A mathesis, Uraim, minden vallásba, minden országba, minden rend és gondolkodás formájába

Matematika Bevezető

„A mathesis, Uraim, minden vallásba, minden országba, minden rend és gondolkodás formájába egy. Láttál-é olly ostoba babonást vagy olly vakmerő eretneket, aki valamelly ágazatját tagadta volna? Tudsz-é olly különböző rendtartású országot, mellyben a mathesis igazságairól ártikulusokat hoztak vólna, és vagy egy, vagy más cikkelye változást vagy tilalmat szenvedett vólna? (…) Ezért megérdemli ő a tiszteletet, minden bizonytalanságot, visszálkodást és tilalmazott elmélkedést kerűlni óhajtó lélektől. Ezért lettem én is az ő felemelt gondolkodású híveinek, az értelem rendes nyomain, követője.” Csokonai Vitéz Mihály

Raffaello Sanzio: Athéni iskola (1509, részlet)

67 Matematika.indd 67

2013.08.09. 17:30:01

Matematika

2.1

Matematika az életünkben

Bevezető MATEMATIKA?! MINEK?! Nem akarok én matektudós lenni…

Értelmes, gondolkodó, a saját dolgaiban tájékozott, vitaképes felnőtt szeretnél lenni?

NE HAGYD MAGAD! Mások reklámokon keresztül, diagramok bemutatásával, statisztikai adatok idézésével akarnak meggyőzni. Tudni kell „utánaszámolni”. Mindig fel kell tenned a kérdést: „HOGY IS VAN EZ?”

LÉGY A MAGAD URA! Megoldást találni, dönteni önállóan kell. Helyes, logikus, mások számára is követhető gondolatmenettel kell a dolgok végére járni. (Nem baj, ha nem tudsz mindent fejből, de tudnod kell, hol tudsz utánanézni!) A GONDOLKODÁS folyamat, mellyel az elme különféle problémák megoldását keresi. A kiindulópont a probléma szövegszerű megfogalmazása. A tudományos gondolkodás valamilyen tudományág területét, annak sajátos módszereivel vizsgálja. Bármi is jár a fejedben, az már gondolkodás…

A MATEMATIKA a világot, más tudományok tárgyait sajátos módszerekkel, jelrendszerrel, elvonatkoztatva, általánosítva vizsgálja. Eredményeivel visszahat minden más tudományra, segíti, támogatja azokat. Ha tetszik, ha nem, a matek mindenben benne van…

ÉRTESD MEG MAGAD! Néha bizonyítanod kell az igazadat. Elmagyarázni, mit, miért gondoltál. Bemutatni, hogy helyesen jártál el. Ehhez megfelelő szókincs, világos, tiszta, logikus gondolatmenet, gyakran számolás is szükséges.

A MATEMATIKAI LOGIKA: a gondolkodás, definíciók, szabályok, következtetések, bizonyítások helyességét vizsgálja, a helyes következtetési sémákat (mintákat) írja le. Mindig meg tudod állapítani, hogy egy érvelés helyes-e?

„Aki helyes felismerésekre vágyik, annak előbb helyénvaló kételyeket kell támasztania.” Arisztotelész

„Tanulj a tegnapból, élj a mának, reménykedj a holnapban! A legfontosabb azonban, hogy soha ne hagyd abba a kérdezést!” Einstein


2013.08.09. 17:30:03

Számtan, algebra Kérdések, kérdések, kérdések… A kérdéseket mindig meg kell fogalmazni, ki kell mondani! A jól feltett kérdés az első lépés a megoldás felé vezető úton. Hogy is van ez? Mit is jelent ez? Ez a kérdés mindennek az alapja. Nem tudunk beszélgetni, együtt gondolkodni valamiről, aminek nem határoztuk meg a jelentését. A meghatározás, a dolgok, fogalmak, jelenségek értelmének, jelentésének pontos magyarázata a definíció. Erre való a Magyar értelmező szótár is, de a tudományoknak saját szótáruk van. (Ma már sokat segít az internet, pl. a Wikipédia. Persze tudni kell jól választani a ránk zúduló, vegyes értékű és hitelességű információkból!) * Mondjatok példát, amikor félreértéshez, kavarodáshoz vezetett, hogy nem ugyanarra gondolt a két beszélgető fél! * Beszéljétek meg a teafőzés algoritmusát a folyamatábra alapján! Gyűjtsetek algoritmussal leírható tevékenységeket!

ALGORITMUS

Jól meghatározható lépések, utasítások egyértelműen megadott sorozata, valamely eljárás szemléletes leírása. (Alapvető pl. az informatikában.)

START

TEGYÉL BELE TEÁT

ÍZTELEN

Matematika.indd 69

TEGYÉL BELE CUKROT

1

HAMIS

IGAZ

2

TEGYÉL BELE CUKROT

ISZOL HAMIS

SZOMJAS VAGY 2 STOP

KÉRDÉSEK: 1. Hány definíciót találsz ebben a leckében? Szerinted hogyan kapcsolódnak ezek egymáshoz? 2. Mire való a folyamatábra? (Mi köze lehet a „rutin” szóhoz?) 3. Mely nagy tudósoktól idéztünk ebben a leckében? Mit tudsz róluk? 4. Szerinted miről kellene tanulni a matekórákon? *1.16

TEGYÉL BELE CITROMOT

TEGYÉL FEL VIZET

ÍZESÍTSD

Egy folyamat, műveletsor algoritmusának szemléletes FOLYAMAT- képe, rajza. Sok helyen találkozÁBRA hattál vele, legfeljebb nem nevezted folyamatábrának…

1

ELÉG IGAZ

FELADAT: Készítsd el önállóan egy megszokott tevékenységed folyamatábráját! (Pl. bevásárolni megyek.)

69 2013.08.09. 17:30:03

Matematika

2.2

Természetes számok, alapműveletek

Számok, műveletek, számrendszer A számokkal való műveletekhez, a számok lejegyzéséhez szükség van a számok egységes írásmódjára (közös nyelv). Olvastam, hogy a különféle ősi kultúrákban eltérő módon jelölték a számokat (arab számok, római számok, rovás-, csomóírás stb.), sőt különböző számrendszereket alkalmaztak (tízes, hatos, tizennyolcas stb…).

A geometria az ókortól alkalmazza a körrel, szöggel kapcsolatban ma is használatos rendszert, melyben egy teljes kör 360 fok, egy nap 24 óra. ** Az időt és a szögeket is hatos, hatvanas szorzószámmal használjuk.

1

5

10

50 100 1000

Magyar rovásírás számjegyei

Az arab számírás ezer éve világszerte elfogadott.** A tízes számrendszer alkalmas a hétköznapi és a tudományos munkára is. A 20. század informatikai forradalma technikai okokból a kettes számrendszert használja.

Természetes számok: a pozitív egész számok és a 0 halmaza. Egész számok: a pozitív, negatív egészek halmaza. Racionális számok: azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Az abc kis betűi az algebrában számokat helyettesítenek. A műveleteket egyezményesen jelöljük (+, –, =, zárójelek stb.). Így röviden, tömören, mégis pontosan tudjuk kifejezni a szabályokat, összefüggéseket. Műveleti szabályok Az összevonás és szorzás felcserélhető, csoportosítható összevonás: pl. 2 + 3 + 9 = 3 + 2 + 9 = (2 + 3) + 9 = (9 + 2) + 3 = = (9 + 3) + 2 szorzás: pl. 2 · 3 · 5= 5 · 3 · 2 = 3 · (5 · 2) = 3 · (2 · 5) = = 5 · (3 · 2) = 5 · (2 · 3) Az összevonás és a szorzás átcsoportosítható 3 · (2 + 5) = (3 · 2) + (3 · 5) 5(3 + 4 + 6) = (5 · 3) + 5(4 + 6) vagy 5 · 13 = (5 · 10) + (5 · 3)

A TÍZES SZÁMRENDSZER – 10 különböző jellel (számjegy) leír bármely számot (alaki érték); – 9-nél nagyobb és 1-nél kisebb számok nagyságát (helyi érték) fejezi ki (tízesek, százasok, ezresek…tizedek, századok, ezredek); – a nagyon nagy vagy nagyon kicsiny számokat a 10 hatványainak alkalmazásával (normál alakban) írja le.

a – b = különbség a + b = összeg a · b = szorzat a : b = hányados


2013.08.09. 17:30:05

Számtan, algebra

Két, azonos előjelű szám szorzata/hányadosa pozitív, ellentétes előjelűeké negatív.

Oszthatóság: egy a egész szám akkor osztható b egész számmal, ha a = c · b teljesül, továbbá c egész szám. Az oszthatóság csak egész számokra értelmezhető.

Közös többszörös, amely szám két vagy több szám mindeg yikével osztható. Legkisebb közös többszörös az a legkisebb pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének többszöröse, a közös többszörösök közül a legkisebb.

Törtek szorzása: számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk. Törtek osztása: az osztó reciprokával szorzunk. (Reciprok = számláló és nevező felcserélése.)

V alódi osztók az 1-től és magától a számtól különböző osztók. Nem valódi osztók az 1 és maga a szám. Közös osztó az, amely két vagy több számnak is osztója. Legnagyobb közös osztó az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója, a közös osztók közül a legnagyobb.

Műveletek sorrendje: a szorzás/osztás magasabb rendű, mint az összevonás. Zárójel szerepe: ha más műveleti sorrendet akarunk, akkor zárójellel fejezzük ki, melyek az elsődleges műveletek.

Bármely egynél nagyobb természetes szám prímszá mok szorzatára bontható. (Egyféleképpen). Ez a szám elmélet alaptétele.

Prímszám: az az 1-nél nagyobb egész szám, amely nem osztható csak 1-gyel és önmagával, nem bontható fel prímszámok szorzatára. Relatív prímek: egymáshoz képest két vagy több szám, ha, nincs valódi közös osztójuk. A 0 minden egész szám többszöröse, de egyetlen számnak sem osztója. Az 1 sem nem prímszám, sem nem összetett szám.

Feladat: Karesz a barátainak kártyatrükköket mutat. Először a 32 lapos magyar kártyával, majd az 52 lapos francia kártyával. Mindkét kártyapaklit egyenlően szét tudja osztani közöttük. Hány barátjának mutatja be Karesz a tudományát? Gyűjtsetek össze néhány oszthatósági szabályt!

KÉRDÉSEK: 1. Hány definíciót találsz ebben a leckében? 2. Milyen szabályok szerepeltek? 3. Adott két szám esetében a legnagyobb közös osztójuk, vagy a legkisebb közös többszörösük a nagyobb? 4. Mit jelent a műveletek sorrendjének szabálya? *3.2; ** 5.8

Matematika.indd 71

FELADATOK: 1. Minden szabályra, amely ebben a leckében előfordult, írj egy-egy konkrét példát! 2. Bontsd fel a 10-et prímszámok szorzatára. 3. Gyűjtsd össze 100-ig a prímszámokat!

71 2013.08.09. 17:30:06

Matematika

2.3

Racionális számok, alapműveletek

Oszthatóság, törtek, arány, hatvány Érték

SI

billió

1012

tera-

milliárd

109

giga-

millió

106

mega-

ezer

103

kilo-

száz

102

hekto-

tíz

101

deka-

egy

100

–

tized

10–1

deci-

Kiemelten fontosak a 10 és 1 az hatványai a nagyon nagy 10 és a nagyon kicsi számok írásakor.

Hatvány: szorzat, melynek minden tényezője azonos. Hatványozás: a · a · a · a · a · … · a = an n darab azonos a tényezőből álló szorzat. A hatvány alapja a (a-t szorozzuk önmagával), a hatvány kitevője n (ennyi a-t szorzunk). Számok normálalakja: egy 1 és 10 közötti számnak és 10 hatványának a szorzataként felírt szám.

Nagyon nagy számokkal a csillagászatban és az űrkutatásban találkozunk. * Például a Föld tömege: 6 000 000 000 000 000 000 000 t, normál alakban: 6 · 1021 tonna. A kémia, biológia dolgozik nagyon kicsiny méretekkel, itt a 10 negatív egész kitevőjű hatványait alkalmazzák. A proton tömege: 0,000 000 000 000 000 000 000 001 67 gramm. Ez normál alakban: 1,67 · 10 –24 gramm. (A 10 negatív hatványa 1 = pozitív hatványa.) Ebben a formában könnyebb a munka. 10 Vigyázat! Ez az átlag csalós is tud lenni! Egy osztályban 24 gyereknek a zsebpénze 500 Ft, egynek viszont 50 ezer Ft. Mennyi fejenként az átlagzsebpénz? Reális képet ad szerinted ez az átlag?

Átlag, számtani középérték: Két vagy több szám számtani átlagát úgy kapjuk, hogy a számokat összeadjuk, majd elosztjuk a számok számával.

Közepes a tanulmányi átlaga annak az osztálynak, amelyiknek pontosan az egyik fele megbukott, a másik fele pedig jelest kapott. A számtani átlagnak reális értelme akkor van, ha elég nagy számú adatra vonatkozik, és ha nincsenek túlságosan kirívó, szélsőséges értékek. Emiatt sokféle más átlagot is használnak. (Pl. mértani közép, súlyozott, harmonikus átlagok stb.)


*1.16

2013.08.09. 17:30:08

Számtan, algebra Határozzuk meg a torta darabjainak nagyságát többféleképpen (szöveggel, tört számmal)!

Az egész torta: EGY EGÉSZ = 1. Egy szelet torta: egy tizenhatod rész = 1/16. Két szelet torta: 2/16, vagy másképpen 1/8 rész, mert a törtet egyszerűsítettük. Hogyan? 3 Három szelet torta: három tizenhatod rész = . 16 Nem lehet egyszerűsíteni. Miért? 4 Négy szelet: négy tizenhatod = , egyszerűsít16 1 ve torta. 4

Figyeljétek meg, ha az egész tortából indulunk ki, a szeletek annak törtrészei! De ha egy szeletet tekintünk alapnak, akkor két szelet annak kétszerese, az egész torta annak 16-szorosa... Ha nem 16 darabra vágnánk, más törtekkel dolgozhatnánk.

Arányos osztás: amikor egy „egészet” osztunk (darabolunk) adott arányú részekre. Pl. 2:1 arányú darabokat kapunk, ha az egészet (2 + 1 =) 3 részre bontjuk, és abból 2, ill. 1 részt veszünk. A részek egymáshoz 2:1 1 2 arányban , az egészhez és arányban 3 3 viszonyulnak.

Százalék A századrészt százaléknak is nevezzük. A százalék alapja: az az „egész” (100%), aminek valamekkora részéről beszélünk. A százalékérték: az egésznek a része, amelynek nagyságát (arányát) a százalékláb határozza meg. A százalékláb: az a szám, amely azt mutatja, hány századrészről van szó. Speciális jellel írjuk: %. Jelentése századrész vagy század. A százalékszámítás alapképlete (definíciója): a százalékérték = a százalékalap századrészének és a százaléklábnak a szorzatával.

BORA-BORA koktél: Ez a koktél 10 részből áll. Az ananász, gyömbér, lime és gránátalma egymáshoz viszonyított aránya 3:3:1:2. A koktélban pl. a gyömbér aránya 3:10, vagy 0,3, vagyis 30%.

KÉRDÉSEK: 1. Milyen definíciókat és szabályokat találsz ebben a leckében? 2. Mit értünk a 10 negatív kitevőjű hatványain? 3. Hol a hatványozás helye a műveletek sorrendjében? 4. Törteket is lehet hatványozni?

FELADATOK: 1. Egy termék árát 30%-kal csökkentik. Később mégis emelik 30%-kal. Mi történt pontosan? 2. Hány százaléka az egésznek egy szelet torta a tortás példában? 3. Határozzátok meg a Bora-Bora koktél egyes összetevőinek százalékos arányát!


