AIDA YULIA
MATEMATIKA KEUANGAN
FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS SYIAH KUALA DARUSSALAM – BANDA ACEH
i
Hak Cipta 2009, pada penulis Dilarang mengutip sebagian atau seluruh isi buku ini dengan cara apapun, termasuk dengan cara penggunaan foto copy, tanpa izin sah dari penerbit. Cetakan pertama, 2009 Penulis : Aida Yulia Editor : Drs. Dana Siswar, M.Si MATEMATIKA KEUANGAN ISBN : 978-979-18076-9-2 Hak Penerbitan pada Fakultas Ekonomi Universitas Syiah Kuala Darussalam Banda Aceh. Setting / Lay out : Desain Sampul : Fakultas Ekonomi Universitas Darussalam Banda Aceh
ii
Syiah
Kuala
KATA SAMBUTAN Apa yang dapat disumbangkan oleh seorang Pendidik (Dosen) pada masyarakat disamping mengajarkan ilmunya kepada anak didik (Mahasiswa)? Salah satu cara yang dapat ditempuh adalah menuangkan ilmu yang dipunya dalam bentuk tulisan, dengan demikian tidak hanya anak didik yang bisa menyerap ilmu dari gurunya, tapi masyarakat lain diluar kampus tempat sang pendidik beraktifitas juga bisa turut menikmati ilmu tersebut. Buku ini berjudul Matematika Keuangan, didalamnya berisi metode dan cara perhitungan bunga, ini sangat berguna terutama bagi masyarakat yang ingin melakukan transaksi kredit agar mereka tahu cara mengkalkulasi berapa total pembayaran yang harus mereka lakukan, semua itu akan dipengaruhi oleh berapa lama kredit dilakukan, berapa besar tingkat bunganya dan metode perhitungan bunga yang seperti apa yang diterapkan oleh pemberi pinjaman. Meskipun buku ini menceritakan beberapa metode perhitungan bunga dari sekian banyak metode perhitungan bunga yang ada, diharapkan dapat memberikan gambaran kepada pembacanya tentang perhitungan keuangan dan dapat menjadi bagian dari kontribusi intelektual yang dapat diberikan seorang pendidik kepada masyarakat dan diharapkan dimasa yang akan datang pembahasan dalam buku ini akan
iii
terus dikembangkan mengikuti perkembangan zaman. Banda Aceh, 2009 Dekan Fakultas Universitas Syiah Kuala,
Ekonomi
Prof. DR. Raja Masbar, M.Sc Nip.19530419 198012 1 001
iv
KATA PENGANTAR Buku kecil ini dibuat untuk membantu para pembaca memahami arti pentingnya mengetahui perhitungan bunga. Kita sadari atau tidak dalam kehidupan sehari-hari kita acap kali berurusan dengan yang namanya hutang piutang yang tersangkut dengan perhitungan bunga di dalamnya dan sering kali pula kita terkecoh oleh iming-iming kecilnya persentase bunga yang harus dibayar, padahal belum tentu bunga dengan persentase kecil akan menghasilkan pembayaran jumlah bunga yang kecil. Semua itu akan sangat dipengaruhi oleh metode perhitungan bunga yang dianut. Diharapkan dengan membaca isi buku ini, para pembaca bisa memperoleh tambahan pengetahuan mengenai beberapa metode perhitungan bunga. Penulis menyadari bahwa masih banyak sekali metode perhitungan bunga yang belum dibahas dalam buku kecil ini. Saran dan kritikan demi kesempurnaan buku kecil ini dimasa yang akan datang akan sangat diharapkan. Terima kasih yang tak terhingga untuk Bapak Dana Siswar,SE, M.Si, AK, yang telah memberikan inspirasi, saran, dorongan dan keyakinan bahwa penulis akan mampu menghasilkan karya. Wassalam Penulis
v
DAFTAR ISI
KATA SAMBUTAN i KATA PENGANTAR ---------------------------------------------------------------DAFTAR ISI -------------------------------------------------------------------------BAB 1 DASAR-DASAR ARITMATIKA-----------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------engertian Pecahan -----------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------perasi Pecahan ---------------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------BAB 2 DASAR-DASAR ALJABAR ----------------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------plikasi Dasar Aritmatika ke Aljabar ---------------------2. ------------------------------------------------------------------------------perasi Aljabar -----------------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------ersamaan Linear -------------------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------BAB 3 SIMPLE INTEREST DAN SIMPLE DISCOUNT -------------1. ------------------------------------------------------------------------------engertian Simple Interest ---------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enentukan Tanggal Jatuh Tempo------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Nilai Sekarang (Present Value) --------------vi
BAB 4
BAB 5
5. ------------------------------------------------------------------------------ate (Tingkat Bunga) ----------------------------------------6. ------------------------------------------------------------------------------ime (Jangka Waktu)----------------------------------------7. ------------------------------------------------------------------------------imple Discount ---------------------------------------------8. ------------------------------------------------------------------------------artial Payment ----------------------------------------------9. ------------------------------------------------------------------------------quivalent Value ---------------------------------------------10. ----------------------------------------------------------------------------quivalent Time ----------------------------------------------11. ----------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------COMPOUND INTEREST (BUNGA MAJEMUK) -------------1. ------------------------------------------------------------------------------engertian Compount Interest -----------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------ergantian Tingkat Bunga Selama Periode Pemajemukan-----------------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------engkonversian Waktu Termasuk Unsur Pecahan------------------------------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------encari Present Value dan Compound Discount -----------------------------------------------------5. ------------------------------------------------------------------------------encari Tingkat Bunga (Interest Rate) --------------------6. ------------------------------------------------------------------------------angka Waktu------------------------------------------------7. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------ANNUITY----------------------------------------------------------------
vii
BAB 6
BAB 7
1. ------------------------------------------------------------------------------engertian Annuity ------------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enis-Jenis Annuity -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enis-jenis Simple Annuity---------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------enis-jenis Complex Annuity ------------------------------SIMPLE ORDINARY ANNUITY ----------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik Simple Ordinary Annuity-------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value ----------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------ubungan Antara Amount dan Present Value ---------------------------------------------------------5. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Seri Pembayaran (R) --------------------------6. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Jangka Waktu (n) -----------------------------7. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Tingkat Bunga (i) ------------------------------8. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------SIMPLE ANNUITY DUE -------------------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik Simple Annuity Due-------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value -----------------------------------
viii
BAB 8
BAB 9
4. ------------------------------------------------------------------------------ubungan Antara Sndue dan Andue ---------------------5. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Seri Pembayaran (R) --------------------------6. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Jangka Waktu (n) -----------------------------7. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Tingkat Bunga (i) ------------------------------8. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------SIMPLE DEFERRED ANNUITY ---------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik --------------------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value ----------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Seri Pembayaran (R) --------------------------5. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Jangka Waktu (n) -----------------------------6. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Tingkat Bunga (i) ------------------------------7. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------COMPLEX ORDINARY ANNUITY -------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik --------------------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value ----------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Seri Pembayaran (R) --------------------------ix
BAB 10
BAB 11
5. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------COMPLEX ANNUITY DUE ----------------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik --------------------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value ----------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------oal-Soal ------------------------------------------------------COMPLEX DEFERRED ANNUITY-------------------------------1. ------------------------------------------------------------------------------arakteristik --------------------------------------------------2. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Amount -----------------------------------------3. ------------------------------------------------------------------------------enghitung Present Value ----------------------------------4. ------------------------------------------------------------------------------oal-soal -------------------------------------------------------
x
Matematika Keuangan
BAB 1 DASAR-DASAR ARITMATIKA 1. Pengertian Pecahan Pecahan merupakan indikasi dari pembagian yang terdiri dari Numerator (Pembilang) dan Denumerator (Penyebut) yang dipisahkan oleh sebuah garis yang disebut per atau bagi. Contoh : _2_ 3
Numerator Denumerator
Jenis-jenis bilangan pecahan adalah : a. Pecahan Biasa (Common Fraction) terdiri dari : Proper Fraction yaitu : Bilangan pecahan yang numeratornya lebih kecil dari denumerator, contoh :
1 2 3 , , , dsb. 5 7 6
Improper Fraction yaitu : Bilangan pecahan yang numeratornya sama dengan atau lebih besar dari denumerator, contoh :
7 , dsb. 5
1
3 8 9 , , , 3 8 4
Matematika Keuangan
Complex Fraction yaitu : Bilangan pecahan yang terdiri dari beberapa numerator dan beberapa denumerator, contoh :
1 2 , , dsb 2 3 12 5 7
b. Pecahan Desimal (Decimal Fraction) yaitu : pecahan berkoma, angka didepan koma disebut bilangan pokok dan yang dibelakang koma merupakan pembilang sementara jumlah digit angka dibelakang koma merupakan penyebut (pangkat 10) contoh : 0,75 =
75 5 , 2,05 = 2 , dsb 100 100
c. Pecahan Campuran (Mixed Number) yaitu : bilangan pecahan campuran dari bilangan bulat
1 2
dan pecahan contoh : 1 , 5
2 , dsb. 3
2. Operasi Pecahan a. Penjumlahan (Addition) Kaidah penjumlahan pecahan : Penjumlahan pecahan baru bisa dilakukan apabila kita sudah menyamakan penyebut. Cara termudah untuk menyamakan penyebut ini yaitu dengan cara mengalikannya contoh :
2 1 , kalikan 3 dan 4 maka penyebutnya 4 3
akan sama-sama jadi 12, angka 12 ini bagikan 2
Matematika Keuangan
dengan masing-masing penyebutnya (12 : 4 = 3 dan 12 : 3 = 4) kemudian hasil bagi tersebut kalikan dengan masing-masing pembilangnya (3 x 2 = 6 dan 4 x 1 = 4) sehingga akan menjadi :
6 4 10 . 12 12 12
Selain mengalikan penyebut untuk menyamakan penyebutnya, boleh juga menentukan suatu angka terkecil yang bisa untuk membagi keduanya contoh :
3 1 , 4 10
tidak mesti harus mengali 4 dan 10, cukup dengan mencari satu angka yang bisa dibagi keduanya misalnya angka 20, maka angka 20 ini bagikan dengan masing-masing penyebutnya (20 : 4 = 5 dan 20 : 10 = 2) kemudian hasil bagi tersebut kalikan dengan masing-masing pembilangnya (5 x 3 = 15 dan 2 x 1 = 2) sehingga akan menjadi :
15 2 17 . 20 20 20
Apabila ada pecahan campuran, maka jadikan Inproper fraction dulu baru disamakan penyebut, contoh : 4
2 1 3 , maka : 3 2
(3 x 4) + 2 = 14 dan (2 x 3) + 1 = 7 jadi
14 7 28 21 49 1 8 3 2 6 6 6 6 Penjumlahan yang lain adalah penjumlahan bilangan decimal. Untuk bilangan decimal
3
Matematika Keuangan
baru bisa dijumlahkan jika tanda koma (,) sudah disejajarkan Contoh : 13,268 5,3283 + 18,5963 b. Pengurangan (Subtraction) Kaidah pengurangan pecahan sama seperti penjumlahan pecahan. Pengurangan pecahan baru bisa dilakukan apabila kita sudah menyamakan penyebut (salah satu caranya yaitu dengan mengalikan penyebutnya). Contoh:
1 2 5 12 7 6 5 30 30 30
Selain mengalikan penyebut untuk menyamakan penyebutnya, boleh juga menentukan suatu angka terkecil yang bisa untuk membagi keduanya contoh:
3 1 15 2 13 . 4 10 20 20 20
Apabila ada pecahan campuran, maka jadikan Inproper fraction dulu baru disamakan penyebut, contoh :
2 1 14 7 28 21 7 1 4 3 1 . 3 2 3 2 6 6 6 6 Pengurangan yang lain adalah pengurangan bilangan decimal. Untuk bilangan decimal baru bisa dikurangkan jika tanda koma (,) sudah disejajarkan Contoh :
4
Matematika Keuangan
13,268 5,3283 7,8397 c. Perkalian (Multiplication) Perkalian pecahan dilakukan dengan pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut contoh :
3 2 6 . x 5 4 20
Pecahan campuran jadikan inproper fraction dulu baru dikali contoh :
1 1 36 7 252 12 4 7 x2 x 16 16 . 5 3 5 3 15 15 5 Pecahan decimal sejajarkan koma (,) kemudian kalikan, setelah dijumlahkan semua baru ditentukan letak komanya yaitu sejumlah banyaknya angka dibelakang koma dari barisan perkalian dan dihitung dari sisi kanan hasil perkalian tersebut contoh : 14,5 3,25 x 725 290 435 + 47,125 d. Pembagian (Division) Kaidah pembagian dilakukan dengan membalik bilangan pecahan kedua, pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang, sementara itu tanda bagi dirubah menjadi tanda
5
Matematika Keuangan
kali contoh :
4 3 4 5 20 sementara untuk : x 5 5 5 3 15
pecahan campuran sama seperti sebelumnya, jadikan pembagian inproper fraction terlebih dahulu baru dibalik dan dikali. e. Penyederhanaan Pecahan
Pecahan-pecahan yang angkanya cukup besar bisa disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama contoh :
5 5 1 : . Untuk pecahan dengan angka yang 10 5 2
besar dan sulit dalam menentukan berapa angka pembagi terbesarnya, maka angka pembagi terbesar tersebut dapat dicari dengan cara membagi jalan kebawah contoh : 28 / 105 = 3 84 21 / 28 = 1 21 7 / 21 = 3 21 0 Jadi
28 7 4 : 105 7 15
6
28 105
Matematika Keuangan
SOAL-SOAL: A. Jumlahkan : 1.
1 1 3 3 3 5
4. 1 3 7.
2 8
2.
4 3 5 4
3.
5.
4 2 3 21 3 7
6. 2
17 120 80 17 3 4 5 6
9. 24
8.
2 4 3 4 7 1 2 5 4 2 6 3 12
3 5 19 4 2 5 6 3 3
1 1 1 2 13 11 5 2 3 6 5
B. Kurangkan : 10.
2 3 5 4
11. 6
1 3
2 3
13.
19 80 50 300
14. 15 7
16.
425 4 2 45 9
17. 8
1 3
5 9
12. 5
5 9
9 3 5 12 4
15.
14 9 5 4
18.
540 102 20 15
C. Kalikan : 19.
2 5 x 8 7
20.
8 5 x 12 3 7
21. 2
2 1 x3 5 3
Matematika Keuangan
22.
3 12 5 x x 7 19 37 5 7
25. 361 x5 27. 175
1 3
23. 36 26.
3 7 x 20 9 8
25 2 1 3 x x x 42 3 2 4
24.
2 3 5 9 x x x3 15 14 7 11
1 1 x121 4 5
D. Bagikan : 28.
3 7 : 4 15
29. 25 : 7
31.
18 : 15 60
32. 46
34.
23 26 :9 34 104
8 12
30. 104
3 6 : 22 9 15
13 5 69 4 33. : 11 :8 25 32 99 9
35. 15
2 : 13 11
8
36.
