A matematikai apparátus változása az érték- és egyensúlyelméletben Léon Walras és John Richard Hicks nyomán Készítette: Prill Róbert

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Gazdaságelméleti Intézet

A matematikai apparátus változása az érték- és egyensúlyelméletben Léon Walras és John Richard Hicks nyomán Készítette: Prill Róbert

0

1. Bevezetés A dolgozat célja áttekinteni a matematikai eszközök és módszerek alkalmazásának változását és következményeit Léon Walras és J. R. Hicks közgazdaságtani elméletében. Ha a matematikai fogalmak közgazdasági alkalmazását csak általánosan tekintjük, azt mondhatjuk, hogy a matematika közgazdasági alkalmazása lényegében egyidıs magával a közgazdasági gondolkozással, hiszen a legtöbb vizsgált közgazdasági fogalmakat (árak, termelés, fogyasztás stb.) mennyiségileg is ki lehet fejezni. Évszázadokon át azonban ezeket a fogalmakat az elemi matematika eszközeivel, mint például egész és tört számok a rajtuk értelmezett alapmőveletekkel, ki lehetett fejezni. A matematika fejlıdése hatással volt a közgazdaságtani kutatásokra, azok módszerére. A gazdaság, a kereskedelem fejlıdése is jelentıs szerepet játszott az ókori matematika (aritmetika) fejlıdésében. A közgazdaságtan fejlıdése a XVIII. századra fordulóponthoz ért Francois Quesnay Tableau Economique1 és Adam Smith The Wealth of Nations2 mővének kiadásával. A közgazdasági gondolatokat kezdték formába önteni, és a közgazdaságtan, mint önálló, átfogó jellegő tudomány ebben az idıben született meg. Francois Quesnay francia tudós, akit a makroökonómiai gondolkodás elıfutárának tekintenek, nevezetes gazdasági táblázatában algebrai eszközökkel vizsgálta az áruk és a jövedelmek körforgását, és próbálta leírni a gazdaság mőködését. A közgazdaságtan tudományos elméleti rendszerét Adam Smith alkotta meg, amely egyúttal a közgazdaságtan egyik irányzata, a klasszikus közgazdaságtan. A klasszikus közgazdák nagy figyelmet fordítottak a hosszú távú gazdasági problémákra. A gazdasági összefüggéseket túlnyomó részük a termelés oldaláról közelítette meg, így az áralakulást a kínálat, a termelési költségek oldaláról magyarázták. Elméletükbıl hiányzott annak magyarázata, hogy mitıl függ a kereslet alakulása és miként hat a keresleti oldal a piac mőködésére. Matematikai eszközöket a klasszikus közgazdák még nem, vagy csak nagyon ritka esetben alkalmaztak. Így például David Ricardo a különbözeti földjáradék és a komparatív elıny elméletét matematikai számításokkal is bizonyította3. Hasonló módon Karl Marx az abszolút földjáradék elméletét, az egyszerő újratermelési és a bıvített újratermelési modellt matematikai számításokkal is igyekezett alátámasztani4. Ezek a 1

F. Quesnay: Tableau économique. 3. kiadás. Paris. 1759. A. Smith: An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations. London, Strahan and Cadell. 1776. 3 D. Ricardo: A politikai gazdaságtan és az adózás alapelvei. KJK, Budapest, 1991. 4 K. Marx: Értéktöbblet – elméletek (A „Tıke” IV. Könyve) 1. – 2. Budapest, 1958, 1961. 2

1

számítások bonyolultak voltak, de a mai értelemben vett igazán tudományos matematikai megközelítéseket nem jelentettek. A fejlettebb matematikai eszközök (függvénytan, matematikai analízis) érdemi alkalmazása elıször a francia Cournot nevezetes munkájában jelenik meg5, ezért a legtöbben ıt szokták megjelölni a matematika közgazdaságtan atyjaként. A mikroökonómia elsı önálló formájában a klasszikus közgazdasági elmélettel vitatkozva született meg. Három szerzı alapvetı mőve jelent meg egymástól függetlenül 1870-es években, amelyek a fogyasztás és a szükségletek alapján elemezték a gazdasági összefüggéseket, és a csere szabadságára helyezték a hangsúlyt. Carl Menger az osztrák iskola megalapítójává vált, Léon Walras francia közgazdász a svájci lausanne-i iskola megalapítója, Stanley Jevons pedig az angolszász elméleti irányzat elsı jeles képviselıje volt. Az egyes fogyasztók szükséglet-kielégítése során felmerülı törvényszerőségek kutatása lényegében Smith tanainak megújítását jelenti, azaz visszakanyarodás a klasszikus tanokhoz. Innen ered az irányzat közismert neve: neoklasszikus közgazdaságtan. Jevons két területen szakított Ricardo elméletével. Egyrészt szerinte a közgazdaságtan célja nem az objektív jövedelemarányok meghatározása, hanem a csere és az ár elméletének kidolgozása. Másrészt szerinte a cserében nem a termelı, hanem a vásárló a meghatározó szereplı, ezért az árat nem a költség határozza meg, hanem a termékek azon tulajdonsága, hogy szükségletek kielégítésére alkalmasak. Amilyen mértékben a termék kielégíti a szükségletet, amekkora a határhaszna, olyan mértékben hajlandó a vásárló fizetni a termékért, amihez a termelınek is alkalmazkodnia kell. A vizsgálati cél megváltozásával egyetemben az elemzés módszere is megváltozott. A ricardoi elméletben az ár meghatározható a termelıi költségek alapján. Ezzel szemben a hasznosságból levezetett árral kapcsolatban alapvetı mérési problémák vetıdtek fel. Jevons ezeket a közgazdaságtanban addig nem alkalmazott függvényelemzés segítségével igyekezett megoldani. Függvényszerő kapcsolatot tételezett fel az áru hasznossága és a belıle fogyasztott mennyiség között. A vásárló magatartását azonban nem közvetlenül a hasznosság határozza meg, hanem a jószág egy pótlólagos egységének elfogyasztása nyomán bekövetkezı hasznosságváltozás, az úgynevezett határhaszon. Ezek az új megközelítések „forradalmi” fejlıdést indítottak el a közgazdaságtanban, ezért a neoklasszikus elmélet születését „marginalista forradalom”-nak is nevezik. 5

A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England, 1960.

2

A marginalistáknak köszönhetıen kezdett elterjedni a differenciál- és integrálszámítás, mint matematikai eszköz a közgazdasági elméletben. A differenciál- és integrálszámítás a XVII. század végére kezdett kialakulni, lényegében Newton és Leibniz munkássága nyomán. Az ı felfedezéseik teljesen új fejlıdési irányt szabtak a természettudományoknak és a mőszaki tudományoknak. A differenciál- és integrálszámítás közgazdaságtanban való megjelenése hasonlóan lényeges változásokat idézett elı. Léon Walras munkássága megalapozta az úgynevezett általános egyensúlyelmélet kialakulását. A gazdaság részpiacainak (pl. munkapiac, tıkepiac, fogyasztási cikkek, az egyes jószágok külön-külön vett piacai) összefüggését, a gazdaság egészére érvényes egyensúlyi feltételeket kutatva kimutatta, hogy az önérdekeiket követı szereplık mőködése nyomán a szabad piaci mechanizmusok az egyensúly irányába terelik a gazdaságot. Walras elméletének lényege az volt, hogy a túlkereslet áremelkedést vált ki, a túlkínálat pedig árcsökkenést. Az ellentétes irányú mozgások megteremtik a kereslet és kínálat egyensúlyát. Ezt az árigazodási folyamatot Walras az úgynevezett tatonnement folyamattal szemlélteti, ahol a gazdasági szereplık csak egyensúlyi áron cserélnek, az egyensúlyi ár kialakulásáig csak puhatolóznak a többi szereplı szándéka iránt. A tatonnement tapogatózást, puhatolózó cselekvést jelent, a szakirodalomban átvették ezt a francia szóhasználatot, ezért dolgozatunkban követjük ezt a hagyományt. A tradicionális mikroökonómia fejlıdésének jelentıs mérföldköve J. R. Hicks és R. G. D. Allen munkássága, akik az úgynevezett ordinális elmélet kidolgozásával új alapokra helyezték

a

neoklasszikus

mikroökonómiát.

Hicks

továbbfejlesztette

Walras

egyensúlyelméletét a többoldalú csere stabilitásának vizsgálatával. Walras és Hicks egyensúlyelméletének fı hiányossága az volt, hogy nem tudták bizonyítani matematikai modelljeikben az egyensúly létezését. Ez elıször Wald Ábrahámnak sikerült 1935-ben6. Neumann János7 és Wald Ábrahám úttörı érdemeket szerzett a modern analízis Brouwer- és Kakutani-féle fixponttételeinek felhasználásában a gazdasági egyensúly létezése bizonyításához. Az általános egyensúlyelmélet Kenneth Arrow és Gerard Debreu elemzéseivel nyerte el logikailag kristálytiszta formáját az axiomatikus egyensúlyelmélet kialakulása révén8. Hicks munkájának szellemisége messze eltávolodik az axiomatizálás 6

Wald Á.: Über die eindeutige positive Lösbarkeit der neuen Produktionsgleichungen. Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 6, 12 – 18. old. 7 Neumann J.: Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes. Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 8, 73 – 83. old. 8 K. J. Arrow – G. Debreu: Existence of an equilibrium for a competitive economy. Econometrica, No. 22 (1954), 265 – 290. old. Magyarul in: K. J. Arrow: Egyensúly és döntés. Válogatott tanulmányok. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest.1979.

3

szellemiségétıl. Pareto-hoz és Marshall-hoz hasonlóan Hicks is a differenciálszámítás hagyományos módszereinek használatára korlátozódik. Ebben a dolgozatban alapvetıen két közgazdász, Léon Walras és John Richard Hicks munkái alapján mutatjuk be a matematikai módszerek változását az értékelméletben és az egyensúlyelméletben. A dolgozat elkészítésénél alapvetıen a közgazdasági irodalom érték- és egyensúly elmélettel kapcsolatban megjelent mőveinek összehasonlítása történt meg, elemezve az alkalmazott matematikai eszközök hatékonyságát. Figyelmet fordítottunk az alkalmazott módszernél a feltételezésekre és azokra a kitételekre, amelyeket a matematikai bizonyításokhoz elkerülhetetlennek tartanak a szerzık. A szakirodalom összehasonlító elemzésének hatására került sor a következtetések megállapítására. A dolgozat a bevezetésen kívül két fejezetbıl áll. A második fejezet az értékelméletben felhasznált matematikai módszerekkel és azok változásával foglalkozik. A marginális forradalom képviselıi közül Walras alapmőve9 alapján mutatjuk be a differenciálszámítás alkalmazását az értékelméletben. A fejezet második felében pedig J. R. Hicks és R. G. D. Allen munkái10 alapján az ordinális elméletet vizsgáljuk meg. A harmadik fejezet Walras és Hicks egyensúlyelméletét mutatja be alapmőveik alapján.

9

L. Walras: Éléments d’économie politique pure. Lausanne, Paris, Basle. 1874. Angolul: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 10 J. R. Hicks – R. G. D. Allen: A Reconsideration of the Theory of Value, Economica, 1934 február, május. J. R. Hicks: Value and Capital. Oxford: Calderon Press. 1939. Magyarul: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1978.

4

2. Az érték definiálása és matematikai megalapozása 2.1 A marginalista forradalom és a határhaszon-elmélet A klasszikus közgazdákat az érték meghatározásának problémája foglalkoztatta, az érték forrásának az emberi munkát tartották. Adam Smith, a klasszikus közgazdaságtan elsı jelentıs képviselıje megkülönböztette az áru hasznosságát kifejezı használati értéket, és az áru vásárlóerejét kifejezı csereértéket. Smithnél megjelenik az érték vagy az ár két összetevıje, a tényleges ár és a természetes ár. Smith szerint a tényleges árat a kereslet-kínálat határozza meg. A természetes ár, amely az áru értékét fejezi ki, a hosszú távon kialakuló egyensúlyi ár Smith szerint. Smith a Nemzetek gazdaságában azt írta, hogy a munka az egyetlen pontos értékmérı11. Az értéknek munkával való meghatározását Smith kettıs értelemben használja. Egyszer az áruban megtestesült munkamennyiséggel határozta meg az áru értékét, másszor pedig az áruért vásárolható munkamennyiséggel. David Ricardo Smithhez hasonlóan megkülönböztette az értéket kifejezı természetes árat és a piaci árat. Ricardo szerint a hasznosság nem mértéke a csereértéknek. A javak csereértéke

Ricardo

szerint

a

ritkaságuktól

és

a

megszerzésükhöz

szükséges

munkamennyiségtıl függ. A ritkaság azonban Ricardo szerint csak néhány egyedi termék: mővészeti alkotások, különleges borok értékének tényezıje. A többi árunál az érték alapja az áruban megtestesült munka mennyisége. Ricardo bírálta Smith-t, mert szerinte az áruban megtestesült munka mennyisége, és az áruért vásárolható munka mennyisége nem egyenlı. Ricardot megelızı közgazdászok közgazdasági nézeteiket többnyire történelmi példákkal

szemléltették,

filozófiai

fejtegetésekbe ágyazták

bele.

Ricardo

azonban

közgazdasági problémákkal foglalkozott történelmi kitérık nélkül, ami által leegyszerősítette a gyakorlati gazdasági problémákat, és leszőkítette a közgazdasági gondolkodás tárgyát, alapot adva más társadalomtudományoktól független fejlıdéséhez. Ezáltal egy sajátos közgazdasági elemzési technika alapjait alkotta meg: deduktív módszer alapján, néhány precízen megfogalmazott, a tapasztalatot megelızı feltételezést felhasználva próbált egy elméleti rendszert felépíteni, és alapvetıen absztrakt gondolatmenetet felhasználva gyakorlati gazdasági következtetéseket levonni. Ricardo a kora alapvetı gazdasági problémáira igyekezett elméleti megoldást találni. Ricardo alkalmazott elıször egy nagyon kevés, precízen

11

P. Deane: A közgazdasági gondolatok fejlıdése. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1997. 56. old.

5

definiált változót használó modellt komplex gazdasági folyamatok elemzésére. Módszere nem történelmi, filozófiai, hanem inkább matematikai, logikai. Ricardo és Malthus között egy módszertani vita alakult ki arról, hogy a közgazdaságtan az erkölcsi vagy filozófiai tudományokból merítse elemzési technikáját, vagy a matematikai – logikai tudományokból. Malthus szerint a közgazdaságtan jobban hasonlít az erkölcstanhoz és a politikai tudományokhoz, mint a matematikához. A köztük levı vita ellenére Malthus elismerte Ricardo vezetı szerepét a korabeli közgazdászok között, és inkább Ricardo módszertani iránya adott mintát az angol közgazdasági gondolkodás számára. A vezetı elméleti közgazdászok Ricardot követve a közgazdaságtant inkább deduktív-absztrakt, mint történelmi tudománynak tekintették. Ricardonak az absztrakt okfejtésen alapuló elemzési technikája jelentıs következményekkel járt az uralkodó közgazdasági elmélet módszertanára vonatkozóan. Ricardo technikája eltávolította az elméleti közgazdaságtant a valós világtól, olyan típusú elméletek kidolgozására ösztönözte az elméleti közgazdászokat, amelyek inkább logikai úton bizonyíthatók, vagy cáfolhatók, mint empirikus adatok alapján. Jean Baptiste Say nézetei eltértek az angol klasszikus közgazdák nézeteitıl, bár magát Smith követıjének tekintette. Say a marginalisták elıfutárának tekinthetı abból a szempontból, hogy szerinte az áru értéke a hasznosságuktól függ. Az értéknek a hasznosság oldaláról való megközelítése már Say elıtt is felbukkant a francia közgazdasági irodalomban. Say szerint az áru hasznosságát az a pénzmennyiség fejezi ki, amiért az árut a piacon el lehet adni. A termelési költségek és a jövedelemelosztás elmélete Saynél szorosan kapcsolódik értékelméletéhez. A termelési költségektıl függ a termékek kínálata, s a termékek keresletének a kínálatukhoz való viszonya határozza meg a termékek árát, amelynek fedeznie kell a termelési költségeket. A termék árát tehát Say szerint a kereslet és a kínálat határozza meg. Tehát itt logikai ellentmondás található, ha feltételezzük, hogy a kereslet az áru hasznosságától, a kínálat pedig a költségektıl függ. Say egységes alapon tárgyalja az érték, a termelés és az elosztás jelenségét. Schumpeter Walras és az általános egyensúlyi elmélet elıfutárának tekinti Sayt. Mindezt azonban Say szavakban fejezi ki, hiányzik az összefüggések matematikai ábrázolása. Auguste Walras, Léon Walras apja bírálta a Say-féle haszonelméletet, aki már tisztán látta a haszon és az érték közötti különbséget. A haszon, úgy okoskodott A. Walras, csak akkor lehetne az értéknek a forrása, ha az érték a haszonnal arányosan alakulna. Mivel ez nem így van, ezért más tényezı, a javak ritkasága (rareté) határozza meg az értéket. A

19.

század

elején

a

közgazdászok

a

makrogazdasági

növekedés,

kereskedelempolitika és az infláció problémájával foglalkoztak. A század végén megváltozott 6

a közgazdasági elmélet kutatási irányvonala. A gazdálkodó egyén került az érdeklıdés középpontjába, annak vizsgálata, hogy az egyén korlátozott erıforrásait hogyan használja fel legoptimálisabban, azaz bizonyos célokat maximalizálva. Az angol Stanley Jevons, az osztrák Carl Menger és a francia Léon Walras az 1870-es évek elején, egymástól függetlenül a csökkenı határhaszon elvére alapuló, új közgazdasági (mikroökonómiai) elméletet dolgoztak ki. İket szokták a marginális forradalom legfıbb képviselıinek tekinteni. 1871-ben Jevons megjelentette A politikai gazdaságtan elmélete (Theory of Political Economy) címő mővét, amelyben Jevons megpróbálta a közgazdaságtant matematikai tudománnyá alakítani. Ugyanebben az évben egy osztrák közgazdász, Menger, megírta A közgazdaságtan alapelveit (Grundsätze der Volkwirtschaftslehre), amelyben a határhaszonelemzést használja fel az érték meghatározásához. Jevonshoz hasonlóan, Menger szerint is a határhaszon határozza meg azokat az arányokat, amelyeken az árukat elcserélik. Menger kifejtése nem matematikai, verbálisan próbált logikai, oksági összefüggéseket bemutatni. Végül 1874-ben a francia Walras publikálta A tiszta közgazdaságtan elemei (Élements d’économie politique pure) címő mőve elsı kötetét, amelyben a határhaszon-elemzést használta fel az általános egyensúlyelmélet matematikai megalapozásához. Három évvel késıbb megjelentette mőve második részét, amelyben az elsı kötetben alkalmazott technikát használta fel a termelési tényezık árának meghatározására. A marginalista forradalom eredményeképpen a közgazdasági elméletben kezdett elterjedni a fıleg differenciálszámítást alkalmazó matematikai módszerek használata. A klasszikusok a jelenségek okait vizsgálták, két tény között kerestek összefüggést, holott ahogy Cournot írta 1838-ban „a gazdasági rendszer olyan egységet alkot, melynek összes részei egymással összefüggnek és egymásra hatnak”12. Cournot a matematikai függvényt felhasználva próbálta megmagyarázni a közgazdasági összefüggéseket. A differenciálszámítás alkalmazása is feltételezi a közgazdasági változók függvényszerő kifejezését. A függvényszerő törvényszerőségek azonban a jelenségek lefolyásában a pontosságnak oly fokát tételezik fel, melyen joggal kételkedett a közgazdák tekintélyes része. Arra utaltak, hogy ezen az alapon valóban a közgazdaságnak csak teljesen elvont és az élettıl távolmaradó elmélete építhetı fel. A függvény egzakt összefüggést fejez ki, mely a valóságban csak annyiban áll fenn, amennyiben csak a benne figyelembevett tényezık hatnak, minden más tényezı hatása tehát ki van zárva. A közgazdaság azonban mindig a tényezık sokaságának 12

A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England, 1960. 127. old.

7

hatása alatt áll, melyek különbözı intenzitással hatnak és oly számosak, hogy mind egyszerre alig vehetık figyelembe általánosabb érvényő megállapításoknál. Léon Walras fiatalkorában még nem volt önálló közgazdászképzés. Akik gazdasági kérdésekkel foglalkoztak, vagy gyakorlati szakemberek voltak, akik nem voltak járatosak a matematikában, vagy más tudományág képviselıi, akik viszont nem voltak eléggé járatosak a közgazdasági elméletben, ezért nem tudták összekapcsolni a gazdasági összefüggéseket a matematikával. Jevons, Menger és Walras konkrét megfogalmazásai eltérnek. Jevonsnál az érték nagyságát ez egyén számára „a hasznosság végsı foka”13 határozza meg. Mengernél ezt a jószágnak az a jelentısége határozza meg, amire azáltal tesz szert, hogy a fogyasztó tudatában van, hogy szükségletei kielégítésére rendelkeznie kell vele. Walrasnál az értéket, aminek nagysága a cserefolyamatban alakul ki, a jószág szőkössége (rareté) határozza meg. A határhaszon fogalmát, ami a mai irodalomban végül is általánosan elterjedt, egyikük sem használja, ez a fogalom az osztrák Wiesertıl származik14. Hasonlóképpen eltér az elméletük kifejtése során felhasznált módszerek. Elmélete kifejtésében Menger egyáltalán nem alkalmaz matematikai eszközöket, Jevons a marginális elemzéshez megfelelı differenciálszámítás segítségével mutatja be elméletét, Walras egyenletrendszereket írt fel, amelyek szimultán megoldása adja az egyensúlyi árakat. Annak ellenére, hogy a marginalista felfogás lényegesen különbözött az uralkodó domináns közgazdasági nézetektıl, a koncepciók egyes elemei nem elızmény nélküliek a közgazdasági gondolkodásban. Maga a hasznosság kezdettıl fogva a közgazdasági koncepciók részét képezi. A víz-gyémánt példán érzékeltetett érték-paradoxon már John Law felvetése óta kísérti a közgazdászokat, hogy megfejtsék a hasznosság és ritkaság szerepét az érték meghatározódásában15. Az áru árának szubjektív hasznosságon alapuló meghatározása a merkantilista Barbonnál tőnik fel. Már említettük, hogy Say szerint is az áru értéke a hasznosságuktól függ A hasznosság-ritkaság-felfogásnak is van valamelyes elızménye: Friedrich Hermann, Hans Mangoldt és mindenekelıtt Gossen. A korai kísérletekben hiányzott a kereslet és a hasznosság közötti kapcsolat megteremtése. Ezt August Walras és Longfield is megkísérelte. Walras munkájának vizsgálata során kiderül, hogy a csökkenı határhaszon elve szükséges a kereslet és a hasznosság közötti kapcsolat megteremtéséhez. 13

final degree of utility Mátyás A.: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1999. 17. old. 15 Bekker Zs. (szerk.): Alapmővek, alapirányzatok. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem, 2000. 219. old. 14

8

A piaci ár és a keresett mennyiség összefüggésének felismerése, és empirikus becslési kísérlete már a 17. század végén megszületett. Az összefüggés elsı matematikai megfogalmazását az olasz Pietro Verri kísérelte meg 1760-ban. Nagy elırelépést jelentett Cournot „Vizsgálódások a gazdagság elméletének matematikai elveirıl” címő mőve16, amelyben a keresleti függvény algebrai és geometriai megfogalmazásán kívül a határbevétel, a határköltség, a profitmaximáló cég, a monopólium, a duopólium, a tökéletes verseny fogalmát bevezette. A határhaszon és a keresleti függvény közötti elsı sikeres kapcsolat Dupuit nevéhez főzıdik. Cournot-val ellentétben nem empirikus kapcsolat feltételezésére alapozta a függvényt, hanem a keresleti függvényt azonosította magával a határhaszon függvényével. Önmagában a csökkenı határhaszon fogalma sem volt ismeretlen koncepció. Daniel Bernoulli már alkalmazta az összefüggést17, és Jeremy Bentham munkáiból is kiolvasható. Az új típusú integrált elmélet kialakításához szükséges utolsó igen lényeges elem, azaz a különbözı fogyasztói tevékenység során megvalósított allokációs szabály megfogalmazása Gossennél jelenik meg. Könyvében, „Az emberi kapcsolatok törvényének kialakulásá” -ban megállapítja, hogy (i) a folyamatos fogyasztás során az addicionális egységek egyén számára való hasznossága csökken; (ii) az egyén akkor maximálja a hasznosságot, ha a különbözı javak felhasználásánál a határon az utolsó egység haszna azonos nagyságú; (iii) a javaknak csak akkor van értéke, ha a kereslet meghaladja a kínálatot, azaz szubjektív ritkaság szükséges az érték létrejöttéhez18. A Gossen által megfogalmazott összefüggésekbıl a másodikat a közgazdaságtanban Gossen második törvényének nevezzük. Ez az összefüggés nemcsak az optimális fogyasztás megállapításához használható, hanem a korlátos erıforrásokkal való gazdálkodás általános szabályát alapozza meg. Az elsı megállapítást, a csökkenı határhaszon elvét Gossen elsı törvényének nevezte el a közgazdaságtan. Amikor Jevons igyekszik megalapozni a közgazdaságtan matematikai jellegét, ugyanabból az állításból indul ki, ami Walras-t is vezeti: mivel a közgazdaságtan 16

A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England, 1960. 17 D. Bernoulli: Specimen theoriae novae de mensura sortis. Commentarii Academiae Scientarium Imperalis Petropolitanae 5. 1738. 175 – 192. old. Ford.: L. Sommer, Econometrica 22, 1954, 23 – 36. old. 18 Bekker Zs. (szerk.):i. m. 221. old.

9

mennyiségekkel foglalkozik, matematikai jellegő kell hogy legyen. A politikai gazdaságtan elmélete címő mővében Jevons leírja, hogy közgazdasági elmélete tisztán matematikai jellegő, és mivel az általa használt mennyiségek folytonosan változnak, ezért a differenciálszámítást alkalmazza a gazdaságra, a hasznosságra, az értékre, a keresletre és minden olyan kvantitatív fogalomra, amely a közgazdaságban elıfordul19. Jevons szerint egy jószág értéke kizárólag a hasznosságtól függ, és feltételezése szerint egy jószág hasznossága tökéletes folytonossággal változik. Jevons az u hasznosságfüggvény

x szerinti differenciálhányadosát – amit ma határhaszonnak nevezünk – a hasznosság fokának nevezte, az utolsónak elfogyasztott végtelen kicsi növekmény határhasznát pedig a hasznosság végsı fokának nevezte. Walras a határelemzést nemcsak a fogyasztói viselkedés vizsgálatára alkalmazza, hanem termelés vizsgálatára is. Így a fogyasztói piacokat és a termelési tényezık piacait egy kölcsönösen összefüggı, az árakat és a mennyiségeket függvényszerő kapcsolatba hozó egyenletrendszerbe fogja össze. Eredeti hozzájárulása a közgazdaságtudományhoz, hogy matematikailag kidolgozta a piacgazdaság általános egyensúlyi feltételeit. A marginalista forradalom jelentıs változásokat idézett elı az ortodox közgazdasági elmélet tárgyában és módszertanában. Azáltal, hogy a kutatókat ellátta az analitikus eszközök egy kényelmes rendszerével, amelyet könnyen és hatékonyan alkalmazhattak a problémák széles sávjára, egyben megváltoztatta a közgazdasági ortodoxia problémairányultságát. A határelemzés feladata, hogy megtalálja a versengı erıforrások, a szőkös eszközök leghatékonyabb elosztását az alternatív célok között. Optimális helyzetben a határértékek kiegyenlítıdnek, az az elıny, amit egy egységnyi erıforrás pótlólagos alkalmazásából nyerünk az egyik területen, pontosan egyenlı azzal a veszteséggel, amit a szóban forgó egységnyi erıforrás más területrıl való elvonása okoz. Ezt az elvet igen széles körben lehet alkalmazni: adott jövedelem elosztása fogyasztási javak vásárlása közt; adott termelési költség elosztása különbözı termelési tényezık alkalmazása közt; a rendelkezésre álló idı felosztása munkaidıre és szabadidıre. Valahányszor a csökkenı hozadék elve érvényesül egy pótlólagos egység jövedelem, idı vagy termelési erıforrás adott célra való felhasználásánál, akkor nyerhetünk optimális eredményt, ha az értékek a határon kiegyenlítıdnek. Felszerelkezve ezzel a technikával, a neoklasszikus közgazdászok képesek voltak a piaci termék- és erıforrásárak kialakulásának logikailag konzisztens magyarázatát megadni, és a fogyasztás maximalizálásának feltételeit meghatározni. Az új technika analitikus ereje és

19

W. S. Jevons: The Theory of Political Economy, 3rd.. Macmillan, London, 1888.

10

hatóköre, alapfeltevéseinek kézzelfogható egyszerősége – a fogyasztó és a termelı a hasznosság, illetve profitja maximalizálására törekszik a versenypiacokon – alapvetıen vonzó volt a „tiszta” közgazdaságtan hallgatói és az akadémikus teoretikusok számára. A határelemzés technikáját elıször az értékelméletre alkalmazták a hasznosság fogalma segítségével. A hasznosság kategóriáját a klasszikus közgazdászok ismerték ugyan, de általában kihagyták érték- és csereelméleteikbıl. Késıbb alkalmazhatónak bizonyult a termelés és elosztás elméletében éppen úgy, mint az érték és a csere tanában, és így az elméleti közgazdaságtan széles tartományának hatókörébe került. A marginális technika matematikai eredete ellenére oly módon fejlıdött ebben az idıszakban, hogy teljes mértékben hozzáférhetıvé vált a nem matematikus közgazdászok számára is. Ahogy a közgazdaságtan egyre inkább professzionalizálódott és akadémikus tudománnyá vált, elméleti kutatói egyre jobban elvont elméleti problémákra összpontosították figyelmüket, és elvonatkoztatták modelljeiket a valóságos világtól. A határelemzés fókuszában a piac állt, és ennek megfelelıen szőkítették kutatási területüket a neoklasszikus teoretikusok úgy, hogy az a végén majdnem teljesen a piaci folyamatok tanulmányozására korlátozódott. Thomas Kuhn a következıket írta a természettudományokban végbemenı tudományos forradalmakról írt tanulmányában20: „ebben a tanulmányban tudományos forradalmakon a tudományok fejlıdésének azokat a nem kumulatív eseményeit értjük, melyek során valamely paradigma szerepét részben vagy egészben átveszi egy vele összeegyeztethetetlen, új paradigma.” Azok az okok, amelyeket Kuhn a tanulmányában tipikusan fontosnak tart abból a szempontból, hogy ösztönöznek egy tudományos közösséget egy adott paradigma egy másikkal való felváltására, a következık: I. egy „módszertani válság” megjelenése ( amelynek oka, hogy az uralkodó ortodoxia nem tud hatékonyan megbirkózni az alapvetıen fontosnak tekintett problémákkal ); II. az új paradigma képes megoldani azokat a problémákat, amelyek elıdje válságát okozták; III. az új paradigma magasabbrendő kvantitatív pontossága. A probléma, amely kitartóan foglalkoztatta a klasszikus közgazdászokat, az érték kérdése volt. Ricardo munkaérték-elméletében két megoldatlan probléma volt. A munkaérték-elmélet nem adott magyarázatot az érték idıbeni változásaira, és Ricardo nem talált megoldást az

20

T. S. Kuhn: A tudományos forradalmak szerkezete, Osiris Kiadó, Budapest, 2002.

11

abszolút érték problémájára, mivel nincs olyan áru, amelynek értéke ne függne saját termelési költségétıl. A munkaérték-elmélet a klasszikus közgazdaságtant zsákutcába vitte, amibıl kiút csak egy új értékelmélet megfogalmazása volt. A marginalisták felhagytak az abszolút vagy belsı érték utáni kutatással, és a klasszikus közgazdászok érdeklıdésének középpontjában levı természetes ár vizsgálata helyett a piaci árat vizsgálták. A határhaszon-elmélet képviselıi bírálták Ricardo munkaérték-elméletét, mivel az nem képes megmagyarázni az adott kínálatú javak (mővészi alkotások, régi borok, stb.) árának alakulását, a piacon feleslegben levı termékek árának alakulását, és a munkák különbözıségére visszavezethetı árkülönbségeket21. A határhaszon-elmélet képviselıi szerint az érték csak a hasznosságtól függ, pontosabban a határhaszontól. Az új értékelmélet szerint a fogyasztó értékítéletét a jószágok szükségletkielégítésben betöltött jelentısége határozza meg. Az érték ebben a felfogásban a fogyasztó szubjektív értékítélete, azt fejezi ki, hogy a fogyasztó mennyire van ráutálva szükségletkielégítésében valamely jószágfajta egy-egy egységére. A közgazdasági irodalom szerint a határhaszon-elmélet megoldást talált a fentebb említett értékparadoxonra, megvilágította a javak haszna és azok értéke közötti összefüggést. Ezzel tisztázódott az a kérdés is, hogy a javak ritkasága, vagyis mennyiségük korlátolt volta hogyan befolyásolja értéküket: a gyémántnak azért magas az ára, mert kevés van belıle, a határhaszna tehát magas, vízbıl nagy mennyiség áll a fogyasztók rendelkezésére, ezért határhasznuk kicsi, és így áruk alacsony22. Ezzel a megállapítással két szempontból nem érthetünk egyet. Elıször, ez az okoskodás feltételezi, hogy a határhaszon függvény kis mennyiségnél nagyon nagy értéket vesz fel, a határhaszon elméletben viszont nem található ilyen feltétel. Másodszor, a gyémánt esetében valószínőbb az, hogy a fogyasztók azért tulajdonítanak nagy hasznosságot a gyémántnak, mert értékes és értékálló, és nem azért értékes, mert a fogyasztók nagy hasznosságot tulajdonítanak neki. Tehát megállapíthatjuk, hogy az érték paradoxon nem magyarázható a közgazdasági irodalomban használt ritkasággal. A kisebb mennyiségben lévı ritka javak nagyobb értéke a termék értékállóságával magyarázható inkább. A közgazdászok felhagytak az érték jelentésének kutatásával, és azt kezdték el vizsgálni, mi határozza meg a piaci árat. Jevons például a belsı értéket, mint nem létezıt félrerakta. 21

P. Deane: A közgazdasági gondolatok fejlıdése. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1997. 150. old. 22 Mátyás A.: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1999. 13. old.

