1. Pendahuluan Dalam pasar keuangan, beberapa instrument financial yang perlu dikenali: a. Stock (Equitis, Securities, Shares) b. Bonds : Corporate, Municipal, Government (Long Term Borrowing) c. Corporate paper, Certificates of Deposit, Treasury Bills (Short Term Borrowing) d. Commodity futures, currency futures, options (derivative securities), (Contingent Claims/Contract: Kontrak/Pengakuan bersyarat) Setiap instrument diperdagangkan dalam pasar (Market) yang terdiri dari Buyer (pembeli) dan Seller (penjual). Setelah terjadi transaksi , surat kontrak dapat digunakan oleh pemiliknya (holder) dan hak yang diklaim harus dilaksanakan oleh perusahaan yang mengeluarkan surat tersebut (writer). Pasar dunia (Global Market) yang utama ada di Tokyo, London, New York, Hong Kong, Zurich, Frankfurt, Paris dan Toronto. Kegunaan dari instrument finansial adalah: a. Primer : investasi, mengumpulkan modal b. Sekunder: Spekulation, Arbitrage, Hedging, Debt Swaps Model Matematika dalam finance adalah : a. Static Portfolio Analysis: Markowitz (1959) b. Dynamic Portfolio Analysis c. Contingent Claims Analysis: Black and Scholes (1973), Merton (1973) Pada kuliah ini, model yang akan dibahas adalah model Contingent Claims Analysis dari Black Scholes. Sebelumnya akan dibahas pemodelan pergerakan harga saham yang diasumsikan mengikuti suatu distribusi statistik tertentu. Asumsi ini berdasarkan pengamatan dari data lapangan. Dengan menggunakan distribusi statistik,return harian dipandang sebagai variabel acak:
ππ β ππππ
πππ‘π‘β1 πππ‘π‘
β
πππ‘π‘β1 βπππ‘π‘ πππ‘π‘
Histogram menunjukkan fungsi kepadatan peluang fx(x), terhadap suatu variable acak X. Fungsi tersebut dapat berbentuk diskrit atau kontinu, bersesuaian dengan variabel randomnya. Contoh beberapa distribusi: 1. Binomial, diskrit pada {0,1,β¦,n},
ππ(x) =
n k 0
0 < ππ = 1 β ππ < 1. ππππ ππ ππβππ jika π₯π₯ = ππ, ππ = 0,1, β¦ , ππ lainnya
2. Poisson, diskrit pada {0,1,β¦,n}, Ξ»>0 ππ(π₯π₯) =
ππ βππ ππππ ππππππππ π₯π₯ = ππ, ππ = 0,1, β¦ , ππ ππ! 0 ππππππππππππππ
3. Exponensial Negatif, kontinu absolut pada [Ξ²,β), dengan Ξ±>0. ππ(π₯π₯) =
πΌπΌππ βπΌπΌ(π₯π₯βπ½π½ ) ππππππππ π½π½ β€ π₯π₯ β€ β 0 ππππππππππππππ
4. Gauss atau Normal, kontinu absolut pada (β,β), ΞΌ β R, Ο > 0.
ππ(π₯π₯) =
1
ππ
(π₯π₯βππ )2 β 2ππ 2
οΏ½2ππππ Simbol N(ΞΌ,ΟΒ²) digunakan untuk menunjukkan suatu distribusi normal dengan parameter ΞΌ dan Ο.
Fungsi distribusi dari suatu variabel acak ππ diberikan
β
πΉπΉππ (π₯π₯) = ππ{ππ β€ π₯π₯ } = οΏ½ ππππ (ππ)ππππ, π₯π₯
jika X kontinu. Sedangkan untuk ππ diskrit, fungsi distribusinya adalah: πΉπΉππ (π₯π₯) = οΏ½ ππππ (π₯π₯ππ ) π₯π₯ ππ β€π₯π₯
Pada bentuk kontinu, fungsi distribusi diberikan oleh daerah di atas fungsi kepadatan peluang sampai dengan π₯π₯. Mean atau Ekspektasi dari suatu variabel acak didefinisikan sebagai berikut β
jika ππ kontinu dan jika ππ diskrit. Contoh: 1. Binomial : πΈπΈ(ππ) = ππππ.
πΈπΈ(ππ) = οΏ½ π₯π₯π₯π₯ππ ( π₯π₯)ππππ ββ
πΈπΈ(ππ) = οΏ½ π₯π₯ππ ππππ (π₯π₯ππ ) π₯π₯ ππ β€π₯π₯
2. Poisson : πΈπΈ(ππ) = ββ ππ=0 ππ
ππ βππ ππ ππ ππ!
