A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI

A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI

III. sorozat

GÉPESZET 26. KÖTET, 3 - 4. FÜZET

MISKOLC, 1981

HU--ISSN 0324-6728

SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG:

TERPLÁN ZENÓ felelős szerkesztő CZIBERE TIBOR, KOZÁK IMRE, ROMVÁRI PÁL, TAJNAFŐI JÓZSEF

Kiadja a Nehézipari Műszaki Egyetem Kiadásért felelős: Dr. Kozák Imre rektorhelyettes NME Sokszorosító Üzeme Nyomdaszám: KSZ-81-2390 -NME

Miskolc-Egyetemváros, 1981. Engedély száma: M'IˇI`H-III-3183I1976.

Sajtó alá rendezte: Dr. Farkas József egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában

Kézirat szedése: 1981. márc. 15. - 1981. máj. 15. Sokszorosítóba leadva: 1981. aug. 24. Példányszám: 350

Készült IBM-7 2 Elektronikus Composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 8 BI5 ív terjedelemben. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. iizemvezető

NME Közleményei, Miskolc, 111. Sorozat, Gépészet, 26(1 981) kötet, 1 37-1 48.

HAJLÉKONY RUDAK ALAKVÁLTOZÁSÁNAK VIZSGÁLATA SCHOLTZ PÉTER

A gyakorlatban előforduló olyan szerkezeti elemek alakváltozásának vizsgálatához, amelyekben a terhelés okozta elmozdulások nagyok, nem lehet alkalmazni a méretek változatlanságának és az erőhatások függetlenségének az elvét. Az alábbiakban olyan szerkezeti elemek alakváltozásának vizsgálatával foglalkozunk, amelyeknek: terhelés előtti alakja egyenes; hajlítómerevségük -legalább szakaszonként - állandó; a terhelés során rugalmas, síkbeli alakváltozást szenvednek és a rúdvégek egymáshoz közelednek. Mint látni fouk, az elmozdulásokat jellemző egyenletek nem lineárisak, így azo-

Kzı ez-.zz.ı< ıızfáziõvzı tudjuk megoldani.

Á, 1

,_ N

T

az M + “M

-

M

1. A rugalmas szál differenciálegyenlete

R

N U

F

Ű T

Őb

z É>~

- csomó _ C?t x dx 1 _ T Az állandó hajlítómerevségu, g rvı pontjain “erőkkel és erőpárokkal terhelt rúd z I. ábra tetszőleges szakaszát vizsgáljuk. Az elemi _ rúdszakasz egyensúlyi terhelése az 1. ábrán látható. A rúd önsúlyát elhanyagoljuk. A rúdelem kezdőpontján támadó erő- és erőpár-komponensek pozitív értelmét az elemvégi belső erő-komponensek pozitív értelmével ellentétesen vesszük

DR. SCHOLTZ PETER egyetemi adjunktus (it-.pelcmek Tanszék 35 15. Miskolc-Egyetemváros Kózirııt beérkezett: 1980. augusztus 5.

I 37

fel. Az elmozdulások, elfordulások,. erők és nyomaték pozitív értelmét a vizsgálathoz használt derékszögű, jobbsodrású koordináta tengelyek pozitív irányával vesszük azonosnak. A differenciálegyenlet felírásához független változónak az s ívhosszt választjuk, melyről feltételezhetjük, hogy hossza a terhelés során nem változik, mert a rúdnak a hajlitásból adódó elmozdulása jóval nagyobb mint a nyomásból vagy húzásból adódó hosszváltozása

Az elemi rúdszakasz egyensúlya alapján: dM = - Tdx + Ndy

.

(.l)

Az ívelem és a szögelfordulás:

dr

_

3-Í-= cosü ,

(3)

a görbületi sugár (p) és az elemi szögváltozás ill. hajlítónyomaték kapcsolata [l]:

1 de M p“ds"1E`

(4)

A belső erőket eredőjükkel kifejezve: N = - F cosõ b

;

(5)

T = F sin 6,,

,

(6)

,

(7)

valamint bevezetve a

5 = 0 + 6,, F 2 _ _

°” ˇ IE

(8)

összefüggéseket, a nıgalmas szál differenciálegyenlete:

d'B

.

Ã; = _ (I2S1Il,Ű .

(9)

2. A differencülegyenlet megoldása A (9) összefüggést integrálva:

[Ég ]2= 4zz2[~c, - 81112 138

,

(10)

ahol a C1 integrálási állandóról megállapíthatjuk, hogy: - értéke csak pozitív lehet, - maximális értéke ott van, ahol .13 értéke nulla, - ha a nyomaték nulla: C1

= Sin: "B5

,

azaz a rugalmas szálon, vagy meglıosszabbításán in exiós hely van.

Ezeknek megfelelően a vizsgálandó rudat mindig felbonthatjuk olyan szakaszokra amelyeknél: _ a rúd kezdetén (végén) erő, végén (kezdetén) erő és erőpár hat, - a rúd kezdetén és végén azonos nagyságúerő és különböző nagyságú erőpár hat 2.1. A rúd kezdetén (végén) erő, végén (kezdetén) erőés erőpár hat

A rúd kezdetét b, végét j, az in exiós helyet i indexszel jelölve a (4) és (10) összevonásával :

,z =°=“'“”°`1"' `z`l»

(12)

melyből a C1 integrálási állandó _ B C1 =sm2-% a (l 1)-el azonos. Bevezetve a C1=k2; = ksintlı

(0
(13) (14)

összefüggéseket, a (10), (13) és (14) alapján Ép- _ +201: sılı ds _ 'ˇ co

(IS)

ahol a pozitív előjelet akkor kell használni, ha a rúd kezdőpontjában a rugalmas szál görbülete pozitív.

139

A (14) és (15) felhasználásával az elemi ívhossz: ds=:-i

:dúl * 1-kzsinz

(16)

,

melynek irıtegrálja - elsőfajú elliptikus integrálokkal kifejezve S] _ sb

Í

.

(17)

Az ívhossz helykoordinátái a (2), (3), (7) és (16) felhasználásával xi = xb i[BcOsôb + 2k(- cosglıj + cosılıb)sinô,Jla

(13)

yi = yb 1 I- Bsinôb + 2k( - costlıj + costlıb) sinõblla

(19)

ahol B első- és másod-fajú elliptikus integrálok kombinációja:

B = 2[E(w, . ff) - 1=`(~ız, . IO] -[F(~ı«,- . Iz) - Fm, . fel

(20)

Valamely keresztmetszetben a hajlítónyomaték a (4), (7) és (15) összevonásával M = 1 2kaIEcostlı

.

(21)

Mivel az elliptikus irıtegrálok kiszámítására használatos sorok [4] sp szögváltozója csak a

(22)

0
tartományra érvényes, és tlıb, új értéke ettől eltérő lehet, ekkor az elliptikus integrálok periódikus tulajdonságai alapján [4] a ı[ı=n1riı,a

(n=l,2,...)

(23)

transzformációval

F(~l×. k) = 2f1F(k) Í F(< , R) ;

(24)

E(\l'„ ff) = 2HE`(Íf) i E`(~P, k) ;

(25)

valamint előjel szempontjából:

F(- 111. Íf)="F(\l×,Íf) ;

(26)

P-`( _ W. ff) = -E(\l/, R)

(27)

összefüggést alkalmazzuk.

140

2.2. A rúd kezdetén és végén azonos erő, és különböző llagyágú erőpár hat A rúd kezdetét ismét b, végét j indexszel jelölve, a (4) és (10) összevonásával.

[%Š]2 8=Sz, 2 (%)2 = 4a2(C* _ Sin:

'

(23)

melyből a C1 integrálási állandó:

Mb Y

C1=[-2`&"`IE'

Ba

+SÍI12_

(29)

.

2

Bevezetvea 1 C1=;c-5

;

(0
,

izg

(30) (31)

összefüggéseket, a (10), (30) és (31) alapján az elemi ívhossz: kdılı ds_i a \/1 - k2 sm - 2 tl/

(32)

'

melynek integrálja elsőfajú elliptikus integrálokkal kifejezve: k

(33)

Az ívhossz helykoordinátái a (2), (3), (7) és (32) felhasználásával: xl-=xb i[Ccosõb + 2[-

+

+

smõ,,]fzzız ;

(34)

yi =y,, 1 [-csmõb + 2[- + +

zosõb] ızzk,

(35)

ahol C első- és másod-fajú elliptikus integrálok és a modulus kombinációja:

C = 2[E(zız, ,Ie -Em, Jo] - (2 - fõ:) Foz, ,fo - Fm, ,IO

(36)

A tetszés szerinti kereszmetszetben ébredő hajlítónyomaték a (4), (7) és (32) felhasználásával:

M = Í 21E% ~./1 - k2sin2,u .

(37)

3. Alkalmazási példák

A következőkben két - a gyakorlatban előforduló - esetre alkalmazzuk a levezetett összefüggéseket. 3.1. Nyomott, két végén csuklós megfogású rúd A rúd deformált alakját a 2. ábrán láthatjuk. `< -eb-

yı"

í/X 60

F2 2. ábra

Határozzuk meg a 190 szög számítására alkalmas összefüggéseket, ha ismert a rúd terhelés előtti L hossza, és a deformáció utáni xz abszcissza értéke. A rugalmas szál szimmetriájából következik, hogy elegendő a rúd 0 - 1 szakaszát vizsgálnunk. A szakasz kezdőpontjában a görbületi sugár negatív. A terhelési eset a 2.1.ben leírtaknak felel meg, így az ott közölt összefüggéseket az alábbiak felhasználásával alkalmazzuk: 00 :U31 :S0 =y0 :X0 =0.

Az elliptikus integrálok amplitúdója a ( 14) felhasználásával: - a rúd kezdőpontjában tl/0 = Trl2, - a rúd végpontjában pedig simlıı = 0 alapján ıl/1 = 0. 142

A (17)-ből aza tényező 2 1r_ ___2 az-LFÍ2 ,kJ-LF(k), ahol F (k) elsőfajú teljes elliptikus integrál.

Az a kifejezését a (18)-ba helyettesítve és rendezve:

x 1+;

EÜ) _o, 2F(k)

melyből az elliptikus integrálok k modulusa iterációval tetszőleges pontossággal meghatározható. A k modulus ismeretében a kezdőpontbeli érintőszög a (11) alapján:

190 = 2 arc sin k

.

Valamely x abszcisszánál az y ordináta és a 19 érintőszög az alábbiak szerint határoz ható meg. A ( 19) alapján :

k cosılı

J' L 1-`(k) ahol ılı-t a (18) alapján

.

-5275 {2[E(1z) - E(zp, ız)]- Foz) _ F(uz, k)}= O iterációval tudjuk meghatározni, az érintő szög pedig (14) felhasználásával: ı9 = 2 arc sin (k sinılı)

.

Az előbbiekből látható, hogy a rúd deformált alakjához szükséges paramétereket

a rúd keresztmetszeti méretének ismerete nélkül sikerült meghatározni. A számítási eljárás ezen lehetőségét adott esetben a rúdszerkezet méretezésénél tudjuk hasznosítani. 3.2. Négytámaszú rúd A rúd támaszhelyeit és deformált alakját a 3. ábrán láthatjuk. A 0 és 4 helyeken csuklósan megfogott, terheletlen helyzetében L hosszúságú rudat az 1 és 3 helyen úgy támasztjuk alá, hogy a rugalmas szál yı ordinátával rendelkezzen. A súrlódástól eltekintve, ekkor az R, és R3 támasztóerők merőlegesek a rugalmas szál érintőjére. Határozzuk meg a 60, 60 , 191 szögeket, az yz Ordinátát, az R0 és R1 támasztócrőket, az M1 és M2 nyomatékokat kifejező egyenleteket, ha ismert L, y, , xl és x4 értéke. A rúd baloldali végén a görbületi sugár előjele negatív. A nıgalmas szál alakja szimmetrikus, xl = x4 - x3. 143

,l

l v

_

.

ül

yı :..V3 7

"

R,

R=

'90 1Õ

xl

x

xl

X4

x

Ro

RA

3. ábra

Bontsuk fel a rudat a 0-1 és 1-2 szakaszokra ill. az 1 csomópontra (4., 5., 6. ábra). Az l csomópont egyensúlya alapján: Rocosõo +F1 -R1 sinûı = 0 Rıcosúlı -R0 sinôo = 0

;

;

melyekből: F1 =R0 (sinõo tgı91- cosôo)

.

A 0-1 szakaszra vonatkozó összefüggéseket a 2.1. alapján írjuk fel, figyelembe véve, hog/

s0=y0=x0=0

;

F0=R0.

A (14) alapján (U0 = Trl2. Az s1 ívhossz a (17) felhasználásával:

Foz.) - Foz... ,ko S1

_

al

3

ahol k, ct indexe és ll/ második indexe az első szakaszra utal. 144

l

R0

y,

'91

1

X,

x

4. ábra

ül

M,_( F

M,

l

1

f

60

1-

JC,

5. ábra

x

yı

F,_

.vzif

,

NF

M2

19,

l

yıl lMı

„-

l

. 1.

I

xi

QD

JC,

X

6. ábra

Az 1 csomópont koordinátái alapján a (18) és (19) összevonásával: 5 tg

2Xıkı 00S\Üı.r “'J*'ıB 0 _ Bx1+ zyıkı COSŰL1

ahol

,

~

B =2[F(kz)`-Eta... .ml-[F(k.> - F(zız,,, ,zz,)] _ Az M1 hajlítónyomaték az (1), (5), (6) és (21) alapján: M1 = -R0(sinô0x, + cosôoyı) = - 2k1IEa1 cosılım

melyből az R0 támasztóerő: R0

,

,

Ékıcoswhı

]z

.

xı l õg +y1 COSŐQ

Az 1 - 2 szakaszra vonatkozó összefüggéseket a 2.2. alapján írjuk fel, figyelembe véve, hogy ., 51 =1r; -a(7) és (31) alapjan -tb, =1rI2; Az 1 - 2 szakasz ívhossza a (33) felhasználásával: S1 ˇ- S2 = ?]š2“[F(\Ü1,2 8

2

146

,(2)

'

19 + ılım =-*Él

.

Az ívhossz koordinátái a (34) és (35) alapján:

x, z zz, +{2[E(kz> -E(w,,, ,kz)]- (2 - kã)lF0<) - F(w,,, ,kz>]}ı«zrz ; yz = yi + {2[~/É - ~/1 - kš sin* »ız-,,,]ˇ}lıaz kz. Az M2 hajlítónyomaték az (1), (S), (6) és (37) felhasználásával: 0!

Mz =-21E-,Š ×/1-ki =M1+Fzóz -yz) , melyből az elliptikus integrálok kz modulusa: kz Í 2

sirıôotgüı - cosõo kš coS2 ,pm + sim Ű/1,2(sirrõ0 tgı5*1 - cosôo)

É

A felírt összefüggésekből megállapítható, hogy a 60 és 61 szögeket csak iteráció val tudjuk meghatározni. Ezért a megadottnak tekintett adatokon kívül (xl , yı , x,_, 1.) ha felvesszük B0 és B, értékét az iteráció elvégezhető. A felvett B0 és B1 értékek megfelelőek, ha az ls, -% |<e

ésaz

lxz -xl -`x jšë

feltételek egyidejűleg teljesülnek, ahol: E tetszés szerinti piciny pozitív szám, F(«pı,Ífı) + S

2

="'“"_“_"'

ar

k2F(S02>Íf2)

zz,\/ızmõ,,ıgz9, -cosõoı

F(*P1§k1)=F(k)_F(W1,1 ak!)

al

`;"

x ._

2kı 005lÍfı,ı

_

_

J

xı smõo +y1 cosôo

_ 8

Š

2E(*P2 „ kz) “(2 _ kã)F(S02 JC:)

a smõoıga, -008801

E(„p, . kz)-~~!=`(kz) -E(w,_, Jfz) 147

Ha az iteráció során nem tudjuk E értékét kielégíteni, akkor a megadottnak tekintett y 1 értékét vagy x4 értékét csökkenteni ill. L értékét növelni kell, hogy a feladat rugalmasságtani alapon megoldható legyen, különben csak képlékeny alakvaltozas útján lehetne az adott L hosszúságú rudat az adott 0, 1, 3, 4 pontokon elhelyezni.

IRODALOM

1. 2.

PONOMARJ OV, SZ. D.:Szr`Iándságı' számítások a gépészetben. 2 Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1964. ORTEGA, J. M. - RHEINBOLDT, W. C.:1teratı've solution of nonlínear equations in several variables. Academic Press. New York and London. 1970. (Orosz fordítás: MIR. Moszkva. 1975.)

3.

BRONSTEJN, I. N. - SZEMENGYAJEV, K. A.:Matematikai zsebkönyv. Művelt Nép. Bp. 1955.

4.

BYRD, P. F. - FRIEDMAN, M. 0.: Handbook of elliptic integrals for engineers and physicísts. Springer-Verlag. Berlin-Göttingen-Heidelberg. 1954. INVESTIGATION OF DEFORMATION OF FLEXIBLE BARS

W P. SCHOLTZ S um m ary The paper deals with the large deformations of rods when the principle of invariablility of sizes and the independity of forces cannot be applied. The nonlinear equations describing the displacements can be solved by means of elliptic integrals by using an iteration procedure.

BErTRAG zus EERECHNUNG DER VERSCHIEBUNGEN voN BIEGSAMEN STÃBEN von P. SCHOLTZ

Zusammenfassung Die Arbeit beschäftigt sich mit der groíăen Deformationen von Stäben, so das Prinzip der Unveränderlichkeit der Abmessungen und der Unabhängigkeit der Kraftwirkungen nicht angewendet werden kann. Die Lösung der die Verschiebungen beschreibenden nichtlinearen Gleichungen kann mit elliptischen Integralen gegeben werden, welche mit einer Iteration berechnen kann. HCCIIEIIOBAHHE JIEOOPMAHHH FPIBKHX CTEPIICI-IEH l`I. IIIOJˇITII

Pearoıvre Aıarop aaırımaercn öonsmuıun nerpopıualı urr crepııoreit, y Koropbıx Hemzarr ııprrmeıorrız npımırıur o Henasrennocrır paaıuepon K neaaancımocrn crm. Hennr-reinrrzıe ypaanerrna cıvreurennü peuıarorcsr c noıvroursro anımmmıecknx rnırerpanoa c rrpırMeı~rer~rneıvı H'l'6palJ.Hñ.

148

NMA' Közleményei, Miskolc, lll. Sorozat, Gépészet, 2ó(1981) kötet, 149-167.

IIAJLÉKONY KÖTÉLNEK MODELLEZETT KÁBELIPARI SODRAT GYÁRTÁSKÖZBENI EGYENSULYI ALAKJĂNAK VIZSGALATA SCHOLTZ PÉTER

A ká belgyárak jelentős mennyiségű kábelt (sodratot) készítenek vékony - 0,02-0,5 mm zıı ıııóröjű - elemi szálakból. E sodratokat -jó közelítéssel - tökéletesen hajlékonynak tekint Iwıiuk, így gyártásközbeni egyensúlyi alakjukrıak vizsgálatához a hajlékony kötelekre vonatktzm ismereteinket lehet alkalmazni [1]. l. A sodratkészítés elve A sodratkészítés elvét, a kábelgyártásban széles körben használt ún. kettős sodratot vlmlllltó összecsapógépek 1. ábrán látható vázlata alapján ismertetjük. Az elemi szálakat a ll. leadódobokról a 12. vezetőn, az 1 . csőtengelyhez rögzített 3. gm gtikön, a 4. forgórészben elhelyezett 5. sodratvezetőkön, a 2. csőtengelyhez rögzített 6. gm gilkön, a 7. kihúzókeréken és a 8. szálvezetőn keresztül juttatjuk a 9. készánıdobhoz. Az tt-lcnıi szálak végét a készárudobhoz rögzítjük. Az 1. és 2. csőtengelyeknek azonos szögsebességet biztosítva, az elemi szálak az S1 azt S, pontokban összesodródnak, mivel a 10. járom az 1. és 2. csőtengelyekhez képest zıll `I`crmészetesen a 7. kihúzókeréknek a sodratemelkedésnek megfelelö, a 8. szálvezetőnek ıı 1-tutlnıtátmérőnek megfelelö, - a 9. készárudobnak pedig olyan szögsebességet kell biztosíıııııı, hogy a sodrat mindig „feszes” állapotban maradjon a kílıúzókerék és a készárúdob köfull. ılc ne ébredjen a sodratban akkora feszültség, hogy az a sodrat, vagy az elemi szálak zzızıkııdzisát ill. más károsodás:-it okozza.

lılt St 'IIULTZ PÉTER z-ıvvıı-ıııi adjunktus ı .f-|n~lı-ıııek Tanszék 1*- I '» Miskolc-Egyetemváros is ıvıılıl lıcérkczctt: 1979. október 17.

149

FŠ Ö

ü AW EŠ gE 111_

“I _N__v_N A QO

`_& É j vw) ^`.d`i` . ı` pí, .` `__" 1"_

\ -1 `___ 1 .thw ıtw ` 2 0 F w

ı + ÉEB D83

` “kg

_Š Šil ' :_ _ !_;

A 12. leadódobok fékezésével biztosítható, hogy a sodrat - a 3. görgő és az első 5. ıuıilratvezető, valamint két egrmás utáni S. sodratvezető, az utolsó S. sodratvezető és a 6. gorgő között - olyan egyensúlyi alakot vegyen fel, amely a sodrás szempontjából megengedhető (n sodrat nem szakad el, vagy nem „hasasodik” ki annyira, hogy a gép burkolatához érjen). 2. A hajlékony kötél differenciálegyenlete és megoldása A sodrat önsúlyát és a légellenállást elhanyagolva, a sodrat elemi szakaszának terhelése a .' ábrán látható. Az y irányú erők egyensúlya alapján:

I

T+dT

`

F+aF PA f-62.1'

Ar dyzAy

N

Ű

-

ıı

T

T

'

'

.

ı~`

'-\ X

ÁXILÍX

Q

.