12 2 : 17 3
Matematika Keuangan
BAB 2 DASAR-DASAR ALJABAR 1. Aplikasi Dasar Aritmatika ke Aljabar Jika a = b dan c = b, maka a = c; Jika a = b dan c = d, maka a + c = b + d; Jika a = b dan c = d, maka a - c = b - d; Jika a = b dan c = d, maka a x c = b x d; dan Jika a = b dan c = d, maka yaitu :
a b . aturan lainnya c d
a + b = b + a contoh : a = 5, b = 2, maka 5 + 2 = 2+5=7 a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) contoh : a = 1, b = 4, c = 9, maka 1 + 4 + 9 = (1 + 4) + 9 = 1 + (4 + 9) = 14 a x b = b x a contoh a = 6, b = 8, maka 6 x 8 = 8 x 6 = 48 a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) contoh : a = 5, b = 2 dan c = 4, maka 5 x 2 x 4 = (5 x 2) x 4 = 5 x (2 x 4) = 40 a : b : c = (a : b) : c bukan a : (b : c) contoh : a = 72, b = 9, dan c = 2, maka 72 : 9 : 3 = (72 : 9) : 2 = 8 : 2 = 4, bukan 72 : (9 : 2) = 72 : 4,5 = 16
9
Matematika Keuangan
2. Operasi Aljabar a. Penjumlahan (addition) Signed Number yaitu : penjumlahan bilangan yang tidak mengandung bilangan yang tidak diketahui contoh : 5 + 2 = 7 Monomial yaitu : penjumlahan bilangan yang mengandung satu bilangan yang tidak diketahui nilainya contoh : 3X + 7X = 10X, 12ab + 3ab = 15ab Polynomial yaitu : penjumlahan yang mengandung beberapa bilangan yang tidak diketahui contoh : 2a + 3c + 4e -3a + 2c - e_ + - a + 5c + 3e b. Pengurangan (Subtraction) Signed Number contoh : 4 - 2 = 2 Monomial contoh : -7abx – 5abx = -12abx Polynomial contoh : 2a + 3e - 5m -3a + 2e – 5i____ 5a + e – 5i – 5m Perkalian (Multiplication) Signed Number contoh : 5 x 9 = 45 Exponential am . an = am+n contoh : 23 . 22 = 23+2 = 25 = 25 am . bm = (ab)m contoh : 23 . 33 = (2.3)3 = 216
10
Matematika Keuangan
Monomial contoh : 2a2bc3x7.2ab2yz = 4a3b3c3x7yz Polynomial dengan Monomial contoh : 2ax + 2by + 3cd 2d x 4adx + 4bdy + 6cd2 Polynomial dengan Polynomial contoh : 2x + 2y 2a + 5b x 4ax + 4ay + 10bx + 10by c. Pembagian (Division) Signed Number contoh : 3 : 6 =
3 1 6 2
Exponential am : an = am-n contoh : 23 : 24 = 2-1 =
1 2
am : am = am/am = am-m = a0 = 1 Monomial contoh : Polynomial
10a 2 bx 7 y 5 z 5ax 2 z 2 2ab 3 x 5 y 6 q b yq
bagi
1 a2 1 b2 2 3 2a 3b 2 2b b 11
Monomial
contoh
:
Matematika Keuangan
Polynomial
bagi
Polynomial
contoh
:
30 x 4 x 6 3x 2 2 x 5 3
2
3x2 – 2x + 5 / 30x3 + 4x2
- 6 = 10x + 8
30x3 – 20x2 + 50x___ 24x2 - 50x - 6 24x2 - 16x + 40 – - 34x - 46 = 10 x 8
34 x 46 3x 2 2 x 5
d. Factoring Monomial Factor contoh : 4a + 4b = 4 (a+b) Common Binomial Factor yaitu bilangan yang memiliki 2 bilangan yang sama contoh : 1. a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y) 2. 6ax – 3ay + 12cx – 6cy = a (6x – 3y) + 2c (6x – 3y) = (a + 2c) (6x – 3y) Different of two Square yaitu bilangan yang apabila bilangan tersebut diuraikan, bilangan tersebut sama tapi tandanya berbeda. Contoh: 1. a2 – b2 = (a + b) (a – b) 2. 25x2 – 9y2 = (5x)2 – (3x)2 = (5x + 3y) (5x – 3y)
12
Matematika Keuangan
Trinomial, bentuk umum dari tipe ini adalah sbb : x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 dan x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 Trinomial (Special Case), bentuk ini untuk bilangan yang tidak ada akarnya contoh : 6x2 + 23x + 7 = (2x + 7) (3x + 1) 3. Persamaan Linear (linear Equation) a. Pengertian Persamaan identik dengan dua bilangan yang dipisahkan oleh tanda sama dengan. b. One Unknown yaitu : satu bilangan yang tidak diketahui nilainya contoh : 2x + 3 = 4x – 15 2x – 4x = -15 – 3 -2x = -18 x=
18 2
x=9 Contoh soal : Sebuah computer dijual dengan harga Rp.4.200.000,-. Gross profit dihitung sebesar
3 dari harga pokok penjualan. Diminta : 4
hitunglah Harga pokok Penjualan dan Gross Profitnya ! Jawab :
13
Matematika Keuangan
Misalkan HPP = x Gross Profit =
3 x 4
Gross profit = Penjualan – HPP
3 x = 4.200.000 – x 4 3 x + x = 4.200.000 4 1,75 x = 4.200.000 x=
4.200.000 1,75
x = 2.400.000 Gross Profit = =
3 x 4 3 . 2.400.000 4
= 1.800.000 c. Two Unknow yaitu 2 atau lebih bilangan yang tidak diketahui. Contoh soal : Hitunglah nilai x dan y untuk 2 persamaan berikut : 2x + 4y = 30 dan 3x – 3y = 18. Ada 3 cara yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan masalah ini yaitu: Eliminasi 14
Matematika Keuangan
2x + 4y = 30 |3| 6x + 12y = 90 3x – 3y = 18 |2| 6x – 6y = 36 – 18y = 54 y=
54 18
y=3 2x + 4y = 30 2x + 4(3) = 30 2x + 12 = 30 2x = 30 – 12 2x = 18 x =
18 2
x =9 Subtitusi 2x + 4y = 30
x
30 4 y 2
3x – 3y = 18
3(
30 4 y ) 3 y 18 2
90 12 y 3 y 18 2 15
Matematika Keuangan
45 – 6y – 3y = 18 -9y = 18 – 45 -9y = -27
y x
30 4(3) 2
x
30 12 2
x
18 2
27 3 9
x=9 Menyamakan
x
30 4 y 2
3x – 3y = 18
x
18 3 y 3
30 4 y 18 3 y 2 3 90 – 12y = 36 + 6y -12y - 6y = 36 – 90 -18y = -54 16
Matematika Keuangan
y
54 18
y=3 Aplikasi Persamaan dalam Dunia Usaha Soal : Harga pokok 3 Kg telur dan 2 Kg gula Rp.35.000, Harga pokok 2 Kg telur dan 1 Kg gula Rp.20.000. Berapa harga per Kg masingasing telur dan gula ? Jawab : Misalkan biaya per Kg telur = x biaya per Kg gula = y 3x + 2y = 35.000 |1| 3x + 2y = 35.000 2x + y = 20.000 |2| 4x + 2y = 40.000 -x
= -5.000 x = 5.000
3x + 2y = 35.000 3(5.000) + 2y = 35.000 15.000 + 2y = 35.000 2y = 35.000 – 15.000 2y = 20.000
y
20.000 2
y = 10.000 17
Matematika Keuangan
d. Ratio yaitu : perbandingan 2 bilangan atau lebih, contoh : Perusahaan A punya harta lancar Rp.390.000.000 dan hutang lancar Rp.210.000.000. Perusahaan B punya harta lancar Rp.240.000.000 dan hutang lancar Rp.180.000.000.Berapakah Current ratio perusahaan A dan B ? manakah ratio yang paling tinggi ? Jawab :
CurrentRatio
CurrentAsset CurrentLiabilities
PerusahaanA
390.000.000 420.000.000
= 1,86
PerusahaanB
240.000.000 180.000.000
= 1,33 Ratio yang paling perusahaan A
tinggi
adalah
ratio
Firma ABC pada tanggal 31 Desember 20xx mempunyai saldo modal akhir sbb : Sekutu A Rp. 200.000.000 Sekutu B Rp. 300.000.000 Sekutu C Rp. 500.000.000 Dalam tahun 20xx firma tersebut memperoleh keuntungan Rp.150.000.000. Menurut akte 18
Matematika Keuangan
pendirian, keuntungan tersebut dibagi berdasarkan perbandingan modal akhir. Berapa keuntungan yang didapat oleh masing-masing sekutu ? Jawab : Ratio modal akhir = 2 : 3 : 5 = 10 Pembagian keuntungan : Sekutu A : 2/10 x Rp.150.000.000 = Rp.30.000.000 Sekutu B : 3/10 x Rp.150.000.000 = Rp.45.000.000 Sekutu C : 5/10 x Rp.150.000.000 = Rp.75.000.000 Rp.150.000.000 e. Proportion yaitu : persamaan 2 buah ratio, contoh : Sebuah toko grosir menjual 5 meter kain dengan harga Rp.350.000,-, berapakah harga 18 meter kain jika dicari dengan menggunakan proportion ? Jawab : Misalkan harga 18 meter kain = x Maka
350.000 x 5 18 5x
= 6.300.000
x x 19
6.300.000 5
= 1.260.000
Matematika Keuangan
f. Percent yaitu bilangan pecahan per seratus contoh : Pada tahun 20x1 total penjualan dari sebuah toko adalah Rp.15.000.000. Tahun 20x2 penjualannya Rp.17.500.000. berapa persen perubahan penjualan dalam tahun 20x2 berdasarkan tahun 20x1 ? Jawab : Perubahan
= 17.500.000 – 15.000.000 = 2.500.000
% Perubahan
2.500.000 x100% 15.000.000
= 16,67% Perusahaan ABC dalam tahun 20xx mendapat keuntungan Rp.250.000.000. Keuntungan tersebut dibagi kepada masing-masing sekutu dengan cara : -
Terlebih dahulu diberikan bonus kepada sekutu A sebesar 2% dari keuntungan setelah dikurangi bonus
-
Sekutu B sekutu A
diberikan
25%
dari
Berapa jumlah masing-masing bonus ? Jawab : Misal bonus A = x x = 2% (250.000.000 – x) = 5.000.000 – 0,02x 20
bonus
Matematika Keuangan
1 + 0,02x = 5.000.000 1,02x = 5.000.000
x
5.000.000 1.02
x = 4.901.960,78 Bonus B = 25% . x = 25% . 4.901.960,78 = 1.225.490,20 SOAL-SOAL : A. Jumlahkanlah : 1. 2 + 7
2. 15 + (-7)
3. (-8) + (-35)
4. (-4.057) + 7.250
5. (-41) + (-2) + 70
6. 3.257 + (-250)
7. (-18) + (-20) + (-2)
8. 587 + 23.583 + (-37)
9. 1 + (-89) + 15
10. 4ab + (-2a) + 6ab + (-ab)
11. 7cd + (-6c) + 5c + (-5cd) 12. (-39f) + (-32f) + 45 13. (-37q) + 8q + 456q 14. 24w + (-9z) + (-3w) 15. (5abc + 3ab – 2bc + 8) + (2abc – 2ab + bc – 5) 16. (6x + 5y + 6) + (2x – 5y – 2) + (5x + 3y – 7) 4) Kurangkanlah : 17. (-5,35) – 32.2375
18. (-87) – (-2) – (-198)
19. 9 – 16 – (-23)
20. 59 – 81 – (-45) – 12 21
Matematika Keuangan
21. (-10bc) – 35bc 22. (12h + 25h) – (-4h – 7h) 23. (-25ct) – 9ct – (-2ct) 24. (2xy + 2x +7) – (4xy - 5x + 6) 5) Kalikanlah : 25. (-12) (-4)
26. (27) (-15)
27. (-35) (2) (-5)
28. (70) (-5) (41) (2)
29. 43 x 42
30. ma x na
31. 64 x 62
32. Z5r x Q5r
33. a7 x b7 x c7
34. D2 x D-8
6) Bagikanlah : 35. 30 : 6 37.
36. 48 : (-4)
(9)(5) 15
38.
144 (3)(4)
39. b8 : b5
40. 264 : 134
41. (ab)7 : c7
42. 64x2 : 2x2
43. 88b3c : 11bc
44. (-9x) : 3x5
45. (20m3n – 6m2n8 – 2mn) : 2mn 46. (28p2q3 -14pq3 -7q6) : (-7q4) 7) Faktorkanlah : 47. 9a2 – b4
48. 21V2 +13V - 20
49. 3cd – ce + 6fd – 2fe
50. G2 + 3G + 2
51. 28ef + 14gf – 4eh – 6gh
52. 36k2 – 60k + 25
22
Matematika Keuangan
53. 7T2 + 20T - 3
54. 9L2 + 24LM + 16M2
8) Hitunglah Persamaan Berikut : 55. 6(2x - 2) = 4x + 18
56. 14s + 25 = 70 – 2s
57. 8S + 16 = 45 – 2S
58. 9(T – 2) = 3T + 27
59. 4x – 9 = 15
60. 12D – 6 = -18
9) Hitunglah W untuk masing proporsi berikut : 61.
W 12 7 25
62.
45,25 50,75 27 W
63.
12 9 W 15
64.
40,5 W 3 86
65. W : 7 = 6 : 15
66. 32 : W = 5 : 60
67. 4 : 18 = W : 57
68. 16 : 72 = 8 : W
10)
Hitunglah Persentase berikut :
69. Hitunglah 13% dari 257 70. Berapakah 37% dari 14.576 71. Selama bulan suci ramadhan sebuah restoran Cuma beroperasi selama 30% dari jam operasi rata-rata diluar bulan ramadhan, itupun harus pada jam menjelang berbuka puasa. jika ratarata diluar bulan ramadhan restoran tersebut buka rata-rata 10 jam perhari, berapa jam perhari restoran tersebut buka selama bulam ramadhan ? 72. Pak Ali Punya 120 ekor kambing, 25% akan dijual ke pasar hewan akhir minggu ini, berapakah banyaknya hewan yang akan dijual ?
23
Matematika Keuangan
73. Pak Abdullah setiap bulan selama tahun 2008 menerima gaji sebesar Rp.3.200.000, atas penghasilannya tersebut pak Abdullah ingin membayar zakat sebesar 2,5% pertahun. Untuk tahun 2008 berapakah besarnya zakat yang harus dibayar Pak Abdullah ? 74. PT.XYZ tahun 2008 mempunyai laba bersih sebelum pajak sebesar Rp.45.625.000, Laba tersebut akan dibagi kepada pemilik perusahaan berdasarkan persentase kepemilikan sahamnya di perusahan setelah dipotong pajak. tahun ini pajak penghasilan sebesar 10%. Di laporan keuangan terlihat bahwa pemilik perusahaan terdiri dari : Tuan A modalnya Rp.35.000.000 Tuan B modalnya Rp.75.000.000 Tuan C modalnya Rp.40.000.000 Tuan D modalnya Rp.50.000.000 Berdasarkan data di atas, hitunglah besarnya laba yang diperoleh masing-masing pemilik perusahaan !. 75. Sebuah toko sepatu menetapkan besarnya marjin laba dari penjualan sepatunya adalah sebesar 20% dari harga pokok. Hari ini toko tersebut menjual 5 unit sepatu dengan harga pokok masing-masing sepatu Rp.80.000, berapakah harga jual sepatu dan berapa laba yang diperoleh toko tersebut ?
