A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM
KÖZLEMENYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 23. KÖTET - 4. FÜZET
MISKOLC, 1979
HU-ISSN 0133-3992
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
VINCZE ENDRE felelős szerkesztő
BERECZ ENDRE, szAEO JÁNOS
Kiadjaıa Nehézipari Műszaki Egyetem Kiadásért felelős: Dr. Tajnafõí József rektorhelyettes NME Sokszorosító Üzeme, Miskolc-Egyetemváros, 1979 Nyomdaszám: KSZ-79- 1045 -NME Engedély száma: MTTH-III-31 83!197 6. Sáitó alá rendezte:Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Kovácsné»Kismarton Gabriella, Molnár Lászlóné Megelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1979. febr. 15.-1979. márc. 15., nyomása: 1979 . júı. 12.-1979. aug. Példányszám: 450 Készült IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 4 BI5 ív teıjedelemben
A sokızoroıítáıért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető
12.
A RUGALMASSÁGTAN EGYES SÍKBELI RÉTEGEKKEL KAPGOLATOS PEREMÉRTÉKFELADATAINAK VIZSGÁLATA NYOMATÉKI FESZÜLTSÉGEK MEGLÉTE ESETÉN SZEIDL GYÖRGY
Kõzım ızzezızzzeuz 1978. apnm 11. 1. Főbb jelölések
Latin betűs jelölések A
alakváltozási tenzor
A (lc) (6 × 6)
együtthatómátrix
B, (Í = 1, . . . , 6) (°×°)
a (4.13-1,2) összefüggésekkel értelmezett mátrixok
C, (i = 1, . . . , 6)
tetszőleges konstansok
3C ( xl) D(7\)
C; elemeket tartalmazó oszlopvektor (i = 1, 2, 3)
D (u) (exe) e,,, ey, e,
diagonálmátrix ~ x, y, z irányú egységvektorok
E
Young-féle rugalmassági modulus E
(6 × 6)
karakterisztikus determináns
egységmátrix
I, (x)
peremen megosıló erõrendszer lntenzltáıs
F
feszültség! tenzor
NMR Kdılsnılııycl. IV. Somsıl. Tırnıduslnıdonıdnyok. 23/! 979) kóm, 185 --E210
185
h
egyrétegü test vastagsága
hi (i=1,...,N)
többrétegű test egyes rétegeinek vastagsága
H;0(7\)(i=l,...,4)
Hermite polinomok
111 (õxı)
az A mátrixhoz tartozó vektorszériák taai
Í
nem indexként képzetes egység
ÍC
Fourier transzformáció paramétere
12
a (3.16) összefüggéssel értelmezett állandó az (5.3-3) Összefüggéssel értelmezett mátrix
(õ>ís)(k'y)
L (k, y)
a Z(k, 0) állapotvektorra vonatkozó transzformációs mátrix
Í (k. y)
az (5.3-1) összefüggéssel értelmezett mátrix
(6× 6)
(6 X3)
m(×) H” (ff)
félsík peremén megoszló erőpárrendszer intenzitása
N
rétegek száma
a (4.9-3) összefüggéssel értelmezett változó
P0 ,
(6X6)
Ph
permutáló mátrixok
(6X 6)
S (Ic)
az (5.4) illetve (6.8) összefüggéssel értelmezett
(õ× 3)
mátrix
Sıı 521 (sx 3) (sx 3)
S blokkjai
t = u(x, y) ex + v(x, y)ey
elmozdulásvektor
a zo állapotvektorra vonatkozó transzformációs
i('f. y)
mátrix í
I (hy)
féltérre vonatkozó transzformációs mátrix
T (õxõ)
a V0 vektorra vonatkoztatott transzformációs mátrix
T (Í, Í = 1, 2)
a T mátrix blokkjai
V0 1
(õxı)
a ×
vh
(õxı)
Vn (l`= 1, 2)
(8×ıŠ
a zo, zh állapotvektorok elemeit tartalmazó Vektorok
V., ez v,, bıoızızjzi
(sz ıgx, y)
s (4.15) összefüggéssel értelmezett éilspotvektor
(6šı)(X„ y)
a (3.18) összefüggéssel értelmezett állspotvektor
Görög betűs jelölések 7,,
fajlagos szögváltozás
ex, E,
fajlagos nyúlások
n, n'
új znyzgsııznaõız
x,,,. xy,
a csavarási hajlítási alakváltozási tenzor nem azonosan zérus koordirıátái
R
csavarási hajlítási alakváltozási tenzor
Ă
független változó
A, (Í = l, . . . , 6)
rninimálegyenlet gyökei
pl
Lame állandó
1.10
határozatlan konstans
I-tu. u,y. uxz. ny,
nyomatéki feszültségek
D
nyomatéki feszültségi tenzor
v
Poisson szám
0,, 0,, O,
normálfeszültségek
TW, Ty,
nyírófeszültségek
(Ü = W, (x, y) e,
merevtestszerű szögelfordulás
j
Egyéb jelölések - az x és y szerinti parciális deriválást mátrix operátorban Dx, D, jelöli; - valamely változó Fourier transzformáltját felülvonás különbözteti meg a változótól; - valamely mátrix inverzére a mátrixot azonosító betű mellett jobbra fenn álló - l utal; - egy mátrix transzponáltját sz azonosítója mellett jobbra fenn álló T jelöli; - egy négyzetes mátrix determinánsárs az azonosítója előtt álló det szó utal.
A dolgozst szövegében előforduló egyéb jelölések msgysrázats első eiöfordulásuknál tsillhstó.