12

Figyelmét az érték helyett a hasznosság fogalmára összpontosította, amit a közgazdaságtan tárgyának tekintett. A továbbiakban inkább a csere-, mint az értékelméletet fejtette ki. Hogy elemezhesse a hasznosság-maximalizáló egyén viselkedését a differenciálszámítást használta fel, és elmélete kifejtéséhez a mechanikai analógiáktól nyert ösztönzést. Ezeket az analógiákat szem elıtt tartva explicit módon kijelenti, hogy a politikai gazdaságtan olyan elméletének kifejtésére törekszik, amely a statikus mechanika fogalmait és elemzési technikáját alkalmazza. Bár Jevons fedezte fel a marginális forradalom alapvetı lényegét, amikor kijelentette, hogy a hasznosság határnövekményétıl függ a csereérték vagy az ár, mégis Alfred Marshallt – aki a kínálatot a kereslettel egyenrangú tényezıként behozta az ármeghatározó egyenletbe – tekintik a neoklasszikus paradigma atyjának. A határhaszon-elmélet valamennyi képviselıje hangsúlyozza, hogy elméletük kifejtése szempontjából a jószágok szubjektív értékelésének van központi jelentısége. A „szubjektív értékelmélet” más képviselıitıl azáltal különböztetik meg magukat, hogy ık a szubjektív értékelést a marginális elemzés segítségével vizsgálják. De már a határhaszon definíciójánál is megmutatkozik több, egymástól eltérı felfogás. Ezért szokásossá vált, hogy a határhaszonelméleten belül több „iskolát” különböztettek meg. A közgazdasági irodalomban többféle megjelölést használnak ezzel kapcsolatban.

Ezek közt a „határhaszon-iskola”, a „bécsi

iskola” vagy „osztrák iskola” (Menger, Wieser, Böhm- Bawerk) egyenértékőek; a „matematikai iskola” megjelölést részben a „Lausanne-i iskola” (Walras, Pareto), részben az „angol-amerikai iskola” (Jevons, Marshall, Clark és mások) képviselıire alkalmazzák. Az a felfogás, hogy a haszon vagy a használati érték lényegében vagy teljesen meghatározza az értéket, olyan régi, mint maga a politikai gazdaságtan. Hasonlóképpen a csökkenı haszon- vagy csökkenı hozadéknövekmény gondolata James Anderson és David Ricardo óta jelentékeny helyet foglal el a közgazdaságtanban; ezen alapul a különbözeti járadék elmélete. Johann Heinrich von Thünen továbbfejlesztette a marginalitás elméletét. De elıször csak az 1870-es években sikerült a haszonszámítást és a határérték-elemzést a határhaszon tanává egyesíteni. Csupán az elméleti elıfeltételeket tekintetbe véve Jean Baptiste Say haszonelmélete már egy fél évszázaddal korábban elvezethetett volna a határhaszon-elmélethez, de a kor megoldandó kérdései és a klasszikus munkaérték- elmélet útját állták ennek. A post-klasszikus árelmélet képviselıi is kezdenek elszakadni a termelési költségelmélettıl. A kereslet és kínálat mechanizmusát vizsgálják, és nem kutatják többé az értékokokat, hanem a kereslet és kínálat meghatározó okait. Az árelmélet kezdıdı önállósodása során – az értékelmélettel ellentétben – átmegy a kauzális szemlélettıl a 13

funkcionális szemléleti módhoz. A 19. század polgári közgazdaságtanában általában még a kauzális magyarázati mód volt elıtérben. Egyes, túlnyomórészt funkcionális szemléletmódok – például August Cournot-é – abban az idıben csaknem ismeretlenek maradtak. A határhaszon-elmélet is túlnyomórészt kauzális magyarázatot nyújt. Megalapítói közül csak Walras ábrázol funkcionális árelméletet. A

haszonelmélet

és

az

árelmélet

fejlıdése

mellett

a

határhaszon-elmélet

keletkezésének egyik elıfeltétele a közgazdasági marginális szemlélet fejlıdése. A határhaszon-elmélet megalapítói egyenesen támaszkodtak a régebben keletkezett haszon- és árelméletekre és új elméleti rendszerré építették ki azokat. Ismerték a marginális gondolat kezdeteit is a járadékelméletben és részben Johann Heinrich von Thünen tanaiban. Walras is közvetlenül Cournot marginális szemléletébıl indul ki. De Jules Dupuit és Hermann Heinrich Gossen csak a határhaszon-elmélet keletkezése után vált ismertté. A marginális elemzés a szélsıérték-számítás egyik fajtája. A gyakorlatban két fı módszert különböztetnek meg egy célfüggvény maximumának meghatározására. Ha a meghatározott

eszköz további

egységének

felhasználásával

elıidézett

célfüggvény-

növekmény változó nagyság, akkor a határérték-számítást alkalmazzák, amelyre a differenciálszámítás szolgál. A határérték-számítás a különbözı eszközök pótlólagos egységének felhasználása által okozott célfüggvény-növekmény kiegyenlítésén alapszik. Ha egy eszköz pótlólagos egységnyi felhasználása kisebb célfüggvény-növekményt okoz, mint egy másik eszköz pótlólagos egysége, akkor a célfüggvény nettó növekménye azáltal érhetı el, hogy az elıbbi eszközt az utóbbival helyettesítik. Amíg ilyen eljárásra lehetıség van, addig a célfüggvény nem érte el maximumát. A célfüggvény maximumát akkor éri el, amikor az összes eszközök pótlólagos egységének felhasználásából adódó növekmény egyenlı. Akkor egyik eszköz egységnyi mennyiségének más eszközök egységnyi mennyiségével való helyettesítése sem növelheti tovább a célfüggvény értékét. Ekkor a program optimális. A határhaszon-elmélet alapjában véve egy nem lineáris célfüggvényt feltételez, amelynek maximuma gyakorlatilag a differenciálszámítás segítségével található meg. Eszerint minden pótlólagos eszközfelhasználás csökkenı haszonnövekménnyel jár. A fogyasztás vizsgálatánál a fogyasztási cikkeket tekintik eszköznek. A termelés figyelembevétele esetén ugyanazok a szabályok érvényesülését feltételezi az elmélet: minden pótlólagos termelési tényezıráfordítás csekélyebb hozadéknövekményt eredményez. Ez a feltétel azonban nem állja meg a helyét maradéktalanul. Elıfordulhat például, hogy egy további munkaerı bevonása nem csökkenti, sıt növelheti is a termelés hatékonyságát.

14

A határhaszon-elmélet tehát a racionalitás problémáját csak maximumproblémának tekinti, amelynek megoldását kizárólag a marginálszámítás adja. Lényegesen hozzájárult ahhoz, hogy a függvénykapcsolatok gazdasági ábrázolását precizírozzák. Jelentıs helyet foglal el a marginális gazdasági elemzés fejlıdésében Thünen. „Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie” címő könyvében elsıként alkalmazza a marginális elemzést a nyereségmaximalizálás üzemgazdasági kérdéseinek vizsgálatánál. Thünen elsık között alkalmazta a differenciálszámítást a termelésre, s egyik legjelentısebb elıfutárává vált a határtermelékenységi elméletnek. A munkabér nagyságát a munka termelékenységével hozva kapcsolatba arról ír, hogy adott földterület vagy adott tıkemennyiség mellett a vállalkozók addig növelik a foglalkoztatott munkások számát, míg csak a termelésnek az utolsó beállított munkás által létrehozott növekménye, a csökkenı hozadék érvényre jutása következtében, le nem esik a munkabér szintjére. A határhaszon-elv alapján kifejlesztett szubjektív értékelmélet eredetileg abból a feltevésbıl indult ki, hogy a hasznosság mérhetı. Felfedezıi – kezdve Gossentıl, folytatva Jevons-szal, Mengerrel, Walras-szal egész Marshallig – kifejezetten vagy burkoltan az ún. kardinális feltevést védték. Ez a hipotézis feltételezi, hogy a fogyasztó képes a bizonyos jószág fogyasztása által nyújtott haszon abszolút nagyságát megmérni és így a különféle javak hasznának nagyságát összehasonlítani. A határhaszon-elmélet matematikai változatában ennek a hipotézisnek a hasznosság additív függvénye és a vele kapcsolatos matematikai mőveletek felelnek meg. Ha a fogyasztás tárgya x, y, ..., n, akkor a fogyasztó teljes hasznát U = f ( x) + f ( y ) + ... + f (n) függvény fejezi ki. Az összhasznot tehát a fogyasztónak az egyes javak által nyújtott szükséglet-kielégítés összege adja. Ebbıl ered az a további elıfeltétel, hogy az egyes használati értékek, tehát az egyes javak között nincsen semmiféle függıségi viszony, és az egyes javak használati értéke teljesen független egymástól. A matematikai iskolának, mint a gazdasági egyensúly elméletének másik sarkalatos pontja a határhasznok kiegyenlítıdésének tétele, vagyis a második Gossen – féle törvény. Már Gossen tisztán látta, hogy a határhasznok kiegyenlítıdésének nemcsak a javak oszthatósága és többféle célra felhasználhatósága a feltétele, hanem az is, hogy a hasznokat egy közös egységben fejezhessük ki. Ennek lehetıségét a pénz használata adja meg, és így az összhaszon akkor maximális, ha az utolsó pénzegység által nyerhetı határhaszon bármely termékre vonatkozóan azonos. A határhasznok kiegyenlítése tehát a pénzen keresztül történik oly módon, hogy az egyes szükségleti ágakban elért hasznok pénzbeli értéke egyenlı.

15

2.2 Walras munkásságának elızményei Szellemileg Léon Walras apjának, a közgazdász Antoine Auguste Walras-nak sokat köszönhet. Auguste Walras legnagyobb hozzájárulása Léon Walras közgazdásszá fejlıdéséhez az volt, hogy ösztönözte ıt, hogy tanuljon közgazdaságtant; felhívta a figyelmét a matematikára és hozzáférést biztosított neki a közgazdasági könyvek könyvtárába. Ebben a könyvtárban volt A. A. Cournot „Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses (1838)”23 címő könyve is, amelyik demonstrálta Léon Walrasnak, hogy a közgazdaságtant ki lehet és kell is fejezni matematikai formában. Ezt Walras nyíltan kifejezi az Elements negyedik kiadásához írt elıszavában: „Kész vagyok elismerni Gossen elsıségét a hasznossági görbe, Jevonsét pedig a cserében megvalósuló maximális hasznosság egyenletének kérdésében, de nem ezen közgazdák munkái voltak kiindulópontjaim. A gazdaságtan alapelveit apámtól, Auguste Walrastól tanultam, azt pedig, hogy hogyan kell a függvénytant e tanok kidolgozásában fölhasználni, Augustin Cournot-tól.”24 Walras

általános

egyensúlyelméletének

voltak

elızményei

a

közgazdasági

irodalomban. Az egyensúly gondolatát, amely felé minden cserén alapuló gazdaság törekszik, már Walras elıtt rég kimondták és részben fel is használták, például Boisguillebert, Quesnay, Canard és Turgot. A gazdasági jelenségek általános és kölcsönös összefüggésének gondolatát Walras elıtt a legvilágosabban Cournot fogalmazta meg. Cournot végül is meghátrált ennek matematikai kifejezése elıtt és megállt a részelemzés határán: „ ... a gazdasági rendszer olyan egységet alkot, melynek összes részei egymással összefüggnek és egymásra hatnak... Ezért úgy látszhat, hogy a gazdasági rendszer egyes részeire vonatkozó problémák teljes és szigorú megoldása szükségszerően megköveteli, hogy az egész rendszert figyelembe vegyük. Ez azonban meghaladná a matematikai elemzés és a gyakorlati számítási módszerek lehetıségeit még akkor is, ha az összes konstans értékek numerikusan kifejezhetık lennének.”25 Walras szerint Cournot volt az elsı, aki világosan és hozzáértıen alkalmazta a matematikát a közgazdaságtanban. Ugyanakkor Walras kitartott amellett, hogy a munkájában saját irányvonalát követte, mely teljesen különbözött Cournot-étól. Walras közgazdaságtana abban különbözött Cournot-étól, hogy ı kiindulópontjául a szabad versenyt választotta, 23

Angolul: A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England, 1960. 24 L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London, 1954. 37. old. 25 A. A. Cournot: i. m. 127. old.

16

melyet általános esetnek tekintett, és a monopóliumot csak speciális esetként tanulmányozta. Ezzel szemben Cournot a monopóliumot tekintette kiindulópontjául és innen haladt lépésenként korlátlan verseny elemzéséig. Walras hangsúlyozta, hogy a matematikájában a formális bizonyításhoz az analitikus geometria elemi alapjaira támaszkodott, ezzel szemben Cournot kizárólag az infinitezimális számításhoz folyamodott. Cournot vizsgálódásaiban abból indult ki, hogy a piacon minden egyén a legnagyobb haszon elérésének elvét tartja szem elıtt (hedonista elv).26 Keresletelméletében Cournot függvényszerő kapcsolatot tételez fel az ár és a keresett mennyiség között. Cournot rámutat arra, hogy a D = F ( p ) függvényben a kereslet és az ár ellentétesen változik, de ennek matematikai levezetéséig nem jut el. „Keresleti törvénye” empirikusan megállapított reláció az ár változása és a forgalmazott mennyiség változása között. Cournot feltételezi, hogy a keresleti függvény folytonos. A p árnak azt a nagyságát, amelynél az eladott áruk összértéke maximális, Cournot úgy határozza meg, hogy a pF ( p ) függvény p szerinti derivàltját nullával teszi egyenlıvé: „Mivel az F ( p ) függvény folytonos, ezért a pF ( p ) függvény is – amely az évente eladott mennyiség összértékét fejezi – folytonos. … Mivel a pF ( p ) függvény elıször nı, azután csökken amint p nı, így van egy olyan p érték, amelynél maximumot ér el, s amely az alábbi egyenlettel adott: F ( p ) + pF ′( p ) = 0 ,

(2.2.1)

ahol F ′ – Lagrange jelölésének megfelelıen – az F függvény differenciálhányadosát jelöli.”27 Tehát itt Cournot felírja a lokális szélsıérték létezésének elsırendő feltételét. Cournot megvizsgálja a lokális maximum másodrendő feltételét is: pF ( p ) maximumot illetve minimumot vesz fel (2.2.1) egy p gyökénél aszerint, hogy pF ( p ) másodrendő deriváltja negatív illetve pozitív, azaz 2 F ′( p ) + pF ′′( p ) < 0 vagy > 0 . p helyébe behelyettesítve az (2.2.1)-bıl kapott −

(2.2.2)

F ( p) értékét, majd az egyenlıtlenséget F ′( p )

beszorozva F ′( p ) -vel, mely a feltételezés szerint negatív, kapjuk a következı feltételt: 2[ F ′( p )]2 − F ( p ) F ′′( p ) > 0 vagy < 0 . 26

Ez annyit jelent, hogy a rendelkezésre álló eszközökbıl, vagy munkaerejébıl mindenki a legnagyobb gazdasági eredményt igyekszik kihozni, és ez irányítja egész piaci viselkedését. 27 A. A. Cournot: i. m. 53. old.

17

(2.2.2’)

Az elsı tag mindig pozitív, ezért ha F ′′( p ) negatív, akkor pF ( p ) csak maximumot vehet fel. Az áralakulást szabályozó törvényszerőségek után kutatva a legegyszerőbb feltevésbıl, a monopólium feltevésébıl indul ki. Miután Cournot leír egy termelési költségek nélküli monopóliumot, utána bevezeti a termelési költségeket, melyet a termelés volumenének függvényeként ábrázol. Ekkor már nem a pF ( p ) függvényt maximalizálja, hanem a pF ( p ) − φ ( D ) függvényt, ahol φ (D ) jelöli azt a költséget, amelyet a D mennyiség elıállítása okoz. Mivel D a D = F ( p ) kapcsolat következtében p függvénye, ezért Cournot a pF ( p ) − φ ( D ) függvényt implicite a p változó függvényeként tekinti, de megjegyzi, hogy a termelés költsége általában nem a termelt termék árának explicit függvénye, hanem a termelt mennyiség függvénye. A pF ( p ) − φ ( D ) nettó bevétel maximumának elsırendő feltétele az, hogy a p -szerinti deriváltja nulla legyen, tehát

D+

dD  d [φ ( D)]  p − =0 dp  dD 

(2.2.3)

Cournot még nem vezeti le sem a keresleti, sem a költségfüggvényt. Modern formában egy évszázaddal késıbbi idıszak termékei. A közgazdaságtan történetével foglalkozó könyvekben az olvasható, hogy az az összefüggés, hogy a monopolista profit maximalizálása azon ár mellett következik be, ahol a határköltség megegyezik a határbevétellel, közvetlenül Cournot munkájából származik: „Fel kell hívnunk a figyelmet arra a tényre, hogy szükségképpen p >

d [φ ( D)] , mert ha dD a dD

termelés növekménye, úgy d [φ ( D )] a költségnövekmény, pdD pedig a bruttó bevétel növekménye, és bármilyen nagy is a termelési források tevékenysége, a termelık mindig felhagynak felhasználásukkal, amikor a költségnövekmény a bevételnövekményt felülmúlja. Ez szemmel látható a (2.2.3)-as egyenletbıl is, mivel D mindig pozitív mennyiség, és

dD dp

egy negatív mennyiség.”28 A közgazdasági irodalom ezt a Cournot-féle pontként tárgyalja. Azonban ez az okoskodás nem teljesen korrekt, és téves következtetést lehet belıle levonni, amit Cournot nem tett meg. Ugyanis ebbıl az okoskodásból az következik, hogy mindaddig érdemes növelni a termelést, míg a p ár nagyobb a

28

d [φ ( D )] határköltségnél, és a profitmaximum szükséges feltétele, dD

A. A. Cournot: i. m. 59. old.

18

hogy az ár egyenlı legyen a határköltséggel. A mai ismereteinkbıl tudjuk azonban, hogy ez csak tökéletes verseny esetén érvényes, ahol a határbevétel azonosan egyenlı a piaci árral. P

MC

D MR Q0

Q

Q1

2.1 ábra. A monopólium profitmaximuma

Az 2.1 ábrán a Q0 mennyiségnél van profitmaximum. A (Q0 , Q1 ) intervallumon teljesül, hogy p > MC , mégsem érdemes növelni a termelést, mint ahogy Cournot okfejtésébıl következik. Cournot ennél az indoklásnál nem vette figyelembe, hogy ha a termelés dD -vel növekszik, akkor az ár is változik. A (2.3.3)-as egyenletbıl az következik, hogy p > MC csak a profitmaximumnál (vagy profitminimumnál) teljesül szükségszerően. Cournot is eljuthatott volna a helyes megállapításhoz, ha a pF ( p ) − φ ( D ) nettó bevételt (amit ma profitként definiálunk) nem az ár, hanem a mennyiség függvényének tekinti, és úgy írja fel a profitmaximum elsırendő feltételét. Nem Cournot alkalmazta a közgazdaságtanban a határelemzést elıször, mégis ı fejtette ki az árelmélet elsı marginális rendszerét, amelyre Walras és az ıt követı közgazdászok támaszkodtak. Quesnay, a fiziokratizmus megalapítója „Gazdasági táblázat”-ában29 egzaktan, számokban kifejezve igyekszik a gazdasági életben mutatkozó kölcsönös összefüggéseket ábrázolni. A Gazdasági táblázat volt kétségtelenül az elsı kísérlet arra, hogy egy gazdasági rendszer termelési- és cserefolyamatainak általános és mennyiségileg pontos ábrázolását 29

F. Quesnay: Tableau économique. 3. kiadás. Paris. 1759.

19

nyújtsa. A Gazdasági táblázat lényegében egy általános egyensúlyi modell, amely nagy lehetıséget nyitott meg a numerikus elemzés számára. Quesnay megpróbálta statisztikai adatok révén felbecsülni az évi output és más aggregátumok értékét, így munkája az ökonometriai modellek elıfutára. Nicolas-Francois Canard mővében30 található a gazdasági egyensúly fogalmának elsı világos megfogalmazása a gazdasági egyensúly dinamikus kezelésével együtt, továbbá határelemzés elsı, úttörı használata, továbbá a gazdasági és mechanikai egyensúly fogalma közötti kapcsolat világos meglátása. Canard a jövedelem három típusát különböztette meg: földjövedelmet, ipari jövedelmet és tıkejövedelmet. Canard kihangsúlyozta az egyensúly fogalmának kulcsfontosságát a politikai gazdaságtanban. Azt írta, hogy a három jövedelemforrás egyensúlya a politikai gazdaságtan alapja. Canard elméletének újszerősége az egyensúlyi állapotban levı piacok zárt függıségének világos megfogalmazása volt. Ezenfelül újszerő az a gyümölcsözı ötlet, hogy az egyensúly a maximális haszonra való törekvés által valósul meg: minden egyén magának a három jövedelemforrás leghasznosabb kombinációját választja. Kétségtelenül ezek a gondolatok nem újak: az egyéni érdekeket és az érdekek általános összhangját széleskörően tárgyalták korábbi szerzık, különösen Adam Smith a Nemzetek gazdaságában. A. R. J. Turgot világosan körvonalazta a szimultán és kölcsönösen meghatározott általános egyensúlyt. Értékelméletében közel került az érték neoklasszikus felfogásához. Használja az alapvetı és megvásárolható érték, valamint a becsült és a megmért érték fogalmát.31 E fogalmakban lényegében a keresleti – kínálati ár koncepcióját körvonalazza, valamint az érték-paradoxon problémáját kezeli a hasznosság-ritkaság kapcsolatán keresztül. A gazdasági magatartást ráfordítások és elınyök közötti csereként írja le. A nem arányos hozamok törvényével lényegében a marginalizmusnál formalizált csökkenı és növekvı hozadék esetét tárgyalja, elıször alkalmazva a határ-érvelés logikáját. A modern közgazdasági gondolat jelentıs elıfutára volt Dupuit. A csökkenı hasznosság elve, a határhaszon gondolat, a késıbb Marshall által megfogalmazott fogyasztói többlet bontakozik ki munkájában. Dupuit Sayt meghaladva egy jószág hasznosságát mennyisége függvényeként ábrázolja.32 Az ár Dupuitnél az utolsó jószágegység hasznát fejezi ki. S a csökkenı határhasznosság elvének felismerése lehetıvé teszi a keresleti függvény 30

N.-F. Canard: Principes d’Economie Politique. Buisson, Paris, 1801. A. R. J. Turgot: Réflexion sur la formation et la distribution des richesses. Részletek magyaril in: Bekker Zs. (szerk.): Alapmővek, alapirányzatok. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaság-tudományi és Államigazgatási Egyetem. 2000. 90 – 96. old 32 A. J. Dupuit: De la measure de l’utilité des travaux publics. Annales des ponts de chaussées. Paris. 1844. 31

20

elméleti megalapozását, ami hiányzott Cournot-nál. Dupuit megmutatta, hogy a határhaszon, amit egy egyén a jószágok egy homogén készletébıl elér, a készlet utolsó egységének hasznossága által van meghatározva. Világosan kimutatta, hogy egy készlet utolsó egységének határhaszna csökken a mennyiség növekedésével, és hogy mindegyik fogyasztó különbözı határhasznot tulajdonít ugyanannak a jószágnak a fogyasztott mennyiségnek megfelelıen. Dupuit elméletének jelentısége az, hogy a csökkenı határhaszon pszichológiai fogalmát átvitte a kereslet törvényébe. Dupuit azonosította a határhaszon görbét a keresleti görbével, összeadva az egyének hasznosság görbéit, hogy megkapja a piaci keresleti görbét.

mennyiség

N

n

r

q

r’

n’ q’

r’’

0

p

p’

n’’

p’’

ár P 2.2 ábra. Dupuit keresleti görbéje

A 2.2 ábrán p, p’, p” jelöli egy árucikk különbözı árát, r, r’, r” pedig az ezekhez az árakhoz tartozó fogyasztott árucikk mennyiségét. Dupuit az Nn’n”P görbét fogyasztási görbének nevezte. Az r jószágmennyiség teljes (abszolút) hasznossága egyenlı az 0rnP területtel. Feltéve, hogy p az r mennyiség (átlagos) termelési költsége, a fogyasztók elnyernek egy többletet (relatív hasznosság), mely egyenlı a teljes hasznosság (0rnP) mínusz a termelési költségek (0rnp). Dupuit az rNn területet elveszett hasznosságként azonosította. Walras az Elements 387. szakaszában bírálja Dupuit elméletét33: J. B. Say szerint a hasznosság mértéke a fogyasztó valójában tett pénzügyi áldozata. Dupuit ezzel szemben a 33

L. Walras: i. m. 445. old.

21

hasznosságot az által az áldozat által mérte, melyet a fogyasztó hajlandó tenni. A maximális pénzügyi áldozat, melyet a fogyasztó hajlandó tenni azért, hogy megszerezzen egy termékegységet, e termékegység hasznosságának a mértéke az adott fogyasztó számára. De Dupuit nem ismerte fel, hogy a maximális pénzügyi áldozat, amit egy fogyasztó hajlandó tenni, hogy megszerezzen egy termék egy egységét, nemcsak a kérdéses termék hasznosságától függ, hanem a piacon található minden egyéb termék hasznosságától, és a fogyasztó vagyonától is. Léon Walras pályafutása elején ismerte A. N. Isnard „Traité des richesses”34 címő mővét és ez a könyv megvolt a magánkönyvtárában35. Isnard nemcsak Walras elıfutára volt, hanem mőve valójában a Walras-féle általános egyensúlyi modell közvetlen elıde. Ahogy Walras, Isnard is érdeklıdött az egyensúlyi árarány meghatározása iránt. A csere szimultán egyenletrendszerét felállította, megmutatva minden egyes árucikk értékének függıségét a többi áru értékétıl. Walras csereelméletét elıször a kéttermékes modell konstruálásával építette fel, majd ezt kiterjesztette több termékre. Ezt a sorrendet követte Isnard is. A kéttermékes esetrıl a többtermékes

esethez

jutva

Isnard

az

értékarányok

meghatározásának

problémája

megoldására nyújt példát egy egyenletrendszer megfogalmazása által, nagy figyelmet fordítva arra, hogy a független egyenletek száma egyenlı legyen az ismeretlenek számával. Mivel Isnard egyenletrendszere látszólag túlhatározott volt, következésképpen kiküszöbölt egy egyenletet, amelyiket le lehetet vezetni a maradékból. Ezenfelül Isnard csökkentette az ismeretlenek számát egy tetszıleges mértékadó árucikk alkalmazásával, pontosan mint Walras nevezte az egyik árucikket numéraire-nak. Így Walras csereelméletének csaknem teljes formális apparátusa, a hasznosság-maximalizálási eszközön kívül, kéznél volt Isnard Traité des richesses címő munkájában. Az Isnard-modellben a különbözı árucikkek elcserélt mennyisége, és nem a létezı teljes mennyisége állandó. Ezzel szemben Walrasnál a teljes létezı mennyiség állandó a csereelméletben, az elcserélt mennyiségek a relatív árak függvényei. Az Isnard-modellben nincs helye a tartalék keresletnek, míg a Walras-modellben a tartalék kereslet egy változó, amelyet minden egyéb keresleti (vagy kínálati) mennyiségek határoznak meg az árak függvényeként. Valójában Walrasnál mind a keresett (vagy kínált) mennyiségek, mind az árak 34

A. N. Isnard: Traité des richesses, contenant l’analyse de l’usage des richesses en général et de leurs valeurs. London and Lausanne: Grasset. 1781. 35 W. Jaffé: A. N. Isnard, progenitor of the Walrasian general equilibrium model. History of Political Economy 1, 1969, 19-43. old.

