A Morra játék Módosított Morra Blöff és alullicitálás mint racionális stratégiák
Előadás felépítése • • • •
Morra játék háttere, fajtái Módosított Morra Egyszerűsítési stratégiák Blöff és alullicitálás
Mi az Morra? O.o
Morra játék • • • •
Római / görög játék 2 játékos Hátuk mögött mutatják valahány ujjukat Ki kell találni mennyit mutat a másik
Morra játék • Variánsok: – Odds and evens (1-2 ujjal, összeadás) – More fingers(bármennyi ujjal) – Micatio(1 kézzel, körök, aki eltalálja 1 pontot kap) – Ones and twos (több játékos,az nyer amit többen mutattak) – Allowing zero – Shish-Nu (hüvelykujj, több játékos, aki a legközelebb van a felemelt ujjakhoz az nyer)
Morra játék • • • •
2 játékos Mindketten elrejtenek 1 vagy 2 forintot Tipp: mennyit rejtett el a másik Esetek: – 1 játékos tippel jól: elnyeri az összes pénzt – 2 játékos tippel jól: mindenki a pénzénél marad
Morra játék • Stratégiák: – (k,l) k: ahová rejt l: amit tippel ahol k = 1,2 és l=1,2 – Ezek az első és a második játékos tiszta stratégiái: 2. játékos
1. játékos
Morra játék • A fenti mátrixnak nincs nyeregpontja • Optimális stratégia megkeresése LP
Morra játék • Optimális stratégia az 1. játékos számára: – x* = (0,3/5,2/5,0) – 2. játékosnak az x vektor transzponáltja
Módosított Morra • A standard morrán változtatunk: – Tfh: nem tudják egyszerre megadni a tippjeiket – Előre leírni nem akarják
– Változtat ez valamit a játékon? Igazságos marad?
Módosított Morra • Stratégiák (az eddigieken kívül 4 új): – (k, S) és (k,D) k= 1,2 – k: ismét azt jelenti hányat rejtsen – S: ugyanazt mondja be mint a másik – D: ellenkező tippet mond mint a másik
Módosított Morra • A módosított mátrix a következő: 2. játékos
1. játékos
Módosított Morra • Optimális stratégia: – 1. játékos: x*= (0,56/99,40/99,0,0,2/99,0,1/99) – 2. játékos: x*=(28/99,30/99,21/99,20/99) – A játék előnyösebb az első játékos számára – 2. játékos bár nem ad információt a kezében lévő pénzről, de igen az éppen megjátszott stratégiáról. – 1. játékos ezt kihasználhatja
Egyszerűsítési lehetőségek • Dominancia: – Mátrixjáték vizsgálata (van e nyeregpont) – Számítási igény mérséklése: (mi van ha nincs nyeregpont) – Szükségtelen stratégiák elhagyása – Csökkentjük a tiszta stratégiák számát
Dominancia • Az A mátrix egy r sora dominálja az s sort, ha az r sor minden eleme >= az s sor minden eleménél. Ugyanez oszlopoknál
• Ha egy sort vagy oszlopot dominál egy másik és töröljük, a játék értéke nem változik
Példa dominanciára
Blöff és alullicitálás • • • •
Póker Blöff (bemutatás esetén vereség) Alullicitálás Emberi intuíció
• Kuhn 1950-ben bebizonyította hogy nem így van
Kártyajáték • • • •
2 játékos 3 lap (1,2,3) Egységnyi pénzt raknak be Felváltva licitálnak/fogadnak, emelnek egységnyivel vagy passzolnak • Vége: 1.emelés-megad, 2.passz-passz, 3.emelés passz • 1-2: megnézik a lapot és akié nagyobb az nyer 3: passzoló veszít
Kimenetelek
• A-nak 3 stratégiája van: 1:Passz, és ha B fogad, újra passz 2:Passz, és ha B fogad, fogad 3:Fogad
Az A játékos tiszta stratégiái • x1x2x3 hármas írja le az A stratégiáit – Ha 1-est kap akkor x1 stratégiát követi – Ha 2-est akkor x2 -t – Ha 3-ast akkor x3 –t
– Példa: 312
B játékos lehetőségei • • • •
1: Passz, bármit csinál A 2: Másolja A-t 3: Ellentéteset csinál mint A 4: Mindenképpen fogad bármit csinál A
Az B játékos tiszta stratégiái • y1y2y3 hármas írja le a A játékos stratégiáit – Ha 1-est kap akkor x1 stratégiát követi – Ha 2-est akkor x2 -t – Ha 3-ast akkor x3 -t
– Példa: 124
Lehetséges kimenetelek • Tiszta stratégia párok kimenetele • Ha A és B előre meghatározott tiszta stratégiát követ, akkor felírhatóak a kimenetelek
• Lehetséges lapok: (1-2;1-3;2-1;2-3;3-1;3-2) • Egyforma valószínűségűek a leosztások
Lehetséges kimenetelek • 312 és 124 esetén:
A játék várható értéke az előző esetben • 1/6*(-2-2+1-1+1+1)=1/3 • A összes lehetősége: 3x3x3 • B összes lehetősége: 4x4x4
• Tehát a játék mátrixa egy 27x64-es mátrix • Komplikált vizsgálni-> redukció
Hogy redukálnánk? • Mi van ha valaki az 1-est birtokolja? – Fölöslegesen veszítene 1-et ha fogadásra fogadással válaszolna
• Mi van ha valaki kezében 3-as van? – Értelmetlen fogadásra passzal, és passz után fogadhat
• A-nak van legalább egy optimális kevert stratégiája
Az A optimális kevert stratégiája
• A számára elérhetetlenek – 2x2x3 – X1x21
A B optimális kevert stratégiája
• B számára elérhetetlenek – – – –
2y2y3 41y2y3 y1y22 y1y21
Redukálás után • Elképzelhető hogy elveszítjük az optimális kevert stratégiák egy részét, de marad legalább egy • A redukált érték megegyezik az eredetivel • Méret: – A-nak 12 B-nek 8 tiszta stratégiája marad
További redukálás • Ha A-nak 2-ese van akkor passzolhat mivel B nem fogja a 2. lehetőségét választani ha 1 van a kezében, illetve 1. és 3.-ast ha 3 van a kezében. • Mivel A második lehetősége ugyanolyan jó mint a 3. ezért az A tiszta stratégiái közül eldobható a x13x3
További redukálás • Ha B a 2-est kapta akkor az 1. ugyanolyan jó mint a 3. és 2. is mint a 4.
• Elhagyható y13y3 y14y3 • Ezek után A: 8db B: 4db tiszta stratégiája maradt
Redukált mátrix
• Felírva az LP-t – – – –
A optimális stratégiája (1/3,0,0,1/2,1/6,0,0,0) B optimális stratégiája (2/3,0,0,1/3) A játék értéke -1/18 Nem igazságos
A optimális stratégiája egyszerűbben
• Blöffre buzdít – Ha 1 van a kezében akkor fogadjon 6-ból 1-szer – Tartózkodásra az esetek felében
B optimális stratégiája egyszerűbben
• B kis lapot a kezében tartva az esetek 1/3ában blöfföl, a licittől nem tartózkodik.
Köszönöm a figyelmet