IB7
2. Bevezetés A tanulmány a lineáris nyomatéki feszültségi rugalmasságtan egymással csúszás és elválás nélkül érintkező rétegekkel kapcsolatos síkbeli peremértékfeladatainak megoldásával foglalkozik, feltételezve, hogy az egyes rétegek anyaga homogén, izotróp, az x tengely irányú kiterjedés végtelen, a terhelés kvázistatikus, az alakváltozások és elrnozdulások A szemügyre vett viszonyokat egy réteg esetén az 1. ábra szemlélteti.
la
1
y
V,
H, 11,1"
P
j ll
-R
x
ex 1
fy (xl 1. ábra Egyetlen, x irányban végtelen kiterjedésű, homogén, rugalmas réteg
A vizsgált feladat klasszikus rugalmasságtani megoldását ismertető munkák közül Nyikísin és Sapiró könyve [l], valamint Y. Bahar tanulmánya [2] emelhetőki. Az [1] mű numerikus példákat és az esetleges alkalmazások megkönnyítése érdekében programokat is közöl. Õtletes megoldási metódust mutat be Y. Bahar idézett dolgozata [2].
Az említett cikk fõ értéke, hogy a megoldás felépítéséből következően az integrációs állandók számítása során adódó lineáris egyenletrendszer mérete a rétegek számától független. Az [1] művel összevetve megállapítható, hogy az Y. Bahar által követett gondolatmenet végső soron egyenértékű aNyíkisin és Sapiró könyvében adódó lineáris egyenletrendszeren végrehajtott blokk szintü Gauss eliminációval. Az Y. Bahar által követett gon dolatmenetet - alkalmas új változók bevezetése révén - a klasszikus rugalmasságtan rétegekkel kapcsolatos tengelyszimmetrikus peremértékfeladatainak megoldására [3] alkalmazza. A jelen dolgozat a [2]-ben bemutatott eljárás nem klasszikus esetre történő általánosításával lehetőséget kíván teremteni a nyomatéki feszültségek feszültségkoncentráci-
óra gyakorolt hatásának numerikus vizsgálatához többrétegű síkbeli rendszerek esetén. 188
A lineáris nyomaték! feszültség! rugalmesságtan egyes síkbeli feladatainak megoldását elsőként Mlndlln dolgozata! közlik [4, S1. Félslk esetével foglalkozik többek között R. Mukl és E. Sternberg [6]. [5, 6] a megoldást a Mindlln által bevezetett feszültségfüggvények meghatározására vezeti vissza. Komplex függvénytanl módszerek alkalmazásának lehetőségét Mindlin további dolgozata vizsgálja [7]. A [7]-ben kidolgozott eljárás alkalmazásával megoldott feladatokat [8, 9] mutat be. Az előzőekben! teljesség igénye nélküli áttekintéséhez még [l0, ll] említhető. A felsosolásban a kvazistatikus feladatokra szoritkoztunk. 3. A nem szimmetrikus rugalmaseágtan síkbeli peremértékfelashta egy réteg esetén Ismeretes, hogy az I. ábrán vázolt réteg esetén síkalakváltozást feltételezve a eálszerűen választott x, y, z koordinátarendszerben a szemügyre vett réteg egy tetszőleges P pontjának elmozdulásvektora
I = v(x, y)=z + v(x, y)°, .
(3-1)
és szögelfordulásvektora
Ü' = Wz(×» J')=z »
(3-2)
továbbá a P pontbeli alakváltozási és csavarási hajlítási alakváltozási illetve feszültség! és nyomatéki feszültségi tenzorok mátrixai rendre 1 5 'Yxy
Ü
5 7),;
Gy
0
0
0
0
0
0
xx,
0
0
xy,
0
0
0
0,,
rx,
0
ex
Á =
É =
F
_
l
Ty;
0
0
0
,
(13)
,
(3.4)
|
es)
O,
IB9
U0
0
I-Íxı
ii = 0
A.
zs,
U-zy
I-10
llzx
(16)
alakúak, ahol A, R, F és ll valamennyi skalár koordirıátája csak az x és y változók függvénye.
A
A (3.6) összefüggésben nc, határozatlan konstanst jelöl [6], melynek értékét a továbbiakban zérusnak választjuk.
A vizsgált síkbeli rugalmasságtani peremértékprobléma kapcsán megoldandó parci ális differenciálegyenletrendszert az elmozdulásvektor és szögelfordulás vektor, az elmozdulásvektor és alakváltozási tenzor, a szögelfordulás vektor és csavarási hajlítási alakválto zási tenzor koordinátái között fennálló
_ 1 Q _ êy.
`p'_2 [ôx 1
(3.7)
By] '
_õu
ex_aís
_õv 6y_-63:9
.L __1_ â2+_öı 27×>'"2 õx ay * K :ifa x'
õx
(3.8-3)
K =_.â!Ez Y'
(3.8-1,2)
õy
(3.9-1,2)
kinematikai egyenletek, az alakváltozási és feszültségi, valamint csavarási hajlítási alak-
változási és nyomatéki feszültségi tenzorok közti összefüggést jelentő 0x = 211 [ex +1Íí)Tı,` (ex + 531)]
(3.10-1)
0, = 2,, je, +1-3”-5; (E, + õ,,)]
(3.10-2)
rx), + Ty, = 21.17,,
(3.10-3)
l1xz=47lKxz:
I-|yz=47lKyzı
(3.11-1,2)
Í-lzx = 4"Ü'K_xz9
Í-Ízy = 4"7'Kyz °
(3.11--3,4)
Hooke törvény [14], [5] és a nem identikusan teljesülő
190
ba őr Í: +-5;L-0
(3.12-1)
ôr + íyl õa = 0 -á-:I
(3.12-2)
a a =o 1,.,-f,,,, +-§;=+-Š*
(a.ı2-3)
egyensúlyi egyenletek alkotják. Utóbbi egyenletek felírásakor feltételeztük és a megoldás során feitételezzük, hogy s téffogaton megoszló erő- és erőpárrendszer súrúsége zérus értékű. Megjegyezzük, hogy 0,, és 0,, ismeretében [6] 0, = u(a,, + 0,) .
