⋅ sin(ωt − ψ i ) . A váltakozó áram hatása legtöbbször az effektív értékével kifejezhető, ezért általában elég ezt meghatározni. A váltakozó áramú hálózatokban valamennyi feszültségforrás, áramforrás és ezzel együtt minden egyes passzív elem árama és feszültsége ugyanazon körfrekvenciával az időben szinuszosan változik. Időben változó –így szinuszosan változó – áramok esetén a hálózat passzív elemei közül az ellenállások mellett az ön– és kölcsönös induktivitások, valamint a kondenzátorok hatását is figyelembe kell venni. Ennek megfelelően a szinuszos hálózat állandósult állapotának áramait és feszültségeit leíró Kirchhoffegyenleteket, és az ebből származtatott egyszerűbb egyenleteket komplex számítási módszerrel, a komplex algebra eszközeivel oldhatjuk meg. A komplex írásmód, komplex impedancia A továbbiakban a komplex mennyiségek betűjelét felülhúzással különböztetjük meg a valósétól. A komplex mennyiség abszolút értékét (effektív értékét) ugyanazon betűvel jelöljük, mint a komplex mennyiséget, de felülhúzás nélkül. Megjegyezzük, hogy a képzetes egységet a matematikában i-vel,az elektrotechnikában azonban j-vel szokás jelölni. 0 0 j = − 1 = e j⋅90 = cos(90 0 ) + j ⋅ sin(90 0 ) és − j = e − j⋅90 = cos(90 0 ) − j ⋅ sin(90 0 ) Minden szinuszos i-nek (u-nak) megfeleltetünk egy komplex számot, fazort (régebben vektornak hívták). Az i = 2 ⋅ I ⋅ sin(ωt − ψ i ) időfüggvényből I = I ⋅ e − jψ i komplex effektív értékű fazor lesz és fordítva. Az I = I ⋅ e − jψ i a fazor exponenciális alakja. A komplex szám szorzásakor és osztásakor ezt az alakot célszerű használni. A komplex szám összeadása és kivonása a vektoroknál szokásos módon történik. Ehhez az algebrai alak a célszerű. Az algebrai alakhoz pedig a trigonometrikus alakon keresztül jutunk.
A19
Im Képzetes vagy imaginárius tengely j I
ψi -ψi I
Ik=-I.sinψi
×
Iv=I.cosψi Re Valós vagy reális tengely
Az szám I = I ⋅ e − jψ i komplex exponenciális alakjából az Euler-reláció felhasználásával a trigonometrikus alakhoz jutunk, ebből az algebrai alakhoz I = I ⋅ (cos ψ i − j ⋅ sin ψ i ) = I v + j ⋅ I k . Az utolsó alak az I komplex szám algebrai alakja, ahol az Iv=I.cosψi a valós rész, az Ik=-I.sinψi a képzetes rész. Az ábra a komplex szám különböző alakjait és a köztük levő kapcsolatot mutatja. A komplex szám abszolutértéke I = I 2v + I 2k = I a (valós) effektív érték.
