A PÉNZ IDİÉRTÉKE A pénz értéke – többek között – az idı függvénye. Ha idıben késıbb jutunk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük annak lehetıségét, hogy az eltelt idıben azt befektessük, azaz elesünk annak hozamától, így összességében kisebb értéket nyerünk és fordítva. A pénz idıértékének vizsgálatakor gyakran említik meg az inflációt, de azt a számításainkban kiküszöbölhetjük, ha reáljövedelmekkel és reálkamatlábakkal számolunk. A befektetések egyik közös jellemzıje, hogy a jelenben kell a tıkét befektetnünk, míg a hozam(ok) egy késıbbi, jövıbeni idıpont(ok)ban jelentkezik(-nek). A jelenbeni befektetést akkor tudjuk összemérni a jövıbeni hozamokkal, ha a pénzfolyam egyes elemeinek értékét egy közös (jelenbeni, vagy jövıbeni) idıpontra számítjuk át. Ekkor az idıponttól függıen jelenértékszámításról (diszkontálásról), vagy jövıértékszámításról beszélünk. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: PV =
FV (1 + r ) n
ahol
PV: FV: r: n:
jelenérték a jövıbeni pénzösszeg kamatláb a jelentıl eltelt idıszakok (évek) száma
ahol
PV: t: Ct:
jelenérték idıszakok (évek) sorszáma a t. évi jövedelem (cashflow) kamatláb
Pénzfolyam jelenértéke: n
PV = ∑ t =0
Ct (1 + r ) t
r: Örökjáradék, vagy tıkésítési járadék:
A végtelen hosszú, azonos idıközönként kifizetett azonos pénzösszegek sorozatát nevezzük örökjáradéknak. Ha a gyakorlatban az idıszak nem is végtelen, de kellı hosszúságú, akkoris az örökjáradék jelenértékével jól közelíthetı az ilyen befektetések hozamainak jelenértéke. Az örökjáradék jelenértéke: PV =
C r
ahol
PV: C: r:
jelenérték a pénzfolyam valamely eleme kamatláb (tıkésítési ráta)
1
Ha a fenti pénzfolyamban a pénzfolyam elemei évente azonos százalékkal növekednek (azaz mértani sorozatot alkotnak), akkor ún. növekvı tagú örökjáradékról beszélünk. Ebben az esetben a jelenérték összefüggése a következıképpen módosul: PV =
C1 r−g
ahol
PV: C1: r: g:
jelenérték a pénzfolyam elsı eleme tıkésítési ráta növekedési ráta
ahol
FV: PV: r: n:
jövıérték jelenérték kamatláb idıszakok (évek) száma
Jövıérték: FV = PV × (1 + r ) n
Mintapéldák:
1.
Mekkora összeget kell elhelyezni egy társasház felújítási számláján évi 6% kamatos kamatozást feltételezve ahhoz, hogy 3 év múlva 1.500.000 Ft álljon rendelkezésre a tervezett felújítási munka elvégzéséhez? Megoldás: r=6%=0,06 n=3 év FV=1.500.000 Ft PV =
2.
FV 1.500.000 = = 1.259.429 Ft. n (1 + r ) (1 + 0,06) 3
Mennyi pénzt érdemes adni 10% kamatláb mellett egy 5 éven keresztül évi 12.000.000 Ft kifizetést biztosító befektetésért? Megoldás: r=10%=0,1 n=5 év C1=C2=…=Cn=12.000.000 Ft A befektetésért legfeljebb annyit érdemes adni, amennyi a jövıbeni hozamok jelenértéke:
2
n
PV = ∑ t =1
3.
Ct 1 1 1 1 1 = 12.000.000 × + 2 + 3 + 4 + 5 = 45.489.441 Ft t (1 + r ) 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
Mekkora egy évi 200.000 Ft örökjáradákot fizetı kötvény jelenértéke, ha a kamatláb 3%? Megoldás: C=200.000 Ft r=3%=0,03 PV =
4.