2013.08.09. 17:30:09

Matematika

2.4

Halmazok, függvények

Halmazok, halmazműveletek Játsszunk barkochbát!

Tudtad, hogy a barkochba alapja a halmazokban való gondolkodás? A játék lényege, hogy egyre szűkítjük a kört azzal, hogy a kitalálandó dolognak egyre több tulajdonságát határozzuk meg… A logikusan működő elme akkor is halmazokkal dolgozik, ha nem így nevezi őket.

A halmaz valamely közös tulajdonsággal rendelkező elemek összessége, csoportja.

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma. A halmazokat megadhatjuk leírással, az elemeinek felsorolásával, egyértelmű ábrázolással. Minden halmazt úgy kell megadni, hogy – az elemek számát meg lehessen határozni, – az elemek valamilyen sorba (pl. nagyság szerint) rendezhetők legyenek, – bármiről el lehessen dönteni, hogy az adott halmazhoz tartozik vagy sem.

Halmazokkal műveleteket is végezhetünk, ehhez néhány kézenfekvő új fogalmat használunk.

ni, sze-

A

A∪B

B

A

A∩B

B

adott Halmazok egyesítése, uniója: két vagy több halmaz elemeinek összessége (minden elem).

Halmazok közös része, metszete: halmazok közös elemeinek halmaza (csak a közös elemek).

A B Részhalmaz: egy halmazon belül (annak elemeiből) elkülöníthető újabb halmaz.

A A

A\B

B

Halmazok különbsége: egy halmaz azon elemeinek halmaza, melyek nem elemei a másik halmaznak.

Vitassátok meg, hogy van-e a jelentésbeli különbség a két kifejezés között: a tízzel osztható számok / tízzel osztható számok! Keressetek mindegyik halmazműveletre példát!


2013.08.09. 17:30:11

Halmaz, függvény, sorozat Beszéljétek meg, melyek halmazok ezek közül! Próbáljátok ábrázolni, melyek kapcsolódnak egymáshoz halmazként!

a kilencedikes lányok

iskolánk tizedikes fiú tanulói

az összes női név

a magyar irodalom gyöngyszemei

minden háromszög

szabályos háromszögek

József Attila: Altató

József Attila összes költeménye

hazánk nemzeti parkjai

hazánk megyei jogú városai

Debrecen, Szeged, Nyíregyháza

középiskolai tantárgyak

osztályunk órarendi tantárgyai

a legnagyobb matematikusok

Neumann János

Árpád-házi királyaink

Nobel-díjas magyar tudósok

Könyves Kálmán

– Bármiről megmondható, hogy beletartozik-e a halmazba, vagy nem? – Szerintetek melyik meghatározás nem halmaz? Ki tudjátok úgy egészíteni, hogy halmaz legyen? – Keressetek halmaz-részhalmaz viszonyokat! – Találtok olyan párokat, amelyeknek van (nem üres) metszete? Ábrázoljátok Venn-dragramon a hattal osztható számok halmazát, valamint a hárommal osztható páros számokat!

FELADATOK: 1. Keressetek hétköznapi tárgyak, eszközök körében megadható halmazokat! Indokoljátok meg, miért tekinthetők halmaznak! 2. Keressetek ebben a könyvben olyan ábrát, felosztást, leírást, amely halmaz megadásának tekinthető! Indokoljátok meg, miért! 3. Készíts Venn-diagramszerű halmazábrát a magyar ABC összes betűjéből! 4. Mit jelent halmazműveleti szempontból: „Háromfordulós szépségversenyen 150 lány indult, közülük XY bejutott a második fordulós 50 közé, de a tízes döntőbe nem került be.” Hányadik lehet ezek szerint XY? Hány versenyzőt előzött meg biztosan?


2013.08.09. 17:30:11

Matematika

2.5

Halmazok, függvények

Koordináta-rendszer, függvényábra

Tudtad, hogy a GPS a Föld bármely pontján, a nap 24 órájában működő – műholdas helymeghatározó rendszer?

Van GPS-em! Megmutatja, hogy hol vagyok, és hol van, ahova menni akarok. Azt mondja is, merre menjek.

A GPS 24 műhold segítségével 3 dimenziós helymeghatározást végez földön, vízen vagy levegőben. A Föld felszínén minden pont helye egyértelműen meghatározható a földrajzi koordinátarendszer két koordinátájával. * Gömbi koordináták A megközelítően gömb alakú Föld felszínén élünk. A földrajzi távolságokat pontatlanul írják le a síkbeli szakaszok, ezért a gömb felszínére illesztett gömbi koordináta-rendszert használjuk. A koordináta-rendszer egy sík, vagy egy tér, melyben egy kezdőpontot és tengelyeket jelölünk ki, amelyektől a pontok távolságát mérjük.

Gömbi koordináták

Számeg yenes irányA 0 ponttól mindkét amelyen ban végtelen eg yenes, az an eg ységnyi távolságb ka egész számok , közöttü raciotörtszámok , az összes tők. nális szám elhelyezhe S Ó EGYDIM ENZI

A pontok és a számok között milyen kapcsolatot teremtenek a koordináta-rendszerek?


Descartes**-féle derékszögű koordináta-rendszer Két számegyenest egymásra merőlegesen, a 0 pontjukkal (origo) összeillesztünk. Mindkét számegyenesen azonos egységet veszünk fel. A síkon minden egyes pontot egy számpár (koordináták) ad meg. KÉTDIMENZIÓS

Térbeli koordináták A síkbeli koordináta-rendszert nem nehéz térbelivé fejleszteni egy harmadik merőleges számegyenes felvételével. HÁROMDIMENZIÓS

3.3; 5.23

2013.08.09. 17:30:14

Halmaz, függvény, sorozat Pontok megadása a derékszögő koordináta-rendszerben

pont

pontsor

grafikon

Vitassátok meg, hogy a tv-ben, interneten, újságokban, plakátokon, könyvekben látott táblázatok, ábrák, diagramok, grafikonok, görbék mire valók! A fogyasztói árak változását bemutató ábra diagram vagy grafikon? Milyen információkat olvashatunk le róla?

Függvény: egy halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy halmaz egy, de csakis egy elemét.

Diagram: adatok, mennyiségek, összetartozó értékek arányának, változásának kifejezésére szolgáló ábra. A diagramok változatos formájúak lehetnek. Képesek ugyanazt az adatsort különbözőképpen szemléltetni, egyik vagy másik szempontot jobban kiemelni. Fontos diagramtípus a Venn-diagram, a halmazokat, azok egymáshoz való viszonyát síkidomokkal (gyakran körökkel) szemléltető ábra. Grafikon: a diagram egyik fajtája, amely két vagy több változó kapcsolatát egy célszerűen méretezett koordináta-rendszerben ábrázolja. Függvénygörbe: grafikon, végtelen számú adatra vonatkozik, melyek összetartozását szabályos Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Egy iskola 9. és 10. évfolyamos tanulóinak összesített matematika eredményeit szemlélteti egy oszlop- és egy tortadiagram. Mit tudtok leolvasni az oszlop-, és mit a tortadiagramról?

FELADAT: Határozd meg településed földrajzi koordinátáit! Gyűjtsetek különböző diagramokat, grafikonokat az internetről, újságokból!


2013.08.09. 17:30:14

Matematika

2.6

Diagram, grafikon

Diagramok, korfa

Készítsünk diagramot!

tokat! – Először is rendezzük táblázatba az ada nag yságrendet! – Határozzuk meg a mér tékegységet, – Válasszuk ki a diagram típusát! majd ábrázoljuk az adatokat! – Ezután veg yük fel a diagram alapját, , röv id, pontos cím adását! – Végül ne felejtsük el az adatok jelzését tok forrásának feltüntetése. Komoly ábrá khoz hozzátartozik az ada

Trendvonal: egy oszlopdiagram elég sok adatot tartalmazhat, melyek alapján előre jelezhetők vele jövőbeli értékek.

Összetett diagram: azonos alap-adatsorhoz több értéksor tartozik. Csak az összehasonlítható adatokat lehet egy diagramban ábrázolni, részletes jelmagyarázattal.

Halmozott oszlopdiagram, %-os, 3 adatsor

Összetett vonaldiagram, %-os, 2 adatsor, évente több adat.


2013.08.09. 17:30:15

Halmaz, függvény, sorozat Tudjátok, mi az a KORFA? A korfa egy különleges összetett diagram, mely két sávdiagramból áll nagy elemszámú csoport (népesség) kor, nem (egyéb) kategóriák szerinti megoszlására. Fontos statisztikai, demográfiai segédeszköz. Korfák segítségével évekkel előre is ábrázolhatjuk a népesség alakulását! A három korfa a magyar népesség eloszlását mutatja három különböző időpontban a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) adatai alapján. Növekvő népesség korfája: széles alapú, fölfelé keskenyedő. A gyermekkorúak aránya magas, az idősebbeké alacsony. Stagnáló népesség korfája: méhkas alakú, a fiatalok, gyermekkorúak és középkorúak egyensúlya, az idősebbek kisebb aránya jellemzi. Fogyó népesség korfája: keskeny alapú, fölfelé szélesedő, a fiatalok aránya csökken, a várható élettartam hosszú, az idősek aránya nő.

KÉRDÉS: Reálisnak tartod a 2050-re történő népesség-előrejelzést? (Gondolj bele! Milyen tényező, esemény változtatna ezen jelentősen? )

FELADAT elyik diagramról és szám szerint milyen pontosságM gal tudnád leolvasni, hányan voltak 2010-ben a kettő éves fiúk?


2013.08.09. 17:30:16

Matematika

2.7

Egyenlet, mérlegelv, algoritmus

Mérlegelv Kicsit számolnod is kell, de nem ez a lényeg. Az egyenletek sok matematikai probléma megoldását könnyíthetik meg. Jólesett kicsit rajzolgatni! De mi az az egyenlet? Megint számolnom kell?

Az egyenlet egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés, melyeket az egyenlet jobb és bal oldalának nevezzük.

Az egyenlet tartalmazhat több változót (ismeretlent), bonyolult, magasabb fokú műveleteket (hatványozás, gyökvonás, logaritmus, szögfüggvény stb.). Mi nem ezekkel foglalkozunk, hanem az egyenletekre jellemző gondolatmenettel. Példa: * Téglalap alakú kertünk kerülete 180 m, szélessége 40 m. Mennyi drótkerítés szükséges a kert hosszabbik oldalaira? Készítsünk folyamatábrát a gondolatmenetünkről!

1. MODELL megválasztása 2. ADATOK kigyűjtése adott k = 180 m. adott a = 40 m.

3. ÖSSZEFÜGGÉSEK keresése a téglalap kerülete k = 2a + 2b.

5. EREDMÉNY:

4. OKOSKODÁS Ha a k = 180, akkor a fele 90. Egyik oldal 40, akkor a másik oldal 50 m, ez a hosszabbik. 2 · 50 m = 100 m

100 m drótra van szükség.

Az egyenlettel való megoldás sokkal frappánsabb, és akkor is célravezető, ha nagyon bonyolult számok, műveletek fordulnak elő.


*3.9

2013.08.09. 17:30:18

Matematika Halmaz, függvény, sorozat

Ezt fejben kiszámoltam, minek ennyit vacakolni!

Ez tényleg nem egyenlet. De maradjunk ennél az egyszerű példánál! Alakítsuk egyenletté! Ez még akkor is célravezető, ha elsőre bonyolultnak tűnik.

Mérlegelv: Egy egyenlőség mindkét oldalával mindig ugyanazt a műveletet szabad csak végezni. A cél, hogy egyik oldalon egyedül az ismeretlen maradjon, minden más szám az egyenlet másik oldalára kerüljön.

1-2.-3. A modell megválasztása, adatgyűjtés, összefüggés keresése.

Kérdezz, kérdezz! Kérdezz! * – A megoldást nem azzal kezdjük, hogy felírjuk az 5. egyenletet, hanem gondolkodunk. Egyenlet –K érdéseket teszünk fel. Értelmes-e a probmegoldása léma? Lehetséges ilyesmi a valóságban? (mérlegelv) Megfogalmazható másként, egyszerűbben a b = 50. feladat? –M odellezzük. Milyen egyszerűbb dologhoz hasonlít? (Rajz, vázlat.) –M i a kérdés? A kérdés arra vonatkozik, amivel az adatok kapcsolatban vannak? – Van-e elegendő adatunk? Tudunk-e szabályt, összefüggést közöttük? – Becslés: vajon kb. mi lesz az eredmény? – Ezzel jutunk az egyenlethez, és a könnyebb rész következik: Egyenlet megoldása. – Ellenőrzés.

KÉRDÉSEK: 1. Egy feladat megoldásának melyek a legfőbb részei? 2. Mit jelent a mérlegelv? 3. M indig van megoldás? 4. Milyen típusú szöveges feladatokat ismertek? (A leckében a kerítéses példa a „geometriai jellegűek” közé tartozik.) 5. Ha egy feladatnál a szomszédom másképpen számolt, mi dönti el, kinek van igaza?

*1.26

Matematika.indd 81

4. Behelyettesítés az általános képletbe: 2(a + b) = k 2(40 + b) = 180.

6. Szöveges válasz: 50 méter a másik oldal, így 100 m drót szükséges.

FELADAT: E gy szobában az ott lévőknek 5 feje és 18 lába van. Hány ember és hány macska van a szobában? (És ha azt mondom, 9 feje és 16 lába van?)

81 2013.08.09. 17:30:19

Matematika

2.8


Szöveges problémamegoldás

Csak ne legyen unalmas! Könnyű legyen!

Adhatok még feladatot?

Bea édesapja most másfélszer olyan idős, mint Bea. 5 év múlva az édesapa 50 éves lesz. Hány éves most Bea? A feladatban két ember életkoráról van szó. Szerintem érdemes két oszlopba rendezni az egymáshoz tartozó ismereteket. Próbálkozzunk! Hány éves lehet most Bea? BEA (most)

APA (most)

Lehetséges?

12 16 20 40 32 30 34

20 24 30 60 48 45 51

Nem Nem Nem Lehetne Hmmm!? Hmmm?! Lehetne

Mi alapján döntöttük el egy számpárosról, hogy képzelhető életkorok-e? Ezek a számok (Bea 30, 32, 34, 40 éves) akkor mind megoldások? Akkor hogy választjuk ki a megoldást? Van egy másik feltétel is: az apa 50 éves lesz 5 év múlva. Akkor most éppen 45 éves. Nem? Számoljuk ki egyenlettel is!

Miért nem tetszik? Nem lehet az apa ilyen fiatal. Nem lehet az apa ilyen fiatal. Nem lehet az apa ilyen fiatal. Életszerű, de még nincs 50 éves. Szerintem nem valószínű. Szerintem nem valószínű. Elképzelhető, de még nincs 50 éves. A korkülönbség alapján. (Az apja biztos nem fél évvel vagy 5 évvel idősebb…) Nem hiszem. Hogy? Tényleg! Na de akkor Bea 30, és ezt meg is találtam! Hát ez kicsit macerás volt így… Jóóóó, de csak ha simább ügy lesz!

Beszéljétek meg a feladat táblázatos felírását és megoldását! Mikor:

BEA

APA

X éves

1,5 X éves

X + 5 éves lesz

1,5 x + 5 = = 50 éves lesz 45 50

most 5 év múlva 5 év múlva eredmény most eredmény 5 év múlva

X = 30 35

Mi ez? 1,5 első adat X a keresett szám KÖVETKEZTETÉS másik adat az egyenlet gyöke ez ellenőrzés is.

A megoldás: Bea most 30 éves.