..

pac

2. ábra

dT=-pAw2yds .

(l)

Az ,r irányú erők egyensúlyából pedig: N = konst.

(2)

Ar r és y irányú erőket az F kötélerővel kifejezve: T = Fsinı9 ;

(3)

N = Fcosü ;

(4)

vıılıııııint felhasználva a ds=\/l +y'2 ds ;

(S)

k ııpcsolatot, a sodrat eyensúlyi alakjának differenciálegyenlete:

151

« 2

(6)

y”+ ˇÁJ1\7)`J'\/1 +.v”” =0Bevezetve az

y'=P(r) ;

(7)

1 + P” = H' (Y) ;

(8)

pAw2 = 2C ;

(9)

összefüggéseket, a (6) új alakja: ,

2C

u`

(10)

ı

melynek integrálja a sodrat kezdöpontjának paraınétereivel: C'

(11)

““'“ız =ícj;,`,:;(.1fŠ-Y2) A (7), (8) és (1l)felhasználásával és a C Dk = Fk

(12)

bevezetésével:

,= \/'[1+D,,(y§,-y2) F1 y

COSŰÍC

`

(13)

,

melynek irıtegrálja - elsőfajú elliptikus integrálokkal - és a 1+Dkyi““COSŰk

k`\[1+D,,y,'~L+c0se,, '

(oškšll

.__J'__

snılfymax,

ym x

_ _

(14) (15)

l+Dky§-cosôk Dk ,

(16)

összefüggésekkel: x =xk + F(w,Í)í;í'Lpk JC). ltcosük

152

.

(17)

3. A sodratkezdet érintőszögének meghatározása lla ismerjük a sodratkezdet és a sodratvég koordinátáit és Dk értékét, a sodratkezdet dı ıııtöszögét iterációval tudjuk tetszés szerinti pontossággal meghatározni, ha Dk értéke ıııeglelelö. Ha ugyanis w értéke nagy és Fk értéke kicsi, előfordulhat, hogy az iteráció nem f-reclmérıyes, tehát csak kisebb co-val lehet a sodrást elvégezni. Az iterációs számítás elvégzéséhez ismernünk kell ök , ılık és 11/, értelmezési tartományát. 3.1. A ök , ılık és ılıı, paraméterek értelmezési tartománya, ha a sodratkezdet ordinátája kisebb mint a sodratvégé

A sodrat egyensúlyi feltételébô'l következik. hogy a sodratkezdetbez tartozó érintőszög el ıelıııezési tartománya:

0<ı9k<1f.l2 ;

(18)

iz ıtnlnıtkezdethez tartozó elliptikus integrál (tl/k)amp1itúdójának értehnezési tartománya pedig ıı ( l5) alapján - megegyezik 19,, értelmezési tartományával.

A sodratvéghez tartozó elliptikus irıtegrál amplitúdójának értelmezési tartománya attól Inu, hogy az adott xk - x,, intervallumon belül a sodratközépvonal ordinátájának van vagy ıılıırıı ıııaximllma.

A maximum létezésének megállapítására tételezzük fel, hogy a maximális ordináta azonos ıı ıu ıılı ııtvég ordinátájával.

rkkoı ıı (15) alapján: 41,, =1rl2

_ és

. J' ılık =arc smy-k

.

(19)

V

A ıııııxlmális ordinátájú helyen a sodratközépvonal érintőszögének értéke zérus, így a (13)-ból: cosük =1+Dk(y§-y ) .

(20)

A 1 M ), (17) és (20) felhasználásával a maximális ordinátához tartozó abszcissza: xm,x-xk-l-

F k -F ,k ()Dk;wk ) kcosük .

(21)

Az xmax > x„ esetén az xk - x„ tartományon belül a sodratközépvonal ordinátájának ıııın-ıı maximuma, így ılıv értelmezési tartománya:

0<4z,,
(22)

»Hm -. xv esetén pedig az xk - xv tartományon a sodratközépvonal ordinátájának van ıııııxlıııuma, igy:

o
(23) ıss

3.2. A ök , tlık és (1),, paraméterek értelmezési tartománya, ha a sodratkezdet ordinátája nagyobb, mint a sodratvégé A sodrat lehetséges egyensúlyi helyzetéből következik, hogr ebben az esetben minden - címben szereplő - paraméter értelmezési tartománya attól függ, van vagy nines a sodratközépvonal ordinátájának maximuma az adott xk - x,, intervallumban. Az előző pontban ismertetett gondolatmenetet alkalmazva, tételezzük fel, hogy

ymw, =J×z. .

(24)

így a (15) alapján: ılık = Trl2

és

.

J'

ı}ı,,= rr-arc sm J-,Í

-

(25)

Mivel a sodratkezdethez tartozó érintőszög zérus, a végponthoz tartozó abszcissza a (14), (17) és (25) felhasználásával:

x,,,,,,,,= x,,+ Fm 'klˇFw .

(26)

\/Dız(DızJ*?z+2)

Ha az x,, max > x,, , akkor az xk - x,, intervallumban a sodratközépvonal ordinátájának nincs maximuma, tehát: -1Tl2<ı9k<0;

1Tl2<úık<ılı,,
(27)

Ha xı, max < x,,, akkor a sodratközépvonal ordinátájának van maximuma az xk - x, intervallumban, ezért:

o<e,,<„ı2 ;

o
(28)

3.3. A ök, ılık és 1.0,, paraméterek értelmezési tartománya, ha a sodratkezdet és sodratvég ordirıátája azonos A szimmetriából következően a sodratközépvonal ordinátájának maximuma az: x +x

xm, = -Li-'1

(29)

abszcisszánál van, ezért csak az xk - xmax intervallumot vizsgáljuk. A paraméterek értelmezési tartománya: 0 < ök < Trl2 ;

0 < ılık < Trl2 ;

ılımax = TII2 .

(30)

Mivel ymax értékét nem tudjuk megbecsülni, ezért picsiny A191, növekményekkel iteráljuk ők értékét, vagyis a (14)-(17) és (29) felhasználásával az

154

958 “JFK 2

F('°)_F(l'k=^”) Dk ymax

...

ÍCCOSÜIC - 0

feltételt próbáljuk kielégíteni. 4. Az elliptikus integrálok meghatározása Az elliptikus integrálok kiszámítására leggyakrabban végtelen sorokat használunk ll |, [3]. E sorok alkalmazásához azonban az szükséges, hogy az elliptikus integrál amplitúdója 3

0 Š ip Š 1r[2

(32)

intervallumban legyen. Miután a (17) elliptikus integrálok különbségét is tartalmazza, célvi-.ríi az elliptikus integrálokra vonatkozó addiciós összefüggést alkalmazni. lg egyrészt mılonıatikusan teljesül a (32) feltétel abban az esetben is, ha ılıı, vagy (lak és rlıı, értéke egyaránt nagyobb mint Trl2, másrészt csak egy elliptikus integrál sorát kell számítani. A [3] alapján: F(1p:k)=F('éÍpık)_F(\iÍkvk)ı

nlıııl

sozzamtg wsmwv

sm ıiık

smd/k

sm 111,,

(34)

cosılık + cosılıı, 5. A sodrat végpontjálıoz tartozó érintőszög és kötélerő számítása A ( 1.!) alapján a sodratvéghez tartozó érintőszög:

a,=zrztgi:\/Ii

1+Dz.O»}:-y:) cosük " , 2” -1

,

(35)

.ılıol zı pozitív előjelet akkor kell alkalmazni, ha 41,, .> Trl2 . A végponti kötélerő a (2) és (4) felhasználásával: cosôk F, = Fk --ív .

(36)

tı. A sodratkezdet és sodratvég koordiııátájának meghatározása

Az eddigiekben feltételeztük, hogr ismerjük a sodratkezdet és sodratvég koordinátáit. I-. oııııycn belátható azonban, hogr e koordináták maguk is függvényei ök -nak. Igy ha valzıııicly meggondolással felvesszük azok értékeit, s az előzöek szerint 6,, és 6,, értékét meglmızlııızzuk, akkor a felvett koordinátákat korrigálni kell ők és 6,, értékével.Teh_át ök, m9,, azt ii koordináták csak többszöri iterációval határozhatók meg (tetszés szerinti pontossággal).

155

Az 1. ábrán látható, hogy a sodrat az első sodratvezető elött és az utolsó sodratvezető után egy-egy terelögörgővel érintkezik. Ennek megfelelően a koordináták számításához szükséges összefüggéseket külön-külön írjuk fel: a terelőgörgő és az első sodratvezető, két sodratvezető, valamint az utolsó sodratvezető és a terelőgörgő közötti sodratra. A sodratvezetők vázlatát.és geometriai méreteinek jelölését a 3. ábrán láthatjuk. b

R3

R4

I~.

R5

I -_

Kúp 10%

l

,_

Q” pl

_.

R3

1

..\\\\\`Qs R1

A`.

1

ı

= 3. ábra

l-

R2

QŠŠ

`

1,

1

"

=. I

>1

6.1. A sodratkezdet és sodratvég koordináták meghatározása a

terelőgörgő és az első sodratvezető között Az iteráció beindításához a sodratkezdet és sodratvég koordinátáit azonosnak vesszük a terelőgörgő és a sodratvezető egyenes középvonalú sodrattal való közös érintkezési pontjain koordinátáival (4. ábra), a kezdőponthoz tartozó kötélerőt pedig a sodratra megengedhető feszültség alapján határozzuk meg: F1; = Umag/1

.

(37)

A (9), (12) és (37) felhasználásával kapott

Dwz

Dk = T meg

összefüggés technológiai konstansnak tekinthető. 156

(33)

.

.<-zíııf lfıí (Í. 'Í Í

Ds

z~

A

XR ı.ı _

-H

*al 1

_í____.,|, xk, ı

----ı-I l

Rc l

l

J

[sza

l

l Rı

ı

G

ııı

U'

=-.

1

1-i 4 ábra

:Ü

P

=-'Í

A koordináták Számitásához alkalmas összefüggések a 3. és 4. ábra jelöléseivel: xk 2 xG,1 _ (RG + RS) sinűk

;

(39)

yk =yG,ı + (RG + RS)cosı9k

;

(40)

xvıl =xR1,1 -(R1+RS)sinı9k

;

(41)

yv, 1 =yR 1,1 + (R1 + RS) cosük

;

(42)

ahol: YR 1 r _J'E 1

Űr = I°is xR

_yE

1,1

,

,1

SV _

yR1,1 =ys,,,1 -(RW +R1) cosüwıı - T smı9sv,1 ;

_

-

SV

.

xR1,1 "xsv,1 + (Rsv +R1)SmÜsv,1- T c0S'9sv,1 1 bl

'_4G1C1

xE,1 _

zzz,

'

-VE,ı =_e1xE,ı ˇˇfı al = 1+ ef

5

;

bi = 2(xG,ı ˇeıÜ'G,1 +fı)i Š

C. =xä;,, +yë,,, - (RG -R1): +f,(2yG,1 +f,> ; e A xR1,1`ÍxG,ı 1 "ˇ

__

~VRı,ı f

_

9

yG,1

=-e x 1 1 G'1

(RG 'ˇ-R1):

y

~ " VR 1,1 _-VG,ı GA

Az iterációt beindítva és adott pontossággal elvégezve a kapott ök értékével a sodrat kezdet koordinátái a (39) és (40) felhasználásával korrigálhatók. A sodratvég koordinátáinak számítására szolgáló összefüggéseket az 5. ábra alapján írjuk fel, ahol 1' a sodratvezetők sorszámát jelöli (jelen seetben 1' = 1). Mint látható négy 158

ami lehetséges. Mivel a koordináták értéke a sodratvezertõből kifutó sodrat óh értéktõl ıı Iııgg, ezért a számítás kezdetekor abból a feltételbõl indulunk ki, hogy :BM > ök!!

,

(43)

ııııı|ıI, ha ök, 1 értékét ismeıjük és a fenti feltétel nem teljesül, akkor a számítást újra kezdjük 611,1 < '9k,ı I llñlollcl. I mel: '9v,i<Űsv,ı' Š

'9v,ı'<'9k,1

5

(45) SV

_

xvıl' = xsvj '_ (R1 + Rsv)SÍ l9sv,i _' T C08 l9sv,í + (R1

SÍHŰPJ

SV yV,Í =yg];,z' + (R1 +R3v)c0sü3p,i '_' T Sin lssvj _ (R1 +Rs)COSl9v'l

.

* alol:

z,'.->0„,}>0„„,z :

(46) SV

xv,i=xsv-,í“(.R2 +R'6.v)SiIll9sv,i

Cosûsvıí +

+Rs)Si l9v'i

SV yvıi =ysv,í + (R2 + Rsv)cÜsű'sv,í

Sinl9sýJ'__ (R2 +Rs)cÜS6v,Í

1 uni.

.

`

"9sv,í<'9v,ı' Š

Ük,ı'<'9v,í Š

(47)

_ SV xv,z' = xsv,z' + (R1 +Rsv) smüsıgi _ _2_ °°S"9sv,i _(R2 +Rs)SÍn '9v,ı' Š SV _

yw. zysvj -(R, +R_„,)cos ı9_„,,,- - Tsmüsvıi + (R1 +Rs) cosı9,,,, . 4

ınl

'9ız,f<'9v,z`<'98v,z` š

(43)

SV xv,ı' = xsv,ı' + (R2 +Rsv)sin Űsv,ı' 'FT cosûsım' _(R2 +Rs) sin 011,! 3 SV _ _]/vj =ysv,ı~ _ (R2 + Rsv)COSI9sv,ı-

S1 |.9sv,i + (R2 + Rs)COSl.9v'i

.

159

1931,, 1'

` 11%! ?

xk,ı`

1

1

ÉC,„ .„ ;

g,„Ok Á

5. a. ábra xsv,ı'

J

V

I

„ég gr

*yı"" xs'v,ı`

xvj

-*kg

A *-1

JIIÍÍÍI, Qâ “Í

I

Y* ,

üm A

, ...ill1»

Í'

\

ˇ

.

A.:

.,__. wi

`

k

;;'\

R z

D.

ŠÍ

. ,` ,

`

Š

V

`

\

A

5. c. ábra

`.\ :ˇ

JIÍÍIIIII ,_

ˇ

k \ \

x

._

J

'

'ııı

SVJ

:Í

' Iıı »

Z-3

Ã.

`xv,:`

-*ız,z`

~

Í

1

M

A módosított koordinátákkal 19,6),-_] iterációj át ismételten elvégezve, az iteráció megfelelőnek tekinthető, ha a lı9p;j-ı9p,j_1|<e ;

(p=k,i-1, 11,:) ,

(49)

feltétel teljesül, ahol E tetszés szerinti piciny pozitív szám, j pedig az iterációs lépések száma. 6.2. A sodratkezdet és sodratvég koordináták meghatározása két sodratvezető között A kezdeti érintőszög első iterációjához a sodratkezdet és sodratvég koordinátáit azonosnak vesszük a megfelelő sodratvezetők középpontjainak koordinátáival. A sodratkezdethez tartozó

kötélerő a súrlódást (pı) is fıgyelembe véve: Fk,i =Fv,Í Euaf ;

ahol:

°'-i” | '9ız,z""9v,ı`| =

(51)

és 'ak i :_ arc

'

ySV,Í+l *__ ySV,Í

.

xsv,i+l -xwj

A (12), (36) és (50) felhasználásával pedig:

DW

Dız,z`-ı

°°S'9v,z`

em:

cosük ,ı-ı .

°

(DÍW :DÍJ '

(53)

értéke is számítható. Az iterációval kapott ı9kJ- értékkel a (35) alapján ı9„, ,H értéke, majd a sodratvég koordinái a (45)-(49) értelemszerű alkalmazásával számíthatók. A sodratkezdet koordínátáira vonatkozó összefüggéseket az 5. ábra alapján írjuk fel.

1. eset: 19sv'i >

> `L9'v,i

;

SV xkıizxsvıi ""(.R1 +Rsv)SÍI1l9sv,i "' 7

_ COS19'sv,l-

Si ükj

SV yk,ı'=ysv,r' +(R1 +Rsv)°°s'9sv,i _? 5in"9sv,ı` -(R1 +Rs)°0S"9k,i

2. eset: '9sv,ı' <'9k,ı' Š 162

'9v,r'< aki Š

(55)

°

SV Xkıi zxsvıi “'(Rf2 +Rsv) Si ûsvıl + T

CÓSŰSPJ

3ÍÜl9kJ

Ã

SV J'ız,ı=J'„,f +(R2 +R„) °°S19„,z-+ 3"" SÍ '9„,z -(R2 +Rs)°°*'9k.f l Mt'-l.

'9sv,ı' <"9k,r'< "9v,ı' Š

(56) SV

xki =xsv,i

+Rsv) Sinlasvj _' T

COSl9sv'i `_(R1

Sinükıl'

SV _ yw =ysm.-(R, +Rs„) eos ı9„,,-- -Í s1nı9„,,- + (R, +Rs) cosüm : i

wl

'9k,z` <Üv,z` 5

'9k,z`
(57) SV

xkj =xSv,í+(R2 +Rsv) SÍIll9sv,i + T COSl9'sv,i ““(R2

Sl ökıí

;

SV

Yk,z` =J'sv,z`“(R2 +Rsv) °°S'98v,z`+ T SÍ *9sv,z`

(R2 *Rt-) °°S'9ız,i 2

~

A koordináták számítására szolgáló összefüggéseket ha összehasonlítjuk a sodratvégre

.„„„ılz«ıı.ókkal, akkor megállapíthatjuk, hogy azok csak kezdetre ill. végre utaló indexekben E nI.mlım.ııek egymástól. Ilıı ıı (49) feltételt sem a (43) sem a (44) alkalmazásával nem tudjuk kielégíteni, akkor „i „ ıı „lrutvezetőt ki kell hagyni a számításokpól, mivel a sodrat a sodratvezetővel nem f-*ıHılkı*l.|lCl.

0.3. A sodratkezdet és sodratvég koordináták meghatározása uı. utolsó sodratvezető és a terelőgörgő között

A sodratkezdet és sodratvég koordinátáit -*elsõ közelítésben, mint azt a 6.1 .-ben tettük An ıııusııak vesszük a sodratvezető és a terelőgörgő egyenes középvonalú sodrattal való közös ëmıı lmzčsi pontjainak koordinátáival. a 1 õı rı. ábra jelöléseivel: xkın =xR2,„ -(R, +RS) sinı9k,„ ;

(58)

ykın =yR2,„ + (R2 +RS) cosı9k,„ ;

(S9)

xv =xG,2 -(RG +RS) sinı9„ ;

(60)

l63

ge/__'

,âýč \ _`2R2 ÉI _

`P4_

n\y A_ __

_Dg

T \` "l"

_\“vw Ű \ `V p"_J

_ H'

_* `p ,`\Xl

_

___.`l `N _\;NH

4

V \WA =_Nx_^_ Éáä

*H "`1`

I`

“da

1

M

Nâ Í

=___GĂ_

yı, =yG,2 + (RG +R5) 0086,,

;

(öl)

ııluıl: yR2In

k'n

i

zi

;

xR2,n _xE,2

v SV

xR2,n =xsv,n + (Rsv +R2) Sm'9sv,n + -Í

°°5Üsv,n

Š

SV

yR2,n =-Vsv,n _(Rsv +R2) °°s'9sv,n + T 5m'9sv,n b2

-'4a2Č2

xE,2

252 V

_

'

}*5`,z = “'92 X5-,2 -fa

az =1+eŠ

Š

Š

;

Őz :ˇ 2[xG,z “ez Ü'-G,z +f-2)] S C2 :X2-,2 +J'ã;,2 "`(RG _R2)2 +f2(2J'(;,2 +f2)

xgz

- xi:

_

ez _ 3'R2,ıı _yG,2 fa :-3 x

2 G3

-Y

š

,

(RG “R2)2 G3

yR2.n

_

yG,2

A ııodratkezdet ükın iterációja után:xk,„ és ykm az (54)-(S7), 6,, a (35),x„ és y„

,„õ.|ı| zı (n0) és (61) alapján számítható.

T uuzzfogızıás A ıl ismertetett számítási eljárással meghatározhatók a terelőgörgők ill. a sodratvezetőkııé

ıı-„fı ıı ıdııııkoordináták, érirıtöszögek és kötélerők. Igy lehetőségünk nyílik arra, hogy adott h„.„`.ı4ıı,ıııórctek, elenıiszál-jellemzők (átmérő, sűrűség), valamint sodratátmétő esetén meglıır ıawılımıık azt a forgórész-fordulatszámot, amelynél a sodrat nem szakad el, illetve nem ér a ımlı .`.gõ|ı Iııırkolatához, vagy meghatározhatjuk a leadódobok fékezéséhez szükséges nyomalü ılılóltől.

A ıııılrutkoordinátálr, érintõszögek és kötélerők ismeretében lehetőségünk nyílik a for-

gmaıı ııılılrdsági ellenõrzéséhez szükséges azon terheléseket is meghatározni, amelyek a -„zıııı ıml ıı sodratvezetőkön keresztül - hatnak a forgórészre. 165

A leírt számítási eljárást BMG 666 típ. asztali számológépre programoztuk. A programba tennészetesen beépítettük a sodratvezetők középpontjának koordinátáit számító algoritmust [4] is. A számításhoz szükséges adatokat a Diósgyőri Gépgyár Kábelgépszerkesztési Osztálya bocsájtotta rendelkezésünkre a DSÖ 40A típ. összecsapógépre vonatkoztatva. A számítási lépések nagy teıjedelme ill. a tárolandó adatok nagy száma miatt a program szervezéséhez ,,overlay” eljárást kellett alkalmaznunk. A sodratvezetők középpontjainak

helykoordinátáit és elhelyezési szögeit kb. 15 perc, egy fordulatszámhoz tartozó sodratkoordinátákat, kötélerőket, sodratvezető-terheléseket pedig kb. 30 perc alatt szárnította ki a számítógép. Az iteráció pontossága l0`6 , a sodratvezetők száma pedig 7 db volt. IRODALOM

1. BAJCSAY P. - FAZEKAS G.: Műszaki Matematikai Gyakorlatok, B. VII. Közönséges Differenciálegyenletek. II. rész. Tankönyvkiadó, Bp. 1973. 2. I`PAJ1IIITEHH.Pl. C. - PPl)I(P[I(, Pl. M.. Taõıııalm ıurrerpanon cyruıvı, pxnon K npoıraaeııeurnı. Hayıca. Mocxıaa, 1970. 3. BYRD, P. F. - FRIEDMANN,M. D.: Handbook of elliptic integrals for engineers and physicists. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg-London-New York. 1954. 4. SCHOLTZ P.: Halékony rudak alakváltozásának vizsgálata. NME KŐZÍHMČHYBÍ, MiSk0lC„ GČPČSZEÍ, 26 (l98l),N0. 3. 137-148.