24
Matematika Keuangan
BAB 3 SIMPLE INTEREST (BUNGA BIASA) DAN SIMPLE DISCOUNT 1. Pengertian Simple Interest Simple Interest adalah perhitungan bunga sederhana. Biasanya seseorang yang meminjam uang selalu membayar bunga sebagai balas jasa atas uang yang sudah digunakan. Uang yang dipinjam disebut pokok pinjaman. Jumlah pokok pinjaman ditambah pembebanan bunga disebut amount atau nilai masa yang akan datang. Tingkat bunga selalu diekspresikan dengan persentase dari pokok pinjaman dalam suatu periode tertentu, biasanya dalam satu tahun. Jumlah bunga yang dibayar hanya dari pokok pinjaman yang dipinjam disebut simple interest. Rumus simple interest : Dimana :
I = Pin
I = Interest (Jumlah Bunga) P = principle (Pokok Pinjaman) i = Interest (Tingkat Bunga) n = Jangka Waktu
Contoh : Jika Pak Abu meminjam uang di Bank A sebesar Rp.1.000.000 pada tingkat bunga 10% selama jangka waktu 90 hari. Berapakah bunga yang harus dibayar ? Dik : P = 1.000.000
25
Matematika Keuangan
i = 10% n = 90 hari Dit : I = ……..? Jwb : I = Pin = 1.000.000 . 10% .
90 360
= 25.000 Jadi jumlah bunga yang harus dibayar Pak Abu adalah Rp.25.000. 2. Menentukan Lama Hari Pembungaan Ada 2 metode yang bisa digunakan untuk menentukan lama hari pembungaan atau menentukan tanggal jatuh tempo yaitu : a. metode Exact Time, metode ini menganggap setahun 365 hari (berdasarkan penanggalan kalender) dan b. metode approximate time, metode ini menganggap setahun 360 hari dimana 1 bulan dianggap 30 hari. Adapun cara menghitung bunga bisa dilakukan secara harian, bulanan ataupun tahunan. Jika Pak Abu meminjam pada tanggal 7 Februari 20x1, maka tanggal jatuh temponya adalah :
26
Matematika Keuangan
a. Exact time
Februari
28 – 7 = 21
Maret
31
April
30
Mei Total
8+ 90 hari
Jadi tanggal jatuh tempo adalah tanggal 8 Mei 20x1 b. Approximate time
Februari
30 – 7 = 23
Maret
30
April
30
Mei Total
7+ 90 hari
Kalau menggunakan metode ke 2 ini, tanggal jatuh tempo adalah tanggal 7 Mei 20x1 karena semua bulan dianggap 30 hari. 3. Menghitung Amount (Future Value = Nilai Masa Yang Akan Datang) Amount adalah total pembayaran beserta bunganya yang dalam matematika keuangan sering dilambangkan dengan “S” Maka S = P + I
27
Matematika Keuangan
S = P + Pin S = P (1 + in) Dari soal di atas, maka total pembayaran yang dilunasi oleh Pak Abu 90 puluh hari kemudian adalah : Dik
: P = 1.000.000 i = 10% n = 90 hari
Dit : S = ……..? Jwb: S = P (1 + in) = 1.000.000 (1 + 10% .
90 ) 360
= 1.000.000 (1 + 0,025) = 1.000.000 (1,025) = 1.025.000 4. Menghitung Nilai Sekarang (Present Value) S = P (1 + in)
P
S (1 in)
Jika Pak Abu 120 hari kedepan ingin punya tabungan Rp.2,500.000, berapa yang harus ditabung sekarang jika tingkat bunga yang berlaku 12% ?
28
Matematika Keuangan
Dik
: S = 2.500.000 i = 12% n = 120 hari
Dit
: P = ……..?
Jwb
: P
S (1 in)
2.500.000 120 1 12% x 360
2.500.000 (1 0,04)
2.500.000 1,04
= 2.403.846,15 Soal : Bu Fatimah membutuhkan uang Rp.5.000.000,untuk memulai usaha. Ia meminjam uang pada bank A dengan ketentuan tingkat bunga 24% dan jangka waktu 180 hari. Jika transaksi tersebut terjadi tanggal 21 Februari 20x1, hitunglah : a. Tanggal Jatuh Tempo b. Besarnya bunga yang dibayarkan c. Total pembayaran
29
Matematika Keuangan
d. Jika 180 hari kemudian Bu Fatimah bisa mendapatkan uang Rp.5.150.000 untuk melunasi pinjamannya, apakah pantas dia meminjam Rp.5.000.000 ? Dik
: Tanggal Transaksi 21 Feb 20x1 P = 5.000.000 i = 24% n = 180 hari 80 hari kedepan punya uang 5.150.000 (S)
Dit
: a. Tanggal Jatuh Tempo b. Besarnya Bunga c. Total Pembayaran d. Apakah pantas untuk meminjam Rp.5.000.000 jika 180 hari ke depan Cuma punya uang Rp.5.150.000 ?
Jawab
: a. Jatuh tempo
Februari 28 – 21 = 7 Maret
31
April
30
Mei
31
Juni
30
Juli
31
Agustus Total Jadi Jatuh Tempo tanggal 20 Agustus 20x1
30
20 180
Matematika Keuangan
b. Besarnya bunga : I = Pin = 5.000.000 . 24%.
180 360
= 5.000.000 . 0,12 = 600.000 c. Total Pembayaran : S = P (1 + in) = 5.000.000 (1 + 24% .
180 ) 360
= 5.000.000 (1 + 0,12) = 5.000.000 (1,12) = 5.600.000 d. P
S (1 in)
5.150.000 180 (1 24% x ) 360
5.150.000 (1 0,12)
5.150.000 1,12
= 4.598.214,29 Jika Bu Fatimah hanya mampu bayar Rp.5.150.000,- 180 hari kedepan, maka uang yang pantas dia pinjam hanya Rp.4.598.214,29 bukan Rp.5.000.000,-.
31
Matematika Keuangan
5. Rate (Tingkat Bunga) Jika I = Pin Maka i
I Pn
Jika S = P (1 + in) Maka i
SP Pn
Berapakah tingkat bunga yang pantas untuk memulai usaha jika Bu Fatimah tetap ingin meminjam Rp.5.000.000 dan 180 hari kemudian membayar Rp.5.150.000 ? Dik
: S = 5.150.000 P = 5.000.000 n = 180 hari
Dit
: i = ……..?
Jawab
: i
SP Pn
5.150.000 5.000.000 180 5.000.000 x 360 150.000 5.000.000 x0,5 150.000 2.500.000
32
Matematika Keuangan
= 0,06 x 100% = 6% Jadi tingkat bunga yang layak adalah 6% 6. Time (Jangka Waktu) Jika I = Pin Maka n
I Pi
Jika S = P (1 + in) Maka n
SP Pi
Dari contoh soal diatas, jika Bu Fatimah setuju dengan tingkat bunga yang ditawarkan Bank, Berapa jangka waktu yang pantas diberikan oleh Bank ? Dik
: S = 5.150.000 P = 5.000.000 i = 24%
Dit
: n = ……..?
Jawab
: n
SP Pi 5.150.000 5.000.000 5.000.000 x 24%
150.000 1.200.000
33
Matematika Keuangan
= 0,125 x 360 = 45 hari 7. Simple Discount Discount adalah selisih antara Amount dan Present Value. Discount baru terjadi jika tingkat bunga discount lebih besar dari tingkat bunga nominalnya. Dan pinjaman tersebut dibayar sebelum tanggal jatuh temponya. Langkah yang dilakukan adalah : a. Hitung dulu nilai jatuh tempo (amount = Future value) dari pinjaman tersebut dengan tingkat bunga nominalnya. Gunakan rumus : S = P(1 + in). b. Hitung Present Value (nilai pada saat tanggal yang hendak dibayar) berdasarkan nilai jatuh tempo dengan tingkat bunga discount dan jangka waktu discountnya. Jangka waktu discount adalah waktu dari periode pembayaran sampai tanggal jatuh temponya. Gunakan rumus :
P
S (1 in)
Dari contoh soal Pak Abu meminjam uang di Bank A sebesar Rp.1.000.000 pada tingkat bunga 10% selama jangka waktu 90 hari di atas, jika 60 hari kemudian Pak Abu mau melunasi pinjaman tersebut dan bank setuju memberikan tingkat bunga discount sebesar 12%, berapakah discount yang didapat oleh Pak Abu ? Langka 1 : Dik : P = 1.000.000
34
Matematika Keuangan
i = 10% = 0,1 n = 90 hari Dit : S = …….? Jawab : S = P (1 + in) = 1.000.000 (1 + 0,1 .
90 ) 360
= 1.025.000 Langkah 2 : Dik : S = 1.025.000 i = 12% = 0,12 n = 30 Hari (jarak antara periode pembayaran dan periode jatuh tempo atau 90 hari dikurang 60 hari). Dit : P = …………? Jawab :
P
S (1 in)
1,025.000 30 (1 0,12 x ) 360
= 1.014.851,49 Ini merupakan Nilai uang yang diterima oleh Bank Jadi Discout yang didapat Pak Abu adalah :
35
Matematika Keuangan
D=S–P = 1.025.000 - 1.014.851,49 = 10.148,51 8. Partial Payment Partial Payment adalah seri pembayaran yang berdiri sendiri yang masing-masing pembayarannya memiliki nilai yang berbeda. Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menghitung pembayaran seperti ini yaitu : a. Merchants’ Rule Karakteristik dari jenis ini (Menggunakan pendekatan amount = S) adalah :
Bunga pada saat pembayaran
Pembayaran akhir adalah akumulasi bunga setelah pembayaran awal
b. United States Rule Karakteristik dari jenis ini(menggunakan pendekatan Interest = I) adalah :
Perhitungan pembayaran pokok pinjaman menggunakan perhitungan yang sebenarnya
Akhir pembayaran merupakan perhitungan bunga dari pokok pinjaman tersisa
Contoh soal : Pak Abu membeli meja dengan harga Rp.2.000.000,pada tanggal 1 Juli 20x1. Tingkat bunga yang berlaku 6%. Tanggal 1 September 20x1 beliau
36
Matematika Keuangan
membayar Rp.500.000, kemudian pada tanggal 1 Oktober 20x1 beliau membayar Rp.600.000. Berapa sisa yang harus dibayar oleh Pak Abu pada akhir jatuh tempo jika jangka waktu yang disepakati adalah 120 hari ? Penyelesaian : 1. Merchants’ Rule 1 Juli 20x1
: 2.000.000
Nilai Jatuh Tempo : 1 November 20x1
: S = P (1 + in) = 2.000.000 (1 + 0,06 .
120 ) 360
= 2.040.000 Pembayaran pertama (1 Juli – 1 Sept = 60 Hari) sebanyak 500.000 : 1 September 20x1 : S = P (1 + in) = 500.000 (1 + 0,06 .
60 ) 360
= 505.000 Pembayaran Kedua (1 Sept – 1 Okt = 30 Hari) sebanyak 600.000 : 1 Oktober 20x1
: S = P(1 + in) = 600.000 (1 + 0,06 . = 603.000
37
30 ) 360
Matematika Keuangan
Pembayaran terakhir = Nilai Jatuh Tempo – (Pemb 1 + pemb 2) = 2.040.000 – (505.000 + 603.000) = 2.040.000 – 1.108.000 = 932.000 Jadi jumlah yang harus dibayar Pak Abu adalah sebesar : 2.032.000(500.000+600.000+932.000) dari 2.040.000 yang harus dilunasinya, sehingga ini menunjukkan bahwa ia mendapatkan discount sebesar i
SP Pn
2.040.000 2.000.000 90 2.000.000 x 360
90 hari jarak antara 1 sept – 1 Nov
40.000 500.000
= 0,08 x 100% = 8%
38
Matematika Keuangan
2. United States Rule 1 Juli 20 x 1
2.000.000
1 Sept 20x1 dibayar : 500.000 I = Pin = 2.000.000 . 0,06 .
60 = 20.000 - 480.000 360 1.520.000
1 Okt 20x1
dibayar : 600.000 I = Pin
= 1.520.000 . 0,06 .
30 = 7.600360
1 Okt 20x1
592.400 927.600
1 Nov 20x1 (hitung amountnya) S = P(1 + in) = 927.600 (1 + 0,06 .
1 ) 12
= 932.238 9. Equivalent value Equivalent value adalah nilai yang setara dengan suatu pinjaman atau simpanan dihitung
39
Matematika Keuangan
berdasarkan perbedaan waktunya misalnya uang Rp.1.000 sekarang nilainya setara dengan berapa rupiah 3 tahun kedepan? Tentu saja kita harus menghitung perbedaan nilai waktu dari uang yang sangat dipengaruhi oleh besarnya tingkat bunga dan jangka waktunya. Contoh : Jika suatu pinjaman mempunyai nilai jatuh tempo beserta bunganya Rp.25.000.000 dengan jangka waktu 6 bulan. Seandainya tingkat bunga yang berlaku 15%, berapa equivalent value jika pinjaman tersebut dilunasi pada : a. 2 bulan Dik
b. 6 bulan dan
c. 9 bulan
: S = 25.000.000 i = 15% n = 6 bulan
Dit : Equivalent value untuk 2 bulan, 6 bulan dan 9 bulan = ………? Jawab
: a. P
S (1 in) 25.000.000 4 (1 0,15 x ) 12
= 23.809.523,81 b. 25.000.000 karena tepat pada saat jatuh temponya
40
Matematika Keuangan
c. S = P(1 + in)
= 25.000.000 (1 + 0,15 .
3 ) 12
= 25.937.500 10.
Equivalent Time Equivalent time adalah waktu yang sama yang diperlukan untuk menyelesaikan kewajiban (seri pembayaran/seri penerimaan) terhadap keseluruhan nilai pembayaran (termasuk bunga di dalamnya). Contoh : Suatu single pembayaran berjumlah Rp.2.020.000, pembayaran dilakukan secara berurutan Rp.800.000 dalam jangka waktu 30 hari, Rp.1.000.000 dalam jangka waktu 60 hari dan Rp.200.000 dalam jangka waktu 90 hari. Jika tingkat bunga yang berlaku 6% dan jatuh tempo 90 hari, berapakah equivalent time dari single pembayaran tersebut ? Dik
: S = 2.020.000 i = 6% n = 90 hari Pembayaran 800.000 waktu 30 hari Pembayaran 1.000.000 waktu 60 hari
41
dalam dalam
jangka jangka
Matematika Keuangan
Pembayaran 200.000 waktu 90 hari Dit
dalam
jangka
: Equivalent Time = …….?
Jawab : Pembayaran pertama sampai jatuh tempo jaraknya 60 hari S = P(1 + in) = 800.000 (1 + 0,06 .
60 ) 360
= 808.000 Pembayaran kedua sampai jatuh tempo jaraknya 30 hari S = P(1 + in) = 1.000.000 (1 + 0,06 .