C 200.000 = = 6.666.667 Ft r 0,03
Mennyi pénzt érdemes adni 8% kamatláb mellett évi 5%-kal növekvı örökjáradékért, amelyik az elsı évben 1.000 Ft-ot fizet? Megoldás: C1=1.000 Ft r=8%=0,08 g=5%=0,05 A befektetésért legfeljebb annyit érdemes adni, amennyi a jövıbeni hozamok jelenértéke: PV =
5.
C1 1.000 = = 33.333 Ft r − g 0,08 − 0,05
Egy bankszámlán elhelyezünk 500.000 Ft-ot. Mennyit fog érni a befektetésünk 7 év múlva, ha a betét kamata évi 7,5%? Megoldás: PV=500.000 Ft n=7 év r=7,5%=0,075 FV = PV × (1 + r ) = 500.000 × (1 + 0,075) = 829.525 Ft n
7
3
PÉNZÁRAMLÁSOK ÉRTÉKELÉSE Egy befektetés mindig valamilyen pénzáramlással írható le, azaz különbözı idıpontokban különbözı összegő kifizetések (befektetés), majd különbözı idıpontokban történı hozamok jellemzik. A pénzáramlás egyes elemeit cash-flownak nevezzük (jele: C).
Nettó jelenérték: NPV = PV − I
ahol
NPV: PV: I:
nettó jelenérték a jövıbeni hozamok jelenértéke a jelenbeni befektetés
A befektetés akkor fogadható el, ha NPV>0.
Belsı megtérülési ráta: Az a kamatláb amely mellett a befektetés nettó jelenértéke éppen 0. Kiszámítása az alábbi egyenlet megoldásával lenne lehetséges: PV − I = 0
n Ct ∑ t t =1 (1 + IRR )
− I = 0 ahol
IRR: t: Ct: I:
belsı megtérülési ráta évek sorszáma t. évi cash-flow jelenbeni befektetés
Az IRR kiszámítására általában üzleti kalkulátort, vagy valamilyen közelítı módszert (pl.: iteráció) alkalmazunk. A befektetés akkor fogadható el, ha a belsı megtérülési ráta nagyobb, mint az elvárt megtérülés (az alternatíva költség).
Sajáttıke-arányos megtérülés: ROE =
C × 100 INVBS
ahol:
ROE: sajáttıke-arányos megtérülés C: cash-flow INVBS: sajáttıke befektetés
A sajáttıke-arányos megtérülést minden évre ki kell számítani, majd ezt hasonlítjuk össze a sajáttıke alternatíva költségével (soha nem diszkontálunk!).
4
Mintapéldák:
6.
Egy repülıgép üzembe helyezésével kapcsolatban a következı adatok becsülhetık: Beszerzési ár: A kiegészítı berendezések beszerzési ára (a t0 idıszakban): A tervezett használati idı (a kiegészítıké is): A 7. év végén a repülı és a kiegészítık piaci értéke: A repülıgép átlagsebessége: Ülıhelyek száma: Árbevétel utaskilométerenként: A sajáttıke alternatíva költsége:
Repülési idı [óra]: Ülıhelyek átl. Kihasználtsága: Fajlagos üzemeltetési ktg. [€/repülési óra]:
15.000.000 € 2.250.000 € 7 év 833.000 € 700 km/h 100 0,20 € 8%
1. év 1.400
2. év 1.600
3. év 1.600
4. év 1.600
5. év 1.600
6. év 1.600
7. év 1.600
40%
41%
43%
45%
45%
45%
45%
3.300
3.500
3.500
3.700
3.800
3.800
3.800
Határozzuk meg a „Repülıgép projekt” nettó jelenértékét! Megoldás: A befektetés a következı pénzáramlássa jellemezhetı: Adatok ezer €-ban 0. év Lehetséges teljes bevétel: Kihasználatlanságból eredı veszteség: Effektív bevétel: Üzemeltetési ktg.: Tıkeráfordítás: Cash-flow (C):