ANALYSIS OF THE SHAPE OF A STRAND AS A FLEXIBLE ROPE BEING IN EQUILIBRIUM POSITION DURING THE MANUFACTURING

by P. SCHOLTZ S u m m ary In the cable manufacturing a great deal of strands are produced from wires of diameter 0,02-0,5 mm. Since a strand can be assumed to be almost completely flexible, the theory of flexible rope can be applied for the analysis of strands being in equilibrium position during the manufacture. From the equilibrium equation relating to the elemental length, a norılinear differentíal equation of second order is derived which can be solved by means of elliptic integrals using an iteration procedure. By using a further iteration the metl may be applied to the bunching machines.

DIE UNTERSUCHUNG DER GLEICHGEWICHTSFORM DER KABELTECHNISCHEN RUNDE MIT DEM BIEGSAMEN SEILMODELL

von

i |

ı

P. SCHOLTZ Zu sam menfassung Man macht in der Kabelherstellung viele Runden aus elementaren Fäden mit dem 0,02-0,5 mm

Durchmesser. Diese Runden können mit einer guten Näherung ideal biegsam berücksichtigen, so man kann unter der Herstellung zur Untersuchung ihres Gleichgewichtszustand die Theorie biegsamen Seile vetwendt 166

Mıııı kıımı auf Grund der Glelchgewlchtsgleichungen eine nlchtlineare Dlfferentlalglelchung zweltnıı I mıılaı ıılılelten und diese mit Hilfe von glliptigçhaıı lntegralen iteratlv lösen.

lila Methode kann auf den Kabelschlegmasehinen mit Hilfe einer. weiteren-Iteration verwendet wı

HCCIIELIOBAI-[HE COCTOHHHH PABHOBECHH B XOIIE HPOHÍJBOIICTBA CBHBKH KABEJIH, M01IE.`l`lHPOBAHH0l"0 FHBKHM KAHATOM

II. lIl0JTI`ll Peaıome ll ıı|ıon:ıaoncTse Kaõeneii rıaroTaamreaeTca õonaınoe Kommecreo ı
Me-ron ıuoaıoıo rrprmemmz K rınTuaı
167

van. A' tıztvrndnyet, Miskolc, IH. Sorozat, Gépészet, 26(1981) kötet, 169-1 75.

A DOTT TÉRGÖRBÉRE ILLESZKEDŐ CSAVARFELÜLETET BURKOL0 FORGÁSFELÜLET ALÁMETSZÉSÉNEK VIZSGÁLATA* BANCSIK ZSOLT

r 'aııvarfelületet megmunkáló alakos szerszám tervezése - ha a szerszámfelület

ı.„ ılııl eliilet - gyakran vezet a következö feladatra: adott egy térgörbe a kétszer I*-lv ıuııusıııı differenciálható, rx = rg(t)

„zh ızıı ıkıılár függvénynek, valamint első és második deriváltjának a t,- (i = 1, 2, _ . . , n)

,zzzı .ııııeıurértékekhez tartozó diszkrét értékeivel a Es térrendszerben, amely a E0 térrendwı .- ., tengelye körül adott p paraméteñ csavarmozgást végez, továbbá a burkoló forgásı„ııı|«~ı tengelyének kezdőpontja és iránya a 20 térrendszerben felírt P0 hely - és v0 (lvol

ı ı ıı zıııyvektorral; meghatározandó a forgásfelület proflja diszkrét elemeivel és ellenõr„eıııifi ıımıı lép-e fel alámetszés.

Az. Fm csavarfelület a kész murıkadarab anyagát határolja, az Fs forgásfelület pedig „ri zı ıõııčszt, amelyben - csak a szerszám tengely körüli forgását tekintve, az elõtolómoz-

gin irıkııpcsolva - a szerszám anyagi pontjai elfordulnak. Az alámetszés (interferencia) azt |eı.=„ıı. hogy egy K karakterisztikus pont tetszőlegesen szűk kömyezetében a két térrésznek I-„An belső pontja van (1.-ábra).

*ı ıınıııgmıt „Egy készülő szerszámgeometriai tervezőrendszerről” címmel a Borsodi Mű szaki Hetek Leııil wıı. i980. május 23-án.

illt llAN(`SlK ZSOLT elt-ııteıııl adjunktus

A hı ıtııılrı (ieometriai Tanszék

ıw I 'E Miskolc-Egyetemváros ti fzııını Iwérkezettz 1980. szeptember 4. |(ı9

.Z-::'_.:'.:E5.....-z.E....:::

F

1-' ..'. ... .

Z-1*'

.-. 'B'

_-P: ,'«::.„..._..-Ú.

`- .. .:'z-Z'~ “

K/ F

š

//K nincs alámetszés

// határeset

/Á

/sv

: // alámetszés

lt..

'Í Á'

I. ábra

Az ismertetendő eljárás, amely diszkrét pontokban a normálgörbületek összehasonlításán alapul, egy szerszámtervező programban nyert alkalmazást. A 2g térrendszer p paraméterű csavarmozgását a E0 térrendszer zo tengelye körül az elfordulás ıp szögének függvényeivel az

Mogúp) =

cosqo

- sinıp

Siıw

cow

OO

OO

Or-00

OO I-'!3

transzformációs mátrix írja le. Az Fm csavarfelület egyenlete E0 -ban

ro =f0(«.0; 2*) =M„g(
mz, - 22° × ÍLZ - (.M„.<~»>f)×(M.,e>f.lz (ahol a vezérgörbe irányítása olyan, hogy mg a munkadarab anyagából kifelé mutat). Mivel az érintkező felületek normálisai egybeesnek és a forgásfelület felületi normálisai a tengellyel komplanárisak, a két felület érintkezésének feltétele a megfelelő vegyesszorzat eltűnése (2. ábra): (fo _ Po) mo Vo = 0-

(1)

Fentiek alapján egy i(i = 1, 2, . . . , rı) szerinti számítási ciklusban a rögzített t,- értékek P mellett zp-re nézve egyismeretlenes (1) egyenlet megoldható, illetve ha az egyenletnek több meg? oldása van, egyéb feltételeket (kezdőérték, folytonosság, a lehetséges megoldások intervailuma) gyelembe véve a megfelelő megoldás kiválasztható. A mozgásparaméter 90,- értékének ismeretében a K karakterisztikus pont helyvektora fo = l'0(tPi,

l7Ü

8

Ü

Ze

\

Öfo

Í

ôro

-5-

)\p Fm

z

7'

`\

Ü

ro

„z., yo -

i 2. ábra

r Z l... „.ı..ı.«|lıız~ı proñlpontjának a tengelyhez viszonyított koordinátái fr

(rtl

_ pO)v0

“z

“fo `_Po)×V0i

. ,.„.tıt aıııımieııck a tengellyel bezárt szöge zı

.

In

V

arc sm -*L9-Q

Im., I

f -iıtiiaiıı | Il

ı„„ı„~ı.~s_ | .I |. [3] hogy ha két felület egymást egy k görbe mentén érinti, akkor 0 z z „zı .z « .law-.~l A' pontjában a felületek Dupin-féle indikatrixainak a görbét érintő közös z ft - eııııek végpontjaiban közös érintője van (3. ábra). Ennek alapján a két felületen

Q „sie at ııımgevel meghatározott normálgörbületek egyenlők. Jelölje k érintőjének az -H.-én iz t ,H ielııletek főgörbületi irányaival bezárt szögét gom illetve Aps, akkor Euler tétele Q I iii

„ ım ms' ` 'pm + K 2m sin* *pm = K ıs eos* ips + K zs sin* gos

(2)

L aı »z W r- „„ illetve K ls, K2, azFm illetve Fs felületek főgörbületeit jelöli). Továbbá. zı az ımtık zıt ı txıık közös átmérőjének a végpontjaiban az érintők egybeesnek, a (2) egyen 1 ze.. a.~eA~|z|(ı gmlıületek deriváltjai is megegyeznek, azaz .'mız,p„, sin«pm(- Kım + Kzm) = 2cos :ps singos( - K1, + un) .

(3)

17|

6 , -í

3. ábra

Az indikátrixok közös átmérőjével konjugált irányhoz tartozó normálgörbületek nagysági relációja ismeretlen: ~ 2 ' 2 Klm sm (pm +K2m cos2 rpm §ı
.

(4)

. Legyen ez 0-tól különböző, egyébként tetszőleges szög. A (2), (3) egyerıleteknek, illetve a (4) egyenlőtlenségnek rendre a cos2a, sina cosa illetve sinzcr értékekkel képzett lineáris kombinációja a (4) egyenlőtlenséggel megegyező értelmű egyenlőtlenséget ad az indikatrixok közös átmérőjével az szöget bezáró irányhoz tartozó normálgörbületek között: Kım cosz (rpm + or) + Kzm sin2(rpm + or) ë K,„cos2 (zps + a) + +K2s5Í112 (S03 'i' 0*)

-

(5)

Tehát a közös normálsíkkal meghatározott normálgörbületek között a (4) egyenlőtlenséggel megegyező értelmű egyerılőtlenség áll fenn valamennyi, az indikátrixok közös átmérőjét nem tartalmazó normálsík esetén, s így elegendő egyetlen esetet vizsgálni. A forgásfelület K ponton átmenő paralelkörét a K pontban érintő N normálsík által a csavarfelületből kimetszett c normálmetszet érintője a K pontban a paralelkör érintőjével

megegyező eo = (ro - p„)× vo

172

z ı .ıtrmi A ıımmtilgörbület számításához szükséges t' és

deriváltak az

° Zo 1

/.

zo

.

zs

\

4 ılhftl

Í,

.ti

Í,

V

.

-,I

Í

ı

Í +

..„ı.ıı.-ıı az zı rıııvrırfelület Gauss-féle főmennyiségei:

,

F=ia3a,

ri!

zl* ro

ı

Öt

mo

,,~--,

M_

Ö(0

ôzro

-

G=(3_a]”, Öıp

mo

,

N-

özro

2

mo

1-zzızaı „,-, , r, eıtekek mellett meghatározhatók és ebből a normálgörbület

W I) "O

i

"' Í

téli?

Lz`*+2Mrˇ„„5+Nzp2 Š

7.

..

.

E +2m„+Gä

eõëıııltiııtió.

s tr-ıgnıtelııletre vonatkozó Ko normálgörbület a K ponton átmenő paralelkör is ...tanárt ıı Meusııier-tétel alkalmazásával számítható. A paralelkör főnormálisárıak -III; ai

173

aäan-m~n , sugara xo, ebből a közös felületi normálisra vonatkoztatott előjeles normálgörbület a

K (80-; 1-) ._ S

II

no mo

1

inoiimoi

xs

.

A görbületek ismeretében eldönthető az alámetszés kérdése: nincs alámetszés ha K m < Ko, határeset áll fenn ha Km = Ko és alámetszés van, ha Km > Ko (1. ábra). Ha a csavarfelületet meghatározó ro (t) második deriváltja már szakadásos (például a görbe érintkező körívekből, szakaszokból áll.), a csatlakozási pontban az alámetszésvizsgálat mindkét ív szerint elvégzendő. Nem hajtható végre az eljárás ha mo = 0, eo = 0 vagy xo = 0, ezek az esetek egyéb, gyakorlati szempontok miatt is kerülendők. Előfordulhat azonban, hogy a paralelkör érinti a karakterisztikus görbét (or = 0), amiből a számított normálgörbületek megegyezése következik. A forgásfelület proñlján ez a jelenség csúcspontot eredményez, ezért a fenti következtetés erre az esetre is érvényes. Mivel a p paramétem csavarás az Fm csavarfelületet önmagában mozgatja el, az alámetszésvizsgálat eredménye a vizsgált K pont által leirt csavarvonal egészére vonatkozik. IRODALOM

1. 2. 3.

BANCSIK ZS.: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgásfelület számítására NME Közleményei IV. sorozat, Természettudományok, 22. (1976), 167-179. KRUPPA E.: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, Wien, 1957. DRAHOSI.:/1 forgácsoló szerszámok gyártásgeometriájának alapjai. A BME Továbbképző Intézetének kiadványa, Ng. 35. Budapest, Tankönyvkiadó, 1974.

ANALYSIS OF THE UNDERCUT OF SURFACE OF REVOLUTION ENVELOPING A HELICAL SURFACE FIITING ON A GIVEN SPACE CURVE

by zs. BANCSIK Summary One of the partial troublesome tasks of shaped tool design is the analysis of the undercut. The method, described in this paper, can be used if the work piece surface is a helical one and the tool surface is that of revolution. The method is based on the çompaı-ison of the normal curvatures determined in discrete points of the surfaces.

174

UN l`liI{.'~ı`»l l(`IlUNG DES UNTERSCHNEIDENS EINER UMDREHUNGSFLÃCHE, DIE I:.`lNl'Z SCHRAUBENFLÃCHE UMHÜLLT, WELCHE SICH EINER GEGEBENEN RAUMKURVE ANPASST V011

ZS. BANCSIK

Zusammenfassuııg Hıv l lıı lerschneidenuntersuchung ist eine mühsame Teilaufgabe der Planung der gemustcrten Work ıu z ıu zlı ı S ı ml ie zur Kenntnis gebrachten Verfahren ist in dem Fall anzuwenden , wenn die Ober láclıe dm A .ıı zzııı. k ı vlne Schraubenfläche, und die Oberfläche des Werkzeugs eine Umdrehungsfläche ist. I)ıııı ~ „ıı „ııı un lıerulıt sich an Vergleich der in der diskreten Punkten der Ober ächen bestimmten NorııuılI ıiımıııillll ll.

ılı HI!-'.Jl()BAHHE l`l01IPE3A IIOBEPXHOCTH BPAIIIEHHH, OFPIBAIOIIIEH BH!-ITOBYIO IN llll'Zl'XHOCTb, HHHHIIEHTHYIO K HAHHOÜ HPOCTPAHCTBEHHOH KPHBOH

)K. BAHÍII/IK Peaıoıue

ılz ı ıwmıııaune nonpeaa, Oınıa Ha saııau npoeıı
l75

NM!! Közlı.-rnényei, Miskolc, IH. Sorozat, Gépészet, 2ó(198!) kötet, 177 189.

LEGÖMBÖLYÍTÉSSEL NYERT ÁTMENETI FELÜLET A FORGÁSFELÜLETEK ÁTHATÁSI VONALA MENTÉN* GUNDA MIHÁLY - TAKÁCSI NAGY ANDRÁSNÉ Korábbi tanulmányainkban már foglalkoztunk a felületek áthatási vonalának legöınf I.. ılyllésével. Most ezt a kérdést folytatva vizsgáljuk és szerkesztjük meg további, a műzızııkl ıiv ııkorlat szempontjából fontos forgásfelületek áthatási vonalainak legömbölyítését. Forgásfelületek áthatási vonalának legömbölyítése _ Két forgásfelület csatlakozásánál - áthatásánál, - a felületek általában metszik egy mtlııı Az Igy keletkező él letompítására olyan átmeneti csőfelületet iktatunk közbe, amely mindkét lvlıılelhez érintkezően csatlakozik. Igy a legömbölyítendő áthatási vonal környékét egy csőIvlıılcltel helyettesítjük, amelyet egy 0 középpontú, r sugarú, G gömbfelület alakít ki, ha 0

hıııóppontja a felületek r távolságban levő párhuzamos felületeinek áthatási vonalán - metınlııvmıalán - halad.

A következő esetekben az ábra egyik oldalán összehasonlítás céljából a felületek éles zıılııııúsi vonalát is bemutatjuk.

° A mııulmány az Erdészeti és Faipari Egyetem Ábrázoló-geometria Tanszéke és a Nehézipari Mű szaki I gvvlvın Ábrázol ó-geometriai Tanszéke közötti együttműködés keretében készült.

ııııv (;ııNDA MIHÁLY

DR. TAKÁCSI NAGY ANDRÁSNE

ı„ııu.(~kvczető egyetemi tanár

egyetemi adjunktus

I ızlf~.-m~.ll és Faipari Egyetem Alııaı.ıı|ó«gcoınetriai Tanszék

Erdészeti és Faipari Egyetem Ábrázoló-geometriai Tanszék

'ıııpltlll

Süp l

luulıaı lıcérkczcll: 1980. dfrmıbar IS ffrı.

I77

FııllH _l l_l_il| _ ıIlıw :lo N/'\ _300/ F__'/

\tl/?Fj

/ \ \\ N\ 3T|/\|_i_

_|_iq _lE_h|_E„_+lEı__Mi ı|lM:\ |l_Iı_\ l|_û/_ 1„I

\`ý \\TYíx \_\ıwıy/,Ű

\LE _ Í X/ j_ \ í _m 3___,_ NW

// F1 F2 .Í __

HELY\m\ı _4_p_I __, fo

& I I

\ __ 1 el\_ G, _ __

mup If G' llııl

\

\

/

A: I dhrdn a vízszintes tl tengelyű,Fl általános forgásfelület (hordófelület) és a tzıllg legeı rl tengelyű,rl sugarú F, forgáshenger áthatási vonalának legömbölyitését aaıheuıeıttlk meg. Az Fl forgásfelületnek és az Fl forgáshengernek közös szimmetrlazıtızı van és ıı tengelyeik M pontban merőlegesen meszik egymást. Az ıtlırıı egyik oldalán az összehasonlítás céljából bemutatott c éles áthatási vonal „zallııeıkoıztésére olyan segédgömböket választottuk, amelyek M középpontja a tengeÍı elı ıııolučsptıntja.

Az !='l és Fl forgásfelületeket érintve mozog az átmeneti csőfelületet alkotó 0 középll-„zı ıı ı ıııgıırú G gömb. Az 0 gömbközéppont az Fl forgásfelület r távolságban levõ párı„„ ann ıı Im`gıist`elületének, Fi -nek (tengelye tl) és az F, hengerfelület r távolságban levő lllızlnıı zııııos lıengerfelületének,Fi-nek (tengelye tl , rádiusza rl +r) metszésvonalán halad. A .~ ztılnıtási vonalhoz hasonlóan itt is a segédgömbök módszerével szerkesztjük meg a lzııfzlııleı ktlzépvonalát alkotó 0 gömbközéppontokat. melyek serege a g áthatási vonalat udjıı. a --lıfnlg ııılıtik középpontja a tengelyekM metszéspontja. Az ııııııeneti cűfelület és az Fl forgásfelület el érintési vonalának valamennyi El poııtjıı õ 1. lwnılı ııılııden helyzetében az 0 ponton átmenő nl forgásfelületi normálison van. Az 0 ı zzlalzlaıııııııık és az nl normálisnak főmeridián helyzetbe való forgatásakor (00 és nlll ) az i _ znınml pont közvetlenül adódik (E'lll). Az átmeneti csőfelületnek az Fl forgásfelülettel »..ı„ el õııııtóvonalát az El érintési pontok összessége alkotja. Ilaızıııló az eljárás az átmeneti csőfelület és az F, hengerfelület el érintési vonalának „„»llı~:õıkvıı.lésénél is. Az 0 középpont és az Ez érintési pont az F, henger nl felületi norınıt nzzın van ıı tl' gömb minden helyzetében, és tl-től való távolsága rl + r, illetve r, . Parallel-l`uı= llızzıı lıızlyzetben közvetlenül adódik az nl (nol) normálisnak F2 -vel való döféspontja. az El ll ... ıaı ııılési pont. Az El érintési pontsereg alkotja el-t. A Ivgtnııbölyítést a két érintési vonal, el és el közötti csőfelületsáv képezi. A .'. fllırdn a vízszintes tengelyű Fl általános forgásfelület (hordófelület) és a függőleges ı...g„lvıı F, forgáskúpfelület áthatásivonalának legömbölyitését szerkesztettük meg. A koznıı -,aıznıııeıı lınıíkkal rendelkező Fl forgásfelület és F2 kúpfelület tengelyeiM pontban merõlegeıı „„zmtlı egymást.

A: ıılını egyik oldalán ismét a c éles áthatási vonal 1, 2, 3 pontjait segédgömbös eljárás.zzı „eılwıztettük meg. A segédgömbök középpontja M. A legüınbölyítés biztosításánál az r sugarú G gömb 0 középpontja az Fl forgásfelület az z„ I , k ııpfelület r távolságban levő párhuzamos felületeinek,az FÍ forgásfelületnek és az t . hnlılnlııletııek g áthatási vonalán halad. A c áthatásiıvonalhoz hasonlóan segédgömbös elıaz ami ıımkesztettük meg a g áthatási vonalat alkotó 0 gömbközéppontokat. A: elözőlıöz hasonlóan az Fl forgásfelület és az átmeneti csőfelület el érintési vonalú„zzt vahııııeııııyi El pontja a G gömb minden helyzetében az 0 középponton átmenő nl forQmulııleıl normálison van. A megfelelő nl normálisok az adott Fl forgásfelüle tet a megfelelő .iz , jmnltıklııııı döfik.

A: ıı l kúpfelületi normálison van az 0 középpont és az Ez érintési pont a G gömb mlnde ıtzılzıeıõlınıı. Az 0 középpont és az nl kúpfelületi normális főmeridián-helyzetbe forgatá179

m

__-fý

\ı< F,,

F_.

I

O

\

/

3

Í:

.