2013.08.09. 17:30:20

Matematika Halmaz, függvény, sorozat Feladat: Egy kamion üzemanyagtankja 420 literes. A sofőr induláskor teletankolta, majd elindult az 1100 km-re lévő cél felé. Átlagfogyasztása 32 liter/100 km. Hány liter gázolaj maradt az út végén a kamion tankjában? (Közben nem tankolt, és átlagosan fogyasztott.)

Fontos! Három adat közötti kapcsolatról van szó, és van három adatunk – talán még sok is? Ezt így végiggondoljuk, de leírni csak a legfontosabbakat kell.

Mi a kérdés?

Mennyi üzemanyag maradt?

Mitől függ ez?

Hogy mennyit fogyasztott el.

Elegendő ismert adatunk van-e?

Úgy tűnik, igen.

Milyen adatok vannak?

Üzemanyag, átlagfogyasztás, úthossz.

Milyen összefüggés van az adatok között?

Az összes fogyasztás az út hosszától függ és a fogyasztási normától. Egyenesen arányos mindkettővel.

Figyeljétek meg a megoldás lépéseit!

Adatok lejegyzése: átlagfogyasztás: 32 l/100km, összes út: 1100 km, összes üzemanyag: 420 l.

Összefüggés felírása: x = út szorozva átlagfogyasztás.

KÉRDÉSEK: 1. Milyen típusú megoldási módszerekről esett szó? Tudsz másféléket is? 2. Mikor célszerű táblázatba foglalni az adatokat?

Megoldás az ismert adatok behelyettesítésével: szükséges üzemanyag x = 1100 km szorozva 32 l/100 km. x = 352 liter.

Válasz a kérdésre: Maradt 420 – 352 = 68 liter.

FELADAT: otond egy 50 km-es teljesítménytúrán tartani akarB ta a 12 órás szintidőt. Az első 4 órában megtette az út 36%-át, a következő 4 órában a maradék út 50%-át. Hány km maradt még?


2013.08.09. 17:30:20

2.9 A problémamegoldás az adatok közötti összefüggések keresésével kezdődik. Ha egy problémában a szereplő mennyiségek között függvénykapcsolatot tudunk beazonosítani, akkor már sokkal egyszerűbb a megoldás. Ilyenkor a feladat a függvény vizsgálatára, az összefüggést leíró egyenlet megoldására redukálódik.

Függvény megadása függvénygörbével a legszemléletesebb. A függvény rajzát általában adattáblázatból készítjük. A táblázatot legtöbbször a függvény képletéből, több érték behelyettesítésével kapjuk. A görbéről jól leolvashatók a függvény jellemzői.

Matematika


Függvény: olyan hozzárendelés, ahol egy nem üres halmaz egy-egy eleméhez hozzárendeljük egy szintén nem üres halmaz egy-egy elemét. (A két halmaz lehet azonos is.) Szűkebb értelemben matematikai függvénynek a kölcsönös és egyértelmű hozzárendelést nevezzük. Értelmezési tartomány: az a halmaz, melynek az elemeihez a másik halmaz elemeit rendeljük. Értékkészlet: az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmaza. A függvénygörbe a koordinátarendszerben ábrázolt grafikon. A függvényt megadhatjuk szöveges leírással, táblázattal, képlettel, függvénygörbével.


2013.08.09. 17:30:20

Matematika Halmaz, függvény, sorozat Függvényjellemzők Függvény zérushelye: ahol a függvény értéke 0, azaz, ahol a függvénygörbe a vízszintes (x) tengelyt metszi. Növekvő a függvény, ha nagyobb eleméhez (x) mindig nagyobb függvényérték (y) tartozik. Csökkenő, ha nagyobb eleméhez (x) mindig kisebb függvényérték (y) tartozik. Periodikus, ismétlődő, ha egy tartományának (periódus) függvényértékei egy másik tartományban ugyanúgy megismétlődnek.

Folytonos, ha pontjai folytonos (összefüggő) vonallal ábrázolhatók. Szakaszos, ha nem folytonos vonalból áll. Minimuma van, ha létezik egy legkisebb függvényérték. Maximuma van, ha létezik egy legnagyobb függvényérték. Konstans, állandó függvény, ha értéke mindenütt ugyanannyi.

Egyenlet grafikus megoldásakor két függvény közös pontját a koordinátarendszerbeli grafikonon keressük meg. Egyenlet algebrai megoldása során két függvény képletét tesszük egyenlővé, ezt oldjuk meg mérlegelvvel. *

Oldjátok meg az ábra alapján felírható egyenletet algebrai és grafikus módszerrel is!

KÉRDÉSEK: 1. Mondj példákat függvénykapcsolatra! 2. Melyek a legtöbbször használt, arányt jelentő függőségek? 3. Hogyan adhatunk meg egy függvényt? 4. Milyen módszerekkel kereshetjük meg két függvény közös pontjait?

*3.1; 3.3; 3.12

Matematika.indd 85

FELADAT: A fenti függvényábrák valamelyikén válassz két függvényt: – írd fel képlettel a hozzárendelési szabályukat; – készíts értéktáblázatot, majd ábrázold néhány pontjukat, – állapítsd meg a jellemzőiket; – keresd meg a két függvény metszéspontját többféle módszerrel!

85 2013.08.09. 17:30:21

Matematika

2.10

Matematikai logika

Logikai alapfogalmak, nyelv és logika… Győzelem! Kiemelkedő teljesítménnyel második lett a 9.B csapata! A 9.A az utolsó előtti lett. Ez a valóság.

Hány csapat indult? Kettő! A 9.A győztes, 9.B vesztes. Ez az igazság?

Vicces? Inkább elgondolkodtató. Utazik Skóciában egy politikus, egy újságíró és egy matematikus. A robogó vonatból meglátnak egy fekete bárányt. A politikus: „Nahát, Skóciában a bárányok feketék!” Mire az újságíró: „Ugyan mitől lett fekete az

„ Most ne matekozzunk, hanem tartsunk egy kis szólás-mondás elemzést! Szabad vitatkozni!”

„Nem mind arany, ami fénylik.” Találtunk egy gyűrűt, amelyik fénylik. Melyik állítás igaz biztosan, ha hiszünk a közmondásnak? (Több válasz is lehet igaz.) „Aki másnak vermet ás, maga esik bele.” Látunk egy vermet, amelyben egy Péter nevű fiatalember üldögél egyedül. Melyik állítás igaz, figyelembe véve a közmondást? (Több válasz is lehet igaz.)

összes skót bárány?!” A matematikus viszont azt mondja: „Most már biztosan tudjuk, hogy Skóciában van legalább egy bárány, amelyiknek fekete legalább az egyik oldala.” A logika a gondolkodás elengedhetetlen velejárója. Nyelvünk nagyon pontosan ki tudja fejezni a tényeket. Ügyelj arra, hogy ezt felismerd, helyesen értelmezd, és Te is így fogalmazz!

– Biztosan aranyból készült. – Biztosan ezüstből készült. – Nem lehet, hogy aranyból készült. – Rézből készült, csak ki van fényezve. – Aranyból készült, vagy más anyagból. – Biztos, hogy beleesett. – Biztosan nem ő ásta a vermet. – Lehet, hogy ő ásta a vermet. – Biztosan ő ásta a vermet. – Más ásta a vermet Péternek. – Lehet, hogy Péter ásta a vermet magának. – Biztosan Péter ásta a vermet másnak. – Lehet, hogy magának ásta, mert kincset keres. – Vagy valaki más ásta a vermet saját magának, vagy Péter.


2013.08.09. 17:30:22

Matematika Gondolkodási módszerek

„Ki korán kel, aranyat lel.” Az aranyásó tegnap aranyat lelt. Mi következik ebből?

Logika: Már az ókori görögök művelték a logika, a gondolkodás, a helyes következtetések tudományát. Amit a hétköznapi életben logikus következtetésként gyakorolunk, az nagyjából ezzel azonos. Az algebrában a számokkal való műveletekből algebrai műveletek váltak, amelyeket betűkkel végzünk. A logika számok helyett igaz vagy hamis ÍTÉLETEKET, ÁLLÍTÁSOKAT használ, azokkal műveleteket végez, amelyek eredménye szintén (igaz vagy hamis) állítás.

– Ma korán kelt. – Tegnap későn feküdt le. – Tegnap este korán feküdt le. – Tegnap reggel korán kelt. – Tegnap lehet, hogy későn kelt. Egy állítás hamisságát egyetlen ellenpélda is bizonyítja. Egy állítás igazságát általánosan bizonyítani kell. Igaz? Nem igaz ? Bármely két egész szám átlaga egész szám. Bármely két páros szám átlaga egész szám. Bármely két páros szám átlaga páros szám. Bármely két páratlan szám átlaga egész szám. Bármely két páratlan szám átlaga páratlan.

Most másféle kérdés, másféle megoldás következik. Figyeljétek meg a táblázatos módszert! Ez is sokféle probléma kezeléséhez alkalmas.

FELADVÁNY: Öt barát versenyt futott. Ki hányadik lett? (Nem volt holtverseny.) Béla nem a második lett, de Béla jobb helyezést ért el, mint György. Dénes keserűen állapította meg, hogy nem ő lett az első. György a harmadik helyen végzett, Péter közvetlen Dénes után ért célba. András nem lett a versenyben sem első, sem utolsó. Segít az ábra!

1.

2.

3.

4.

5.

D G B P A

KÉRDÉSEK: 1. Megbíznál egy olyan emberben, aki nem logikusan gondolkodik? 2. Mit teszel, ha ilyennel találkozol? 3. Mit jelent az „átlag”? (Hol találkoztál már vele?) 3. Melyik példa tetszett legjobban ebben a leckében? Tudnál te is hasonlót kitalálni?


2013.08.09. 17:30:23

Matematika

2.11

Matematikai logika

Logikai műveletek, problémamegoldás

„Veri az ördög a feleségét”– mondjuk, ha egyszerre esik az eső, és süt a nap. Ede ma reggel így szólt: „Veri az ördög a feleségét!”. Mi igaz az következők közül?

Eső esett tegnap. Nem sütött tegnap a nap. Tegnap biztos, hogy fújt a szél. Tegnap biztos, hogy sütött a nap, és fújt a szél.

Hűha… gondolkodnom kell… Szabad a gazda! Akármelyik?!

Fejtörő : 4 hajó megy a tengeren. Egy cirkáló, egy halászhajó meg egy utasszállító. Minden hajó pontosan 150 m-re van minden másik hajótól. Milyen típusú a negyedik hajó?

LOGI KA . Nem egyenlet kell ide , csak hatod , mégis benne Ha megvan a megfejtés, lát van a matek!

Ítélet, állítás: * A logikában a kijelentő mondatok alapfogalmak. Állításoknak nevezzük azokat a kijelentő mondatokat, melyekről egyértelműen megállapíthatjuk, hogy vagy igazak, vagy hamisak.

Logikai érték: egy állítás igaz vagy hamis volta. Minden állítás vagy igaz, vagy hamis.

Egy ítélet tagadásával vagy ítéletek összekapcsolásával új ítéleteket (összetett ítélet) képezhetünk.

Következtetés: állításokból összetett új állítás. Értéke az eredeti állítások értékéből megadható.

Fejtörő : Az öreg arab végrendelkezett. „A nagyfiú kapja az istállóban lévő tevék felét, a középső a negyedét, a kicsi az ötödét.” De az istállóban 19 teve állt, nem tudták elosztani. Mentek a kádihoz segítségért. A kádi odatevegelt az istállóhoz, elosztotta az ott lévő tevéket. Hogy járt el a kádi? Hol van a fontos „trükk” a tevés feladvány szövegében?


* 3.1;

2013.08.09. 17:30:25

Matematika Gondolkodási módszerek Életünk elképzelhetetlen számítógép nélkül. A gép számításokat végez, válaszol kérdésekre, tárol és előkeres szinte megszámlálhatatlan mennyiségű információt. A számítógép négy alapelve a kettes számrendszer, a memória, a programtárolás és az utasításrendszer (algoritmus). Neumann János* (1903-1957) (akiről kisbolygót és holdkrátert neveztek el) a modern kor egyik legnagyobb magyar tudósa, az első számítógép készítője. Ő dolgozta ki a számítógépek ideális működésének elvét. Ezek szerint a gépnek öt alapvető funkcionális egységből kell állnia: bemeneti egység, memória, aritmetikai egység, vezérlőegység, kimeneti egység, s ami lényegesebb: a gép működését a tárolt program elvére kell alapozni.

A kettes számrendszer két jelet használ (0 vagy 1), a logikai igaz vagy hamis állításoknak megfelelően. Ez alkalmas gépi használatra (áramkör ki vagy be).

„A munka oroszlánrészét akkor kell majd elvégezni, ha a gép már elkészült, és használható lesz. Ekkor magát a gépet kell majd kísérleti eszközként fölhasználni. ” Neumann János

Feladat: Két egymás melletti hordóba két gyerek vizet hord. A 84 literes hordók a kúttól 12 méterre vannak. Az egyik gyerek egy 4 literes kannával, a másik 7 literes vödörrel viszi a vizet, amelyet beleönt a saját hordójába. A teli edényekkel mindig egyszerre fordulnak. a) Az ötödik forduló után mennyi lesz a vödörrel dolgozó gyerek előnye? b) Hány forduló után lesz az egyik hordóban 18 literrel több? c) Hány liter víz van az egyes hordókban ekkor? d) A nagyobbik edénnyel dolgozó gyerek azt tervezi, hogy 42 literes előnyre tesz szert. Lehetséges ez? e) A negyedik forduló után mennyi víz lesz a két hordóban összesen? f) Hányadik forduló után telnek meg félig a hordók?

KÉRDÉSEK: 1. Fontos adat a vízhordós példában, hogy mennyi a hordó térfogata? Mikor válik fontossá? 2. Milyen számtani fogalom játszik lényeges szerepet ebben a feladatban? Megoldható akkor is, ha nem ismerjük ezt a fogalmat? 3. A tengeri hajókra vonatkozó kérdésnél milyen fontos matematikai tényt kellett felismerni a megoldáshoz?

*3.12

Matematika.indd 89

FELADAT „Hordóba hordók” példánál növeljük duplájára a A hordók térfogatát! Melyik kérdésre, hogyan változik a válasz?

89 2013.08.09. 17:30:27

Matematika

2.12

Számtani sorozatok (algoritmus)

Sorozatok Ez pedig elég könnyű. Megpróbálod?

Már megint függvény? Sorozat is?! Hűha!

– Kezdjük az elején. Számolj egyesével! – Jelöljük a sokadikat! – Számolj kettesével! – Most mi lesz a sokadik? – Számolj hármasával! – Minek nevezzük most? – Így nevezhetjük az összes hárommal osztható számot. – Rendben. De van még feltétel. Tudod mi?

– 1, 2, 3 … sok. Legyen n! – 2, 4, 6 … sok. – Legyen 2n, mert páros. – 3, 6, 9 … sok. – 3n. – Akkor én tudom az összes 391-gyel oszthatót! Tudod, mi az? 391n! – Az n csakis pozitív egész szám lehet.

