Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
Acoustics An Introduction by Heinrich Kuttruff Diterjemahkan oleh : Okta Binti Masfiatur Rohmah Fisika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret, 2010
Bab 4 Atenuasi Gelombang Datar 4.1
Solusi dari persamaan gelombang
48
4.2
Gelombang harmonik
51
4.3
Catatan sedikit pada kecepatan bunyi
54
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
Atenuasi Gelombang datar
Dalam tipe yang paling sederhana dari gelombang bunyi, variable akustik seperti tekanan suara atau kecepatan partikel hanya tergantung pada koordinat ruang. Jika pada saat tertentu semua variable konstan tegak lurus terhadap koordinat ini kita sampai pada gelombang datar. Ketika penyebarannya tegak lurus bentuknya tinggal disajikan tanpa dirubah semua dampak yang merugikan diabaikan. Oleh karena itu, perlakuan umum pada gelombang ini cukup sederhana. Maka dari itu, gelombang datar sesuai untuk menjelaskan fenomena perkembangan partikel seperti penguatan bunyi yang akan didiskusikan lebih lanjut pada bab ini, atau refleksi, refraksi, dan difraksi dari suara yang akan lebih didetaikan di bab 6 dan 7. Lagipula, gelombang datar adalah dasar untuk gelombang yang lebih rumit pada analogi Analisis Fourier yang menghadirkan hampir semua getaran dalam kaitannya dengan getaran selaras (lihat Bagian 2.9). Bagaimanapun, gelombang datar menghadirkan sebuah prinsip untuk perkembangan suara. Dalam kehidupan kita sehari-hari hampir tidak pernah ditemui, sedikitnya tidak dalam prinsip murninya. Bidang bunyi terbaik seperti gelombang sferis dapat dilakukan pendekatan dengan gelombang datar pada daerah terbatas. Lebih dari itu, dengan tindakan tertentu seseorang dapat menghasilkan dan meyebarkan gelomang datar dalam botol dengan dinding keras.
Bab 4 4.1
Atenuasi Gelombang Datar
Solusi dari persamaan gelombang Untuk lebih sederhananya kita asumsikan bahwa gelombnag datar
menjalar sepanjang sumbu-x dalam system koordinat. Kemudian kita dapat mengambil keuntungan dari persamaan gelombang satu dimensi (3.21) untuk fluida diberikan pada bagian 3.4 :
∂2 p 1 ∂2 = ∂x 2 c 2 ∂t 2 Itu mudah untuk melihat bahwa semua turunan kedua fungsi p = f (x,t) adalah sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial yang terdiri dari variable x dan t dalam kombinasi x – ct. Untuk menunjukkan ini, kita mengenalkan variable u = x – ct untuk penurunan pertama :
∂p dp ∂u dp = . = ∂x du ∂x du
∂p dp ∂u dp = . = −c ∂t du ∂t du
dan
(4.1)
Turunan kedua dihitung dengan cara yang sama : 2
dp ∂ 2 u d 2 p ∂ 2 p d 2 p ∂u = . + . = ∂x 2 du 2 ∂x du ∂x 2 du 2 dan 2
2 ∂ 2 p d 2 p ∂u dp ∂ 2 u 2 d p = . + . =c ∂t 2 du 2 ∂t du ∂t 2 du 2
Memasukkan hasilnya ke dalam persamaan gelombang membuktikan bahwa p = f (x – ct) adalah satu solusi yang mungkin. Solusi yang lain adalah p = g (x + ct) dengan g menandakan fungsi lain. Ini dibuktikan dengan cara yang sama. Solusi umum dari persamaan gelombang satu dimensi dibaca :
p( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) Untuk
menggambarkan
mempertimbangkan
bagian
makna pertama
(4.2) dari dari
ungkapan
ini
kita
persamaan
(4.2),
kita
menetapkan p (x,t) = f (x – ct). Ungkapan ini menunjukkan bahwa
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
gangguan awal yang diberikan oleh suatu fungsi f (x) pada saat t = 0 akan digeser pada jarak ct ke arah x setelah t sekon tanpa mengubah bentuknya. Faktanya ditunjukkan pada gambar 4.1. Itu menjelaskan bahwa gangguan menjalar dengan kecepatan c dari kiri ke kanan. Sejak gangguan tekanan gelombang bunyi, kuantitasnya ditunjukkan di persamaan (3.13) sebagai kecepatan bunyi. Lagipula, diskusi ini menunjukkan dugaan suatu gelombang bunyi tidak berarti terbatas pada lebih atau kurang dari rangkaian bukit dan lembah gelombang. Hasil yang sama berlaku untuk bagian kedua dari persamaan (4.2) dengan perbedaan kombinasi x + ct menunjukkan bahwa gangguan g menyebarkan dalam arah sebaliknya, dalam arah nilai – x yang turun. Pertimbangan gelombang disini dinamakan gelombang datar sejak semua dasar – dasar volume yang mempunyai koordinat – x dan situasi tegak lurus terhadap sumbu – x adalah pada keadaan getaran yang sama pada
saat
tertentu
yang
diberikan.