22

változók, melyek egyidejőleg (szimultán) határozódnak meg az általános egyensúly átfogó egyenletrendszere által. Egyikük sem konstans vagy paraméter. Isnard az árat elcserélt mennyiségek függvényének tekintette. Ezzel szemben Walras következetesen és határozottan az elcserélt mennyiségeket az árvektor függvényeként tekintette. Isnard mővén kívül Louis Poinsot „Eléments de statique”36 címő könyve gyakorolt erıs hatást Walrasra. Poinsot leírta a nagy mennyiségő változók közötti kölcsönös összefüggést, a fizikai rendszerekben a dinamikai erık hogyan vezetnek egyensúlyhoz, amelyben minden egyes objektumot a saját pályáján és relatív helyzetében tartanak. Poinsot munkájának következtetései által fellelkesülve, Walras megfogalmazott egy nagyszerő tervet. Követni akarta Poinsot vízióját és elemzését a gazdasági univerzum általános egyensúlyával kapcsolatban. Walras megvalósította ezt a tervet (amire abból lehet következtetni, hogy feltőnı hasonlóság van mővének formája és Poinsot mőve között) a függvénykapcsolatok és paraméterek, a szimultán egyenletek halmazának és az egyensúlyi feltételek alapos leírásával. Röviddel 1872 elıtt Walras kidolgozta a preferencia elméletet, amelyben feltette: – a kereskedık a hasznosságot akarják maximalizálni; – a hasznosságok függetlenek és additívak, és – az árucikk határhaszna a megvásárolt vagy elfogyasztott mennyiség csökkenı függvénye. Walras megakadt abban a próbálkozásában, hogy a hasznosságot felhasználja a piaci viselkedés leírásához, ezért segítségért fordult Antoine Paul Piccard-hoz37. Piccard 1872-ben a kérésre a haszonmaximalizálási modell kifejlesztésével és az egyéni keresleti függvény ebbıl való származtatásával válaszolt Walrasnak.38 Piccard magyarázata rendkívüli elemi szintő volt, valószínőleg tekintettel Walras korlátozott matematikai képességeire ebben az idıben. A szemléltetés praktikusan mind geometriai volt, csak a következtetést írta le analitikus szimbólumokkal. Piccard két negatív meredekségő határhaszon görbébıl indult ki, amelyek egy eladó két árucikkére, (A)-ra és (B)-re vonatkozott. Valamint adottnak tekintette az eladó (A) árucikk birtokolt mennyiségét, (B) birtokolt mennyiségét nullának vette. Feltételezte, hogy adott (A) (B)-ben kifejezett piaci ára. Arra a kérdésre kereste a választ, hogy tud az eladó ilyen körülmények között javítani a helyzetén, megmérve a görbék alatti területek összegét. Piccard kimutatta, hogy a határolt területek összege akkor maximális – azzal a feltétellel, amit ma költségvetési korlátnak nevezünk – ha a cserét addig a pontig folytatják, ahol a (B) árucikk határhaszon görbéje alatti terület utolsó kis növekedése egyenlı 36

L. Poinsot: Eléments de statique. 1803. 8th edn, Paris: Bachelier, 1842. Piccard mechanika professzor volt Lausanne- ban. 38 D. A. Walker (szerk.): William Jaffe’s Essays on Walras. Cambridge University Press, 1983, 303. old. 37

23

az (A) árucikk határhaszon görbéje alatti terület megfelelı utolsó kis csökkenésével. Piccard, miután szimbólumokkal kifejezte a lemondott és megszerzett kis területek mértékét a kritikus pontnál, ahol az eladó kielégülésének maximalizálása megvalósul, megállapította, hogy mi volt az eladó számára az egyensúly elsırendő feltétele, mégpedig hogy a (B) megszerzett mennyiségének határhaszna egyenlı legyen a maradék megtartott (A) határhaszna szorozva az (A) (B)-ben kifejezett árának reciprokával. Azért, hogy az egyenlıségben a változók számát kettıre csökkentse, Piccard a (B) megszerzett mennyiségét az (A) lemondott mennyiségének és az (A) (B)-re vonatkozó árának szorzataként fejezte ki, így

ψ ( A0 pa ) =

1 φ (Qa − A0 ) , pa

ahol Qa az eladó eredeti mennyisége (A)-ból, A0 az (A)-ról lemondott mennyiség a cserében,

pa (A) (B)-ben kifejezett ára, φ és ψ az (A)-ra és (B)-re vonatkozó határhaszon függvények. Az egyenlıség kéziratban megjelent Walras kezében. Piccard következtetése: „Ez az egyenlıség nem egyéb, mint a kívánt görbe, mely csak két változót tartalmaz, pa -t és A0 -t.” Tulajdonképpen Piccard egy kínálati görbét nyert; de mivel kéttermékes esetben az egyik árucikk kínálati görbéje a másik árucikk keresleti görbéjébıl származik, ez nem lényeges különbség. Kétségtelenül ez volt Piccard matematikai szemléltetésébıl az, amit Walras leszőrt az ı finomított és analitikusan könnyebben kezelhetı határhaszon koncepciójához. Piccard egyéni keresleti görbének a határhaszon görbébıl való származtatásának eljárása ellátta Walrast azzal a nélkülözhetetlen kulccsal, ami szükséges volt alaptétele felfedezéséhez, miszerint az árucikkek szőkösségei (rareté) arányosak a piaci áraikkal, ra : rb : rc : ... :: pa : pb : pc : ...

24

2.3 A walrasi elmélet 2.3.1 Walras és a matematikai közgazdaságtan Léon Walrast jogosan tekinthetjük a matematikai közgazdaságtan egyik alapítójának. Ami a tiszta matematikai közgazdaságtant illeti, Walras célja az volt, hogy a piaci ár meghatározása problémájának matematikai megoldása által a szabad verseny optimalitásának bizonyítását adja a hasznosság szempontjából. Walras idején a matematikai tételek és technikák használata a közgazdasági elmélet problémáinak kezelésében egyáltalán nem volt nyilvánvaló. Sıt Walrasnak nagy nehézséget okozott a kortársai meggyızése a matematika közgazdaságtanban való használatának szükségességérıl. Matematikai szemléletmódjával szembeni ellenállásnak egyik oka Walras szerint a matematika természetének félreismerése volt. A matematika alkalmazásának tárgyalásánál Walras szerint különbséget kell tennünk a közgazdasági elméletben való alkalmazás és a közgazdasági gyakorlatban való alkalmazás között. Jan Van Daal és Albert Jolink szerint Walras közgazdasági elméletben alkalmazott matematikájának erısen descartes-i sajátossága volt. Szerintük ez Descartes ’Mathesis Universalis’-ához (Univerzális matematika) hasonlítható39. A Mathesis a felfedezés módszerét nyújtja. Descartes megállapította, hogy tanulmánya a legegyszerőbb és legkönnyebb diszciplínákkal kezdıdik, és ezek elsajátítása után haladt tovább. Ebben az értelemben a Mathesis Universalis egy általános bevezetı a magasabb diszciplínákhoz. Walras a matematika bevezetésével az „univerzális igazságok” felfedezéséhez szándékozott egy eljárást bemutatni. Jan van Daal és Albert Jolink szerint módszere párhuzamos Descartesével: a racionális ismeret minden objektuma valami módon deduktív láncot alkot, és ezek rendezve vannak az egyszerőtıl a bonyolultig, vagy az „abszolúttól” a „relatívig”. Walras mővének különbözı kiadásaiban több változatban is megfogalmazta az általános egyensúly matematikai modelljeit, amelyeket fokozatosan bont ki mőve egymást követı fejezeteiben. A tiszta cseregazdaság modelljével kezdi, csak késıbb kapcsolja be a termelést az egyensúly elemzéseibe, és még késıbb a tıkejavakat. Walras módszere azonban különbözött is Descartes módszerétıl, és ezt a különbséget Jan van Daal és Albert Jolink nem hangsúlyozták. Ugyan Walras is bizonyos alapfeltételekbıl – például a hasznosság mérhetı, a határhaszon csökkenı – indult ki elmélete kifejtése során, 39

J. van Daal – A. Jolink, A.: The equilibrium economics of Léon Walras. Routledge, London- New York, 1993, 3. old.

25

de ezek a feltételek nem tekinthetık univerzális igazságoknak, tapasztalati tényeknek, amit elmélete kiindulópontjakét tekinthetett volna Walras. A tiszta közgazdasági elmélet esetében Walras szerint tényeket tanulmányozunk és derítünk fel, és a matematika használatát az elemzési módszer iránti szükség motiválja. A matematikai kifejezéseknek általánosnak, meghatározatlannak és nem numerikusnak kell lenniük. Bár Walras mennyiségekkel foglalkozott, a mérés problémája mellékes volt számára. Egészen eltérı a matematika alkalmazása a gyakorlati problémákra. Walras szerint a közgazdasági

gyakorlatban

a

matematikát

egy

közgazdasági

nagyság

bizonyos

végeredményeinek kiértékelésére használják. Ebben az esetben a matematika használatát a számítás szükségessége motiválja. A közgazdasági gyakorlat esetében ezért a nagyságokat meg kell mérni és a köztük levı összefüggéseket konkrét formában kell megadni, a paramétereket numerikusan meghatározni. Mivel Walras legtöbb idejét elmélettel töltötte, ezért a matematikát inkább alkalmazta elemzési módszerként absztrakt kifejezésekben, mint számítási eljárásként. Ahogy megállapítja ’Une branche nouvelle de la mathématique’ címő cikkében:40 „A matematika közgazdaságtanban való alkalmazásának egyik módja az elméleti, absztrakt és elemzı alkalmazás, a másik pedig a gyakorlati, konkrét és numerikus alkalmazás. Az emberek, akiknek a matematika közgazdaságtanban való alkalmazásáról beszélnek, csak a másodikat tudják megérteni. Ellenfeleink teljesen mellızik a matematika közgazdaságtanban való alkalmazásának elsı módját.”

Walras és a matematika használatával szembeni ellenvetések

Walras kortársainak a matematika közgazdaságtanban való alkalmazásával szembeni ellenvetéseit a következı négy pontban lehet összefoglalni: 1). A matematika nem játszik heurisztikus (megértést szolgáló) szerepet a közgazdaságtanban. 2). A közgazdasági valóság bonyolultságát nem lehet matematikai formulákká redukálni. 3). A matematikát túl nehéz megérteni a közgazdászoknak, akik nem matematikusok. 4). A matematikai közgazdaságtan nem szolgáltat egyértelmő (határozott) eredményeket. Walras rendületlenül kitartott a matematika – mint a közgazdasági elméletben alkalmazott elemzési módszer – használata mellett, és meglehetısen sok idıt töltött az ellenvetések megválaszolására. A matematika csekély heurisztikus szerepérıl szóló ellenvetésre Walras azt

40

J. van Daal – A. Jolink, A.: i. m. 5. old.

26

válaszolta, hogy a saját munkája bizonyítja az ellenkezıjét. Walras a matematikai módszer által tudott eredményeket elérni az Elements-ben. A közgazdasági valóság bonyolultságának matematikai formulákká való redukálásának képtelensége Walras szerint olyan ellenvetés, amely érvényes bármely általánosításra, a matematikának ehhez semmi köze nincs. A matematikának azonban lehet gyakorlati jelentısége általános szabályok megformulázásával. Walras elfogadta az ellenvetést, hogy a matematikai közgazdaságtan nem szolgáltat egyértelmő eredményeket. Válaszul kijelentette, hogy sohasem volt kérdés az abszolút igazság megtalálása, hanem inkább az, hogy a matematika tud-e segíteni lényeges dolgok megoldásában.

2.3.2 Walras „tiszta” közgazdaságtana A 17. században a matematika és a mechanika fejlıdése összefonódott, egymást erısítették. A sok számítást igénylı csillagászat elvezetett a logaritmusok feltalálásához. Kidolgozták a függvény fogalmát, a differenciál- és integrálszámítás alapjait, megteremtették az analitikus geometria alapjait. Ezek a matematikai felfedezések úgy jöhettek létre, hogy a 17. század tudósai rájöttek a mozgástörvényekre, és a mozgással kapcsolatos fogalmakra. A matematika fejlıdése pedig nagy segítséget jelentett a mechanikának. A 17. századtól a 19. század közepéig szinte minden jelentıs matematikus egyben fizikus is volt, s e korszak matematikai eredményeinek egész sora konkrét fizikai problémákhoz kapcsolódott. Dirk J. Struik szerint a 19. században a matematikai kutatás fokozatosan megszabadult attól a régi irányzattól, amely a mechanikában és a csillagászatban az egzakt tudományok fı célját látta. A matematikai kutatás egyre inkább függetlenné vált a gyakorlati alkalmazásoktól, bár a kapcsolat nem szakadt meg teljesen. A matematikusok egyes szakterületeken dolgoztak. A szakosodással együtt járt, hogy kettévált a tiszta és az alkalmazott matematika.41 Ez az állítás nem teljesen igaz. A 19. század második felétıl kezdve megszőnik a matematika és a fizika személyi összefonódottsága. Mindkét tudomány annyira szerteágazóvá vált, hogy a XX. században ez már valóban odavezetett, hogy a matematikusok kénytelenek voltak a matematika egy-egy ágára specializálódni. Ám a matematikusok nem öncélként mővelik a matematikát. Sok, eredetileg semmire sem használhatónak tőnı matematikai eredményrıl felfedezése után néhány évvel vagy évtizeddel derült ki, hogy nagyon fontos alkalmazási lehetısége van. A 19. századi közgazdasági elméletben megfigyelhetı a gyakorlati és az elméleti közgazdaságtan különválása. Már Nassau William Senior is megkülönböztette a tiszta 41

D. J. Struik: A matematika rövid története. Gondolat Kiadó. 1958. 148. old.

27

közgazdaságtant az alkalmazott közgazdaságtantól. Walras is a közgazdaságtant tiszta tudományként fogta fel, ahogy fı mővének címe is jelzi. Ezzel együtt a „tiszta” közgazdaságtan mővelıi alig foglalkoztak a gyakorlati problémákkal, elméletük gyakorlati alkalmazhatóságával. Walras a tiszta közgazdaságtant (azaz elméleti közgazdaságtant, megkülönböztetve az alkalmazott gazdaságtantól) mint ideológiailag semleges, „fizikaimatematikai tudományt” definiálta, amely „lényegében az árak meghatározásának elmélete a tökéletesen szabad verseny elméleti feltételei között.”42 A tökéletes verseny feltevését elsı lépésnek tekintette annak a leírásában, ami majd egy reálisabb világot mutat be. Ezt olyan tudományos eljárásnak tekintette, mint amikor a mechanikában elsı közelítésként a súrlódásmentesség feltevését alkalmazzák. Walras az Elements of Pure Economics címő könyvében a következıket írta43: „Mindamellett a tiszta mechanikának bizonyosan az alkalmazott mechanika elıtt kellene haladni. Hasonlóan a közgazdaságtan tiszta elméletének az alkalmazott közgazdaságtan elıtt kell haladni; és a közgazdaságtan tiszta elmélete az a tudomány, mely hasonlít a matematikaifizikai tudományokra minden szempontból. ... Ha a közgazdaságtan tiszta elmélete, vagy a csere- és csereérték elmélete, azaz a társadalmi jólét elmélete önmagában tekintve matematikai-fizikai

tudomány,

mint

a

mechanika

vagy

hidrodinamika,

akkor

a

közgazdászoknak nem kellene félni a matematika nyelvezetét és módszereit használni. ... A matematikai-fizikai tudományok a gyakorlati fogalmakból absztrahálnak elméleti fogalmakat, amelyeket definiálnak, és ezen definíciók alapján állítják össze deduktív módon a tételeik és bizonyításaik szerkezetét. Azután visszatérnek a gyakorlathoz, de nem azért, hogy bizonyítsák, hanem hogy alkalmazzák a következtetéseiket. ... Követve ezt az eljárást, a közgazdaságtan tiszta elméletének át kellene venni a gyakorlatból bizonyos fogalmakat, mint csere, kínálat, kereslet, piac, tıke, jövedelem, termelı szolgálatok és termékek. Ezekbıl a gyakorlati fogalmakból a tiszta közgazdaságtudománynak absztrahálni és definiálni kell elméleti fogalmakat.” Itt igaza volt Walrasnak, a közgazdasági elméletnek a közvetlenül mérhetı fogalmakat (például kereslet, kínálat) kellene felhasználni az elmélet kiindulópontjául. Mégis, elmélete kifejtése során Walras éppen ellenkezıleg a hasznosság nem pontosan meghatározott fogalmából indult ki, és ebbıl próbálta levetetni a gyakorlatban pontosan meghatározható kereslet – kínálat fogalmát. Walras és az ıt követı matematikai közgazdászok úgy próbálták utánozni a fizikában és más természettudományban alkalmazott kutatási módszereket, hogy 42 43

L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London, 1954, 40. old. L. Walras: i. m. 71. old.

28

nem vették figyelembe a közgazdaságtan sajátosságait, és a természettudományoktól való eltéréseit. A természettudományokban, mint például a fizikában – Walras idejében – kísérletekkel határoztak meg bizonyos állandó mennyiségeket (például a szabadesés g gyorsulását), és állapítottak meg bizonyos összefüggéseket, amiket megpróbáltak matematikai összefüggésekkel

leírni.

A

tapasztalatból

nyert

alapösszefüggésekbıl

matematikai

módszerekkel további összefüggéseket vezettek le, aminek érvényességét kísérletekkel igazolhatták. Ezek az összefüggések általában csak valamiféle extrém változás hatására vesztik érvényüket (például a gravitáció megváltozása). A közgazdaságtan azonban társadalomtudomány, az emberek viselkedésében nem figyelhetı meg hogy minden körülmények között azonosan ismétlıdı cselekedeteik, reakcióik lennének. A gazdasági törvényszerőségek nem

determinisztikusak, nem pontosan meghatározottak, hanem

sztochasztikusak, elıre gyakran nem kiszámíthatóak. Az is megkérdıjelezhetı, hogy a gazdasági szereplık mindig racionálisan cselekszenek. Ezért helytelen volt Walras, Jevons és az utánuk következı közgazdák azon elgondolása, hogy mivel a közgazdaságtan mennyiségekkel foglalkozik, ugyanazokkal a módszerekkel vizsgálhatók a gazdasági törvényszerőségek, mint például a mechanikában. Ingrao és Israel szerint Pareto hozzájárulása az általános egyensúlyelmélethez az, hogy a legvilágosabb és legkövetkezetesebb kísérletet tett a gazdasági viselkedés racionális mechanikájának megalkotására a 19. századi fizika és matematika mintájára.44 Pareto szerint a homo ökonomikusz racionális mechanikájának nemcsak ugyanazt az analitikus szigort kell nyújtani, mint a racionális mechanika, hanem ugyanazt a szilárd empirikus alapot. A fizika tapasztalati eljárása volt a modell, amit követett Pareto. A tapasztalati eljárást Pareto a tudományos eljárás kulcs eszközének tekintette. Pareto osztotta azt a nézetet, hogy a tudományos megismerés feladata kizárólag a jelenségek szabályszerőségeinek kutatásában és az empirikusan megfigyelt szabályszerőségeket leíró törvények megszövegezésébıl áll. Azonban a 2.4. fejezetben látni fogjuk, a Pareto által továbbfejlesztett közömbösségi rendszer elmélete is nélkülözi az empirikus alapot. Walras részletesen elmagyarázza „tiszta közgazdaságtani” vizsgálódásait az Elements elsı négy leckéjében. Walras véleménye szerint a tiszta tudomány csak olyan dolgok közötti összefüggésekkel foglalkozik, amelyek a természet vak és elkerülhetetlen erıinek játékai, és amelyek függetlenek minden emberi akarattól. Walras azt állítja, hogy létezik a közgazdasági jelenségeknek egy szőkebb részhalmaza, amely alkalmas tiszta tudományos vizsgálatra: ez 44

B. Ingrao – G. Israel: The Invisible Hand. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 1990, 115. old.

29

pedig az árak konfigurációja a „tökéletes verseny” rendszerében. Az ilyen tiszta viszonyok igazolják és – Walras szerint – egyenesen igénylik ugyanazon matematikai technikák alkalmazását, mint amelyeket a 19. század közepének fizikájában találunk. A fizika és a közgazdaságtan egységes eljárásának gondolata teljesen feltárul Walras 1909-es, „Économique et Méchanique” címő cikkében45. A cikk központi témája az volt, hogy megmutassa a hasonlóságot a közgazdaságtanban, illetve a mechanikában alkalmazott matematikai megfogalmazás között. Ahogy Descartes kijelentette, bármely tudomány, amely mennyiségekkel foglalkozik, elemzı, matematikai módszereket tud alkalmazni, így matematikai tudománynak kell lennie. Ezeknek a tudományoknak van egy közös dolguk: a matematikai módszer. Az „Économique et Méchanique” hangsúlyozta, hogy mind a közgazdaságtan, mind a mechanika mennyiségekkel foglalkozik, bár nagyon különbözıkkel. A közgazdaságtan esetében Walras szerint „belsı” jelenségekkel foglalkozunk, amelyek a belsınkben történnek, ezért egyénileg és szubjektívan megfigyelhetık. Másrészrıl a mechanika „külsı” jelenségekkel foglalkozik, melyek rajtunk kívül történnek és mindenki által megfigyelhetı. A tény, hogy mindkét tudomány megfigyelhetı jelenségekkel foglalkozik, amelyek numerikus nagyságokban kifejezhetık, teszi alkalmazhatóvá a matematikai módszert mindkét esetben. Ebben a helyzetben némi hasonlóság megjelenhet a közgazdaságtanban és a mechanikában alkalmazott matematikai kifejezések között a közös elemzési módszer miatt. Walras a cikkben megmutatta, hogy e hasonlóság egyes sajátos eseteit valóban megtalálhatjuk. Ebben a cikkben kifejti a korai neoklasszikus közgazdászok két kedvenc metaforáját, a nyomaték egyensúlyának racionális mechanikáját és az égitestek közötti matematikai viszonyokat; azt is állítja, hogy az Elements matematikai-fizikai tudománya pontosan azokat a matematikai formulákat használja.

2.3.3 Az egyéni kereslet meghatározása két termék esetén Cournot ’Recherces sur les principes ...’ címő könyvét46 olvasva, Walras ismerte a piaci kereslet és a keresleti görbe fogalmát. E gondolatoktól ösztönözve Walras a piaci keresletet önálló módon dolgozta ki47: 45

Angolul megjelent: P. Mirowski – P. Cook, P.: Walras’ „Economics and Mechanics”: Translation, Commentary, Context, 1990. In: W. J. Samuels (szerk.): Economics As Discourse. An Analysis of the Language of Economists. Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London, 1990. 46 Angolul: A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass &

30

1). A piaci keresleti görbét az egyéni keresleti görbék aggregáltjaként tekintette. 2). Kifejlesztett egy grafikai apparátust a kéttermékes csere esetére, amelyben piaci keresletet valamint piaci kínálatot tekintett, melyek együtt határozzák meg az egyensúlyi árat. 3). Az egyéni keresleti görbéket elméletileg megalapozta: a hasznosság-maximalizálásból származtatta, tekintetbe véve a költségvetési korlátozást. 4). Általánosította Cournot keresleti függvényét úgy, hogy egy bizonyos termék keresletét más árak is befolyásolhatják. Walras aggregációs eljárása volt az elsı, amit hivatalosan bemutattak a közgazdasági elméletben. Walras volt az elsı közgazdász, aki olyan modellt készített, amelyben az egyéni kereslet és kínálat explicite aggregálva volt piaci szinten.

Az egyéni keresleti görbe származtatása hasznosság-maximalizálásból

Walras 1870 körül dolgozta ki a hasznosság fogalmát. Megkülönböztetett extenzív hasznot a szükségletek mennyiségére utalva, és határhasznot a sürgısségre utalva. Az extenzív hasznot a kívánt javak mennyiségeként lehet kifejezni, ha áraik nem jelentenének akadályt, vagyis ha az árak nullák lennének. Walras a határhasznot úgy definiálta, mint az „utolsónak kielégített szükséglet intenzitása” valamely fogyasztott mennyiség esetén. Döntı Walras elméletében az, hogy feltette, minden egyéni fogyasztó és minden jószág esetén létezik kapcsolat egyrészt a jószág fogyasztott mennyisége, másrészt ennél a fogyasztásnál az utolsó kielégített szükséglet intenzitása között. Walras ezt a kapcsolatot a javak „hasznosság függvényének” nevezte, melyet „szubjektívnek” kell tekinteni, mert a paraméterei az egyének jellemvonásaitól függenek, de amellett érvelt, hogy tekinthetjük szokásos matematikai függvényként, amit úgy kezelhetünk, mint más matematikai függvényt. Walras feltételezte, hogy egy egyén által egymás után fogyasztott jószágegységek – az elsı egységtıl, mely a legsürgısebb szükségletet elégíti ki, az utolsóig, amely után a kielégültség beáll – csökkenı határhaszonnal rendelkeznek az egyén számára. Walras a mérhetıség problémáját elintézte azzal a megjegyzéssel, hogy amíg a hasznosság a gyakorlatban nem mérhetı, mégis mérhetı ugyanabban az értelemben, mint a fizikai mennyiségek, mint például a hımérséklet vagy tömeg. „ ... a határhasznot mérhetı mennyiségnek tekintjük, mely nemcsak szükségszerően kapcsolatban van a csereértékkel, Company LTD., England, 1960. 47

L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London, 1954. 52, 74, 75, 81. szakasz.

31

hanem szükségszerően arányban áll vele, hasonlóan, mint a súly összefüggésben van a tömeggel. Ha ezért bizonyos, hogy a határhaszon és a csereérték két kísérı és arányos jelenségek, akkor az is bizonyos, hogy a határhaszon a csereérték oka. A csereérték a súlyhoz hasonlóan relatív jelenség; míg a határhaszon a tömeghez hasonlóan abszolút jelenség.”48 Lényeges különbség van azonban a hasznosság és a fizikai mennyiségek között, amit Walras nem vett figyelembe. A hasznosság közgazdaságtanilag nem pontosan definiált, szubjektív fogalom, és a mérésére sincsenek pontos módszerek. A fizikai mennyiségek mérésére pontos és meghatározott módszerek vannak a fizikában, és a mérés eredménye független attól, hogy hányszor végezzük el a mérést, ki végezte el, és mennyi idı telik el a két mérés között. Cournot rendkívül körültekintı volt a hasznosság mérhetıségére való tekintettel, és óvatosan elkerülte, hogy ezt az elmélete alapjává tegye. „A gazdaság vagy a csereérték absztrakt fogalma egy meghatározott és következésképpen precíz feldolgozásra alkalmas fogalom, óvatosan meg kell különböztetni a hasznosság, ritkaság ... járulékos fogalmától. Ezek

a

fogalmak

változók,

és

természetüknél

fogva

nem

meghatározottak,

és

következésképpen nem megfelelıen alkalmasak egy tudományos elmélet megalapozására.”49 A hasznosságelmélet gyengeségét sugalmazták olyan tudósok, mint Gustav Cassel és Enrico Barrone, amitıl meg kell szabadulni, hogy megszabadítsák az általános egyensúlyelméletet egy téves felfogás használhatatlan forrásától, ami nem ad semmit az egyensúlyelmélet tartalmához. Cassel következetesen fenntartotta ezt a nézetet, megjegyezve, hogy a hasznosságelmélet nem ad lényeges információt ahhoz, amit a keresleti függvények tartalmaznak, és a keresleti függvényeket lehet tekinteni az elmélet kiindulási pontjának. Késıbbi kifejtések nem erısítették meg ezt az irányzatot: a választás szigorú matematikai reprezentációján alapuló általános gazdasági egyensúlyelmélet célkitőzése változatlan elem maradt még a legkidolgozottabb és legmodernebb változatokban is. A hasznosságelmélet csak egy komponense volt az általános gazdasági egyensúlyelmélet kialakulásának. A hasznosságelmélet nehézségei és viszonylagos terméketlensége – mely egyre nyilvánvalóbbá vált a 20. század elején – hozzájárult a kutatási téma világos sikertelenségéhez, hogy az egyensúly gazdasági elméletét a klasszikus mechanika módszereivel és tartalmával modellezzék.50 48

L. Walras: i. m. 145. old. A. A. Cournot: Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England, 1960, 10. old. 50 B. Ingrao – G. Israel: The Invisible Hand. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 1990, 137. old. 49

32

A határhasznot a tényleges haszon deriváltjaként tekinthetjük. Hangsúlyozni kell, hogy Walras a határhasznot mint rendszere alapvetı fogalmát vezette be. Ezért inkább a tényleges hasznot kell a határhaszon integráljaként tekinteni. Például egy fogyasztó (A) jószágra vonatkozó határhaszon függvénye φ a ,1 és (A)-ból fogyasztott mennyisége q a ,1 , akkor e fogyasztás tényleges u haszna: qa ,1

u = ∫ φa ,1 (q )dq = Φ (q a ,1 ).

(2.3.3)

0

Egy egyéni keresleti függvény levezetése az egyén határhaszon függvényébıl az F1 függelékben található. Abban az esetben, ha az egyik vagy mindkét határhaszon függvény lépcsıs függvény, vagy másfajta szakadása van, az (F1.5) egyenlıséget általában nem lehet teljesíteni pontosan. Walras alaposan megvizsgálta ezt a problémát megmutatva, milyen az optimális fogyasztás, ha (F1.5) megközelítıen teljesül, és ebbıl hogy lehet levezetni az (F1.6) keresleti függvényt. Hasonlóképpen Walras más egyéb speciális esetét is tekintette a fenti cserefolyamatnak, mielıtt a sokkal általánosabb esetet tárgyalná, amelyben az egyén kezdetben mindkét árucikkbıl birtokol valamilyen mennyiséget. A differenciálható határhaszon függvények esetén Walras egy másik bizonyítást is ad a hasznosság-maximalizálás szükséges feltételére. A teljes hasznot d a ,1 függvényeként fel lehet írni: qb ,1 − pa d a ,1

d a ,1

u1 (d a ,1 ) = Φ a ,1 (d a ,1 ) + Φ b,1 (qb ,1 − d a ,1 p a ) =

∫φ

a ,1

(q )dq +

0

∫φ

b ,1

(q )dq.