\

E;

Z

1? ....O

ˇ

2

03

"Q-2

.L

O

E2

1%-ı-w .

el

'

2

T

0 _

O 2

\

3

-{\

'°

ol

u

Í.

O

*;“

„El

Íšx/ _______,. -rf

°F3.

l ll -_-""'.\

_'1'1

Í

e/

/

" " `s`
ý fia'

û 31

ı

ı

?_F\\

\\\\ 1»,3

i, .

\

0: \ "`

I

_l:Í...'-.Í

.l

\\\

|

2. ábra

sakor (00 és nlll) l megkapjuk az El érintési pont Eol képét. Az adott Fl kúpfelületet a megfelelő nl kúpnormálisok az így megszerkesztett El pontokban döfik. Az átmeneti csőfelületnek az Fl forgáskúpfelülettel való el érirıtövonalát az El pontok összessége alkotja. Az áll-más legömbölyitését az el és el érintési vonal közötti csőfelületsáv biztosítja

180

\"`*` \ÓJ

'I „ri l .

R

\ 0;-*___`

\0. / /

Ül

;

),

3

J

` z-/7aÍz/-ág \\

_ \Á \

-ııı..

Í rı. ı

Í

g

\

_Í f

F,

fsÍ

O

Az

iı

210 Í

F* ı

...sl

Í

§\Ã

0 vı*

/1.

O

Í.___. . L..

Il

„tp/

Í

ı

. Ez 0

ez

Š

bl

E

ı O

"

E5

4

4'rı~'

§

Š>-
1

J 0-' °

/

\

'F ıı

\

\\

\

M\\ //zh

\

\\

\

\

\

\

\

S

'/

M .

\ \`-A

.Ji

H í

í 41-

3. ábra

A 3. ábrán egy domború kazánfenék hengeres csonkának az áthatását valósítottuk meg ıtınıı átmenettel. Az Fl és Fl forgásfelületek közös szimmetria-síkban vannak és ten galvetk ferdeszögben metszik egymást. A legömbölyítés szerkesztésének menete azonos az I .ıhm esetében már ismertetett szerkesztéssel.

llll

\ ..

=-

,.

I

.z\

-

.Li

,o\

“` së \\. '°"\ 03 *_.\.EŠ\
gr

Í-L.

O

u

_, _. E2,//

â Q _` . lét... '/

` _-

É .Q er sr

05ik/

fnEH

`Ă`

'lvıı

û

"Í.\.| 01'-

ässv

zn sl"

\*WnfalV5ib\.(:`;f1ëtt_":.2» ;_f.V-___._

Közös szimmetriasíkú, metsződő tengelyű forgádcúpok iltlıatási vonalának legömbölyítése A -I. ábrán látható a tl tengelyű Fl forgáskúp és a tl tengelyű Fl forgáskúp éles :itıizıttııı vonala nak legömbölyítése. Az Fl és Fl forgáskúpok a tl és tl által meghatározott lmmı iuiııımetriasíkkal rendelkeznek. Tengelyeik az M pontban metszik egymást. A lcgömbölyítés biztosításánál az r sugarú G gömb 0 középpontja az Fl forgáskúp és zo l~ l toıgáskúp r távolságban levő párhuzamos felületeinek, az Ff forgáskúpnak és az Fl iz-rgnık ıipııuk g és g' áthatási vonalán halad. A függőleges tl tengelyű Fl' forgáskúpot teljeazn iıtlıııtlaı a tl tengelyű Fl `forgáskúp`felület. Ag,g* áthatási vonal egy negyedrendű térgtirbe ér z. t-mos sziınmetriasílcon levő kettős vetület hiperbola. A segédgömbök módszerét alkalmazzuk a g, g” áthatási vonalat alkotó 0 gömbközéppon ezt ıııı~gsı.eı`kcsztésére. A segédgömbök középpontja M. A I-'l illetve Fl forgáskúpfelület és az átmeneti csőfelület el, illetve el érirıtési vonaláazltz viıliııncnnyi El , illetve El pontja a G gömb minden helyzetében az 0 középponton átmcııtl -~. illetve nl kúpfelületi normálison van. A megfelelő nl, illetve nl kúpnormálisok az Fl . illet~e f i lt tıplclületet a megfelelő El , illetve El pontokban dö k. Az 0 középpont és az nl , illetve --, l-nlılvlııleti normális kontúrhelyzetbe való forgatásával kapjuk meg az El , illetve El érintési l---ııttılt I-.'l,l . illetve Eol képét. Az inlott Fl és Fl forgáskúpok áthatásánál a sima átmenetet az el és el érintési vonal iz . „ nt tı i s(il`clületsáv biztosítja. A z 5. ábrán a kúpos csőñ kúpos edény esetében látható a ferdén metsződő tengelyű F, és F l nnllitılz npok áthatási vonalának a legömbölyítése. A szerkesztés menetét nem részletezzilk. ...Hi .ıınııos a 4. ábra esetében már ismertetett eljárással. lttlrgytírűfelület áthatási vonalának legömbölyítése A rı. ábrán mutatjuk be az íves csőelágazás legömbölyítési szerkesztését. A csőelágazás llennwıı mi ıılapformái az Fl körgyűrűfelület (tengelye tl, középköre sl, a meridiánkörének zzilllıızı il )és az Fl körgyűrűfelület (tengelye tl , középköre sl , meridiánkörének sugara rl ). if I , zu If, körgyűrűfelületek a középkörei a közös szimmetriasíkban vannak. Az ıillızıtási vonal legömbölyítése céljából az 0 középpontú r sugarú G gömb úgy mozog, tzzilll .ıı I-'l és Fl körgyűrűfelületeket érinti. A G gömb 0 középpontja az Fl körgyürűfeltilet - tat-„I-„tglnııı levő párhuzamos felületének F1-nek,(tengelye tl , középköre sl, meridiánkörének -zgzniı zl I r) és az Fl körgyűrűfelület r távolságban levő párhuzamos felületének, Fl'-nek (tençli ff r, , ltnzépköre sl , meridiánkörének sugara rl + r) g metszésvonalán haladva képezi ki nz -itmıitlıill t`!lŰÍ.0lÜlCÍ6Í.

fitigéıls cos eljárással szerkesztjük meg a csőfelület középvonalát, illetve a g áthatási z-lnaliıı alkoto () gömbközéppontokat. A segédsíkok párhuzamosak a közös szimmetriasíkkııl. A r ıtllıılnk kimetszett párhuzamos körök ábrázolásához az Fl' körgyűrű és az Fl körgyűrű ezt egy ıııcridizinkörét a közös szirnmetriasíkba forgatjuk. Az l«`l , illetve Fl körgyűríifelület nl , illetve nl felületi normálisán van a G gömb ıniıızlzšn lwlvıclélıcıı az O középpont és El , illetve El érintési pont. Az sl középkörtől IH3

~.

el?

\i;Í\°= / Í,

/__ __\ _: í

0:.

// .

4'

."" Q

E...

< 01

"

l

-I

*'ij:,l>{ E*

TE” \ -.

.<..... \ " go.: 3

'Š

EU!

“ \. 8.

Š

8.

íolš-*E4z\

/ / °a`~`\./ )"-. Z

\/zi

M

_v.

'

.

\`

A \Í

\ . X\\\\ zl! .- \.EŠ 03

/.la /.//

és

/ ///

\

l

/

E? .".\_ * ˇ

\

\

/

\ \/ /

la

_

/E:

\/

I-

5. ábra

való távolsága 0-nak rl + r, illetve El -nek rl . Az sl középkörtől való távolsága 0-nak rl + r, illetve El -nek rl. Az F1 illetve El körgyűrűfelület meridiánkörének szimmetrias cba forgatott helyzetében az nl (nlll ), illetve nl (nlll) felületi normálisnak az Fl , illetve Fl körgyűrűfelülettel való döféspontja - az El (Eol ), illetve El (Elll) érirıtési pont - közvetlenül adódik. Az El , 184

l .saı:\ \`

-" gt

\0 3 0

\ O*

U

IO s O

/ez

-__

Í:

.-×"'

'. ~5 E.MĂrE,:,l{._`**:“

/ /\~.”-._\ \ |

._ ._ \ \

ı

/

\

\'

\

////l

\\\\

ı

"

/8-

\\ \ \\

\\` \\ \\\s2\\\

F;

F2

-„ . .

/s"s

°

'FIA A

'

L

\

X

Q/\

L

\e.\\E;"`<.

'I `

A363-`-` //Š,///Í .X //// \ /

/ íóý/ ./ \ ez× //////

I/

{.~

.

ı ı

ı

ı

0

ı

\ ///// .I

”/“

í.

°"/ /03. "

/li'

~'\\.

l

/ *gt

\

J zl

ı

_-I-ıı-Í;- _--_

F,

/// -

_'

Š /

M

\\ \\\\\` \\\\\\

"'

0/

6 ábra

ll'l'Š

'L

.ıı-""

`“`

/

/

/

/

,z

O

E

-

m

" 18;

//

/'ll

IÍ

N/

:

f\i`__

ııı

_.f"'

3

I

Z

ı -~`

l lš

l I Š\\l ,

\\\\“""/ \

\

\<

N E

ˇ\,>.

f_._.-/_? . ._.

'13 ' I

I

-.L0

'fÍız`.°:_

l

I ı5\`_Í. „ 1-'

'

_

Q;

-I.

/V

,Ă «\ ı \,z,\

l `\ \\\ \\ \\ _

//

\\ \\ \ \\\

z \\

\\

\\ \\`\

\\

iz

\\\. \\ \\\

ll.

7. ábra

\\\§ \\ -r.§

\

\\

\\| \l I'

\\/Í

4-. .L /

\ " \í

"-__ /K.

Sa 'ˇ-Š§\ \

Y / h

69

e° \

\

/,.__/a-~/ (\û

(.0\

'-4

ilıifıve I-.' l érintési pontok összessége alkotja el -et, illetve el -t, az átmeneti csőfelületnek al t- l _ illetve Fl körgyűrűfelülettel való érintkezővonalát. Az rl, illetve el érintési vonal közötti csőfelületsáv a biztosítéka a sima átmenetnek. A 1. ábrán sima átmenettel valósítottuk meg a forgáskúp és körgyűrtlfelület áthatáııát. t nnall geometriai alapformái a függőleges tl tengelyű Fl forgáskúp és az Fl körgyűrtlfelülat tıznıgelye tl , középköre s, meridiánkörének sugara rl ). A két felület közös szimmetriazıl ll nl rendelkezik. Az egymásra merőleges tengelyeik lcitérők. A legömbölyítésnél az ismert eljárást alkalmazzuk az r sugarú G gömb mozgatásával. A t. llnıııh t) középpontja az Fl forgáskúpfelület és az Fl körgyűrűfelület r távolságban tarts pm huzamos felületeinek, az Fi forgáskúpfelületnek (tengelye tl) és az Fl körgyűrtlfeını.-ııwk (tengelye tl , középköre s, meridiánkörének sugara rl + r)g áthatási vonalán halad. A korgyűrűfelület különböző meridíánköreiből kiindulva co, co: co” középponttal fella ıı ı~llz=tlgombökkel szerkesztjük meg a g áthatási vonalat. A ti gömb minden helyzetében az 0 középponton átmenő nl kúpfelületi normálison v az zıınwııcli csőfelület és az Fl kúpfelület el érintési vonalát alkotó valamennyi El pont. s tneglı-lelö nl kúpnormálisok az adott Fl kúpfelületet a megfelelő El pontokban dö k. Az I-.'l érintési pontok Ell képét az 0 középpont (00) és az nl kúpfelületi normális M... ı I nıeridián helyzetbe való forgatásával kapjuk. Az. előző ábrához hasonlóan az Fl körgyűrűfelület nl felületi nonnálisán van a G gontlı ııııııtlen helyzetében az 0 középpont és az El érintési pont. Az s középkörtől való tal. zlzzıgiı t)-nak rl + r, illetve El -nek rl . A nl (nlll) normálisnak az Fl körgyűrűfelülettel ~ all. zlol éspontja - az El (Eol) érintési pont - közvetlenül kapható az Fl körgyűrilfeltllet me iızlmnlinıéııek a szimmetriasíkba forgatott helyzetében.

Az I-Il pontok alkotják el -t, az átmeneti csőfelületnek az Fl körgyűrűfelülettel valo ërtııtñvoııalıit.

A két felület között a sima átmenetet az el és el érintési vonalak közötti csőfelületsáv lflr lııllllll.

IRODALOM

t f

I 4 'f

itt ıtll-ZNBERG F.:Konstruktive Geometrie in der Technik. Springer-Verlag Wien. (1961). lt I .l MČÍK, J. - HUSARIK, F.: Príspevok k vygul'atejıiu oblasti prienikovej čiaryfdvoch ıot ııéných plöch s rovnobgšnými a zvlâšt. I0VIl0b6Z11Yl'IlÍ osami. ZÖOMÍÍC VGŐGCÍCYCÜ P740 DN' ıstrrk el Fakulty Vysokej Skoly Lesnicke] a Drevárskej vo Zvolene. 1 (1968). lt l .IMČÍK J.: Vygıgfatenie prenikovej hrany rotabného valca s rotačnym anuloidom. Sbomlk

.-„.z„-zzýzh pm VsT v Kašfcrz.-z-h (1964), Ne. 1. 43-48.

iz; 1 ,|M(`||(_ j_;Vygll1'atenie prenikovej hrany dvoch rotačných valcov. Strojtrenství 14 (1964), No lt). 744-749. lt l.lMč?ll(, J.: Príspevok k vygul'ateniu prenikovej hrany dvoch rotačných plbch. Sborrıik ve-

.ız-.-rýz-ız pm VŠT v Kaštcrzzch (1965), Ne. ı. 23 z-ass. l87

6. 7.

MALIGDA, J .: Vysgufatenie prenikovej čiary rotačných kvadrik s gnl'ovou plochou. Sborntk vedeckých prác V Tv Košicrhch, (1965). N0- 2-, 21-34POLANSKI, S. - KOWALEWSKI, A. - DANILUK, J.: Geometria dla Konstruktorów. Wydaw nictwa Naukowo-Techniczne , Warszawa. (1965).

8. 9. 10.

11 .

SCHMID, TH.: Darsteilende Geometríe I.--II. W. de Gruyter. (1919-1921). WUNDERLICH, W.:DarsteZlende Geometríe I. Hochschultaschenbücher-Verlag, Mannheirn. (1966). GUNDA, M. - TAKACSI N. A-NE.: Legömbölyítéssel nyert átmeneti felület az áthatási vonal mentén.Nehézíparr° Műszaki Egyetem Közleményei. III. Sorozat, Gépészet, 23. (1977). No. 3. 177-188. GUNDA, M.: Legömbölyítéssel nyert átmeneti felület közös érintőgömbbel rendelkező forgásfelületek áthatási vonala mentén. Gépgyártástechnológia, 19. (1979).

TRANSITION SURFACE OBTAINED BY ROUNDING-OFF ALONG THE INTERSECTION LINE OF SURFACES OF REVOLUTION

by M. GUNDA -MRS. A. TAKÁCSI NAGY Summary The smooth transition between the surfaces was ensured by the intermediation of a pipe surface band to avoid sharp transitions undesirable in the technical practice. By means of several examples, the construction of the pipe surface itself, the role and construction of parallel surfaces, the tangent line of the transition pipe surface and the surface to be rounded-off -, which pipe surface between the tangent lines forms the rounding-off and ensures the fraction-free transition between the surfaces - are demonstrated.

EINE MIT ABRUNDUNG GEWONNENE FLÃCHE LÃNGS DER DURCI-IDRINGUNGSLINIE VON DREHSYMMETRISCHEN FLÃCHEN von M. GUNDA - FRAU A. TAKACSI NAGY

Zusammenfassung Den glatten Übergang zwischen den Flächen haben wir mit Anschliessen einer Rohrflächenzone gesichert, um den in der technischen Praxis unerwünschten scharfen Übergang zu vermeiden. Anhand von mehreren Beispielen fúlırten wir das Konstruieren der Rohr äche die Rolle der Anwendung sowie das Konstruieren der parallelen Flächen und die Beriihrungslinie zwischen der Übergangsrohrfläche und den abzurundenden Flächen vor. Die Rohrflächenzone zwischen obigen Beriihrungslinien bildet die Abrundung und somit den knickfreien Übergang zwischen den Flächen.

188

lll*'.l'l'ZX()11HAfl TIOBEPXHOCTB l`l0 JIHHHH ÍlEPECE"lEHH ÍIOBEPXHOCTEH BPAII1EHI'I , l`l0J`lY'-IAEMAH CKPYFJIEHHEM

M. FYHJIA - A. TAKAÍIPI HA.[lb Peaıoiue llıııımııall nepexon Meııcrıy noaepxnocraıvrır oõecnellımaerca c npouexcyromrolt norıocotl zp r ııntt noııepxırocrn. 3To Heoõxommo nrur ırcıonolıeıuısr Heıtterıareııız oro, 8 Texırıılıecıtoll „l-ze ıaıw, oc`ıpoı`o rıepexona nonepxırocre . Hpencraaneıru rrpnwıepu crpoenıur 'rpyőıroll no„tl. -. ııoz- ru, ııoııızaoaanua c napannenızmzırzın nnocxocramn, a Taıoıce Meroıı crpoemıa :-mix ıınoc -. iz-tt lloıoıaana nrnrns Kacaann nepexormott Tpyőnott rıoaepxnocrır K cxpyrnnemzııvı noııepxil... im lloııoca Tpyõuott nonepxnocrn, Mezcny arımır nınrmmır Kacaırnrı - oõecnennaaer Gea.zz l-ll zi. ııinınıtt ııepexoıı nonepxrıocreit.

.Will-.ˇ A`bzlrnu*zıyeı`. Miskolc. III. Sorozat, Gépészet, .26(198l) kötet, }9! --208.

(IYÉMANTVAÉIALT, DORZSHEGESZTETT KOTÉSŰ, TAKARÉK KIVITELŰ TÜBBÉLU FORGÁCSOLOSZERSZAMOK KORROZIOS FARADASA GABRY GABRIELLA - BALOGH ANDRÁS - OROSZ LÁSZLÓ I. Bevezetés Az ipari gyakorlatban a forgácsolószerszámok takarék kivitelű kialakításánál a gyorsaz él nemesíthető szénacél anyagpárosítást alkalmazzuk. Ezen forgácsolószerszámok dolgozó része gyorsacél, a befogásra szolgáló része pezlıg ııémesíthető szénacél. A két rész összekötése régen leolvasztó tompahegesztéssel, ma ıııtiı ılörzshegesztéssel történik. Az ilyen takarék kivitelű forgácsolószerszámot a gyakorInt lınn a főmozgásból adódó forgó-hajlító igénybevétel éri és a hűtő-kenő folyadék korroz ıv lızıtá sa, ha nincs, vagy ha nem a legmegfelelőbb benne az alkalmazott inhibitor. Klsérlvtcink során megvizsgáltuk az igénybevétel és a korrozív közeg együttes hatásának a szerıziiııı élettartamára gyakorolt hatását. A szerszámra a megmunkálás természetéből, amunkadarab geometriájából és a keıııéııység-inhomogenitásából adódó hajlító igénybevétel, a forgó főmozgásból pedig csavaró igénybevétel hat [l]. A szerszám; pl. ujjmaró, fúró igénybevétele a gyakorlatban tehát összetett igénybevétel, melynek alapján a kísérleti vizsgálatok céljaira a forgó-hajlító fárasztó-vizs gitlzıtot választottuk. Ezt indokolja, hogy a jelenlévő - közel állandó - csavaró igénybevétel ıolılı külföldi kutató (pl. Sz. V. Szerenszen) mérései szerint nem befolyásolja jelentősen a lmgá-hajlító fáradási határt. . . lllt (IABRY GABRIELLA

DR. BALOGH ANDRÁS

OROSZ LASZLO

'*ılWl'="lÍ RÖÍUIIRÍIIS

egyetemi adjunktus

egyetemi adjunktus

M°°hanÍk3Í_T°°h °1Ő8Í3Í Tanszék 351-5~ M1S1<01°'ESYetemvaros

Gépgyártástechnológiai Tanszék 3515. Miskolc-Egyetemváros

ltéztuıt beérkezett: 1981. március 4.

l9l

1.1. Fáradás és korróziós fáradás jelensége Fáradt törésnél mikroszkópikusan észlelhető deformációról van szó, amely néhány kristály vág! kristályrács alakváltozása, mivel nagrobb arányú deformáció azért nem következik be, mert általában a fáradt törést a folyáshatárnál kisebb feszültség idézi elő. A korróziós fáradás az ipar számos területén okoz károkat. A korróziós fáradásos törés a fáradt töréshez hasonlóan makroszkópikus alakváltozás nélkül jön létre, azzal a különbséggel, hogr a törési felület jellegzetesen elszintelenedik, sötét magból fokozatosan világosabb színbe megy át. A színek a korróziós közegtől függően változnak. A törési felület rendszerint korróziós termékekkel is be van vonva. A repedések gyakrabban transz-, ritkábban interkrisztallin jellegűek [2; 3.] . Fáradásnál a repedés általában egy középpontból indul ki, mig korróziós fáradásnál

a felületi meghibásodások számos középpontjából indulnak ki a repedések. Rjabcsenkov a moszkvai CNIITMAS-ban (Központi Géptervezési és Technológiai Kutató Intézet) dolgozta ki a korróziós fáradás elektrokémiai ehnéletét. Eszerint, ha egy fém váltakozó feszültség és korrozív közeg hatása alatt áll, a korrózió bizonyos idő múlva a feszültségcsúcsok helyére koncentrálódik és a mikrorepe dések elsősorban ezeken a helyeken fejlődnek ki. Az elektródpotenciál lecsökken és korróziós elem keletkezik: a feszültséggyűjtő hely (bemetszés) arıóddá, a szomszédos felületek pedig katóddá válnak, vagyis e helyeken a fém kémiailag aktivizálódik. A korrózió kiidulási pontjainak hajlamuk lesz arra, hogy repedésekké mélyüljenek. Korróziós fáradásnál két esetet kell megkülönböztetni aszerint, hogy a váltakozó feszült ségek előzetesen korrodált darabokra hatnak-e, vagy a fáradási és a korróziós hatás együtt jelentkezik-e. Az első esetben ,,előkorrózióról”, a második esetben a tulajdonképpeni korróziós fáradásról beszélünk. Az előkorrózió főleg akkor van hatással a fáradási szilárdságra, ha nem egyenletes, hanem helyi vagy interkrisztallin jellegű. Korróziós fáradásnál csak akkor beszélünk fáradási határról, ha a korrozív közeg a fémet mérsékelten támadja meg, vagy ha hatását védőhártya keletkezése akadályozza. Ha a korrozív közeg megtámadja a fémet anélkül, hogy védőhártya képződnék, akkor fáradási határról nem beszélhetünk, mert bizonyos idő múlva a próbatest teljesen elkorrodál még fárasztási hatás nélkül is. A korróziós fáradást befolyásoló tényezők: a terhelés-ismétlődés frekvenciája, feszültségállapot, előzetes fárasztás, közepes feszültség, felületi minőség, egyéb tényezők. A korróziós fáradással szemben úgy lehet hatásosan védekezni, ha egyidejűleg védekezünk a korrózió és a fáradás kettős szilárdságcsökkentő hatásával szemben. A korrózióval szembeni védekezés módszerei: korrózióálló alapanyag, védőeljárások, bevonatok alkalmazása és a korrozív közeg kezelése korróziót késleltető anyagokkal (inhibitorokkal). Edzett acélok élettartamát csak tartósságnövelő mechanikai megmunkálásokkal fokozhatjuk. A legcélszerűbb ilyen eljárások egyike a gyémánt-vasalás. A mesterséges és természetes gyémánt ilyen alkalmazását az teszi lehetővé, hogy súrlódási tényezője fémfelületekkel történő súrlódáskor igen kis értékű, valamint, hogy igen kemény vasalószerszámmal a felület kis érdességűvé csiszolható. Külső hengeres felületek vasalását esztergákon végzik. A grémántvasalófejben alacsomy olvadáspontú fémmel van rögzítve a vasalógyémánt, amelyet szférikusra vagy hengeresre csiszolnak. A gyémántvasalófejet hordozó 192

szcrszámbefogõr a késtartóba foák be (1. ábra). A Gépgyártástcchnológiai 'l`aııszé.keıı végzett vasalás technológiai paraméterei a következők voltak: lekerekítési sugár 2 ıııın, clii tolfıs 0.0125/ 1500 mmlford, vasaló erő 150 N, érdességi osztály; eredeti vasalt.

