4. Nyugalmi indukció. Faraday-féle indukció törvény, integrális és differenciális alak. Szolenoid tekercs önindukciós együtthatója. Mágneses mező energiája és energiasűrűsége. Huroktörvény általánosítása egyetlen hurok esetében. Nyugalmi indukció: A mozgási indukcióra felírt fluxus szabály alapján felmerülhet a kérdés, hogy indukálódik-e áram akkor, ha a fluxus változást nem a vezetőhurok mozgása, hanem a mágneses mező időbeli változása okozza? Kölcsönös indukció jelensége: vasmag G
primer kör szekunder kör Mindaddig, amíg a változtatható ellenállással változtatjuk az áramerősséget a primer körben, változni fog az általa gerjesztett mágneses tér indukciója. Ezeket az indukcióvonalakat a szekunder kör körülfogja és változik a szekunder fluxus. A tapasztalat szerint, amíg a fluxust változtatjuk, a szekunder körben áram folyik. Az áram létrejöttének oka itt nem lehet a Lorentz-erő, hiszen a szekunder vezető nem mozog. A fenti kérdésre tehát igen a válasz. A jelenséget úgy magyarázhatjuk, hogy az időben változó mágneses mező elektromos teret indukál, és ez az elektromos mező mozdítja el a szekunder vezeték szabad elektronjait. Ez a nyugalmi indukció jelensége. Kölcsönös indukció során a primer kör áramának változása indukál feszültséget a szekunder körben.
Önindukció: G
L E
A tapasztalat szerint, ha a tekercset az áramforrásról lekapcsoljuk és egyben rövidre zárjuk, akkor az árammérő egy ideig még csökkenő áramerősséget jelez. A jelenség magyarázata az, hogy az áramforrást lekapcsolva, de rövidre zárva az áramkört, változik a mágneses mező fluxusa, ez elektromos mezőt indukál, és ez tartja fenn az áramot egy ideig. A jelenség neve önindukció, az indukált feszültséget a vezetőkör saját áramának változása okozza. A tapasztalat szerint a Faraday-féle indukciótörvény alakja a nyugalmi indukcióra: o dΦ U =− , azaz dt JG G d JG JG ⋅ = − E d s B⋅d A v∫g dt ∫A Rögzített zárt vonal mentén az indukált elektromos feszültség egyenlő a zárt vonal által körülfogott mágneses fluxus változási gyorsaságának ellentettjével. Felhasználva, hogy a hely
szerinti integrálás, és az idő szerinti differenciális sorrendje felcserélhető (a A felület rögzített), valamint alkalmazva a Stokes-tételt nyerhetjük: JG JG JG ∂ B JG ∫A ∇ × E ⋅ d A = − ∫A ∂t ⋅ d A JG JG ∂ B ⎞ JG ⎛ ∫A ⎜⎝ ∇ × E + ∂t ⎟⎠ ⋅ d A = 0 , ez az integrál bármely A-ra eltűnik, így a Faraday törvény lokális vagy differenciális alakja: JG JG ∂B ∇× E = − . ∂t Az indukált elektromos mező nem örvénymentes, ezért nem is konzervatív! G G dA=ndA
(
)
G ds Elektromos mezőt tehát nem csak töltések kelthetnek, hanem időben változó mágneses mező is. − A töltések keltette mező forrásos, és ha a töltések nyugszanak, vagy áramlásuk stacionárius akkor örvénymentes. − Az időben változó mágneses mező keltette indukált elektromos mező forrásmentes és örvényes. g
Szolenoid tekercs önindukciós együtthatója: Hosszú vékony tekercsben: NI NI , illetve B = μ H= l l Egyetlen menet által körülfogott fluxus (menetfluxus): G G NA Φ m = ∫ B ⋅ dA = μ I. l A tekercsfluxus egyenlő a menetfluxusok összegével, így N2A Φ = N Φm = μ I. l A tekercsfluxus arányos az őt gerjesztő árammal. Az arányossági tényezőt önindukciós együtthatónak nevezzük. Φ = LI , μ N2A L= . l Vs [ L] = 1 = 1henry = 1H A Ha egy tekercsben váltakozó áram folyik, akkor Φ = LI (t ) I = I(t)
L
• dΦ dI = −L = −L I dt dt 2 Sokmenetű tekercs esetén mivel L arányos N -tel a tekercs önindukciós együtthatója olyan nagy, hogy az egyben az egész vezető kör induktivitásának tekinthető.