(2.3.4)

0

Deriválva u1 -et d a ,1 szerint és az eredményt egyenlıvé téve nullával, kapjuk: u1′ (d a ,1 ) = φa ,1 (d a ,1 ) − p aφb,1 (qb ,1 − d a ,1 pa ) = 0 ,

(2.3.5)

amibıl következik az (F1.5) egyenlıség51. (2.3.4) jobboldali kifejezésének deriválásához fel kell használni a következı tételt: Legyen az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható, továbbá α és x ezen intervallum két helye. Akkor az x

F ( x) = ∫ f (t )dt α

51

L. Walras: i. m. 82. szakasz.

33

(2.3.6)

ún. integrálfüggvény mint az integrál felsı határának függvénye, az [a, b] intervallumon folytonos, és minden olyan x0 pontban, amelyben f folytonos, F differenciálható is, és F ′( x0 ) = f ( x0 ) .

(2.3.7)

Walras a (2.3.5) egyenlıséget nem vezette le, csak utalt rá, hogy (2.3.4) jobb vagy bal oldalának differenciálása révén kapjuk. A (2.3.5) egyenlıség nem más, mint Gossen II. törvénye, figyelembe véve, hogy a (B) jószág relatív ára egységnyi. (2.3.5)-öt deriválva még egyszer kapjuk, hogy

u1′′(d a ,1 ) = φa′,1 (d a ,1 ) + pa2φb′,1 (qb,1 − d a ,1 pa ) < 0 .

(2.3.8)

A második derivált negatív, mert a határhaszon függvények a mennyiség csökkenı differenciálható függvényei, ezért a deriváltjuk negatív. Ez azt jelenti, hogy (2.3.5) valóban a hasznosság maximalizálás feltétele. A hasznosság maximalizálás u1′′(d a ,1 ) < 0 másodrendő feltétele elıször nyomtatásban

csak az Elements negyedik kiadásában (1900) jelent meg, bár a levelezésébıl kitőnik, hogy ezt Walras már 1888-ban felismerte. Megjegyezhetı, hogy a határhaszon függvények differenciálhatósága felesleges feltétel, mert u ′(x) csökkenı x -ben, ami azt jelenti, hogy a (2.3.5) d a ,1 megoldása olyan, hogy u ′( x) > 0 ha x < d a ,1 és u ′( x) < 0 ha x > d a ,1 , ezért u (x) növekvı x < d a ,1 esetén és csökkenı x > d a ,1 esetén. Tehát u (x) eléri maximumát x = d a ,1 esetén. Ez a maximum globális, mert u ′(x) az egész tartományán csökkenı, ami azt jelenti, hogy csak egyszer vált elıjelet.

34

2.4 Hicks értékelmélete 2.4.1 A szubjektív értékelmélet továbbfejlıdése A marginális forradalom képviselıi a fogyasztói magatartás vizsgálatára alkalmazták a határelemzési technikát, felhasználva a csökkenı határhaszon elvét. Késıbb a határelemzési technikát kiterjesztették a termelés vizsgálatára, arra, hogy a szőkösen rendelkezésre álló termelési tényezıket hogyan kell optimálisan felhasználni, azaz a felhasználásukkal elıállított termékek eladásából származó bevétel és a felhasznált termelési tényezık költségének különbsége maximális legyen. Tehát a termelés problémája is egy feltételes maximalizálási probléma, úgy ahogy a fogyasztó problémája. Ezekre a feltételes maximalizálási problémákra a Lagrange – multiplikátor módszer alkalmazható, mint a következı fejezetekben látni fogjuk. A Lagrange – multiplikátor módszer alkalmazásának feltétele többváltozós függvények alkalmazása. Az elıbbi fejezetekben láttuk, hogy Walras egyváltozós hasznossági- és határhaszon függvényeket alkalmazott, tehát Walrasnál egy termék határhaszna egyedül a saját mennyiségének függvénye, és egy termékhalmaz összhaszna az egyes termékek hasznosságának összege. Tehát Walras nem vette figyelembe, hogy a fogyasztott termékek nem függetlenek egymástól, hanem például helyettesítı vagy kiegészítı viszonyban állhatnak egymással. Ezért többváltozós hasznossági függvényre van szükség, mely segítségével figyelembe lehet venni ezeket a viszonyokat. Többváltozós hasznossági függvényt definiálva már alkalmazható a Lagrange-multiplikátor módszer. A határhaszon-elmélet bírálói szerint azonban a hasznosság nem mérhetı, így a határhaszon sem definiálható. A hasznosság mérésének kiküszöbölésére próbáltak egy új elemzési technikát kifejleszteni, a közömbösségi görbék rendszerét, mely a termelés vizsgálatában is hasznosnak bizonyult. A közömbösségi görbe az azonos hasznossági szinthez tartozó javak kombinációja a két termékes koordinátában. A görbék origótól való távolsága mutatja a hasznosság szintjét. A közömbösségi görbék rendszerét a termelés vizsgálatában isoquant

görbéknek

nevezzük.

Az

isoquantok

az

azonos

kibocsátáshoz

tartozó

inputkombinációkat tartalmazzák. A közömbösségi görbéken alapul a hasznosság vizsgálatának ordinális változata. A közömbösségi görbék rendszerét elsınek F. Y. Edgeworth angol közgazdász definiálta, és ugyancsak elsınek írt a többváltozós, úgynevezett általánosított hasznossági függvényrıl, amely nem tételezi fel az egyes javak hasznosságának teljes függetlenségét. Edgeworth a közömbösségi görbéket kardinális értelemben használta: a mérhetı hasznosság fogalmából indult ki, és ebbıl származtatta a preferencia görbék definícióját. Pareto fejlesztette tovább Edgeworth közömbösségi rendszerét. Pareto a 35

közömbösségi görbékbıl kiindulva próbálta meghatározni az egyensúlyt, és a hasznosság mérhetıségét feltételezı hasznossági függvény helyett a közömbösségi görbékbıl származtatta az úgynevezett hasznossági indexfüggvényt. A hasznossági indexfüggvény nem a

hasznosság

nagyságát

fejezi

ki,

hanem

a

közömbösségi

viszonyban

álló

jószágkombinációkhoz azonos számot (indexet) rendel, és két jószágkombináció közül a preferálthoz nagyobb index tartozik. Pareto Edgeworth-hoz hasonlóan a hasznossági (index) függvény másodrendő parciális deriváltjait használta fel két jószág kapcsolatának definiálására. A függvényt u = φ ( x, y, z ,...) -vel jelölve, jószágok kiegészítık vagy helyettesítık aszerint, hogy

∂ 2u ∂x∂y

pozitív vagy negatív. Ha az egyén egyik termékbıl birtokolt mennyisége nı (a másik termék mennyisége állandó), akkor a másik termék határhaszna nı kiegészítı termékeknél és csökken helyettesítı termékeknél. Ez a definíció figyelmen kívül hagy egy alapvetı tényt. A hasznossági indexfüggvény nem egyértelmően meghatározott, és a

∂ 2u derivált nem ∂x∂y

meghatározott sem elıjelben, sem mennyiségben. Ezt a következıképpen láthatjuk be. Mint látni fogjuk, a hasznossági indexfüggvény a φ x dx + φ y dy + φ z dz + ... = 0 „közömbösségi”

differenciálegyenlet integrálja, ahol φ x , φ y , φ z , ... a határhaszon-függvények, melyeknek csak az arányai meghatározottak. Ha u = φ ( x, y, z ,...) az integrál egy alakja, és φ x , φ y , φ z , ... e függvény parciális deriváltjai, akkor az általános hasznossági indexfüggvény: u = F {φ ( x, y, z ,...)} ahol F egy tetszıleges függvény, melynek pozitív a deriváltja. (A pozitív derivált csak azért szükséges, hogy biztosítsuk, hogy u a hasznosság valódi indexe legyen abban az értelemben, hogy változatai egyszerre csökkennek, illetve nınek.) Az indexfüggvény parciális deriváltjai:

∂u ∂u ∂u = F ′(φ ) ⋅ φ x ; = F ′(φ ) ⋅ φ y ; = F ′(φ ) ⋅ φ z ; … ∂x ∂y ∂z Ezeknek a deriváltaknak az elıjele megegyezik φ x , φ y , φ z , ... elıjelével és arányuk meghatározott ( ahogy megköveteltük). Másrészrıl a másodrendő deriváltak

∂ 2u = F ′(φ ) ⋅ φ xy + F ′′(φ ) ⋅ φ x ⋅ φ y ∂x∂y

36

elıjelét nem lehet meghatározni, ez teljesen a tetszılegesen választott függvény alakjától függ. Ezért az Edgeworth-Pareto definíció nem megfelelı a jószágpárok közötti reláció megkülönböztetésére. Ezt a következetlenséget próbálta Hicks és Allen az 1934-es Economica-cikkeikben52 kiküszöbölni, ahol továbbfejlesztették a közömbösségi rendszerek elméletét.

2.4.2 Az értékelmélet felülvizsgálata

R. G. D. Allen 1932-ben megjelent The Foundations of a Mathematical Theory of Exchange címő cikkében53 a közgazdaságtudomány két ágát különböztette meg: (a) az empirikus ágat (leíró közgazdaságtan), és (b) racionális ágat (tiszta közgazdasági elmélet). Az empirikus ág keletkezik elıször kísérletek vagy a valóságos jelenségek megfigyelése által, az empirikus tényeket összegyőjtik és elrendezik. Egy idı múlva szükségessé válik a racionális ág felépítése azért, hogy összhangba hozza és magyarázza a már megszerzett empirikus tényeket. A racionális ág kezdeti propozíciók egy halmazából indul ki, amelyeket elıre megállapítanak, és amelyekhez a deduktív következtetés módszereit alkalmazzák, azaz a formális logikát és ennek speciális kiterjesztését, a matematikai analízist. A közgazdasági tudomány két ága természetesen nem független: a racionális ágnak valamilyen módon össze kell kapcsolódni a korábbi empirikus ággal. Az összefüggés a kezdeti propozíciók (feltételek és definíciók, melyeken a tiszta közgazdasági elmélet alapul) halmazának megállapításának folyamatában van. A megfigyelt jelenségek bonyolultak, de másrészrıl a kezdeti propozícióknak egyszerőnek és precízen megfogalmazottnak kell lenni. Allen ebben a cikkben az egyén mint fogyasztó gazdasági cselekvéseit a következıképpen fejezte ki matematikailag. Tegyük fel, hogy az egyén X, Y, Z, ... – vel jelölt

m számú gazdasági jószággal áll kapcsolatban. Ekkor az egyén minden stádiumban a jószágok bizonyos mennyiségét birtokolja. Ha az egyén X, Y, Z, ... jószágok x, y, z ,... mennyiségeit birtokolja, akkor ezt az ( x, y, z ,...) koordinátájú ponttal reprezentáljuk. Egy egyéni gazdasági cselekvést mennyiségileg egy változásként lehet kifejezni az egyik kombinációból – amelyben az egyén birtokolt mennyiségei x, y, z ,... – a másikba – amelyben az egyén a javak x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ,... mennyiségeit birtokolja. Az X, Y, Z, ... birtokolt mennyiségeinek ∆x, ∆y, ∆z ,... változásai bármely értéket felvehetnek, pozitívat, negatívat 52 53

J. R. Hicks – R. G. D. Allen: A Reconsideration of the Theory of Value, Economica, 1934 február, május. R. G. D. Allen: The Foundations of a Mathematical Theory of Exchange. Economica, 1932 május.

37

vagy nullát. Egy gazdasági cselekvés ezen kifejezése megfelel egy P ( x, y, z ,...) pontból a Q ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ,...) pontba való elmozdulásnak. (Vagy matematikailag kifejezve egy elmozdulásvektornak, amelyet az iránya és hossza jellemez. A statikus csereegyensúly elméletében használt vektorokat csak az irányukkal szükséges megadni, a hosszuk nem szükséges.) A ∆x, ∆y, ∆z ,... mennyiségeket az elmozdulás komponenseinek nevezzük. Az elmozdulás

iránya

a

m −1

komponensei

arányával

adott,

és

hossza

(∆x) 2 + (∆y ) 2 + (∆z ) 2 + ... . Az elmozdulás iránya szükséges csupán, így egyedül az m − 1 ∆x : ∆y : ∆z : ... arányt szükséges ismerni. Ennél a pontnál egy absztrakt feltételt kell tenni, és a matematikai elmélet eltér a közgazdasági tényektıl. Minden tudományágban a megfigyelt vagy tapasztalati tényeket közvetlenül véges differenciákkal és véges differenciaegyenletekkel fejezik ki, de mielıtt a matematikai elméletet felépíthetnénk, ezeket át kell alakítani differenciálokká és differenciálegyenletekké, melyek alkalmasabbak a matematikai elemzéshez. Egy gazdasági cselekvés megfelel egy P pontból másik Q pontba való véges elmozdulásnak, az elmozdulás komponensei a ∆x, ∆y, ∆z ,... véges differenciák. Most ezt kell átalakítani egy P pontból való „infinitezimális” elmozdulássá, melynek komponensei a dx, dy, dz ,... differenciálok. Az átalakítás folyamata a határérték vétel. Nevezetesen, a véges elmozdulás iránya, mely a ∆x : ∆y : ∆z : ... arányok által adott, az infinitezimális elmozdulás irányává válik, mely a dx : dy : dz : ... arányok által adott, és az utóbbi arányok az elıbbiek határértékei amint ∆x, ∆y, ∆z ,... együtt csökkennek egy meghatározott módon. A matematikai reprezentáció elméleti, és fel kell tenni, hogy a vonatkozó változók végtelenül oszthatók és teljesen folytonosak. A folytonosság ezen feltétele sohasem valósul meg a gyakorlatban. Valójában az

m jószág egyén által birtokolt mennyiségeinek változása nem csökkenhet korlátlanul. Hicks és Allen a Reconsideration-ban54 abból indulnak ki, hogy ha a teljes haszon mennyiségileg nem definiálható, úgy a határhaszon sem. De az értékelméletnek nincs szüksége a határhaszon pontos definíciójára. Ha adott egy egyéni szükségletek rendszere és az egyén által birtokolt X, Y, Z, … termékek halmaza, akkor ismernünk kell bármely két termék közötti helyettesítés határrátáját. Egy valamely Y termék helyettesítési határrátáját egy másik X termék szerint úgy definiálhatjuk, mint Y termék azt a mennyiségét, amely kompenzálhatja a fogyasztót az X egy marginális egységének elvesztéséért. A helyettesítési határráta nem más – Hicks és Allen szerint – mint X és Y határhasznának hányadosa, amelyet „relatív 54

J. R. Hicks – R. G. D. Allen: i. m.

38

határhaszonnak” hívhatunk. Hicks és Allen nem vette észre a következı ellentmondást: ha a határhasznok nem definiálhatóak, akkor a hányadosuk sem az. Hicks és Allen szerint a csökkenı határhaszon elvét fel kell váltani a növekvı helyettesítési határrátával. Kiindulva az X, Y, Z, … jószágok adott mennyiségeibıl, ha elıször X marginális egységét helyettesítjük Y ama mennyiségével, mely pótolja ezt; és aztán X második marginális egységét helyettesítjük Y ama mennyiségével, mely éppen pótolja ezt: Y második mennyiségének nagyobbnak kell lenni, mint az elsınek. Ez a feltétel a közömbösségi diagrammon a közömbösségi görbék konvexitásában fejezıdik ki.

2.4.2.1 Egyéni kereslet elemzése kettı és több termék esetén

Egyéni preferencia-skála. Az egyén az X és Y termék mennyiségeinek (x, y) kombinációját birtokolja. Az elmélet alap kiindulási feltétele, hogy létezik egyértelmő „közömbösségi irány” az ( x, y ) kombinációból való változásra, melyet a következı differenciálegyenlet definiál:

dx + R xy dy = 0

(2.4.1)

Az egyenlet kifejezi az összefüggést a dx és dy növekmények között (az egyik pozitív, a másik negatív), amelyek éppen kompenzálják egymást, ami az egyént illeti. Az R xy = − dx / dy kifejezés az x és y kompenzáló növekményeinek (határ)aránya, azaz R xy az X-nek Y szerinti helyettesítési határrátája. Ahogy az ( x, y ) kombináció változik, úgy változik az egyéni közömbösségi irány és R xy értéke. Tulajdonképpen R xy x és y függvénye, és értékei a változó ( x, y ) kombinációk esetén leírja az egyén preferenciaskáláját. Csak az R xy függvény szükséges, mert Y-nak X szerinti helyettesítési határrátája R yx = 1 / Rxy . Hicks és Allen a következı három feltételt tette a preferenciaskálával kapcsolatban: (1) R xy az x és y folytonos függvénye. (2) R xy pozitív minden ( x, y ) pont esetén. (3) Minden pontban a közömbösségi irány változására a dx + Rxy dy kifejezés mindig csökkenı: d (dx + Rxy dy ) < 0 azzal a kikötéssel, hogy dx + R xy dy = 0 , azaz

1

∂ y Rx ∂x

Rxy ∂ ∂ ∂ y = Rxy − Rxy Rxy < 0 Rx ∂y ∂x ∂y

39

(2.4.2)

Ezek a feltételek Hicks és Allen elméletének kiinduló feltételei, melyek – Walras kiinduló feltételeihez hasonlóan – nem a tapasztalati tényeknek megfelelı, közgazdaságilag indokolható feltételek, hanem olyanok, amelyek az egyértelmő optimális megoldás létezését garantálják. Nehezen képzelhetı el a fogyasztóról, hogy bármely két terméket hajlandó egymásra cserélni, tehát, hogy bármely két termék esetén értelmezi a helyettesítési határrátát. Különösen igaz ez a nem osztható termékekre, amelybıl a fogyasztó maximum egyet vásárol egy bizonyos idıszak alatt (például tartós fogyasztási cikk). A késıbbiekben rávilágítunk egy példával, hogy a helyettesítési határráta nem minden esetben értelmezhetı logikailag kristálytisztán (3.2.2 fejezet). A (2.4.1) differenciálegyenlet mindig integrálható és ebbıl kapjuk a közömbösségi görbék rendszerét az OXY síkban. A közömbösségi görbe érintıjének meredeksége valamely pontban − Rxy OY-ra vonatkozóan és − R yx OX-re vonatkozóan. Az elsı két feltételbıl következik, hogy mindegyik közömbösségi görbének folytonosan változó érintıje van, mely negatív meredekségő. A harmadik feltételbıl következik, hogy a közömbösségi görbék mindenütt konvexek az origóra nézve. Az érintı OY-ra (vagy OX-re) vonatkozó meredekségének numerikus értéke növekvı, amint a közömbösségi görbe mentén mozgunk OY-tól (vagy OX-tıl) távolodva. X-nek Y szerinti helyettesítési határrátája növekvı, amint folytatjuk X helyettesítését Y-ért. Ez a növekvı helyettesítési határráta elve. Három jellemzıje vagy mérıszáma van az egyéni preferenciaskálának, mely elegendı a közömbösségi görbe-rendszer teljes formájának leírásához. Mindhárom mérıszám valójában kétváltozós valós függvény, és R xy elsırendő változásaival van kifejezve; és ezek magára a preferenciaskálára vonatkoznak, nem pedig a piaci feltételekre. Az elsı mérıszám egy egyedüli közömbösségi görbére vonatkozik. Az X-nek Y szerinti helyettesítési rugalmasságát a következıképpen definiáljuk a közömbösségi görbe pontjaiban:  x  y d   d  x y y dR x dR σ =   : yx =   : xy . x y Rx Ry y x  x 1 x 1 x d   = dx − 2 dy = − Rxy dy − 2 dy mivel dx + Rxy dy = 0 -ból dx = − Rxy dy . y y y  y y dRxy =

∂ y ∂ ∂ ∂ Rx dx + Rxy dy = − Rxy Rxy dy + Rxy dy . ∂y ∂x ∂y ∂x

40

Ezeket felhasználva  x d   y y R Ry x + Rxy y σ =  y ⋅ x = − x >0 x dRx xy ∂ y y ∂ y R x − Rx Rx y ∂y ∂x a (2) és (3) feltétel miatt. Tehát σ az x / y -nak a helyettesítési határráta szerinti rugalmassága. Nagyjából a σ az x / y tört százalékos változását jelenti, amikor a közömbösségi görbe mentén annyit mozgunk, hogy az R xy 1% -al növekedjen. A másik két mérıszám az egyik közömbösségi görbe és egy másik közeli közömbösségi görbe közötti kapcsolatra vonatkozik, és jövedelemváltozási együtthatónak hívhatjuk:

ρx = −

y ∂ y x ∂ y R x és ρ y = y Rx . y Rx ∂y Rx ∂x

Mindkét együttható „rugalmasság” alakban van kifejezve. (2.4.2)-bıl következik, hogy ρx és

ρy nem lehet mindkettı negatív; mindkettı pozitív „normális” esetben és egyik pozitív, a másik negatív kivételes esetben.

Egyéni keresleti függvények. Ha az egyén adott M pénzjövedelmét két termékre, Xre és Y-ra költi adott p x és p y változatlan piaci árak mellett, akkor az egyensúlyi vásárlási mennyiségei a következı egyensúlyi feltételekkel adottak:

1 Rxy xp x + yp y = M és = px p y

(2.4.3)

Az egyenletek megfelelnek annak a ténynek, hogy az egyén egyensúlyi vásárlásait az XY síkban annak a pontnak a koordinátáival lehet reprezentálni, ahol az adott áregyenes (azaz xp x + yp y = M ) érint egy közömbösségi görbét. A (2.4.3) egyenletek megoldása x -et és y -t M, p x ,

p y függvényeként adja meg – az egyéni keresleti függvényeket. Növekvı

helyettesítési határráta feltétele mellett (a közömbösségi görbék konvexek az origóra) egyetlen egyensúlyi helyzet létezik minden M, p x és p y esetén és a keresleti függvények egyértékőek. A teljes jövedelem X-re és Y-ra költött arányát jelöljük κ x = (ahol

yp y xp x és κ y = -el M M

κ x + κ y = 1) . A (2.4.3) egyenleteket felhasználva a preferenciaskála három

mérıszámának értékeire egyensúlyi helyzetben a következık adódnak:

41

σ =−

M py xy p x

∂ ∂ p x R xy − p y R xy ∂y ∂x

; ρx = −

yp x ∂ y xp ∂ y Rx ; ρ y = x Rx . p y ∂y p y ∂x

(2.4.4)

Allen a következıkben az egyensúlyi helyzet és a keresleti függvények változását vizsgálta, ha a jövedelem vagy az árak változnak. (a) A kereslet jövedelemrugalmassága. Változzon M, míg p x és p y marad fix, és jelöljük a keresleti függvények jövedelem-rugalmasságát a következıképpen: E M ( x) =

M ∂x M ∂y és E M ( y ) = . x ∂M y ∂M

(2.4.5)

Differenciálva (2.4.3) mindkét egyenletét parciálisan M szerint a következı egyenletrendszert kapjuk (F3.1 függelék):

xp x E M ( x) + yp y E M ( y ) = M   ∂ y ∂ Rx xEM ( x) + Rxy yE M ( y ) = 0  ∂x ∂y Az egyenletrendszert

E M (x) -re és

(2.4.6)

E M ( y ) -ra megoldva, és felhasználva σ , ρ x , ρ y

egyensúlyi értékeit, E M (x) -re és E M ( y ) -ra a következıt kapjuk:

E M ( x) = σ ⋅ ρ x és E M ( y ) = σ ⋅ ρ y

(2.4.7)

(2.4.6) elsı egyenletébıl következik, hogy

κ x E M ( x) + κ y E M ( y ) = 1 , és innen κ x ⋅ ρ x + κ y ⋅ ρ y =

1

σ

(2.4.8)

.

E M (x) és E M ( y ) mindegyike nem lehet negatív ((2.4.8) miatt), „normális” esetben mindkettı pozitív. „Kivételes” esetben az egyik jövedelem-rugalmasság negatív, és a kereslet e jószág iránt csökken növekvı jövedelem mellett. Ha egy jószág keresletének jövedelemrugalmassága negatív, akkor ezt a jószágot inferiornak nevezzük.

(b) A kereslet árrugalmassága. Változzon p x , míg M és p y marad fix, és jelöljük a kereslet p x -rugalmasságait a következıképpen:

E px ( x) = −

p x ∂x p ∂y és E px ( y ) = − x . x ∂p x y ∂p x

42

(2.4.3) mindkét egyenletét p x szerint deriválva kapjuk a következı egyenletrendszert (F2.1 függelék): xp x E px ( x) + yp y E px ( y ) = xp x  p y  ∂ y ∂ y x Rx E px ( x) + y Rx E px ( y ) = ∂x ∂y p x 

(2.4.9)

Az egyenletrendszert E px (x) -re és E px ( y ) -ra megoldva kapjuk, hogy E px ( x) = κ x E M ( x) + (1 − κ x )σ és E px ( y ) = −κ xσ + κ x E M ( y )

(2.4.10)

felhasználva σ egyensúlyi értékét. Hasonló eredmények érvényesek a kereslet p y -rugalmasságára. Tehát

E px ( x) = κ x E M ( x) + (1 − κ x )σ  E px ( y ) = κ x E M ( y ) − κ xσ   E py ( x) = κ y E M ( x) − κ yσ  E py ( y ) = κ y E M ( y ) + (1 − κ y )σ 

(2.4.11)

Két összefüggés létezik a (2.4.11) által adott négy árrugalmasság között. (2.4.9) elsı egyenletébıl

κ x E px ( x) + κ y E px ( y ) = κ x . κ x E py ( x) + κ y E py ( y ) = κ y .

Hasonlóan

E px ( y ) -ban és E py (x) -ben a helyettesítési tag mindig negatív, és az egyik termék árának esése e termék helyettesítését okozza a másik termékért. Ezért két terméket mindig helyettesítınek, vagy „versenyzınek” kell tekinteni, ha egyedül vannak; a komplementaritás az a tulajdonság, mely nem jelenik meg addig, míg legalább három terméket nem tekintünk. Továbbá, ha a helyettesítés rugalmassága jelentısebb (azaz numerikusan nagyobb), mint a jövedelem-rugalmasságok, akkor az E px ( y ) és E py (x) „kereszt” árrugalmasságok negatívak, azaz mind

∂x ∂y , mind pozitív. Ez a hagyományos jellemzıje a helyettesítı vagy ∂p y ∂p x

versenyzı jószágoknak általános értelemben. De, ha a jövedelem-rugalmasságok legalább olyan jelentısek mennyiségben, mint a helyettesítés rugalmassága (pontosabban az abszolút értékük nagyobb), akkor a

∂x ∂y , deriváltak elıjele mindkettı lehet, és elıjelüknek nem ∂p x ∂p y

szükséges megegyezni.

43

Most rátérünk az általános esetre, ahol kettınél több egymással kapcsolatban levı termék tartozik az egyén költségvetésébe. Hogy egyszerősítsük a matematikai elemzést, csak a három termék esetét tekintjük részletesen. Az egyéni preferenciák komplexuma. Az egyén az X, Y és Z termékek mennyiségeinek ( x, y, z ) kombinációját birtokolja. A kiindulási feltétel az, hogy létezik bizonyos meghatározott „közömbösségi irány” az ( x, y, z ) kombinációból való változásra, melyet a következı differenciálegyenlet definiál:

dx + Rxy dy + Rxz dz = 0 ,

(2.4.12)

ahol a dx , dy , dz növekmények olyan értékeket vesznek fel, amelyek éppen kompenzálják egymást, ami az egyént illeti. Az R xy = − dx / dy ( z konstans) kifejezés az X-nek Y szerinti helyettesítési határrátája, és R xz = − dx / dz ( y konstans) az X-nek Z szerinti helyettesítési határrátája. Mind R xy , mind Rxz x , y , és z függvénye és értékeik együtt alkotják az egyéni preferenciák komplexumát. Más helyettesítési határráta is létezik, melyeket az elıbbi kettıbıl megkaphatunk:

R yx = 1 / Rxy ; R zx = 1 / R xz ; R yz = Rxz ⋅ R yx ; Rzy = Rxy ⋅ Rzx = 1 / R yz . Hicks és Allen a következı három feltételt tették a preferenciák komplexumával kapcsolatban: (1) R xy és Rxz az x , y , és z folytonos függvénye. (2) R xy és Rxz pozitívak minden ( x, y, z ) pont esetén. (3) Minden pontban a közömbösségi irány változására a dx + Rxy dy + Rxz dz kifejezés mindig csökkenı: d (dx + R xy dy + Rxz dz ) < 0 azzal a kikötéssel, hogy dx + R xy dy + R xz dz = 0 , azaz

1

Rxy ∂ y és a hasonló determinánsok negatívak, és Rx ∂y

1

Rxy ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

∂ y Rx ∂x

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

Rxz ∂ y Rx pozitív. ∂z ∂ z Rx ∂z

(2.4.13)

Ha a (2.4.12) differenciálegyenlet integrálható, akkor a teljes közömbösségi felület rendszer létezik az XYZ térben. Az elsı két feltételbıl következik, hogy mindegyik közömbösségi

44

felületnek folytonosan változó érintısíkja van, amely mindig lefelé lejtı mind az OX irányban, mind az OY irányban. A harmadik feltételbıl következik, hogy a közömbösségi felületek mindenhol konvexek O-ra. Szükségünk van a következı jelölésre:

σ=

x + Rxy y + Rxz z

Rxy Rxz xyz

Rxy ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

1

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

.

Rxz ∂ y Rx ∂z ∂ z Rx ∂z

A σ együttható pozitív a (2.4.13) feltétel miatt; ez szimmetrikus x , y , és z -re, és ez jelöli a három jószág kölcsönös helyettesíthetıségét. Tekintsünk most egy jószágot, mondjuk X-et a másik kettıtıl külön. A helyettesítési rugalmasság Y és Z között

 y d  z  z  osztva dR y -vel, y R yz z ahol a differenciált vehetjük az ( x, y, z ) pontnál a három merıleges közömbösségi irány bármelyike mentén. Így három helyettesítési rugalmasság létezik Y és Z között, melyet jelölhetjük

yz

σ yz ,

xz

σ yz és

xy

σ yz -vel aszerint, hogy ezt az YZ közömbösségi irány mentén

vesszük (X konstans), XZ közömbösségi irány mentén (Y konstans), vagy XY közömbösségi irány mentén vesszük (Z konstans). Az elsı esetben (F2.2 függelék) yz

σ yz = −

R yz yz

y + R yz z 1 ∂ z Ry ∂y

R yz ∂ z Ry ∂z

, mely pozitív.