5

1 IF'-llll

ı

,

ı4

-4 gi

I ıııı IC

-\ zgı

ııiııııí Í

/re

U His'

-

..\I! .__f.. i7|"f?=|'."/`A“"`nn.\š= 5.* ıı.-_

Él II: n\\ z\„Q \ \ \ \ \'\E=

^`'/ /-'L' z"-' / __/ A_- '

Í" \E "_,Va

L,-

1. ábra. A gyémántvasalás vázlata

Gyémánt-vasalásnál a felületi érdesség csökkentését, a felületi réteg szilárdítását a ıııvgınunkálandó anyagnál jóval keményebb anyagú szférikus felületű szerszám és a szilárrlııııııdó felület csúszási súrlódásakor végbemenő kölcsönhatása eredményezi. A vasalási technológia adatai az érdességet, a felületi réteg keménységét és a maratlo Iz-szültség el ızlását befolyásolják. A vasalt felület mikrokeménysége a vasalási előtolás no wlésével csökken, a vasaló erő és a vasalási sebesség növelésével nő. 1.2. A dörzslıegeatett próbatest kialakítása Dörzshegesztett próbatestjeinket a szovjet gyártmányú NU típusú fárasztógép sajáıosságainak megfelelő méretekkel alakítottuk ki (2. ábra). A próbatestnek csak a középső ltlz. 20 mm-es része készült drága gyorsacélból, a többi rész anyaga C45-ös acél volt. A két varrat egymástól mért távolsága (kb. 20 mm) többszörös biztonsággal elegendő alıhoz.

|9.l

17f8 (D

W

1

1,5 X 45

FU ÍJ!

l0f8

_

zi

20

65

l-

es

l

g

"'/zz

72

72 ir.

220

2. ábra. A dörzshegesztett próbatest kialakítása

hogy a dörzshegesztésre jellemző méretű hőhatásövezetek ne kerüljenek fedésbe. A dörzs hegesztést M 801 típusú, magyar gyártmányú súrlódásos hegesztőgépen végeztük [4] (3. ábra).

ıı.. ..ı :H1 F w 'Í

\ íí -Í-'ııı.11

II /I.

//A /II

.ll I

ii “ “_

M;

lıııl . ı ı ı 5' . ._. í. ._._i."Š. íí

3. ábra. M301 típusú magyar gyártmányú súrlódásos hegesztőgép

Dörzshegesztésnél a 16 mm átmérőjű gyorsacélt fogtuk be az álló, a 20 mm átmérőjű C45-t a forgó munkadarab befogóba. A beállított szögsebesség elérésekor a fordulatszám érzékelő a motort lekapcsolja a hálózatról, egyidejűleg a hidraulikus rendszer a kívánt erővel összeszorítja az R3-as és a C45-ös anyag homlokfelületeit. A hegesztés menete a 4. ábrán látható.

194

indítási helyzet

7

6 hegesztés kezdete “

Fax

b)

hegesztés 0 < w < co

Fax

C)

sajtolás .Fa d) 4. ábra. Dörzshegesztés menete

Az elméleti megfontolások, tapasztalati adatok valamint a gép sajátosságai alapján ıı dörzshegesztés technológiai paraméterei a következők voltak: A forgó tokmány szögsebessége: wo = 260 s" A próbatest részeket összesajtoló nyomás: pl = 350 Nlmmz A gép forgó tömegeinek tehetetlenségi nyomatéka: Jll = 0,934 kg m2.

I9S

Fm, | l

100-

~ -J

r

É

'

90%-os*

i f to

*

*

30~l

T

'

T

Á

70

+

`

.

L

l

l

` "

l

E

-ˇ

I

L

Í.

1

l Ü

l

r

41,4.4_4

1 30 4-

b

1

60-

40 “Í1

'A

/

T

j

'

„

7“'

'

if

ll

ESF*

ll

l.

.

/

.

`1

/

1

2010-l

9

i 'l

/ 1J

*

'i

*

*

l ı

ll

1,

. U* -i számított értékek l

l1-0- -0'

valóságos értékek z `

l

41447*F4

j

_

1

2

l

3

4

s

6

7

8

9

10 Pf fMPal'

5. ábra. Dörzshegesztőgép nyomásának megválasztása a sajtoló erőnek megfelelően

A dörzshegesztőgépen beállítandó nyomás megválasztását az 5. ábra szerint szükséges sajtoló erőnek megfelelően végeztük . A dörzshegesztő folyamat alapvető j'ellemzőırıe ' k idő beli változását a 6. ábra mutatja.

(AJ

I

s

wk

.Ó

Fa

2

t

Fax (t)

_1_ -

Lou

il

l l

l l

l

l \

` is

`

1

45° ll

.+

im...

l<-oi

6. ábra. Dörzshegesztő folyamat néhány jellemzőjének időbeli változása

196

llegesztés után a kötéseket feszültségcsökkentő hőkezelésnek vetettük alá. 5S0°(} itt ıııelegitett kemencében 30 percig tartottuk hőn, majd kemencével együtt hűtöttük le. If lıökczelés után az R3-as grorsacélt a várható rövidüléssel (66) megnövelt hossztlságurıı twtergáltuk, majd újabb -dörzshegesztés és azt követő feszültségcsökkentő izzltás követ ltnzett. Forgácsoláshoz a darabokat kilágyítottuk, minthogy hegesztéskor a gyorsacél höluıtıtsövezetében egy igen kemény (HVIO = 700 -I-800) martenzites réteg alakul ki. A ltıgyitást 850 °C-os kemencében 100 percig végeztük, amit kemencében való lassú lehűtes követett. Lágyítás után a meghegesztett próbatestek esztergálása következett, köszönileıl ıáhagyással. A darab méreteinek köszörülési ráhagyása viszonylag nagy (0,S mm). ııwıt a gyorsacél igen nagy edzési hőmérsékletén a viszonylag vékony próbatest veteme.lesével lehet számolni. [5]. Az esztergálást a próbatestek edzése követte az R3-as gyorsacélnak megfelelő nwlıııológíával. Ugyanis ilyen arıyagpárosítások esetén (R3-C45) gyakorlatban a gyorszıl élt edzett állapotban használjuk. Az R3-as gyorsacélnak megfelelő technológia: A lidzés

a) b) c) d) c)

Előmelegítés kemencében 500 °C-ra, hőntartási idő 30 perc, Hevítés 850 °C-os sófürdőben hőfelvételig (kb. 4 perc). Hevítés 1270 °C-os sófürdőben teljes hőfelvételig, hőntartás nélkül (kb. 90 s), Hűtés 530 °C-os sófürdőben hőkiegyenlítésig, Véglehűtés szabad levegőn.

lt l-tıkcményítés (kiválásos keményítés) zı) Hevítés S60 °C-os sófürdőben háromszor 45 perces hőntartási idővel, lı) Lehűtés szabad levegőn. Az edzést követően a próbatestek méretre köszörülése következett, majd gondos |ıtı|lıtı7.(lS3.

A vizsgálat céljaira felhasznált anyagminőségek súlyszázalékban kifejezett kémiai ttızzvtételét az I. táblázat tartalmazza A hőkezelés helyességét keménységrnéréssel ellenőriztük. Az R3-as gyorsacél több nteıés átlagából adódó keménysége: HVl0 = 880-ra adódott, míg a C45-ös alapanyag lıeıııétıysége HVIO = 240 volt, mely keménységértékek megfelelnek az előírt értékeknv-lt I lt .l-as gyorsacél edzés utáni, a C45-ös szénacél nemesítés utáni keménység-értékének). Az lt t us edzett gyorsacél és a C45-ös szerkezeti szénacél dörzshegesztett kötésének szövetszerkezeti lmlw latlıató a 7. ábrán, 500-szoros nagyításban és 5%-os HNO3-ban való maratás után. (iyémántvasalás utáni szövetszerkezeti kép látható a 8. ábrán 500-szoros nagyitztılzzııı, 2%-os HN03-ban való maratás esetén. Mikrovickers keménységmérés lenyomatai láthatók a 9. ábrán. A gyémántvasalt ıttıtzvıı llVl = 290; beljebb HVI = 260 értékekkel. A nagyítás szintén 500-szoros és a nnıızıttts is 2%-os HNOl-ban történt.

I97

I. táblázat. Az acélok vegyelemzési eredményei

c4s Az elem jele

1

1

1

198

MSZ 61 szerint 1

_

ı

1

C Mn Si W Cr V

0,42-0,50 0,50-0,80 0,17-0,37 _ 0,30 _

Co Mo

-

Cu P S

0,30 0,045 0,045

Mzuõszefz 5% HNO 3

R3

1

ÖSSZBÍÉÍEÍ 1

` I

;

»-

Š 1 4

`

Vegyelem- z zés 1

í

ııi

0,44 0,67 0,26

MSZ 4351 szerint 1

ı

__.,

l `

Vegyelem zés

l

_._,.ı

0,72~0,82 0,45 0,40 17,0-19,0 3,8-4,3 1,0-1,4 1,0 1,0

0,09

0,22 0,021 0,019

.

Összetétel

` l õ

.

_ 0,03 0,03

.. .

7. ábra Dorzshegesztett resz mıkroszkopı kepe

0,78 0,30 0,21 17,88 4,3 1,12 0,34 0,70

l 1

_ 0,012 0,014

N

00×

_

őz: šämšz 9% Z ãm H I.|.ı_ |i[l|_|

“ˇ < ah Eûñ ăšãä nwlau: Š mu

99

Marószer: 2% HN0-3

-

N = Soox

9. ábra. Mikrovickers keménységmérés lenyomatai a gyémántvasalt részen és beljebb a C45-ös részen

1.3. A fárasztás vizsgálati módszere és paraméterei Vizsgálataink során a sok próbatestet igénylő, költséges módszerekkel szemben, a Miner-féle károsodásfhalmozódásí elméletre épülő Locati-féle lépcsősen növekvő terhelésű gyorsfárasztást részesítettük előnyben, amely hiányosságai ellenére is rendelkezik a céljainknak megfelelő pontossággal. A Locati-féle gyorsfárasztás csak közelítő értéket ad, a közelítés i 5% szokott lenni, ami a gyakorlati tájékoztatásra ill. 50%-os törési biztonsághoz tartozó közepes fáradási határ meghatározására kielégítő pontosság. A Miner-féle károsodások halmozódásának elmélete nem veszi gyelembe azt a Wölı ler-görbe alakjából következő tényt, hogy a fáradási hatámál nagyobb terhelést az anyagok a törést okozónál kisebb ismétlési számíg törés nélkül elviselnek. Feltételezzük, hogy a Miner-féle lineáris károsodást elv hegvarratot tartalmazó próbatestek esetén is érvényes. Hasonló hipotézissel szovjet szerzőknél is találkozhatunk. 200

Kétféle fárasztási vizsgálatot végeztünk. Egyrészt a hagyományos (levegőıı történő) fárasztást, majd ugyancsak gyorsfárasztással, de korrozív közegben végeztük vizsgálatainkat. A legkisebb terhelési szint mindkét vizsgálati módnál 340 illetve 240 Nlınm' a terhelési lépcső A0 = 20 Nlmmz, az egy-egy feszültségi szinthez tartozó ismétlési szánt pedig An = 105 volt. Ugyanis e paraméterek mellett kaphatók a legmegbízhatóbb eredıııények. A vizsgálatok időtartama alatt a fárasztógép fordulatszáma n = 2850 minˇ' volt A korróziós fárasztó vizsgálatoknál a próbatestre alkotó mentén 3%-os NaCl oldato csepegtettünk korrozív közegként, amely laboratóriumi viszonyok között szigorítva megl`elel a forgácsolásnál használt inhibitor nélküli hűtő-kenő folyadék korrozív hatásának. 20- ÍÉÖÍŐZ412 Lépcsős fárasztás adatai levegőn végzett fárasztásnál Jel

`

U1 Nlmm*

__;

7" :E21 "t

t

.

-..__

340

“

340

340 340

“t

«

“

340

l

`

340

~

.

340 340

`,

340

;

340

gwe - ıc\<.ı -t>u.ıNt-I

Š

-t

782000 715600 557000 636000 584000 466800 553000 628000 648000 662800

1

at Nlmmi'

.

k A

Törés helye

..-.

l

`

460 460 440 480 440 420 440 460 460 460

C45 alapanyag !9 l 9!

9!

l

9!

9!

3!

`

S9

5!

2b. táblázat. Lépcsős fárasztás adatai korróziós fárasztásnál

Jel

`

0l *

Nlmm'

'"2 n i=]Í

~

zzz, Z

`

Törés helye

Nlmm*

t 1

I

ˇ

1

`

l

gso ozıosuı-tıuatsıt-

_

J

240

'

240

“v

240 1 s

ıı

240 240 240

240 240 240 240

F F

`

624000 586000 542600 743000 492600 573000 528800 668400 539000 573000

360 340 340 380 320 340 340 360 340 340

1

ı

1.

1

ı

C45 alapanyag É

S!

J

„ DS

l `

1!

l 9!

SI t II

I!

II

1.4. A kétféle fárasztó viz lat mért adatai és eredményei Az előző paraméterekkel fárasztott próbatestek töréséhez tartozó ismétlődési száııutı és a törési feszültségszinteket a 2a. - 2b. táblázat tartalmazza. Ugyanezt a Wöhler-görbét alkalmazzuk a levegőn végzett eredmények értékelésénõl, valamint a korróziós vizsgálatok során is. A korróziós fáradási határ megállapításához töı

ténő alkalmazását azzal a feltételezéssel fogadhatjuk el, hogy a korrozív közegben végzett fárasztásnál ugyanazt a Wöhler-görbét kapnánk. Ez a feltételezés várhatóan nem helytıllln és így csak közelítő értékeket kapunk. A gyorsfárasztás Locati-féle módszerét levegőn végzett fárasztásrıál, valamint korróziós fárasztásnál alkalmazott adatokkal bemutatva tt következő ábrán láthatjuk. (1011. - 10b. ábra). A 3a. - 3b. táblázat a károsodásokat foglalja össze.

l |Nlmm'| S20 -500 lt4ÜÜ T

460

440 .l

ti

_

__

.v-

i

tv-

420 1

tv,

.L Al ,_ _ «

N.

2801.

N5

g l..

L

--

t

10'

10'

1U

400 1

380 360 340 320 300

„-=460zı =2

N. 1. 1-

'

10*

I!!

N.

N! NI

.

N! ıı

N

l . N;

N: N;

`

R _m IRfzsso

l~

l-ıv

10'

10" N

108. ábra. Locati-féle lépcsős fárasztás levegőn végzett vizsgálatoknál

1.5. Károsodások korrozív' közegben Az egyes Wöhler-görbékhez tartozó károsodások összegzésénél a fáradási határ értéke kiszerkeszthető. -

202

“595” am E“aëzñš am “gá “EÉZ"kmA :gá “ÉZÉçÉ\

G âd 8:6 agó 326

__? H:

WQN _ MQ* _ WA: mh: mt; _ ma: Nő _ “Az

:mz

“S3336H4!H'W

Šëwggx 30%) Jdm äãä ăaãg

az Mz

==

Im„wv

ãëä3š%_U_ã§OU§š_ã_

gâwd 8:6 Ozqo Otñc :U26

QÚJ _ ®w_N _ 2: mg* _ 1: A: wv; _ Ã: Na _ ma:

“Z

mi __:

Ha A336 2_;_O C236 amd agya O:

N35H'_'

mg* _ DA: m©_N _ mh: 3: _ 'Hz oh: há; 2: Éw _ Nő _ mg

É É

5

'Az ÉN _

Š

DA: “Az un: UH: ma:

ãsšo oãő

„D gmH ownH_bOgH GN*"_ Og6_ " Og"J

u___°

ÖU35* “EEE

5 _°

336 8:6 OEQC WEQO

GEŠZ “EŠZ “EEE Og “EEE Š Gghg "km “km wnua gumm _ãb

.nt

_:

:mz

I

I

%w_N _ We; _ “Az OH: EQJ _ an: NŐ _ Ă:

äšämoäo 33 Swš ago gwH_gHiHIm_o'lw x

É __:

dm qãsäã §§§§_ Nããaã _ _ä_8_` §O_ã_ agg Ga:ˇOgqo cthö Haqñv

:3 3aagsS0:aãawä hawû2ăg

É

:2

_?

É _Z

É

mc; _ Ă: mt; _ Ă: “ÉJ _ mh: WQN _ MH: Na _ na:

Š2ˇŐ OS__Oa3d Othő Aägő aäqñ

mg* _ Ă: %°_N _ 1: au; _ 'az OH: WQĂ _ 2: Nő _ Ã: vő _

L: cd _ na: na: “Az “Az ma:

II

II

II

mz __?_?

I INlmm'lW

.180 L 36° “_ .140 ._

N;

,, * 9

"'

~*°°

-

„„ = 340 „R = 0,86- ıo' _

N,.

1

°

N!

i-1

Nu

Nu

NJ! "

*P

280 4

_

2

.f

240 22o« :onlıaofıõo+Í» ı4D -É to'

I

10'

ı

1

.Í 4

N

^f."ı

Rfıı270 N

H

~ ~ '

3

`

z

lı

_

~

f

Rfz 230

NI

1

10'

fi..

zv

10b. ábra. Locati-féle lépcsős fárasztás korróziós közeg alkalmazásával

A dörzshegesztett kötések Locati-féle gyorsfárasztással meghatározott fáradási ıll korro .ıı„ı Iñradási határai a 4a. - 4b. táblázatban láthatók la ııılıldzat. Fáradási határok .lel

`

4b. táblázat. Korróziós fáradási határok JBI

2

Nlmm*

Nlmm'

378

1

371,5 370 352 356

u\-t . zı-.ı-

6

`

7

351

H -9 |Ü

ı

330 368 ;

1

371 373,5

'č,`\o o-.ıc\uı-><.»ı~.ı„-

268 259 252 290,5 238 254 249 273 250 25 3

A 40. - 4b. táblázatban megadott fáradási, ill. korróziós fáradási határfeszültség értékekből a matematikai statisztika alkalmazásával határoztuk meg az 50%-os törési valószínűséghez tartozó közepes fáradási határfeszültséget, mely levegőn végzett fárasztásnál 362 Nlmmz-re, korróziós fáradásnál 257 Nlmmz -re adódott. A mérés szórását mind Gauss papíron való szerkesztéssel, mind pedig számítással

is meghatároztuk. A szórás értéke a fáradási határfeszültségre levegőn végzett fárasztásnál

8,, = 14,7 Nlmmz ,

korróziós fárasztásnál

8,, = 14,9 Nlmmz értékre adódott.

Számítással a mérési sorozat várható értéke a mérési adatok számtani közepe: x__,

x.1+x2+...+xn

H

ahol xı ;x,; . . . ;x„ az egyes próbatestek fáradási határai. A mérés szórásának négyzete a mérési adatok és a középértékek különbségeiből képzett négyzetek középértékei: 2

sn=

n

(xi -_;-)g

Z'----

A számítással kapott szórásértékek megegyeztek a szerkesztéssel kapott értékekkel. 1.6. A gyémántvasalt próbák vizgálati eredményeinek az eredeti próbákéival való összehasonlítása A Locati-féle gyorsfárasztásnak alávetett próbatestek mind levegőn, mind pedig a 3%-os NaCl. korrozív közeg alkalmazása esetén a gyémántvasalt felületnek a végén törtek. A jelenség azzal magyarázható, hogy a gyémántvasalással bevitt maradó feszültségek és a

próbat t többi részének közel feszültségrnentes állapota miatt egy olyan feszültségugrás keletkezett, amely ott törést eredményezett. A gyémántvasalással bevitt maradó nyomófeszültségek, a próbatestek fáradási határát

levegőn végzett vizsgálatok esetén 171 Nlmmz -ről 362 Nlmmz-re, míg korrozív közeg alkalmazásánál l18 Nlmmz -ről 257 Nlmmz-re' növelték. A gyémántvasalt próbáknál kis szórást tapasztaltunk, ami a felületi mikrogeometria homogénebbé válásával magyarázható.