30 ) 360
= 1.005.000 Maka total pembayaran 90 hari : 808.000 + 2.013.000
1.005.000
+
200.000
=
Jadi kalau Rp.2.013.000 untuk 90 hari, maka Rp.2.020.000 untuk berapa hari ? Jika dimisalkan single pembayaran adalah t, maka : S = P(1 + in)
42
Matematika Keuangan
2.020.000 = 2.013.000 (1 + 0,06 . 2.020.000 = 2.013.000 (1 +
(t 90) ) 360
0,06t 5,4 ) 360
2.020.000 = 2.013.000 (
360 0,06t 5,4 ) 360 360 360
2.020.000 = 2.013.000 (
354,6 0,06t ) 360 360
2.020.000 = 1.982.805 +
120.780t 360
120.780t = 2.020.000 – 1.982.805 360 120.780t = 37.195 360 120.780t = 37.195 x 360 120.780t = 13.390.200 t =
13.390.200 120.780
t = 110,86 hari = ± 111 hari. Jika pembayaran dilakukan berurutan, maka jumlah yang harus dibayar adalah Rp.2.013.000 dalam waktu 90 hari, hal ini akan sama artinya dengan jika membayar 2.020.000 selama 111 hari.
43
Matematika Keuangan
SOAL-SOAL : A. Hitunglah besarnya jumlah bunga dari simple interest di bawah ini :
NO
POKOK PINJAMAN
TINGKAT BUNGA
JANGKA WAKTU
1.
50.675.000
10%
5 BULAN
2.
175.897.500
15%
120 HARI
3.
875.723.850
12%
1 TAHUN
4.
100.985.100
16%
6 BULAN
5.
567.250.000
8%
180 HARI
6. 1.573.230.200
9%
3 BULAN
7.
250.000.000
11%
½ TAHUN
8.
100.000.000
5%
4 BULAN
13%
1 TAHUN, 2 BULAN
6%
1 TAHUN, 5 BULAN
9. 1.500.000.000 10
125.345.900
44
Matematika Keuangan
B. Dari table temponya !
di
atas,
hitunglah
nilai
jatuh
Tentukanlah tanggal jatuh tempo dengan metode Exact dan Approximate untuk masingmasing soal berikut :
No
TANGGAL TRANSAKSI
JANGKA WAKTU
1.
15 Januari 2000
150 hari
2.
8 Februari 2001
60 hari
3.
20 Maret 2002
90 hari
4.
29 April 2003
210 hari
5.
17 Mei 2004
120 hari
6.
25 Juni 2005
30 hari
7.
3 JUli 2006
180 hari
8.
11 Agustus 2007
75 hari
9.
2 September 2008
125 hari
10
18 Oktober 2009
45 hari
C. Hitunglah Present Value dari data berikut :
45
Matematika Keuangan
NO
AMOUNT
TINGKAT BUNGA
JANGKA WAKTU
1.
50.675.000
10%
5 BULAN
2.
175.897.500
15%
120 HARI
3.
875.723.850
12%
1 TAHUN
4.
100.985.100
16%
6 BULAN
5.
567.250.000
8%
180 HARI
6. 1.573.230.200
9%
3 BULAN
7.
250.000.000
11%
½ TAHUN
8.
100.000.000
5%
4 BULAN
13%
1 TAHUN, 2 BULAN
6%
1 TAHUN, 5 BULAN
9. 1.500.000.000 10
125.345.900
D. Soal Cerita : 1. Pak Budi membeli sebuah TV dengan harga RP.5.450.000 pada tanggal 4 Agustus 2008, jangka waktu pelunasan 210 hari. Pada tanggal 6 November 2008 ia membayar Rp.2.000.000, tanggal 14 Desember ia membayar Rp.500.000, tanggal 5 februari 2009 ia membayar Rp.1.000.000.
46
Matematika Keuangan
Berapakah sisa yang harus di bayar Pak Budi pada saat jatuh tempo ? (Merchand Rules dan US Rules) 2. Suatu pinjaman mempunyai nilai jatuh tempo beserta bunganya Rp.75.000.000, dengan tingkat bunga 8% dan jangka waktu 180 hari. Berapakah equivalent value jika pinjaman tersebut dilunasi pada : a. 45 hari b. 80 hari c. 150 hari d. 180 hari e. 200 hari f.
250 hari
3. Suatu single pembayaran berjumlah Rp.12.380.000, pembayaran dilakukan secara berurutan Rp1.800.000 dalam jangka waktu 60 hari, Rp.5.000.000 dalam jangka waktu 90 hari, Rp2.200.000 dalam jangka waktu 150 hari dan Rp.1950.000 dalam jangka waktu 240 hari. Jika tingkat bunga yang berlaku 4% dan jatuh tempo 240 hari, berapakah equivalent time dari single pembayaran tersebut ?
47
Matematika Keuangan
BAB 4 COMPOUND INTEREST (BUNGA MAJEMUK) 1. Pengertian Compound Interest Compound Interest atau bunga majemuk adalah akumulasi dari principle atau pokok pinjaman yang merupakan total amount dari keseluruhan pinjaman tersebut, yang dipengaruhi oleh tingkat bunga dan jangka waktu. Sedangkan compound itu sendiri adalah pengkonversian waktu dalam tingkat bunga kedalam periode tertentu misalnya : annually (tahunan), semi annually (semesteran), quarterly (kwartalan) dan monthly (bulanan). Contoh : Jika 20x0 Pak Badu mempunyai tabungan Rp.7.500.000, Berapa jumlah tabungan Pak Badu 5 tahun yang akan datang dengan pendekatan interest secara tahunan jika tingkat bunga yang berlaku 12% ? Dik
: P = 7.500.000 i = 12% n = 5 tahun
Dit
: S =……..?
Jawab
:
20 x 0 : S = 7.500.000 20 x 1 : S = 7.500.000(1+12%.1)=8.400.000 =P(1+i) 20x2 :S = 8.400.000(1+12%.1)=9.408.000=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2 20x3:S= 9.408.000(1+12%.1)=10.536.960=P(1+i)(1+i)(1+i)=P(1+i)3
48
Matematika Keuangan
20x4:S= 10.536.960(1+12%.1)=11.801.395,2=P(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=P(1+i)4
20x5:S=11.801.395,2(1+12%.1)=13.217.562,62=P(1+i)(1+i) (1+i)(1+i)(1+i)=P(1+i)5
Maka S = P (1 + i)n
i dan n dikonversikan kepada pemajemukan bunga
Pemajemukan bunga = pemajemukan periode waktu
Contoh : Berapa tabungan Pak Badu pada tahun 20x5 jika bunga dimajemukkan secara : a. Semesteran (6 bulanan) b. Catur wulanan (4 bulanan) c. Kwartalan (3 bulanan) d. Bulanan (1 bulanan) Dik
: P = 7.500.000 i = 12% n = 5 tahun
Dit
: S = ………?
Jawab
:
a. Semesteran : i = 12% : 2(1 tahun ada 2 semester) = 6% = 0,06 n = 5 x 2 = 10 S = P (1 + i)n = 7.500.000 (1 + 0.06)10 49
Matematika Keuangan
= 13.431.357,72 b. Catur wulanan : i = 12% : 3(1 tahun ada 3 caturwulan) = 4% = 0,04 n = 5 x 3 = 15 S = P (1 + i)n = 7.500.000 (1 + 0.04)15 = 13.507.076,29 c. Kwartalan : i = 12% : 4(1 tahun ada 4 kwartal) = 3% = 0,03 n = 5 x 4 = 20 S = P (1 + i)n = 7.500.000 (1 + 0.03)20 = 13.545.834,26 e. Bulanan : i = 12% : 12(1 tahun ada 12 bulan) = 1% = 0,01 n = 5 x 12 = 60 S = P (1 + i)n = 7.500.000 (1 + 0.01)60 = 13.625.225,24 Dari semua hasil perhitungan di atas terlihat bahwa makin banyak pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya, makin besar jumlah tabungan Pak Abu.
50
Matematika Keuangan
2. Pergantian Tingkat Pemajemukan
Bunga
selama
Peride
Contoh : Jika Bu Tuti Meminjam uang Rp.10.000.000 di bank dengan jangka waktu 10 tahun, 4 tahun pertama bunga pinjaman tersebut dimajemukkan secara semesteran dan 6 tahun sisanya bunga dimajemukkan secara bulanan. Berapakah total pembayaran beserta bunganya jika tingkat bunga yang berlaku 9% ? Dik
: P = 10.000.000 I = 9% : 2 = 0,045 untuk semesteran 4 tahun pertama n=4x2=8
Dit
: S = …….?
Jawab
: S = P (1 + i)n = 10.000.000 (1 + 0,045)8 = 14.221.006,13
Dik
: P = 14.221.006,13 i = 9% : 12 = 0,0075 6 tahun kedua
untuk
n = 6 x 12 = 72 Dit
: S = ……..?
Jawab
: S = P (1 + i)n = 14.221.006,13 (1 + 0,0075)72
51
bulanan
Matematika Keuangan
= 24.354.222,54 3. Pengkonversian waktu termasuk unsur pecahan Contoh : Jika Pak Ali punya tabungan Rp.3.000.000,- pada 1 Januari 20x1, Berapakah jumlah tabungannya pada tanggal 1 Agustus 20x2 jika tingkat bunga yang berlaku 18% dimajemukkan secara kwartalan ? Dik
: P = 3.000.000 I = 18% : 4 = 0,045 n = 19 Bulan = 6
Dit
: S = ……..?
Jawab
:
1 kwartal 3
Ada 2 cara yang dapat dilakukan : a. Untuk 6 kwartal : S = P (1 + i)n = 3.000.000 (1 + 0,045)6 = 3.906.780,37 Untuk 1 bulan : I = Pin = 3.000.000 . 18% .
1 12
= 45.000 Total Pembayaran = 3.906.780,37 + 45.000 52
Matematika Keuangan
= 3.951.780,37 b. S = P (1 + i)n = 3.000.000 (1 + 0,045)6 (1 + 0,045)
1 3
= 3.000.000 (1,30) (1,014) = 3.954.600 Perbedaan hasil hitungan karena pembulatan 4. Mencari Present Value Compound Discount
(Nilai
Sekarang)
Dan
Jika S = P (1 + i)n Maka P = ___S___ (1 + i)n Contoh : Jika Tuan Ali setelah 3 tahun punya tabungan Rp.2.750.000,-, berapa jumlah tabungan pertama tuan Ali jika tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan secara : a. Tahunan b. Semesteran c. Catur wulanan d. Kwartalan e. Bulanan Dik
: S = 2.750.000 i = 12% : 1 = 0,12
untuk tahunan
n=3x1=3 i = 12% : 2 = 0,06 53
untuk semesteran
Matematika Keuangan
n=3x2=6 i = 2% : 3 = 0,04
untuk catur wulanan
n=3x3=9 i = 12% : 4 = 0,03
untuk kwartalan
n = 3 x 4 = 12 i = 12% : 12 = 0,01 n = 3 x 12 = 36 Dit
: P = ………?
Jawab
: a. P = ___S___ (1 + i)n = 2.750.000 (1 + 0,12)3 = 1.957.395,68 b. P = ___S___ (1 + i)n = 2.750.000 (1 + 0,06)6 = 1.938.641,49 c. P = ___S___ (1 + i)n = 2.750.000 (1 + 0,04)9 = 1.932.113,52 54
untuk bulanan
Matematika Keuangan
d. P = ___S___ (1 + i)n = 2.750.000 (1 + 0,03)12 = 1.928.794,67 e. P = ___S___ (1 + i)n = 2.750.000 (1 + 0,01)36 = 1.922.043,61 Dari hasil perhitungan diatas dapat kita simpulkan bahwa makin besar pemajemukan bunganya, makin kecil jumlah uang yang harus ditabung oleh tuan Ali. Compount Discount Dalam compound Interest, discount baru didapat jika :
Tingkat bunga discount lebih besar dari tingkat bunga principlenya (tingkat bunga nominalnya)
Pembayaran dilakukan sebelum jatuh tempo
Boleh juga jika tingkat bunga discount dan tingkat bunga nominalnya sama, tapi pemajemukan bunganya berbeda. Pemajemukan bunga discount harus lebih kecil dari pemajemukan bunga nominalnya (misalkan bunga nominal dimajemukkan semesteran, maka 55
Matematika Keuangan
tingkat bunga discount harus dimajemukkan lebih kecil dari semester yaitu catur wulan, kwartal atau bulanan). Contoh soal : Tuan Ali meminjam uang Rp.10.000.000 pada tanggal 1 Januari 20x0, jangka waktunya 10 tahun, dengan tingkat bunga 15% dimajemukkan secara catur wulanan. Jika Tuan Ali ingin melunasi hutangnya pada tanggal 1 Januari 20x4 dengan tingkat bunga discount 18% dimajemukkan secara catur wulanan, berapa yang harus dibayarnya ? Langkah Pertama Hitung dulu nilai jatuh temponya pada tahun 20x10: Dik
: P = 10.000.000 i = 15% : 3 = 0,05 n = 10 tahun x 3 = 30
Dit
: S = …….?
Jawab
: S = P (1 + i)n = 10.000.000 (1 + 0,05)30 = 43.219.423,75
Langkah kedua hitung nilai sekarang pada saat dilunasi atas dasar nilai jatuh tempo (tahun 20x10 – tahun 20x4 = 6 tahun) Dik
: S = 43.219.423,75 I = 18% : 3 = 0,06 n = 6 x 3 = 18 56
Matematika Keuangan
Dit
: P = ………?
Jawab
: P = ___S___ (1 + i)n = 43.219.423,75 (1 + 0,06)18 = 15.141.656,77 (nilai yang harus dibayar oleh tuan Ali)
Discount = S – P = 43.219.423,75 – 15.141.656,77 = 28.077.766,98 5. Mencari Tingkat Bunga (Interest Rate) Ada 2 cara yang dapat ditempuh untuk menhitung tingkat bunga ini yaitu : a. Dengan formula : S = P (1 + i)n (1 + i)n =
S P
Log1 i b. Dengan interpolasi :
LogS LogP n
23 23 1 3 1 3
57
Matematika Keuangan
Soal : Berapakah tingkat bunga yang dimajemukkan secara semesteran dari suatu pinjaman sebesar Rp.6.000.000 selama 10 tahun dengan akumulasi pinjaman akhir tahun ke 10 Rp.17.800.000. Jika diketahui Faktor pengali pada Rate 6% adalah 3,2071 dan pada rate 5½% adalah 2,9178 (Faktor pengali ini didapat dari table bunga majemuk pada n = 20, kemudian ditelusuri kekanan sampai dijumpai angka yang terdekat dengan hasil hitungan kita yaitu 2,9667) Dik
: S = 17.800.000 P = 6.000.000 n = 10 tahun x 2 = 20
Dit
: i = ……..?
Jawab
:
a. Dengan Formula :
Log1 i
LogS LogP n
Log17.800.000 Log 6.000.000 20 = 0,0236
inv log i = 1,0558 – 1 i = 0,0558 x 100% = 5,58%
58
Matematika Keuangan
b. Dengan interpolasi : (1 + i)n = (1 + i)20 =
S P 17.800.000 6.000.000
= 2,9667 No
i
(1 + i)20
1.
6% =0,06
3,2071
2.
X
2,9667
3.