×
Az I a komplex konjugált érték, ami az I valós tengelyre vett tükörképe. I A ψi a komplex szám arkusza ψ i = arctg k . Az algebrai alakból az időfüggvényre Iv való visszatérés az exponenciális alakon keresztül történik. A fazorral történő szemléltetés igen előnyös, ha egy hálózat több áramát és feszültségét kívánjuk egyetlen ábrán feltüntetni. Ezt a hálózat fazorábrájának nevezzük. A fazor elnevezés is a fázis szóból ered. A fazorábrán az egyes fazorok egymáshoz képesti fázishelyzete is követhető. Ez sokszor egyszerűsíti a számítást, mert komplex számok helyett geometriai számításokkal is eredményre jutunk. A korábbi táblázatból látszik, hogy időfüggő u és i esetén a hálózatban megjelenik a kondenzátor és az induktivitás árama és feszültsége is. Szinuszos áramok és feszültségek esetén a passzív elemek komplex értékei között az alábbi kapcsolatot kapjuk: ellenállásnál induktivitásnál kondenzátornál 1 UL = j⋅ ω⋅ L ⋅ I UR = R ⋅ I UC = ⋅I j⋅ ω⋅ C Látszik, hogy a komplex feszültségek és áramok arányosak egymással. Az arányossági tényező neve (komplex) impedancia, jele: Z . Egysége: Z =1 Ω. Az ellenállás, az induktivitás és a kondenzátor impedanciája eszerint: abszolutértékük R=R ellenállás ZR = R , . ZL = j ⋅ ω ⋅ L , jele és XL=ω L induktív reaktancia 1 1 elnevezése kapacitív reaktancia. ZC = XC = j⋅ ω⋅ C ω⋅C
[]
Ennek alapján a komplex Ohm-törvény általános alakja: U = Z ⋅ I . Az eredő impedancia általában komplex mennyiség: Z = R + j ⋅ X = Z ⋅ e + j⋅ψ Z . A Kirchhoff-egyenletek, és az egyéb módszerek (áramosztó, szuperpozíció-elv,) a fazorokkal, (komplex effektív értékekkel) végzett számításokra is igazak. Az egyenleteket most is a vonatkozási irányok figyelembevételével kell felírni, bár a pillanatértékek iránya egyik félperiódusban megegyező, a másik félperiódusban ellentétes a vonatkozási iránnyal. 1 Az impedancia reciproka az admittancia. Jele: Y , egysége: Y = 1 = 1 S=1 Siemens. Ω
[]
A20
A passzív elemek fazorábrái Válasszuk az áram fazorját valósnak, azaz I = I , a passzív kétpólusokon az áram és a feszültség fázisviszonyait (fazorábráját) a fenti egyenletek alapján az ábrák mutaják. az ellenálláson az induktivitáson a kondenzátoron: Im
Im
Im UL
I
I
I
Re
UR
Re
Re UC
Az ellenálláson a feszültség és áram fázisban van, az induktivitáson az áram 900-ot késik a feszültséghez képest, a kondenzátoron pedig az áram 900-ot siet a feszültséghez képest. Természetesen ezek a fázisviszonyok akkor is megmaradnak a kétpólusokon, ha az áram fazorja másmilyen komplex érték. Célszerűen az áram fázishelyzetét érdemes megjegyezni a későbbi felhasználás érdekében.
I1
Példa R
C1
L1
L
I2
R1 R2
U 12
I
U
Határozzuk meg a szinuszos hálózat áramait, és az U 12 feszültséget! Rajzoljon az olvasó fazorábrát! Az adatok: R=6 Ω, L=0,0255 H, R2=12,5 Ω, R1=3 Ω, L1=0,0127 H, C1=398.10-6 F, U=100 V, f=50Hz,
Számított értékek: ω=2.π.f=100.π rad/s, ω.L=8 Ω, ω.L1=4 Ω Az 1-es ág impedanciája Z1 = R 1 + j ⋅ (ω ⋅ L1 − Az 1-es és 2-es ág eredője Z12 =
Z1 ⋅ R 2 Z1 + R 2
1 =8 Ω ω ⋅ C1
1 ) = 3 − j ⋅ 4 Ω, ω ⋅ C1
= 3,05 − j ⋅ 2,44 Ω,
Az egész kapcsolás eredője Z e = R + j ⋅ ω ⋅ L + Z12 = 9,05 + j ⋅ 5,57 Ω, U Az ohm-törvényből az eredő áram I = = 8,02 − j ⋅ 4,93 A, I = I = 9,41 A Ze R2 = 7,02 − j ⋅ 2,16 A, I1=7,38 A Áramosztóval pl. az I1 áram I1 = I ⋅ R 2 + Z1 Csomóponti egyenletből az I 2 = I − I1 = 0,99 − j ⋅ 2,77 A I 2 = 2,94 A, Az U 12 feszültség U12 = R 2 ⋅ I 2 = 12,41 − j ⋅ 34,63 V U12=36,78 V. Egybéként az áramok kiszámításához 3 lineárisan független, komplex Kirchhoffegyenletet kell(ene) felírni és megoldani. Azonban egyszerűbb hálózatoknál, (mint a fenti) az egyszerűbb módszerek is célra vezetnek.