Összességében megállapítható, hogy a gyémántvasalás, mivel a felületet zömíti, egyenletesebbé teszi, több mint kétszeresére növeli az R3-C45-ös anyagpárosítású dörzshegesztett kötésű többélű forgácsoló szerszámok mind fáradási, mind pedig korroziós fáradási élettartamát. Ezt a tényt az üzemeltető szakembereknek figyelembe kell venni, amennyiben nem a legmegfelelőbb hűtő-kenő folyadékot alkalmazzák, Vay ha abból kimarad az irıhibitor.

206

IRODALOM I.

GRIBOVSZKY L.: Gépgyártástechnológia. Budapest, Tankönyvkiadó 1977.

J.

-l.

FARKAS J-né GABRY G.: Acélok korróziós fáradása. Gépgyártástechnológia, 4 (1964). 440-446. _ FARKAS J.-né: Felületkíkészítés (FeIüIetvédelem). Egyetemi jegyzet. Budapest, Tankönyvkiadó, 1968. BALOGH A.: Fémek energiatárolós dörzshegesztése. Oktatási segédlet, 1978.

\.

GÁBRY G. - BALOGH A.: R3 - C45 dörzshegesztett kötésű takarék-kivitelű forgácsrılórzcr-

I.

számok korróziós fáradása. Szerszám-szerszáınanyag kollokvium. Miskolc, (1978), 1-l6.

CORROSION FATIGUE OF ECONOMICALLY CONSTRUCTED FRICTION-WELDED DIAMOND-BURNISHED CU'IˇI`ING TOOLS

by G. GÃBRY - A. BALOGH - L. OROSZ Summary Rotating bendiııg fatiguz tests were carried out on inertionally friction-welded model specimenn

ııı nlr and in 3% NaCl solution by using the Locati method. The statistical evaluation of the tests hun ııvrıı the following results: 1. the corrosive environment decreases the fatigue strength relating to 2 - IO' .wlns by 30% both in as-welded and in diamond-burnished state; 2. the diamond-burnishing iııcreımsı l ıııııgue strength relating to 2 - 10° cycles by 110% both in air and in corrosive environment. St 'IIWINGUNGSRIBKORROSION VON SPARSAM KONSTRUIERTEN REIBGESCHWEIBTEN SCHNEIDWERKZEUGEN MIT DIAMANDWERKZEUG VERFESTIGTEN OBERFLÃCHE' V011

G. GÃBRY - A. BALOGH - L. OROSZ Zusammen fassung Umlaufbiegeversuche wurden an Schwungrad-reibgeschweiiăten Modellprüfstücken in der Luft „ml in 3% NaCl Lösung mit der Locati Methode durchge ihrt. Die statistische Auswertung der Vıusuche zeigte die folgenden Ergebnisse: 1. das korrosive Medium minderte die auf 2 - 10° Zyklen ı„-.mgcne Ermüdungsfestigkeit im Falle von geschweiiăter oder verfestigter Ober äche um 30% ab; 2. ılıv mit Diamantwerkzeug durchgefúhrte Oberflächenverfestigung vergröüert die auf 2 - 10' Zyklen lwzıgcne Ermüdungsfestigkeit sowohl in der Luft als auch im korrosiven Medium um 110%. KOPP03 HOHHAH YCTAIIOCTB BKOHOMHO KOHCTPYHPOBAI-II-IBIX OPHKUHOHHO t'l|APHblX PESLIOB C IIOBEPXHOCTIDIO OBKATBIBAHI-IOH AJIMABHHM IIHCTPYMEI-l'l`0M

l`. PABPI/I - A. BAJ`l0I` - Il. OPOC Peaıome Meroııoıvı J`loııe axcnepnmeurm npamarenıznono ııarıtñı Ha

au ıııv Ke ıı n pacrnope 3% NaC1 Ha oõpaauax cııapmzıx mıepunonno cnapıco Tpermeıvı. Crarııcru207

Hecıco ouenrro onmon Gama! onpenenenaı cneııyıoutue peaynıvrarhız 1. Koppoanoıuıan cpena ymeubtuaer npenen ycranocrır npıı 2 « 10* ı.ı,ı«ıı<.Tıax Kar: cnapmzıx, Taıc K o6KaTaı-mux oõpaauoa o 30% 2. oõıcarızmaıme aıııvıaanbım peauoıu ynenmım npenen yc'ra.TıocTı«ı npıı 2 - 10° umoıax o 110% Kaı< Ha noa yxe, Tax ıı B Koppoaııonıtott cpenze.

208

\'MI:` Közleményei, Miskolc, H1. Sorozat, Gépészet, 26 (1 981) kötet, 209-246.

FUTÓDARUHIDAK DINAMIKAI MODELLEZÉSE KULCSÁR BÉLA Bevezetés

A fızikai diszkretizálási módszerek alatt kontinuumoknak végesszámú szabadságInk luıl rendelkező rendszerrel való közelítését értjük, amely során nem a variációs, hanem tı Iıılkııi elképzelések kerülnek előtérbe. E módszerek alkalmazásának nagy jelentősége van ılııruk dinamikai modellezése során, ahol pl. a kontinuumként kezelhető daruhidak egy vagy több tömegponttá redukálhatók. A diszkretizálás során nyert redukált tömeg azttln koıınyen kapcsolható a daru emelőművének - egyébként diszkrét tömegeket tartalnııı.-.t'ı dinamikai modelljéhez, amellyel együtt az emelőrendszer dinamikai modelljét lıript* zik.

A szakirodalomban jobbára praktikus megfontolások kerülnek előtérbe. Körber [5] tl. ılgozata egy speciális esetre érvényes diagramot közöl, és ezt többen általánosan haszııttllııııónak fogadják el, mint Kos [2, 3,4] és Mihajlovič [6]. Más szerzők -, Kogan [1] ıwııı veszik gyelembe azt a tényt, hogy a kontinuumként kezelhető danıhíd - a raj ta lem liııtóınacska miatt - egy koncentrált tömeget is tartalmaz, amely a daruhíd rezgésközlmııı alakját és frekvenciáját befolyásolja. Volling [10] megállapítja, hogy a kontinuum-

lmııı vizsgálható daruhíd a futómacska közelében alig vesz részt alengési folyamatban, tmııılıun a redukálás alapját képező rezgésképet ennek figyelembevétele nélkül határozza ııwg. Roos [9] a diszkrét tömeget tartalmazó daruhidat a diszkrét tömeg szétkenésével vııltoıfı hosszegységre jutó tömegű kontinuummá alakítja és a kinematikus energiák állan.hmıgıı alapján határoz meg egy redukált tömeget. A redukálás pontosságát meghatározó llll. KULCSÁR BÉLA líllıktılül d0t.`Bl'lS c

ımplpnrl és Automatizálási Műszaki Főiskola lt atıkvıııčt l\ë~:tı`ııt beérkezett: 1981. nıdlus 7.

209

rezgésképet azonban csak előzetes becslés alapján lehet felvenni, jóságára azonban elõzetc sen semmi ismeret nem áll rendelkezésre. E módszert [7] is ismerteti, azonban alkalmazása nehézkes és pontatlan. Dolgozatunkban módszereket mutatunk be a diszkrét tömeget tartalmazó konti-

nuumként kezelhető daruhidak redukált tömegének meghatározására általános esetekben. A redukálás alapja minden esetben a redukált Gıelyettesítő) diszkrét rendszer sajátfrekvenciájának és a diszkrét tömeget tartalmazó kontirıuum rezgésképét meghatározó (általában a legkisebb) sajátfrekvenciának az azonossága. 1 Daruhidak redukálása egy tömeggé, álló futómacska esetén 1.1 Merev megtámasztású daruhíd 1.1.1 Sajátértékek meghatározása A daruhíd az 1. ábra szerint modellezhető, ahol in a futómacska tömege, q a daru-

híd hosszegységre jutó tömege,J pedig a daruhíd másodrendű nyomatéka. A sajátfrekvencia számításához elhanyagoljuk a nyírási alakváltozást, és a keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékát. a

l~~-G M

m

l

-

fttfff-'A z`

-Y

.íj

I

F W

A

l-

'

T

--

I. ábra

A daruhíd rezgését özw

õ'w

qrã;am3?=o egyenlet írja le, ahol 'Y

q=-A 8

210

(0

ıı tlıırııhld hosszegységre jutó tömege és x

P7 zlııncıızió nélküli változó. A futómacskát jellemző m tömeg mozgásegyenlete pedig

„, dz u ._-„ drz

(2)

3.ÍEÍ

az (I - a)2

«msı.et`üggéssel fejezhető ki, ahol u(t) = W(0lš Í) l I ) megoldását

(3)

w(a; r) = v(a) exp (Í W) ııtırzatfüggvény alakjában keresve a sajátfüggvényekre

(4 >

d“v

E?'^`”_° tlıl lcıeııciálegyenlet adódik, amelyben fn 1 l

_ w,

(S)

Ă4 _; ___..

JE tm m, `= ql (a daruhíd tömege). (2) egyenlet bal oldaláról u(t) értelmezésével pedig dzu

2

_

m EF- = - mo.: v(a) exp (jwt) ııııızc függést kapjuk.

A sajátfüggvények (4) alatti differenciálegyenletének megoldását vlč'-`=0=vlE=l=0

ös

d2v ___

az

2

Ezo

dzv = .___

az

2

5:1

zg

peremfeltételekre v=v;,=A1sin)\E+B1sh)lE

ha0<§
v=v;=A,sin7\(.E--l)+B,sh)\(.S-1)

haašlzšl

(7)

alakbarı kereshetjük. (7) függvényeknek azonban a § = a helyen eleget kell tenni az alábbi illesztési feltételeknek:

Vb (G) = V;`(0f) ,

2111 az'

Q E=

=Él'ı' az

aa vb

dčz

E=a

(8)

= dz vj

E=Q

dig:

E = fr

illetve a nyíróerőre vonatkozó 3 Eôw 3 l

:E

3 az

3 õw

3 li;-E=a

I

3 as

__m dl L: ı

(9)

dt b;E=0f

összefüggésnek. (7) függvényeket (8) és (9) egyenletekbe helyettesítve és (6)-ot felhasználva Aısinlta + B1sh)\a-A,sin7\(a- 1)-B2sh)\(a- 1) = 0 Aıcoslla + B,ch7\a-A2cos)\(a-1)-B,ch7\(a -1)= 0

-AıSin7\<1+Bı sıııa+A,8mx(a- 1)-B,zıı>t(az- 1) = 0 A1(Ksin)\oz - cosltoz) + B, (Kshlta + chlla) + A, cos7\(oz - 1)- B2 ch7\(a - 1) = 0 egyeııletrendszert kapjuk. Az egyenletrendszerben K

mcoz 13 l\3JE_

,

amely (5) felhasználásával és a m

l1=_" mt

212

(ll

ımımgviszoııy bevezetésével

K=M

(1 ıı

„Ink ru cgyszeniísíthető (10) egyenletrendszemek akkor van a konstansokra a trlviálistól el tam megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa zérus: sinlla

sh7\a

sin7\(oı - 1)

sh)\(a - 1)

coska

chltoı

cos)\(a - 1)

ch7\(oı - 1)

- sin7\a

shltoz

sin7\(a - 1)

sh7\(oz - 1)

cosl\(a - 1)

- ch7\(a - 1)

K sinka - cos)\a

Kshlta + ch)\a

= 0_

A ılelcrmináns kifejtéséből

sin7\sh7\=0 Nı -2

sinlka

shlla _ sín7\(1-oı)- -- sh7\(1-a)I= 1 sınlt sh7t

(12)

tıekvcnciaegyenletek adódnak. (12) első egyenletéből A #2 0 esetén sh)\ sé 0, így a sinll = 0 lullčlclből

?\ı<=kTr

(k=1;2,...).

tnlnıllk. A második egyenletből numerikus-gépi eljárással kapjuk Ă] értékeket, amelyekıv tgıız a 71,- < kk korlát. A számítások eredményeképpen kapott 71,- értéket a függvényétwıı. lı paraméterrel a 2. ábrán tüntettük fel. Az ábrából látható, hogy a futómacska helymtv (ot) és a tömegviszony jelentősen befolyásolja a sajátértékek nagyságát. Ebből követlwıtk, - amire már a bevezetőben is utaltunk, -, hogy rezgéskép tetszőlegesen nem vehe-

ıu /'z-I, annak alakja és frekvenciája függ a futómacska helyzetétől és a tömegviszonytól.

213

AL

`

:O

\\ \.\

1

77

p

gp

.

ý j

I/*E

.

N-\\l\*ııMí/»/l_ _ \\.\\„\§zÍV./'.//.W \

«

z

\\\\*\`W'A'//Áll ?

.. \\s\““" l

l

`

a-

Šıuf

`

4,

..._

Í

A

_ 11

l ggl

.

t f

,

,

j

lz

A

-

4

. 1 j

l.

`

Ű

J

.

l|„-

»(I

0

0,5 G

4 'W//

10

I-` U

-z «z.-IE

L _

a

ct = -

I

_". IE = 3,44- 10 * Nem

-l

2. ábra

Megjegyezzük, hogy a (4) differenciálegyenlet megoldására a Krülow iggvények-

ből* is konstruálható (8) alatti illesztési feltételeket és (9) nyíróerő feltételeit már eleve kielégítő

*

T(7\.§) = -(sh AE + sin A2) [\)|_l

VUUE) =

(Sl`-Át - Sin Ã-E)

S(7\E) =

(ch A5 + eos M5)

UÜLE) =

214

mi- f`-l"_r~.>ı-~

(ch At -- eos AE)

v=v,,=8T(Az)+DV(7\.§)

hzo
R13

v=vj=Vb+š,"íE-V[Ă(§`-()t)]

(ÍJ)

h30!<É
próbafüggvény [8], ahol

R = man* v(a).

(14)

és ca* pedig (5) összefüggésből nyerhető. A korábbi peremfeltételeket kielégítve a konstansokra

E{T(>t) + ,nT(>\zz)V{>t(1 - zz)]}+ D{V(x) + „AVotzz) V[ı(ı - a)ı} z O B{ı/gt) A-_ „AT(Aaz)T[>t(ı - zz)1}+ D{T(A) + .`znV(A
az (I - a)2

9

amellyel a redukált rendszer sajátfrekvenciája

Q:

_Í.=

___3'E"_l_2__._ _

mR

d2(l`-(1) mR

(15)

A diszkrét tömeget tartalmazó kontinuum sajátfrekvenciájára (5) alapján

(IJZĂ2

-.IL

771113

adódik, ahol Ă értéke ( I 2) nıásodik egyenletéből nyerhető. (15) és (16) egyenletekből a redukált töıııegre ZIS

314 mR ˇ" Ă4a2(j___a)2 mi

U7)

összefüggés adódik. A gyakorlati számításokhoz célszerű bevezetni egy redukciós tényezőt, amelynek segítségével a redukált tömeg - a futómacska és a daruhíd tömegéből

mR = m + ám,

(lg)

alakban fejezhető ki. A redukciós tényezőre (17) és (13) felhas lälãsăv l 31" Ü- X' a2(l-a)2 fu

(19)

adódik. (19) első taában a megfelelő műveletek elvégzése után képezhetők a futómacska helyzetét jellemző a = a/l dimenzió nélküli változók, erre áttéıve a redukciós tényező

3 Ü _ Ă4 az (1 _a)2

Ü

p

(29)

összefüggéssel fejezhető ki, amely iggetlen a daruhíd méreteitől, csak a tömegviszony-

tól és a értékétől függ. A redukciós tényezőt (20) és (12) második egyenletének felhasználásával a és tt paraméterekre számítógéppel határoztuk meg. A megoldás folyamatábráját a 3. ábra mutatja. A számítás eredményeit a 4. - 5. és 6. ábrák mutatják. Az eredmények alapján

látható, hogy a redukciós tényező is és a redukált tömeg is nagyon érzékeny a futómacska helyzetét 'ellemző paraméterre, ezért gyakorlati szánıításokhoz Körber [5], Kos [2, 3] és Mihajlovig [6] által használt diagram csak az = 0,5 esetén használható. Általános helyzet esetén a csak a 4. - 6. ábrákon levő diagramok érvényesek. A redukciót végrehajtva, a dinamikai modell megváltozását a 7. ábra mutatja.

1.1.3 A mérési eredmények értärelâe A sajátfrekvenciák számítási eljárásának ellenőrzésére méréseket is végeztürık különböző kialakítású daruhidakon. A mérést nyúlásmérésre vezettük vissza. A daruhíd alsó- és felső övlemezén nyúlásmérő bélyegeket helyeztünk el két helyen (8. ábra). Az ugyanazon helyen levő nyúlásmérő bélyegeket hídkapcsolásba kötve regisztráltuk a nyúlásokat, amelyek a rezgés közbeni övlemez igénybevételből származnak. A daruhíd rezgését az emelőmű segítségével idéztük elő. A földön megtámasztott nagy tömegű terhet szakadókötél segítségével a horoghoz rögzítve az emelőmű működtetése a daruhidat nyugalmi helyzetéből kitéríti mindaddig, amíg a szakadókötél elszakad. Ezután a kitérített daruhíd a rajta levő futómacskával szabadrezgést végez. A mérés oszcillogramját egy darutipusra a 9. és 10. ábra mutatja. A mérési eredmények az 1.1.1 pontban leírt elmélettel való összehasonlítására nézzük az alábbi számpéldát. 216

É

ızıeısınz

I'

READ .- 8,-Muo.-r.O.- rr; E; Mur ; D.- DL; LA _

1

mi = ,u

D = Au

L = Ă

DL =

LF = *F LA = AA

L0 = Ă” M00 = n,

7

_

zu. „. z.

____

_

Y 1

ST°"

i-'T V

l +

MU=:MUO

ˇ

--

v< l

I'

l

pL=Qã-_

'

0,001

§

4

{

Dt

4

“T

_--_-z,

Y

|

Azzr. - AL v H2=ExP(A 2) :H1 =Exr>(A 1) cH2=(H2 + 2 _ m.]ı2 1 . TH2 =§..fi2 . sH2_[_H2 CH2_

l 2

!-A-»if 1: A az

j sHı=[rrı--,mtz L sA=sfN(Aı); TG=ŠÉ

L2

ı C`Ái=C05l«41$

L=AL+0,l

Aı»

L=ı.-DL

cHı=(_H1 + 7}-[}ı2

.

H;-'Á 1.rLA=1. ı>

NI

l

Á

..

._

.ı'4..ııııı

ıızı

,,__MUL sA _ sm _, _ 7 L -CA 3373291 -cm ˇ IE

ˇ

+ D

0 Ü

> Ü

l ll

ˇ-

+

-

-V

Q

P

0

0

0

D

1

0

_

'

v

TH -"rf-AL=(ı-Art* 3 -MU V I

_

+

S

Y

+

F MU-fMU~ l)

_

-

0

3. ábra

+

MU=MU+l0D

'_

„L \ ,„,_

T *L

Í

_

~`L

_

z

`

k

0,5

az `

`

`

I

mx

.43z

`

w

.

„Ű

0. l

»A5

* \

`

\

»

;\

.H «

\`

\

0,45

`

hi..

`

_

Í

1

\

\

ıE

\\

`

`

-'_

„

ıl

\

`

w

,

`

w

f f

+\

Q

„

\

44

Ă

“F

L

J

`

0,49

\

I

Á

L

o.492TT

V

`ˇ

„ 0,10 WLA

423: °L_»-

ı

`

_,

T

ml* =m+0m 1,

ms-EIE

`

0,5

\

fű

fi

w

\ L _r__

J

Q:-fpzű

W

"%

0,5!

Í

ˇÜ

Õ 00 .P

O,48s2õHÍÍ'E 7'-ˇ-4-1 - -f"` Í"-"“Ír""\F"_f"'J' 4

_w

H

`

Í

j['“`Oˇ,s

É.o„

(ábra 0 0.7 0.6983?

W

T:

`

N

I

T

1

Í T\

\

o.Š

1 `

_

Í

“i'“"'Í-0°' 1 1

mR=m+z9m,

u=m{m I

`

E

\

ı

'"“JÍ'_"' ı L..

I

m

E Hé

1--`*-~

q.`!E

*W ir.,

ı

„

0.6

\

r-___-li-J'

0.5 9506

Ü `w

53-\`Í

w »

A\ `w

\

f=l6m

\

J

*

1

1.

Í! \ 1

1

U

J

J

-1

\ \

al,

L

1

0.5 3469

1

\ \ J,

J w

`\ J

P \ 4..-L

_,

\

_`\*!\„0 \ V

Š

í

L,

`

0.5 -E\ rk 0

ı

ı

1

\ \

`\ \\ 1.

`.

rt

Il

z „.

4

\ H


\ j

`-K*

\

ˇ

\ı*"í \ \

,

Á

\ ,lä _

:_

4

i

-I

5. ábra

'

í í

1!

1

`#

,

ll

0.5

L0

J |ı

zfl I

ULIT0 ; 1

m

Q; ÍE

\ 13.680

. “'“'_T

\

' I

"

f

ımmz

0»*f0*

=l6m

°' `

z

P:

5 _ă

mR=m-ëömı

13,03 Š 1

*Í

,

X

1

' `

0.5

P xp ı

\

kí a

i

\

~

i

0.B?603

1,0

Ü)

+

ı

`

ıı

rıííy

_

mqiw

R `

\\ _,..__...-.-`. 4

` \ _...-.ı..--..