1. év
2. év
3. év
4. év
5. év
6. év
7. év
0
19.600
22.400
22.400
22.400
22.400
22.400
22.400
0
11.760
13.216
12.768
12.320
12.320
12.320
12.320
0 0 17.250 -17.250
7.840 4.620 0 3.220
9.184 5.600 0 3.584
9.632 5.600 0 4.032
10.080 5.920 0 4.160
10.080 6.080 0 4.000
10.080 6.080 0 4.000
10.080 6.080 0 4.000
Lehetséges teljes bevétel = Repülési idı × Ülésszám × Átlagsegesség × × Árbevétel utaskilométerenként Kihasználatlanságból eredı veszteség = Lehetséges teljes bevétel × (100 – Kihasználtság) / 100 Effektív bevétel = Lehetséges teljes bevétel – Kihasználtságból eredı veszteség Üzemeltetési ktg. = Repülési idı × Fajlagos üzemeltetési ktg. Tıkeráfordítás = Beszerzési ár + Kiegészítı berendezések beszerzési ára Cash-flow = Effektív bevétel – Üzemeltetési ktg. – Tıkeráfordítás
5
Nettó jelenérték: NPV = −17.250 +
3.220 3.584 4.032 4.160 4.000 4.000 4.000 + 833 + + + + + + = 3.126 1,08 1,08 2 1,08 3 1,08 4 1,08 5 1,08 6 1,08 7 NPV = 3.126 ezer € > 0, tehát a befektetés elfogadható.
7.
Két befektetési lehetıség kínálkozik (A és B), melyek a következı pénzáramlással jellemezhetık: Projekt
Pénzáramlás I=C0 C1 -1.200 1.500 -500 650
A B
Számítsuk ki az A és B projekt belsı megtérülési rátáját! A projekt: NPV = −1.200 +
1.500 = 0 ⇒ IRR = 0,25 = 25% 1 + IRR
B projekt: NPV = −500 +
650 = 0 ⇒ IRR = 0,30 = 30% 1 + IRR
Ábrázoljuk a nettó jelenértéket a belsı megtérülési ráta függvényében!
NPV
300
150
25%
30%
IRR
6
Melyik projekt fogadható el, ha a tıke alternatíva költsége r=27%? Az A projekt esetében IRR
r, így azt elfogadhatjuk. T.f. hogy az elvárt megtérülési ráta változására számítunk. Adjunk döntési szabályt a két projekt közti választásra! A két görbe metszéspontja: − 1.200 +
Ha r<21% Ha r=21% Ha r>21%
8.
1500 650 = −500 + ⇒ r = 0,21 = 21% 1+ r 1+ r
⇒ ⇒ ⇒
A projektet választjuk. A két projekt egyenértékő. B projektet valósítjuk meg.
A 6. példában szereplı „Repülıgép projektet” teljes egészében saját tıkébıl finanszírozzuk. Határozzuk meg a sajáttıke-arányos megtérülést az egyes években. Elfogadható-e a befektetés, ha a megtérülési ráta alapján döntünk? Megoldás: ROE =
C × 100 INVBS
A sajáttıke befektetés = Beszerzési ár + Kiegészítı berendezések beszerzési ára = INVBS INVBS = 17.250 ezer €
Cash-flow (C): INVBS: ROE:
1. év 3.220 17.250 18,67%
2. év 3.584 17.250 20,78%
3. év 4.032 17.250 23,37%
4. év 4.160 17.250 24,12%
5. év 4.000 17.250 23,19%
6. év 4.000 17.250 23,19%
7. év 4.000 17.250 23,19%
A befektetés elfogadható mert a sajáttıke-arányos megtérülés minden évben magasabb, mint a tıke alternatívaköltsége (elvárt megtérülés).