Ui = −
Kölcsönös indukció együtthatója szoros csatolás esetén: N1
N2
N1 I1 (t ) l NA Φ1 = μ 1 I1 (t ) . l Szoros csatolás esetén ez egyben a menetfluxusa a 2-es tekercsnek is: NN A Φ12 = N 2 Φ1 = μ 1 2 I1 (t ) . l Az arányossági tényező: NN A M = L12 = μ 1 2 l a kölcsönös indukció együtthatója. Φ 12 = L12 I 1 d Φ12 dI dI U12 = − = − L12 1 = − M 1 dt dt dt B1 = μ
A hurok törvény általánosítása egyetlen hurok esetén: Tekintsük a következő hurkot: g2 C R
g1 L
Q g2 C
E Legyen R a teljes kör ellenállása, C a kondenzátor kapacitása, L a tekercs önindukciós együtthatója (és egyben az egész huroké), E pedig az alkalmazott elektromotoros erő. Írjuk fel nyugalmi indukció Faraday-törvényét a hurokra: o dΦ U =− dt JG G dΦ v∫g E ⋅ d s = − dt JG G JG G dI ∫g1 E ⋅ d s + ∫g2 E ⋅ d s = − L dt
g zárt görbe, g1 a vezetőben halad, g2 pedig a kondenzátor lemezei közötti szigetelőben. JG G G JG G Q ∫g E ⋅ d s = ∫ E ds = C , a kondenzátor lemezei közötti feszültség. Mivel ρ j = E + E∗ , 2 JG G G így E = ρ j − E∗ . Használjuk ezt fel az első integrálban: • G G G G Q ∫g ρ j ⋅ d s − g∫ E∗ ⋅d s + C = − L I . 1 1 G G G G ds Mivel ∫ ρ j ⋅ d s =I ∫ ρ = IR , és ∫ E∗ ⋅ d s = E így: A g1 g1 g1 • Q = −L I C A kondenzátor töltése azért változik, mert az áram töltést szállít oda, dt idő alatt ez: dQ • dQ = Idt , így I = =Q dt
IR − E +
•
••
I =Q •• • Q L Q+ R Q+ = E C Ez egy inhomogén, lineáris, másodrendű, állandó együtthatós differenciál egyenlet a töltésre. A mágneses energia (tekercs energiája): Tekintsük az alábbi soros RL kört, legyen E az áramforrás elektromotoros ereje. L
R E •
Írjuk fel rá a hurokegyenletet, L I + RI = E , és szorozzuk végig az egyenletet I-vel: •
L I I + RI 2 = E I , ekkor ⎛1 ⎞ d ⎜ I2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ = I I• , dt d ⎛1 2⎞ 2 ⎜ LI ⎟ + I R = E I . dt ⎝ 2 ⎠ E I a telep teljesítménye, időegység alatt ennyi munkát végeznek az idegen erők, ennyivel fogy az akkumulátorban tárolt energia. I2R a fogyasztó által felvett teljesítmény, a fogyasztó a környezetének hőt ad le. Az első tag pedig azt mutatja, hogy a telep munkavégzésének egy része a tekercsben felépülő mágneses mező energiájának változtatására fordítódik. 1 Wm = LI 2 , a mágneses mező energiája. 2 Ha I = 0 akkor Wm = 0 Szolenoid tekercs esetén:
Wm =
1 2 1 1 LI = LI I = Φ I . 2 2 2
NI Hl , így I = és Φ = NBA , ekkor l N 1 Hl 1 = B H Al Wm = NBA 2 N 2 V = Al a tekercs és közelítőleg ez a mágneses mező térfogata: 1 JG JJG Wm = B ⋅ H V . 2 A mágneses mező energia sűrűsége (térfogategységre eső energia): W 1 JG JJG wm = m = B ⋅ H V 2 Bár a kifejezést egy vékony tekercs esetén származtattuk, ez általánosan is igaz. Egy tetszőleges V térfogatban foglalt mágneses energia: 1 JG JJG Wm = ∫ wm dV = ∫ B ⋅ HdV . 2 V V
Mivel H =