(3.13)
Az I. ábra szerinti viszonyok esetén olyan peremértékfeladstok megoldásával klvánunk foglalkozni, amikor az y = 0 és y = h koordinátavonalak mentén az alább! két oszlopban feltüntetett kinematikai jellegű (első oszlop) és dinamikai jellegű (második oszlop) mennyiségek vagylagosan vannak eiőirva (az egy sorban szereplő két mennyiség közül valsrnelyik): ' u
-ry,
v
0,,
W!
Fr! °
itt feitételezzük, hogy mindkét peremen azonos jellegű dinamikai peremelőlrás esetén (például: O, (x, 0) és 0,, (x, h) értéke adott) e peremterhelések egyensúlyi erőrsndszert alkotnak. A továbbiakban - célszerííségi okokból - a fenti, peremen előirlıatő ıı. v. r,,,,. 0,, W, és ny, változókra állítunk elő differenciáiegyenleteket. E sorrendet megtartva könnyen ellenőrizhető, hogy (3.7)-ből õu
öv ay -= ax
24:, ,
(3.14-1)
(3.10-2)-beıuızm (3.12-1) ez (3.10-1)-bõı (3.8-1,2) fzıııuzzııısımı av ıı-av v au ay"2A ı-v “Y [1-vax' (3`“"2) őr -5?
v l _V
e|_s
Il? Él? _
(3.14-3) l9l
6
is-el
E)
6*
<-zl-->
õ
(3.9-2-) és (3.11-2)-ből
2,3- z g .,.,
í <....-.>
és végül (3.11-1) x szerinti deriváltját gyelembe véve (3.10-3) és (3.12-3)-ból
Šäff- = 25,, -41; 37:22* -4„
- 44,]
(3.14-6)
következik.
A (3.14-1,6) differenciálegyenletek mátrix egyenletbe tömörítve
,iv
--1-"-VD,
O
O
___2.'1 _”
O
O
,iv
Ty,
2 -`l_-JDÍ,
0
Ü
-1-L D,
0
0 .
'ryx
0),
Ü
2 - 4-Dx
Dx
U
Dx
0
0),
4j.tl[/z
0
0
Ü
0
0
l F
4j.tı,Uz
DJ,
=
IQ*-*
ı-:TT
Í
(3.15) alakúak, ahol
1* :EH
(3.16)
és Dx, DJ, az x illetve y szerinti parciális deriválást jelöli.
A (3.15) parciális differenciálegyenletrendszer megoldásának ismeretében a (3.7-9) összefüggések alapján a többi jellemző geometriai mennyiség, -míg a (3.8), (3.9-1), (3.10-1,3) és (3,l 1) összefüggések alapján beláthatóan a feszültségi és nyo matéki feszültségi tenzorok fennmaradó koordinátái a
192
a a f,,.z„[,ã-y!+-5-5:1]-z,, ,
(3.17-1)
0,,=2j.l.
(3.17-2)
Az.. -4n%§* .
(8.11-2)
I
mz =% us. .
Hz, =% ny.
(3-17-4)
módon számíthatók. Bevezetve az ZT (xı Y) = [I-W: I-W: Tyxv Űyı 4UWsv Uyz]
6-18)
módon értelmezett Z (x, y) állapotvektort azt is mondhatjuk, hogy az áilepotvektor egyértelműen meghatározza a rugalmas rétegre jellemző többi geometriai és fizikai jellegű mennyiséget. Előzőekre tekintettel a dolgozat a továbbiakban elsősorban az állapotvektor meghatározásával foglalkozik. ' Ha rz és ebből következően I* értéke zérushoz tart, akkor (3.17-3)-ből js. IO.
(3.l l-2)-ből Hy: 5 0, ezt ` gyel_embe véve (3.14-6)-ból pedig Tyx = 24-1{%š_ Wa]
vagy
iv. = 2};---23
(2.19)
adódik. A 1.1,, E ny, ë 0 azonosságokat (3.12-3)-ba írva a feszültség! tenzor szimmetriája végső soron tehát a klasszikus eset kell, hogy bekövetkezzen. Valóban (iz, (3.19) alatti előállitását (3.15) első és negyedik egyenletébe kva és itt is végrehajtvs a határátmenetet mátrix írásmóddal (3.15) első négy egyenlete
Eu D J'
Ev 1,.,
0,
O _
-D, 2(ı +»)
-VD, - -D2 O
OOO
o
ru
0 0
l -v' - vD,,
Ev
-D,
O
0,,
Ty:
(3.20) l93
alakú, ha v helyébe -i-:Í -t írunk és kihasználjuk a 2g = -i-Í-; összefüggést. A nyert sikfeszültségi 'állapot esetére érvényes eredmény megegyezik a [2] (6) alattival, ami a klasszikus rugalmasságtan síkbeli rétegekre vonatkozó peremértékfeladatai megoldásának kiinduló összefüggése.
4. A transzformációs mátrix előállítása A rugalmasságtan egyes síkbeli peremértékfeladatainak megoldására - így a vizsgált feladat klasszikus megfelelője esetén is [2] - a Fouríer-féle integráltranszformáció alkalma-
zása szokásos. A dolgozat szintén ezt az utat követi. Ismeretes, hogy ha valamely f (x) függvény eleget tesz a Dirichlet feltételeknek [12] továbbá az ?lf(x)|dx
improprius integrál konvergens, akkor az f (x) függvény
?(ız) = f f(×) .z"“ dx E T{f(x) ;ız}
(4.ı)
Fourier transzformáltja létezik, és megfordítható; az inverz Fourier transzformált pedig az .
f(x) = 5;1 f°° -f (ız) z_ "=× aız
(4.2)
összefüggés szerint számítható. Meegyezzük, hogy ha dl!
f(”)(x)=-21%)-C-2+0
midőn
x->°°
n=0,l,...,N-1 akkor
T {f<^” (×>;ız} = (-He” Foz). 194
(48)
Továbbiak során feitételezzük, hogy a vizsgált rugalmssságtanl peremértékproblémábsn szereplő függvények (4.l), (4.2) és (4.3) alkalmazhatóságának ismertetett feltételeit teljesítik.