5 ½% = 0,055
2,9178
Jika Maka
23 23 1 3 1 3
X 0,055 2,9667 2,9178 0,06 0,055 3,2071 2,9178 X 0,055 0,0489 0,005 0,2893 X 0,055 0,1690 0,005 X – 0,055 = 0,1690 x 0,005 X – 0,055 = 0,000845 X = 0,000845 + 0,055 X = 0,055845 x 100% 59
Matematika Keuangan
X = 5,58% per semester x 2 = 11,16% per tahun 6. Menghitung Jangka Waktu Jika S = P (1 + i)n Maka
(1 +i)n = S/P log (1 +i)n = log S/P
n
LogS / P Log (1 i )
Soal : Berapakah waktu yang diperlukan oleh Tuan Ali jika ia menabung Rp.10.000.000 agar menjadi Rp.12.500.000 dengan tingkat bunga 24% yang dimajemukkan secara bulanan Dik
: S = 12.500.000 P = 10.000.000 i = 24% : 12 = 0,02
Dit
: n = ………?
Jawab
:
n
LogS / P Log (1 i ) Log12.500.000 / 10.000.000 Log (1 0,02)
60
Matematika Keuangan
Log1,25 Log1,02
= 11,27 bulan SOAL-SOAL : 1. Pak Ali membeli barang dagangan secara kredit seharga Rp.20.000.000, berapa yang harus dibayar oleh Pak Ali 2 tahun kedepan jika tingkat yang berlaku 18% dimajemukkan secara : a. Tahunan b. Semesteran c. Catur Wulanan d. Kwartalan e. Bulanan 2. Jika 5 tahun kedepan Budi ingin jumlah tabungannya Rp.15.000.000, berapa yang harus ditabung sekarang jika tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan secara : a. Tahunan b. Semesteran c. Catur Wulanan d. Kwartalan e. Bulanan 3. Ibu Fatimah meminjam uang Rp.35.000.000 pada tanggal 15 Maret 20x0, jangka waktunya 10 tahun, dengan tingkat bunga 9% dimajemukkan 61
Matematika Keuangan
secara semesteran. Jika ibu Fatimah melunasi hutangnya pada tanggal 15 Maret dengan tingkat bunga discount dimajemukkan secara semesteran, berapa harus dibayarnya ?
ingin 20x4 12% yang
4. Berapakah tingkat bunga yang dimajemukkan secara kwartalan dari suatu pinjaman sebesar Rp.1.200.000 selama 15 tahun dengan akumulasi pinjaman akhir tahun ke 15 Rp.19.200.000. Jika diketahui Faktor pengali pada Rate 4
1 % adalah 1,1616 dan pada rate 5% 2
adalah 1,2210.
5. Berapakah waktu yang diperlukan oleh Ibu Astuti jika ia menabung Rp.8.000.000 agar menjadi Rp.15.750.000 dengan tingkat bunga 14% yang dimajemukkan secara bulanan
62
Matematika Keuangan
BAB 5 ANNUITY 1. Pengertian Annuity Annuity adalah suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap interval (dengan pengkonversian waktu dan pemajemukan bunga tertentu). Misalnya seorang pengusaha membeli sebuah ruko untuk tempat usahanya secara kredit dan untuk itu ia harus mencicil setiap bulan Rp.500.000 selama 10 tahun. Dari soal diatas terlihat bahwa ada seri pembayaran yang sama yaitu Rp.500.000 dan ada interval yang sama yaitu setiap bulan selama 10 tahun. 2. Jenis-Jenis Annuity Annuity terbagi dua yaitu : a. Simple Annuity : merupakan suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap interval dimana pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya sama artinya jika bunga dimajemukkan secara kwartalan misalnya, maka waktunya juga dikonfersikan secara kwartalan. b. Complex Annuity : merupakan suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap interval dimana pengkonversian waktu tidak sama dengan pemajemukan bunganya artinya jika bunga dimajemukkan secara semesteran misalnya, maka waktunya dikonfersikan secara 63
Matematika Keuangan
kwartalan atau catur wulanan, atau tahunan atau bulanan. Masing–masing jenis annuity di atas terbagi lagi kepada 3 jenis yaitu Ordinary Annuity, Annuity Due dan Defferred annuity. 3. Jenis-Jenis Simple Annuity Simple Annuity terdiri dari : a. Simple Ordinary Annuity yaitu : suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap akhir interval dimana pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya sama. Intinya dalam ordinary annuity adalah pembayaran dilakukan setiap akhir interval misalnya : akhir bulan, akhir kwartal, akhir catur wulan, akhir semester atau akhir tahun. b. Simple Annuity Due yaitu : suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap awal interval dimana pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya sama. Intinya dalam ordinary annuity adalah pembayaran dilakukan setiap awal interval misalnya : awal bulan, awal kwartal, awal catur wulan, awal semester atau awal tahun. c. Simple Defferred Annuity hampir sama dengan simple ordinary annuity yaitu suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap akhir interval dimana pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya sama, hanya saja dalam jenis ini ada masa tenggang waktu untuk tidak
64
Matematika Keuangan
mencicil beberapa interval awal yang disebut grace period (masa senggang). 4. Jenis-Jenis Complex Annuity Complex Annuity terdiri dari : a. Complex Ordinary Annuity yaitu : suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap akhir interval dimana pengkonversian waktu tidak sama dengan pemajemukan bunganya. Intinya dalam complex ordinary annuity adalah bahwa penkonversian waktu dan pemajemukan bunganya tidak boleh sama. b. Complex Annuity Due yaitu : suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap awal interval dimana pengkonversian waktu tidak sama dengan pemajemukan bunganya. c. Complex Defferred Annuity hampir sama dengan complex ordinary annuity yaitu suatu seri pembayaran yang jumlahnya sama tiap akhir interval dimana pengkonversian waktu tidak sama dengan pemajemukan bunganya, dan disini juga ada yang namanya masa senggang atau grace period.
65
Matematika Keuangan
BAB 6 SIMPLE ORDINARY ANNUITY 1. Karakteristik Simple Ordinary Annuity Berdasarkan pengertian dan pembahasan yang telah dibahas di bab sebelumnya, maka karakteristik dari simple ordinary annuity adalah : a. Suatu seri pembayaran yang sama b. Pengkonversian waktu pemajemukan bunga
sama
dengan
c. Pembayaran dilakukan setiap akhir interval 2. Menghitung Amount Rumus
(1 i ) n 1 : Snor R i
Dimana
: Snor = Nilai dimasa yang akan datang R = Seri pembayaran i = Tingkat Bunga n = Jangka Waktu
Soal : Berapakah total pembayaran dari suatu seri pembayaran Rp.400.000 yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 5 tahun dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan secara kwartalan ? Dik
: R = 400.000 66
Matematika Keuangan
i = 8% : 4 = 0,02 n = 5 x 4 = 20 Dit
: Snor = …………….?
Jawab
:
Snor R
(1 i ) n 1 i
400.000
(1 0,02) 20 1 0,02
= 9.718.947,92 3. Menghitung Present Value
1 (1 i ) n i
Rumus
: Anor R
Dimana
: Anor = Nilai sekarang R = Seri pembayaran i = Tingkat Bunga n = Jangka Waktu
Soal : Berapakah Nilai sekarang (present value) dari suatu seri pembayaran Rp.400.000 yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 5 tahun dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan secara kwartalan ? Dik
: R = 400.000 i = 8% : 4 = 0,02 67
Matematika Keuangan
n = 5 x 4 = 20 Dit
: Anor = …………….?
Jawab
:
Anor R
1 (1 i ) n i
400.000
1 (1 0,02) 20 0,02
= 6.540.573,34 4. Hubungan Antara Amount dan Present Value Dari perhitungan Amount dan Present Value diatas seolah-olah kedua item tersebut tidak saling terkait, padahal kita tahu bahwa dalam perhitungan simple interest dan compound interest kedua hal tersebut saling terkait. Sebenarnya Amount dan Present Value dalam Annuity juga saling terkait, artinya angka amount bisa kita gunakan untuk menghitung present value dan sebaliknya angka present value bisa kita gunakan untuk mencari amount. Berdasarkan angka amount dan present value diatas, maka kalau kita cari dengan rumus bunga majemuk Anor = Snor (1 + i)-n, akan kita dapat : Jika Dik : Snor = 9.718.947,92 i = 8% : 4 = 0,02 n = 5 x 4 = 20 Dit : Anor = ………. ?
68
Matematika Keuangan
Maka
: Anor = Snor (1 + i)-n = 9.718.947,92 (1 + 0,02)-20 = 6.540.573,34
Sebaliknya jika angka present value tersebut kita gunakan untuk menghitung amount dengan rumus Sonr = Anor (1 + i)n, akan kita dapat : Jika Dik : Anor = 6.540.573,34 i = 8% : 4 = 0,02 n = 5 x 4 = 20 Dit : Snor = ………. ? Maka
: Snor = Anor (1 + i)n = 6.540.573,34 (1 + 0,02)20 = 9.718.947,92
5. Menghitung Seri Pembayaran (R) Ada dua rumus yang dapat digunakan untuk menghitung seri pembayaran yaitu : a. Diketahui Amount Jika
Snor R
(1 i ) n 1 i
69
Matematika Keuangan
Maka
R Snor
(1 i ) n 1 i
R Snor
i (1 i ) n 1
R
Snor i (1 i ) n 1
Soal : Berapakah seri pembayaran pada setiap akhir semester dengan tingkat bunga 6% dimajemukkan secara semesteran selama 8 tahun dengan total yang diterima dimasa yang akan datang sebesar Rp.5.000.000 ? Dik
: Snor = 5.000.000 i = 6% : 2 = 0,03 n = 8 tahun x 2 = 16
Dit
:
R = …………… ?
Jawab :
R
Snor i (1 i ) n 1 5.000.000 0,03 (1 0,03)16 1
= 248.054,25
70
Matematika Keuangan
b. Diketahui Present Value Jika
Anor R
1 (1 i ) n i
1 (1 i ) n R Anor i
Maka
R Anor
R
i 1 (1 i ) n
Anor i 1 (1 i ) n
Soal : Berapakah seri pembayaran pada setiap akhir semester dengan tingkat bunga 6% dimajemukkan secara semesteran selama 8 tahun dengan nilai sekarang sebesar Rp.5.000.000 ? Dik
: Anor = 5.000.000 i = 6% : 2 = 0,03 n = 8 tahun x 2 = 16
Dit
:
R = …………… ?
Jawab :
R
Anor i 1 (1 i ) n 5.000.000 0,03 1 (1 0,03) 16 71
Matematika Keuangan
= 398.054,25 6. Menghitung Jangka Waktu ( n ) Ada dua rumus yang dapat digunakan yaitu : a. Diketahui Amount Jika Maka
Snor R
(1 i ) n 1 i
(1 i ) n 1 Snor i R (1 i ) n 1 (1 i ) n
Snor i R Snor i 1 R
Sn Log (1 i ) n Log or i 1 R Sn nLog (1 i ) Log or i 1 R Sehingga didapat :
Sn Log or i 1 R n Log (1 i )
72
Matematika Keuangan
Soal : Jika Rp.450.000 setiap akhir bulan disimpan, berapa lama (bulan) simpanan tersebut akan berjumlah Rp.15.000.000 dengan tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan secara bulanan. Dik
: Snor = 15.000.000 R = 450.000 i = 12% : 12 = 0,01
Dit
:
n = ……… ?
Jawab :
Sn Log or i 1 R n Log (1 i )
15.000.000 Log 0,01 1 450.000 n Log (1 0,01)
Log (1,33333 Log (1,01)
0,1249 0,0043
= 29,05 = ± 29 bulan (dibulatkan) 29 : 12 = 2,42 tahun
73
Matematika Keuangan
b. Diketahui Present Value Jika
Anor R
1 (1 i ) n i
1 (1 i ) n Anor Maka i R 1 (1 i ) n
Anor i R
(1 i ) n
Anor i 1 R 1
(1 i ) n
Anor i 1 R
Anor Log (1 i ) n Log i 1 R Anor nLog (1 i ) Log i 1 R Anor Log i 1 R n Log (1 i ) Sehingga didapat :
Anor Log i 1 R n Log (1 i )
74
Matematika Keuangan
Soal : Jika seseorang meminjam uang Rp.8.000.000 dan setuju membayar kembali Rp.400.000 pada setiap akhir catur wulan dengan tingkat bunga 9% dimajemukkan secara catur wulanan. Berapa lama waktu yang diperlukan dari suatu seri pembayaran tersebut ? Dik
: Anor = 8.000.000 R = 400.000 i = 9% : 3 = 0,03
Dit
:
n = ……… ?
Jawab :
Anor Log i 1 R n Log (1 i )
8.000.000 Log 0,03 1 400.000 n Log (1 0,03)
Log (0,4) Log (1,03)
0,3979 0,0128
= 31,09 = ± 31 catur wulan (dibulatkan) 31 : 3 = 10,3 tahun 75
Matematika Keuangan
7. Menghitung Tingkat Bunga ( i ) a. Jika diketahui amount Dapat dilakukan dengan melihat table : Jika diketahui Amount Rp.1.673.451, seri pembayarannya Rp.400.000 per akhir semester, Jangka waktu 2 tahun, maka kita bisa hitung i jika bunga dimajemukkan semesteran sebagai berikut : Dik
: Snor = 1.673.451 R = 400.000 n = 2 tahun x 2 = 4
Dit
:
i = ……… ?
Jawab : Jika
(1 i ) n 1 Snor R i
Maka
(1 i ) n 1 Snor i R (1 i ) 4 1 1.673.451 i 400.000 =
4,18363 (ini disebut Discount Factor = DF)
angka
Maka kita bisa lihat di table sebagai berikut :
76
Matematika Keuangan
n
Interest Rate 1%
2%
n 3%
1
1,00000
1,00000
1.00000
1
2
2,01000
2,02000
2,03000
2
3
3,03010
3,06040
3,09090
3
4
4,06040
4,12161
4,18363
4
5
5,10101
5,20404
5,30914
5
caranya : Lihat n pada posisi 4 (karena 4 semester) kemudian telusuri kekanan sampai dijumpai angka 4,18363, lalu lihat keatas didapat angka 3%, berarti tingkat bunganya 3% per semester x 2 = 6% pertahun. Jika setelah kita hitung angka discount factornya dan kita cari di table tidak kita jumpai angka yang sama dengan hasil perhitungan, maka bisa kita lakukan perhitungan dengan metode interpolasi yaitu cari ditabel angka discount factor dan tingkat bunga yang diatas dan dibawah discaunt factor hitungan, lalu hitung dengan menggunakan rumus interpolasi :
23 23 1 3 1 3
77
Matematika Keuangan
Soal : Berapakah tingkat bunga nominal yang dimajemukkan secara caturwulanan dari suatu seri pembayaran Rp.500.000 yang dibayarkan pada setiap akhir catur wulan sehingga menjadi Rp.15.000.000 selama 8 tahun ? Berdasarkan soal di atas maka dapat dihitung discount factor sebagai berikut : Dik
: Snor = 15.000.000 R = 500.000 n = 8 tahun x 3 = 24
Dit
:
i = ……… ?