= ππ.
3. Exponensial negatif: πΈπΈ(ππ) = π½π½ + πΌπΌβ»ΒΉ 4. Normal : πΈπΈ(ππ) = ππ.
Pengukuran dari kecenderungan central (pusat) dari variable acaknya oleh mean, median dan modus. Pada distribusi normal, mean, median dan modus sama. Kecuali pada skewed. Untuk mengukur sebaran, didefinisikan variansi dari suatu variabel acak. π£π£π£π£π£π£π£π£ = πΈπΈ(ππ β πΈπΈ(ππ))2 = πΈπΈ(ππ 2 ) β (πΈπΈ(ππ))2
Standard deviasi, atau dalam istilah finance disebut volatility, diberikan oleh ππππ = βπ£π£π£π£π£π£π£π£
Karena ekspektasi adalah linier, πΈπΈ(πΌπΌπΌπΌ + π½π½π½π½) = πΌπΌπΌπΌ + π½π½π½π½, maka π£π£π£π£π£π£(πΌπΌπΌπΌ) = πΌπΌΒ²π£π£π£π£π£π£π£π£ πππΌπΌ ππ = πΌπΌππππ
Risiko dari pasar saham dapat diperkirakan dengan menggunakan distribusi. Misal suatu saham bernilai 50 dollar. Jika historical volatility dari returnnya adalah 1.181 % berlaku untuk 24 jam ke depan, maka dengan kepercayaan 90% return ini tidak akan melebihi Β±1.937% atau antara 49.98063 dollar dan 50.01937 dollar.
2. Distribusi Normal Variabel random ππ disebut suatu variabel random lognormal dengan parameter ππ dan ππ jika ππππππ(ππ) adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean ππ dan variansi ππΒ². Jadi ππ adalah lognormal bila dapat ditulis sebagai ππ = ππ ππ di mana ππ adalah variabel random Normal. πΈπΈ[ππ] = ππ (ππ +ππ 2
Contoh:
2
2 )/2
2
ππππππ(ππ) = ππ 2ππ +2ππ β ππ 2ππ +ππ = ππ 2ππ +ππ (ππ ππΒ² β 1)
Misalkan ππ(ππ) adalah harga suatu security pada akhir dari n minggu tambahan, ππ β₯ 1. Asumsikan bahwa ππ(ππ)
ππ(ππβ1)
untuk ππ β₯ 1 saling bebas dan terdistribusi lognormal independent,identically distributed). Misalkan
parameter lognormalnya adalah ππ = 0.0165 dan ππ = 0.0730. Bagaimana peluang
1. harga securitynya naik minggu depan? 2. harga security naik berturut-turut dalam tiga minggu? 3. harga pada akhir minggu kedua lebih tinggi dari sekarang?
3. Teorema Limit Pusat Theorem 2 Misalkan ππβ, ππβ, β¦ adalah variabel random yang independent, terdistribusi indentik yang masing-masing memiliki mean ππ dan variansi tak nol ππΒ². Misalkan ππππ = ππβ + β― + ππππ, maka ππππ β ππππ lim ππ( β€ π₯π₯) = π·π·(π₯π₯) ππββ ππβππ dimana π·π·(π₯π₯) adalah peluang dari suatu variabel random normal standard lebih kecil dari x. Contoh 3 Misalkan sebuah koin dilempar sebanyak 100 kali. Berapa peluang muka/head muncul kurang dari 40 kali?
4. Geometric Brownian Motion
Misalkan ππ(π¦π¦) adalah harga dari security pada saat y waktu sekarang,
dengan waktu awal adalah 0. Kumpulan harga ππ(π¦π¦), 0 β€ π¦π¦ < β, mengikuti gerak Brown geometrik (Geometric Brownian Motion) dengan parameter drift ππ dan volatility (peremeter ketidakstabilan) ππ, untuk semua nilai taknegatif π¦π¦ dan π‘π‘, jika variabel random (
ππ(π‘π‘ + π¦π¦) ) ππ(π¦π¦)
saling bebas dari semua harga sampai waktu π¦π¦. Dan juga, jika ππππππ(
ππ(π‘π‘ + π¦π¦) ) ππ(π¦π¦)
adalah variabel random normal dengan mean ππππ dan variansi π‘π‘π‘π‘Β². Saling bebas?
Jika π π 0 adalah nilai awalnya maka
πΈπΈ[ππ(π‘π‘)] = π π βππ π‘π‘(ππ +ππΒ²/2) .