Vegyük (4.l), (4.3) felhasználásával a (3.15) differenciálegyenletrendszer Fourilr tsennformáltját. Az eredményül kapott közönséges homogén lineáris állandó együtthatójú
(lifferenciálegyenietrendszer az 0
A ız = ()
ik
0
0
1 2
0
__2_ l_vıız
o
O
_1;21. 2(ı__v)
O
O
-3-1:* l-v
O
O
-5-ik 1-v
O
O
O
4ız=
-az
O
-az
O
O
O
O
O
o
71,
0
4ık
2
O
ı+ı°k'
0
jelölés segítségével mátrix formában a
(40
%f- (k.y>=A(k>`i` (sy)
(M)
módon írható. ~ A (4.S) közönséges homogén állandó együtthatójú vektor differenciálegyenlet megoldása
Z (R. Y) °×P (AV) Z (R. 0)
(4-6)
alakú. ahol az exp (Ay) mátrixfüggvény kanonikus felbontása különböző módon állítható elő attól függően, hogy az A (k) mátrix minimálegyenletének gyökei egyszeresek vagy többszörösek [l3]. Az A (k) mátrix minimálegyeniete a
D()\) I det (AE - A)
(4.7)
herakterisztikus determináns ~- itt
E az egységmátrix - és AE - A sdjungált rnát(ex e) fiaának 0 (li) legnagyobb közös osztójs felhasználásával a 195
A0) = zlãš = O
(4.8)
módon írható fel [l3]. Munkaigényes, de különösebb nehézséget nem jelentő számításokkal (4.4), (4.7) felhasználásával kimutatható, hogy ı
0002 1 .
(4-.9-1)
és, hogy
D(7\)=
-A
-ik
O
O
-Š
0
-{--iız l.v
-A
O
-1-:ZL 2(l v)
O
0
lv-K2 1
O
-x
-Í-'-'Í z
O
0
O
4ız2
-ik
-A
-az
0
0
0
0
0
-A
l F
0
4ik
2
0
1+1: ki
= (X2 __k2)2 02 _n2)
-A
(4.9-2)
ahol
(4.9-3)
n2=k* +ll, .
(4.8) és (4.9-1,2)-ből következően a minimálegyenletnek többszörös gyöke is van Ă1=Ăz=lÍCl;
Ă3=>\4='“'lkl;
A5:-ll;
Ă5=_ .
Ez egyben azt is jelenti, hogy a keresett exp (Ay) mátrixfüggvény a Hıo (lkÍ)=l ,
Hao(_lkl)=1 „ Hao (lÍCl)=Hao(") šˇHao(“ Ü) = Ü „
196
=0
Hı0(“'lkl)'=Hıo(")=Hıo(“' N): Ü z
7L=:i:lk|
sl; szë
=o
A=:t|kl
H..(„> - ı.
H..<-~>-H„(ıkı>-H„<-ıızı)-o ,%1 A-_-gm
H..(-ni - ı. H..(~> =H..(ıkı>-H..(-Isl)-0. %“- A II- 0a ik I feltételeket kielégítő
H (x ---,-1 j- ska -na A+ 21:* '° ) 2ız*(ız°-„°) zıızı -n*j(x+ıızı)*(>.=-„=) 1
(4.10-1)
3k* - n'
”=°<*>=`zz`;ñz.T.:7.-_; [TW ^“"“ " -n* J (x -ı_ız D* 0.* -„=)
(4.ıo~--2)
H„(x)=-2}-(71-_-W, (x+ıızrý (A-ıızıý (x+„)
(4.10-a)
H„(;.)=í(k%_-F), (x+ıızı)* (A-ıızıý (A-zz)
(4.104)
tln. Herrnlte polinomok segítségével
„xp (Ay) = [exp (I ız ıy)E +y „xp (ı ız ıy)(A -ı ızıE)] H,.,(A) + + [exp (-lkly)E +y exp (-Ikly) (A+|klE)]H„(A)+ + exp (ny) E H„(A) + exp (- ny) E H40(A)
(4.11)
sietni [13] . ismeretes, hogy az A mátrix kielégíti minimálegyenletét azaz (4.8) és (4.9)-ből következően teljesül ez A°-{3k'+-'15-]A°+{3k' +%:]A°-{k° -t-ik;-]E-0
(4.12)
egyenlet. A (4.S) vektordifferenciálegyenlet (4.6) alatti megoldása a (4.l l), (4.10), (4.9--3)
és (4.12) alatti összefüggések segitségével munksigényes, de elvi nehézséget nem jelentő lámltások után az exp (Ay) I L(k, y) jelölés alkalmazásával 197
Z(Í<.J')-~L(k.y)Z(Íf»0)=
.
sıgnk
1*
12
,
,
12
1
3
-?+~2-E5 A + 2kl --Í-ílã A +
+[-ız=`*ı*+%ızı=+âc-jAjsıııızıy+[-ı*A^+2ız=ı*A2+ \
+(-k*ı“+ı)E]zıııızıy+-Š; [ı*AS~2ız2ı“A3+ +1* HA] sh„y+ [ı4A*-2ız2 ı2A=+1**ız*E]
12 5 -WA 'l'
2 1 1+?