(2.4.14)

A második esetben xz σ yz =

− R yz 1

z⋅ ∂ z Ry ∂x

A harmadik esetben

45

Rxz ∂ z Ry ∂z

.

(2.4.15)

xy

R yz

σ yz =

1

y⋅ ∂ z Ry ∂x Az elsı rugalmasság,

yz

Rxy ∂ z Ry ∂y

.

(2.4.16)

σ yz szimmetrikus y -ra és z -re nézve, és a közönséges helyettesítési

rugalmasságot méri Y és Z között (X mennyisége rögzített). A másik két rugalmasság új és lehetnek negatívak vagy pozitívak;

xz

σ yz méri a helyettesítési rugalmasságot Y és Z között ha

e két jószág közötti viszony változik az X Z-ért való helyettesítésének következtében, Y mennyisége rögzített. Hasonló igaz

xy

σ yz -ra. Hasonlóan három rugalmasság van, ha Y-t

külön tekintjük XZ-tıl és további három, ha Z-t külön tekintjük XY-tól. Tizenkét mérıszámot, azaz tizenkét háromváltozós valós függvényt lehet definiálni az egyéni preferenciák komplexuma leírásához, melyeket három csoportba lehet osztani: (1) Helyettesítési rugalmasság X és YZ pár között =

és két hasonló rugalmasság

(2) Y és X

σ és xz σ xz

σ , yz σ yz

σ . Mindhárom rugalmasság pozitív. xy σ xy

Z-vel szembeni keresztárrugalmassága =

keresztárrugalmassága =

σ ; Z és X Y-al szembeni σ xz yz

σ . Ezek a rugalmasságok lehetnek pozitívak vagy negatívak. xy σ yz

További négy hasonló keresztárrugalmasság:

σ ; yz σ xz

σ ; xy σ xz

σ és yz σ xy

σ . xz σ xy

(3) Jövedelemváltozási együtthatók:

∂ y R yz ∂y x ρx = y z Rx Rx ∂ R z x ∂y

∂ y Rx xz ∂z ; ρy = − y z ∂ z R x Rx Rx ∂z

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

∂ y Rx xy ∂z ; és ρ z = y z ∂ z Rx Rx Rx ∂z

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

∂ y Rx ∂y . ∂ z Rx ∂y

Ezek az együtthatók a (2.5.9)-ben szereplı pozitív harmadrendő determináns elsı sorához tartozó elıjeles aldeterminánsainak pozitív számszorosai. Ebbıl következik, hogy mindegyik nem lehet negatív; mindegyik pozitív „normális” esetben, és egy vagy kettı negatív „kivételes” esetben.

46

Az egyéni keresleti függvények. Ha az egyén adott M pénzjövedelmét három termékre, X-re, Y-ra és Z-re költi adott p x , p y és p z változatlan piaci árak mellett, akkor az egyensúlyi vásárlási mennyiségei a következı egyensúlyi feltételekkel adottak: xp x + yp y + zp z = M és

1 Rxy Rxz = = px p y pz

(2.4.17)

Ha a közömbösségi felület rendszer létezik, ezek az egyenletek megfelelnek annak a grafikus feltételnek, hogy az egyén egyensúlyi vásárlásait annak a pontnak a koordinátái adják, ahol az XYZ térben az adott ár-sík ( xp x + yp y + zp z = M ) érint egy közömbösségi felületet. A (2.4.17) egyenletek elegendık ahhoz, hogy x -t, y -t és z -t meghatározzuk M, p x , p y és p z függvényeként – tehát az egyéni keresleti függvényeket. Ezek a függvények egyértékőek, mivel a (2.4.13) feltételbıl következik, hogy egyetlen egyensúlyi helyzet létezik minden M, p x , p y és p z sorozat esetén.

A teljes jövedelem X-re, Y-ra és Z-re költött arányát jelöljük κ x =

κz =

yp y xp x ,κ y = és M M

zp z -vel (ahol κ x + κ y + κ z = 1) . Jelöljük a következı determinánst D-vel: M

px

D=

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

py ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

pz

∂ y Rx . ∂z ∂ z Rx ∂z

A fent definiált rugalmasságok és együtthatók értékei egyensúlyi helyzetben:

47

µ( 1 − κ x ) p z

  yz py µ p y pz 1 σ= ; yz σ yz = stb.  py pz  xyz p x2 D  ∂ z ∂ z Ry Ry  ∂y ∂z   µκ x p z µκ x p z −  xz p y xy p y  ; xy σ yz = stb. xz σ yz = px pz px py  ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z  Ry Ry Ry Ry  ∂x ∂z ∂x ∂z  2 2 2 yzp x xzp x xyp x  ρx = Dx ; ρ y = Dy ; ρ z = Dz  p y pz p y pz p y pz     −

(2.4.18)

ahol Dx , D y és Dz a D elsı sorának elıjeles aldeterminánsai. A keresleti függvények változásának problémáját a jövedelem vagy az árak változásakor a kéttermékes esetben alkalmazott módszerrel kezeljük. (a) A kereslet jövedelem-rugalmasságai. Jelöljük a keresleti függvények három jövedelemrugalmasságát a következıképpen: E M ( x) =

M ∂y M ∂x M ∂z ; EM ( y) = ; EM ( z) = . x ∂M y ∂M z ∂M

Differenciálva (2.4.17)-et M szerint, a kapott egyenletrendszert Cramer-szabállyal megoldva, és a (2.4.18) egyensúlyi értékeket felhasználva kapjuk, hogy (F2.3 függelék) E M ( x) = σ ⋅ ρ x ; E M ( y ) = σ ⋅ ρ y ; E M ( z ) = σ ⋅ ρ z

(2.4.19)

(F2.6) elsı egyenletébıl a jövedelem-rugalmasságok közötti összefüggést kapunk, és innen

ρ x , ρ y és ρ z közötti összefüggést: κ x E µ ( x) + κ y E µ ( y ) + κ z E µ ( z ) = 1 κ xρx + κ y ρ y + κ z ρz =

1

σ

  

(2.4.20)

Ebbıl következik, hogy mindhárom jövedelem-rugalmasság nem lehet negatív. „Normális” esetben mindegyik pozitív, „kivételes” esetben egy vagy két jövedelem-rugalmasság negatív. (b) A kereslet árrugalmasságai. Jelöljük a kereslet p x -rugalmasságait a következıképpen:

E px ( x) = −

p x ∂x p ∂y p ∂z ; E px ( y ) = − x ; E px ( z ) = − x . x ∂p x y ∂p x z ∂p x

48

Ezekre a rugalmasságokra a következık adódnak (F2.3 függelék):

σ . yz σ yz

(2.4.21)

σ σ és E px ( z ) = κ x Eµ ( z ) + κ x . xy σ yz xz σ yz

(2.4.22)

E px ( x) = κ x E µ ( x) + (1 − κ x ) E px ( y ) = κ x E µ ( y ) + κ x

Hasonló eredményeket kaphatunk a kereslet p y -rugalmasságára és p z -rugalmasságára. Összefoglalva:

σ   yz σ yz  σ  E px ( y ) = κ x E µ ( y ) + κ x  σ  xz yz  σ E px ( z ) = κ x E µ ( z ) + κ x  xy σ yz 

E px ( x) = κ x E µ ( x) + (1 − κ x )

(2.4.23)

és két hasonló egyenlethármas  (F2.8) elsı egyenletébıl következik, hogy

κ x E px ( x) + κ y E px ( y ) + κ z E px ( z ) = κ x és két hasonló összefüggés innen (1 − κ x )

σ σ σ +κ y +κ z yz σ yz xz σ yz xy σ yz

és két hasonló összefüggés Mivel

σ > 0 , ezért yz σ yz

σ és xz σ yz

   = 0   

(2.4.24)

σ mindegyike nem lehet pozitív. Vagy mindkét xy σ yz

rugalmasság negatív, vagy az egyik negatív, a másik pozitív. Számos fontos következtetést lehet levonni (2.4.23)-ból. Az E px ( x) árrugalmasság csaknem minden esetben pozitív. A jószág iránti kereslet nı, ha csökken az ára. Azonban kivételes esetben az E px ( x) árrugalmasság lehet negatív, és a jószág iránti kereslet nıhet áremelkedéskor feltéve, hogy a jószág keresletének jövedelem-rugalmassága negatív és nagy a helyettesítési hatáshoz viszonyítva. Az egyik jószág árának változásának hatása egy másik jószág keresletére bonyolultabb. A (2.4.23) eredményeiben a második tag jelöli a helyettesítési hatást. Az X árának esésébıl következı helyettesítési lehetıség növeli vagy csökkenti az Y iránti keresletet aszerint, hogy Y és X Z-vel szembeni keresztárrugalmassága pozitív vagy negatív. Negatív keresztárrugalmasság azt jelenti, hogy Y versenyez X-el Z-vel szemben, és pozitív rugalmasság pedig azt, hogy Y kiegészíti X-et Z-vel szemben. A kiegészítı esetben mind az

49

X iránti, mind az Y iránti kereslet nı a Z iránti kereslet rovására (eltekintve a reáljövedelem változás hatásától). Ez az, amiért csak versenyzı javak lehetségesek a kéttermékes esetben. Mivel Y és X keresztárrugalmassága és Z és X keresztárrugalmassága nem lehet egyszerre pozitív, ezért lehetetlen, hogy mind Y, mind Z kiegészítse X-et. Fontos megjegyezni, hogy ezek a versenyzı és kiegészítı relációk csak az egyéni preferenciakomplexum mérıszámaitól függnek, és nem a piaci áraktól vagy feltételektıl.

Az integrálhatóság esete

Az integrálhatóság matematikai feltétele megszorításokat szab R xy -ra és R xz -re. A feltétel: ∂ y ∂ z ∂ ∂ Rx − Rx + Rxy Rxz − Rxz Rxy = 0 . ∂z ∂y ∂x ∂x

(2.4.25)

Feltéve, hogy a feltétel teljesül, létezik egy u = F {φ ( x, y, z )} hasznossági indexfüggvény, ahol

φ ( x, y, z ) a (2.5.8) egy integrálja és F egy tetszıleges függvényt jelöl. φ ( x, y, z ) parciális deriváltjait φ x , φ y és φ z -vel jelölve kapjuk, hogy R xy =

φy φ és R xz = z . φx φx

Az elızı szakasz eredményeit ki lehet fejezni φ ( x, y, z ) függvény és elsı- illetve másodrendő parciális deriváltjai segítségével, nem felejtve el, hogy φ x , φ y és φ z hányadosai meghatározottak.

2.4.2.2 A kereslet stabilitása

A Reconsideration of the Theory of Value címő cikkben a stabilitási feltételek nincsenek teljesen kifejezve, ezért ezt Allen 1949-es könyve55 alapján vizsgáljuk meg. Feltételezzük, hogy R xy és Rxz parciális deriváltjai folytonosak. A közömbösségi felület (2.4.12) differenciálegyenlete nem szükségképpen integrálható és nem tételezzük fel, hogy egy hasznossági függvény vagy egy teljes közömbösségi felület-rendszer létezik.

55

R. G. D. Allen: Mathematical Analysis for Economists. Macmillan, London, 1949.

50

Ha adott a jószágok p x , p y és p z árai és a fogyasztó M jövedelme, akkor a fogyasztó vásárlásainak ki kell elégíteni a költségvetési egyenletet ( xp x + yp y + zp z = M ) és az ( x, y, z ) vásárlások bármely változásaira teljesülni kell a következı egyenletnek: p x dx + p y dy + p z dz = 0 .

(2.4.26)

Ha Y és Z vásárlásai dy -al illetve dz -vel nınek, akkor X vásárlásának szükséges csökkenése: (−dx) sz =

py

dy +

px

pz dz . px

(2.4.27)

A (2.4.12) közömbösségi egyenlet mutatja, hogy a kompenzáló csökkenés: (−dx) k = R xy dy + R xz dz .

(2.4.28)

Ha a szükséges csökkenés kisebb, mint a kompenzáló csökkenés, akkor a fogyasztó hajlamos növelni vásárlásait Y-ból és Z-bıl. Fordítva, ha a szükséges csökkenés nagyobb, mint a kompenzáló csökkenés, akkor a fogyasztó hajlamos csökkenteni vásárlásait Y-ból és Z-bıl. A fogyasztói választás egyensúlya csak akkor lehetséges, ha dy és dz minden értékére a szükséges és a kompenzáló csökkenés egyenlı. Ezért az egyensúly szükséges feltételei: R xy =

py px

és R xz =

pz . px

(2.4.29)

Hogy a kereslet stabilitását megvizsgáljuk, tegyük fel, hogy az Y és Z vásárlásainak

 py  p dy és dz növekményei egyensúlyi helyzetbıl indulnak az X szükséges  dy + z dz  px   px csökkenésével együtt. A helyettesítési határráták új értékei megközelítıleg ( Rxy + dRxy ) és ( Rxz + dR xz ) .Most tegyük fel, hogy az új vásárlásokból egy pontosan hasonló változás megy végbe. Az eredeti vásárlások stabilak Allen szerint, ha a második változás nem válik azzá, azaz ha

X kompenzáló csökkenése kisebb, mint a szükséges csökkenés. Ezt a feltételt

felhasználva kapjuk a stabilitási feltételeket (F2.4 függelék):

1 ∂Rxy ∂x

1 Rxy ∂Rxy y ∂Rx < 0 és ∂x ∂y ∂Rxz ∂x

51

Rxy ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y

Rxz ∂Rxy > λ2 , ∂z ∂Rxy ∂z

(2.4.30)

1  2 

λ =  Rxy

ahol

∂R xz ∂R y   ∂R y ∂R z  − R xz x  +  x − x  . ∂x ∂x   ∂z ∂y 

(2.4.31)

Jegyezzük meg, hogy az integrálhatósági feltétel teljesülésekor λ = 0. Mivel d (dx + R xy dy + R xz dz ) = dR xy dy + dR xz dz , ezért (2.4.13)-ban a d (dx + R xy dy + Rxz dz ) < 0 feltétel azonos az (F2.18) feltétellel. Tehát az F2.4 függelékben leírtak alapján világos, hogy a (2.4.13) feltétel a Reconsideration-ban nem helyes. Allen a Foundations-ban ezt a feltételt a következıképpen vezeti le: A d (dx + R xy dy + R xz dz + ...) < 0 , azaz

∂Rxy ∂R y ∂R y ∂R z ∂R z ∂R z dxdy + x (dy ) 2 + x dydz + ... + x dxdz + x dydz + x (dz ) 2 + ... < 0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z azzal a feltétellel, hogy dx + Rxy dy + Rxz dz + ... = 0 ekvivalens azzal, hogy a 0

1

Rxy

Rxz

...

1

0 ∂Rxy ∂x ∂Rxz ∂x M

0 ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y M

0 ∂Rxy ∂z ∂Rxz ∂z M

...

R

y x

Rxz M

...

(2.4.32)

...

O

determináns, azaz a

1 ∂Rxy ∂x ∂Rxz ∂x M

Rxy ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y M

Rxz ∂Rxy ∂z ∂Rxz ∂z M

... ... (2.4.33) ... O

determináns egymást követı fıminorai váltakozva pozitívak és negatívak, azaz

1 ∂Rxy ∂x

1 R ∂Rxy ∂R < 0 ; ∂x ∂y ∂Rxz ∂x y x y x

Rxy ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y

Rxz ∂Rxy > 0 ; stb. ∂z ∂Rxz ∂z

A hiba abból származik, hogy a (2.4.32) determináns helytelenül van felírva.

52

(2.4.34)

2.4.3. A közömbösségi görbék rendszerének bírálata

A fejezet elején már leírtuk, hogy Hicks és Allen szerint a helyettesítési határráta az X és Y határhasznának hányadosa. Tehát Hicks és Allen sem tudott elszakadni a határhaszon fogalmától. A hasznossági indexfüggvény deriváltját értelmetlen határhaszonnak nevezni, mert az indexfüggvény növekménye nem haszonnövekményt fejez ki a fogyasztás infinitezimális változása esetén. Sajnos ez a következetlenség megtalálható a modern mikroökonómiai tankönyvekben is. Például Varian a tankönyvében56 hasznossági indexfüggvény helyett hasznossági függvényrıl beszél, és ennek parciális deriváltjait nevezi határhaszonnak. Varian azonban hangsúlyozza, hogy a határhaszon nagysága a hasznosság mértékétıl függ, és a határhaszonnak önmagában nincs közgazdasági tartalma. Hicksnek és Allennek (és a modern irodalomban is) azt kellett volna hangsúlyozni, hogy ha a hasznossági indexfüggvény értékeinek konkrét hasznosságértéket tulajdonítunk a kardinális elméletnek megfelelıen, akkor az ordinális elméletben nyert optimalitási feltétel megegyezik Gossen II. törvényével. Hicks az Érték és tıkében57 a fogyasztóról csak azt tételezi fel, hogy a különbözı jószágkombinációkat összhasznosságuk szerint rangsorolni tudja. Ez azt jelenti, hogy a fogyasztó a kardinális elmélethez hasonlóan mégiscsak ki tudja fejezni a hasznosságot tıszámokkal, ami alapján rangsorolja a jószágkombinációkat. A különbség annyi, hogy a kardinális elméletben egy jószág hasznosságát fejezték ki a mennyiség függvényében, az ordinális elméletben a fogyasztó a jószágkombinációkhoz rendel hasznosságértékeket. Hicksnek egy elvet kellett volna kidolgoznia, amely szerint a fogyasztó sorba rendezi a jószágkombinációkat anélkül, hogy bármilyen számot rendelne a jószágkombinációkhoz. Például a következı módszer alkalmasnak tőnik, bár erre nem lehetne egy matematikai elméletet alapozni: két jószágkombináció a fogyasztó számára közömbösségi viszonyban áll, ha azon a kérdésen tíz másodpercnél többet gondolkodik, hogy melyik jószágkombinációt preferálja. Ez a módszer még a közömbösségi görbék folytonosságát sem garantálná, sıt még azt sem, hogy a fogyasztó következetesen rangsorol. A fogyasztó csak akkor tud racionálisan rangsorolni, és a közeli jószágkombinációkat elkülöníteni egymástól, ha egyértelmő számára (a mennyiség illetve a hasznosság alapján), hogy melyik elégíti ki jobban a szükségletét. 56

H. R. Varian: Mikroökonómia középfokon. Egy modern megközelítés. KJK – KERSZÖV, Budapest, 2001. 56. old. 57 J. R. Hicks: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1978.

53

Tehát Pareto és Hicks Edgeworth-hoz hasonlóan hasznossági függvénybıl származtatta a közömbösségi görbék rendszerét, és nem a közömbösségi görbék rendszerébıl a hasznosságiindexfüggvényt. Hicks és Allen a Reconsideration- ban58 nem a közömbösségi görbék rendszerébıl indult ki, hanem abból, hogy minden pontban ismert a helyettesítési határráta. Hicks és Allen valamely Y termék helyettesítési határrátáját egy másik X termék szerint úgy definiálták, mint Y termék azt a mennyiségét, amely kompenzálhatja a fogyasztót az X egy marginális egységének elvesztéséért. Itt felvetıdik a probléma: mi alapján dönti el a fogyasztó, hogy Y milyen mennyisége kompenzálja X egy marginális egységének elvesztéséért. A fogyasztónak pontosan

tudnia

kell

az

X

marginális

egységének

elvesztésébıl

származó

hasznosságcsökkenést, és Y növelésébıl származó hasznosságnövekményt, azaz pontosan számolnia kell X és Y határhasznaival. Tehát a fogyasztónak itt is ki kell tudni fejezni a jószágok hasznosságát tıszámokkal. Tehát megállapíthatjuk, hogy az ordinális elmélet képviselıinek nem sikerült megoldani a kardinális elmélettel szemben felvetett problémát, hogy a hasznosság nem mérhetı. A hasznosság mérhetıségének feltételezését a kinyilvánított preferencia-eljárás alkalmazásával lehet mellızni, amelyet Samuelson dolgozott ki elsıként59. Ez az eljárás a fogyasztó által ténylegesen megvásárolt jószágkombinációkból próbálja megszerkeszteni a közömbösségi görbéket, és nem tételezi fel a fogyasztóról, hogy rangsorolni tudja a jószágkombinációkat. Azonban ez az eljárás is feltételezi, hogy a fogyasztó következetesen választ. Mátyás Antal szerint ennek az eljárásnak az a hátránya, hogy hosszú idın keresztül kell a fogyasztó vásárlásait nyomon követni, és hosszú távon megváltoznak a fogyasztó preferenciái. Hicks és Allen a Reconsideration- ban nem foglalkozott a tökéletes helyettesítı és tökéletes kiegészítı jószágok esetével. Hicks és Allen ezeket az eseteket nem tudták az elméletükbe integrálni. A mai szakirodalomból tudjuk, hogy ezekben az esetekben nem érvényes az általános egyensúlyi feltétel60. Hicks és Allen ezt úgy küszöböli ki, hogy olyan feltételeket írnak elı a helyettesítési határrátára vonatkozóan, amelyek mellett az egyensúlyi probléma egyértelmően megoldható. Hicks és Allen elméletük gyakorlati alkalmazhatóságával egyáltalán nem törıdtek. Kizárták az elemzésükbıl a nem osztható termékeket, nem adták meg, hogy milyen termékek 58

J. R. Hicks – R. G. D. Allen: A Reconsideration of the Theory of Value, Economica, 1934 február, május. Mátyás A.: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaság-tudományi Egyetem. 1999. 150. old. 60 H. R. Varian:i. m. 83. old. 59

54

alkotják a fogyasztó által választható jószágkombinációkat. Elvileg a fogyasztó a piacon található több százezer termék közül választhat, amelyek legtöbbje nem osztható, és amelyek közül a fogyasztó egy hosszabb idıszakot figyelembe véve is csak maximum egyet választ (például lakás, autó, tartós mőszaki cikk). Hicks és Allen azt sem tisztázta, hogy a különbözı termékvariációkat hogyan kell figyelembe venni a jószágkombinációk képzése során. A fogyasztó igazi döntési problémája az, hogy adott jövedelmét a termékfajták között szétossza, és az egyes termékfajtán belül a számos termékvariáció közül válasszon. Ezért a valósághoz közelebb áll Kelvin Lancaster által kidolgozott úgynevezett karakterisztikai modell.61 Ez a modell arra keres választ, hogy milyen tulajdonságokat preferálnak a fogyasztók, mi alapján választanak a különbözı termékvariációk közül. Lancaster feltételezte, hogy a fogyasztó számára nem a termék, hanem a benne levı tulajdonságok (karakterisztikák) jelentik a hasznosságot. E modell szerint a fogyasztó elosztja jövedelmét a fıbb termékfajtákra, és az egyes termékfajtán belül kiválasztja a karakterisztikák alapján a konkrét terméket.

61

K. Lancaster: A New Approach to Consumer Theory. Journal of Political Economy 84. (1966) 132 – 157. old. K. Lancaster : Modern Consumer Theory. Columbia University, New York, Edward Elgar. 1991.

55

3. Az egyensúlyelmélet 3.1 Walras egyensúlyelmélete Az egyensúly fogalma és a korabeli természettudományok szemléletmódja áthatotta a klasszikus közgazdászok munkáit. Az egyensúly fogalma a mechanikában jóval a „Nemzetek gazdasága” 1776. évi megjelenése elıtt ismert volt, de arra nincs bizonyíték, hogy Smith a mechanikával vont bármilyen analógiát felhasznált volna mőve megírásakor62. Azonban egyik klasszikus közgazdász elmélete sem tekinthetı általános egyensúlyelméletnek, ugyanis egyikben sem szerepeltek a keresleti tényezık. Egyes közgazdák, mint például Mill, felismerték a kereslet szerepét és az árak keresletre gyakorolt hatását, de alapvetıen a kínálattal foglalkoztak elméletükben, és nem hozták kapcsolatba a keresletet a kínálattal. Az általános egyensúlyelmélet a jószágok árával és mennyiségével egyaránt foglalkozik, azonban a klasszikus szerzık szerint az árakat olyan összefüggések határozzák meg, amelyek függetlenek a mennyiségektıl. Cournot, a matematikai közgazdaságtan elsı igazi képviselıje, és a neoklasszikus közgazdászok (például Marshall) már alkalmazták elemzéseikben az egyetlen piacra vonatkozó parciális egyensúlyi elemzést, ahol a termék kereslete és kínálata csak a termék saját árának függvénye, és az egyensúlyi ár az az ár, amely mellett a termék kereslete megegyezik a termék kínálatával. Ez a parciális egyensúlyi elemzés az általános egyensúlyi elemzés elsı megközelítése volt, ahol a többi piac hatását még nem vették figyelembe. Már Cournot felismerte, hogy a gazdaságban minden mindennel összefügg, azonban arra nem vállalkozott, hogy kidolgozzon egy általános egyensúlyt leíró összefüggésrendszert. Cournot még nem fogalmazta meg a határhaszon-törvényt, bár maga az elv már egészen tisztán lebegett szemei elıtt. Ezt a törvényt Jevons fogalmazta meg, aki ezzel az árelméletnek nagy lendületet adott, mert kifejtette, hogy e törvény az egyének piaci viselkedésén keresztül miképpen vezet a piaci egyensúlyhoz. Minden egyén egyéni gazdaságának az egyensúlyát igyekszik a cserelehetıségek felhasználásával biztosítani, azaz a haszonmaximum elérésére törekszik. Ezt a cserealkalmak figyelembevételével akkor éri el, ha már nem áll rendelkezésére olyan jószág vagy pénzmennyiség, amelyet kicserélve, magának haszonnövekedést biztosíthatna. Egy piacon ugyanannak az árunak csak egy ára lehet, mert a legnagyobb haszon elérésére törekedve, senki sem lesz hajlandó valamiért többet 62

K. J. Arrow: Egyensúly és döntés. Válogatott tanulmányok. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1979. 49. old.

56

fizetni, mint versenytársai, vagy kevesebbért eladni, mint mások. Ezt Jevons „law of indifference”-nek nevezte63 és tisztában volt azzal, hogy ez csak egy teljesen tökéletes, vagyis ideális piacon érvényesül pontosan. Jevons elmélete kifejtése során nagy súlyt helyezett arra, hogy a javak értékelésekor a belılük rendelkezésre álló mennyiséget kell figyelembe venni. Jevons megállapítása szerint minden egyén az egyes javakból oly mennyiséget szerez meg, amelynek határhaszna egyenlı az árral, vagyis az áruból megszerzett mennyiség utolsó egységének haszna egyenlı az érte fizetett pénzösszeggel. Jevonstól függetlenül Léon Walras is arra az eredményre jutott, hogy az egyének addig cserélnek, amíg az ár nem arányos a vásárolt mennyiségek határhasznával. Walras azonban több tekintetben kiegészítette az árelméletet. Walras abból indult ki, hogy a piacon minden összefügg mindennel. Például valamely jószág árának változása hat más javak keresletére s azon keresztül azok árára is. Egy-egy jószág kereslete tehát valamennyi más jószág árának is függvénye. De a kereslet függ a fogyasztó jövedelmétıl is, ami a termelési tényezık ára. A kereslet szerkezetének változásával a termelés szerkezete is megváltozik, és megváltozik az egyes javak termeléséhez szükséges termelési tényezık kereslete és így azok ára is, tehát a fogyasztó jövedelme, ami viszont visszahat a fogyasztási javak keresletére. Walras a parciális egyensúly fogalma helyett az általános egyensúly fogalmára alapította az árelméletet, tehát a gazdasági egyensúly fogalmát szélesítette ki ez által. Walras nemcsak az általános egyensúly fogalmát dolgozta ki az árelméletben, hanem fontos kiegészítéssel is gazdagította az egyensúlyi elméletet. Jevons az áralakulás és a szubjektív értékelmélet közötti kapcsolatot dolgozta ki, de nem foglalkozott az árelmélet és a termelés kapcsolatával. Walras a költségtörvényt beiktatta az új árelméletbe, így a termelést bekapcsolta az áralakulás magyarázatába. Walras szerint egyensúlyi helyzetben a piacon lévı versenynél fogva a fogyasztási javak ára nem lehet sem magasabb, sem alacsonyabb, mint termelési

költségük.

Egyenletrendszerét

csupán

a

termelési

egyenletekkel

kellett

kiegészítenie, melyek azt fejezik ki, hogy a piacra kerülı áruk ára egyenlı a termelési költségükkel. Ezzel Walras a termelés elméletének az alapját is megvette. Amellett, hogy a termelés mennyiségének az ártól való függését vette alapul, Walras figyelme arra is kiterjedt, hogy a termelési költségek megállapításánál nem egyszerően a termelési javak ára szerepel, mert a 63

Heller F.: A közgazdasági elmélet története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem. 2001. 142. old.

57

termelési tényezıket a termelés technológiai követelményeibıl kifolyólag meghatározott arányokban kell a termeléshez felhasználni. Ezeket az arányszámokat Walras termelési együtthatóknak nevezte; az irodalomban gyakran technikai együtthatók néven is szerepelnek. A fentieket figyelembe véve Walrast jogosan tekintik a modern általános egyensúlyelmélet megalapítójának. Walras a határhaszon elvre általános egyensúlyi modellt épített, melyet egyenletek és ismeretlenek rendszerével fejezett ki. A gazdasági elemzés matematikai eszközeit a szimultán egyenletek rendszerével64 gazdagította. Gondolati keretként a kezdetektıl fogva használták a közgazdászok az egyensúly fogalmát. De Walras volt az, aki következetesen erre építette elméletét, és fı mővének65 egymás utáni újabb kiadásaiban ı fogalmazta meg elsıként az általános egyensúly teljes körő matematikai modelljét. Ahogy Schumpeter kifejezte: „Walras a legnagyobb közgazdász véleményem szerint. A gazdasági egyensúly általa alkotott rendszere, egyesítve a „forradalmi” alkotókészséget a klasszikus szintézis tulajdonságával, az egyetlen olyan, közgazdász által létrehozott munka, amely összehasonlítható az elméleti fizika eredményeivel.”66 Walras fı érdeme nem annyira a kifejtésnek az újszerősége volt, hanem az, hogy elméletét a kölcsönös összefüggések matematikai rendszerében fejtette ki. Walras világosan tudatában volt annak, hogy elmélete lényegében rokonságban volt Jevons és Menger elméletével, amennyiben a fogyasztási javak árait a fogyasztók szükségleteibıl, a termelési tényezık árait pedig a fogyasztási javak elıállításában való részvételükbıl vezette le. Walras saját teljesítményét a tiszta gazdasági elmélet terén elsısorban abban látta, hogy a hasznossági függvényekbıl a keresleti függvényeket levezette, és bizonyította, hogy a szabad verseny bizonyos tekintetben egyúttal haszonmaximáló. Míg a piaci egyensúlyi állapot a klasszikus közgazdászok számára még csak többnyire a gazdaság kívánatos állapotát jelentették, Walras és kortársai számára már „empirikus evidenciává” váltak. Ebbıl adódóan Walras az elemzéseiben rendre feltette, hogy a vizsgált gazdaság az egyensúly állapotában van, az egyensúly fennállása ex post modelljének kiinduló hipotézise volt. Walras fımőve egymásra következı fejezeteiben, amiket leckéknek nevez, az általános egyensúly-elméletet több lépésben építette fel: a két árura vonatkozó cserérıl áttér a 64

Modellek, amelyek megkísérlik megmagyarázni a gazdaság mőködését egyenletek egymással összefüggı rendszere által, amelyek a gazdasági változók közötti feltételezett technikai és magatartási kapcsolatokat írják le. 65 L. Walras: Éléments d’économie politique pure. Lausanne, Paris, Basle. 1874. Angolul: L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 66 J. Schumpeter: Geschichte der ökonomischen Analyse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen. 1965. 1010. old.