5. GBM sebagai Suatu Limit dari Model yang Lebih Sederhana Misalkan Ξ adalah penambahan kecil dari waktu. Setiap perubahan waktu Ξ, harga security akan naik atau turun, yaitu naik sejauh u dengan peluang p dan turun sejauh d dengan peluang 1 β ππ. π’π’ = ππ ππβπ₯π₯ , ππ = ππ βππβπ₯π₯ ππ 1 ππ = ( )(1 + βπ₯π₯) ππ 2
Bagaimana jika Ξ terus mengecil? Harga akan lebih sering berubah, walaupun faktor π’π’ dan ππ makin dekat dengan 1. Hal ini menunjukkan bahwa kumpulan harga
ini menjadi GBM. Sebaliknya, GBM dapat diaproksimasi oleh model di atas, yang lebih sederhana Akan ditunjukkan bahwa model di atas akan menjadi GBM jika Ξ mengecil terus. Misal ππππ adalah variabel random dengan 1 ππππππππ π π π π π π π π ππΞ ππππ = 0 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ Frekuensi harga naik selama waktu ππ βΆ βππππ=1 ππππ Frekuensi harga turun: ππ β βππππ=1 ππππ . Harga sampai ke ππ adalah (Binomial) ππ
ππ
ππ(ππππ) = ππ(0)π’π’βππ=1 ππππ ππ ππββππ=1 ππππ π’π’ ππ ππ(ππππ) = ππβΏππ(0)( )βππ=1 ππππ ππ
Jika ππ = π‘π‘/π₯π₯
π‘π‘/π₯π₯
ππππππ οΏ½ π‘π‘ π₯π₯
ππ(π‘π‘) π’π’ βππ=1 ππππ π‘π‘/π₯π₯ = ππ ππ(0) ππ(0) ππ
ππ(π‘π‘) π‘π‘ οΏ½ = ππππππ(ππ) + ππππππ ππ(0) π₯π₯ ππ =
βπ‘π‘π‘π‘ βπ₯π₯
π‘π‘
π₯π₯ π’π’ βππ=1 ππππ
π‘π‘ π₯π₯
+ 2ππβπ₯π₯ οΏ½
ππ=1
ππππ
Jika π₯π₯ β 0, βππ=1 ππππ semakin banyak, sehingga distribusi ππππππ οΏ½ diaproksimasi oleh kurva normal. Maka didapat
π‘π‘
ππ(π‘π‘)
ππ(π‘π‘) βπ‘π‘π‘π‘ π₯π₯ πΈπΈ[ππππππ οΏ½ οΏ½] = + 2ππβπ₯π₯ οΏ½ πΈπΈ(ππππ ) ππ(0) βπ₯π₯ ππ=1 βπ‘π‘π‘π‘ π‘π‘ = + 2ππβπ₯π₯ ππ π₯π₯ βπ₯π₯ βπ‘π‘π‘π‘ π‘π‘π‘π‘ ππ = + (1 + βπ₯π₯) ππ βπ₯π₯ βπ₯π₯ = ππππ π‘π‘/π₯π₯
ππ(π‘π‘) ππππππ(ππππππ οΏ½ οΏ½) = 4ππΒ²π₯π₯ οΏ½ ππππππ ππππ ππ(0) ππ=1
οΏ½ ππapat
ππ(0)
= 4ππΒ²π₯π₯ 6. Gerak Brown
π‘π‘ ππ(1 β ππ) π₯π₯
β ππΒ²π‘π‘, ππππππππππππ ππ β
1 π’π’π’π’π’π’π’π’π’π’ π₯π₯ ππππππππππ 2
Definisi Koleksi dari harga ππ(π¦π¦), 0 β€ π¦π¦ < β dikatakan mengikuti Gerak Brown dengan parameter drift ππ dan variansi ππΒ² jika untuk semua nilai tak negatif π¦π¦ dan π‘π‘, variabel random ππ(π‘π‘ + π¦π¦) β ππ(π¦π¦) adalah saling bebas untuk semua nilai sampai waktu π¦π¦, dan juga merupakan variabel random normal dengan mean ΞΌt dan variansi ππΒ²π‘π‘. Kelemahan model Gerak Brown untuk memodelkan pergerakan harga saham atau komoditi adalah: a. secara teoritis dapat bernilai negatif b. beda harga dalam jangka waktu tertentu memiliki distribusi normal yang sama, apapun nilai awalnya. Apakah peluang turun 25% dari $ 20 ke $ 15 akan sama dengan penurunan 50% dari $ 10 ke $ 5? GBM tidak memiliki kelemahan di atas. Kesamaannya adalah apabila ππ dan ππ sudah ditentukan, informasi yang diperlukan untuk meperkirakan nilai harga di depan hanyalah harga pada saat sekarang.