1 2 2 j | A 3 +`í(ÍC Í +l)Á yCllÍCy+
. 12 1 +S1gl'lÍ({-5,; A4 + [[2 ÍC-P576] A2 -'
"%(ÍC3 l2+k)E]ySl'1lkly}í(ÍC,0).
(4.13--1)
Ha a megoldásban szereplő kifejezéseket A hatványainak helyettesítésével összevonjuk: .L(k,y)= (B1 +yB2)sh|k|y + (B3 +yB4)ch|k|y + + B5 sh ny + B, ch ny .
(4.13-2)
Az L (k, y) mátrix elemeinek konkrét esetbeni kiszámításához a Függelék közli a B, (i = 1, . . . , 6) mátrixok értékét. t . A Z (k, 0) vektor ismeretében Z (k, y) értékét (4.13) szerint számíthatjuk, míg
a Z (x, y) állapotvektor az inverz Fourier transzformált meghatározására szolgáló (4.2) formula alapján:
. dk. z (x. y) = 5;1 f°° -Z (k, y) exp (- zızx)
(4.14)
Megemlítjük, hogy véve a (3.7-12) differenciálegyenletek Fourier transzformáltjait itt nem részletezett számításokkal kimutatható,hogy u, iv, 0,, 0,, Txy, Ty, kielégíti a
(D,2, - 16)” (D3, - „2)g = O alakú hatodrendü, míg jıxz, jıyz, Kxz, *K,,,, a
198
(4.14-1)
(Dj, -k')(D}, --n')g -0
(4.14--2)
alakú negyedrendü közönséges lineáris állandó együtthatójıl differenciálegyenletet. ahol g ı|(y) az ismeretlen függvényl Bevezetve a :T (xv Y) = luı V- fyxı Űyı Wav
(4-15)
és
D== 01)
A
O
O
O
o
lo I
0
ii
0
0
.O
0
O
o
ı
O
O
O
0
0
010
0
,
loooojzipo 0
0
0
0
0
1 . (4.16)
1 ıı
oooo
0
-
0
0
0
0
.0
OR-*O
1
0
0
U
0
0
0
l
O
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1 43; 0
D“,ı =
0 1
hlöléseltet, ahol a kis z vektort szintén állapotvektornak nevezzük, (3.18) alapján nyil
vénvsló a
.
í(ız. y) = Diaz, y)
(4.17-1)
in. y) D-' íuz, y)
(4.17-2)
ësleftlggések helyesıége.
A (4.17) összefüggések felhasználásával (4.13)-bóla 'Í(k.y)-t(k.)')_Í(k.0)
(4.18-l)
Í(k. h) I t (k) Í(k. 0)
(4.18--2)
VII?
l99
egyenletek következnek, ahol
ı(ız, y) = D-1 L (ız, y) D
(4.19-1)
t (k) = t (k, h)
(4.19-2)
és a
mátrixot az egy rétegre vonatkozó transzformációs mátrixnak nevezzük. A z (x, y) állapotvektort z (k, y) ismeretében értelemszerű betűcserével (4.14) szerint számíthatjuk.
'
A (4.13) és (4.18) összefüggések alkalmazhatóságának (4.17-1)-re tekintettel a É (k, 0) állapotvektor ismerete a feltétele. A továbbiakban az integrációs konstansok
aerepét betöltő É (k, 0) állapotvektor meghatározását ismertetjük [3]. Könnyen belátható a (3.13) összefüggést követő bekezdésben mondottak alapján, hogy a peremértékek birtokában külön-külön az zo = z(x, 0) ;
zh = z(x, h)
(4.20-1, 2)
állapotvektorok három koordinátája számítható. Ezeket - célszerűen elválasztva [3] - a
vo =
(6×1)
V0. V02
= P5* zo (6X6)
(4.21-1)
Vnı vk
=
(6 X 1)
=
vm
Ph
Zh
1
(6 X6)
módon értelmezett Vo , Vh vektorokba foglaljuk ahol Vol ,
Vhı
rendre a zo és zh állapotvektorok peremértékek birtokában
GX 1) Voo ,
(3 xl) Vho
ismert koordinátáit egyesíti, rendre a zo és zh állapotvektorok ismeretlen koordinátáit tar-
(sx 1)
(sx 1)
talmazza,
továbbá
Po , (6 X 6)
Ph
alkalmasan választott permutáló mátrixokat jelöl.
(6 X 6)
A (4.20,2l) összefüggések Fouríer transzformáltjainak felhasználásával (4.18)-ból e is
iı
Vh -- T(k) Vo 1
vagy részletesebben kiírva a 200
(4.22-1)
VN _ -I . VM .
Tıı
Tia
Vol _
T3!
Ta ˇ
vm
(4.22-2)
egyenlet következik, ahol _ P), Í(k)P0
és T, (l. j I l, 2)'l` háromszor hármas blokkjait jelöli. A (4.22) első egyenletéből Tıo invertálhstóságát feltételezve nyert Vos “Tıé (Vııı
Tia Voı)
(4-24)
ñssse lggéssel a keresett Í (k, 0) állapotvektorra vonatkozóan (4.21-1) alapján V01 Ío
Í(k,0) = P 'o'
__
__
(4.25)
This (Vhs “Tıı vo!)