7
KÖTVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE A kötvény egy olyan hosszúlejáratú, követelést megtestesítı értékpapír, mely elıre meghatározott idıpontokban elıre meghatározott kamatot fizet és a tıkét szintén elıre meghatározott idıpont(ok)ban fizeti vissza. A kötvény árfolyama nem más, mint a kötvény jövıben várható kifizetéseinek jelenértéke. A kötvény befektetéseket az árfolyamukon kívül az átlagos futamidıvel (duration, DUR), ill. a volatilitásukkal (kamatláb érzékenységükkel). A volatilitás azt mutatja meg, hogy a kamatláb 1%-os változásának hatására hány %-kal változik a kötvény árfolyama. Duration: n
DUR = ∑ t =1
PV (C t ) × t V
ahol
DUR: t: n: PV(Ct): V:
a kötvény átlagos futamideje az egyes évek sorszáma a teljes futamidı a t. évi kifizetés (kamat+tıke) a kötvény értéke (árfolyama)
ahol
DUR: a kötvény átlagos futamideje VOL: a kötvény volatilitása (kamatérzékenysége) r: kamatláb (tıke alternatívaköltsége)
Volatilitás: VOL =
DUR 1+ r
Mintapéldák:
9.
Egy 100.000 Ft névértékő kötvény lejáratáig 3 év van hátra, a kötvény évi 16% kamatot fizet (névleges kamatozás), a kamat évente egyszer esedékes, a tıketörlesztésre az utolsó két évben 50-50% arányban kerül sor. A következı kamatfizetés egy év múlva esedékes. A hasonló kockázatú és futamidejő kötvényektıl elvárt hozam évi 25% (r). Legfeljebb mennyit érdemes fizetni ezért a kötvényért?
8
Megoldás: A kötvény az alábbi pénzáramlással jellemezhetı:
16% 0.
50%
50%
16%
16%
1.
2.
3.
év
A jövıbeni kifizetések jelenértéke: PV =
16% 16% + 50% 16% + 50% + + = 88,83% = V 1,25 1,25 2 1,25 3
Ha a kötvény árfolyama 88,83%, akkor legfeljebb: 100.000 ×
10.
88,83 = 88.830 Ft-ért érdemes érdemes azt megvásárolni. 100
Számítsuk ki az elızı példában szereplı kötvény átlagos futamidejét és volatilitását! Megoldás: A kötvény kifizetései:
Év 1. 2. 3. Σ
n
DUR = ∑ t =1
C
PV(C) 16.000 66.000 66.000
-
12.800 42.240 33.792 V = 88.832
PV (C t ) × t 12.800 × 1 42.240 × 2 33.792 × 3 = + + = 2,24 év. V 88.832 88.832 88.832
DUR 2,24 = = 1,79 %, azaz a kamatláb 1%-os emelkedése esetén az árfolyam 1,79%-kal 1 + r 1,25 csökken és fordítva. A pontosság érdekében érdemes 3-4 tizedesjegyre kerekíteni, ill. a diszkontálásnál óvatosan bánni a kerekítésekkel! VOL =
9
RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA, HOZAMA, KOCKÁZATA A részvény tulajdoni részesedést megtestesítı értékpapír. Hozamra két úton-módon tehetünk szert. Egyrészt a részvényünk után évente osztalékot kaphatunk (bizonytalan), másrészt az árfolyam esetleges növekedésének realizálásával. A részvény hozama:
r=
D1 S1 − S 0 + S0 S0 ahol
r: D1: S0 : S1 :
a részvény hozama a tárgyévi osztalék az év eleji árfolyam (ún. spot ár) az év végi árfolyam (ún. spot ár)
A részvény kockázata nem más, mint a hozam szórása. Mivel a részvényhozamok eloszlása ún. normális statisztikai eloszlást mutat, így kiszámítása a következıképpen történik:
σ=
n 1 × ∑ (rt − rátl ) 2 n − 1 t =1
ahol
σ: n: t: rt: rátl:
a hozam szórása a vizsgált idıszak hossza (évek, hónapok, stb. száma) az adott idıszak sorszáma a t. idıszak hozama a hozamok átlaga a vizsgált idıszakban
Mintapéldák:
11.