Feladat: Új munkáltatód jó fizetést ajánl, havi 100 ezer Ft-ot, sőt, emelést is ígér. De csak azt veszi fel, aki jól választ az ajánlatai közül! Nézzétek meg a két lehetőséget, és válasszátok ki azt, amelyik szerintetek kedvezőbb!

psz m . hónap után ka A ajánlat: a 11 semelést. té re 10 ezer Ft fize A esetben január február március … november december

ajd eg yszer-

k 800 Ft n hónapban emelne de in m t: la án aj B

B esetben

Általánosan

100 000 100 000 100 000

január február március

100 000 100 800 101 600

100 000 110 000 Ft.

november december

108 000 108 800 Ft

első évben 1 210 000

-tal .

a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d … a12 = a1 + 11d

évi 1 252 800


2013.08.09. 17:30:28

Matematika Halmaz, függvény, sorozat Számtani sorozat Egy tetszőleges elv alapján sorba rendezett sokaság neve: sor, sorozat. Számsorozat a számok rendezett halmaza. Minden eleme az előző elemből egyértelmű szabály, a képzési szabály szerint keletkezik. A számsorozat olyan függvény, melynél bármelyik elem értéke attól függ, hányadik tagja a sorozatnak. Ezek a „sorszámok” (n) adják a függvény értelmezési tartományát, a sorozat tagjai, elemei (an) pedig az értékkészletét. Szükségünk lehet egy sorozat elemeinek összegére. Ezt az adott sorozat képzési szabályából levezhető általános képlettel számolhatjuk ki. Számtani sorozat: számok olyan sorozata, amelynek jellemző adata a d (diffencia). Minden eleme az előtte lévőből úgy keletkezik, hogy hozzáadjuk ezt a számot (d). Számtani sorozat képzési szabálya: an = a1 + (n – 1) · d. Számtani sorozat első n elemének összege: a +a Sn = n · 1 n 2

Nézzétek meg a képen az EU parlamenti üléstermének széksorait! Milyen szabályosságot láttok? Sorozat-e ez? Ötleteljetek: hányféleképpen lehet itt valami sorozatot találni?

KÉRDÉSEK: 1. Milyen sorozat szerepel az első példában? Mik a jellemző adatai? 2. Milyen jellegű függvényhez lehet hasonlítani a számtani sorozatot? 3. Lehet-e a d (differencia) negatív szám? Lehet-e törtszám? 1 1 1 1 4. Sorozat-e az 1, , , , … számsor? Milyen 2 3 4 5 típusú? Mi a képlete? 5. Hogyan szól a képlete annak a sorozatnak, amely az egymás utáni egész számok négyzeteiből áll? 6. Mondj példát számsorozatokra, és döntsd el, milyen típusba tartoznak! 7. A tízes számrendszerben a számjegyek helyi értékei sorozatba tartoznak-e? Ha igen, milyenbe?

FELADATOK: 1. Oldd meg a bevezetőben szereplő példát a sorozatokról tanult összefüggések alkalmazásával! Lehetett volna még egyszerűbben? 2. Sok kockából építsünk tömör „piramist”! Legfelül 1 kocka, alatta minden oldalán eggyel szélesebb négyzet, ez alatt ugyanígy… Ha 8 szintesre épül, hány kockát használtunk hozzá összesen? Hány kockából áll a legalsó szint? Hány kocka van az alsó szint egy-egy oldalán? Milyen sorozatokkal kapcsolatosak ezek?


2013.08.09. 17:30:30

Matematika

2.13

Sorozatok (algoritmus)

Mértani sorozat A megfizethetetlen találmány (legenda valós adatokkal): Egy indiai király belebetegedett az unalomba. Az udvari bölcs feltalálta neki a sakkot. Ez a játék csodát tett: a király többé soha nem unatkozott. „Mit kívánsz jutalmul?” kérdezte a bölcset. „A sakktábla első kockájáért egy búzaszemet, a másodikért kettőt, és így tovább, minden kockáért kétszer annyit, amennyi az előtte lévőn volt. Amennyi búzaszem a 64 kockára jut, an�nyi búzaszem legyen a jutalmam.” mondta a bölcs. „Szerény kérés.” gondolta a király. Előhívatta tudósait, számolják össze a jutalmat. Nekiálltak, kiszámították. Ha a kérést teljesíteni akarnák, akkor x = 1 + 2 + 22 + 23 + + 2 4 + 25 + 26 + ….. + 263 darab búzaszemet kellene adni a bölcsnek. De honnan vegyék? Ez egy mértani sorozat. Úgy képeztük, hogy az első tagot mindig megszoroztuk ugyanazzal a számmal. (1, 2, 4, 8, 16, …). De hogyan számolták ki a végösszeget? A sorozatok tagjainak a képzése egy elemi algoritmus: kötött szabály szerint végezzük el mindig a következő műveletet. Mértani sorozat* az olyan számsorozat, amelyet úgy képezünk, hogy az előző elemet mindig megszorozzuk ugyanazzal a számmal. Ez q, a sorozat kvóciense. Ha a mértani sorozatot függvényhez hasonlítjuk, egyre meredekebben emelkedő (vagy egyre „laposabban” csökkenő) görbét látunk, ez a hatvány-függvény.

Hamarosan azt is kiszámolták, hogy ezt a „szerény” kérést egyáltalán nem lehet teljesíteni. 264 – 1 = 18 trillió 446 744 billió 73 709 millió 551 ezer 615 búzaszem, amit a bölcsnek adni kellene, 9 mm vastagon boríthatnák be az egész földgolyót.

Mértani sorozat elemeinek képzése: a1 a2 = a1 · q a3 = a2 · q = a1 · q2 … an = aa · (qn – 1) A mértani sorozat első n elemének összege: a ⋅ (qn −1) Sn = 1 q −1

Lekötöm Ilyenkor 100 ezer forintomat évi 20%-os kamatos kamatot számolnak, kamatra, 5 évre. Akkor már csak ki kell vagyis egy év után a megnövevárni az 5 évet, és a dupláját kedett összeg fog kamatozni stb. kapom vissza! De számoljunk Mert ötször 20%, az 100%. :-) egy kicsikét!


*3.1; 3.12

2013.08.09. 17:30:34

Matematika Halmaz, függvény, sorozat A mértani sorozat nagyon gyakori példája a hétköznapokban a kamat és kamatos kamat kiszámítása. 20 %-os kamat = 0,20-szoros növekedés 1 év alatt 2 év 3 év 4 év 5 év alatt 1,25-szeresére emelkedik 1,25 = 2,488 . Szóval nem 2-szeresére, hanem 248,8,%-ra, 2,488-szorosára nő a pénzed. Én pedig nyertem, majdnem 50 ezret!

Hányszorosára nő ezzel az alapösszeg? 1,2-szeresére 1,2-szeresének 1,2-szeresére 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2-szeresére 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2-szeresére 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2-szeresére. 248,8 %-ára!

Csakhogy igazából ilyen nincs, mert 20 %-os betéti kamatot sehol sem adnak.

Százalék = századrész Állapítsátok meg, melyik állítás lehet igaz, és miért! Próbálkozzatok adattáblázattal!

Példa: Egy radioaktív anyag felezési ideje 10 év. Ez azt jelenti, hogy 10 év alatt a kezdeti anyagban lévő radioaktív atomok száma a felére csökk en. a) Száz év alatt az anyagnak csak 10%-a marad radioaktív. b) Öt év alatt az anyag negyed része bomlik el. c) 20 év alatt az anyag 75%-a elbomlik. d) Egy év alatt az anyag 5%-a bomlik el.

KÉRDÉSEK: 1. Mit jelent a „felezési idő”? Mennyi idő alatt fogy el így az anyag teljesen? 2. Egy sejttenyészetben 2 naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet. Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap elteltével?

Példa: ára 10 0 00 fabatka. Kati venne egy kerékpárt, beteszi a bankba évi 9500 fabatkája van, ezért egy év múlva veg ye 6% -os kamatra , hogy majd az infláció miatt a meg a kerékpárt. De közben őtt. kerékpár ára is 7% -kal megn párt? rék ke a Meg tudta-e venni Kati kből az adaeze l lkü Mit tippeltek számolás né tokból? kamat és az infláció Mit gondoltok a betéti arányáról? ája, de csak jövőre Most van 10 000 fabatk yeljen? akarja megvenni, mire fig

FELADAT: Valaki 5 nemzedékig visszakereste az őseit. Ha csak a szoros leszármazotti vonalat nézzük, hány tagból áll ez a családfa? Mi itt a szabály? Ha az illető tovább kutat, milyen létszámú családot fog ismerni a 10. nemzedéknél? És a 20.-nál?


2013.08.09. 17:30:35

2.14

Matematika

Racionális számok, alapműveletek

Arány, százalék TV-hír: Erdőirtás?! A Zöldek tüntettek a fenyőfákért. Az erdőgazdaság szóvivője így nyilatkozott: „Emberek! A tüntetésnek nincs értelme! Két éve az erdő 99%-a volt fenyőfa. Tavaly 98% és idén 97% lett a fenyőfák aránya. Igaz, hogy az elmúlt két évben csak fenyőfákat vágtunk ki, de mit számít ez az évi mínusz 1%? Ki mondja, hogy ez erdőirtás?” A békétlenkedők megnyugodtak és hazamentek.

Mi a helyzet valójában?

Nézzük meg alaposabban, miről szólnak a számok!

Kételkedünk. Cáfolni akarjuk a szónok kijelentését. Igazolni, hogy az adatokból más következik. (Ellenkező esetben belátjuk, hogy a szónoknak volt igaza.) Olyan következtetés lehet a megoldás, mely a kivágott fák arányára, %-ára vonatkozik. A meglévő adatokból, a folyamatot elemezve várunk eredményt, amely pontosabban fejezi ki a fakitermelés lényegét. Nem tudjuk szám szerint, hány fa volt az erdőben ezért, választunk egy alkalmas modellt, és próbaszámítást végzünk. Megoldás rajzzal Ábrázoljuk négyzetrácsos papíron az erdőt, évente ugyanolyan 10-szer 10-es négyzethálóval. Zöld négyzet jelölje a fenyőfák, sárga a nem fenyők arányát. A modellben 1 négyzet 1 fát jelképezzen.

Fontos adat, hogy a nem fenyőfákból nem vágtak ki, tehát a narancssárga négyzetek száma nem változik a 3 év során! Ebből induljunk ki! Rendezzük táblázatba az információkat, melyek alapján levonhatjuk a következtetést!


2013.08.09. 17:30:37

Matematika Számtan, algebra 1. év: 1% nem fenyő (1 ), 99% fenyő (99 ). A nem fenyők száma nem változik, csak fenyőket vágnak ki. (100-nak 1%-a 1.)

2. év: 2% lett ugyanaz. Az egész így 50 . A fenyőfákat csak már 49 jelenti. (Minek a 2%-a 1? = 50-nek.)

3. év: ugyanaz a 3% lett az 1 az egész kb. 33 . A fenyőfák száma 32 db. (Minek a 3%-a 1? kb. 33-nak.)

Gondolatmenetünket bárkinek be tudjuk mutatni, „magasabb” matematika nem kell hozzá. Létezhet másféle megoldás is, amellyel ugyanerre az eredményre juthatunk. Igaza van-e annak, aki erre azt mondja, nem volt erdőirtás? MEGCÁFOLTUK! EZ BIZONY ERDŐIRTÁS! Akkor hazudott a szóvivő? * Még csak nem is hazudott, hiszen a %-os adatok igazak, mi is azzal számoltunk, csak a megközelítés, a viszonyítás alapja más.

Az ő célja a fakivágás megvédése, a mi célunk a lényeg mélyebb vizsgálata. Érdekes és fontos, hogy ő is, mi is ugyanazokkal az adatokkal számoltunk! De ha százalékkal, aránnyal fejezünk ki mennyiségeket, nem mindegy, hogy mit választunk viszonyítási alapnak!

Egy probléma megoldására több megoldási mód is létezhet, ezek azonban egyféle eredményre vezetnek. (Ha helyesen jártunk el.) Ízlés dolga, milyen módszert választunk, de fontos, hogy a megoldás „frappáns”, tömör, közérthető, ellenőrizhető legyen. 1. Értsd meg a problémát. 2. Készíts tervet a probléma megoldására. 3. Hajtsd végre a tervedet. 4. Ellenőrizd az eredményt, és gondold át hogyan lehetne javítani rajta.

KÉRDÉSEK: 1. Hol van a „kutya elásva”? 2. Miért voltak megtévesztőek ezek a számadatok (csak évi 1 %-os a csökkenés…), melyek voltaképpen valós értékek, mégis a valósággal szöges ellentétben álló következtetésre vezethettek?

*4.16

Matematika.indd 95

Pólya György (1887–1985) világhírű magyar származású tudós. A Gondolkodás iskolája című művében, melyet 16 nyelvre fordítottak le, a matematikai problémamegoldás lépéseit írta le.

FELADATOK: 1. Számold ki, valójában hány százalékos volt az erdőirtás az egyes években! 2. Hány százalékkal változott az egyik évről a másikra a fakitermelés intenzitása (hatásfoka)?

95 2013.08.09. 17:30:38

Matematika

2.15

Hatvány, valós számhalmaz, Venn-diagram

Algebrai kifejezések, műveleti szabályok ALGEBRA a matematika egyik ága, a matematikai műveletek általános tudománya.

AZ ELEMI ALGEBRA a számokon értelmezett műveleteket vizsgálja állandó számok (konstansok) és változók (betűk) segítségével, valamint ezek szerepét matematikai kifejezésekben és egyenletekben.

Algebrai kifejezés: betűket, számokat és műveleti jeleket tartalmazó képlet. Eddig az alapműveletek és a hatványozás bizonyos tulajdonságaival foglalkoztunk. Ezt most tovább bővítjük és rendszerezzük. Írj példát egynemű, különnemű, egyszerű és összetett algebrai kifejezésekre, algebrai törtekre! A műveleti szabályok alkalmazásával rendezhetjük, egyszerűbb alakra hozhatjuk (közben a kifejezés értéke nem változhat). Ehhez ismernünk kell szabályokat, de közben újabb szabályokat találhatunk… Egy algebrai kifejezés helyettesítési értéke egy szám, amit kiszámolhatunk, ha a változók helyére konkrét számokat írunk. (Más számot behelyettesítve általában más értéket kapunk.) Két algebrai kifejezés egyenlőségjellel összekötve egyenlőség. Ha fontos, hasznos, gyakori, általános érvényű összefüggést fejez ki, elnevezése azonosság vagy szabály.

Másold át a füzetedbe a táblázatot! Számold ki soronként, és írd a táblázat üres mezőibe a hiányzó számokat, a megadott összefüggések alapján! a

b

2(a + b)

4

15

2

2a 3b

5

–1

−

1 2

Alapműveletek néhány nevezetes azonossága Fogalmazzátok meg szavakkal a műveleti szabályokat, majd az azokból levezethető azonosságokat! Írjátok fel a téglalapok területét többféleképpen!

a ∙ b ∙ c = a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ c) ∙ b (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

s

p

a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b

(a + b) ∙ (c + d) = a ∙ c + b ∙ c + a ∙ d + b ∙ d 4

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²

2

(a + b) ∙ (a – b) = a² – b²


2013.08.09. 17:30:46

Matematika Számtan, algebra A hatványozás műveleti szabályai (azonosságai) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk: Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk: Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk: Azonos kitevőjű hatványok szorzata egyenlő az alapok szorzatának hatványával: Azonos kitevőjű hatványok hányadosa egyenlő az alapok hányadosának hatványával:

an · ak = an + k a :a =a n

k

n–k

a0 = 1 a1 = a

k

a(n) = a(n · k) an · bn = (ab)n

a –1 = 1

a2 =

1 a a

an : bn = (a : b)n

Próbáljátok általánosan bizonyítani az azonosságokat! Még nem foglalkoztunk azzal, hogy a kitevő lehet-e negatív vagy törtszám. Találkoztatok már ilyennel? Négyzetgyökvonás A hatványozásnak is van fordított, inverz művelete. De ez nem olyan egyszerű, mert itt három különféle szerepet játszó mennyiséggel van dolgunk: alap, kitevő, hatvány.

3

2 2

9

Hatványozás: ismeretlen hatványérték keresése (adott alap, adott kitevő). Gyökvonás: ismeretlen hatványalap keresése (adott hatvány, adott kitevő). Logaritmus: ismeretlen kitevő keresése (adott alap, adott hatvány). Pl. egy hatványozás 35 = 243 esetében kétféle megfordítás lehetséges. Vagy az a kérdés: melyik számnak az 5. hatványa a 243? Vagy az a kérdés: a 243 a 3-nak hányadik hatványa? Mi csak a gyökvonással, abból is a négyzetgyökkel (a kitevő 2) foglalkozunk, a kiszámoláshoz táblázatot vagy számológépet használunk.