se eredmény. 5. Félsikra vonatkozó összefüggések A félsikra vonatkozó megoldás előállításához a (4.5) differenciálegyenlet általános tttsgöldásából célszerű kiindulni. ismeretes [IS ], hogy ez az A mátrix -- I kl kétszeres s étértékéhez tartozó ls, , ho kéttagú, I k I kétszeres sajátértékéhez tartozó ho. ho kéttagtl és az - n, n egyszeres sajátértékekhez tartozó ho, ho egytagú vektorszérlék segit-
live! felirvs
`i(k.y>=c`. ıı. -×p(-If+c`. oi. y+ h.)-×p(-\kIy>+ 'l' Cg hg GXP (""'Ply)'l' C4 ll4
+
+Co (h4y+ho)explkIy+Co ho expny
(S.l)
slslnl. A lı, (l I 1, . . . , 6) vektorok értékét a számítások részietezése nélkül a Wuelék lettelmazzs. A továbbiakban feitételezzük, hogy a félslkon y > 0 . Ekkor az elmozdulások és feszültségek végtelenbeli korlátossága miatt Co == C, == Co == 0 és
í(ı=.y>-T-(wc
(8.:-1)
'í tk. Y) H T (k. y)C
(S-2-2)
'ill'
20!
ahol
L(k.y)=
= [h. -xp (-Hz Iy>| (h. y + li.) -xp (-Iklyılhz --xp (-mo] CT = [c,, 0,, c,]; 1 (ız, y)-D
~
in
L(ız,y_).
(s.3-1,2, 3)
~ _ı
A C oszlopvektor az y = 0 helyre vonatkozó peremfeltétel alapján az előző pont végi gondolatmenet részleges ismétlésével számítható. Valóban az (5.2-2) összefüggést az y = 0 helyen véve (4.21-1)-re tekintettel írható, hogy cıı
~
Vo-SC, í
S-Pol (k, 0)
Í
í
(5.4)
vagy kirészletezve _
[Va] V..
S.. C sz.
ahonnan C = sül V01 .
Ezzel adódik a z(k, y)-ra vonatkozó ._"'
-ı"`
ZŰG Y) - “kz Y) sıı Voı
(5-Ő)
megoldás, amit formálisan átalakítva
í(k.y>="1`čk.y> [Sri lo] P. I. = 70-. y) 'z'.
(SJ)
az eredmény. itt 0 3 X 3-as zérusmátrix és zo peremértékek birtokában nem ismert koordinátái helyén a felépítésbõl következően tetszőleges mennyiség állhat . 6. Altalánosítás több réteg esetére Az egy réteg esetére vonatkozó megoldás szempontjából alapvető (4.18), (4.19) és (4.24) formulák a 2. ábrán vázolt többrétegű test esetére is általánosíthatók, amennyiben az egymással érintkező rétegek határain történő átmenetkor a (4.15) állapotvektor
folytonosan változik. Ezt a továbbiakban feltételezzük. Meegyezzük, hogy az egyes rétegekre jellemzõ anyagállandókat a betűjel mellett jobbra lent álló i index különbözteti meg (2. ábra). 202
J'
E.
H.
2. ábra Ezvmésasl csúszás és elválás nélkül érlntkezó' rétegek rendszere
llevezetve s li (76 Y:) = WC- yi- I-is Vi- 17:) jelölést. ahol .Vi 'J' l-l
vi-y-ZÍh,(t=2.....N)
(62)
I 'll
0 < y, < hj s (4.18) egyenlet az l-ik rétegre vonstkozóarı
-Ír (ki Y:) " fák. .Vs W- W- th) alakban írható.
U6- yi " 0)
Vegyük észre, hogy a kis z mellett jobbra lent álló i betű külön is utal arra, hogy az állapotvektort az i-ik rétegen belül tekintjük, azaz argumentumában y, áll. Az állapotvektor réteghatárokoni folytonosságára tekintettel belátható
Í: (R. 0)="Š}-ı (R. hr-1)
(6-4)
egyenlőség és (6.3) rekurzív alkalmazásából _íl(kryf)=
z-ı
= fı (k. yi- #1- vz. m) [IH 9 (le hp uj. vj.-nf) í„(k- 0) j . =1
(6-5)
vagy j =N esetén ÉN (k, hN) = t(k) Éo (k, 0) N
t(k) = 11] ı,(ı<, h,, iz, v,, fo)
(6.6)
.
(6.7)
=1
következik. A (6.7) alatti t(k) eredő transzformációs mátrix - amely most valamennyi réteg anyagiellemzőinek függvénye - ugyanazt a szerepet tölti be a (6.6) összefüggés
kapcsán, mint egy rétegre vonatkozó (4.19-2) alatti párja a (4.18-2) összefüggés esetén.
Mivel a (6.6) összefüggés a (4.18-2) egyenlet réteges rendszerre történő általánosítása, egy konkrét feladat megoldása során először az egyes rétegek transzformációs mátrixát, majd (6.7) szerint az eredő transzformációs mátrixot határozzuk meg. Ezt követően a peremfeltételeket kihasználva a (4.21-25) összefüggések alapján kiszámítjuk az állapotvektor Éo = É (k, 0) peremértékének peremfeltételekkel közvetlenül nem adott koordinátáit, majd ennek ismeretében szükség szerint az állapotvektor Fourier transzfonnáltját az i-ik rétegen belül (6,5). Magát az állapotvektort - amint már említettük - inverz Fourier transzformációval (4.14) szerint számíthatjuk ki. Látható, hogy a 'ío = Í (k, 0) állapotvektor meghatározásánál ugyanúgy járunk el, mint egy réteg esetén, vagyis e számítás fő lépése a T1, mátrix invertálása volt [v. ö.: (4.24)]. Ez egyben azt jelenti, hogy az integrációs konstansok meghatározása során [2, 3] hoz hasonlóan rétegszámtól függetlenül mirıdig egy 3 X 3-as mátrix invertálást kell elvégezni.
Amennyiben az N számú réteg félsikkal érintkezik a számítás némileg módosul. A (6.6) és (5.4) összefüggések egybevetése alapján az 5. pontban megismert gondolatmenetet követve ekkor írható, hogy 204
1; - t(k) 'fo - T(ız, O) c
(s.8-1)
V. - s c :
(õ.8-2)
W s - vo r' (ız) 'ıˇ(ız, O)
iiımnsn C (5.5) szerint számítható. Nyilvánvaló, how uwanakkor ves 'ssa Sfıı vor -
Voo azaz végső soron `i`o ismeretében (S.7)-ből adódóan a félsíkon belül
i'(~.v>-'?ı(k>i..