58

több áru cseréjére, majd bevezeti a termelést, a tıkeképzıdést, a hitelt, végül a pénzforgalmat. Ár- és egyensúlyelmélete az árak és mennyiségek tökéletes piaci információ melletti szimultán meghatározódásán alapul, a gazdaságot a kölcsönös függés, az interdependencia jellemzi A fogyasztási javak keresleti függvényébe a fogyasztási javak árai mellett belekerül a fogyasztók jövedelme, azaz a termelési szolgálatok ára is, és így részt vesz a fogyasztási javak keresletén keresztül a fogyasztási javak árának meghatározásában. A termelési szolgálatok iránti keresletet viszont befolyásolják az egyes fogyasztási javak árai, melyektıl függ, hogy milyen mértékben bıvítik a fogyasztási javak termelését s keresik a szükséges termelési szolgálatokat. Így a fogyasztási javak árai is hozzájárulnak a termelési szolgálatok árainak meghatározásához. Az áruk és a termelési tényezık szolgáltatásainak piacán akkor lesz egyensúly, ha 1. a kereslet és kínálat minden részpiacon megegyezik egymással, és 2. minden áru ára megegyezik termelési költségével. Ez a feltétel voltaképpen a nulla-profit feltételezését is jelenti. A gazdaságban lezajló cserefolyamat tatonnement révén, azaz közelítési folyamatban jön létre. Az iterációs folyamat lebonyolítását a tökéletes és ingyenes információt biztosító árverezı metaforájával oldja meg. A Walras-féle általános egyensúlyi modell szereplıi a háztartások és vállalatok. A háztartások a termelési szolgálatok piacán kínálják a vállalkozóknak a tulajdonukban lévı termelési tényezı, a munka, a tıke, a föld szolgálatát. A háztartások tulajdonukban lévı termelési tényezık eladásából jövedelemre tesznek szert, e jövedelmet használják fel adott határhaszon-függvények és az adott árak mellett különbözı fogyasztásicikk-kombinációk vásárlására. Ezeknek a kombinációknak a költsége adott árak mellett nem haladja meg a jövedelmüket. A fogyasztási cikkekre irányuló kereslet függ a fogyasztási cikkek és a termelési tényezık árától is. A vállalkozó viszont keresi a termelési szolgálatok piacán a különbözı termelési tényezık szolgálatát, segítségükkel fogyasztási cikkeket termel, s kínálja ıket a fogyasztási javak piacán. Az erıforrások kereslete származtatott kereslet, a fogyasztási cikkek kereslete határozza meg. A fogyasztási javak árai és az erıforrások árai közötti összefüggés az adott technika által meghatározott ráfordítási koefficiensek ismerete és a nulla-profit feltételezése alapján teremtıdik meg. Az egyensúlyi árrendszer olyan árak halmaza, amelyek minden piacon egyenlıvé teszik a keresletet és a kínálatot. Ez igaz az erıforrások piacára is. Ott a kereslet és kínálat egyensúlya olyan áron teremtıdik meg, amely kielégíti a vállalatokra vonatkozó nulla-profit feltételezését. A modell matematikai ábrázolása és az egyensúlyi megoldás érdekében Walras 59

– feltételezi, hogy a vállalkozó csak közvetít, de magának nincs jövedelme. – eltekint a gazdasági folyamatok idıbeni alakulásától. – konstans technikai koefficiensekkel operál (e feltevést mőve 3. kiadásában oldotta csak fel). – eltekint az állandó költségektıl, amelyek függetlenek a termelés volumenétıl. – feltételezi, hogy az iparág minden vállalata azonos terméket visz a piacra, és költségeik is azonosak. – feltételezi, hogy a termelési tényezık szolgálatai alkalmasak arra, hogy a tulajdonosaik közvetlenül is elfogyasszák. A Walras-modell adottságai: 1.) a termelési tényezık rendelkezésre álló mennyisége, T , P, K (T: föld, P: emberi tıke, K: tıkejavak67, szolgálatuk kínálata viszont az utolsó feltételnek megfelelıen változhat; 2.) a hasznossági függvény minden egyes fogyasztási jószágra vonatkozóan, tehát az, hogy határhasznuk miként alakul mennyiségük változásával, továbbá a hasznossági függvényt minden termelési szolgálatra nézve; 3.) a technikai koefficiensek minden egyes termékre nézve. A modell korábbi változatai merev technikai koefficienseket tételeztek fel, vagyis azt feltételezték, hogy a termelési függvény homogén és lineáris. A modell feltételezi a tökéletes versenyt, tehát azt, hogy a piaci szereplık árelfogadók, vagyis az ár nagyságán egymaga senki sem képes változtatni. Walras ezekbıl az adottságokból vezeti le azokat az egyenleteket, amelyek révén az ismeretleneket meghatározza. Walras az egyik terméket numeraire-nek, ármércének választotta, amelynek árát 1-nek vette, és a többi termék és a termelési tényezık árát ebben fejezte ki. Matematikailag m − 1 fajta áru és n fajta termelési tényezı árait és m fajta áru és

n fajta termelési tényezı keresett-kínált mennyiségeit kívánta Walras meghatározni. Ezekre az ismeretlenekre 2m + 2n egyenletet írt fel Walras. Tehát az egyenletek száma eggyel több, mint az ismeretlenek száma. Azonban az egyenletek nem függetlenek, az egyik kifejezhetı a többibıl.

3.1.1 A csere elmélete két termék esetére

Elıször tekintsük a piaci egyensúly grafikus elemzését. Walras a piaci egyensúly vizsgálatát azzal az egyszerő esettel kezdte, amelyben csak két termék van, (A) és (B) és az 67

L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 237. old.

60

emberek egyik csoportja olyanokból áll, akik az (A) termék bizonyos mennyiségét birtokolják, amelyet teljesen vagy részben el kívánnak cserélni a (B) termékért; az emberek másik csoportja csak a (B) terméket birtokolja, melyet el akarnak cserélni az (A) termékért. Mivel Walras a szabad verseny jelenségét kívánta vizsgálni, versenyzı vevık és versenyzı eladók tömegét tételezte fel. Legyen adva két csökkenı keresleti függvény Da = Fa ( p a ) és Db = Fb ( pb ) . Da jelöli a (B) terméket birtokló egyének (A) iránti teljes keresletét. Da a feltétel szerint folytonos és a pa ár csökkenı függvénye. pa a (B) termék azon mennyisége, melyet a cserében egységnyi (A)ért kell adni. Hasonlóképpen lehet definiálni Db -t, Fb -t és pb -t; pb ennélfogva reciproka pa -nak, vagy p a pb = 1 . A keresleti függvényeket adottnak tekintjük, és grafikonjuk mindkét koordinátatengelyt metszi; ez látható a 3.1 ábrán. Da

Db

Ad Bd A’

Da’

~ B’ L B

~ A

M ●

0

pa ’

~ pa

Ap

pa

(a)

0K

~ pb pb’ L’

Bp

(b) 3.1 ábra. Egyéni keresleti – kínálati görbe

Meg kell jegyeznünk, hogy Fa ( p a ) az (A) jószág azon mennyisége, amelyet a vevık hajlandóak megvenni, ha az uralkodó ár egyenlı pa -val. Ha (A) rendelkezésre álló mennyisége kevesebb, mint Fa ( p a ) , a vevık megpróbálják egymást túllicitálni. Másrészt, (A) rendelkezésre álló mennyisége, azaz a (B) termék vevıi által kínált mennyiség lehet nagyobb, mint Fa ( p a ) . Ebben az esetben úgy tekintjük, hogy az eladók alullicitálják egymást. Legyen pa′ tetszıleges értéke a pa árnak. Ekkor 0 Da′ az (A) teljes mennyisége, amit a vevık ennél az árnál hajlandóak megvenni. A 0 Da′ A′pa′ téglalap területe az 0 Da′ mennyiség értéke (B) jószágban kifejezve, vagyis egyenlı a cserében a (B) kínálatával. Tehát az AdAp görbe 61

pb

szimultán módon fejezi ki az (A) iránti keresletet és a (B) kínálatát az (A) (B)-ben kifejezett árának függvényeként. Hasonlóan a BdBp görbe szimultán módon fejezi ki az (B) iránti keresletet és a (A) kínálatát a (B) (A)-ban kifejezett árának függvényeként. Legyen pb′ olyan, hogy p a′ pb′ = 1 , és állítsunk a vízszintes tengely pb′ abszcisszájú pontjában a 3.1(b) ábrán egy függıleges szakaszt, amelynek hossza egyenlı a 0 Da′ A′pa′ téglalap területével. A legtöbb esetben a szakasz B ′ végpontja nem fog a BdBp keresleti görbére illeszkedni. Ha azonban a pa′ értéket olyannak választjuk, hogy a megfelelı B ′ pont a keresleti görbén fekszik, akkor

sajátos árat kaphatunk, amelyet ~ pa -al fogjuk jelölni és egyensúlyi árnak nevezni. A következı összefüggések érvényesek az egyensúlyi árra: F (~ p )~ p = F (~ p ), a

a

a

b

(3.1.1a)

b

~ pa ~ pb = 1 .

(3.1.1b)

A (3.1.1.a) bal oldala a (B) azon mennyisége, amelyet (A) vevıi – akik egyben (B) eladói – hajlandóak fizetni az (A) jószág F ( ~ p ) mennyiségéért ~ p ár mellett. Mivel ez a mennyiség a

a

a

egyenlı Fb ( ~ pb ) -al és ~ pa ~ pb = 1 , a csere végbemehet, mert (A) vevıi éppen annyi (B)-t kínálnak, mint amennyit (B) vevıi hajlandóak megvenni ~ pb = 1 / ~ p a áron. A fenti meggondolásokból következik, hogy az egyensúlyi árat a BdBp keresleti görbe és a „kínálati görbe” metszéspontjaként határozhatjuk meg. A kínálati görbét az AdAp keresleti görbébıl lehet megszerkeszteni a 0 Ap szakasz különbözı pa′ pontjaihoz tartozó B ′ pontok ábrázolásával. A kínálati görbe a KLM szaggatott vonal a 3.1(b) ábrán. A K pontot akkor kapjuk, ha pa egyenlı a 0 Ap szakasz hosszával; ebben az esetben a berajzolt téglalap a 0 Ap szakasszá válik, melynek nulla a területe. Az L pont a legnagyobb téglalapnak felel meg, és M egy olyan téglalapot tükröz, amelynél pa nagyon közel van 0-hoz a 3.1(a) ábra vízszintes tengelyén. Könnyen látható, hogy a kínálati görbe mindig a KLM görbéhez hasonló formájú, ha (A) keresleti görbéje folytonos és pa csökkenı függvénye és mindkét tengelyt metszi. Továbbá világos, hogy az (A) termék kínálati görbéje is létezik, amit be lehet rajzolni a 3.1(a) ~ ábrába; ez a kínálati görbe (A) keresleti görbéjét A pontban metszi, amelynek abszcisszája ~ p = 1/ ~ p . a

b

Hogy ezek a metszéspontok stabil egyensúlynak felelnek meg, következik a szabad verseny feltételezésébıl, mely többek között azt jelenti, hogy a vevık túllicitálják egymást túlkereslet esetén, és az eladók alullicitálják egymást túlkínálat esetén. Ezt a következıképpen lehet

62

megmagyarázni: ha például pb kisebb, mint ~ pb , akkor a (B) termék vevıi túllicitálják egymást, ez magasabb keresleti árat eredményez; az eladók növelik kínálatukat, így elkezdıdik egy mozgás ~ pb irányába. Ha az ár nagyobb ~ pb -nál, akkor az eladók alullicitálják egymást; a kereslet nıni fog, és újra elkezdıdik egy mozgás ~ pb irányába. A stabilitás kritériuma – amit Walras az Elements-ben már leírt68 – az, hogy a kínálati görbe úgy metssze a keresleti görbét, hogy a metszésponthoz közel a keresleti görbe a kínálati görbe felett haladjon, ha az ár kisebb a metszéspont abszcisszájánál, és a kínálati görbe alatt, ha az ár nagyobb a metszéspont abszcisszájánál. Vagy pontatlanabbul fogalmazva, a stabilitás kritériuma az, hogy a kínálati görbe alulról metssze a keresleti görbét.

Ezután tekintsük a csereelmélet algebrai megközelítését abban az általánosabb esetben, amelyben az egyén kezdeti birtokolt mennyisége (A)-ból és (B)-bıl nem nulla. Legyen x1 és y1 az (A) és (B) jószág pozitív vagy negatív mennyiségei, amelyeket az (1) egyén a kezdeti q a ,1 illetve qb ,1 mennyiségeihez hozzá akar adni. Ha x1 negatív, ez azt jelenti, hogy az (1) egyén a cserében lemond (A) bizonyos mennyiségérıl a (B) pozitív y1 mennyiségéért; ellenkezı esetben x1 egység (A)-t vesz és elad bizonyos (B)-t. Érvényesek a következık:

Jegyezzük

meg,

hogy

p a = 1 / pb .

y1 = − p a x1

(3.1.2a)

x1 = − pb y1

(3.1.2b)

Az

elızı

rész

következtetéseit

felhasználva

megállapíthatjuk, hogy az x1 és y1 mennyiségeknek a hasznosság-maximalizáláshoz teljesíteni kell a következıket:

φa ,1 (qa ,1 + x1 ) = paφb,1 (qb ,1 − pa x1 ) ,

(3.1.3a)

φb ,1 (qb,1 + y1 ) = pbφa ,1 (qa ,1 − pb y1 ) .

(3.1.3b)

pa olyan értékére, amelyre x1 negatív és abszolút értékben nagyobb, mint q a ,1 , az elsı egyenletet ki kell cserélni x1 = −q a ,1 -re, és ebben az esetben y1 értéke adott az y1 pb = q a ,1 egyenlet által. Hasonlóan, pb olyan értékére, amelyre y1 negatív és abszolút értékben

68

L. Walras: i.m. 66. szakasz

63

nagyobb, mint qb ,1 , a második egyenletet ki kell cserélni y1 = − qb ,1 -re, és ebben az esetben x1 értéke adott az x1 pa = qb,1 egyenlet által69. A (3.1.3a) és (3.1.3b) egyenleteket x1 -re és y1 -re megoldva kapjuk, hogy x1 = f a ,1 ( pa ) ,

(3.1.4a)

y1 = f b,1 ( pb ) .

(3.1.4b)

Hasonlóképpen a (2), (3), ... egyének keresleti függvényei: x2 = f a , 2 ( p a )

y 2 = f b , 2 ( pb ) ,

x3 = f a , 3 ( p a )

y 3 = f b , 3 ( pb ) ,

(3.1.5)

... Ismételten, xi kereslet a szokásos értelemben, ha xi > 0 , és kínálat (negatív kereslet), ha

xi < 0 . Most a piaci ár meghatározásának Walras-féle analitikus tárgyalásához jutunk. A teljes többletkereslet a következıképpen van definiálva:

X = x1 + x2 + x3 + ... = f a ,1 ( p a ) + f a , 2 ( p a ) + f a ,3 ( p a ) + ... = Fa ( p a )

(3.1.6)

Egyensúly – azaz a kereslet egyenlı a kínálattal mindkét piacon és az egyének maximalizálják hasznukat – akkor alakul ki, ha a piaci résztvevık döntéseiket ~ p árra alapozzák, mely a a

Fa ( pa ) = 0

(3.1.7)

egyenlet megoldása. Jegyezzük meg, hogy mivel yi = − p a xi , ezért

Y = y1 + y 2 + y3 + ... = f b ,1 ( pb ) + f b, 2 ( pb ) + f b,3 ( pb ) + ... = Fb ( pb ) = 0

(3.1.8)

ha pb = ~ pb = 1 / ~ pa . Hogy a ~ pa és a ~ pb = 1 / ~ p a árak valóban egyensúlyi árak, következik abból, hogy (A) teljes kereslete egyenlı a teljes kínálatával, és ugyanez érvényes (B)-re is; másrészt mindegyik egyéni keresleti és kínálati mennyiség olyan, hogy az egyéni teljes hasznosság maximális. Ezért a csere befejeztével mindegyik egyén (A) és (B) optimális mennyiségét fogyasztja.

3.1.2 A csere elmélete több termék esetére

Legyen most az (1)-es szereplı birtokában az (A) termékbıl q a ,1 , a (B)-bıl qb ,1 , a (C)-bıl

qc ,1 , a (D)-bıl q d ,1 ... és így tovább. Legyen φ a ,1 , φb ,1 , φc ,1 , φ d ,1 ... ezen szereplı határhaszon

69

L. Walras: i.m. 96. szakasz

64

(rareté) függvénye az (A), (B), (C), (D) ... árucikkek vonatkozásában egy adott idıszak alatt. Legyen pb , pc , pd ... a (B), (C), (D) ... cikkek ára (A)-ban kifejezve. Legyen továbbá

x1 , y1 , z1 , w1 , ... az (A), (B), (C), (D) ... cikkek azon mennyisége, amit szereplınk az eredetileg pb , pc , pd ... árak mellett tartott q a ,1 , qb ,1 , qc ,1 , q d ,1 … mennyiségekhez hozzáad. Ezek a mennyiségek lehetnek pozitívak, azaz jelenthetnek keresletet, vagy lehetnek negatívak, azaz jelezhetnek kínálatot. Minthogy nincs lehetıség arra, hogy cserélınk úgy tudjon keresletet támasztani, hogy közben nem kínál más árukat azonos értékben, biztosak lehetünk abban, hogy ha valamely x1 , y1 , z1 , w1 , ... pozitív értéket vesz fel, akkor mások negatívak lesznek, és, hogy ezek között a mennyiségek között az alábbi kapcsolat mindig fennáll70: x1 + y1 pb + z1 pc + w1 p d + ... = 0 .

(3.1.9)

Walras szerint az (1) egyén maximális elégedettséget akkor ér el, más szóval az (A), (B), (C), (D), ... hasznosságainak összege akkor maximális az egyén számára, ha bármely két termék esetén a szőkösségek (rareté) aránya megegyezik az egyik termék másik termékben kifejezett árával. Walras a fogyasztó egyensúlyi feltételét csak két jószág esetére vezette le matematikailag. Egyváltozós hasznossági függvényekbıl indult ki, ezért egyváltozós optimalizálási feladatot oldott meg. Több termék esetén Walras a maximalizálási problémát visszavezette a kéttermékes esetre. Ez azonban matematikailag nem korrekt, hiszen a termékek mennyiségei között összefüggés van, mégpedig a 3.1.9 egyenlet. Walrasnak egy többváltozós függvény maximalizálási feladatát kellett volna felírni, mint ahogy késıbb Hicks tette az Érték és tıkében71. Hicks egy többváltozós hasznossági függvénybıl indult ki, és a fogyasztó egyensúlyára e többváltozós függvény feltétel melletti maximalizálási feladatát írta fel. Ezt a feladatot a Lagrange-féle multiplikátor módszerrel oldotta meg. Walras az egyik terméket ((A)-t) kiválasztja numeraire-nek, és a többi termék árát ebben fejezi ki. A maximális elégedettség feltételét a következıképpen lehet írni ekkor:

φb ,1 (qb,1 + y1 ) = pbφa ,1 (qa ,1 + x1 ) , φc ,1 (qc ,1 + z1 ) = pcφa ,1 (qa ,1 + x1 ) , φd ,1 (qd ,1 + w1 ) = pd φa ,1 (qa ,1 + x1 ) , ... 70 71

L. Walras: i.m. 118. szakasz J. R. Hicks: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1978.

65

(3.1.10)

Ezt matematikailag a következıképpen láthatjuk be, ha az u teljes hasznosságot x1 , y1 , z1 ,

w1 ,... függvényeként felírjuk, (3.1.9) összefüggést felhasználva és feltéve, hogy a határhaszon (rareté) függvények differenciálhatók és csökkenıek: qa ,1 − pb y1 − pc z1 − pd w1 −...

u=

∫ 0

φa ,1 (q)dq +

qb ,1 + y1

∫

φb ,1 (q)dq +

0

qc ,1 + z1

∫

φc ,1 (q)dq +

0

qd ,1 + w1

∫φ

d ,1

(q )dq + ...

(3.1.11)

0

Differenciálva u -t y1 , z1 , w1 , ...szerint, a (3.1.10) egyenleteket kapjuk. Hogy a (3.1.10) megoldása valóban az u maximumát szolgáltatja, abból a ténybıl lehet következtetni, hogy

u másodrendő deriváltjainak mátrixa diagonális, a fıátlóban negatív elemekkel. Ezek az elemek

pb2φa′,1 (qa ,1 + x1 ) + φb′,1 (qb,1 + y1 ) , pc2φa′,1 (qa ,1 + x1 ) + φc′,1 (qc ,1 + z1 ) , pd2φa′,1 (qa ,1 + x1 ) + φd′ ,1 (qd ,1 + w1 ) ,

(3.1.12)

... negatívak, mert a határhaszon (rareté) függvények csökkenıek. A hasznosság-maximalizálás (3.1.10) elsırendő feltételeibıl és a (3.1.9) egyenletbıl a következı keresleti vagy kínálati egyenleteket lehet levezetni az (1) egyén számára: y1 = f b ,1 ( pb , pc , p d ...) , z1 = f c ,1 ( pb , pc , p d ...) , w1 = f d ,1 ( pb , pc , p d ...) ,

(3.1.13)

... míg (A)-ra vonatkozó keresletét vagy kínálatát az x1 = −( y1 pb + z1 pc + w1 p d + ...)

(3.1.14)

egyenlet adja meg. Hasonló egyenleteket lehet levezetni a (2), (3) … szereplı esetében a (B), (C), (D) ... cikkek keresletére vagy kínálatára. A teljes többletkeresleteket a következıképpen definiáljuk: X = x1 + x2 + x3 + ... , Y = y1 + y 2 + y3 + ... ,

66

Z = z1 + z 2 + z 3 + ... , W = w1 + w2 + w3 + ... ,

(3.1.15)

... és legyen Fb , Fc , Fd ... rendre az f b,1 , f b, 2 , f b,3 , …, f c ,1 , f c , 2 , f c ,3 , …, f d ,1 , f d , 2 , f d ,3 , …, függvények összege. Tekintve, hogy (A), (B), (C), (D) ... cikkek kereslete és kínálata közötti egyenlıséget az X = 0 , Y = 0 , Z = 0 , W = 0 ... egyenletek fejezik ki, az itt vizsgált általános esetben az m − 1 egyensúlyi ár a következı, összesen m − 1 egyenletbıl határozhatók meg: Fb ( pb , pc , p d ...) = 0 , Fc ( pb , pc , p d ...) = 0 , Fd ( pb , pc , p d ...) = 0 ,

(3.1.16)

... A (3.1.16) rendszerben az árak, melyek a numéraire-ben vannak kifejezve, endogén változók, amelyeket végül a rendszer határoz meg. Ha a (3.1.16) egyenletek teljesülnek, akkor X is automatikusan nulla lesz, mivel

X = −(Ypb + Zpc + Wp d + ...) .

(3.1.17)

3.1.3 Walras termelési modellje

Walras egyike volt az elsı közgazdáknak, akik a termelési együttható fogalmát felhasználták a termelés vizsgálatában. Walras feltette ezekrıl az együtthatókról, hogy állandók. A termelési modell oly módon való felépítése, ahogy Walras tette – azaz termelési együtthatókkal dolgozva, akár állandók, akár nem – csak állandó skálahozadékkal kapcsolatban értelmes; csak akkor, ha a termelési együtthatók függetlenek a termelési mennyiségtıl. Ez így lehetett Walras idejében, így ez a feltétel nem volt ellentmondásban a valósággal. Walras a fix termelési együtthatókat bevezetı elgondolásként vezette be72, de a végleges általánosítását sohasem valósította meg. Walras sohasem módosította a formális matematikai

modelljét

a

változó

termelési

együtthatókkal.

Walras

csak

a

határtermelékenységet vizsgálta és ennek a termelés mértékétıl való függıségét az Elements VII. fejezetében. 72

L. Walras: i.m. 204. szakasz

67

Az 1890-es évek elejétıl, az Elements harmadik73 és a negyedik74 kiadás elıkészítése alatt Walras elkezdte felülvizsgálni a termelési együtthatók kérdését. Walras határtermelékenység témájának kidolgozásakor felhasznált számos ötletének forrását fel lehet fedezni. Walras kollégája, Hermann Amstein75 1877 január 6-án írt levelében Walras kérésére megoldotta a termelési

költségek

minimalizálásának

problémáját

a

Lagrange-multiplikátorokat

76

felhasználva . Walras kérdése, amelyre várta Amstein professzor magyarázatát, az at , a p , a k

bt , b p , bk

ct , c p , ck

dt , d p , dk

termelési együtthatókra vonatkozott. Walras az egyszerőség kedvéért feltételezte, hogy ezek ismert konstansok. A valóságban változók és ismeretlenek, de feltételezhetı, hogy összefüggésben vannak egymással, ami valamely terméket (mondjuk B-t) illeti, a következı egyenlet által: F (bt , b p , bk ...) = 0 . Hermann Amstein úgy értelmezte Walras kérdését, hogy az a bt , b p , bk ... mennyiségek meghatározására vonatkozott oly módon, hogy a (B) termék pb ára minimumot érjen el, azaz a

pb = bt pt + b p p p + bk p k + ... termékárat kell minimalizálni az F (bt , b p , bk ...) = 0 feltétel mellett. Valójában a (B) termék termelési költségét kell minimalizálni. A nulla-profit feltétel miatt egyezik meg a (B) termék ára a (B) termék egységének termelési költségével. A számítás egyszerősítése végett Amstein a következı jelöléseket vezette be:

bt = x1 , b p = x2 , bk = x3 ... pt = p1 , p p = p 2 , pk = p3 ... Ekkor a feladat a következı: adott p1 , p2 , ..., pn esetén x1 , x2 , ..., xn értékét kell úgy meghatározni, hogy

pb = x1 p1 + x2 p 2 + x3 p3 + ... + xn pn minimális legyen a F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 feltétel mellett. 73

L. Walras: Éléments d’économie politique pure. Troisiéme édition. Lausanne, Paris, Leipzig. 1896. L. Walras: Éléments d’économie politique pure. Quatriéme édition. Lausanne, Paris. 1900. 75 matematika professzor Lausanne-ban 76 W. J. Baumol – S. M. Goldfeld (szerk.): Precursors in Mathematical Economics: An Anthology. The London School of Economics and Political Science (University of London).1968. 309 – 312. old 74

68

Az x1 , x2 , ..., xn változók az F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 követelmény miatt nem mind függetlenek. A kérdést átalakíthatjuk abszolút minimum vagy maximum problémává az egyik változó, például xr kiküszöbölésével az F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 egyenlet segítségével. Ekkor pb (n − 1) független változó függvényévé válik. Ekkor

pb minimum vagy maximum helyeit

megkaphatjuk, ha az (n − 1) független változóra vonatkozó parciális deriváltakat egyenlıvé tesszük nullával. Ez (n − 1) egyenletet szolgáltat az (n − 1) számú x1 , x2 , ..., xr −1 , xr , ..., xn változó értékének meghatározásához. Az xr értékét az F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 egyenletbıl kaphatjuk meg. Behelyettesítve a kiszámított értékeket pb egyenletébe, kapjuk a kívánt maximumot vagy minimumot. Egy elegánsabb módszer a következı Lagrange-multiplikátor-módszer: pb minimalizálása vagy maximalizálása helyett tekintsük pb − λF -et (ahol λ egy konstans). A λ konstans bevezetése ekvivalens az x1 , x2 , ..., xn változók egyikének kiküszöbölésével. Most már mind az n változót tekinthetjük függetlennek pb − λF -ben. Azaz újra egy abszolút minimum vagy maximum problémához jutottunk. Az (n + 1) számú x1 , ..., xn és λ ismeretlenek meghatározásához a következı (n + 1) egyenletet írhatjuk fel:

∂pb ∂F −λ =0 ∂x1 ∂x1 ∂pb ∂F −λ =0 ∂x2 ∂x2

M ∂pb ∂F −λ =0 ∂xn ∂xn F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 Walras szerény matematikai képzettsége azonban megakadályozta ıt abban az idıben, hogy Amstein válaszának rendkívüli jelentıségét megértse. Amstein leveléhez hozzátőzött Walras megjegyzésébıl kitőnik, hogy több mint 17 év után Walras elkezdte megérteni a levélben leírt matematikát, különösen a Lagrange-multiplikátorok használatát. Ez kb. ugyanakkor történt, mint amikor Walras megismerkedett Wicksteed ’An Essay on the Coordination of the Laws of Distribution’ (1894) címő könyvecskéjével. E tanulmányra tekintettel Walras helyesen megértette, hogy ennek az állítása az, hogy a költségminimalizálás

69

maga után vonja, hogy tökéletes verseny esetén mindegyik termelési tényezıt határterméke alapján fizetik, az egész termelés pontosan többlet vagy veszteség nélkül megy végbe.