A négyzetgyökvonás művelet újabb számhalmaz definiálását igényli (nem mindig van olyan racionális szám, amely valamelyik egész szám négyzetgyökével egyenlő). Ezért ismét bővül a számhalmazok köre az irracionális számokkal. (Ezek olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.) Így a teljes számkört, amelyben minden eddigi műveletet értelmeztünk, valós számok halmazának nevezzük.

3

9

KÉRDÉSEK: 1. Milyen definíciókat találsz ebben a leckében? 2. Milyen szabályok szerepeltek itt? 3. Milyen fajta számokat ismerünk eddig? 4. Lehet-e a hatványkitevő negatív? 5. Milyenek a racionális számok?

FELADATOK: 1. Minden itt szereplő azonosságot próbálj ki konkrét, egyszerű számok behelyettesítésével! 2. Próbáld igazolni a nevezetes azonosságokat! (összeg négyzete, különbség négyzete, összeg és különbség szorzata)!


2013.08.09. 17:30:56

Matematika

2.16

Hatvány, valós számhalmaz

Valós számhalmaz felépülése, számegyenes A számegyenes egységét általános hosszúság-egységben adjuk meg. (Valóságos hosszúságát az adott fel- A számegyenes adat meghatározhatja.) matematikai fogaHa megválasztottuk az egységet, azon lom, a valós számok a számegyenesen mindent annak Végtelen ábrázolásának megfelelően helyezünk el. hosszúságban célszerű eszköze. azonos, egységnyi Origó: a nulla helye a távolságokban soraszámegyenesen. koznak a pozitív és Az alapműveletekkel megisnegatív egész mert (pozitív és negatív egész, Az egész számok számok. 0 és tört) összes szám a racioközötti pontokban nális számok halmaza. megtalálható bármely A valós szátörtszám helye. A számegyemok halmazánesen két szám nak minden eleme távolsága felel meg a szintén megfelel a két szám különbsészámegyenes egy és A racionális A számegyenes gének. csak egy pontjászámok halmabevezetése John nak. zának minden eleme Wallis angol megfelel a számegyematematikus nes egy és csak nevéhez kötődik. egy pontjának.

A számegyenesnek két kitüntetett pontja van. Az egyik az origó, amely a nulla számnak a helyét jelöli, a másik az 1 helye. A két pont közötti geometriai és algebrai távolság az egység. A számegyenes egységét általános hosszúságegységben adjuk meg. (Valóságos hosszúságát az adott feladat meghatározhatja.) Ha megválasztottuk az egységet, azon a számegyenesen mindent annak megfelelően helyezünk el.

A száme tásban is gyenes bármil jához tar nézzük, bárm yen nagyíszám, illetozik pontosan elyik ponthelye me t ve bármelyik egy valós nes pont gtalálható a sz valós szám jainak eg á yikén. megye-

Jutalomkérdés: találd meg a „négyzetgyök 2” szám helyét!


2013.08.09. 17:30:56

Matematika Számtan, algebra Hogyan építettük fel a valós számok halmazát? ARITMETIKA (SZÁMTAN) Számlálás: 1, 2, 3, 4, 5… 10, 11,

SZÁMHALMAZOK számok…

„természetesen” sorba rendezett egyenlő, kisebb, nagyobb relációk 0 mint természetes szám írásmód (arab számok, egyéb számjegyek…)

0, és POZITÍV EGÉSZ SZÁMOK…

tízes számrendszer, nagyságrend (10, 100, 1000 …), más számrendszerek…

TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA

MŰVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 1. összeadás 2. kivonás (összevonás)

NEGATÍV EGÉSZ SZÁMOK

3. szorzás

EGÉSZ SZÁMOK HALMAZA

4. osztás (reciprok művelet) valódi tört, tizedes tört, műveletek törtekkel

TÖRTSZÁMOK …

OSZTHATÓSÁG, PRÍM, ÖSSZETETT SZÁMOK 5. hatványozás (szorzat, egész kitevő)

RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA

műveletek szabályai (azonosságok), tulajdonságai felcserélés (kommutativitás), csoportosítás (asszociativitás), tagolás (disztributivitás), hatványozás szabályai 6. hatvány fordított műveletei (gyökvonás, logaritmus)

IRRACIONÁLIS SZÁMOK … VALÓS SZÁMOK HALMAZA

KÉRDÉSEK: 1. Mire való a számegyenes? 2. Milyen fajta számokat ismerünk eddig? 3. Szerinted mely számhalmazoknak van pont egyforma számú eleme? Miért gondolod ezt? 4. Hogyan szorozhatunk a számegyenesen egész számmal? Rajzolj hozzá egy példát!


2013.08.09. 17:30:57

Matematika

2.17

Hatvány, valós számhalmaz

Valós számhalmaz és Venn-diagramja Számhalmaz Mit is jelenthet? Ha a legelemibbel kezdjük, akkor az egész számok halmaza jelenti az 1, 2, 3, 4, … 1000, 1001, 1002, … (végtelenig folytatható) sor tagjaiból, elemeiből álló csoportot. Láttuk, hogy bizonyos feladatok, műveletek a csoporton belül elvégezhetők. Bizonyos esetben viszont egyik-másik művelet értelmetlenné válik, hacsak nem találunk ki

újabb fajta számokat. Kilépünk a csoportból, halmazból, és egy nagyobb csoportban találjuk magunkat, amelyben ugyanúgy érvényesek a régi szabályok (!), de vannak újabb számok, újabb szabályok… Arról van tehát szó, hogy egyre „bővül a kör”, nő a halmaz, fejlődik a szabályrendszer. Ezt mutatja be az előző lecke táblázata is. *

Feladat: Készítsd el saját családod, baráti köröd hasonló bővülő Venn-diagramját a szűk családtól a távolabbi rokonságig, baráti körig! (Nem kell név szerint.)

Ismerem ezt az ábrát, Venn-diagram a neve. Az ilyen folyamatot többféle ábrával szemléltethetjük. Ezt nagyon gyakran alkalmazzuk (nem csak a matematikában) olyankor, amikor halmazok egymásra épülését, egymáshoz való viszonyát kell bemutatni.

Az adott halmazokat (csoportokat) körökkel ábrázolja, a körök mérete utalhat a halmaz elemeinek számára, a körök egymáshoz viszonyított helyzete (kívül van, benne van, átfedi egymást stb.) az adott halmazokat jellemzi. Az itt vizsgált számhalmazok Venn-diagramja nagyon egyszerű, hiszen mint az előbb láttuk, az egyes halmazok egyre bővülő, egyre nagyobb körök. (Másutt találkozunk sokféle halmazzal, másféle Venn-diagramokkal, egyéb diagram-típusokkal.) Folyamatában úgy kell megrajzolni, hogy a legbelső körrel (pozitív egész számok) kezdjük, ezt körbeveszi az összes egész számok halmaza, majd a racionális számhalmaz, végül a legnagyobb kör a valós számhalmazt képviseli.

Gondolkodjatok közösen azon, vajon mennyi az egyes számhalmazok elemeinek száma! Lehet közöttük kisebb, nagyobb? Hány törtszám lehet a számegyenes 0 és 1 közötti szakaszán?


*5.22; 5.28

2013.08.09. 17:30:58

Matematika Számtan, algebra Venn-diagram a valós számok halmazának felépüléséről

Valós számok halmaza 1 1 1 9 , ,… , 2 3 10 89 –1, –2, –3, …

Racionális számok halmaza 0,345 Egész számok halmaza

1, 2, 3, 4, … 11, 12, … Természetes számok halmaza

gramokat, tják a Venn-dia ko al k se zi ps li k, nem lában körök, el ól szerkeszthetjü kb mo do ki sí ú Megjegyzés: álta sa. ak ző. Bármilyen al z való viszonyulá le ho te ás kö ym m eg ne ek ez sz ré de yes l is.) eg, hanem az eg zott téglalapokbó ya ág ba az alakja a lény ás ym eg lhatna akár (A fenti ábra ál

KÉRDÉSEK: 1. Milyen definíciókat találsz ebben a leckében? 2. Írj néhány, a legbelső halmazba tartozó számot! 3. Írj számokat, amelyeknek a legbelső és a nála egy fokozattal bővebb halmaz határa között van a helyük! 4. Hol a helye ebben a halmazábrában a tizedes törteknek? 5. Racionális számok-e: 110, –2013, és 3-nak a négyzetgyöke? Melyik halmazokba tartoznak? 6. Milyen tulajdonságúak azok a számok, amelyek az egész számok és a racionális számok halmazának határa között helyezkednek el? Fogalmazd meg többféleképpen! 7. Tekinthetnénk-e számhalmaznak mondjuk a legfontosabb magyar történelmi események évszámainak csoportját? Ha igen, akkor hol helyezhetnénk el ezeket a Venn-diagramban?

FELADATOK: 1. Készíts Venn-diagramot a következő halmazokból: pozitív egész számok, negatív egész számok, pozitív törtek, negatív törtek! 2. Az oszthatóságnál már szóba került, mely számok oszthatók pl. 6-tal. Hogyan ábrázolnád Venn-diagram segítségével ezt a szabályt? 3. Ha az előző feladat sikerült, nézd meg a többi oszthatósági trükköt is!


2013.08.09. 17:30:59

Matematika

2.18

Térelemek

Dimenziók, a geometria elemei Definíciók? Dimenziók?!

Már tisztáztuk: „egy nyelven kell beszélnünk”, hogy megértsük egymást, egy írott vagy elmondott problémát. Ha nem ugyanazt érted egy szó alatt, amit én, sosem fogjuk érteni egymást.

Dimenzió: kiterjedés. Egyenes: 1 dimenziós végtelen ponthalmaz. Tér: 3 dimenziós, minden irányban végtelen.

Illeszkedik egy pont egy vonalra, ha „rajta van”. Távolságuk 0. Távolság: Két pont között a legrövidebb út a szakasz. Más alakzatok távolságát is visszavezetjük két pont távolságára. Szakasz, a szakasz hossza a két végpont távolsága. Félegyenes: Egy egyenest egy pontjával két félre osztunk. Metsző: két egyenes: sík és egyenes vagy két sík, ha van közös pontjuk. (Vannak nem közös pontjaik is!) Szög: A síkot két metsző egyenes négy szögre osztja. Derékszög: az egyenesszög fele, 90 fok. Merőleges. (Derékszögnél kisebbek a hegyesszögek, ennél nagyobbak – egyenesszögnél kisebbek – a tompaszögek.)

Definíció: A szó vagy kifejezés jelentését adja meg röviden, tömören. (Ezen nincs mit bebizonyítani.) Tétel: Állítás, amely egy (vagy több) feltétel megléte esetén ezeknek egy – mindig igaz – következményét fogalmazza meg. A tételt bizonyítani kell.

Pont: egy „hely”. 0 dimenziós. Sík: Két irányban végtelen ponthalmaz, 2 dimenziós. Hallottál már a negyedik dimenzióról?

Mi következik ebből? Ha két egyenes egymást metszi, akkor egy és csak egy közös pontjuk van. Ha két sík metszi egymást, akkor egy és csak egy közös egyenesük van (metszésvonal). Ha egyenes metsz (döf) egy síkot, akkor egy és csak egy közös pontjuk van.

Két pont mindig meghatároz egy egyenest. Három pont – nincs egy egyenesen – meghatároz 3 egyenest, meghatároz egy síkot, meghatároz egy háromszöget, egy kört. Négy pont általában 6 egyenest, egy négyszöget határoz meg. A síkot vagy (ha nincsenek mind egy síkon) síkokat is meghatározzák. Két egyenes – ha nem kitérő – meghatároz egy síkot.


2013.08.09. 17:31:00

Matematika Geometria Emlékeztek a „ha, .. akkor”, „akkor, és csak akkor”, „egy és csak egy”, „mindig”, „lehet olyan”, „nincs olyan”… kifejezésekre? Ezek a matematikai logika formulái. És a hétköznapi logikáé is. Átgondoltan használjátok őket!

Rémlik valami…

Rajzoljátok le egy egyenes és egy sík szögét, két sík hajlásszögét! Rajzoljatok párhuzamos és metsző egyeneseket!

Egyenes és sík szöge: az egyenesnek és a saját, a síkra való merőleges vetületének szöge. Merőleges, azaz derékszögű az a két egyenes, amelyeknek szöge 90 fokos (pontosan a sík negyede, másképp egy negyed kör…).

Ne ijedj meg, neked nem kell mindig minden tételt bizonyítani! De jó, ha tudod, hogy mások bizonyították!

Két sík szöge: a metszésvonal egyik pontjában választunk egy-egy egyenest mindkét síkban, amelyek merőlegesek a metszésvonalra. Ezeknek a szöge lesz a síkok hajlásszöge.

Általában: a tér egyes elemeit valamilyen egyszerű, konkrét térbeli test felületén tudjuk szemléltetni. Mutassátok meg, milyen helyzetű térelemek láthatók ezen a téglatesten! Adjatok nevet a csúcsoknak, oldalaknak! Párhuzamos, szöget bezáró (metsző) és kitérő egyenesek modellje egy tégla élei közül. A tégla oldalai síkokat reprezentálnak: metsző és párhuzamos síkok.

KÉRDÉSEK: 1. Mit modellez az egyenes? 2. Minek a modellje a sík? 3. Milyen térelemeknek van távolsága, és mit jelent ez? 4. Milyen térelemeknek van szöge, és mi az? 5. Mit jelent, hogy két egyenes kitérő? 6. Mivel modellezhető az Alföldön egy villanypózna? 7. Mivel modellezhető egy vasúti sínpár alatti közúti aluljáró? 8. Mivel modellezhető egy egyszerű családi ház?

FELADATOK: 1. Rajzolj vonalzóval példát mindegyik térelemre, illetve térelemek helyzetére, amelyek ebben a leckében előfordultak! Jelöld is meg az összes fontos elemet a rajzodon! 2. Rajzolj egy a, b, c oldalú, térben elhelyezett téglatestet! Adj nevet mindegyik csúcsának, szögének, és írd össze, milyen irányok, távolságok, szögek fordulnak elő! Amelyikről meg tudod állapítani, annak a nagyságát (hosszúság, távolság, szög) is jegyezd fel!


2013.08.09. 17:31:01

Matematika

2.19

Síkidomok, kerület, terület

Alakzatok csoportosítása, kerület, terület Síkidomok Kör: a legszabályosabb síkidom, pontjai a középponttól egyenlő távolságra vannak. Sokszög: egyenes szakaszokkal határolt síkidom (3, 4, 5, 6 … n oldalú) Konkáv sokszög: síkidom, van 180 foknál nagyobb szöge. Konvex sokszög: egyenes szakaszokkal határolt, 180 fok vagy nagyobb szöget nem tartalmazó síkidom (háromszög, négyszög, ötszög … stb.). Háromszögek Háromszögek oldalaik szerint: általános, egyenlő szárú, egyenlő oldalúak lehetnek. Háromszögek szögeik szerint lehetnek hegyes-, derék-, tompaszögűek. Egyenlő szárú háromszög: két oldala (szára) egyenlő. Szabályos/egyenlő oldalú háromszög: mindhárom oldala egyenlő. Derékszögű háromszög: egyik szöge derékszög. Minden alakzatot erre igyekszünk visszavezetni! Négyszögek Oldalak szerint: lehetnek párhuzamos és/vagy merőleges oldalaik. Szögek szerint: lehetnek egyenlő, egymást kiegészítő vagy derékszögeik. Bármely négyszög szögeinek összege 360 fok. Nevezetes pontokat és vonalakat választunk. Háromszögekre bonthatjuk, így vizsgálhatjuk őket.