(6-9)
smi egy üttal azt is klfejezi, how a továbbiakban uwanúgy kell eljámi, mint véges számú Nfs vastagságú réteg esetén.
1.:;-uıuımııu lt. Mukl és E. Sternberg már idézett dolgozatában [6] közölt megoldások kiegészíléb céljából vizsgáljuk azt az esetet, amikor a félsik peremén megoszló erőpárrendezer het vagyis ınlkor a peremfeltételek a,,(x, 0) I 0;
-r,,,,(x, 0) = 0;
ı.ı,,,(x, 0) = - m(x)
(7.l)
éúiiaiı. Könnyen ellenőrizhető az S. pontban követett gondolatmenet isrnétlésével és s elékben foglalt ls, , ho , ho vektorok felhasználásával, hogy ekkor l
n
lkl
ãl-F{k(8k*ı*(ı-v)+2)+2k}+k']
o.l'_=2 B
.:=;L'i_'_ 2
_
l
B-n+ 4k' P(l- v)(n-lkl) lttttvel s ry.. 0,.. ny, feszültségkoordinátákra végül a
f,,,-5} B/`{[ı+(„-ız)J']e*°'-z"'Y}ız'l%1f2-aız
(1.:-1) 208
0, =--~ f ([n+k(n-k)y]e"'J'-ne"'3']kr-2:%,9dk o + k (7.2-2) ny, =-äı--s :js-I
(412 k2(l -v)(n -k)e"'°' + ne"'J'}l-11%:-Í-) dk °'\s s (7.2-3)
m"(x, k) = m1(k) cos kx + mo (k) sin kx (7.3) m“(x, k) = m1(k) sin lcx - mo(k) cos kx összefüggések adódnak. Az utolsó két egyenletben mı és mo rendre Fi valós illetve képzetes részét jelöli [6]. 8. Függelék Az egy rétegre vonatkozó t transzformációs mátrix (4.19-2) alatti értékének
meghatározásához (4.19-1) alapján beláthatóan szükség van az L(k, h) mátrix értékére, melyet a (4.13) összefüggés értelmez. A következők az L(k, h) mátrix (4.13-2) alatti előállításában szereplő B;(i = = 1, . . . , 6) mátrixok értékét adják meg:
0
l
0
-Ha
0
4k(l-v)
2:-k2j2____{_í__
0
0
_kI2 +_í.__..
0
_-,
4k3l3+-i1-p
0
0
i 1-29 2ik2Í3“'-"'** 2 1-P
Ü
k
` 1-2v
206
-
H2+._3___4L
2 1-v
2 1-v
I =signk ı
-
2ik2I2+lL__2.v_
0
___4ksjz+_L l-v
_ 2,-kzıa+íL__2f. 21-v
2 3“'4P
4k(1-v)
Í
2
0
ik!!!
0!
-4ız
O
O
-zi
O
O 1
0
-4:ız* 1*
- zkı*
O
0
0
ız :(1 - 1-) 0
°
°
1 4(1 - v)
°
°
0
0
0
o
O
o
.._.._'<.._
°
o
R 1 -Őt-1:7) 4(l-v) ék, ı__v
k 2(ı__v)
1-..
°
°
0
0
0
0
0
0
O
O
O
O
o
O
O lg ëllgllk
_'!EÍ_
lg-
:PP + 1
O
o
ni*
0
O
-2k°l* +1
azt*
0
15%
2161* + 1 O -2 O
0 - :PP + 1 O - zısı*
P1' 0 0 0
0
41161* 0 - wı*
41161' O - 411: O lkl
°zıT-sm?-`-3 'ai
20--D
11: :(1-v) Iz' 1-1-
°
°°
ı 4(ı -v) az :(1-v)
°
°
°
°
2(l-v)
0
0
0
O O
O 0
O 0
o o
°
°
° R*
° az
0
l-v
O 0
O 0
l
207
0 0
0 ~32
_2ı_,%!_ı_
--2ikl*n
-12,,
0
0
0
k*l° ll
42 -LL
o
o
__zz~ız=ı=
Pl
0
II
4k2Fn 2
:ii
.
o
-2s`kl*n
0
o
2ik
ll
0
B5:
U
4ı'knl*
1O
2nl2
2
o
0
-li
0
-É
2-1 n
-ikl° n
0 1
0
Š-I
„ja
O
0
_l 2
- 21:* P
vo
0
2k* F
-ik?
0
-E
O
0 - 4116' 1*
- 411? 1* O
- 21:* 1* 0
0
_.f3 ki
0
0
4ik
2
0
0
4k2 Iz
O
..J_*_'ı
- aa*
2
0
'-.'ÍÍC
0
1
0
2ikl2
0
1
2k2 I'
A (4.5) differenciálegyenlet általános megoldásában szereplő vektorszériák ér téke a következő:
1
208
ıızı
ı(4ız*ı*+2)(ı-z-)=rz1goız
-%
riız .