A termelési egyensúly Walras a piacoknak két típusát különböztette meg, mégpedig a termelési tényezık piacait és a termékek piacait. A vállalkozók fontos szerepet játszanak mindkét típusú piacon. A szolgálatok, azaz a termelési tényezık piacán a vállalkozók a vevık; a termelés céljából veszik ezeket a szolgálatokat. A földbirtokosok, a munkások, a tıkések az eladók. A járadékok, a munkabérek és a kamatok a szolgálatok árai. A vállalkozók nem szükségszerően az egyedüli vevık a szolgálatok piacán. Lehetnek vevık a földbirtokosok, a munkások és a tıkések is, akik közvetlen fogyasztási célból kívánnak szolgálatokat venni. A termékek piacain a vállalkozók eladók, míg a földbirtokosok, a munkások és a tıkések fogyasztói minıségükben a termékek vásárlói. Mindkét típusú piacon numéraire-t, azaz egy jószágot használnak a mérés egységeként és feltételezés szerint szabad verseny uralkodik. Ezenfelül szükséges egy csereeszköz. Ennek a célnak megfelel a numéraire. Például a munkás a munkaerejét eladja a munkapiacon numéraire-ért, és a numéraire megszerzett mennységét használja fel arra, hogy termékeket vegyen a termékek piacán; mindkét esetben egy vállalkozóval találja szemben magát. Walras szerint a termelési egyensúlyt a következı három feltétellel lehet jellemezni: 1). Mindegyik termelı szolgálat ára olyan, hogy ezeknél az áraknál mindegyik szolgálat effektív kereslete és az effektív kínálata egyenlı. 2). Ezenfelül a termékek eladási árai olyanok, amelyeknél mindegyik termék piacán a kereslet és a kínálat egyenlı. 3). A 2)-ben említett mindegyik termék eladási ára egyenlı a termelési szolgálatok költségeivel, amelyet azoknak a tényezıárak alapján számítják, amelyek szükségesek e termék egy egységének elıállításához. Ugyanúgy, mint a tiszta csere esetén, a földbirtokosokat, a munkásokat és a tıkéseket a hasznosság-maximalizálás vágya ösztönzi arra, hogy belépjenek a szolgálatok és a termékek piacára. A vállalkozók maximum profitra törekszenek. Walras nem elemezte a vállalkozók profitmaximalizáló eljárását olyan részletesen, mint ahogy a fogyasztók hasznosság-maximalizáló eljárását. Inkább az egyensúly végsı kimenetelét modellezte, amely egyenértékő azzal a híres kijelentéssel, hogy egyensúly állapotában a vállalkozónak sem profitja, sem vesztesége nincs.

70

Egyéni kereslet és kínálat bemutatása Walrasnál77 Tegyük fel, hogy az (1) egyén (T), (P), (K), ... n számú termelési tényezıbıl kezdetben birtokolt mennyisége qt , q p , q k , ... , melyek a modell adottságának tekintendık (Walrashoz hasonlóan elhagyjuk az 1 indexet, ha ez nem okoz félreértést). Az egyén a cserében ezeknek a termelési tényezıknek ot , o p , ok , ... mennyiségeit kínálja az (A), (B), (C), (D), ... m számú termék d a , d b , d c , d d , ... mennyiségeiért. Ezek a mennyiségek kielégítik a következı költségvetési egyenletet: ot pt + o p p p + ok p k + ... = d a + d b pb + d c pc + d d p d + ... ,

(3.1.18)

ahol a p -k jelöli az árakat és (A) termék ára numéraire-ként egyenlı 1-el. A qt − ot , q p − o p , q k − ok , ... a termelési tényezık megtartott és elfogyasztott mennyiségei ( ot , o p , ok , ...

lehetnek negatívak is, ez akkor fordul elı, ha az egyén az adott termelési tényezıbıl kezdeti mennyiségénél többet akar elfogyasztani), d a , d b , d c , d d , ... a termékek keresett és elfogyasztott mennyiségei. Jelöljük az egyén (T), (P), (K), ..., (A), (B), (C), (D), ...-re vonatkozó határhaszon (rareté) függvényeit φt ,φ p ,φ k ,..., φ a , φb , φc , φ d ... -vel, amelyek mind egyváltozósak, a mennyiség függvényei. Mivel Walras a hasznosságról feltételezte, hogy a termékek és szolgálatok mennyiségében additív, ezért a határhaszon (rareté) függvények egyváltozósak. Az elızı részben leírtakhoz hasonlóan kapjuk a hasznosság-maximalizálás következı elsırendő feltételeit:

φt (qt − ot ) = ptφa (d a ), φ p (q p − o p ) = p pφa (d a ),

(3.1.19)

φk (q k − ok ) = p k φa (d a ), ... és

φb (d b ) = pbφa (d a ), φc (d c ) = pcφa (d a ),

(3.1.20)

φd (d d ) = p d φa (d a ), ... Az (3.1.18), (3.1.19) és a (3.1.20) egyenletekbıl a következı egyéni keresleti és kínálati egyenleteket lehet levezetni: 77

L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 201. szakasz

71

ot = f t ( pt , p p , pk ..., pb , pc , p d ...) , o p = f p ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) ,

(3.1.21)

ok = f k ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , ... és d b = f b ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , d c = f c ( pt , p p , p k ..., pb , pc , pd ...) , d d = f d ( pt , p p , p k ..., pb , pc , pd ...) , ... d a = ot pt + o p p p + ok p k + ... − (d b pb + d c pc + d d p d + ...) .

(3.1.22)

Az egyensúlyi modell bemutatása Walras feltételezte, hogy minden egyén a fogyasztásra vonatkozóan hasonló módon viselkedik. Következésképpen a (3.1.21)-hez és (3.1.22)-höz hasonló egyenletrendszert minden egyén számára le lehet vezetni. Mivel az egyének φ függvényei és adottságai eltérhetnek, ezért az egyének keresleti és kínálati egyenletei is különbözhetnek. Ezek után Walras aggregálja minden tényezı és minden termék esetén az egyéni keresleti illetve kínálati függvényeket: Jelölje Ot , O p , Ok , ... a szolgálatok különbözı kínálatainak teljes összegét, azaz a pozitív ot , o p , ok , ... -k negatív ot , o p , ok , ...-k feletti többletét; jelölje Da , Db , Dc , Dd , ... a termékek különbözı keresleteinek teljes összegét; és jelölje Ft ,

Fp , Fk , ..., Fb , Fc , Fd , ... a különbözı f t , f p , f k , ..., f b , f c , f d , ... függvények összegét, ekkor a szolgálatok teljes kínálatára a következı n egyenletet kapjuk:

Ot = Ft ( pt , p p , p k ..., pb , pc , pd ...) , O p = Fp ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , Ok = Fk ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , ... és a termékek teljes keresletére a következı m egyenletet kapjuk:

Db = Fb ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , Dc = Fc ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) ,

72

(3.1.23)

Dd = Fd ( pt , p p , p k ..., pb , pc , p d ...) , ... Da = Ot pt + O p p p + Ok p k + ... − ( Db pb + Dc pc + Dd p d + ...) .

(3.1.24)

összesen n + m egyenlet az ismeretlenek meghatározására. Ez Walras termelési modelljének fogyasztási oldala. Nyilván Walras nem látott semmi problémát a (3.1.23) és (3.1.24) egyenletrendszer elérésében. A 203. szakaszban Walras bevezette a termelési együtthatókat, at , a p , a k , …-val jelölve az (A) termék egy egységének elıállításához szükséges T , P , K termelési tényezık felhasznált mennyiségét, bt , b p , bk , …-val jelölve eme termelési tényezık (B) termékfajta egy egységének termeléséhez szükséges mennyiségét, és így tovább. A termelési szolgálatok piaci kínálati függvényét az elsı egyenletcsoport adja meg. De miként kapjuk meg a termelési szolgálatok keresletét? A termelési szolgálatok kereslete származékos kereslet. Walras a fogyasztási javak keresletébıl vezeti le a modelljében adottságként szereplı technikai koefficiensek révén. Az egyes termelési tényezık szolgálata iránti keresletet úgy kapjuk meg, hogy az (A), (B), (C) termékek keresletét sorra megszorozzuk a termelésükhöz szükséges termelési szolgálatok technikai koefficienseivel. A T , P , K termelési tényezık szolgálata iránti így levezetett piaci keresletnek egyenlınek kell lennie a termelési szolgálatok elsı egyenletcsoportban kifejezett piaci kínálatával. Az osztrák iskola a termelési tényezık értékét a termék értékébıl vezette le. Egyensúlyi elméletében Walras a termelési tényezık keresletét vezeti le a fogyasztási javak keresletébıl, s a termelési szolgálatok ára keresleti és kínálati függvényük metszéspontjában van. A termelési szolgálatok piacán egyensúlyban: at Da + bt Db + ct Dc + d t Dd + ... = Ot , a p Da + b p Db + c p Dc + d p Dd + ... = O p , a k Da + bk Db + ck Dc + d k Dd + ... = Ok ,

(3.1.25)

... Az egyenletek e harmadik csoportja n egyenlet tartalmaz ( az elsı két csoport a (3.1.23) és (3.1.24) egyenletek). Ezeket az egyenleteket transzformációs egyenleteknek is nevezhetjük. A Da , Db , Dc , Dd , ..., Ot , O p , Ok , ... szimbólumoknak kettıs jelentése van: (3.1.24)-ben a D -k a háztartások által keresett mennyiségeket jelentik, míg (3.1.25)-ben a vállalkozók által

termelt és kínált mennyiségeket; az O -k (3.1.23)-ban a háztartások által kínált mennyiségek, és (3.1.25)-ben ezek a változók a vállalkozók által keresett mennyiségek.

73

A negyedik csoportba tartozó m egyenlet azt fejezi ki, hogy minden termék ára egyenlı a termék egy egységének termeléséhez felhasznált termelı szolgálatok költségével: at pt + a p p p + a k pk + ... = 1 bt pt + b p p p + bk p k + ... = pb ct pt + c p p p + ck p k + ... = pc d t pt + d p p p + d k p k + ... = p d

(3.1.26)

... Ezeket ár-egyenleteknek is nevezhetjük. Tehát az egyenletek következı négy csoportja áll rendelkezésünkre: 1) a szolgálatok kínálati egyenletei, (3.1.23), 2) a termékek keresleti egyenletei, (3.1.24), 3) a transzformációs egyenletek, (3.1.25), 4) az ár-egyenletek, (3.1.26). Ez a 2(m + n) egyenlet alkotja Walras termelési modelljét. Azonban ezek nem függetlenek, mert a (3.1.24) utolsó egyenletét levezethetjük a (3.1.25) és (3.1.26) csoport egyenleteibıl. Tehát a rendszerbıl következik az az érdekes összefüggés, ami Walras-törvény néven vált ismertté. A háztartások jövedelem-kiadási egyensúlyából és a nulla-profit feltételbıl adódik, hogy a keresletek és kínálatok piaci értéke nemcsak egyensúlyi árak, hanem bármely árrendszer esetén azonosak, a kínálat-kereslet összefüggések nem függetlenek. Ha a kínálat egyenlı a kereslettel n + m − 1 piacon, akkor n + m -edik piacon is fenn kell állnia az egyensúlynak. Az egész rendszer tehát 2m + 2n − 1 független egyenletbıl, 2m + 2n − 1 ismeretlenbıl áll: n termelési szolgálat mennyisége, m termék mennyisége és

n + m − 1 ár. Az általános egyensúlyi helyzet jellemzıje Walrasnál az, hogy a fogyasztási javak és a termelési szolgálatok számára olyan árak alakulnak ki, amelyek mellett a különbözı fogyasztási javak olyan mennyiségét keresik, hogy ha e keresletekbıl levezetik a termelési szolgálatok keresletét, az éppen egyenlı a termelési szolgálatok ugyanezen árak mellett kialakult kínálatával. És a fogyasztási javak és a termelési szolgálatok ezen árai mellett a fogyasztási javak ára megegyezik termelési költségeikkel. Egyensúlyi állapotban a rendelkezésre álló termelési szolgálatokat optimálisan használták fel. Az elıállított fogyasztási cikkek mennyiségének és a visszatartott termelési szolgálatoknak az összes hasznossága maximális.

74

A termékek kínálata nem szerepel explicite a walrasi modellben. A termékek kínálati függvényét nem lehet közvetlenül a határhaszonra visszavezetni, közvetve azonban az egyenletrendszer kifejezi, hogy a különbözı javak kínálata is egyensúlyi. Az egyensúly állapotában ugyanis a fennálló árak mellett a különbözı termelési szolgálatokból annyit kínálnak, amennyi révén a kialakult fogyasztási kereslet kielégítéséhez szükséges termékmennyiséget elı lehet állítani. Walras általános gazdasági egyensúlyrendszerének matematikai kifejezése azt mutatja, hogy a rendszer összes változó tényezıi egymással kölcsönös függvényszerő függıségben vannak, és azok értékeit csak egyidejőleg határozhatjuk meg. Ez azt jelenti, hogy az összes egyensúlyi árat és a nekik megfelelı termelési szolgálatok, valamint a késztermékek egyensúlyi mennyiségét egyidejőleg kell megállapítani. Az idıtényezı a modellbıl explicite ki van zárva; a modell változói között nincs semmilyen idıbeli kapcsolat. Az egyensúlyi állapotot az összes piac és ezzel az egész rendszer is egyszerre és egyidejőleg éri el.

Walras tatonnement-elmélete

Walras lényegében elsıként tárgyalta az egyensúly stabilitásának kérdését a közgazdaságtanban a híres, de elég nehézkes tatonnement-elméletében. Ezt az elméletet Walras a fent vázolt bonyolult egyenletrendszer elméleti megoldásaként nyújtja. „Mit kell tennünk annak bizonyítására – kérdezi Walras – , hogy az elméleti megoldás azonos azzal, ami a piacon kialakul? A feladat nagyon egyszerő – válaszolja meg a kérdést –: csak meg kell mutatnunk, hogy az egyenletrendszert az árak föl- és lefelé mozgása puhatolózási folyamat révén (par tatonnement) megoldja.”78 Kiindulásképp felvesz egy tetszılegesen meghatározott árrendszert; ekkor egyes piacokon a kínálat meghaladhatja a keresletet és más piacokon pedig alatta maradhat (ha az árak kiinduló rendszere nem egyensúlyi, akkor a Walras-törvény szerint mindkét említett eset legalább egy piacon bekövetkezik). Tekintsük a piacokat meghatározott sorrendben. Az elsı piacon az ár alkalmazkodása tegye egyenlıvé a keresletet és a kínálatot feltételezve, hogy a többi piacon az árak adottak; ez normálisan áremelkedést kíván –, ha eredetileg a kereslet múlta felül a kínálatot – és árcsökkenést az ellentétes esetben. Az ár változása az elsı piacon természetesen az összes többi piac keresletében és kínálatában is változást fog okozni. Ismételjük meg a folyamatot a második és minden további piacon. Az elsı kör végén az 78

L. Walras: i.m. 170. old.

75

utolsó piac egyensúlyban lesz, de ez nem áll fenn szükségszerően a többi piacok közül egyre sem, mivel az egymást követı piacokon lezajlott alkalmazkodási folyamatok megsemmisítik az elızı piacon elért egyensúlyt. Walras szerint egy adott termék ára közvetlen hatást gyakorol az adott termék túlkeresletére (túlkínálatára), s ennek az árnak a változása csökkenti a túlkeresletet (túlkínálatot). A többi termék ára közvetett hatást gyakorol az elıbbi termék túlkeresletére (túlkínálatára). Egyes termékek árváltozása növeli az elıbbi termék túlkeresletét (túlkínálatát), míg más termékek árváltozása csökkenti azt, gyengítve az elıbbi árváltozás hatását. Ezért Walras szerint az elsı kör után a piacok közelebb lesznek az egyensúlyhoz, mint a folyamat kezdetekor, és az egymást követı körök során a kereslet és kínálat minden piacon az egyenlıség felé tart79. Walras szerint a gyakorlatban a piac hasonlóképpen mőködik. Világos, hogy Walras a szó szoros értelmében nem azt tételezte fel, hogy a piacok meghatározott sorrendben kerülnek egyensúlyba. Ez csak egy kényelmes mód volt annak megmutatására, hogyan képes valójában a piaci rendszer az egyensúlyi egyenletrendszer megoldására. Pontosabban kifejezve, a dinamikus rendszer alapelve, hogy az árak bármely piacon emelkednek, amikor a kereslet meghaladja a kínálatot, és esnek az ellenkezı esetben; a különbözı piacokon bekövetkezett árváltozásokat szimultán módon kell elképzelni.

3.1.4 Kísérlet az általános gazdasági egyensúly dinamikus modelljének létrehozására

Walras rendszere abban a formában, ahogy azt eddig leírtuk, kimondottan statikus jellegő. Az összes piacon az egyensúlyi állapot, amelyet a fogyasztók adott preferenciái, a termelıforrások adott mennyisége és a változatlan technikai koefficiensek határoznak meg, csupán egy meghatározott pillanatra vonatkozik. Az idıtényezınek tehát semminemő szerepe nincs. Feltételezi, hogy a gazdasági folyamatoknak – beleszámítva magát a termelést is – nincs szükségük semmilyen idıtartamra, nincs idıbeli terjedelmük. Elemzésének harmadik szakaszában Walras megkísérelte, hogy rendszerét dinamikussá tegye. A termelési szolgálatok és fogyasztási javak piacához hozzávette a tartós tıkejavak piacát (termelıberendezéseket és az állandó tıke más összetevıit). Most már nem tételezi fel, hogy a tıkejavak mennyisége nem változik. Nemcsak a fogyasztási javak, hanem „a tulajdonképpeni értelemben vett tıkék” is a termelés eredményei, vagyis a termelési szolgálatoknak a változatlan technikai koefficiensek alapján történı transzformációja. 79

L. Walras: i.m. 129-130. szakasz

76

Az új tıkejavak a meglevı és elhasználódott készletek pótlására vagy a termelés kiterjesztésére szolgálhatnak. A dinamikus változat magyarázatának egyszerősítése céljából Walras a tıkejavak elhasználódásától elvonatkoztatott. Azt tételezzük fel, hogy a tıkejavak örökéletőek; termelésük csupán a meglevı készleteket növeli és ezért tiszta beruházásoknak tekintendık. Ezek a dinamikus elıfeltételek azt jelentik, hogy az általános egyensúly problémakörébe bevezetjük a megtakarításnak és a tıke felhalmozódásának kérdését. A tıkejavak piacával a rendszerben új ismeretlen változók jelennek meg. Ha l tıkejavakat termelnek, akkor a következık az ismeretlenek: a) ezeknek a javaknak az egyensúlyi mennyiségei és árai ( 2l ) b) hozadékuk mértéke, vagyis kamatjuk és c) az összes gazdasági egység megtakarításának mennyisége, amelyek együtt 2l + 2 . Ahhoz, hogy értéküket megállapíthassuk, az eddigi egyenleteket meg kell változtatnunk, és az egyensúly új feltételeit kifejezı új egyenleteket kell felállítanunk. A megváltozott egyenletrendszert tömören így jellemezhetjük: 1. A fogyasztási cikkek iránti kereslet egyenlete úgy változik meg, hogy a kereslet nem csupán a termelési szolgálatok és a fogyasztási cikkek összes árainak a függvénye, hanem a tıke árának, vagyis a kamatoknak is. A fogyasztók nem adják ki egész jövedelmüket fogyasztási cikkekre, hanem jövedelmük egy részét megtakarítják, hogy tıkejavakat szerezzenek, amelyek részükre jövıbeli jövedelmet biztosítanak. 2. Ugyanebben az értelemben változnak meg a termelési szolgálatok kínálatának egyenletei is; a termelési eszközök kínálata most az összes árak (beleszámítva a kamatokat is) függvénye. 3. A késztermékek áregyenletei nem változnak, hanem a tıkejavak felhasználási költségét kifejezı új tagokkal gyarapodnak. Ehhez új technikai koefficiensekre van szükségünk: meg kell határoznunk a tıkejavak minden egyes egységéhez szükséges termelési szolgálat fogyasztási normáját. 4. Azok az egyenletek, amelyek a termelési szolgálatok kínálata és fogyasztása közötti egyenlıséget fejezik ki, természetesen szintén megváltoznak. A megfelelı technikai koefficiensek alapján kifejezzük velük azoknak a termelési szolgálatoknak a fogyasztását is, amelyeknek segítségével a tıkejavakat elıállítjuk. Most már elegendı egyenletünk van a tıkejavak egyensúlyi mennyiségének és árának megoldásához ( 2l ), hiányoznak az egyenletek a még hátralevı két ismeretlen: a kamatláb és az összmegtakarítás kiszámításához. Ez a két egyenlet az egyensúly további új feltételeit fejezi ki:

77

1. A kamatláb az összes tıkejavak számára szükségszerően egyforma. Minden tıke hozadékát az általa nyújtott termelési szolgálat egyensúlyi ára és magának a tıkének az ára közötti viszonnyal mérjük. 2. Az összmegtakarítások és az összberuházások is szükségszerően egyenlık. A megtakarítások a jövedelem olyan részét alkotják, amelyet nem adtunk ki fogyasztási javak vásárlására. A beruházások értékét megkapjuk, ha az újonnan elıállított tıkejavakat megszorozzuk azok árával. Ha a rendszer egyensúlya azelıtt azt tételezte fel, hogy az összjövedelem és a fogyasztási javak teljes össztermelése egyenlı, a dinamikus egyensúly esetén azt is el kell érni, hogy a megtakarítások és beruházások is egyenlık legyenek. Ezt az egyenlıséget az egyensúlyi kamatláb biztosítja, amely kiegyenlíti a megtakarítások kínálata és a tıke iránti kereslet nagyságát. Most már teljesült a rendszer egyensúlyának és matematikai megoldásának formális feltétele: ugyanannyi az egyenletek száma, mint az ismeretleneké. A rendszer ebben az új formájában determinált, de a gazdasági dinamika bonyolult problémáinak egész sorát veti fel. Walras a problémákat legfeljebb felvázolta, de még távolról sem sikerült neki azokat megnyugtatóan megoldani. A tıkeképzés bevezetése után a rendszer legfontosabb új vonása az, hogy nem kerülhet egyensúlyba arra való tekintet nélkül, ami a múltban történt. Most megjelennek benne az elmúlt idıszakokban elıállított tıkejavak, valamint azok a tıkejavak is, amelyeket a megfigyelt idıszakban hoztak létre, és amelyek viszont a rendszer egyensúlyát a következı idıszakban befolyásolják. A tıke képzésével szerephez jut az idıtényezı. Walras dinamizálási kísérlete, hogy a rendszer folyamatos és összefüggı mozgásban maradjon, nem sikerült. Feltételezi, hogy az újonnan képzett tıkejavakat az elemzett idıszakban nem használják fel, hanem csupán az elkövetkezı idıszakban kezdik meg a szolgálataikat produktív módon kihasználni. Így a tıkejavak termelése elválasztja és elszigeteli egymástól az egyes idıszakokat. Walras modellje a tıkejavak termelésének bevezetése után is csak egy idıszakot fog át és legfeljebb az összehasonlító statika eszközéül szolgál. Megmutatja, hogy az elıállított tıkeforrások készletváltozásaival hogyan változik meg az egyensúlyi helyzet. Ma már általánosan elismert tény, hogy Walras módszere a dinamikus problémák megoldására nem alkalmas. Walras után még számos közgazdász megkísérelte, hogy az általános egyensúly elemzését dinamikussá tegye; a legismertebb kísérletek közé tartozik J. von Neumann dinamikus egyensúlyi modellje.

78

3.1.5 Az Elements kritikái

Építı kritikát mutatott be Wilhelm Lexis, Ladeslaus von Bortkiewicz és Eugen von Böhm-Bawerk. Lexis az Elements-re vonatkozó kritikáját a következı pontokban foglalta össze80: (1) Walras tökéletes verseny és egyforma piaci árak feltétele a valós világ túlságosan sok sajátosságát mellızi ahhoz, hogy a politika útmutatójaként szolgáljon. (2) Nem volt indokolt a határhaszon görbe (rareté) lineáris voltának feltételezése (ahogy Walras az Eléments elsı kiadásában tette). (3) Lehet, hogy Walras egyenletrendszerének nincs pozitív valós megoldása vagy egyáltalán semmilyen megoldása. 1887-ben Bortkiewicz felhívta Walras figyelmét arra, hogy a maximális kielégítés tételének matematikai bizonyításából a másodrendő feltétel hiányzik. Böhm – Bawerk 1887-ben kétségbe vonta Walras állítását, hogy egyensúlyban a jószágok árai pontosan arányban állnak a megfelelı határhasznaikkal minden kereskedı számára a piacon. Ez érvényes lenne – érvel Böhm – Bawerk – abban a kivételes esetben, ha a hasznossági függvények folytonosak lennének, de a nemfolytonos hasznossági függvények általánosabb esetében az árak változhatnak anélkül, hogy a kereskedık megváltoztatnák vásárlásaikat vagy eladásaikat. Walras profitált ezekbıl a kritikákból. Már 1883-ban a Théorie mathématique de la richesse sociale címő mővében az Eléments elsı kiadásában szereplı lineáris határhaszon görbéket kicserélte nemlineáris görbékre. Ez valószínőleg reagálás volt Lexis 1881-es kritikájára. Böhm – Bawerknek a folytonos határhaszon feltételezésébıl levont következtetések általános érvényessége felıli kétségei ösztönözték Walrast arra, hogy az Elements második kiadásában a 8. leckéhez hozzátegye fejtegetését, amelyben összehangolja az arányossági tételét a nemfolytonos határhaszon görbékkel81. Walras nem vezette be a maximum másodrendő feltételét a maximális kielégítés tételébe a negyedik kiadásig82, amikor pontosan követte Bortkiewicz tanácsát83. A matematikai hozzáértés hiányában Walras semmit nem tudott tenni Lexis észrevételével, hogy a Walras-i egyenletrendszernek

lehet,

hogy

egyáltalán

nincs

megoldása.

Walras

abban

a

meggyızıdésben volt, hogy az ismeretlenek száma és a független egyenletek száma közötti 80

W. Jaffé: The birth of Léon Walras’s Eléments. History of Political Economy, vol. 9. No. 2. 1977. 210. old. L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 83 – 84. szakasz. 82 L. Walras: Éléments d’économie politique pure. Quatriéme édition. Lausanne – Paris. 1900. 83 L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 82. szakasz. 81

79

egyenlıség elégséges a kívánt megoldás garantálásához. A független egyenletek és az ismeretlenek számának megegyezése nem biztos, hogy közgazdaságilag értelmes megoldást ad, és se nem szükséges, se nem elégséges feltétele egy egyenletrendszer megoldhatóságának. A

walrasi

modell

bepillantást

nyújt

ugyan

a

piacon

fennálló

általános

interdependenciába, de nem tükrözi kora gazdaságát, annak problémáit. A konstans technikai koefficiensek feltételezésével modelljében kiküszöböli a termelés lényeges kérdéseit, nem ügyel a költségekre, a termékek kínálati oldalára. Walras egyensúlyi rendszere az árak és mennyiségek funkcionális függıségi viszonyát ábrázolja adott piacon, meghatározott idıpontban, egyensúlyi feltételek esetén. Minden vásárlás és eladás befejezıdött és mindenki elégedett az elnyert elınyökkel. Walras nem az áralakulás folyamatát fogalmazza meg és nem is az áralakulás egy mozzanatát, hanem a piaci folyamatok lezajlása utáni végállapotot. Walras az áralakulás magyarázatát ígéri, azonban végül is csak az árösszefüggések egyenletrendszerét nyújtja. Feltételezi az egyensúlyt, amit pedig meg kellene magyarázni. Walras modelljében az oksági összefüggéseknek nincs meghatározott iránya. Walrasnál a fogyasztási cikkek ára meghatározza a termelési szolgálatok árát, a termelési szolgálatok ára viszont a fogyasztási javak árát.

80

3.2 Az egyensúly Hicks – i megközelítése A matematikatörténet egyik központi kérdése a 19. század vége felé a matematikában és fizikában kialakult válságra vonatkozik, ami arra kényszerítette a matematikusokat és fizikusokat, hogy átdolgozzák a diszciplínájukat a 20. században.84 A matematikusok szerint a válság a matematika alapjait érintette. Három jelentısebb szál volt: 1. A geometria alapjai, különösen az euklideszi geometria sikertelenségei a nemeuklideszi geometriák meghonosításában. Kétezer éve izgatta a matematikusokat az a probléma, hogy az ötödik, párhuzamossági euklideszi posztulátum független axióma-e, vagy levezethetı a többibıl. Többen sikertelenül próbálták bebizonyítani ezt az axiómát. Gauss gondolt arra elıször, hogy a párhuzamossági posztulátum független, és logikailag lehetséges egy új geometria megalkotása, amely más axiómákon alapul. Ezen elgondolásait azonban sosem hozta nyilvánosságra. Az orosz Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij és a magyar Bolyai János konstruált elıször, és csaknem egyidıben egy olyan geometriát, amelyben a párhuzamossági posztulátum nem érvényes. 2. A halmazelmélet ellentmondásai, amit Georg Cantor végtelenrıl alkotott új eszméi tettek nyilvánvalóvá (azaz transzfinit kardinálisok és a valós számok kontinuuma). 1897-ben Cesare Burali-Forti felfedezte a Cantor-féle naiv halmazelmélet egyik ellentmondását, amely a halmazok számosságával van kapcsolatban. 3. Az aritmetika és logika alapjainak paradoxonjai, amiket Gottlieb Frege-vel és Guiseppe Peanoval hoznak kapcsolatba. Bertrand Russell 1902-ben fedezte fel azt a paradoxont, amely rávilágít arra, hogy a Cantor és Frege által megalkotott naiv halmazelmélet, illetve formalizált logikai elmélet ellentmondásos. Hilbert második kérdése, hogy az aritmetikai axiómák ellentmondásmentesek-e, választ nyert 1931-ben Kurt Gödeltıl. Gödel bebizonyította, hogy minden mereven megszabott axiómarendszeren belül, mint például a Peano-féle, léteznek nem eldönthetı állítások, azaz olyanok, amelyek bizonyítása is, és a cáfolása is lehetetlen. E Gödel-tétel szerint nem bizonyítható az aritmetikai axiómarendszer ellentmondás-mentessége. A nemeuklideszi geometriák, majd a halmazelméleti antinomiák felfedezése elıtérbe hozták az axiomatikus módszer vizsgálatát és elterjedését. A halmazelmélet axiomatikus megalapozása Zermelónak sikerült elıször 1908-ban. A matematika egyes ágainak axiomatikus megalapozása, a matematikai absztrakt terek fejlıdése és az elméleti fizika 84

E. Roy Weintraub: How economics became a mathematical science. Durham, NC: Duke University Press. 2002. 10. old.

81

számos területéhez szükséges matematikai apparátus megalkotása akkor kezdıdött meg, amikor Bolyai és Lobacsevszkij megalkották az elsı nemeuklideszi geometriát. A köztudatban még kritikusabb volt a fizika, különösen a racionális mechanika kudarca, ami a thermodinamikában, a kvantumelméletben és a relativitáselméletben fellépı problémákkal van kapcsolatban. Ez a fizika, különösen a matematikai fizika válságához vezetett. A 19. század matematikájának jellege a differenciálegyenleteken alapult, és a dinamikus rendszerek mind mennyiségi, mind minıségi tulajdonságait alapvetıen összekapcsolták a mechanikai problémákkal. Plankkal és Einsteinnel megszületett az új fizika: a statisztikai mechanika, a kvantummechanika és a relativitáselmélet arra kényszerítette a fizikusokat, hogy a világegyetem új modelljeiben gondolkodjanak. Az új fizika modelljei egy új matematikát igényeltek, és a matematika kisebb mértékben alapult a determinisztikus dinamikus rendszereket leíró differenciálegyenleteken, és inkább a statisztikai érvelésre és algebrára támaszkodott. A jelenségek statisztikus tárgyalása kezdett elterjedni, és a valószínőségi eloszlások ekkor kezdtek polgárjogot nyerni a fizikában. Ennélfogva a matematikai fizika kapcsolódott az algebra (pl. csoportelmélet) és valószínőségszámítás (pl. mértékelmélet) újabb fogalmaihoz. Éppúgy, ahogy a fizika objektumai megváltoztak, megváltoztak a matematikai objektumok is. A transzfinit halmazok és új geometriák azzal a felismeréssel együtt, hogy a halmazelmélet és a logika paradoxonjai összefonódnak, arra ösztönözték a matematikusokat a 20. század elején, hogy új alapokra helyezzék a matematikát a halmazelmélet, a logika és az aritmetika alapjainak axiomatizálásával és formális modellezésével. Weintraub szerint a matematikában történt válság miatt a matematika, különösen az euklideszi geometrián alapuló matematika és az euklideszi geometria által megközelített newtoni mechanika már nem volt többé a kétségtelen igazsághoz vezetı út. A matematikai tudás már nem volt többé a biztos tudás modellje. A matematikáról alkotott kép, amin Marshall felnıtt, már nem volt fenntartható85. Weintraub ezen gondolatával nem érthetünk egyet. Inkább R. Courant és H.