Mereka
dimampatkan
atau
direnggangkan untuk tingkat yang sama. Umunya, permukaan dari keadaan getaran yang sama atau fase getaran yang sama disebut permukaan gelombang atau permukaan fase konstan, dan garis tegak lurus terhadap mereka adalah gelombang normal. Dengan begitu kita dapat mengatakan, permukaan gelombang dari gelombnag datar adalah paralel (lihat Gambar 4.2).
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
Gambar 4.1 Propagasi dari gangguan tekanan
Gambar 4.2 Gelombang datar
Sekarang kita kembali pada persamaan gelombang yang diwakili oleh p=f(x – ct). Kecepatan partikel vx berhubungan dengan variasi distribusi tekanan juga dengan u = x - ct. Itu diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.15), perhitungan dari penurunan serupa dengan persamaan (4.1). Kemudian,
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
−c
dv x 1 dp =− du ρ 0 du
Hasil penurunan tak tentu dari suatu yang konstan ditetapkan sama dengan nol.
vx =
1
ρ0c
p
(4.3)
Karenanya kecepatan partikel dalam gelombang datar adalah sebanding dengan tekanan bunyi. Perbandingan dari tekanan bunyi dan kecepatan partikel disebut ‘karakteristik impedansi’ dan diberi symbol Z0 :
p = ρ0c = Z 0 vx
(4.4a)
Itu adalah komponen akustik yang penting dalam suatu medium dan kita akan menggunakannya dalam banyak hubungan. Itu adalah hasil numerik dari udara pada suhu 20˚C dan tekanan normal 416Ns/m3. untuk penjalaran gelombang dalam arah – x negative kita mencarinya dengan cara yang sama.
p = − ρ0c = −Z 0 vx
(4.4b)
Dengan menggunakan persamaan (4.3) ungkapan yang lain untuk rapat energi dan untuk intensitas gelombang bunyi diperoleh. Dengan demikian persamaan (3.32) dapat disederhanakan menjadi ~ 2
w=
−p ρ0c 2
(4.5)
sedangkan dari persamaan (3.29) ~ 2 ~2 p I= = Z0 v x Z0
(4.6)
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
intensitas
vector
yang
diperoleh
menunjukkan
arah
perambatan
gelombang. Sejak partikel dari medium berosilasi paralel ke arah perambatan gelombang, bidang gelombang tidak akan diganggu oleh permukaan kasar dan tidak berporos berjalan paralel ke arah itu. Kita menyimpulkan dari ini bahwa gelombang bunyi datar dapat menyebar dalam tabung dengan dinding yang keras. Untuk umumnya seperti piston dapat dilukiskan pada Gambar 4.3.
4.2
Gelombang Harmonik Sekarang kita pertimabangkan suatu gelombang datar menjalar
pada arah – x dengan variasi tekanan bunyi menurut hukum waktu harmonik, kita menetapkan:
Gambar 4.3 Gelombang datar dalam botol berdinding keras, oleh isolasi piston.
Gambar 4.4 Distribusi tekanan parsial dalam gelombang datar harmonik.