Í-,É-'[41ız=t*(1-v)-z`.(ı-2)]+i
1-'ŠÍ
uk*
|k|[8k*ı° (1-v)+2]+2ız
sz k*
=r81ız=ı=(ı-„)=r2iıız1
-um
O
-8ıızı(ı-v)
4:71,
0
z8ız=1=(ı-v)
ll
A fellrt össze lggésekben a kettős előjelű tagoknál a felső előjel a h után álló felső. as első előjel a h után álló alsó indexhez tartozik. IRODALOM
lll lil lil til lll ill lfl
ill III
llltlfltllllfll-I. B. C. - ll1Al'l1iP0, l". C.: Gaóaııu reopuu ynpyeocru óıuı .mıosocnoilnsıx cpeó. lleysıa. Mocxsa, 1973. IANAR. 1... Y.: Transfer Matrix Approach to Layered Systems, Journal of the Engineering MeIICIEDI I.: A léetiıod to Soive Some Axi-Symmetrlcal Problems of the Theory of Elasticity. Acte ibelıniee .-tcedsmiee Scientiarum Hungnricae, Tomus 82(l-2). (1976). 211-232. MINDLIN, R. D. - TIERSTEN, 1-1. F.: Effects of Couple-Stresses in Linear Elasticity..-árclıiıve lbr Ietbnel Meclıenics and Analysis, l l (1962), 415-448. MINDLIN. R. D.: lnfluence of Couple-Stresses on Stress Concentrations, Experimental Meclıenlcs M1963). l-7. Milli. R. - STERNBERG. E.: The lnfluence of Couple-Stresses on Singular Stress Concentratlons in Elastic Sollds. Zeitschri für angewandte Mathematik und Physik, 16 (1965). 611-64|. MINDLIN. R. D.: Complex Representstion of Dispiacements and Stresses in Plane Straln with tintıple-étresses. Pnoceedings of the International Symposium on Applications of the ıeory of Flınetbnı in Cbnttnuum Mechenics, Tbilisi, USSR, 1963, 256-259. lllil 1.001. R.R.: On the Concentrated Force Problem for Two-Dirnensional Elasticity vllth (buple Itresses, International Journal ofl5'ngineering Sciences, 5 (1967), 81-93. IIIARGAVA. R. D. - GI-108!-l. 8. K.: On the Stress Concentration Problem around I Cll lll
ltııte in Plane Asymmetrlc Elastlcity, Acta Mechanica 21 (1975), 127-140.
tm]
PARHY. H. K. - DAS, A. K.: The Effect of Couple-Stresses on Stress Concentration of I IIIÜ
llll
llwluslon. Acta Meclıanice, l4 (1972). 219-228. l`l“t)U I.: The Effect of Couple-Stresses on Stress Concentration around an Elllptle Hole, All Heelsenlce. lő (1973). 289-296.
IH!
UNKDDON 1. N.: Fourier lransforms, McGraw-Hill Book Company 1951, 1-45. IOZIA P.: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974. 270-III. IN 300. 409-423.
mi mi
Alil'0. 3. il. - KYBIIIHHCKHH, E. B.: Oc oııuae ypaaneruur 'reopım ynpyrocrıı open o lpaıısssenaııaısı ısaısssozeilcrıneıvı ııacrnu. ûusuxe reepdoeo Tena, 2, (1960) . 1399-1409. ll0ll'l`P.Il`lll-l. ll. C.: Oőııxnoeennsıe óudýepenuuanensıe ypeenenwı. l-lsyssa léocısıa 1974. U4 -ÓI. 123-328.
209
LAYERED PLANE SYSTEMS IN THE LINEAR COUPLE-STRESS THEORY OF ELASTICITY
by Gy. SZEIDL
Summary The paper describes a method for solving some boundary value problems of layered plane systems in the linear couple stress theory of elasticity. 'The proposed method is advantageous for the determination of the integration constants, because the number of linear equations giving the solution is independent of the number of layers. The layered system can be connected to a half plane as well.
SYSTEME VON EBENEN SCI-IICHTEN IN DER MOMENTENSPANNUNGS-ELASTIZITĂTSTHEORIE
von Gy. SZEIDL Zusammenfassung
.
Die Arbeit stellt ein Verfahren zur Lösung einzelner Randvertaufgaben der Systeme von ebenen Schichten in der linearen Momentenspannungs-Elastizitätstheorie vor. Der Vorteil des empfohlenen Verfahrens besteht darin, dalã die Anzahl der linearen Gleichungen aus den die Integrationskonstanten berechnet werden können, von der Anzahl der Schichten unabhängig ist. Das System der ebenen Schichten unabhãngig ist. Das System der ebenen Schichten kann sich auch der Halbebene anschliessen.
'
MHOFOCIIOÜÍI-ILIE IUIOCKHE IIOJIOCIDI B IIIIHIEHHOH YIIPOIIIEHHOÜ TEOPHH HECHMMETPIFII-IOÜ YlIPYl`0CTH
r. CEPUIJI Peaıoıvıe B paõore ııaërcn Meron wv! peınemıx neıcoropaıx mıocxux Kpaeaızıx aanau or ocınoumxca K Mııorocnoitıu-.IM nonocau D mmeitııoit ynpoıııemıoñ 'reopmı necnmmerpımıo ynpyrocm. Hpeıınaraenuızılt Meron ıranaercs npııroruıızııvı mm onpeııeneııım ıuırerpupoaaımux nocroauımıx, !loToMy qTo uııcno nmiemuıx ypannemıñ 1-ıe aaısncırr OT qncna cnoea. M1-ıorocnomıaa nonoca Moıxeıı ÍKOHTaKTHp0B3„'I`IıCX IIOJIYÍUIOCROCTBIO.
210
A ıııııõ elme: DR. SZEIDL GYÖRGY tudomlnyoı munlutirı NME Mechanikai Tanızőke
Miılıolc-Bıyeteııwiroı, 3515
TARTALOMJEGYZÉK
Szeídl György: A rugalmasságtan egyes síkbeli rétegekkel kapcsolatos peremértékfeladatainak vizsgálata nyomatéki feszültségek megléte esetén . . . . . . . . . . . . . . .
185
Macsuga János: Rezonanciajelenségek a Hartmann-áramlásban
. . . . . . . . . . . . . . .
213
statikai kerületérték feladataival kapcsolatban
231
Ecsedi István: Tételek a h
241