Súlyvonal Oldalfelező merőlegesek Szögfelezők Középvonalak

Kerület: a síkidom határoló oldalai hosszának összege.

A területszámítás egysége: egységnyi oldalú négyzet területe.

Négyszögek

Terület: a síkidom által a síkból kimetszett terület nagysága. Magasságpont Súlypont Köré írható kör középpontja Beírható kör középpontja

Sokszögek: a területét háromszögekre bontva, vagy téglalappá átdarabolva határozhatjuk meg. A területszámítás alapja a téglalap: alap szorozva a hozzátartozó magassággal (a magasság a téglalap másik oldala).


2013.08.09. 17:31:02

Matematika Geometria Átdarabolás… Emlékeztek rá? Rajzoljátok meg! alakzat

jellemzők

kerület

terület

k = 2rπ (irracionális szorzószám)

t = r 2π

T = a · a = a² alapigazságnak tekinthető (bizonyítást nem igényel).

Kör

sugár

Négyzet

Oldalai egyenlők, minden szöge derékszög.

k = 4a

Téglalap

2-2 szemközti oldala egyenlő, szögei derékszögek.

T = ab k = 2a + 2b = 2(a + b) alapigazságnak tekinthető

Paralelogramma

2-2 szemközti oldala egyenlő, magasság

k = 2a + 2b = 2(a + b) T = am,

Háromszög

alap, magasság

k=a+b+c

T=

Rombusz

Oldalai egyenlők, m.

k = 4a

T = am,

Trapéz

2 oldala (a, c) párhuzamos, m.

k=a+b+c+d

T=

Deltoid

2-2 szomszédos oldala egyenlő.

k = 2a + 2b

Átlók szorzatának fele.

KÉRDÉSEK: 1. Egy hatszögnek hány átlója van? (Rajzold le!) 2. Egy hétszögnek hány átlója van? (Rajzold le!) 3. Egy nyolcszögnek hány átlója van? (Rajzold le!) 4. Hogyan lehetne általánosítani az előbbi kérdéseket?

1 am 2

a+c m 2

FELADATOK: 1. Egy általános (nem szabályos) hatszögben szeretnénk a szögek összegét meghatározni. Hogyan járjunk el? Ha a hatszög szabályos, más lesz a helyzet? 2. Rajzolj egy általános hétoldalú sokszöget, és határozd meg szögeinek összegét!


2013.08.09. 17:31:03

Matematika

2.20

Derékszögű háromszögek

Pitagorasz-tétel Az axióma egy alapigazság, amely annyira természetes, hogy nem is kell bizonyítani. A geometria is úgy épül fel, hogy alapjai a legelemibb dolgok. Hogy mi micsoda, mit jelent, azt a definíciók rögzítik. (Ilyenekkel kezdtük: pont, egyenes, párhuzamos…). Ha eldöntöttük, miről akarunk ezt-azt megállapítani, akkor előbb tisztázzuk, mit tudunk biztosan. (Egy egyenes végtelen sok pontból áll. A párhuzamosok nem metszik egymást.) Ez elemi tény, axióma. Ha ezzel tisztába jöttünk, akkor kereshetünk újabb összefüggéseket. Ezek neve tétel, és a tételeket bizonyítani kell. Nézzünk egy példát bizonyításra! Bizonyítandó állítás A háromszög kerülete a k = a + b + c képlettel kiszámítható.

Bizonyítás Ezen nincs mit bizonyítani, úgy mondjuk: definíció szerint igaz – hiszen ezt jelenti a kerület szó.

A háromszög területe bármely esetben:

A bizonyítást a téglalap területének kiszámítási módjára (t = a · b) vezetjük vissza

– ha derékszögű a háromszög:

Két ∆ egy téglalapot ad, annak területe a · b, két ∆ területe.

1 a·b 2 – ha nem derékszögű a háromszög: t=

t=

1 a·b 2

t=

1 a · ma 2

Két ∆ egy paralelogramma, az téglalappá átdarabolható, annak területe most am, ez a két ∆ területével egyenlő.

Minden lehetőségre általánosan bebizonyítottuk. Ami a derékszögű háromszögnél b oldal, az általánosságban azonos az a oldalhoz tartozó ma magassággal. Az általunk tanult geometria axióma rendszerét Eukleidész ókori matematikus fogalmazta meg Elemek című művében még a Kr. e. 4-3. században.

Minden lehetőségre általánosan bebizonyítottuk. Ami a derékszögű háromszögnél b oldal, az általánosságban azonos az a oldalhoz tartozó ma magassággal. A háromszögek közül a legegyszerűbb, legszabályosabb, az egyenlő oldalú háromszög. Minden oldala egyenlő, minden szöge 60 fokos, megrajzolni is könnyű. A magasságot berajzolva két derékszögű háromszöget kapunk.


2013.08.09. 17:31:07

Matematika Geometria A derékszögű háromszög Szögei közül az egyik derékszög, a többi hegyesszög. (Ha egy hegyesszögét megadjuk, a másik hegyesszögét is ismerjük). Oldalai közül a legnagyobb szöggel szemben van a legnagyobb. A két rövidebb oldal neve befogó (ezek zárják közre a derékszöget). Az őket összekötő oldal az átfogó. A derékszögű háromszög alapadatai (oldalak, szögek) között van összefüggés, meghatározzák egymást?

atai: Általában egy A háromszög füg getlen ad kell. A derék szögű háromszöghöz három adat stól füg getlen adata háromszögnek két egymá oldala és egyik helehet. Pl. két oldala , vagy egy gyesszöge. sszöget megadni? Vajon elég volna-e két hegye

Igen. Ha megadjuk pl. a két befogót, már megtudjuk rajzolni a derékszögű háromszöget – tehát a többi adat már nem „szabadon választható”. Ezt az összefüggést adja meg Pitagorasz tétele.

PITAGORASZ TÉTELE: Bármely derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a befogók négyzetösszegével. (Az euklideszi geometria egyik alapvető állítása.) Az eddigiek alapján döntsd el, hogy melyik állítás igaz! Nagyon figyelmesen olvasd el! a) A derékszögű háromszögben a befogók hosszának összege ugyanannyi, mint az átfogó hossza. b) A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege ugyanannyi, mint az átfogó hosszának négyzete. c) A háromszögekben a két rövidebb oldal hosszának négyzetösszege ugyanannyi, mint a harmadik oldal hosszának négyzete. d) Minden háromszögben a két rövidebb oldalra rajzolt négyzet összterülete ugyanannyi, mint a harmadik oldalra rajzolt négyzet területe. e) Ha egy háromszög oldalai a, b, c, akkor a2 + b2 = c2.

KÉRDÉSEK: 1. Egy derékszögű háromszög oldalai lehetnek 6, 8,10 egységnyiek? Miért nincs a táblázatban? 2. Mit tudsz a pitagoraszi számhármasokról?

A szokásos jelölések (a, b, c) esetén: a2 + b2 = c2

A tétel megfordítása (nem azonos magával a Pitagorasz-tétellel): Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor az a háromszög derékszögű. A tétel megfordítása azt jelenti, hogy a feltétel és a következmény szerepét felcseréljük! (De nem azt jelenti, hogy fordítva írjuk fel a képletét. :-)

FELADATOK: 1. Egy általános (nem szabályos) hatszögben szeretnénk a szögek összegét meghatározni. Hogyan járjunk el? Ha a hatszög szabályos, más lesz a helyzet? 2. Rajzolj egy általános hétoldalú sokszöget, és határozd meg szögeinek összegét!


2013.08.09. 17:31:08

Matematika

2.21

Derékszögű háromszögek

A kör részei, Thalész-tétel Milétoszi Thalész. A hét bölcs egyike, a matematika és filozófia atyja, a milétoszi iskola első képviselője, a legkorábbi görög természetfilozófus. Az ókori matematikában ő volt az első, akinél a bizonyítás és az általánosítás igénye megjelent, ezért nevezik őt a matematika atyjának. Ő az első olyan görög matematikus, akinek neve fennmaradt. A kör adatai, tulajdonságai Kör A legszabályosabb, legszimmetrikusabb, „tökéletes” síkidom. A kör a középponttól egyenlő távolságra lévő pontok összessége (halmaza). A teljes kör kerülete: k = 2 · r · π, területe: T = r 2π.

A teljes kör 360 fok. Ívmértékben: 2 · π (radián). Érintő: a kört egy pontban érintő egyenes. Szelő: a kört 2 pontban metsző egyenes. A középponti szög, a hozzá tartozó körív hos�sza, és a körcikk területe egymással egyenesen arányos.

Thalész-tétel: Ha egy kör átmérőjének A és B végpontját összekötjük a körív C pontjával, akkor az ABC háromszög C-nél lévő szöge derékszög lesz.

Thalész-tétel bizonyítása Hogyan bizonyítja ez az ábra a Thalésztételt?


2013.08.09. 17:31:09

Matematika Geometria Thalész-tétel másféle megfogalmazásban – Kör átmérője (AB) a kör pontjaiból (C) derékszögben látszik. – Kör átmérője a kör bármely pontjával derékszögű háromszöget alkot (ABC). – Derékszögű kerületi szög középponti szöge 180 fok (COB). – Derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja.

Mondok egy példát: Ezt könnyen megoldom a Pitagorasz-tétellel: x 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, tehát x = 10 cm.

Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, egyik átlója 8 cm. Mekkora a másik oldala? Mondok egy másik példát: Derékszögű háromszög egy befogója háromszor hosszabb a másik befogónál. Az átfogó 20 cm. Mekkorák a befogók? A két befogó x és 3x. A Pitagorasz-tétel szerint: x2 + 3x2 = 20 2, 4x2 = 400 , x2 = 100 , x = 10. A befogó: 10 cm.

Melyik feladatban és hol hibázott a tanuló? Mire kellett odafigyelnie? Te hogyan oldottad volna meg?

KÉRDÉSEK: 1. Van-e kapcsolat a torta és a szögmérés között? 2. Hallottál a kör négyszögesítéséről?

FELADAT: Egy hajó északra 5 km-t hajózott a kikötőből, majd keletnek fordulva haladt tovább 8 km-t. Milyen messze került a kikötőtől? Ha ugyanígy 5000 km-t és 8000 km-t hajózik, mennyire változik a helyzet? Mit kellene még figyelembe venni ekkora távolságoknál?


2013.08.09. 17:31:10

Matematika

2.22

Kombinatorika

Hányféleképpen?

Ez igazán szinte csak játék – az igaz, hogy szép neve van. Kombinálni még a Nagyi is szokott: ha boltba küldött, vajon merre tértem, miért kések…

Na megint valami „tudományos”… Kombinatorika. Az meg mi? De hát ez nem is matek.

Számtalan játék és fejtörő feladvány lényege, hogyan válogathatunk ki sok elemből néhányat, vagy hogyan, hányféleképpen rendezhetjük őket. Gyakran ábrázoljuk a kombinatorikai problémákat gráfokkal. A gráfban vonalak kötik össze az egymáshoz kapcsolható pontokat. Speciális esete a FA gráf, amelynek közismert esete a családfa.* ÚJ MŰVELET, ÚJ JELÖLÉS: Jelöljük n!, „n faktoriális”-nak mondjuk 1-től n-ig az összes egész szám szorzatát. (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · n) = n!

A kombinatorikának kidolgozták a saját kódrendszerét, jelöléseit, tételeit. De nem túl sok elem közül, nem túl nagyszámú elem válogatása, rendezése ezen ismeretek nélkül sem okoz gondot egy logikusan, értelmesen gondolkodó embernek.

Variációk: kiválasztások (sok elemből néhányat, a sorrend is fontos)

Kombinatorika a matematika egyik területe, mely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik. Az elemi kombinatorika tárgyai a(z) (ismétléses és ismétlés nélküli) permutációk, kombinációk és variációk.

Permutációk: sorba rendezések (sok elem mindegyikét)

Kombinációk: kiválasztások (sok elemből néhányat, a sorrend nem számít)

Feladat: Lilla, Kati, Márk, Éva és Gábor sorban állnak az iskolai menzán. Hányféle sorrend alakulhat ki közöttük? Márk és Gábor udvariasan maga elé engedi a három lányt. Most hányféleképpen állhatnak? Ábrázoljátok, rendezzétek a megoldást!


*1.26

2013.08.09. 17:31:12

Matematika Gondolkodási módszerek

Kidolgozott példa: A kapuhoz minden lakó külön kulcsot kap. Elhatározták, hogy számzáras ajtónyitó berendezést szereltetnek fel. A kódtáblán 1-től 9-ig számozott nyomógombok vannak. Minden nyitó kód pontosan három számjegyből álló szám, amelyben minden számjegy különböző. Hányféle nyitó kód lehetséges? A feladat: 9 elem közül kötött sorrendben 3 elemet kell kiválasztani, amelyek mind különbözőek. Megoldás: mind a 9 szám lehet első, hozzá a többi 8 bármelyike lehet második, a többi 7 közül bármelyik lehet harmadik számjegy. Ez összesen: 9 · 8 · 7 = 504 féle nyitó kód. Ennyire sok lakó nincs a házban. Nem volna elég egy négy számjegyű kódtábla a háromjegyű kódokhoz? Mit gondoltok? Miért?

Feladat: A 2; 3; 4; 5; 7 számjegyek egyszeri felhasználásával ötjegyű számokat képezünk. Hány számot képezhetünk? Hány páros lesz közöttük? Hány olyan lesz, amely osztható néggyel? Melyik a legnagyobb? Melyik a legnagyobb páratlan közöttük? Melyik a legkisebb páros közöttük?

KÉRDÉSEK, FELADATOK: 1. Egy héttagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? (Számold egyszerű megszámlálással, keress általánosabb módszert!) 2. Gabi családfája érdekes. Ükapjának két fia volt, minden leszármazottjára igaz, hogy a fiúknak két lányuk, a lányoknak két fiuk volt. Szemléltesd ábrával! Hány unokája van az ükapának? Hány dédunokája? Hány leszármazottja van? És végül: Gabi fiú vagy lány? 3. Ricsi kutatja a családja őseit, eddig már feltérképezte a felmenőinek az ötödik generációját. Ábrázold ezt a családfát! Hány férfi családtagjának adatait gyűjtötte már össze Ricsi? 4. Versenyen 8 tanuló jutott döntőbe. Hányféle módon lehetséges az első három hely elérése? 5. Öt játékos megegyezett, a vesztes minden játszma után megkétszerezi a többi pénzét. Összesen öt játszmát játszottak, mindegyik játékos egyszer veszített. Az öt játszma befejezése után mindegyiknek 128 Ft-ja volt. Mennyi pénzük volt külön-külön a játék előtt?


2013.08.09. 17:31:13

Matematika

2.23

Kombinatorika

Gráfok, fák … Akarsz egy igazi híres matematikai, kombinatorikai problémát megfejteni?

Nem igazán. Nagyon nehéz?

Dehogyis. Még az se baj, ha nem oldod meg, mert nagyon nagy tudósoknak sem sikerült…

Leonhard Euler (1707–1783) svájci matematikus és fizikus, a matematikatörténet egyik legtermékenyebb és legjelentősebb alakja. Königsberg városban hét híd ívelt át a várost átszelő Prégel folyón úgy, hogy ezek a folyó két szigetét is érintették. A königsbergiek olyan útvonalat szerettek volna tervezni, hogy valaki a lakásából indulva minden hídon pontosan egyszer végigsétálva térjen vis�sza a lakásába. Euler 1736-ban szembesült a „königsbergi” problémával, és bebizonyította, hogy ilyen útvonal nem lehetséges. Ez a bizonyítás lett egyben a gráfelmélet kezdete is. A problémát leegyszerűsítette: a földeket, azaz a folyó partjait beleértve a szigeteket is csomópontoknak, a hidakat pedig éleknek tekintette a mai megfogalmazás szerint. Az így létrehozott csomópontok és élek pedig egy gráfot határoznak meg.

