Co byste mˇ el/a zvl´ adnout po 6. t´ ydnu
Zde je uveden naprost´y z´aklad. Nejde ou ´pln´y v´yˇcet vˇsech dovednost´ı.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
1/8
Slovn´ık z´ akladn´ıch pojm˚ u Monomorfismus, epimorfismus, isomorfismus. J´adro, obraz, defekt a hodnost line´arn´ıho zobrazen´ı. Uspoˇr´adan´a b´aze, souˇradnice vzhledem k uspoˇr´adan´e b´azi. Matice line´arn´ıho zobrazen´ı vzhledem k dan´ym b´az´ım, diagrama / j-t´ ej y sloupec Af = coordC (f(b~j )) O
O
FO s
x7→Af ·x
/ Fr O coordC
coordB
L1
f
/ L2
_
_ / f(~bj )
~bj
kde B = (~b1 , . . . , ~bs ) je uspoˇr´adan´a b´aze line´arn´ıho prostoru L1 a C = (~c1 , . . . , ~cr ) je uspoˇr´adan´a b´aze line´arn´ıho prostoru L2 . a
D˚ uleˇzit´e: pˇripomeˇ nte si rozd´ıl mezi → (ˇsipkou) a 7→ (ˇsipkou s patkou). Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
2/8
Pˇr´ıklad (j´ adro, obraz, defekt a hodnost) Spoˇctˇete j´adro, obraz, defekt a hodnost line´arn´ıho zobrazen´ı der : R≤4 [x] → R≤4 [x] (ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e) 7→ (4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d) cos α − sin α 2 2 Rα : R → R , kde Rα = sin α cos α 1 0 2 2 Px : R → R , kde Px = 0 0
1
2
3
Pˇr´ıklad (vˇ eta o dimensi j´ adra a obrazu) Pro matici M : R6 → R7 jsme zjistili, ˇze def(M) = 4 a rank(M) = 3. Je to moˇzn´e?a a
Pokud si nejste jisti odpovˇed´ı, pod´ıvejte se na Vˇetu 3.3.6 ve skriptech.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
3/8
Pˇr´ıklad (defekt a hodnost po aplikaci isomorfismu) Ukaˇzte, ˇze pro libovolnou regul´arn´ı matici M : Fr → Fr a libovolnou matici A : Fs → Fr plat´ı rovnosti: def(M · A) = def(A) a rank(M · A) = rank(A). N´avod: nejprve dokaˇzte, ˇze ker(M · A) = ker(A). Pak pouˇzijte definici defektu a vˇetu o dimensi j´adra a obrazu. Inverse ˇ ctvercov´ e matice n n At’ A : F → F je pevn´a matice. Ukaˇzte, ˇze n´asleduj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: 1
Pro libovolnou matici B : Fn → Fn m´a rovnice A · X = B pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
2
Rovnice A · X = En m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
3
Matice A je regul´arn´ı.
N´avod: m´a-li rovnice A · X = En pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, dokaˇzte, ˇze line´arn´ı zobrazen´ı A : Fn → Fn je epimorfismus. Pak pouˇzijte vˇetu o dimensi j´adra a obrazu a ukaˇzte, ˇze A mus´ı b´yt regul´arn´ı matice. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
4/8
Matice transformac´ı roviny vzhledem k b´ azi B = (e2 , e1 ) 1 2
B´azi B = (e2 , e1 ) prostoru R2 dejte geometrick´y v´yznam. Spoˇctete matice rotace, zmˇeny mˇeˇr´ıtka, projekce na osy, zkosen´ı (shear) v b´azi B.
Ke vˇsem u ´loh´am kreslete obr´azky. Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı Najdˇete matici line´arn´ıho zobrazen´ı der : R≤4 [x] → R≤4 [x] (ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e) 7→ (4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d) vzhledem 1
k b´azi B = (x 4 , x 3 , x 2 , x, 1),
2
k b´azi C = (1, x, x 2 , x 3 , x 4 ),
3
k b´az´ım D = ((x − 2)4 , (x − 2)3 , (x − 2)2 , (x − 2), 1) a B = (x 4 , x 3 , x 2 , x, 1).