Részvényünket 5 éven át figyeltük, minden évben az osztalékfizetést követıen feljegyeztük az árfolyamokat: Év 0. 1. 2. 3. 4.
Árfolyam [Ft] (S) 200 250 300 260 400
Osztalék [Ft] (D) 24 36 30 10 40
Állapítsuk meg az egyes évek hozamát!
10
Megoldás: Az 1. év hozama:
r=
D1 S1 − S 0 36 250 − 200 + = + = 0,43 = 43 % S0 S0 200 200
Hasonlóan számíthatjuk ki a többi év hozamát is. A hozamokat a következı táblázatban foglaltuk össze: Év 0. 1. 2. 3. 4.
12.
Hozam (r) 43% 32% -10% 69%
Mekkora az elızı feladatban szereplı részvény kockázata? Megoldás: Az átlagos hozam: rátl =
43 + 32 − 10 + 69 = 33,5% 4
A szórás:
σ=
n 1 × ∑ (rt − rátl ) 2 n − 1 t =1
[
1 2 2 2 2 × (43 − 33,5) + (32 − 33,5) + (− 10 − 33,5) + (69 − 33,5) 3 σ = 32,89%
σ=
]
11
PORTFÓLIÓK ÉRTÉKELÉSE Befektetık kockázatukat általában úgy igyekeznek mérsékelni, hogy diverzifikálják a befektetéseiket, azaz többféle eszközbe fektetnek be egyidejőleg, azaz ún. befektetési portfóliót hoznak létre. Az egyes portfóliókat a hozamuk és a szórásuk (kockázatuk) jellemzi. Hatékony portfólió alatt az adott kockázat mellett maximális hozamot biztosító kombinációk összességét értjük.
Mintapélda:
13.
Tekintsük az alábbi kockázatos portfóliókat! Portfólió A B C D E F G H
Várható hozam r [%] 10 12,5 15 16 17 18 18 20
Szórás σ[%] 23 21 25 29 29 32 35 45
a.) Melyek a nem hatékony portfóliók?
25 H
hozam
20
F
E C
15
D
G
B
10
A
5 0 0
10
20
30
40
50
szórás Nem hatékonyak: A, D és a G portfóliók, mert létezik kisebb szórású portfólió mely ugyanakkora, vagy nagyobb hozamot ígér.
12
b.) Melyik a legjobb portfólió, ha a kockázatmentes kamatláb 12%? Az a legjobb, ahol az egységnyi kockázatra jutó többlethozam maximális. A nem hatékony portfóliókat a továbbiakban nincs értelme vizsgálni. Portfólió
B C E F H
Várható többlethozam [%] 12,5-12=0,5 15-12=3 17-12=5 18-12=6 20-12=8
Szórás σ[%]
Többlethozam / σ
21 25 29 32 45
0,024 0,120 0,172 0,188 0,178
A táblázatból kiolvasható, hogy az F a legjobb portfólió.
c.) Mekkora a maximális elérhetı hozam, ha legfeljebb 25% szórást vállalunk és hitelügylet nem lehetséges? Mindössze két hatékony portfólió (B és C) szórása nem nagyobb, mint 25%. Közülük a C ígéri a nagyobb hozamot, 15%-ot.
d.) Mi az optimális stratégia, ha 12% kamatláb mellett kockázatmentes állampapírt vásárolhatunk és továbbra is legfeljebb 25% szórást vállalunk? Mennyi a várható hozam? A feladatot aránypárral oldjuk meg. Abból indulunk ki, hogy az egységnyi kockázatra jutó többlethozamot az F portfólió ígéri, viszont az összes szórás legfeljebb 25% lehet: Szórás = f × 32 + (1 – f) × 0 = 25 ⇒ f = 25 / 32 Az optimális stratégia tehát az, ha pénzünk 25 / 32-ed részét F-be fektetjük és 7 / 32-ed részén pedig kockázatmentes állampapírt vásárolunk. A várható hozamunk: 7 25 × 12 + × 18 = 16,69% 32 32
13