A21
Teljesítményviszonyok Szinuszos áramú hálózatban az áram és a feszültség az időben változik. Így a pillanatnyi teljesítmény is változik. Legyen az u pillanatértéke u= 2 ⋅ U ⋅ sinωt, a feszültség kezdő fázisszöge nulla. Az i pillanatértéke i= 2 ⋅ I .sin(ωt-ϕ), áram kezdő fázisszöge ϕ, ez egyben a feszültség és az áram (fazorjai) közötti fázisszög is. Így a pillanatnyi teljesítmény p= 2 ⋅ U ⋅ 2 ⋅ I ⋅ sin ωt ⋅ sin(ωt − ϕ) Az egy periódus alatt átalakuló teljesítmény lineáris középértéke, amit hatásos teljesítménynek nevezünk és P-vel jelölünk: 2⋅π 1 P= ⋅ pd (ωt ) = U ⋅ I ⋅ cos ϕ [W ], ha a vizsgált kétpóluson a feszültség és áram 2 ⋅ π ∫0 referenciairányai egyeznek, és . . P=-U I cos [W ], ha a referenciairányok ellentétesek. A hálózat kapcsain jelen levő, összes, látszólagos teljesítmény S=U.I [VA] (=voltamper). P A teljesítménytényező cos ϕ = éppen annak mértéke, hogy a látszólagos teljesítmény S hányad része alakul át másfajta (hő-, mechanikai…,) teljesítménnyé. A „cosφ késő” kifejezés azt jelenti, hogy az áram φ szöggel késik a feszültséghez képest. Az át nem alakuló, (a hálózaton lengő) meddő teljesítmény Q=U.I.sinϕ [VAr] (=volt amper reaktív). ×
I = I ⋅ e − j⋅ϕ , az áram konjugáltja I = I ⋅ e j⋅ϕ , ezzel a
Komplex írásmóddal U = U ,
×
komplex látszólagos teljesítmény S = U ⋅ I = U ⋅ I ⋅ (cos ϕ + j ⋅ sin ϕ) = P + j ⋅ Q . P>0 csak R-en keletkezik Q>0 csak XL-en ill. L-en az un. reaktív elemeken keletkezik. Q<0 csak XC-n ill. C-n Egyenáramnál ϕ=0, cosϕ=1, így P=UI, Q=0. A szinuszos áramú hálózatokra is érvényes az energia megmaradás elve, azaz összes termelt és fogyasztott hatásos és meddő teljesítményekre igaz, hogy ∑ P = 0 és Passzív elemeken
∑Q = 0 .
Az előző példában
S = U ⋅ I = 100 ⋅ (8,02 + j ⋅ 4,93) = 802 + j ⋅ 493 [VA ] . Másként ×
⎡ 1 ⎤ )⎥ = S = P + j ⋅ Q = I 2 R + I12 ⋅ R 1 + I 22 ⋅ R 2 + j ⋅ ⎢I 2 ⋅ ω ⋅ L + I12 (ω ⋅ L1 − ω ⋅ C 1 ⎦ ⎣ 802+j.493 [VA ] .
A22
A háromfázisú villamos energiaellátó rendszer ICv
C C’ UCA
U’C
UBC A
IAv UC
A’
U’A
UA
UAB
U’B B’
IBv
B N
N
Generátor
IN
UB
FeltranszLetransz- Fogyasztó oldali energiaellátó formálás formálás hálózat feszültségei és áramai Nagyfeszültségű hálózat
A háromszög, vagy ∆ kapcsolású fogyasztó. ICv
C UCA
ICA
ZCA UCA
IAv
A UBC
ZAB IAB
UAB IBv
B
IBC
UBC
ZBC
UAB
Láthatóan a fázis feszültségek és a vonali feszültségek azonosak Uf=Uv. Az fázis mennyiségeket (áramokat, impedanciákat és feszültségeket) kettős indexszel jelöljük. IAB, IBC, ICA ZAB, ZBC, ZCA UAB, UBC, UCA. Az impedanciáknak mindig csak fázisértékük van!
A csillag, vagy Y kapcsolású fogyasztó. ICv
C
UC
UCA IAv
A
IA
IC
ZA UA
UBC
ZC
ZB
UAB IBv
B N
IN
IB
UB
Nulla vezető, (a csillagponthoz) nincs minden esetben bekötve
Láthatóan a fázis és a vonali áramok megegyeznek If=Iv. A fázismennyiségeket (feszültségeket, impedanciákat, áramokat) egyes indexszel jelöljük UA, UB, UC ZA, ZB, ZC IA, IB, IC.