Gondold meg: a kiinduló csúcsba visszajutni úgy, hogy egy szakaszt (élt) sem ismételsz, csak akkor lehet, ha abba a csúcsba páros számú él vezet (kimenet és bemenet pár). Így világos a kérdés: hogyan lehet a modellábra minden pontját érintve a vonalakon úgy végigmenni, hogy minden vonalon csak egyszer megyünk. Ezen probléma alapján a kombinatorikának külön ága fejlődött ki, a gráfelmélet.


2013.08.09. 17:31:16

Matematika Gondolkodási módszerek Vázoljuk fel azt a vasúthálózatot, amelyben hét településről a következőket tudjuk: Az A várost B, C és D városokkal vasútvonal köti össze, a B városból C és E városokba, valamint a D városból az F és a G településekhez közvetlen vasútvonal vezet. Ez az ábra egy gráf. (Mennyi az egyes városok „fokszáma”? Mennyi a fokszámok összege ebben a gráfban?)

Ilyen típusú kérdések például: sétautak, turistautak, ismeretségi kapcsolatrendszer, szociometriai fadiagram, rokonság, közlekedés szervezésében, tervezésében, családfa…

Ezen probléma alapján a kombinatorikának külön ága fejlődött ki, a gráfelmélet.

Gráf: Ha véges sok pont közül egyeseket vonallal (éllel) összekötünk, a kapott ábrát gráfnak nevezzük. Fa: kör nélküli összefüggő gráf.

Egyszerű gráf: nincs önmagával összekötött csúcs, nincs két pont között dupla él.

1. Válasszátok ki kedvenc Tv-sorozatotokat, és ábrázoljátok a főszepelők egyszerű kapcsolati gráfját! Milyen jelrendszerrel kellene kiegészíteni szerintetek ezt a gráfot, hogy informatívabb legyen? 2. Rajzoljátok fel gráffal, hogy az osztályból honnan érkeztek az iskolába! Milyen ez a gráf? A ti esetetekben érdemes ilyet rajzolni, vagy nem? Miért? (Pl. sok a bejáró a környékből, vagy mindenki ebben a városban lakik …) 3. Készítsd el a saját családod családfáját, önmagadhoz képest 3 előző generációig! Készítsd el egyik nagyszülődhöz képest a jelen generációig!

KÉRDÉSEK: 1. Mi köze van az utazásnak a gráfokhoz? 2. Milyen matematikai formához kapcsolódik a családfa?

FELADAT: 1. Egy 6 csapatos vízilabdatornán 3 meccset játszottak le. Szemléltesd (gráffal) az eddig lejátszott mérkőzéseket! Egy csapatnak hány mérkőzése lesz? Hány mérkőzés lesz összesen? 2. Készítsétek el az osztály kapcsolati gráfját! (Ki kinek barátja, kinek nem.) Ha volt már ilyesmi pl. az OKÉ tárgyban, beszéljétek meg, rajzoljátok itt újra!


2013.08.09. 17:31:16

Matematika

2.24

Valószínűség

Vagy talán mégis? Eszedbe jutott már? Elgondolkodtál már azon, mi a valószínűsége, hogy megtaláld életed egyetlen igazi párját? Vagy hogy tiéd legyen a lottó ötös? Esetleg mennyit nyerhetsz valami szerencsejátékon? Biztosan elgondolkodtál már ezen!

Persze. Csak nem azt mondod, hogy erről lesz szó?

De! Ha nem is pont így szó szerint.

Fontos: tömegjelenségek, tetszőleges sokszor ismétlődnek, véletlenszerű eredménnyel.

Biztos (egészen bizto s, fe 10 0%, fix , min ltétlenül, den okvetlenül …). képpen, .

es Lehetség en, elképzelhető, tl (nem lehete nem kizár t …). at, előfordulh

VALÓSZÍNŰSÉG Ha egy esemény N számú kísérlet során n-szer következik be (a „kedvező esetek” száma n, az „összes esetek” száma N), akkor az esemény valószín nűségének nevezzük a (0 és N 1 közötti) számot.

Valószínűségi axiómák: – Minden valószínűség pozitív, értéke 0 és 1 közé eső szám. – A biztos esemény valószínűsége 1. – A lehetetlen esemény valószínűsége 0. – Különböző egymást kiegészítő (vagy/vagy) események valószínűségének összege 1.

Valószínű (van rá esély, nag yobb az esélye) ≈ lehetséges, sem).

Kissé tudományosan a valószínűség a véletlenszerű tömegjelenségek (kísérletek) gyakorisági viszonyainak vizsgálata.

Lehetetlen s, hog y nem, (kizárt, bizto nem lehetn, elképzelhetetle en sem). p ép ik séges, semm

Nem valószínű (nincs nagy esélye) ≈ kevéss é lehetséges .

A KÖZNAPI BESZÉDBEN is gyakoriak a valószínűségi fogalmak. HASZNÁLJÁTOK HELYESEN! Gyűjtsetek ilyen szavakat, és magyarázzátok el a pontos jelentésüket!


2013.08.09. 17:31:18

Matematika Gondolkodási módszerek Pénzérmét akárhányszor feldobhatunk, nem tudjuk biztosan, melyik oldalára esik. Ha tízes, százas sorozatokat dobunk, szinte soha nem ugyanaz a végeredmény, viszont vannak gyakrabban előforduló esetek… (Pl. tízből szinte sosem lesz pont öt fej+öt írás, de az is ritka, hogy mind a tíz dobás fej legyen.) Mintapélda: Egy zsákban 11 piros, 8 fehér és 6 fekete golyó van. Hány golyót kell véletlenszerűen kivenni, hogy biztosan legyen közte a) fehér vagy fekete? b) fehér és fekete? c) 2 különböző színű? d) mindhárom színű? Megoldás: Összesen 25 golyó van, mindegyiknek egyenlően

1 11 a valószínűsége, így a 11 pirosnak , a nyolc 25 25

8 6 , 6 feketének . Ez itt most nem fontos. Nem az a kérdés, egy esetnek mennyi a való25 25 színűsége. fehérnek

Megoldás az a) kérdéshez: Biztosat keresünk! Tehát a lehető legkedvezőtlenebb esettel szemben is mindenképpen kedvezőt. Fekete vagy fehér = nem piros. Ha mind a 11 pirosat kihúznánk (legrosszabb esetben), akkor a 12. golyó biztosan fehér vagy fekete lesz. (Lehet, hogy elsőre sikerül, de csak a 12. biztos!) Megoldás a b) kérdéshez: Legrosszabb esetben már mind a 11 pirosat kihúztuk, utána vagy fehér vagy fekete jön, de még 8 fehér van benne, legrosszabb esetben csak a 9. lesz fekete. Tehát csak 20. húzásra lesz biztosan fekete és fehér is. Folytassátok!” Feladat: Egy dobozban 50 darab golyó van, közülük 10 darab piros színű Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy golyót véletlenszerűen kihúzva pirosat húzunk? (Az egyes golyók húzásának ugyanakkora a valószínűsége.)

KÉRDÉSEK, FELADATOK: 1. Ha kilencszer egymás után feldobsz egy pénzérmét, és mind a kilencszer írás, akkor hány százalék az esélye, hogy tizedikre fej lesz? 2. Egy dobozban három fehér, két kék és öt piros golyó van. Csukott szemmel egyet kihúzunk, de előtte fogadunk, hogy milyen színű lesz a kihúzott golyó. Te melyik színre fogadnál? 3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával egy dobásra hárommal osztható számot dobunk? 4. Van tizenkét piros és tizenkét kék zoknim egy fiókban. Legalább hány zoknit kell kivennem ahhoz, hogy biztosan legyen két azonos színű?


2013.08.09. 17:31:20

Matematika

2.25

Statisztika

A diagramoknál vizsgált korfák, sok más grafikon és táblázat mind a statisztika eredménye. A statisztikai vizsgálat tárgya a jelenségek mennyiségi oldala. A statisztika alapvető matematikai ismeretekre támaszkodik (mértani átlag, normális eloszlás stb.) Fontos eltérés a „tiszta” matematikától: a statisztika nem szakadhat el a vizsgált jelenségek gyakorlati, gazdasági, társadalmi, természeti aktualitásától.

Statisztika: a tömegjelenségek jellemzésének módszere. Célja a valóság tömör, számszerű jellemzése.

Az információ nélkülözhetetlen az egyén, a szervezetek, a nemzetgazdaság , nag y közösségek életében. Az információ értéke az objektivitás, az egyértelműség. Erre a számszerű információ a legalkalmasabb, melynek fő előállítója a statisztika.

Az egyik legfontosabb, legrégebbi és legismertebb statisztikai adatgyűjtés a 10 évente végzett NÉPSZÁMLÁLÁS, amelyet a világon szinte mindenütt megtartanak.

latin ika szó a A statiszt l szár mazik, álbó status szó . A statisztika nt e l e lla m la mot j társa az á ő t í g e s r e az em b sadalmiban, a tár irányításá szonyok megismevi gazdasági . n résébe

Az általános statisztik aa statiszti ka elméleti ké rdéseivel és a vizsgálatban alkalm az módszerek kel fogla lko ott zik, a szakstatisztikák pe dig konk rét ter ületekre, ág azatokra alkalmazzá k a módszer ek (Példáu l a népesség-, ipa et. r-, kereskedelemstatiszti ka stb.)

Kapcsolódik a valószínűség számításhoz, ugyancsak töm-egjelenségekkel foglalkozik. A statisztika jellemzője, hogy a jelensé k egyedeit vizsgálja, ez alapján ge az egészről ad valósághű, számszerű elemzést.


2013.08.09. 17:31:20

Matematika Gondolkodási módszerek A statisztikai adatok közreadásához szemléletes, közérthető grafikus ábrázolási módszereket alkalmaznak, ilyenekkel már találkoztunk. A grafikus ábra szöveges részei a cím, a léptékre vonatkozó utasítás, szín- és jelmagyarázat. Hogy egy diagramot helyesen értelmezzünk, tudnunk kell, mit, hogyan, mikor mértek.

KÉRDÉSEK, FELADATOK: 1. Nézd meg a statisztika szemszögéből a diagramok, grafikonok című témakört! 2. Nézd újra a korfáról szóló leckét! 3. Keress a könyvben és a napi gyakorlatban példákat a statisztikai adatgyűjtésre! 4. Tudsz-e példát olyan esetre, amikor neked fontos tájékoztatást jelentett valamilyen statisztika?


2013.08.09. 17:31:21

Matematika

2.26

Térbeli testek, felszín, térfogat

Alakzatok csoportosítása Hurrá, megint geometria! A kedvencem.

Modell – az már más! (Lelki szemeim előtt egy Barbi-baba.)

Meglátjuk. Ne felejtsd el, hogy modellezünk! Ez a modell nem az a modell. Viszont sokat segít. Figyelj!

A csodálatosan változatos térbeli alakzatok közül a legegyszerűbbekkel foglalkozunk (mint a síkidomok közt a háromszöggel vagy a négyszögekkel). Valóságos testek végletekig leegyszerűsített MODELLJEIVEL. Hasáb: Alap és fedőlapjai egybevágó síkidomok. (Oldalai téglalapok, esetleg paralelogrammák.) Meghatározza: alap (síkidom) és magasság.

Élek. Csúcsok. Lapok Alap (és fedőlap): síkidom (kör, sokszög). Palást: oldallapok összessége / határoló felület. Magasság: az alapsík és fedősík (vagy a csúcs) távolsága (merőleges). Alkotó: egy egyenes szakasz, a forgástest palástját „írja le”.

Sokszög alapú ferde hasábok Egyenes hasábok: oldallapjai az alapra merőlegesek. Sokszög alapú egyenes hasábok. Négyzet alapú hasábok (négyzetes oszlop). Szabályos sokszög alapú egyenes hasábok. Téglatestek (téglalap alapú egyenes hasáb). Kocka (négyzet alapú, négyzet oldallapú egyenes hasáb.

Körhenger: (egyenes vagy ferde) alapjai egybevágó körök, palástja kiterítve paralelogramma (ferde) vagy téglalap (egyenes).

Hasáb: (sokszög alapú ferde vagy egyenes hasáb) alapjai egybevágó sokszögek, palástja paralelogrammákból (ferde) vagy téglalapokból (egyenes) áll.


2013.08.09. 17:31:22

Matematika Geometria Kör alapú ferde hengerek Kör alapú egyenes hengerek: forgáshengerek. Egyenlő oldalú henger. (Alap átmérőjével azonos magasságú). Kúp és gúla: Meghatározza: alap (síkidom) és csúcs. (Az alap minden határoló pontját ugyanazzal a csúccsal kötjük össze: alkotó.) Síkidom alapú ferde vagy egyenes gúlák és kúpok – Egyenes gúlák (sokszög alapú, magassága az alap középpontjában). – Egyenes körkúpok (alapja kör, magassága az alap középpontjában). Forgáskúpok. Egyenlő oldalú kúp (alkotója az alap átmérőjével egyenlő). Szabályos gúlák (szabályos sokszög alapú egyenes gúlák). Tetraéder (négy szabályos háromszög határolja). Élek. Csúcsok. Lapok Alap (és fedőlap) síkidom (kör, sokszög). Palást: oldallapok összessége / határoló felület. Magasság: az alapsík és fedősík (vagy a csúcs) távolsága (merőleges).

FORGÁSTEST: egy síkidom oldala, mint tengely körül történő megforgatásával leírt térrész, test.

SÍKMETSZET: Egy testet egy síkkal elvágva síkmetszetet kapunk.

Gömb: A legszabályosabb, legszimmetrikusabb „tökéletes” alakzat, a kör térbeli megfelelője. Meghatározó adata a sugár. Forgástest: egy kört átmérője körül megforgatva gömböt kapunk. Gömbszimmetrikus: középpontja szimmetria-középpont, végtelen sok szimmetriatengelye, végtelen sok szimmetriasíkja van. Egyes szabályos testek köré gömb írható. Egyes szabályos testekbe gömb írható.

FELADAT: A testeket alkotó alap és oldallapok síkba kiterítve alkotják a test felszínének hálóját. Rajzolj felszíni hálót egy kockához, egy hengerhez, egy négyzet alapú gúlához, egy szabályos kúphoz!


2013.08.09. 17:31:22

Matematika

2.27

Térbeli testek

Felszín, térfogat Ez eddig nem volt rossz. Szeretek rajzolni.

Most jönnek a legfontosabb adatok és képletek. De nem az a lényeg, hogy mindet bevágjuk, csak a lényeg a lényeg! Tudod. Minden mást megtalálsz táblázatokban meg a neten.

ADATOK alap (élek), HASÁB általános magasság Pl. téglatest a, b, c (élek) r (sugár), HENGER általános magasság egyenes körhenger r, forgáshenger m (magasság) KÚP

GÚLA

GÖMB

FELSZÍN 2 alapterület plusz palást (oldallapok) A = 2(ab + ac + bc) 2 alapterület plusz palást

TÉRFOGAT alapterület szorozva magassággal V = abc alapterület szorozva magassággal

A = 2r2π + 2rπ · m

V = r2π · m alapterület szorozva magassággal, osztva hárommal 1 V = r2π · m 3 alapterület szorozva magassággal, osztva hárommal

általános

alap, magasság

alapterület plusz palást

Pl. egyenes körkúp

r, m vagy alkotó

A = r2π + rπ · a

általános (egyenes gúla)

alap , magasság

alapterület plusz palást

Pl. négyzet alapú egyenes gúla

a, m ma

A = a2 + 2 · a · ma

V=

1 2 a ·m 3

r

A = 4r²π

V=

1 (4r³π) 3

Gyakorlás, értelmezés, rögzítés. Példa: Próbáljátok használni ezeket a képleteket! 1. Vezessétek le a henger képletéből az egyenlő oldalú henger felszínét és térfogatát! 2. Adjátok meg az egyenlő oldalú kúp képleteit! 3. Vezessétek le a tetraéder felszínének és térfogatának speciális képleteit! Rajzoljátok meg valamelyik térbeli alakzatot, és írjátok az adatokat a megfelelő helyekre! Beszéljétek meg, melyik képlet lehet érvényes rá!