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
g ≡ 0 pada persamaan (4.2) ketika fungsi f adalah fungsi kosinus. Oleh karene itu
p( x, t ) = p cos[k ( x − ct )] = p cos(ωt − kx ) ^
^
(4.7)
Dimana k sebagai suatu konstanta dengan dimensi m-1. dalam notasi komplex dibaca : ^
p( x, t ) = p e i (ωt −kx )
(4.8)
Diberikan jarak x ini menghadirkan getaran harmonik setelah persamaan ^
(2.8) dengan amplitudo p , frekuensi sudut ω = kc dan sudut fase kx. Sebagai fungsi koordinat ruang x persamaan (4.7) meghadirkan sebuah getaran dalam ruang. Itu tampak pada gambar 4.4 yang sepadan dengan gambar 2.2 dengan perbedaan bahwa sekarang x berperan sebagai variabel bebas. Dimana, periode waktu T digantikan dengan periode spasial λ : dalam gelombang dengan jarak λ = 2π/k (atau dengan pengintegralkan dua kali) mengarahkan kita untuk keadaan yang sama dari getaran sebelumnya. Dan konstanta k hanya spasial analog dari frekuensi sudut ω. Disebut ’bilangan gelombang sudut’. Kombinasi formula ini menghasilkan hubungan
k=
2π
λ
=
ω c
(4.9)
dan
c = f .λ
(4.10)
Tentu saja, gelombang datar dapat menjalar selain pada sumbu – x. Untuk menemukan ungkapan matematika untuk kasus yang lebih umum kita menandai orientasi dari gelombang datar menggunakan garis vektor →
normal n
dengan componen cartesius cos I, cos β, dan cos γ. Huruf itu
mencukupi kondisi cos2 I + cos2 β + cos2 γ = 1; I, β, dan γ adalah sudut
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
dengan tiga sumbu (lihat gambar 4.5). Itu arah perambatan gelombang. Jarak salah satu dari titik asal sistem koordinat adalah →→
n r = x. cos α + y. cos β + z. cos γ →→
→
r menandakan vektor dengan komponen x, y, dan z, dan n r menandai produk skalar dari kedua vektor.
Gambar 4.5 Definisi dari sudut I, β, γ. →
Oleh karena itu penjalaran gelombang pada arah n ditunjukkan oleh ^
p( x, y, z ) = p e [ωt −k ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
(4.11)
Untuk penyajian yang lebih umum kita dapat menggambarkan bilangan →
→
gelombang vektor k = k n dengan komponen k . cos I, k . cos β, k . cos γ dan sampai pada ^
p ( x, y , z , t ) = p e
4.3
→→ i ωt − k r
(4.12)
Catatan Sedikit Pada Kecepatan Bunyi Sekarang kita kembali sekali lagi ke persamaaan (3.14) dan diskusi
di bagian 4.1, kecepatan bunyi didefinisikan oleh
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
dp c = t dρ t
( ad )
ρ
(4.13) 0
Notasi (ad) mengingatkan kita pada asumsi bahwa semua perubahan keadaan membawa pada proses adiabatik. Untuk gas ideal persamaan keadaan adiabatik (3.11) dibaca
p t pt = p0 p0
K
(4.14)
Dari ini kita tentukan dengan pendeferensialan : ( ad )
dp c = t dρ t
kP kp = t ≈ 0 ρt ρ0 ρ
2
(4.15)
0
Konstanta k adalah exponen adiabatik atau isotropik, nilai untuk udara adalah 1.4. Disamping itu, persamaan umum untuk gas ideal bahwa
pt
ρt
=
RT Mr
(4.16)
T menandakan suhu mutlak dalam Kelvin (K), R = 8.31 Nm/mol. K adalah konstanta molar gas dan Mr adalah massa mol dari gas. Maka dari itu kecepatan bunyi untuk gas ideal dapat dituliskan
c=
kRT Mr
(4.17)
Tabel 4.1 Kecepatan bunyi dan karaktersitik impedansi dari fluida Bahan
Suhu
Kerapatan
Kecepatan
Karakteristik
(˚C)
(kg/m3)
Bunyi (m/s)
Impedansi (Ns/m3)
Gas Argon
0
1.783
319
569
Helium
0
0.178
965
172
Oksigen
0
1.429
316
452
Nitrogen
0
1.251
334
418
Bab 4
Atenuasi Gelombang Datar
Hidrogen
0
0.090
1284
116
Amonia
0
0.771
415
320
Karbon
0
1.977
259
512
0
1.293
331
429
dioksida Udara
Cairan
(dalam 106)
Air
20
998
1483
1.48
Merkuri
20
13500
1451
19.6
Etil Alkohol
20
790
1159
0.92
Gliserin
20
1228
1895
2.33
Karkon
20
1594
938
1.50
Bensin
20
878
1324
1.16
Aseton
20
794
1189
0.94
Oli disel
20
800
1250
1.0
Helium
-272.15
145
239
0.035
Hidrogen
-252.7
355
1127
0.40
Oksigen
-183
1143
909
1.04
tetraklorida
Itu memungkinkan dicatat bahwa turunan pada persamaan (3.13) adalah modulus kompresi adiabatik k(ad) dibagi oleh kerapatan ρ0 . Jadi kita mendapatkan
c=
k ( ad )
ρ0
(4.18)
pernyataan ini lebih cocok digunakan untuk cairan. Pada tabel 4.1 telah didata kecepatan bunyi dan karakteristik impedansi dari beberapa gas dan cairan.
