1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai satuan skala berupa angka. Ke kanan dan ke atas positif, ke kiri dan ke bawah negatif. Titik perpotongan sumbu sebagai acuan titik nol Koordinat suatu titik ditulis 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 Dimana 𝑎 menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X 𝑏 menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu Y
Gambar 1
Kotak kecil adalah satuan skala Koordinat titik A ditulis 𝐴(3,4) artinya posisi titik A adalah 3 satuan ke arah kanan sumbu X dari acuan dan 4 satuan kea rah atas sumbu Y dari acuan. Dengan koordinat Cartesius kita memvisualisasikan posisi suatu titik di atas gambar
2. Vektor Satuan Seperti sudah di ketahui vektor mempunyai besar dan arah dan digambarkan dengan garis panah Sistem kordinat Cartesius bisa digunakan untuk menggambarkan vektor dalam ruang 2 atau 3 dimensi. Disini kita batasi pada ruang 2 dimensi untuk sederhananya, tetapi prinsip yang sama bisa diterapkan pada ruang 3 dimensi Untuk menggambarkan vektor kita menggunakan vektor satuan i dalam arah horizontal dan vektor satuan j dalam arah vertikal seperti gambar di bawah Penulisan vektor 𝑉 = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 Dimana 𝑎 menunjukkan jumlah vektor satuan i pada sumbu X 𝑏 menunjukkan jumlah vektor satuan j pada sumbu Y
Gambar 2
Penulisan vektor A dalam system koordinat Cartesius pada gambar di bawah adalah 𝐴 = 3𝐢 + 4𝐣
Gambar 3 Besar atau panjang vektor 𝑉 = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 sesuai rumus Pythagoras adalah 𝑉=
𝑎! + 𝑏 !
Dan arahnya terhadap horizontal adalah tan 𝜃 =
𝑏 𝑎
Jika besar vektor di ketahui 𝑉 dan membentuk sudut 𝜃 terhadap horizontal maka bisa dituliskan 𝑉 = 𝑉 cos 𝜃 𝐢 + 𝑉 sin 𝜃 𝐣
3. Selisih atau Delta Antara Dua Vektor Pada pelajaran vektor tedahulu selisih antar vektor I dan vektor II adalah vektor yang ditarik dari ujung panah vektor II ke ujung panah vektor I Vektor I 𝑟! = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 , vektor II 𝑟! = 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣
∆𝑟
Gambar 4 = 𝑟! − 𝑟! = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 − 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 − 𝑝𝐢 − 𝑞𝐣 = 𝑎𝐢 − 𝑝𝐢 + 𝑏𝐣 − 𝑞𝐣 = 𝑎−𝑝 𝐢+ 𝑏−𝑞 𝐣
∆𝑟 Selisih antara vektor I 𝑟! = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 dan vektor II 𝑟! = 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 ∆𝑟 = 𝑎 − 𝑝 𝐢 + 𝑏 − 𝑞 𝐣 Besar atau panjang vektor selisih adalah ∆𝑟 =
𝑎−𝑝
!
+ 𝑏−𝑞
!
Contoh : Selisih antara vektor I 𝑟! = 2𝐢 + 4𝐣 dan vektor II 𝑟! = 3𝐢 + 1𝐣 ∆𝑟 = 𝑟! − 𝑟! = 2𝐢 + 4𝐣 − 3𝐢 + 1𝐣 = 2𝐢 + 4𝐣 − 3𝐢 − 1𝐣 = 2𝐢 − 3𝐢 + 4𝐣 − 1𝐣 = 2−3 𝐢+ 4−1 𝐣 ∆𝑟 = −1𝐢 + 3𝐣 Pada pelajaran vektor terdahulu 𝑟! − 𝑟! = 𝑟! + −𝑟! Vektor −𝑟! besarnya sama dan berlawanan arah dengan 𝑟! Dengan metode jajaran genjang didapat 𝑟! − 𝑟! = 𝑟! + −𝑟!