Jawab :
(1 i ) n 1 Snor i R (1 i ) 24 1 15.000.000 i 500.000 = 30
(ini Df2)
Di table setelah ditelusuri tidak dijumpai angka 30 dengan n = 24, maka harus dihitung dengan interpolasi dengan cara mencari discount factor yang satu tingkat diatas dan satu tingkat dibawah discount factor yang dimaksud : Discount Factor di atas 30 pada n = 24 : Df1 = 30,4219 dengan tingkat bunga i = 2%
78
Matematika Keuangan
Discount Factor di bawah 30 pada n = 24 : Df3 = 29,9622 dengan tingkat bunga i = 1
7 % 8
Angka-angka tersebut kalau ditabelkan akan terlihat sebagai berikut : No
i
DF
1
2% = 0,02
30,4219
2
X=?
30
3
1
7 % = 0,01875 8
29,9622
kalau kita hitung dengan interpolasi :
23 23 1 3 1 3
x 0,01875 30 29,9622 0,02 0,01875 30,4219 29,9622 x 0,01875 0,0378 0,00125 0,4597 x 0,01875 0,0822 0,00125 X – 0,01875 = 0,0822 x 0,00125 X – 0,01875 = 0,00010278442 X = 0,00010278442 + 0,01875
79
Matematika Keuangan
X = 0,018852784 x 100% = 1,89% per catur wulan x 3 = 5,67% per tahun b. Jika diketahui present value Berdasarkan angka present value maka dapat dihitung discount factor untuk menentukan tingkat bunga sebagai berikut : Jika Maka
Anor R
1 (1 i ) n i
1 (1 i ) n Anor i R
Atas dasar discount factor tersebut, maka dapat dicari tingkat bunga pada table present value sama seperti cara mencari tingkat bunga jika diketahui amount di atas yang berpedoman pada angka seri pembayaran (n) kemudian telusuri kekaanan sampai dijumpai angka yang sama dengan yang kita hitung lalu lihat keatas sehingga dijumpai angka tingkat bunga yang diperlukan. Jika ternyata tidak dijumpai angka seperti yang dimaksud, maka sama seperti jika diketahui amount, kita dapat hitung dengan metode interpolasi. Soal : Suatu annuity 400.000 yang dibayarkan setiap akhir bulan selama 5 tahun mempunyai nilai present value sebesar Rp.18.000.000. Berapakah 80
Matematika Keuangan
tingkat bunga nominal yang dimajemukan secara bulanan ? Dik
: Anor = 18.000.000 R = 400.000 n = 5 tahun x 12 = 60
Dit
:
i = ………. ?
Jawab :
1 (1 i ) n Anor i R 1 (1 i ) 60 18.000.000 i 400.000 = 45 Discount Factor hitung 45 dengan n = 60 tidak terdapat dalam table present value annuity, untuk itu menghitung tingkat bunga harus dilakukan dengan metode interpolasi. Adapun discount factor yang satu tingkat diatas dan satu tingkat dibawah discount factor yang dimaksud adalah : Discount Factor di atas 45 pada n = 60 : Df1 = 46,5248 dengan tingkat bunga i =
7 % 8
Discount Factor di bawah 45 pada n = 60 : Df3 = 55,9550 dengan tingkat bunga i = 1% Angka-angka tersebut kalau ditabelkan akan terlihat sebagai berikut :
81
Matematika Keuangan
No
i
DF
1
7 % = 0,00875 8
46,5248
2
X=?
45
3
1% = 0,01
44,9550
kalau kita hitung dengan interpolasi :
23 23 1 3 1 3
x 0,01 45 44,9550 0,00875 0,01 46,5248 44,9550 x 0,01 0,045 0,00125 1,5698 x 0,01 0,02866072 0,00125 X – 0,01 X – 0,01
= 0,02866072 x - 0,00125 = - 0,00003583259
X = -0,00003583259 + 0,01 X = 0,0099641674 x 100% = 0,996% per bulan x 12 = 11,95% per tahun
82
Matematika Keuangan
SOAL-SOAL : 1. Berapakah Jumlah tabungan Ali setelah 3 tahun jika ia menabung sebesar Rp.650.000,- yang dibayarkan setiap akhir semester dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan semesteran? 2. Jika setiap akhir bulan bu Fatimah mencicil sebesar Rp.300.000,- selama 5 tahun, berapakah yang beliau pinjam jika tingkat bunga yang berlaku 18% dimajemukkan bulanan? 3. Jumlah total pembayaran dari suatu seri pembayaran selama 7 tahun adalah Rp.12.000.000, Berapa yang harus dicicil setiap akhir kwartal jika tingkat bunga 12% dimajemukkan kwartalan? 4. Pak Budi meminjam uang sebesar Rp.8.000.000, dengan tingkat bunga 15% dimajemukkan catur wulanan, berapa yang harus beliau cicil setiap akhir catur wulan selama 2 tahun? 5. Jika setiap akhir bulan kita menabung Rp.250.000, berapa lama tabungan kita akan menjadi Rp.15.000.000 jika tingkat bunga yang berlaku 6% dimajemukkan bulanan? 6. Berapa lama waktu yang diperlukan jika kita meminjam uang Rp.10.000.000 dan mencicilnya sebesar Rp.500.000 setiap akhir catur wulan dengan tingkat bunga 6% dimajemukkan catur wulanan?
83
Matematika Keuangan
7. Present Value dari suatu simple ordinary annuity Rp.600.000 yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 10 tahun adalah Rp.30.000.000. Berapakah tingkat bunga nominal yang dimajemukkan secara kwartalan ? Diketahui : pada tingkat bunga 5
1 % 2
DF : 16,0461 dan pada tingkat bunga 6% DF : 15,0463. 8. Jika cicilan sebesar Rp.150.000 yang dibayarkan setiap akhir bulan selama 4 tahun menjadi Rp.12.000.000, berapa persen tingkat bunga nominalnya yang dimajemukkan secara bulanan? Diketahui : pada tingkat bunga 2% DF : 79,3535 dan pada tingkat bunga 2
84
1 % DF : 84,8729 4
Matematika Keuangan
BAB 7 SIMPLE ANNUITY DUE 1. Karakteristik Simple Annuity Due Simple Annuity sebagai berikut :
Due
mempunyai
karakteristik
a. Adalah suatu seri pembayaran yang sama b. Pengkonversian waktu pemajemukan bunga
sama
dengan
c. Pembayaran dilakukan setiap awal interval 2. Menghitung Amount
(1 i ) n 1 1 R i
Rumus
: Sn due R
Dimana
: Sndue = Nilai dimasa yang akan datang R = Seri pembayaran i = Tingkat Bunga n = Jangka Waktu
Soal : Berapakah total pembayaran dari suatu annuity due yang dibayarkan setiap awal catur wulan Rp.100.000 selama 3 tahun dengan tingkat bunga 4,5% dimajemukkan secara catur wulanan ? Dik
: R = 100.000
85
Matematika Keuangan
i = 4,5% : 3 = 0,015 n = 3 tahun x 3 = 9 Dit Jawab
: Sndue = ……… ? :
Sndue R
(1 i ) n 1 1 R i
100.000
(1 0,015) 91 1 100.000 0,015
= 970.272,17 3. Menghitung Present Value
1 (1 i ) n 1 R i
Rumus
: Andue R
Dimana
: Andue = Nilai sekarang R = Seri pembayaran i = Tingkat Bunga n = Jangka Waktu
Soal : Berapakah Nilai sekarang (present value) dari suatu annuity due Rp.100.000 yang dibayarkan setiap awal catur wulan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 4,5% dimajemukkan secara catur wulanan ? Dik
: R = 100.000 i = 4,5% : 3 = 0,015 86
Matematika Keuangan
n=3x3=9 Dit
: Andue = …………….?
Jawab
:
Andue R
1 (1 i ) n 1 R i
100.000
1 (1 0,015) 91 100.000 0,015
= 848.592,51 4. Hubungan Antara Sndue dan Andue Sndue dapat dihitung dengan menggunakan angka Andue dan sebaliknya Andue dapat dihitung dengan menggunakan angka Sndue. Perhitungannya dilakukan dengan rumus bunga majemuk Andue = Sndue (1 + i)-n, dari hasil perhitungan diatas akan kita dapat : Jika Dik : Sndue = 970.272,17 i = 4,5% : 3 = 0,015 n=3x3=9 Dit : Andue = ………. ? Maka
: Andue = Sndue (1 + i)-n = 970.272,17 (1 + 0,015)-9 = 848.592,51
87
Matematika Keuangan
Sebaliknya jika angka present value tersebut kita gunakan untuk menghitung amount dengan rumus Sndue = Andue (1 + i)n, akan kita dapat : Dik
: Andue = 848.592,51 i = 4,5% : 3 = 0,015 n=3x3=9
Dit
: Sndue = ………. ?
Maka
: Sndue = Andue (1 + i)n = 848.592,51 (1 + 0,015)9 = 970.272,17
5. Menghitung Seri Pembayaran (R) Ada dua rumus yang dapat digunakan untuk menghitung seri pembayaran yaitu : a. Diketahui Amount Jika
Sndue R
(1 i ) n 1 1 R i
(1 i ) n 1 1 Sndue R 1 i Maka
R
Sndue (1 i ) n 1 1 R 1 i
88
Matematika Keuangan
Soal : Seorang Pengusaha baru ingin pada akhir tahun ke 4 usahanya punya tabungan Rp.40.000.000. Berapa yang harus dia tabung setiap awal bulan dari sekarang jika tingkat bunga yang berlaku 6% dimajemukkan secara bulanan ? Dik
: Sndue = 40.000.000 i = 6% : 12 = 0,005 n = 4 tahun x 12 = 48
Dit
:
R = …………… ?
Jawab :
R
Sndue (1 i ) n 1 1 R 1 i
40.000.000 (1 0,005) 481 1 1 0,005
= 735.722,55 b. Diketahui Present Value Jika
Andue R
1 (1 i ) n 1 R i
1 (1 i ) n 1 Andue R 1 i 89
Matematika Keuangan
R
Maka
Andue 1 (1 i ) n 1 1 i
Soal : Seorang Pengusaha Baru meminjam uang Rp.40.000.000. Berapa yang harus dia bayar setiap awal bulan selama 4 tahun jika tingkat bunga yang berlaku 6% dimajemukkan secara bulanan ? Dik
: Andue = 40.000.000 i = 6% : 12 = 0,005 n = 4 tahun x 12 = 48
Dit
:
R = …………… ?
Jawab :
R
Andue 1 (1 i ) n 1 1 i
40.000.000 1 (1 0.005) 481 1 0.005
= 934.727,52 6. Menghitung Jangka Waktu ( n ) Ada dua rumus yang dapat digunakan yaitu : 90
Matematika Keuangan
a. Diketahui Amount
Sndue R
(1 i ) n 1 1 R i
(1 i ) n 1 1 Sndue R 1 i (1 i ) n 1 1 Sndue 1 i R (1 i ) n 1 1 Sndue 1 i R Sn (1 i ) n 1 1 due 1i R Sn (1 i ) n 1 due 1i 1 R
Sn Log (1 i ) n 1 Log due 1i 1 R Sn n 1Log (1 i ) Log due 1i 1 R Sn Log due 1i 1 R n 1 Log (1 i ) Maka
91
Matematika Keuangan
Sn Log due 1i 1 R 1 n Log (1 i ) Soal : Jika Rp.200.000 disimpan pada setiap awal bulan dengan tingkat bunga 9% dimajemukkan secara bulanan. Berapa bulan simpanan tersebut menjadi Rp.8.000.000 ? Dik
: Sndue = 8.000.000 R = 200.000 i = 9% : 12 = 0,0075
Dit
:
n =…………… ?
Jawab :
Sn Log due 1i 1 R 1 n Log (1 i )
8.000.000 Log 10,0075 1 200.000 1 n Log (1 0,0075)
Log (1,3075) Log (1,0075)
0,11644 0,00325 92
Matematika Keuangan
= 35,83 bulan : 12 = 2,99 tahun b. Diketahui Present Value Jika
Andue R
1 (1 i ) n 1 R i
1 (1 i ) n 1 Andue R 1 i 1 (1 i ) n 1 Andue 1 i R 1 (1 i ) n 1 Andue 1 i R
An (1 i ) n 1 due 1i 1 R 1 An (1 i ) n 1 due 1i 1 R
An Log (1 i ) n 1 Log due 1i 1 R An n 1Log (1 i ) Log due 1i 1 R An Log due 1i 1 R n 1 Log (1 i ) 93
Matematika Keuangan
An Log due 1i 1 R 1 n Log (1 i ) An Log due 1i 1 R 1 n Log (1 i )
Maka
Soal : Jika kita meminjam uang Rp.8.500.000 dan setuju mencicil Rp.1.000.000 setiap awal catur wulan dengan tingkat bunga 12% dimajemukkan secara catur wulanan. Berapa lama pembayaran tersebut berakhir ? Dik
: Andue = 8.500.000 R = 1.000.000 i = 12% : 3 = 0,04
Dit
:
n = ……… ?
Jawab :
An Log due 1i 1 R 1 n Log (1 i )
94
Matematika Keuangan
8.500.000 Log 10,04 1 1.000.000 1 Log (1 0,04)
Log 0,7 1 Log1,04
= 9,09 + 1 = 10,09 catur wulan : 3 = 3,36 tahun. 7. Menghitung Tingkat Bunga ( i ) a. Jika diketahui amount Dapat dilakukan dengan melihat table sama seperti contoh sebelumnya, namun jika tidak ada dalam table dapat dihitung dengan metode interpolasi dengan menghitung Discount Factor (DF) terlebih dahulu.
DF
Sn due 1 R
Soal : Berapakah tingkat bunga nominal yang dimajemukkan secara semesteran dari suatu annuity due sebesar Rp.2.000.000 yang dibayarkan setiap awal semester selama 4 tahun menjadi Rp.20.000.000 ?
95
Matematika Keuangan
Berdasarkan soal di atas, maka dapat dijabarkan Discount Factor : Dik
: Sndue = 10.000.000 R = 2.000.000 n = (4 x 2) + 1 = 8 + 1 = 9
Dit
: DF = ………?
Jawab :
DF
Sn due 1 R
20.000.000 1 2.000.000 = 10 + 1 = 11
Dik : Discount Factor di atas 11 pada n = 9 : Df1 = 11,0266 dengan tingkat bunga i = 5% Discount Factor di bawah 11 pada n = 9 : Df3 = 10,8021 dengan tingkat bunga i = 4 Maka jika ditabelkan :
96
1 % 2
Matematika Keuangan
No
DF
i
1
5% = 0,05
11,0266
2
X
11
3
4
1 % = 0,045 2
10,8021
Metode interpolasi :
23 23 1 3 1 3
X 0,045 11 10,8021 0,05 0,045 11,0266 10,8021 X 0,045 0,1979 0,005 0,2245 X 0,045 0,881514476 0,005 X – 0,045 = 0,881514476 x 0,005 X – 0,045 = 0,0044075723 X = 0,0044075723 + 0,045 X = 0,049408 x 100% X = 4,94% per semester x 2 = 9,88 per tahun
97
Matematika Keuangan
b. Jika diketahui present value Berdasarkan angka present value maka dapat dihitung discount factor untuk menentukan tingkat bunga sebagai berikut :
DF
Andue 1 R
Atas dasar discount factor tersebut, maka dapat dicari tingkat bunga pada table. Jika tidak ada di table, maka sama seperti di atas dapat kita hitung dengan metode interpolasi. Soal : Suatu annuity due Rp.600.000 yang dibayarkan setiap awal kwartal selama 6 tahun mempunyai nilai present value sebesar Rp.9.600.000. Berapakah tingkat bunga nominal yang dimajemukan secara kwartalan ? Dik
: Andue = 9.600.000 R = 600.000 n = 6 tahun x 4 = 24 – 1 = 23
Dit
:
i = ………. ?