2013.08.09. 17:31:24

Matematika Geometria A térbeli testek adatainak kiszámításához megkeressük azt a síkidomot, amely az adott test ismert és ismeretlen adatai közötti összefüggést adja. Ehhez jók a síkmetszetek. A testek felszíne terület, tehát mértékegysége az egységnyi négyzet területe, 1 területegység (pl. 1 m2). A képlet csak akkor érvényes, ha pontosan úgy jelöltük, és pontosan azokat az adatokat ismerjük.

KÉRDÉSEK: 1. Mit jelent, hogy valaminek a felszíne? 2. Mi a felszín mértékegysége? 3. Mi a térfogat mértékegysége? 4. Ismersz-e másféle térfogat/űrtartalom mérő mennyiségeket is? 5. Hogy számolhatjuk ki a kúp palástjának területét? Mely adatokra van szükségünk ehhez? 6. Pl. az egyenlő oldalú kúp esetében hogyan számoltuk ki a palástot?

Konkrét számolásnál ügyelj a mértékegységekre! (Egyeztetni, átváltani.)

JÓ TANÁCSOK Vigyázzunk a képletekkel! Nem mindegy, melyiket mire használjuk.

A π egy irracionális szám, melyet a körrel kapcsolatos számítások során vezettek be.

A kúp és kúpszerű testek térfogata mindig az ugyanolyan alapú és magasságú hasábszerű test térfogatának egyharmada.

Ha szabályosabb egy alakzat, kevesebb adat kell hozzá, de több összefüggést kell felhasználnunk. A térfogat alapegysége az egységnyi kocka térfogata (minden éle 1 egység), ez az 1 térfogategység (pl. 1m³).

FELADATOK: 1. Rajzolj egy téglalap alapú egyenes hasábot! Tegyük fel, hogy az alap élei 3 és 4 cm, oldaléle 10 cm. Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát! 2. Rajzolj egy téglalap alapú egyenes gúlát! Alapélei 3 és 4 cm, magassága 10 cm. Számítsd ki a térfogatát és a felszínét! (Melyiket könnyebb?) 3. Készítsd el papírból ennek a két testnek a modelljét! 4. Az előző testekből rakj össze egy tornyot! Mennyi a térfogata és a felszíne? 5. Az előbbi hasábba illeszd bele (hegyével lefelé) a gúlát! Mennyi az így a kettő közé zárt testnek a felszíne és a térfogata? 6. Számold ki egy 1 egység sugarú, egyenlő oldalú kúp felszínét és térfogatát!


2013.08.09. 17:31:24

Matematika

2.28

Geometriai transzformációk

Egybevágóság, szimmetria Remélem, megint rajzolni fogunk!

Tudod, mit jelent a szimmetria szó?

Szimmetria = Szabályosság Szimmetrikus alakzat: egybevágósági transzformációval önmagával fedésbe hozható. Milyen szimmetrikus jelenségeket, tárgyakat látsz? Keress a környezetedben is példákat! Keressetek a képeken szimmetria-tengelyeket! Találjátok meg, milyen szimmetrikus jelenségeket, tárgyakat ábrázolnak a képek! Hol fordulnak elő? Milyen típusú a szimmetrikusságuk (tengely, középpont, elforgatás szöge…)?

A szabályosság egyik esete a körszimmetria. A körbe szabályos sokszögek írhatók. A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye és szimmetria-középpontja van. Háromszor lehet 120 fokkal elforgatni. A szabályos hatszög: 6 db szabályos háromszögből áll. Van 6 szimmetriatengelye és szimmetriaközéppontja is. Köré és bele is írható kör. A középpont körül hatszor lehet 60 fokkal elforgatni.


2013.08.09. 17:31:28

Matematika Geometria Az egyenes körkúp, a kör alapú egyenes henger forgásszimmetrikus. Síkidomok forgatásával szimmetrikus forgástesteket hozhatunk létre. Vannak síkra szimmetrikus testek. (A szimmetriasíkra nézve önmaguk tükörképei). Kapcsolat van egy alakzat szimmetrikussága és azon tulajdonsága között, hogy kör írható bele (érintősokszög) vagy köré (húrsokszög). Készítsetek szimmetrikus képet! Hajtsatok félbe egy lapot, majd kinyitva az egyik felére fessetek valamit! Hajtsátok össze! A képnek odakerül a párja.

Egybevágósági transzformáció: átmozgatás, mely egy alakzatot önmagával egybevágó alakzatba visz át.

Egybevágó alakzatok: jellemzőik (oldalak, szögek) páronként egyenlők.

Tengelyes tükrözés (szimmetria-tengely).

Síkra való tükrözés (szimmetriasík).

Pontra való tükrözés síkban, térben.

Elforgatás térben (tengely).

Középpontos tükrözés (szimmetria-centrum).

Párhuzamos eltolás (vektorral).

Pont körüli elforgatás (forgási centrum, forgatási szög).

Vektor: irányított szakasz (hosszúság, irány).

A szimmetria, szabályosság egyik esete a körszimmetria. A körbe szabályos sokszögek írhatók (könnyen megszerkeszthető a szabályos háromszög, négyszög, hatszög, nyolcszög, tizenkétszög, tizenhatszög…). Ezt a gyakorlatban nagyon sok helyen alkalmazzuk (dekorációs rajzok, tortaszeletelés), és a természetben is rendkívül gyakori jelenség (virágok, kristályszerkezet…). Szívesen alkalmazzák a szabályosságot a művészetek (a szimmetrikus dolgokat mindig „szebbnek” érezzük), a nyelv és más tudományok is. Keressetek konkrét példát szimmetriára a költészetben, az építészetben, a természetben!

KÉRDÉSEK: 1. Szimmetrikus-e egy gúla? Milyen esetben? 2. Keress példát egybevágósági transzformációra a síkidomok között! 3. Keress példát egybevágósági transzformációra a térbeli testek között!

FELADAT: Egy ABC háromszöget eltolással mozgass el, majd folytasd egy másik (más irányú) eltolással! Hogyan lehetne egyetlen elmozgatással elérni ugyanezt a végállapotot? (Az eredetiből a végső háromszöget.)


2013.08.09. 17:31:28

2.29

Matematika

Geometriai transzformációk

Hasonlóság Nicsak! Véletlenül lemaradt a képaláírás. Vagy nem véletlenül?! Milyen alakzatok ezek a képeken? Egyformák?

Úgy is lehetne mondani, de a geometriában másképp nevezik: egybevágóak.

Mi az, hogy egybevágó? Olyan alakzatok, idomok, amelyeknek minden tulajdonsága azonos: egyenlők az oldalaik, egyenlők a szögeik. A képen páronként egybevágó alakzatok láthatók. Egybevágóak, de mégis van különbség közöttük. Másféle módszerrel jöttek létre: tengelyes tükrözéssel, középpontos tükrözéssel, elforgatással, eltolással. Készítsetek képet! Átlátszó papírra rajzoljatok vastag fekete filccel egy ábrát. Tartsátok közel egy lámpához (sötét szobában), és akkor a falon ott látszik. Ez egy hasonlósági transzformáció.

Geometriai transzformációk: (átvitel, átmozgatás, leképezés) pontok, alakzatok, síkidomok, testek elmozgatása, áthelyezése, leképezés.

Hasonlósági transzformáció: leképezés, amelyben az oldalak (hosszúságok) egyenlő arányban nőnek, a szögek nem változnak.

Egybevágósági transzformáció: egy alakzathoz egy vele egybevágó alakzatot rendel hozzá. (Síkban és térben.)

Hasonlóság: két hasonló alakzat szögei páronként egyenlők, oldalainak aránya állandó. Ebből következik, hogy a kerület, terület, térfogat adatuk is változik. (A hasonlóság arányától függő módon.)

Egybevágóság: két alakzat egybevágó, ha minden tulajdonságuk megegyezik. Így megfelelő oldalaik, megfelelő szögeik egyenlők. Ebből következik, hogy minden más tulajdonságuk is azonos (pl. kerület, terület, térfogat stb.).

Nagyítás, kicsinyítés: A hosszúságok azonos arányban változnak, a szögek állandóak maradnak. A hasonlóságot a hasonlóság aránya jellemzi. (Hányszorosára változik a transzformált alakzat minden szakasza?)

Hasonló alakzatok terület-aránya egyenlő a hasonlóság arányának négyzetével. Hasonló testek térfogat-aránya megegyezik a hasonlóság arányának harmadik hatványával.


2013.08.09. 17:31:30

Matematika Geometria Sokszor kell megállapítani, egybevágó-e, hasonló-e két alakzat. Már láttuk, hogy kellemesebb, ha háromszögekre bontva vizsgálódunk, vagyis elég a háromszögek egybevágóságát, hasonlóságát elemezni. Most minden fontos, az alapadatokra vonatkozó szabályt összegyűjtünk. (Rajzoljátok!)

Középpontos nagyítás (kicsinyítés)

Középpontból való nagyítás (kicsinyítés)

Mit gondoltok, hasonlóak?

Mintafeladat Egy derékszögű háromszög átfogója 10, egyik befogója 6 egység. Mekkora a területe? Mekkora a területe annak a derékszögű háromszögnek, amelyet az előbbi háromszoros nagyításával kapunk? Mekkora a terület, ha az első háromszöget felére kicsinyítjük? Ki talál valami ügy módszert ennek a kiszámítására? Segítség: trükkmentes megoldás, hogy kiszámítjuk a másik befogót (Pitagorasz-t.), a két befogó szorzatának fele a terület. Mindegyik esetben ugyanígy… Keress frappánsabb megoldást!

1. Egy gömböt sugarának kétszeresére nagyítunk. Hogyan változik a felszíne és a térfogata? 2. Mekkorára kell nagyítani a négyzet oldalát, ha azt szeretnénk, hogy a területe megduplázódjon?

HASONLÓ ALAKZATOK Minden kör, gömb, minden négyzet, kocka, minden szabályos háromszög, tetraéder egymáshoz hasonló. (Például két téglalap általában nem hasonló, de lehetnek hasonlóak is.)

KÉRDÉSEK: 1. Egységnyi oldalú kockát úgy nagyítunk, hogy oldala háromszorosára nő. Mekkora lesz a felszíne és a térfogata? 2. Mekkorára kell nagyítani a négyzet oldalát, ha azt szeretnénk, hogy a területe megduplázódjon?

FELADAT: Egy térképen a méretarány: 1 cm = 5 km. Ha ezen a térképen egy téglalapszerű földdarab hossza 1, illetve 2 cm, akkora mekkora ez a valóságban?


2013.08.09. 17:31:31

Matematika

2.30

Koordinátageometria, szögfüggvények

Nehéz volt ez a matek? Még mindig nincs kedved hozzá?

A geometriában is vannak számolási feladatok, szabályok, törvények, képletek. A diagramokat, függvényeket derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk. (Még az egyenletmegoldásban is segít.) A matematika új ága a koordinátageometria.

Ha ennyiből áll, még meg is szerethetem...

A derékszögű háromszögben a befogók neve legyen: a és b, az átfogó neve: c. Az a oldallal szemközti hegyesszög neve: α, a b-vel szemközti szög: β.

A szögfüggvények bevezetése a derékszögű háromszöggel kapcsolatos. A Pitagorasz-tétel az oldalak közti összefüggéseket írja le. Ezen háromszögek oldalai különbözők, szögei páronként egyenlők. HASONLÓAK, a megfelelő OLDALAK ARÁNYA állandó, csak a hegyesszög nagyságától függ.

A szögek és oldalak összefüggéseit (szögfüggvényeket) így definiáljuk.

A derékszögű háromszöggel kapcsolatos feladatok Pitagorasz-tétel (3 oldal) – a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya a szög sinusa. – a szög melletti befogó és az átfogó aránya a szög cosinusza. – a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó aránya a szög tangense.

Ez egy derékszögű háromszög, amelyet az átfogójával párhuzamos egyenesekkel néhányszor megnagyobbítottunk, illetve kicsinyítettünk. Nyilvánvalóan ezek mind egymáshoz hasonló háromszögek. Mi történt az adataival? A szögek mind változatlanok maradtak. Az oldalak mind a hasonlóság arányában, egyformán változtak meg. Ezen háromszögek oldalai különbözők, szögei páronként egyenlők. A háromszögek hasonlóak, mivel a megfelelő oldalak aránya állandó, csak a hegyesszög nagyságától függ.

A háromszögek alap-adatai az oldalak és a szögek. A derékszögű háromszögben ismerjük már az oldalak kapcsolatát. Kérdés, mi a helyzet a szögekkel. Azt tudjuk, hogy összegük 180°. De hogyan határozzák meg a szögek az oldalakat?


2013.08.09. 17:31:33

Matematika Geometria

A szögfüggvén�nyel ki tudjuk számítani a háromszögek oldalait?

Igen. Úgy tudunk oldalakat meghatározni, ha legalább egy szakasz ismert.

Egyes szögfüggvényeket kiszámíthatunk nevezetes háromszögekből is. Egységnyi oldalú szabályos háromszögnek mennyi a magassága? Mennyi a sin 60°, a cos 60°, sin 30°, cos 30°, tg 60°, tg 30°?

Forgásszög szögfüggvényei és a sinus függvény grafikonja Mi az egységsugarú kör? A koordinátarendszerben felvett EGYSÉGSUGARÚ KÖR alkalmas minden más szögnek (FORGÁSSZÖG) a szögfüggvényeit ábrázolni. Az α szög szárának és az egységkörnek a metszéspontja a P(sin α; cos α). Ha a szög szárát meghosszabbítjuk a kör (1, 0) pontbeli (függőleges) érintőjéig, akkor α tangensének megfelelő szakaszt kapunk.

Vizsgáljátok meg a sinus α és cosinus α függvénygörbéket, milyen kapcsolatot láttok?

Elgondolkodtatok már azon, milyen sokszínű ez a matematika? Egyenletek, függvények, grafikonok irányából a geometriához jutottunk, sok hasonlóságot találtunk különböző

problémák megoldásában. A koordinátarendszerben sok feladat szép megoldása lehetséges. (Szükség van egyenletmegoldó és algebrai rutinra is).


2013.08.09. 17:31:35

1.13

Matematika

Forrás- és képjegyzék

Bevezető Csokonai Vitéz Mihály: Töredék (in: Szépprózai művek, szerk: Vargha Balázs) http://members.iif.hu http://hu.wikipedia.org 2.1 commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 2.3 commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 2.5 commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0; www.ksh.hu 2.6 www.ksh.hu 2. 11 Neumann János http: commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 http://hu.wikipedia.org 2.14. Pólya György http: commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 http://hu.wikipedia.org 2.23 http://hu.wikipedia.org 2.25 www.ksh.hu 2.26 commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 2.27 Betlér, Andrássy kastély 2.30 commons.wikimedia.org cc-by-sa 3.0 Fotók: 123RF.com, Cultiris képügynökség, Profimédia–REDDOT képügynökség, commons.wikimedia.org/, Szivósné Tóth Annamária Ábrák: Szivósné Tóth Annamária Vámos Norbert


2013.08.09. 17:31:35

A mathesis, Uraim, minden vallásba, minden országba, minden rend és gondolkodás formájába

Recommend Documents