'T-“Á 0,85

T

1

\

M

l

l

1

`

`

"

a=0,2 \

IL

%

`\

`

1

\

H oı

J'í+i"'“'_"'

0.81

=16rn ıı nı =1. I-I =mi

&-L-«„„=„+„ _rV

.

u,

Í" 1

L

0

\

1

`

% _

0.5

l.0

-

ıı

6. ábra

I C!

Cz

H:

M/

mi

Z E .':ff|R

Š õ\\`

ı

I'

Q

.?\

Íı§= Jf I !!._.J.

__ l

_

Jfı

_L._ Q=fH,g

rye

'Š

7. ábra

Í

)

mérő bélyegek

„ııgiııı 1500 0 `ı--I

51900

~

~

__

10380

0 el- ı

8. ábra

f

Eıe

||

pmlm 250 I-lmlm 10°

z

J-J 1!

W

ff

ı0

~l""'vıı|:L 0 ' I ` I I I `

w

ıı

\

°

'

l

ı

-.^.:.

O,1zf«

F

~

0

"

0 l= 10,38 m

Ti

Á

I

0

q = 202 kg mü

J

T.

0

F

I

|

I

l

1,0

l

l

I

ı

`

0

Á 0

T

`“ I

C

'T

10

íí

_

=

0 “

“

2

ı

y `

` 1

Í

0

* l

L L L É

1 ,5

2.0

2-

m' = 960 kg

1,, ;E; q

ml = 2100 kg (egy fotartora)

1,, =s4 138 cm'

I

T

.'

w

0

Futómacska a daruhíd közëpén

Fu tófnacskaz

”

F'

Tí`fT'

0,5

adatai:

` tl

\f

0

L

`

`

ı

1

Ă

"M

:Li

7

..I

II

\

17 4*-

nl

\

`

*ll

Daruhíd szélén levo rezgeskép

_

~

'” =48°kg

ısoo

(egy főtartóra eső tömeg)

\

9. ábra

220

~

li `1

A

0

T

Dafu

f je Š Ífli

.

v

J 0

z

`rl"1"l`l'Ill"'W" Pf0llF

Daruhíd közepén levő rezgéskép-J ılı ll I

gI`I' I*

UI C

-

I

2 Í 1

. „

,ıııılııı I

l, l

z.

E

Í

L

í

umlm” 1'

* _

0 „_”

z

zz

Ü

_

_

z °F 7

"“:f=ıP

1

Ft

pıýg

z

,__ ee

7

0

“Íf'f“ fr* 'M3 éz--ur *-'-

l

,__

.____`Lz_~_f0 l:

_ 0jl0 00,

:J

ııı

J..

"

--1ı--

f

-4ı-

i

w

z

V

I

0

L

P

;

zs

5 0

_

L

zziz

,ll

7

Ă*

'”I>=~~Z%

J

\ 1

J

4.0 Á.. -lı___,J

_ I''U

LJ”

A

Ar

íilp

S0?

1

M

lT

Ul

I

bz *-`4a fi “I_ =0 2'

9*:

Bl

f

af

_

I

“*~*f~fe*

0+ V

F

*ff~+~~*"~`~~-»ff-4 T

.

,

.L

,g 11 .~

I 4 F #

l l _0

„

L*-"'Q""T"'J

N

1

l

_

l

,

1

0l0 il

_

,

_

"vv

L

-

*

~ QAıý

4

0'

L_~ıl

áF-

,000

ı

fz-z;-

»M za-z

ıl41.

- J-

7 Í” 0"* «+-0+ „z

'

i._ 4141)

L

V

el f

7**

*

és ~

w*"

~

7

`Wýı

~

ll nfs

ii

Í*

5

I l0,38m nı, = 2100 kg (egy főtartóra) [I _: 54 133 cm4

m' = 960 kg

w

i

1

Í

Futómacska:

20 2 kgm

_

T J

00,000»

'“f"?

I Daru híd adatai:

1]

l\

1 ,,P`utómacska@ és@„)bélyegkö1,QLg___,____+_______ __„„_0„_

, "

00,*

-

4 0l ,

~z ı ,

,z

0

L

IL

fvvv 2:

JA

Á* ~

0*

;_

000»

fe 1

IL

{ l

L ._-J

. J

.J

O IÁ 1

1/2

m = 480 kg (egy főtaxtóra eső tömeg)

`

-.Á Íx .' E-ˇ Q 560_ 0 _-I

Í:

1

10. ábra

Sza'mpe'lda: A daru adatai: fesztávolságz I = 10,38 m egy főtartó tömege: ml = 2100 kg főtartó másodrendű nyomatéka: J = 54138 cm*

a főtartó hosszegységre jutó tömege: q = 202 kg m" futómacska egy főtartóra jutó tömege: m = 480 kg a) Értékelés cc = 0,5 esetén:

480 „ = -_ = 0,229. 2100 A 2. ábrából az és p értékhez Ă, R1 2,85, amellyel (5) alapján ı

w,=7\ã

JE _-5-=2,8s2 „1,1

5,4ı38-10" -2,1 -10° _, 3 z 3 ~§»-54,98 2,1 -10 -1,038 -ıo 22|

A 9. ábrából a lengésidőre T = 0,115 s adódik, amellyel 2Tr wı

"

T

2Tr 7*

_!

0,1

v

S

.

b) Értékelés az = 0,322 esetén: A 2. ábrából oı és u-höz 711 M 2,92, amellyel

2

co, = 2,92 9

s,4138- 10" - 2,1 #2109" 3

3

2.1 -10 -1,038 -10°

_!

- 57,7 s

A 10. ábrából leolvasott lengésidő T = 0,109 s, amellyel 2Tr

_ı

wıméı-t=6š =57,5S S

.

Látható. how a számított és mért értékek jó egyezést mutatnak. A 9. és 10. ábrák oszcillogramját jobban szemügyre véve a rezgéskepen lebegési jelenséget vehetünk észre, amelyet egymáshoz közel eső gyökök okozhatnak. Ehhez nézzük meg közelebbről a Ă, = Tr és 711 ~ 2,85 < 712 sajátértékekhez tartozó rezgésképekeı. a redukálás helyén W(0!šÍ)=Vı(0f) ÜXP (Íwı Í)+ V201) ÜXP (ÍC02 Í),

(21)

ahol (5) alapján

wı' _ " 7*:2

JE fn?

Fejezzük ki co; értékét co; = w + AO.:

alakban, ahol w értékét válasszuk wı -re. A körfrekvencia változás, (5) differenciálásával doo = 271

V JE

is CÍĂ m1 Z

amely helyett a sajátértékek kismértékű változása esetén

Aw-_-2>\\/ miJE[3 AA

222

ıs ıılıııló. Igy (21)-ben co; helyére

.., z... + zl, A, lıvıı

JE ml

3.1101 A71 = Ă; _ Ă; -

-V;(<`-Y 5 Í) ={ V1 (01) + V2(0f) °XP[Í27\ı (Ă2 'ˇ7\ı)ˇ

1

ÍJ}°×PÜf»0ı Í)

(23)

zl".-.zeI`üggést kapjuk, amely változó amplitúdójú tagot is tartalmaz. Nézzük meg a = 0,5 esetén (23)-ban az amplitúdó változás frekvenciáját:

s,4128-10* -2,1 -10° 9 ~~ ez 2,1 - 103 -1,038” - 10°

Aco= 2-2,85-(Tr-2,85)

-ll.l8s';

õı U. ábra alapján

zff l

2

_1

9

Az eredmények itt is jó egyezést mutatnak. 1.2 Rugalmas megtámasztású danıhíd A gyakorlatban előfordulnak olyan esetek, amikor nem biztosított a daruhidak ıııe wv ıııegtámasztása a futókerekeknél. Ez jobbára acélszerkezeű pályák esetén bír jelentő segge! ~ 11. ábra.

-

4Ő

ff;

'Aië'

„lis .

*W l``=,-'ČIII -„.__"`

221

(1

Ima x _.-Í

cı

C:

A

I

*E L-\

_

B

_0

I AA

j

AB

Al

A2

F c=-----;

A, + Az

_a ez---f

1

12. ábra

1-2-1 A Sajátértékek meghatározása A II. ábra szerinti pálya rugalmasságot gyelembe `vevő daruhíd a 12. ábra alapján modellezhető, ahol m; q, J a daru 1.1.1 pontban már megismert jellemzői, cl és c, pedig a darupálya merevségi tényezője -a daruhíd megtámasztási pontjaiban. A daruhíd rezgéseinek leírása továbbra is (1) egyenletet használjuk. A megoldást (3) szerinti szorzatfüggvény alakban keresve a sajátfüggvényekre ismét (4) differenciálegyenletet kapjuk. (4) megoldásainak eleget kell tenni a 1

v

=--Q 1

" 2; Q I.-. _d2v

2

=o

452

__0

izzı

peremfeltételeknek, ahol a megtámasztásnál ébredő nyíró erő

224

Q _ JE Í3

dav ŐE3

mıı.cI`i1ggéssel fejezhető ki. A megoldásnak továbbá ki kell elégíteni még - a tömegpontml (futómacskától) balra és jobbra érvényes függvényeket illetően - a (8) és (9) illesztéıı Ivllételeket. A megoldást a Krúlov-féle függvényekből konstruált próbafüggvény v=vz, =AS(7\';')+BT()\č) +CU(Ăã_§)+DV(?\§)

haûščša

"=”ı'=vb+;;}E Vl7\(E-01)]

haf-v<-E41.

nlıol R (14) alapján határozható meg v(a) jelen esetre érvényes alkalmazásával. Bevezetve ı korábbi tömegviszony jelölést, és R értékét behelyettesítve(25) egyenletek v = vb = AS(7u`§) + BT()\.§) + CU(7\§) + DV(7\E)

ha 0 < 2 < a

v=v;=v;,+z.ı)\v(oz) V[7\(E-oz)]

haoıšëšl

( 25)

alııklıa mennek áll, 31101

v(a) = AS(7\oı) + BT(7\a) + CU(7\oı) + DV(?\a)

(26)

Mivel a (25) próbafüggvények kielégítik (8) és (9) illesztési feltételeket - a levezetésekcl ııı nem közöljük -, a konstansok a peremfeltételekbô'l határozhatók meg. Elvégezve a peremlelıételekbe való behelyettesítéseket - a levezetések mellőzésével - az alábbi egyenletreııdıır~ı`|ıeZ jutunk: JE A + -_? 713D = 0, C1 I

JE

A{s(>1)+ „As(xa)V[A(1 - 0z)] - É? >\3[T(A) + ,ns(>\zz)s [ı(ı -
+ E{T(>\) + „AT(>wz)V[>\(ı - a)] - gif; A3 [U00 + „>tTO«z).s[ı(ı -
(27)

C2

JE + c{U(A) + „A U(Azz)V[A(ı - zz)1-Ü; A3[V01) + „AU(>«z)s[A(ı - zz)1]}+ 2

JE + D{ı/(A) + „A V(>«z)ı/[>t(ı - an - -1-x3[s(A) + „A V(A
225

czo, A{U(A) + „As(>×0z)T[>t(1 - 1) + „ıU(mz)T[A(1 - zz)]} + D{T(A) + „A V(>\0z)T[7\(1 - zz)] = O Jeıõıjaır (27)-ben

JE

x, = 801) + „>\s(m)V[>\(1 - zz)] - C-F >@[T(>\) + „ı\s(>\az)s[A(1 - 0z)1], 2

JE

x, = To) + „AT(Azz) V[71(1 - zz)] - C-I; >13[U(>\) + znT(A<>z)s [x(1 - 091] , 2

JE

(..

zz, = U0) + pwotoz) V[>t(1 - 0z)] -É>\3[V(>„) + „AU(Aa)s[A(ı - 001] , 2

x4 = V(?\) + 1.01 V(?\oı) V[?\(l - oz)]

JE

- ;FA3[(s[>\) + „AV(>\zz)s [A(1 - 0z)] 2

es

Y, = U00 + ,.ns(>tzzz)T[>\(1 - 0z)] Y, = V01) + ,nT(>\zz)T[>\(1 - 00] Y, = 801) + „w(x0z)T[x(ı - fn] Y, = To) + ;.z7×V(>«zz)T[>\(1 - zz)]

3

S

3

29

(28) és (29) jelölésekkel (27) egyenletrendszer JE A + Í Ă3D =-` Ü C1 1

x1A +x2B +x3C+x4D = 0 C= 0 Y1A +

alakra írható, amelyből az

226

Y4D = 0

(30)

JE

l

0

0

_-_ A3 C113

xı

xz

xz

ra

0

O

1

o

Y1

Yz

Yz

Y4

= 0

(31)

de termináns kifejezésével JE X2 Y4 _x4

3 Ă (X1 Y; “X3

ı frekvenciaegyenlet adódik. A Ă sajátértékek (32)-ből gépi számítással különböző ltenlclóıı eljárásokkal határozhatók meg. A számítás eredményeként adódó 71 = km-n értékeket rx függvényében rr paraméterrel különböző cl és c, értékekhez a 13. - 16. ábrákon mulat|ıık be. Az ábrák elemzésével levonható az a következtetés, hogy a merevségl tényezők rfsökkenésével a sajátértékek - ezzel együtt a rezgések sajátfrekvenciái is - csökkennek. A kapott eredményekhez meg kell jegyeznünk azt is, hogy ezek nem annyira általános érveııyűek mint a 2. ábrán bemutatottak, ezzel konkrét daruhíd keresztmetszethez (J) kötődnek. Amennyiben konstrukciós okok miatt a keresztmetszet jellemzői megváltoznak a sajátértékek számítását újra el kell végezni. Itt is megállapíthatjuk - mint 1.1 .l pontban - hogy a rezgéskép előzetesen nem

vehető fel, mert alakja és frekvenciája a futómacska helyzetétől függ, ezen

azonban

ıııég a futókerekek megtámasztási merevsége is befolyásolja. 1.2.2 A redukálás végrehajtása

A redukálást itt is 1.1.2 pontban leírtakhoz hasonlóan végezzük, azzal az eltéréssel, hogy a redukált rendszer merevségi tényezője most nemcsak a daruhidnak a futómacskát jellemző tömegpont helyére számított statikus merevsége, hanem a futókerék megtámaszırisok merevségét is gyelembe veszi. A 12. ábra alapján az m tömeg elrnozdulása tetszőleges F erő hatására: 1 A=Aı +A2 _F

I-a

“ C1

1

I-a 7

I

C1

7 I

1 a

a

ˇ;

a2(l-a)“ +

C2

I

Í

(33)

vagy a dimenziótlan a változó bevezetésével A=F{

1--a C1

1-oı C1

ap P " a+--a2(l-2a+a2)

(34)

C2

alakban fejezhető ki, amelyből a merevségi tényező 227

Ă

4

~11'

3,0

\ ,.«-z-k..1-z Í -Á

~11

*

V \\\Íă`í-Z?/'F' L

Í

2 5

í

T 4.

2,0

1” \

\

\

` I\

T \

ııw

JE =344 ı0“Ncm*

w

Á* l_.___TL_..ı

_

c Jýă

_..

-C,-6,75-10

6

Nem

'Í'

1

3}

l=16m

lllli..

Jı'44

if

V

ıı,\

J

h

Š

+

ı

i

I4

\

I

05 ' a

l0 a

I m

a a oz=-I

q;IE

cl

L

(-2

I 13 abra

.J

of

A1

V

310.2..

2,93737

z

z

_

„__ 7_z

u-0

_____

_

_T__

\

\

`ë§ \\ (I ' .\\ \\\\. .am Í Íš ~"ë

\

L

jıı__ _-ıı Í .ııv

_ __?

7

'

1

V

í

„L "`IŰ?"»,Í -

fn

ı

,`

77

,

U1

5"!! *Í 4AÁl

Í

C1

z

. . ı\/. .F 1

L

J-

ı

ıi

ı

= 9.95 ıO" NL-m”

I

,

I

os +

I

I

7

7

`.

1

Á

_......__J.__.._..

` =fz = 6.87 'I O* .mm*

_-ú__'_+_ı=ı2,sm

ıı

*

1

Á

í

_;__-'__A \ ı

l

1,0

7

~

1-

u

[_

'__

"I

q IE 62:1-

L

I

14 ábra

9

Ă

§\\ %_\Íi

_* "

H\ í\

_`Á;%Á\Ü\ `

1_Iá\t},&_\ WM __

É/IJ

1,_I“_ ___`1,\ `' J1ˇ`:"U .__. _ a am

50_3i

______ _\Á

%`__

4 r)` MD"\1 VHČ ___ LMH`1``.\Mııl`\ +`; `+\` `

_ Ü 4N_kF_ N

J

EŠ _,'I 2 `i"\\`\"\-:\"\`J

2,5 0

MÁ m

H N

J`\í` `u`_H`l"

2 0_l 1

` \`._MU` `h"`U`iH"`lH\" U

II

wm

__

„_” __

1

,__

<_"\ \M__

A4

040 0 2

`ı``l

`q\ Ü"l``lllÉU"

*WH 56 67_75 CC *_I W

ki

F5

4.

II

I'

0, `_ _

!í

0

G

:___-

M

a

I

Q_

gy/__

kí ll

W%

N í _`__` H _

2

4 5 1*el Y 3 '11`"

__uˇMb _ F mm__J

_

II

_75 _'kA%+L /7 I

_

1_ `

mI

6

m

__ an 4 4 __ `ı`_

C2

__

0

7,5

6

15

_

2

.

_

I

4

_

1

_"\ı_

0 I

a

Cı|_ I

_ a

__

F

„___ 1

C- A M (1-Oı)2 ez

+

C1

az

__

13

+

__

2

f

Oz (1-"(1)

2

J

C2

A redukált rendszer sajátfrekvenciájára

wzj/L = mR

_

_

1

_

(36)

[(1 -002 + C2 az + -L3 az (1 -002] mR C1

összefüggést kapjuk, amelyet a tömegpontot tartalmazó kontinuum rendszer (5) sajátfrekvenciájával összehasonlítva a redukált tömegre

mR

_ e A

4 JE (1 -a)2 3

I

+

C1

1 G2

of

+ _-(1-oz)

C2

2

m

1

37 ( )

3

adódik, ahol Ă (32) frekvenciaegyenlet legkisebb saját értéket adó megoldása. (18) értelem szerű alkalmazásával a redukciós tényező l Ű_

.IE (1 -a)2 az az ?\4{ 3 [ + J+ 1(1-oı)2} l cl cz 3

H

(38)

alakú, amely 1.1.2 pontban leírtakkal ellentétben már nemcsak a futómacska helyzetétől és a tömegviszonytól, hanem a daru egyéb jellemzőitó'l (főtartó másodrendű nyomatéka J, fesztáv l) is függ. A redukciós tényezőt 11 függvényében az paraméter mellett különböző cl , cz ,J és l értékekhez (32) és (38) felhasználásával számítógépen határoztuk meg. A megoldás folyamatábráját a 1 7. ábrán tüntettük fel. A folyamatábrával kapcsolatban meegyezzük, hogy a számítógépi program pt = 0 esetén Ă sajátértéket nem (32) összefüggés alapján számítja, hanem (27) egyenletrendszer ennek következtében egyszeñsíthető formájából kapott frekvencia egyenletekből. A frekvenciaegyenletek - a levezetések mellőzésével Ă Ã sin-sh-=0, 2 2

1*

232

JEÍ 1 + 1 I P C, vz 3 e Ă 4

A 2

K 2

cth--ctg- =0,

(39)

Q

REA D; 8.- uuo; L0; LF,-E;

MU = ıı

D = Au

.uuı;D.-DL.-c`ı;c`2;K:L

L :gt LF = kp LA = 1,.

DL „Az L0 = Á., mio = u,

V

j

'Ji ~„

>

'*I

V

_

_

0

`

SUEROUTINE „E” '

+

.

_

+

`

`

,

'

DL=

1

kg DL

I

1_

1

-1

0

_

»Q

z

4

V

j _

_

5. + ,

Aı=L(AL -1) A2=L-AL

EF

_

"" I

A

= LA+u-`

Segédfüggvények és X I." X2;

A

X4; Yı; Y2; Y4 képzése

" L=L+D!.

A + 7

_

A

K

Y=X2-Y4-X4-Y2+zıIL[X1-Y2-X2-Yl) I

_

U

_

0 >

D

*'

+

>

-

_.

0

0

0 N

+

4

_ `

>

0

DŠ

0

v

1

ıí

_

ı

I

O

TH: ~ _ z -Mu L*g-Š'E?lfv{.§Í]+ 53-P(ı -A1.ı=}_ Í

WRITE.-AL.-cı ca; Mu. L- Y-' TH _

Dı

L

+

-

4

`0

_

V

+ 4

ˇ MU=*"U*D

F

0

F

J'

> MU=.Mu+ ıoD

.J

1 7. ábra

IQ 'al LA)

7\ Ă cos - ch -=0, 2 2

JE{1 ,

P

1

+

C,

39

1]

()

_

zz, 4

3 A A A ı1«.-+ıg- =O 2 2

alakúak, ezeket a számítógépi programban a SUBROUTINE „B” kezeli. A számítás eredményeit 18. - 21. ábrák tartalmazzák. Ezekből az eredményekbó'l is látható, hogy a redukciós tényező itt is érzékeny a futómacska helyzetét jellemző oz paraméterre különösen a merevebb daruhíd megtámasztások esetén. Megállapítható az is, hogy a kapott eredmények teljesen eltémek Körber, Kos és Mihajlovič/már idézett dolgozataibaıı levő eredményektől, tehát azok használata nagyon korlátozott. 1.2.3 A mérési eredmények ért celése

A méréseket ez esetben is 1.1.3 pontban leírtak alapján hajtottuk végre. A mérés során felvett oszcillogramokat a 22. - 23. és 24. ábra mutatja különböző macskahelyzetek mellett. Számpélda A daru adatai: -

fesztávolság: 12,5 m egy főtartó tömege: ml R 1200 kg = 1,2 Mg a főtartó másodrendű nyomatéka: J = 4"' 468 cm4 a főtartó hosszegységre jutó tömege: q = 96 kg mˇl

-

futómacska egy főtartóra jutó tömege: m = 323,25 kg

-

daruhíd megtámasztás merevségi tényezője: c1= cz = 1,47 -10`4 N cm”

a) Értékelés ez = 0,5 esetén (24. ábra oszcillogramja)

323,25 zl = --- = 0,269, 1200 a számításból oı és u értékhez A1 H 2,12, amellyel

_

(.01 --2,12

2

4,'/467-104 -2,1 -109

12.103 . 1,253 _ lő,

A 24. ábrából a lengésidő T = 0,216 s-ra adódik, így 234

29,38

_!