Jawab :
DF
Andue 1 R
9.600.000 1 600.000
= 16 – 1 = 15
98
Matematika Keuangan
Dik : Discount Factor di atas 15 pada n = 23 : Df1 = 15,2315 dengan tingkat bunga i = 3
3 % 4
Discount Factor di bawah 15 pada n = 23 : Df3 = 14,8568 dengan tingkat bunga i = 4% Maka jika ditabelkan :
No 1
DF 3
i
3 % = 0,0375 4
15,2315
2
X
15
3
2% = 0,02
14,8568
kalau kita hitung dengan interpolasi :
23 23 1 3 1 3
X 0,04 15 14,8568 0,0375 0,04 15,2315 14,8568 X 0,04 0,1432 0,0025 0,3747 X 0,04 0,382172404 0,0025
99
Matematika Keuangan
X – 0,04
= 0,382172404 x - 0,0025
X – 0,04
= - 0,000955431
X = - 0,000955431 + 0,04 X = 0,03904 x 100% = 3,90% per kwartal x 4 = 15,6% per tahun
SOAL-SOAL : 1. Jika Tuti menabung sebesar Rp.350.000,- yang dibayarkan setiap awal semester dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan semesteran, Berapa jumlah tabungannya setelah 3 tahun? 2. Jika setiap awal bulan Pak Abdullah mencicil sebesar Rp.200.000,- selama 5 tahun, berapakah yang beliau pinjam jika tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan bulanan? 3. Berapa yang harus dicicil setiap awal kwartal dengan bunga 16% dimajemukkan kwartalan jika Jumlah total pembayaran dari suatu seri pembayaran selama 6 tahun adalah Rp.25.000.000? 4. Pak Slamet meminjam uang sebesar Rp.16.500.000, dengan tingkat bunga 15% dimajemukkan catur wulanan selama, berapa yang harus beliau cicil setiap awal catur wulan selama 6 tahun?
100
Matematika Keuangan
5. berapa lama tabungan kita akan menjadi Rp.20.000.000 jika tingkat bunga yang berlaku 9% dimajemukkan bulanan dan setiap awal bulan kita menabung Rp.250.000? 6. Berapa lama waktu yang diperlukan jika kita meminjam uang Rp.17.250.000 dan mencicilnya sebesar Rp.500.000 setiap awal catur wulan dengan tingkat bunga 12% dimajemukkan catur wulanan? 7. Berapakah tingkat bunga nominal yang dimajemukkan secara kwartalan jika Present Value dari suatu simple annuity due Rp.400.000 yang dibayarkan setiap awal kwartal selama 10 tahun adalah Rp.10.400.000.? Diketahui : pada tingkat bunga 2 2
1 % DF : 24,7303 dan pada tingkat bunga 2
1 % DF : 25,7829 4
8. Jika cicilan sebesar Rp.250.000 yang dibayarkan setiap awal bulan selama 3 tahun menjadi Rp.10.250.000, berapa persen tingkat bunga nominalnya yang dimajemukkan secara bulanan? Diketahui : pada tingkat bunga dan pada tingkat bunga
2 % DF : 41,8058 3
3 % DF : 42,4614 4
101
Matematika Keuangan
BAB 8 SIMPLE DEFERRED ANNUITY 1. Karakteristik Simple Deferred Annuity hampir sama dengan Simple Ordinary Annuity mempunyai karakteristik sebagai berikut : Adalah suatu seri pembayaran yang sama Pengkonversian waktu pemajemukan bunga
sama
dengan
Pembayaran dilakukan setiap akhir interval, hanya pembayaran baru dilakukan setelah berselang beberapa interval (grace period) 2. Menghitung Amount Menghitung amount pada Simple Defered Annuity sama dengan menghitung amount pada Simple Ordinary Annuity contoh : Hitunglah amount dari suatu seri pembayaran sebesar Rp.200.000 yang dibayarkan setiap akhir semester untuk 8 kali pembayaran dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara semesteran. Pembayaran pertama jatuh pada akhir bulan ke 18. Dik
: R = 200.000 n=8 i = 12% : 6 = 0,02
102
Matematika Keuangan
d = 2 semester (deferred atau waktu senggang ini didapat dari : pembayaran pertama yang jatuh pada akhir bulan ke 18, berarti akhir semester ke 3, jadi waktu senggangnya adalah pada semester 1 dan 2). Dit
: Sndef = ……..?
Jawab
:
Sndef R
(1 i ) n 1 i
200.000
(1 0,02) 8 1 0,02
= 1.716.593,81 3. Menghitung Present Value Present Value dapat dihitung dengan 2 cara. Untuk lebih jelasnya dapat kita lihat contoh soal berikut ini: Hitunglah Present value dari suatu seri pembayaran sebesar Rp.200.000 yang dibayarkan setiap akhir semester untuk 8 kali pembayaran dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara semesteran. Pembayaran pertama jatuh pada akhir bulan ke 18. Dik
: R = 200.000 n=8 i = 12% : 6 = 0,02 103
Matematika Keuangan
d = 2 semester (deferred atau waktu senggang ini didapat dari : pembayaran pertama yang jatuh pada akhir bulan ke 18, berarti akhir semester ke 3, jadi waktu senggangnya adalah pada semester 1 dan 2). n + d = 8 + 2 = 10 Dit
: Andef = ……..?
Jawab
:
Cara 1
:
Hitung
An d R
Present
1 (1 i ) i
value
dengan
rumus
:
nd
Selanjutnya hitung present value pada senggang (Ad): Ad R
1 (1 i ) d i
Kemudian An+d kurangkan dengan Ad agar kita bisa mendapat AnDef sbb : Andef = An+d – Ad
1 (1 i ) n d 1 (1 i ) d R i i 8 2 1 (1 0,02) 1 (1 0,02) 2 200.000 200.000 0,02 0,02 Andef R
= 1.796.517 – 388.312 = 1.408.205
104
Matematika Keuangan
Cara 2
:
Hitung Present value Annuity pada frekuensi ke n = 8 atau An Selanjutnya An dipresent valuekan lagi dengan rumus bunga majemuk pada masa senggang (d) = 2 sehingga menjadi :
An R
1 (1 i ) n i
An 200.000
1 (1 0,02) 8 0,02
= 1.465.096,29 Andef = An . (1 + i)-d = 1.465.096,29 . (1 + 0,02)-2 = 1.408.205 4. Menghitung Seri Pembayaran ( R ) Ada dua rumus yang dapat digunakan untuk menghitung seri pembayaran yaitu : a. Diketahui Amount (sama dengan simple ordinary annuity)
R
Sndef i (1 i ) n 1
Soal : Seseorang penabung menginginkan uangnya pada akhir tahun ke 2 mulai dari sekarang berjumlah Rp.2.500.000. Tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan secara bulanan. 105
Matematika Keuangan
Berapa jumlah yang harus disimpan setiap bulan, jika simpanan tersebut baru dapat dilakukan pada akhir bulan ke 3 mulai dari sekarang. Dik
: Sndef = 2.500.000 i = 12% : 12 = 0,01 n = (2 x 12) – 2 = 22 d=2
Dit
:
R = ………..?
Jawab :
R
Sndef i (1 i ) n 1 2.500.000 0,01 (1 0,01) 22 1
= 102.159,30 b. Diketahui Present Value Untuk mencari R dengan Andef dapat dirumuskan sbb :
Andef R
1 (1 i ) n d 1 (1 i ) d R i i
1 (1 i ) n d 1 (1 i ) d Andef R i i 1 (1 i ) n d 1 (1 i ) d Andef R i 106
Matematika Keuangan
(1 i ) d (1 i ) n d Andef R i Andef
R
(1 i )
d
(1 i ) n d i
Maka :
R
Andef i (1 i )
d
(1 i ) n d
Soal : Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp.15.000.000 dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan secara ssmi annually (semesteran) dan setuju membayar dalam 14 kali pembayaran 6 bulanan. Berapakah jumlah seri pembayaran jika pembayaran pertama jatuh pada akhir 3 ½ tahun ? Dik
: Andef = 15.000.000 i = 7% : 2 = 0,035 n = 14 d = 3 x 2 = 6 (3 ½ tahun = 7 semester, pembayaran pertama dimulai pada akhir semester ke 7, berarti masa senggangnya 6 semester).
Dit
:
R = ……….?
107
Matematika Keuangan
Jawab :
R
Andef i (1 i )
d
(1 i ) n d
15.000.000 0,035 (1 0,035) 6 (1 0,035) 146
= 1.688.457,10 5. Menghitung Jangka Waktu ( n ) a. Diketahui Amount Sama dengan rumusnya :
Simple
Ordinary
Annuity
Sn Log def i 1 R n Log (1 i ) soal : Jika Rp.450.000 disimpan setiap akhir bulan, berapa bulan simpanan tersebut akan menjadi Rp.15.000.000 pada tingkat bunga 6% yang dimajemukkan secara bulanan. Simpanan pertama dilakukan pada akhir bulan ke 5. Dik
: Sndef = 15.000.000 R = 450.000 i = 6% : 12 = 0,005 d=5 108
Matematika Keuangan
Dit
:
n = ………..?
Jawab :
Sn Log def i 1 R n Log (1 i ) 15.000.000 0,005 1 Log 450.000 Log (1 0,005)
Log (1,16667) Log (1,005)
0,066948 0,002166
= 30,31 bulan : 12 = 2,57 tahun b. Diketahui Present Value
(1 i ) d (1 i ) n d Andef R i Andef (1 i ) d (1 i ) n d i R (1 i ) d (1 i ) n d
Andef R
109
i
Matematika Keuangan
(1 i ) n d
Andef R
i (1 i ) d
(1 i ) n d (1 i ) d
1
Andef R
i
Andef Log (1 i ) n d Log (1 i ) d i R Andef Log (1 i ) d i R nd Log (1 i )
Andef Log (1 i ) d i R d n Log (1 i ) 1 maka :
Andef Log (1 i ) d i R d n Log (1 i ) Soal : Jika Rp.500.000 dicicil pada setiap akhir bulan dengan tingkat bunga 9% yang dimajemukkan secara bulanan. Berapa lama waktu untuk mencicil jika pinjamannya Rp.50.000.000. Cicilan pertama dilakukan pada akhir bulan ke 6. 110
Matematika Keuangan
Dik
: Andef = 50.000.000 R = 500.000 i = 9% : 12 = 0,0075 d=5
Dit
:
n = ………..?
Jawab :
Andef Log (1 i ) d i R d n Log (1 i )
50.000.000 Log (1 0,0075) 5 0,0075 500.000 5 Log (1 0,0075)
Log (0,213329202) 5 Log (1,0075)
0,670949689 5 0,0032450548
= 206,76 – 5 = 201,76 Bulan : 12 = 16,81 tahun 6. Menghitung Tingkat bunga ( i ) Menghitung tingkat bunga pada simple Deferred Annuity sama dengan annuity-annuity yang lain yaitu : dengan melihat table, dan kalau hasilnya 111
Matematika Keuangan
tidak ada di table dapat dihitung menggunakan metode interpolasi.
dengan
SOAL-SOAL : 1. Hitunglah nilai sekarang dan nilai masa yang akan datang dari suatu seri pembayaran berjumlah Rp.750.000,- yang dibayarkan setiap akhir 3 bulan selama 10 kali pembayaran dengan tingkat bunga 10% dimajemukkan secara kwartalan! Pembayaran pertama jatuh pada akhir kwartal ke 3. 2. Jika kita ingin pada akhir tahun ke 5 jumlah tabungan kita sebesar Rp.8.000.000, dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan secara bulanan, berapa yang harus kita tabung setiap akhir bulan jika simpanan tersebut baru dapat dilakukan pada akhir bulan ke 5? 3. Berapakah jumlah cicilan jika Pak Mahdi meminjam uang Rp.23.000.000 dengan tingkat bunga 12% dimajemukkan secara caturwulanan dan pak Mahdi setuju untuk mencicil selama 15 kali cicilan catur wulanan? Diketahui bahwa cicilan pertama dilakukan pada akhir caturwulan ke 4 4. Jika Rp.100.000 dicicil setiap akhir bulan dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara bulanan. Berapa lama cicilan tersebut dilakukan jika pinjaman awalnya sebesar Rp.5.000.000? cicilan pertama dilakukan pada akhir bulan ke 4
112
Matematika Keuangan
5. Jika total pembayaran dari suatu simple deferred annuity sebesar Rp.200.000,- yang dibayarkan setiap akhir semester adalah Rp.3.000.000, dengan tingkat bunga 10% dimajemukkan semesteran, berapa lama pembayaran tersebut dilakukan jika pembayaran pertama dilakukan pada akhir semester ke 6?
113
Matematika Keuangan
BAB 9 COMPLEX ORDINARY ANNUITY 1. Karakteristik Karakteristik dari Complex Ordinary Annuity adalah: Merupakan suatu seri pembayaran yang sama Pembayaran dilakukan setiap akhir interval Pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya tidak sama, misalnya waktu dikonversikan secara semesteran sedangkan bunga dimajemukkan secara bulanan, atau sebaliknya waktu dikonversikan secara bulanan sedangkan bunga dimajemukkan secara semesteran, dan sebagainya. 2. Menghitung Amount Langkah-langkah menghitung amount : Karena pengkonversian waktu dan pemajemukan bunganya tidak sama, maka konversikan nilai seri pembayaran menjadi seri pembayaran yang baru sesuai dengan pemajemukan bunga sehingga interval seri pembayaran akan sama dengan interval pemajemukan bunga. Kemudian hitung nilai amount dengan menggunakan seri pembayaran yang baru pada interval baru yang sama dengan pemajemukan bunga. 114
Matematika Keuangan
Soal : Hitunglah Amount dari suatu seri pembayaran sebesar Rp.235.000 yang dibayarkan pada setiap akhir kwartal selama 2 tahun pada tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara bulanan. Dik
: R = 235.000 i = 12% : 12 = 0,01 n=2x4=8
Dit
: Snc = …….?