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
5/8
Dalˇs´ı matice line´ arn´ıho zobrazen´ı Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ıa p(x) 7→ p(2x + 1) je line´arn´ı zobrazen´ı z prostoru R≤2 [x] do prostoru R≤2 [x]. Najdˇete matici tohoto line´arn´ıho zobrazen´ı vzhledem k b´azi (x 2 , x, 1). a
Pokud si nejste jisti, jak toto zobrazen´ı pracuje, spoˇctˇete si nejdˇr´ıve tˇreba (x − 2) 7→ ((2x + 1)2 − 2) a (3x 2 + 2x) 7→ (3(2x + 1)2 + 2(2x + 1)). 2
Matice souˇ ctu line´ arn´ıch zobrazen´ı a skal´ arn´ıho n´ asobku line´ arn´ıho zobrazen´ı At’ line´arn´ı zobrazen´ı f : L1 → L2 a g : L1 → L2 maj´ı matice Af a Ag vzhledem k b´az´ım B a C . Ukaˇzte: 1
Line´arn´ı zobrazen´ı f + g : L1 → L2 m´a matici Af + Ag vzhledem k b´az´ım B a C .
2
Pro libovoln´y skal´ar a z F m´a line´arn´ı zobrazen´ı a · f : L1 → L2 matici a · Af vzhledem k b´az´ım B a C .
N´avod: vyuˇzijte diagramy pro hled´an´ı matic line´arn´ıch zobrazen´ı. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
6/8
Pˇr´ıklad (Lagrangeova interpolace) At’ a1 , . . . , an jsou navz´ajem r˚ uzn´a re´aln´a ˇc´ısla. 1
Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı
ev(a1 ,...,an ) : R≤n−1 [x] → Rn ,
p(a1 ) p(a2 ) p(x) 7→ . .. p(an )
je line´arn´ı. 2
Ukaˇzte, ˇze ev(a1 ,...,an ) je monomorfismus.
3
Proˇc je ev(a1 ,...,an ) isomorfismus? Odvod’te z v´yˇse dok´azan´eho: pro navz´ajem r˚ uzn´a re´aln´a ˇc´ısla a1 , . . . , an a jak´akoli re´aln´a ˇc´ısla b1 , . . . , bn existuje v R≤n−1 pr´avˇe jeden polynoma p(x) takov´y, ˇze plat´ı p(a1 ) = b1 , . . . , p(an ) = bn .
4
aˇ
R´ık´ ame mu Langrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom. Vysvˇetlete, proˇc se mu ˇr´ık´ a interpolaˇcn´ı. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
7/8
Pˇr´ıklad (Lagrangeova interpolace, pokraˇ c.) 5
Zvolte n = 3 a zvolte a1 = −2, a2 = 0 a a3 = 2. Najdˇete matici A line´arn´ıho zobrazen´ı ev(a1 ,a2 ,a3 ) : R≤2 [x] → R3 vzhledem k b´az´ım (x 2 , x, 1) a K3 . Vyuˇzijte diagramy RO 3
A
coord(x 2 ,x,1)
R≤2 [x]
/ R3 O
RO 3
A−1
/ R3 O coord(x 2 ,x,1)
coordK3 coordK3 ev(a1 ,a2 ,a3 )
/ R3
R3
(ev(a1 ,a2 ,a3 ) )−1
/ R≤2 [x]
k n´avrhu postupu, jak naj´ıt polynom p(x) v R≤2 [x], pro kter´y plat´ı p(−2) = 6, p(0) = −2, p(2) = −2. 6
Pˇredch´azej´ıc´ı myˇslenky zobecnˇete na p˚ uvodn´ı situaci navz´ajem r˚ uzn´ych re´aln´ych ˇc´ısel a1 , . . . , an .
7
Hraje v pˇredch´azej´ıc´ıch u ´vah´ach nˇejakou roli tˇeleso R? Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 6. t´ ydnu
8/8