Gambar 5
4. Perkalian Titik Vektor Perkalian Titik adalah perkalian antara dua besaran vektor yang hasilnya besaran skalar 𝑟! . 𝑟! = 𝑟! 𝑟! cos 𝜃 dimana 𝜃 adalah sudut antara vektor I dan II Aturan perkalian titik pada vektor satuan 𝐢. 𝐢 = 𝐣. 𝐣 = 1 𝐢. 𝐣 = 𝐣. 𝐢 = 0 𝑟! . 𝑟! = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 = 𝑎𝐢. 𝑝𝐢 + 𝑎𝐢. 𝑞𝐣 + 𝑏𝐣. 𝑝𝐢 + 𝑏𝐣. 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝. 𝐢. 𝐢 + 𝑎𝑞. 𝐢. 𝐣 + 𝑏𝑝. 𝐣. 𝐢 + 𝑏𝑞. 𝐣. 𝐣 = 𝑎𝑝 + 0 + 0 + 𝑏𝑞 𝑟! . 𝑟! = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 . 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 Contoh dalam fisika adalah 𝑊 = 𝐹. 𝑠 Usaha adalah besaran skalar merupakan perkalian antara gaya F dan perpindahan s yang masing masing berupa besaran vektor
5. Perkalian Silang Vektor Perkalian Silang adalah perkalian antara dua besaran vektor yang hasilnya besaran vektor 𝑟! ×𝑟! = 𝑟! 𝑟! sin 𝜃 dimana 𝜃 adalah sudut antara vektor I dan II Aturan perkalian silang 𝐢×𝐢 = 𝐣×𝐣 = 0 𝐢×𝐣 = 𝐤 𝐣×𝐢 = −𝐤 𝑟! . 𝑟! = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 = 𝑎𝐢. 𝑝𝐢 + 𝑎𝐢. 𝑞𝐣 + 𝑏𝐣. 𝑝𝐢 + 𝑏𝐣. 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝. 𝐢. 𝐢 + 𝑎𝑞. 𝐢. 𝐣 + 𝑏𝑝. 𝐣. 𝐢 + 𝑏𝑞. 𝐣. 𝐣 = 0 + 𝑎𝑞𝐤 + 𝑏𝑝 −𝐤 + 0 = 𝑎𝑞𝐤 − 𝑏𝑝𝐤 𝑟! . 𝑟! = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 𝐤 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 × 𝑝𝐢 + 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 𝐤 Contoh dalam fisika adalah 𝑉 = 𝜔×𝑟 Kecepetan linier adalah besaran vektor merupakan perkalian antara gaya 𝜔 dan perpindahan r yang masing masing berupa besaran vektor
6. Dasar Turunan dan Integral Notasi Turunan 𝒅𝒚 𝒅𝒇 Turunan fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 dilambangkan dengan 𝒅𝒙 atau 𝒅𝒙 Turunan dari 𝑓 𝑥 biasa ditulis dengan 𝒇′ 𝒙 Turunan beberapa fungsi !" !" ! Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘 maka !" = !" = 𝑓 ! 𝑥 = 0 !" !" ! Jika 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! maka !" = !" = 𝑓 ! 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 !!! !" !" ! Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 maka !" = !" = 𝑓 ! 𝑥 = 1 Integral Integral tak tentu dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dibaca sebagai integral dari 𝑓 𝑥 terhadap 𝑥 Secara umum ditulis 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 Integral beberapa fungsi 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶 Jika 𝑛 ≠ −1 maka 𝑎 𝑎𝑥 ! = 𝑥 !!! + 𝐶 𝑛+1
Integral disebut juga proses untuk menentukan anti turunan ! Perhatikan jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = !!! 𝑥 !!! maka ! 𝑦 = !!! 𝑥 !!! !"
=
!" !"
=
!" !"
! !!! !!! !!! !
𝑛+1 𝑥
!!! !!
𝑎𝑥 !!!!!
= 𝑎𝑥
!"
𝑓′ 𝑥
= 𝑎𝑥 !
𝑓 ! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶 Integral tentu Integral tentu dari fungsi 𝑓 𝑥 pada interval 𝑎, 𝑏 didefenisikan sebagai !
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
!