Jawab
:
-
-
Waktu konversi dari interval seri pembayaran menjadi interval pemajemukan bunga (disimbolkan dengan C) adalah sbb :
C
IntervalSeriPembayaran PeriodeBunga
C
Kwartal Bulan
C
3Bulan 3 1Bulan
Seri Pembayaran yang baru (E) pada interval pemajemukan bunga adalah :
R
E (1 i ) c 1 i
115
Matematika Keuangan
E R
(1 i ) c 1 i
E
Ri (1 i ) c 1
E
235.000 0,01 (1 0,01) 3 1
= 77.555,20 -
Amount dari Complex Ordinary Annuity (disimbolkan dengan Snc) dapat dicari dengan rumus :
Snc E
(1 i ) nc 1 i
77.555,20
(1 0,01) 83 1 0,01
= 2.031.932 -
Dari uraian di atas, maka rumus dari complex ordinary annuity dapat dijabarkan sebagai berikut :
(1 i ) nc 1 Snc E i Snc
Ri (1 i ) nc 1 i (1 i ) c 1
Maka :
116
Matematika Keuangan
Snc R
(1 i ) nc 1 (1 i ) c 1
Maka soal di atas dapat juga dicari dengan rumus ini :
(1 i ) nc 1 Snc R (1 i ) c 1 235.000
(1 o, o1) 24 1 (1 0,01) 3 1
= 2.031.932 3. Menghitung Present Value Proses yang dilakukan dalam menghitung present value sama seperti menghitung amaunt yaitu : cari dulu seri pembayaran yang baru kemudian seri pembayaran tersebut dipresent valuekan dengan menggunakan rumus sbb :
Anc E Anc
1 (1 i ) nc i
Ri 1 (1 i ) nc i (1 i ) c 1
Maka :
Anc R
1 (1 i ) nc (1 i ) c 1
117
Matematika Keuangan
Soal : Hitunglah Present value dari suatu seri pembayaran sebesar Rp.235.000 yang dibayarkan pada setiap akhir kwartal selama 2 tahun pada tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara bulanan. Dik
: R = 235.000 i = 12% : 12 = 0,01 n=2x4=8
c
1kwartal 3bulan 3 1bulan 1bulan
nc = 8 x 3 = 24 Dit
: Anc = …….?
Jawab
:
1 (1 i ) nc Anc R (1 i ) c 1 235.000
1 (1 0,01) 24 (1 0,01) 3 1
= 1.647.535,07 4. Menghitung Seri Pembayaran ( R ) a. Diketahui Amount Untuk menghitung R jika diketahui Snc dapat dihitung sbb :
118
Matematika Keuangan
Snc R
(1 i ) nc 1 (1 i ) c 1
(1 i ) nc 1 R Snc (1 i ) c 1 Maka :
R Snc
(1 i ) c 1 (1 i ) nc 1
Soal : Seseorang menginginkan pada akhir tahun kelima dari sekarang mempunyai tabungan Rp.30.000.000. Berapa yang harus ditabung setiap akhir semester mulai dari sekarang kalau tingkat bunga yang berlaku 12% dimajemukkan secara kwartalan. Dik
: Snc = 30.000.000 i = 12% : 4 = 0,03 n = 5 x 2 = 10
c
1Semester 2kwartal 2 1Kwartal 1Kwartal
nc = 10 x 2 = 20 Dit
:
R = …….?
Jawab :
(1 i ) c 1 R Snc (1 i ) nc 1 119
Matematika Keuangan
30.000.000
(1 0,03) 2 1 (1 0,03) 20 1
= 2.266.436,59 b. Diketahui Present Value Untuk menghitung R jika diketahui Snc dapat dihitung sbb :
Anc R
1 (1 i ) nc (1 i ) c 1
1 (1 i ) nc R Anc (1 i ) c 1 Maka
R Anc
(1 i ) c 1 1 (1 i ) nc
Soal : Ibu Mega ingin membeli sebuah mobil baru, harganya Rp.125.000.000. Mobil tersebut dibeli dengan membayar uang muka Rp.25.000.000 dan sisanya dicicil selama 60 kali setiap akhir bulan. Tingkat bunga yang berlaku 10% dimajemukkan secara tahunan. Berapa cicilan setiap akhir bulan yang harus dibayar oleh ibu Mega ? Dik
: Anc = 125.000.000 – 25.000.000 = 100.000.000 i = 10% : 1 = 0,1 120
Matematika Keuangan
n = 60
1 tahun 1bulan 12 1 c 1tahun 1tahun 12 nc = 60 x Dit
:
1 =5 12
R = …….?
Jawab :
R Anc
(1 i ) c 1 1 (1 i ) nc 1 12
100.000.000
(1 0,1) 1 1 (1 0,1) 5
= 2.103.558,12 SOAL-SOAL : 1. Hitunglah Present value dan future value dari suatu seri pembayaran Rp 300.000,- yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 6 tahun dengan tingkat bunga 5% dimajemukkan secara bulanan 2. Jumlah total pembayaran dari suatu seri pembayaran selama 4 tahun adalah Rp.10.000.000, Berapa yang harus dicicil setiap akhir kwartal jika tingkat bunga 12% dimajemukkan semesteran
121
Matematika Keuangan
3. Pak Ahmad meminjam uang sebesar Rp.8.000.000, dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan kwartalan, berapa yang harus beliau cicil setiap akhir catur wulan selama 2 tahun?
122
Matematika Keuangan
BAB 10 COMPLEX ANNUITY DUE 1. Karakteristik Adalah suatu seri pembayaran yang sama Pembayaran dilakukan setiap awal interval Pengkonversian waktu pemajemukan bunga
tidak
sama
dengan
2. Menghitung Amount Langkah-langkah untuk menghitung amount dari Complex Annuity Due adalah : Sama seperti Complex Ordinary Annuity, cari dulu seri pembayaran yang baru dengan mengkonversikan seri pembayaran yang ada ke interval pemajemukan bunga. Berdasarkan seri pembayaran baru tersebut (E) baru dapat dicari Amount sesuai dengan interval pemajemukan bunga dan tingkat bunga yang berlaku. Soal : Hitunglah Total jumlah yang harus di bayar dari suatu seri pembayaran Rp.50.000 yang dibayarkan setiap awal kwartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga 6% yang dimajemukkan secara bulanan. Dik
: R = 50.000 n=2x4=8 123
Matematika Keuangan
i = 6% : 12 = 0,005
c
Kwartal 3Bulan 3 Bulan 1Bulan
nc = 8 x 3 = 24 Dit
: Sncdue = ……….. ?
Jawab
:
E
Ri 1 (1 i ) c
50.000 0,005 1 (1 0,005) 3
250 0,01485124
= 16.833,61 Dari seri pembayaran baru (E) di atas dapat kita hitung Sncdue sebagai berikut:
Snc due E
(1 i ) nc 1 i
16.833,61
(1 0,005) 24 1 0,005
= 428.111,62 Dari pembahasan tersebut di atas, maka Sncdue dapat juga dirumuskan lebih lanjut sbb :
Snc due E
(1 i ) nc 1 i 124
Matematika Keuangan
Snc due
Ri (1 i ) nc 1 i 1 (1 i ) c
maka :
Snc due R
(1 i ) nc 1 1 (1 i ) c
Dari contoh soal yang sama seperti di atas dapat dihitung sebagai berikut:
Snc due R
(1 i ) nc 1 1 (1 i ) c
50.000
(1 0,005) 24 1 1 (1 0,005) 3
= 428.111,62 3. Menghitung Present Value Langkah-langkah untuk menghitung Present Value dari Complex Annuity Due adalah : Sama seperti menghitung Amount di atas, cari dulu seri pembayaran yang baru dengan mengkonversikan seri pembayaran yang ada ke interval pemajemukan bunga.
Berdasarkan seri pembayaran baru tersebut (E) baru dapat dicari Present Value sesuai dengan interval pemajemukan bunga dan tingkat bunga yang berlaku.
125
Matematika Keuangan
Rumus untuk menghitung Complex Annuity Due :
Present
Anc due E
1 (1 i ) nc i
Anc due R
i 1 (1 i ) nc i 1 (1 i ) c
Value
dari
maka :
Anc due R
1 (1 i ) nc 1 (1 i ) c
Soal : Hitunglah Present Value dari suatu seri pembayaran Rp.50.000 yang dibayarkan setiap awal kwartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga 6% yang dimajenukkan secara bulanan. Dik
: R = 50.000 n=2x4=8 i = 6% : 12 = 0,005
c
Kwartal 3bulan 3 Bulan 1bulan
nc = 8 x 3 = 24 Dit
: Ancdue = ……….. ?
Jawab
:
Anc due R
1 (1 i ) nc 1 (1 i ) c 126
Matematika Keuangan
50.000
1 (1 0,005) 24 1 (1 0,005) 3
= 379.814,50 Untuk menghitung Ancdue dapat juga menggunakan nilai Sncdue sbb : Ancdue = Sncdue (1 + i)-nc = 428.111,62 (1 + 0,005)-24 = 379.814,50 SOAL-SOAL: 1. Hitunglah total pembayaran dan nilai sekarang dari suatu seri pembayaran sebesar Rp.350.000,- yang dibayarkan setiap awal semester selama 2 tahun dengan tingkat bunga 4% dimajemukkan secara kwartalan! 2. Pak Daud meminjam uang Rp.7.500.000 dan setuju untuk membayar Rp.450.000 setiap awal semester. Berapa lama pembayarannya kalau tingkat bunga yang berlaku 9% dimajemukkan secara catur wulanan? 3. Kalau kita menginginkan jumlah tabungan kita kedepan Rp.8.000.000 dan setiap awal semester kita menabung Rp.150.000, berapa lama waktu yang kita perlukan untuk menabung tersebut jika tingkat bunga yang berlaku 18% dimajemukkan bulanan?
127
Matematika Keuangan
4. Berapa yang harus dicicil setiap awal tahun jika diketahui tingkat bunga 12% dimajemukkan semesteran dan Jumlah total pembayaran dari suatu seri pembayaran selama 4 tahun adalah Rp.10.000.000? 5. Pak Abu meminjam uang sebesar Rp.16.000.000, dengan tingkat bunga 8% dimajemukkan catur wulanan, berapa yang harus beliau cicil setiap awal kwartal selama 3 tahun?
128
Matematika Keuangan
BAB 11 COMPLEX DEFERRED ANNUITY 1. Karakteristik Karakteristik dari Complex Deferred Annuity adalah: Merupakan suatu seri pembayaran yang sama Pembayaran dilakukan setiap akhir interval, pembayaran pertama dilakukan setelah beberapa interval (ada waktu senggang atau grace period) Pengkonversian waktu bunganya tidak sama.
dan
pemajemukan
2. Menghitung Amount Langkah-langkah menghitung amount : Konversikan nilai seri pembayaran menjadi seri pembayaran yang baru sesuai dengan pemajemukan bunga sehingga interval seri pembayaran akan sama dengan interval pemajemukan bunga. Rumus :
E
Ri (1 i ) c 1
Kemudian hitung nilai amount dengan menggunakan seri pembayaran yang baru pada interval baru yang sama dengan pemajemukan bunga. Rumus :
129
Matematika Keuangan
Snc def E Snc def
(1 i ) nc 1 i
Ri (1 i ) nc 1 i (1 i ) c 1
Maka :
Snc def R
(1 i ) nc 1 (1 i ) c 1
Soal : Hitunglah jumlah yang diterima dari suatu seri pembayaran Rp.100.000 yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 20 kali pembayaran, jika pembayaran pertama jatuh pada akhir bulan ke 5 dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara semesteran. Dik
: R = 100.000 i = 12% : 2 = 0,06 n = 20
c
1Kwartal 3Bulan 1 1Semester 6 Bulan 2
nc = 20 x ½ = 10 d = 4 (karena pembayaran dilakukan pada akhir bulan ke 5, maka berarti ada 4 bulan waktu senggangnya) dc = 4 x ½ = 2 Dit
: Sncdef = …….? 130
Matematika Keuangan
Jawab
:
Snc def R
(1 i ) nc 1 (1 i ) c 1
100.000
(1 0,06)10 1 1 2
(1 0,06) 1 = 2.675.125,4 3. Menghitung Present Value Proses yang dilakukan dalam menghitung present value sama seperti menghitung amaunt yaitu : cari dulu seri pembayaran yang baru kemudian seri pembayaran tersebut dipresent valuekan dengan menggunakan rumus sbb :
Anc def
1 (1 i ) nc dc 1 (1 i ) dc E E i i
Anc def
Ri 1 (1 i ) nc dc Ri 1 (1 i ) dc i i (1 i ) c 1 (1 i ) c 1
Anc def R
1 (1 i ) nc dc 1 (1 i ) dc R (1 i ) c 1 (1 i ) c 1
1 (1 i ) nc dc 1 (1 i ) dc Anc def R c (1 i ) c 1 (1 i ) 1
131
Matematika Keuangan
1 (1 i ) nc dc 1 (1 i ) dc Anc def R (1 i ) c 1 Maka :
(1 i ) dc (1 i ) nc dc Anc def R (1 i ) c 1 Soal : Hitunglah Present value dari suatu seri pembayaran Rp.100.000 yang dibayarkan setiap akhir kwartal selama 20 kali pembayaran, jika pembayaran pertama jatuh pada akhir bulan ke 5 dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara semesteran. Dik
: R = 100.000 i = 12% : 2 = 0,06 n = 20
c
1Kwartal 3Bulan 1 1Semester 6 Bulan 2
nc = 20 x ½ = 10 d = 4 (karena pembayaran dilakukan pada akhir bulan ke 5, maka berarti ada 4 bulan waktu senggangnya) dc = 4 x ½ = 2 Dit
: Ancdef = …….?
Jawab
:
132
Matematika Keuangan
(1 i ) dc (1 i ) nc dc Anc def R (1 i ) c 1 (1 0,06) 2 (1 0,06) 10 2 100.000 1 2 (1 0,06) 1 = 1.329.455,37 Ancdef dapat dihitung juga dengan cara : Hitung Anc dengan rumus :
Anc E Anc
1 (1 i ) nc i
Ri 1 (1 i ) nc i (1 i ) c 1
1 (1 i ) nc Anc R (1 i ) c 1 Selanjutnya hitung Ancdef dengan mempresent valuekan Anc pada tingkat bunga yang telah ditetapkan dan dimajemukkan pada interval masa senggang (penangguhan pembayaran) sehingga Ancdef dapat dirumuskan sebagai berikut : Ancdef = Anc (1 + i)-cd Maka :
Anc def R
1 (1 i ) nc (1 i ) dc c (1 i ) 1 133
Matematika Keuangan
Jika kita hitung dengan contoh soal di atas, maka akan kita dapat :
Anc def R
1 (1 i ) nc (1 i ) dc c (1 i ) 1
100.000
1 (1 0,06) 10 1 2
(1 0,06) 2
(1 0,06) 1 = 1.329.455,37 SOAL-SOAL : 1. Hitunglah jumlah yang diterima dari suatu seri pembayaran Rp.250.000 yang dibayarkan setiap akhir catur wulan selama 18 kali pembayaran, jika pembayaran pertama jatuh pada akhir bulan ke 8 dengan tingkat bunga 8% yang dimajemukkan secara kwartalan. 2. Hitunglah Present value dari suatu seri pembayaran Rp.500.000 yang dibayarkan setiap akhir semesteran selama 30 kali pembayaran, jika pembayaran pertama jatuh pada semester ke 4 dengan tingkat bunga 12% yang dimajemukkan secara bulanan.
134
Matematika Keuangan
DAFTAR PUSTAKA Siswar, Dana (2000), Matematika Untuk Akuntansi dan Bisnis, Diktat, Fakultas Ekonomi Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh. Haeussler, Ernest F, Richard S Paul and R J Wood (2005), Introductory Mathematical Analysis For Business, Economics, and the Life and Social Sciences, Pearson Education Inc. United State of America. Ibrahim, Yacob (2002), Matematika Bisnis, Diktat Kuliah, Fakultas Ekonomi Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh. Kalangi, Josep Bintang (2002), Matematika Ekonomi dan Bisnis, Edisi Pertama, Penerbit Salemba Empat, Jakarta. Shao,
Stephen P & Lawrence P Shao (1990), Mathematics For Management and Finance, South Western Publishing Co, United States of America.
135