.

l

Ű

1* iiF ;L_ _ M_ WWW

T

0,55

Í

Ű * Hš__k_ TIĂkíJ,H_j 1F\'

Hi

1

F ____Li a_!I_6__ +mHjFw%r1 i

1` "AFH"\ Í" I._ `_ U`_\L``` É\

J_I__T, ``%K_` nIl `!%` ``ı&`

i'_H\F__3ig `j`_\ ` \'I+`J` _`

ll

F _7

4`` c 1 iJ-" .ll Í II."`"`i" `J_.%`.`J|iñ II

il " WıJ H ` Í _i,

gl J` lFly `1`J_` \_.l`"\`

mi 0_L_já!,A

J_ı!Nl`ip\?`#HL\&L`Í,\i

4_* _Ím* *`TŠU_L`" MTN` F! A

ý%"

_

Í V ŠA```"V"

___W

„_ Ín 'Il !" if"`lıJ;`:_" "Á`ıÍ"JH`-__l\_`

_i m_mmp

W

_0__

a _

W_ 1

_Í

i

0

0

A_ 9 3 6 9

JP *WŠ

új

Ai5

I'__`_LL_U"_` ı

W4__4_89

A0 0

_4

Z Il ilI`L'I :"`JIııırl `

0

L

j_m_ I

_

_

a_

__

___

__"1"l

3__

2 4

ll

E

C

c

C : C : 6 J_ 5

am

N 0.

NCm

-

I

I

I

i m5

1

_

lt

9

P

ı9

L fi“2T\*

Ten ıs

~« f

_

_

FT

0

k

Pf

V

*ˇ

izz

-

0,56

+

"'ı

_ Wzız

ıı

-

«f

“í

_!

Ty"

ˇ

Ă

*

Š_

__

1_

_._

A

_-Í

._

,__

_

_

í" _

I = 12 ,S IT! I!

.

Al*

_ _

_ f

_-

á ărirr 1.

rr"

~

e l

az

zqı

_

T

_

7

+~

Lí

*A

___

4

_

7

,Š

*É

ÁT.

_-zi

z

_'

z;ı“.

lı

_

_ _.

_

~

0,55 iı

__'

PZŠ,

T

_

2-

ı_

_

+__

2-.. _

_ *_

„

„..`Í

3_

L

s

I

l

_

l

zzl.

W

iz

_L«“ı

r

-

JÍ

T

_ı

.ır ~

1.

pe*

Í

I`

ıl

I

1

J

_-

_

_ :_

_

___ _

_

L Í.

_

Í 4i lfi

_~_

._

mR=m+ı9m

__

_

1

_

1

_

._._

_

_'

"af

z 4 i'

1

__

a Í

_

_.

Í

i

X

0,45

_.

1

ı

_

4;mi

. 0,54

_.

l

_

___ L.,

H

_

ze

ı

_

Í

_

0,53

E

Í

h

_

_

_\

_.

`

.

Q

ı

.

_

4-

_-_ _

ATÍ

'I

_

ııf.

1

l

q

0,5 A

ı

Í

[Ă

ı.ı=20 1 _

0,53606

._ _

_ +

U-

“I

1

~

L

._

-F

_-

-ı_

_ 4

1

1

I

l-a

ı_---Tí-L-i+_PTI

_

l

N

L.,

m2

J.. = c,= 6,75-10" Nem" I

í_HP_L___r0_q5|J 4 L

lllIl_I}

1 9. ábra

`_

Ö

ıý ı

FU!

__

__

_`

/4 lt;`

J!

ú T

ÍAW` `.ı _í_*;ı``

TL Q` 4 ıIIJ E\`"_J"` F"`_`l"*U _[`l!á _ HZ0 Z í AJ_

rL

iv _

__

L' `_ Í1

L HP

JMMW_

_il_\F`

__

Í_ _

Ík

`í,lUl"`

_1ý

ı""

F _' Í`7IH" IÁ `_ñ `\Jy"` `HI`

"El 4§páIA%Í

a A 7 W Li l _ ___ L!L L.

H?_`

3 J 1_LJ

`_`_"_i`L`Iır `_

__ZZ

Üçû `` T L1P ___`_ `,`1_``ı`#_ı`1"im JF`_ I. II`*_,l_H` _I.`_|l` *

_r

i

I.r" __

5 0 96,

Li

P`

T

_

û

__ ÍL“`_Í

Lma__ımm

F

L ` `"ı `iI` "I-` I`J_ `ı!`ll,

_J_]_` T;iIl ___` _LT`T""h i\`:_ i;`ı__h_

í “_í 50 0_0 0

_lm

Tggi _W_ `Á _"W __”

_ 0, Í _

___

_5 _0

``__`h_ ~73 "` `i`l

_

Lb _i;`_ ` 'A _ `F`!`"`Jl`!i"L

L __ * 4 J__ A Í *__F

L "í%`I' 1 ı`` `"F É r";`` _"-_ `_`I""`

_

__

__ __ ëıkl 1 *" 1`*It _M"Jí|_`L*``ıÍ\_ -7` _`l``F"`_

w W5_83

Í* E

1` _`ñMM` _`"__ 2.ll W`"`_ l ` ıãl

J'*Í'P_Jz_um_Ã_ í

R íí

__m_ + "Ümi

l Ji`llŠ1"|`u` L

Íš i-T v*h__, _"_“."_

1 _1 IF`;[I'"J_ _"`l`1ı"

S

.É c Í l _._ _

Ü5

72 7

_H

_ C

0 _ a0

a

__

3

A4

C “__I ____5 É 7 c -_.

N

I

0 4_.

W

N cL

m

6 7_S

'_

J_|_

__

*IL

I

I _

_ _

1

_

Ű

F

L

__

_

L Í

Ü____ F__ ___J____ __!J __f__ __ __

.___ __

É

_!

ñí _

__

_ ___ ____ _V__

cl__ DL __ _a __ H __

T

___l__ __________

A __ý_ V ___

m __w_____ ___ *__ _Q ,_I_ _7L___' _I1 7_7W__ M _L_ P

__

_____

_ _ ________h_*____)L_____________+7 ____

2f iW W _

___ i__ ___

iJi T__

J' L___ _ üL ___

__ ir

___ _

_ _W____ __A_m__ _______aÁ _ Z_ _ Z

0 6"0

_4*

I J'T M _ H_ _"17 _%_ _m a____Í _77 W___ ____A_F

J________ ____ _ _

Q.W_L_ _%F__ _ _ _'

Wzma _

___* __ ____ ___ í_

___ C _________J_`_______J__J_ _ _

_____l ______~_____ __!___ _ _ í

1_

Ü

S

Í_ _ __ _

9 _.__F__ Őñýñ____ _____L 1! Ű* _!_ _ ____I ______1_ _T

_M___W ____ı_ __*__ _W ____ *__

_HrH____ 7_____

__ __ _ c

0í

0 5 8 094 05 8 _ .__h__ ____*_____V _

_____Ta _

_5_

_m __L. 17

__4

4m __ __

0 ___

___

05

7

0

__.

_`

_! í

_

_

ám _ __5_ _L _ 0, _ _'_____

05 664

6 _“___

__

_

__ 3 A 4

“W__

C-l

05 6

_ __

l_ _ _

C __ ___ 4|___||L_

1Iılı _

N 0C

1l

6

S

__ __ 7,

_

N 2

I

___

_m_LH

_ '__ `J'`F` . ri í* _ _I"

ı

r\r*HI ídik7l\_'V _%l:_.Á._

ý ŠŠOL_ _Jf L ,LI1LÁI\ ;|_FH1_

i li_ ami W

___ 1_* H 77

\+°°~ ÚH_” í

K W]` JAút?FAÃiNLO fÁ_ * ";U ná_ (ill I_ ILI. illi ___ ll'FI I` l_l

í

*Š 1`\1`\` IVT `Hl]\ `:_ 1 `\_`"L'`l `

__;|L _ıl_ıııýıı _ ilL t_lI!'_I'

_J1HAW mi___É m“Š_ég \ \1 ` Erço v l`"I`" `" _

_ësgă ˇ_F"s_a3_IEč2_ h_

.MŠSHN E`U 3 cR_E „NJ nő: Ec:HNx

:MN O mó _____`Eı

_°NE`Eı Í

I

WW

F H_N_o Í "S mÍ HL J _7\ULÁ\kÉl 1:

'ill' __\\`*\` .__í" _w`_\A:Š fH`\i\:i m__

__ __; A_ýl___\MMM“___úú`__w_Há_Ã \MWU

J___ :__W

Ü*__ _“___

Ă_\ 'W __Á W\P1._ í_

II'4 II.ill ııl__'IIIltlIfi

li.__ _

4_:`__7Á_W'I_\ `ÜH_*cow

J `4I` 4```\ W, "\MALi ` \L-_` N` `"\U` [ 7_

ýý_ ýE`E_ __` _LliL}\\_W___N\NiM1ÃJIQıUW\L_i\lp&!L\á

_

I.I'ıı .ll.IIIII

.Í__ HQ__ wˇ. _. o N_m_E

Í]_ ilII. _

0_\_"`'_ Q_

OmóO_ *``1 ı__`ul'.I` I

Imx *EU :_mg "`“M gm“NHE_

` =_wqv__

N:

uwggh ä "vˇû_mUE©H:__“~

MNQkac

Q: H1E__:még Hmx

ır Iııý

co HG Em*

I

I

02L1

1

NÍ OO

W U

E\E§ __`

`\h\rıF _`\`L __\ \\_` `\IL`J J _Li_

_1` ` N? `"J___"`"` `“_``"""`_ ` `"1`;` L

lí_ _I1II`l:_Id03I c: _

í “__:mdubizN

IN'll _'LIm GHNI_: 1ŠXI NÍ_____\ ___ _W__ _IU il! W_ ýJ_ _ :_ _

H_ _.___

A H-IIl _I_[ll .“Hr _l _" _ li_Ii_lh_ _ 7 . _7

IlılI.III'llI Ilıil _I'II'_'W7 .I I_ _ _

__ı`_l_\NÍN_ Ál_`N_ _

rt. __ __ırıı ___

31 FHF7`W`J_Ü\ `;"É1 "1`;\F`\` Š`ifD` ` _~

í Wí U '_ WWIJÁŠxi _ÁN2NJ1QIhŠıN!ú\M`N5T_ı\l_;__ 1_i`L

WFšaıı E`E É

7"WP;\"`__`Š1`7` F"r`` '

Jˇ:#5 „Ui Q m` %

1 ıj_ 14'

`_ ___'_

W_ _ _____',__'_'7

ccm Í ._ _

O; md o

í__m0 _

` 1

mg:H“__ _5 3__HEQ: _\

N` \Egãän“agg"s_3IEÉ_ű `

“BW _\N

DÍ

"E _|E“x wan”

24

21r

_!

o)1mén="(T2"i-6- =29S

.

b) Értékelés 0: = 0,342 esetén (23. ábra oszcillogramja) A számításból az és 1.1 értékekhez R1 Š' 2,17,

2172 wı

=

4,746? -104 -2,1 -10° 30 75 _! Z Z H 7 1,2-103 -1,253 .10° *_-7 9 S

5

A 23. ábrából lengésidőre T = 0,205 s~ -ot kapunk, amellyel

2"

I

Í 1*'-"'-'-2

°°"“°“

0,205

30 6 '1 ,

S

c) Értékelés 0: = 0,421 esetén (22. ábra oszcillogramja) A sajátértékre oz és p függvényében A1 N 2,15-Öt kapunk, amellyel (AJ =

2 2

1

4,746?-104 -2,1 -10°

'15

1,2-103 -1,253 -10°

'ˇ

30 _, S

.

A 22. ábrából T = 0,21 s lengésidőhöz co

a

ımett

2"

Z--ii

0,21

299 '1 ,

S

frekvenciaérték adódik. A számított és mért értékek mindhárom esetben jó egyezést mu tatnak. Itt is meg gyelhetők bizonyos lebegési jelenségek, amelyek a közel eső frekvenciák következményei. 5

2. További modellváltozatok daruhidak egy tömeggé való redukálására b

ŠIÍ 2

.E , 2 Az ,//z, '" 1 25. ábra

A daruhíd modelljének változtatásával eljutunk a 25. ábra szerinti esethez. Itt a futómacska tömegét úgy vesszük, mintha az a futókerekek és a sin érintkezési pontjaiban 242

két egyenlő részre oszlııııa meg. A kontinuum rendszer ez esetben két diszkrét tömeget tartalmaz. A két diszkrét tömeget tartalmazó kontinuum rendszer sajátfrekvenciáinalt meghatározása az előbbiekben ismertetett frekvenciaegyenletes módszerrel nehézkes, ezért célszerű valamely közelítő módszerrel próbálkozni. A feladatra jól használható ıı

Bernstein-féle módszer, speciális esetben elfogadható közelítést ad Rayleigh módszere lı, vagy más közelítő módszerek. A következőkben nézzük meg a 25. ábra szerinti speciális esetre Rayleigh módsze-

rét. A futómacska a daruhíd közepén áll és a rendszer redukálását is a daruhíd közepére végezzük. Ahhoz, hogy a számítás elég pontos legyen a rezgőrendszer rezgésközbeni alakját a valóságos alakhoz közel hasorılóan kell megadni. (Ha ez az alak előzetes megondolú sok alapján nem vehető fel, akkor a hiba jelentős lehet, és valószínű nagyságrendje nem határozható meg.) Tételezzük fel, hogy ez a becsült alak , _ Trx vtx) = vo sm -T ,

(40)

ahol

A v°

F„(8zz= + õbz) 48JE

(40) összefüggéslıez megjegyezzük, hogy csak megszorításokkal fogadható el 1.1 és b klı er

tékeire, mert mint az 1.1. pontban láttuk nem elégít ki bizonyos illesztési feltételeket. A 25. ábra jelöléseivel a két diszkrét tömeget tartalmazó kontinuum rendszer ıııját-

frekvenciája w=Tr2

JE mi 13

5

[

`

fra

1

1r(a+b) ]

.

(41)

ı+2„_ af- + 811%Í

Í

A korábbiakhoz hasonlóan a danıhidnak a redukálás helyén (x = II2) számított statikus merevsége 48JE

C ˇ zz(8z= + Eb!)

(42)

amellyel a redukált rendszer sajátfrekvenciája C _ w = ˇ 1-

(43)

mR

(41), (43)-ból a redukált tömeg

243

_FL,i Ájy,Nl_Ăú Lmd i_š,gNr1!_\}!lF_\Š_1_ fi

__ _ ` L'Ll»F``Mlí "Ál`W H"`UU`l _

111"W Jiu `lÍ/

Ă W“Š _jĂ*Á,Š ,LÁúplj ;EÍ,WHjvalNL l_E;as4,#iL„_ _JEUZ 22 N,Lr Ji+mi ,:tm Hg,pHí_jipqı

TV"` Í JJJH` W __r` `It "_l`L:"l`\:`___"`LlHJ_` UılM_,"Ml__1""" i`l`

W _p

w__ J_*` HW`L_ tv 1L`l`U hHl"l`1,`"lL"iníj`L_Wl``H__Y`V 7Ú ___

1_,`_H"`l1ÍW`J`l__1`\t LW`UT":` l`l“H_\šf`l __í`

cwo O__ p8 _3ÍAWúN ,ÍpÃj! p is p pAIp CJE

3* _1v_ ijpk Ív

_ W_ ` __ `_".`_ _ J`k _L_7[`[liM`Ni`!``LllM`_T"" bl`ĂHM"l Fl`;"`IVL`H_h__ `_"_í`lW`r"`lN`Ml L!

Íû ı 1 _``T"l`P JT, MaI-.T LlHP r l`!"`Ml"rJ "`l"W`l " "L_`

ÍÍd__: ĂW _Iši\ ,ÉS: H__: q_ k

Ü_ __

I

I JE Íj`Í`_

Š/W “_ TI'

_*Ij

F măó

_*

#6

ÖN _š§

ı _ 2u[zııı“ ~"“- + ami --_--"(" H) J 1 1

4813

'"R=`;F"

“.<8.z+.z,„

5

mr

(44)

A redukált tömeg (18) és (44) kifejezését felhasználva a redukciós tényezőre

4813 0- ez zi

1+ 2_u[sin2 Í-'Í + sm*-1 + Ö) ] ` 1 1 ~ A „(802 + õbı)

2 . 'ˇ'

45

( )

(45) összefüggést különböző 1.1 és b paraméterek mellett a 26. ábra mutatja. Az ábrát összehasonlítva 4. ábra a = 0,5 paraméterhez tartozó görbéjével, csak u kis értékeire mutat egyezést, mégbhıııo határmenet esetén is. A hatánnenet elvégzése után a = II2 és u = 0,5 értékekhez 0 N 0,486 adódik, a 4. ábra 0: = 0,5 és pt = 0,5 értékeihez, 19 N 0,489 tartozik. A 14 értékeit növelve az eltérés jelentõSebb

lalıayleigh §

sm, = 0.4879. Amennyiben a redukálás helye nem a daruhíd közepe, ez a módszer nem alkalmaz-

ható. Ekkor más közelítő eljárást kell keresni. A számított és a mért frekvencia értékeket összehasonlítva azonban levonható az a következtetés, hogy az egy tömeget tartalmazó kontinuum elég jó közelíti a rendszer rezgését és a frekvencia értékeinek pontos számíthatósága miatt a redukálás alapjául elfogadható.

ˇ

l. 2. 3. 4. 5. 6.

IRODALOM

KOGAN , J.: Die praktische Berechnung der dynamischen Belastung beim Lasthub. Fördsrn and Heben 30 (1980) 337-342. _ KOS, M.: Eigenfrequenzen der Krane aus der Sicht Konstrukteurs. Deutsche Hebe und Fördcrrechník. 26 (1980) 365-368. KOS, M.: Seismische Berechnung von Lau rranen. Fördem und Heben 30 (1980) 458-462. 520-521. KOS, M.: Bemerkungen zur dynamischen Stabilítät von Kranen. Fördern and Heben 30 (1980) 997-1000. KÖRBER, R.: Dynamische Beanspruchnug der Brückenkrane beim Lastlıeben. Hebezeuge und Fördermittel 5 (1965) 111-115. MIHAJLOVIC, R.: Dirıamíckí faktor prı' dizanju tereta kod mosník dizalica. Masinstvo 197 3. 492-503.

245

7.

8. 9. 10.

KULCSAR B.: Futódaruk teheremelésı' és teherfékezési folyamatában keletkező dinamikus tényezők számítási és mérést' módjai. Mérnöktovábbképző Intézeti jegyzet Budapest, Tankönyvkiadó. 1973. 140. PONOMARJOV, Sz. D.: Szílárdsági számítások a gépészetben. VI. Budapest, 1964. Műszaki Könyvkiadó. ROOS, H. J.: Ein Beitrag zur Nachrechnung der Hubwerkfunktionen bei Kranen. Stahlbau 46 (1977) 167-176. VOLLING, K.: Schwingungsverhalten von Brückenkranen. Fördem und Heben 23 (1973) 369-378. DYNAMIC MODELING OF ELECTRIC OVERHEAD TRAVELLING CRANE GIRDERS

by B. KULCSÁR S u m m ary The vibration modes and eigenfrequencies of crane girders can be approximately determined by means of a dynamic system consisting of a reduced mass and a spring. In the paper a refmed model is presented oonsidering also the position of the trolley. The correctness of the suggested model is verified by measurements in the case of rigid and elastic supports, respectively.

DYNAMISCI-IE MODELLIERUNG DER BALKEN VON LAUFKRANEN

von B. KULCSAR Zusammenfassung Das Schwingungsgebilde und die Eigenfrequenzen eines Kranbrückenträgers kann man näherungsweise mittels eines dynamischen Systems bestimmen, das aus einer reduzierten Masse und einer Fe der besteht. Der Artikel gibt ein verbessertes Modell, das auch die Lage der Laufkatze berücksichtigt. Die Richtigkeit des voıgeschlagenen Modells wurde im Falle von stanen und elastischen Stützen mit Messungen bestätigt.

IIHHAMHÍIECKOE MOIIEJIHPOBAHHE BAIIOK MOCTOBIDIX KPAHOB

B. KYII'-IAP Peaıoıue tbopıvıu H \ıacToTı>ı coöcrnem-uzıx Koneõaım Kpauoahıx Mocron Moıırno npuõnnsmensno onpeııensmz c nomonniıo xoneőarerıibuoii cııcTeMLı cocroaıueii Ha onnoii penyuuponaımoii Maccu ıı onno ııpyııoınm. B cTaTı.e TpaııcaeTcn nnn )ı<ecTı<ı«ıx H ynpyrııx onop “3M°P°HlMH 246

TARTALOMJEGYZÉK

Scholtz Péter: Hajlékony rudak alakváltozásának vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scholtz Péter: Hajlékony kötélnek modellezett kábelipari sodrat gyártásközbeni egyensúlyi alakjának vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ Bencsik Zsolt: Adott térgörbére illeszkedő csavarfelületet burkoló forgásfelület alámetszésének vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gımda Mihály - Takácsi Nagy Andrásné: Legömbölyítéssel nyert átmeneti felület a forgásfelületek áthatási vonala mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gábry Gabriella - Balogh András -Orosz László: Gyémántvasalt, dörzshegesztett kötésíí, takarék kivitelű többélű foıgácsolószerszámok korróziós fáradása . . . . . . . . . . .

191

Kalcsár Béla: Futódaruhidak dinamikai modellezése

209

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 149 169 177

247