Robbins véleményét fogadjuk el, miszerint „teljesen

indokolatlan lenne azt hinni, hogy a legcsekélyebb mértékben is veszélyeztetik a matematika élı törzsét efféle véleménykülönbségek vagy paradoxonok, amelyek a fogalomképzés korlátlan

általánosságára

való

törekvésbıl

származnak.”86.

Különösen

igaz

ez

a

matematikának a közgazdasági elméletben való alkalmazásában. Állíthatjuk, hogy a 85

86

E. Roy Weintraub: i. m. 22. old. R. Courant – H. Robbins: Mi a matematika? Gondolat Könyvkiadó, Budapest.1966. 226. old.

82

matematikában és a klasszikus mechanikában kialakult válság nem indokolta a matematikai módszerek megváltoztatását a közgazdasági elméletben. Már Bolyai János és Lobacsevszkij is tisztában voltak vele, hogy tisztán matematikai eszközökkel nem lehet eldönteni, hogy az euklideszi, vagy a nemeuklideszi geometria írja le hően a valós fizikai teret, és hogy a kettı közötti választást csak fizikai mérések tehetik lehetıvé. Mérések által sem sikerült a kérdést eldönteni, azonban az kiderült, hogy viszonylag kis távolságok esetén (néhány millió kilométer) a két geometria kísérletileg ekvivalensnek tekinthetı. Az nem állítható, hogy az euklideszi geometria a világegyetem egészét is hően írja le, de emiatt nem kell elvetni az euklideszi geometriát felhasználó matematikai módszereket a közgazdasági elméletbıl. Ugyanígy Newton és Einstein rendszere is ugyanazt az eredményt szolgáltatja kis távolság és sebesség esetén. A 2.1 fejezetben megállapítottuk, hogy a differenciálszámítás alkalmazását a közgazdaságtanban az tette lehetıvé, hogy a közgazdasági változókat függvények segítségével írták le. Tehát a matematikai módszerek közgazdaságtanban való alkalmazásának elsı jelentıs állomása a függvények felhasználása volt a közgazdaságtani elméletben. Ezek a függvények hagyományos skalár- vagy vektor értékő függvények voltak. Még Hicks is csak ilyen függvényeket tekintett. A második jelentıs állomásnak az tekinthetı, hogy az 1940 – es években absztraktabb függvények és matematikai struktúrák jelentek meg a közgazdasági kutatásban, mint például metrikus tér, halmazértékő leképezések. Shizuo Kakutani 1941 – ben fogalmazta meg a halmazértékő leképezésekre vonatkozó fixpont-tételét, amely a gazdasági egyensúly létezésének bizonyításához szükséges leghasznosabb eszközzé vált87. Állíthatjuk, hogy az egyensúlyelméletben alkalmazott matematikai módszerek fejlıdését és változását nem a közgazdasági problémák változása idézte elı, hanem az egyváltozós függvényrıl többváltozós függvényre, majd absztraktabb halmazértékő leképezésekre való áttérés. A kapitalizmus 1929-1933-as válsága ráébresztette a kor közgazdászait, hogy elméletileg új kérdéseket kell megvizsgálni, amire az egyensúlyelmélet már nem volt képes válaszolni. Szükség volt egy új elmélet kidolgozására, ez pedig a növekedéselmélet volt. A növekedéselmélet új matematikai eszközök alkalmazását tette szükségessé, például differencia- és differenciálegyenletek alkalmazását. Szemben az egyensúlyelmélettel, most már a közgazdasági problémák változása idézte elı a matematikai eszközök változását.

87

G. Debreu, G. (1987): Közgazdaságtan axiomatikus módszerrel. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1987. 40. old.

83

3.2.1 A fogyasztó egyensúlya Hicks az Érték és tıke88 matematikai függelékében a fogyasztó egyensúlyára a következı problémát vizsgálja: Tekintsünk egy egyéni fogyasztót, akinek adott az u = u ( x1 , x2 ,..., xn ) hasznossági függvénye és M pénzjövedelme, melyet n árucikkre költhet, melyek p1 , p2 , ..., pn ára adottság az egyén számára. Ekkor a probléma az, hogy meghatározzuk az egyén n árucikk iránti x1 , x2 , ..., xn keresletét úgy, hogy az u hasznossága maximális legyen feltéve, hogy az adott M jövedelmét elkölti az árucikkre. Tehát a maximalizálási feladat: max u ( x1 , x2 ,..., xn ) feltéve, hogy p1 x1 + p 2 x2 + ... + pn xn = M

(3.2.1)

A µ Lagrange-multiplikátort bevezetve a feladat: n    max u + µ  M − ∑ pi xi  i =1   

(3.2.2)

A fogyasztói egyensúly elsırendő feltételei a következık: u i′ = µpi (i = 1,2,..., n)  n  pi xi = M ∑  i =1

(3.2.3)

A fenti egyenletekbıl µ-t kiküszöbölve kapjuk, hogy

u′ u′  u1′ u ′2 = = ... = n−1 = n  p1 p 2 p n−1 p n   n  p x = M ∑ i i  i =1

(3.2.4)

A (3.2.4) egyenlet Gossen II. törvényének általános alakja, a kiküszöbölt µ pedig a pénz határhaszna. Ez n számú egyenlet az n számú x1 , x2 , ..., xn meghatározásához. A (3.2.3) vagy (3.2.4) egyenletek az u maximumának szükséges feltételei. Hicks szerint ahhoz, hogy u valóban maximális legyen az is szükséges, hogy   i =1 j =1  n feltéve, hogy du = ∑ ui′dxi = 0  i =1 n

n

d 2 u = ∑∑ u ij′′ dxi dx j < 0

88

(3.2.5)

J. R. Hicks: Value and Capital. Oxford: Calderon Press. 1939. Magyarul: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1978.

84

n

teljesüljön, azaz a

n

∑∑ uij′′ xi x j kvadratikus alak negatív definit legyen a i =1 j =1

n

∑ u ′x i =1

i i

= 0 feltétel

mellett. Ehhez az szükséges, hogy a

0 u1′ u 2′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

0 u 2′ u′ ′′ , 1 u12 u ′2 ′′ u 22 u 3′

u1′ ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

u ′2 ′′ u12 u ′22′ u ′23′

0 u3′ u1′ ′′ u13 , …, u 2′ u ′23′ M ′′ u 33 u n′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

u ′2 ′′ u12 u ′22′

M u1′′n

M u 2′′n

... u ′n ... u1′′n ... u ′2′n .M. M ′′ ... u nn

(3.2.6)

determinánsok váltakozva legyenek pozitívak és negatívak. Hicks (3.2.5)-öt nevezi stabilitási feltételnek. Az F3.1 függelékben bebizonyítjuk, hogy ez a feltétel a lokális maximum létezésének másodrendő elégséges feltétele, és nem szükséges, ahogy Hicks állította. A (3.2.6) stabilitási feltételek helyett a következı feltételeket írhatjuk fel Allen szerint89: n

n

U ij

∑∑ U i =1 j =1

yi y j < 0 ,

( y1 ,..., y n ) ≠ (0,...,0) ,

(3.2.7)

ahol U jelöli a (3.2.6) utolsó determinánsát és U ij pedig ebben a determinánsban az uij′′ elemhez tartozó elıjeles aldetermináns. Az F3.1 függelékben bebizonyítjuk, hogy a (3.2.7) feltételek nem ekvivalensek a (3.2.6) feltételekkel. Egy sajátos feltételt kaphatunk (3.2.7)-bıl y r -en kívül minden y -t nullának véve: U rr < 0 (r = 1, 2, ..., n) U

(3.2.8)

Ennek a feltételnek az Érték és tıkében jelentıs szerepe van, azonban ez a feltétel nem következik a (3.2.6) feltételekbıl, bár Hicks szerint ezek a feltételek (3.2.6)-ból közvetlenül adódnak, mivel az n jószág sorrendje tetszıleges. Azonban a (3.2.6) feltételeket elegendı megkövetelni az x1 , ..., xn változók adott sorrendje esetén, és nem bármely sorrend esetén. Ha a (3.2.6) feltételek a lokális maximum létezésének szükséges feltételei lennének, mint ahogy Hicks állította, akkor a (3.2.6) feltételeknek tényleg az x1 , ..., xn változók tetszıleges sorrendje esetén teljesülnie kellene, és valóban teljesülnének a (3.2.8) feltételek. Az F3.1 függelékben bebizonyítjuk, hogy integrálhatósági esetben a (3.2.6) feltételek ekvivalensek a „A Reconsideration”-ban90 elıírt (2.4.13) feltétellel.

89

90

R. G. D. Allen: Mathematical Economics. Macmillan, London. 1957. 660. old. J. R. Hicks – R. G. D. Allen: A Reconsideration of the Theory of Value, Economica, 1934 február, május.

85

A (3.2.4) és (3.2.6) feltételek levezetésekor egy konkrét u hasznossági függvény létezését tételezte fel Hicks. Tehát Hicks a levezetéseket csak integrálhatósági esetben végezte el, amikor létezik ilyen hasznossági függvény. Azonban e feltételek változatlanok maradnak, ha az u függvényt helyettesítjük tetszıleges szigorúan monoton növekvı ϕ (u ) függvényével. Tehát Hicks Walrastól eltérıen a hasznosságot ordinálisan, és nem kardinálisan kezelte.

3.2.2 A jövedelem- és az árváltozás hatása a keresletre

Hicks az Érték és tıkében úgy vizsgálta meg a jövedelemváltozás és árváltozás hatását a keresletre, hogy a (3.2.3) egyensúlyi feltételeket M, illetve pr szerint deriválta, majd a kapott egyenletrendszert a Cramer – szabállyal megoldotta. Hicks a következı eredményeket kapta (levezetés az F4.2 függelékben): 1

Ur µU r ∂xr µ . = = 1 U ∂M U 2

(3.2.9)

µ

ahol U r jelöli az U-ban szereplı u ′r elemhez tartozó elıjeles aldeterminánst. Mivel U r pozitív és negatív is lehet, ezért ∂xr / ∂M is pozitív és negatív is lehet.

U ∂xs ∂x = − xr s + µ rs , ∂p r ∂M U

(r, s = 1, 2, ..., n)

(3.2.10)

ahol U rs jelöli az U-ban szereplı u rs′′ elemhez tartozó elıjeles aldeterminánst. Tehát pr változásának xs áru iránti keresletre gyakorolt hatását két tényezıre bonthatjuk, amelyeket Hicks jövedelmi hatásnak és helyettesítési hatásnak nevezett. Az r = s esetén a felbontás a következı lesz:

∂xr ∂x µU rr = − xr r + . U ∂p r ∂M Hicks feltétele szerint

(3.2.11)

U rr negatív, ezért ebben az esetben a helyettesítési hatás negatív. U

Hicks egyetlen példával sem illusztrálta elméletét. Tekintsünk például egy Cobb – Douglas – típusú preferenciával rendelkezı fogyasztót. A hasznossági függvény tehát U = x α y β (α, β > 0). A fogyasztó x és y jószág iránti keresleti függvénye:

86

x=

M β   + 1 p x α 

, y=

M α   + 1 p y β 

(F3.2 függelék).

Tehát x kereslete kizárólag p x függvénye, y kereslete pedig kizárólag p y függvénye. Tehát

∂x ∂y = 0 és = 0 , amit Hicks és Allen úgy magyaráznak, hogy a helyettesítési hatás és a ∂p y ∂p x jövedelmi hatás abszolút értékben egyenlı, de ellentétes elıjelő. Azonban ez a helyzet akkor is, ha x és y független termékek, amit Hicks és Allen elméletükbıl eleve kizárnak, mivel feltételezik, hogy bármely két termék között értelmezhetı a helyettesítési határráta. Abból a feltételbıl kiindulva, hogy egy x termék kereslete kizárólag p x függvénye, y termék kereslete pedig kizárólag p y függvénye, Hicks és Allen elméletébıl nem lehet kikövetkeztetni, hogy független termékekrıl van – e szó, vagy a jövedelmi hatás és a helyettesítési hatás abszolút értékben egyenlı és ellentétes elıjelő. Most hasonlítsuk össze az integrálhatósági esetben fejezetben vizsgált

E px ( x)

∂xr ∂p r

felbontását a 2.4.2.2

(2.4.21) felbontásával. A helyettesítési tagokat fogjuk

összehasonlítani. Mivel E px ( x) = −

p x ∂x , ezért, a (3.2.11)-ben szereplı helyettesítési tagot x ∂p x

E px ( x) felbontásában szereplı (1 − κ x )

σ yz σ yz

−x  -szeresével kell helyettesítési tag   px 

összehasonlítani. Az F3.2 függelékben levezetjük, hogy

∂xr felbontását tekintve a „A ∂p r

Reconsideration”-ban és az Érték és tıkében definiált helyettesítési tagok megegyeznek. A

U σ > 0 és a xx < 0 miatt ezek a helyettesítési tagok negatívak. Azonban U yz σ yz 1

pozitív, mert a (2.4.13) feltétel szerint a

∂ y Rx ∂x

Rxy ∂ y Rx ∂y

σ azért yz σ yz

és a hasonló determinánsok

negatívak. A 2.4 fejezetben bemutattuk, hogy ezek a feltételek helytelenül szerepelnek, az optimumhoz elégséges feltételekhez képest plusz feltételek, ugyanúgy, mint a U rr < 0 (r = 1, 2, ..., n) feltételek. U Hicks a (3.2.11) felbontást használta fel a helyettesítı és komplementer kapcsolat

87

definiálására. Hicks szerint két jószág, xr és xs helyettesítık, ha µ rek, ha az µ

U rs > 0 ; és komplementeU

U rs < 0 . A 2.4 fejezetben láttuk, hogy a „A Reconsideration”-ban Hicks és Allen U

azt állapították meg, hogy két termék mindig helyettesítı, ha egyedül vannak. Ez a megállapítás most is helyes, mert két termék esetén

u1′ ′′ u11 ′′ u12

0 U = u1′ u 2′

u 2′ 0 ′′ > 0 a (3.2.6) feltétel miatt, és U 12 = − u12 u ′2 ′′ u 22

µ

U rs >0 U

teljesül, ugyanis

u1′ = u1′u ′2 > 0 . ′′ u12

Összefoglalva, Hicks az egyensúlyi helyzetben külsı hatásokra bekövetkezı változásokat

a

lokális

komparatív

statika

jövedelemnövekedés hatását a keresletre:

módszerével

elemzi.

Megvizsgálja

a

∂xr -et kifejezi úgy, hogy a (3.2.3) egyensúlyi ∂M

egyenleteket parciálisan deriválja M szerint, majd a kapott egyenletrendszert megoldja a Cramer – szabállyal. Ugyanígy megvizsgálja az árváltozás hatását állandó jövedelem mellett, kifejezve

∂xs -t, és felbontva jövedelmi és helyettesítési hatás összegére. Hicks azt az ∂p r

eredményt kapta hogy

∂xr ∂xr kifejezésében a helyettesítési tényezı negatív, és ezért is ∂p r ∂p r

negatív, ha a jövedelmi tényezı negatív, vagy ha pozitív, de abszolút értékben kisebb a helyettesítı tényezınél. Ez azt jelenti, hogy az adott jószág keresleti görbéje negatív meredekségő. Tehát Hicks matematikailag igazolta, hogy általában a keresleti függvény negatív meredekségő, és elméleti magyarázatot talált egy jellegzetes paradox árhatásra, az úgynevezett Giffen paradoxonra, amit a kardinális elmélet nem volt képes megmagyarázni: inferior javak esetén a jövedelmi hatás és a helyettesítési hatás ellentétes elıjelő, és ha a jövedelmi hatás abszolút értékben nagyobb, akkor

∂xr > 0 , tehát a keresleti függvény pozitív ∂p r

meredekségő, paradox árhatás lép fel. Walras is bizonyíthatta volna a következıképpen, hogy a kereslet ár szerinti deriváltja negatív, felhasználva a csökkenı határhaszon feltételt. Walras a

φ a ( d a ) = p aφb ( qb − d a p a ) egyenletbıl származtatta az egyéni keresleti függvényt kifejezve d a -t pa függvényeként. Az egyenlıség mindkét oldalát deriválva pa szerint kapjuk, hogy

88

φa′ (d a ) ⋅ Ebbıl kifejezve

 dd a dd  = φb (qb − d a pa ) + φb′ (qb − d a pa ) ⋅  − d a − pa a  ⋅ pa . dpa dpa  

dd a -t kapjuk, hogy dpa dd a φb (qb − d a p a ) − φb′ (qb − d a p a ) ⋅ d a p a = . dp a φa′ (d a ) + φb′ (qb − d a pa ) ⋅ pa2

Tehát

dd a < 0 , mivel a számláló pozitív, a nevezı negatív, felhasználva, hogy a határhaszon dp a

függvény csökkenı, ezért deriváltja negatív. Hicks tekintette az általánosabb esetet is, melyben a fogyasztó jövedelme nem egy konstans mennyiség, hanem az n -féle jószágból x1 , x2 ,..., xn kezdeti birtokolt mennyiségeivel rendelkezik. Ekkor a (3.2.3) egyensúlyi egyenletek közül csak az utolsó változik:

p1 x1 + p 2 x2 + ... + p n xn = p1 x1 + p 2 x2 + ... + p n xn

(3.2.12)

Az egyenletek differenciálásakor ∂M / ∂pr = 0 helyett ∂M / ∂pr = xr -t kell írni. Az (F4.33) elsı egyenlete ekkor

p1

∂x ∂x1 ∂x + p 2 2 + ... + p n n = xr − xr ∂p r ∂p r ∂p r

lesz.

3.2.3 A csere egyensúlya

Hicks a csere egyensúlyát Walrashoz hasonlóan tökéletes versenyt feltételezve vizsgálta. Hicks feltételei a következık: N számú egyén

n számú jószág különbözı

mennyiségeit cserélik el. Az r . jószágból az i. egyén kezdeti birtokolt mennyiségét jelöljük xri -vel; azt a mennyiséget pedig, amelyet végül megtartott, xri -vel ( xri > xri ha az i. egyén

ennek a jószágnak a vásárlója, és xri < xri ha eladója). Az egyének által az r . jószágból együttesen piacra hozott teljes mennyiséget X r -rel, és a végül megtartott teljes mennyiséget pedig X r -rel jelöljük. Tehát X r = ∑ xri

és X r = ∑ xri . A változók összes száma

i

i

n( N + 1) − 1 , azaz nN változó xri (r = 1, 2, ..., n és i = 1, 2, ..., N) és (n – 1) pr ár (r = 1, 2, ..., n – 1). pn = 1 .

89

Az egyensúlyi feltételeknek két halmaza van, az egyik az egyének vásárlásaira és eladásaira vonatkozik, a másik halmaz a piaci feltételek. (i) Minden egyén vásárlásait és eladásait úgy állapítja meg, hogy maximalizálja hasznosságát költségvetési korlátja figyelembevételével, adott árak mellett. Az i. egyén ordinális hasznossági függvénye: u i = ui ( x1i , x2i ,..., xni ) (i = 1, 2, ..., N), melynek u ri =

∂ui (r = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., N) parciális deriváltjai folytonosak. ∂xri

Az u i maximumának a

∑ p x =∑ p x r

ri

r

r

ri

költségvetési korlát mellett feltétele az, hogy az u ri

r

határhasznok hányadosa egyenlı az adott pr árak hányadosával. Mivel pn = 1 , ezért a feltétel: u ri = u ni (r = 1, 2, ..., n – 1; i = 1, 2, ..., N). pr

(3.2.13)

(ii) A piaci feltétel az, hogy az aggregált kereslet és kínálat egyenlı minden jószág esetén: X r = X r (r = 1, 2, ..., n).

Az egyik egyenlıség ezek közül következik a többibıl. A

(3.2.14)

∑ p x =∑ p x r

r

ri

r

ri

egyéni

r

költségvetési egyenleteket minden egyénre összeadva kapjuk, hogy n

n

r =1

r =1

∑ pr X r = ∑ p r X r .

(3.2.15)

Mivel ez utóbbi egyenlıség szükségképpen teljesül, függetlenül attól, hogy a (3.2.14) egyenletek teljesülnek-e vagy sem, ebbıl következik, hogy ha a (3.2.14) egyenletek közül n − 1 egyenlet teljesül, akkor az n -ediknek is teljesülnie kell. Az egyensúlyi feltételek tehát: (i) (a) (b)

u ri = u ni (r = 1, 2, ..., n – 1; i = 1, 2, ..., N). pr

∑ p x =∑ p x r

r

ri

r

ri

(i = 1, 2, ..., N)

(3.2.16)

r

(ii) X r = X r (r = 1, 2, ..., n-1). Az egyenletek száma n( N + 1) − 1 , egyenlı a változók számával. Az egyéni keresletre van

( n − 1 ) egyenlet (i)(a) – ban és egy egyenlet (i)(b) – ben az i. egyén számára. Ez az n egyenlet elegendı az xri (r = 1, 2, ..., n) változók meghatározásához adott i – re az árak függvényében.

90

A piaci egyensúly az aggregált kereslet és kínálat egyenlıségére vonatkozik, melyet a (ii) egyenletek fejeznek ki, melyek száma ( n − 1 ). Ez az ( n − 1 ) egyenlet elegendı az n − 1 számú ár meghatározásához.

3.2.4 A vállalat egyensúlya. Az egyensúlyi feltételek

Hicks a termelés egyensúlyát az Érték és tıke fıszövegében geometriailag csak egy termék, egy termelési tényezı esetére vezeti le a következıképpen91: Tegyük fel, hogy a vállalat egyetlen terméket, X- et állít elı egyetlen tényezı, A felhasználásával. A termelési lehetıségeket leíró termelési függvényt a következı ábra szemlélteti:

X

M

α

P

K

O

Legyen KP

N

A 3.2 ábra

pA p MK meredekségő egyenes. Ekkor tg (α ) = A = , azaz MK ⋅ p X = MP ⋅ p A . pX p X MP

Tehát MK jelenti azt a termékmennyiséget, amely piaci értéke egyenlı ON tényezı értékével (figyelembe véve, hogy MP = ON ). A KP egyenes meredeksége nem változik, ha a P pont jobbra mozdul el a görbe mentén. OK értéke egyenlı a bevételek költségek feletti többletével. Az egyensúly feltétele Hicks szerint, hogy OK maximális és pozitív legyen.

91

J. R. Hicks: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1978. 119. old.

91

KP folyamatos felfelé tolásával OK addig növekszik, amíg KP nem érinti a termelési görbét. Tehát az egyensúly elsı feltétele az, hogy KP egyenesnek érintenie kell a termelési görbét, azaz

pA egyenlı egyensúly esetén a határtermékkel. pX

Ahhoz, hogy OK maximális, és ne minimális legyen, a termelési görbének az érintési pontban az origóból nézve konkávnak kell lenni, tehát az egyensúlyi pontban a határterméknek csökkenınek kell lenni. Hicks ezt nevezi stabilitási feltételnek. OK – nak pozitívnak is kell lenni, ami csak akkor teljesülhet, ha OP egyenes meredeksége nagyobb, mint KP – é, azaz az átlagtermék nagyobb a határterméknél. Tehát az egyensúly harmadik feltétele az, hogy az átlagtermék csökkenı legyen. Matematikailag a következıképpen határozza meg Hicks a vállalat egyensúlyát az Érték és tıke matematikai függelékében92: A vállalat a tényezık y1 , y 2 , …, y m mennyiségét felhasználva xm+1 , xm+ 2 , …, xn termékmennyiségeket állít elı. A vállalat célja a V = − p1 y1 − p 2 y 2 − ... − p m y m + p m+1 xm+1 + p m+ 2 xm+2 + ... + p n xn profit maximalizálása adott termelési függvényt feltételezve. Hicks a tényezıket a negatív termékekként tekintette, és − y r helyett xr -et (r < m) írt. Ezzel a jelöléssel a vállalat célja a n

V = ∑ p r xr r =1

összeg maximalizálása az f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 feltétel mellett. A termelési tényezık és a termékmennyiségek

közötti

kapcsolatot,

tehát

a

termelési

lehetıségeket

f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 alakban írta fel Hicks. A hasznosság-maximalizálási problémához hasonlóan Hicks ezt a problémát is a Lagrangemultiplikátor módszerrel vizsgálta. A feladat a V − µf kifejezés maximalizálása. Ekkor a maximum elsırendő feltétele: d (V − µf ) = 0 . A másodrendő elégséges feltétel d 2 (V − µf ) < 0 . Az elsı feltételbıl azt kapjuk, hogy pr = µf r′ (r = l, 2, ..., n). µ-t kiküszöbölve n − 1 egyenletet kapunk, amelyek a termelési függvénnyel együtt elegendıek az n számú x1 , x2 , …, xn mennyiség meghatározásához. 92

J. R. Hicks: i. m. 354. old.

92

Mivel V

lineáris függvény, d 2V = 0 , ezért a másodrendő feltétel: d 2 f > 0 ,

df = 0 feltétellel. (3.2.5)-höz hasonlóan kifejtve, de figyelmet fordítva az elıjelek különbségeire, Hicks a stabilitási feltételek következı sorozatához jutott:

0

f1

f1 f2

f11 f12

0 f2 f f12 , 1 f2 f 22 f3

f1 f11 f12 f13

f2 f12 f 22 f 23

0 f3 f1 f13 , …, f 2 f 23 M f 33 fn

f1 f11 f12 M f1n

f2 f12 f 22 M f 2n

... ... ... .M. ...

fn f1n f 2n M f nn

(3.2.17)

determinánsoknak mind negatívnak kell lenniük. Hicks az Érték és tıke fıszövegében hangsúlyozza, hogy bizonyos párhuzamosságot találunk a vállalat és a fogyasztó magatartására felállított elméletek között: „Mégis érintenünk kell ezt a területet ahhoz, hogy rámutassunk a vállalat és a magánszemély esete közötti egy bizonyos párhuzamra, ami lehetıvé teszi, hogy a vállalat piaci viselkedésének törvényeit az elızı eset vizsgálata során megismerthez hasonló alakra hozzuk; és végül, hogy az elızı fejezetben kidolgozott csereelméletet kiterjesszük a termelésre is.”93 És mégis, a fentiekbıl következik, hogy Hicks a vállalat egyensúlyát nem a termelés közömbösségi görbéinek, az úgynevezett isoquant – görbék felhasználásával határozza meg, hanem a termelési függvény felhasználásával. Bár egyes szakirodalmakból az tőnik ki, hogy Hicks az Érték és tıkében a termelés egyensúlyát az isoquant – görbék felhasználásával határozta meg94. A matematikai függelékben azonban Hicks a fogyasztó és a vállalat egyensúlyát azonos módszerrel – a Lagrange multiplikátor – módszerrel határozza meg matematikailag. Tehát megállapíthatjuk, hogy Hicks az Érték és tıkében a vállalat egyensúlyának felírására geometriailag nem a fogyasztói egyensúlyelméletben alkalmazott módszert alkalmazza, míg matematikai levezetésére ugyanazt a módszert. Hicks a közömbösségi görbékre olyan feltételeket szab a fogyasztói egyensúly megállapításakor, hogy egyetlen stabil optimális megoldása legyen az optimalizálási feladatnak: „a csökkenı helyettesítési határráta elvére ugyanazért van szükségünk, amiért Marshallnak szüksége volt a csökkenı határhaszon elvére. Az egyensúly csak abban az esetben lesz stabil, 93

J. R. Hicks: i. m. 118. old. Mátyás A.: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. 1999. 157. old.

94

93

ha az egyensúlyi pont környezetében csökkenı a helyettesítési határráta.”95 Itt Hicks az egyensúly stabilitását olyan értelemben használja, hogy a fenti feltétel szükséges ahhoz, hogy az adott jövedelembıl elérhetı hasznosság valóban maximális legyen. Walrasnak is szüksége volt a csökkenı határhaszon feltételezésére a hasznosság – maximalizálási feltétel levezetéséhez. Hicks több termék esetén is feltételezi, hogy „a helyettesítési határráta minden irányban csökkenı.... Nem hiszem, hogy ez introspektív módon, vagy a „tapasztalat” útján kimutatható lenne... egy eléggé drasztikus hipotézissel van dolgunk, amely azonban lehetıvé teszi, hogy egy jó darabon elıre haladjunk, és amelybıl pozitív következtetésekre juthatunk.”96 Hicks tehát kizárja a tökéletesen helyettesítı és tökéletesen kiegészítı termékeket az elméletébıl, ami a valóságban jelentıs, és ezért nem elhanyagolható szerepet is játszhat. Hicks a termeléselméletben is, akárcsak a kereslet elméletében olyan feltételeket szab (a termelési függvények az origóból nézve konkávak, azaz a határtermék csökkenı), melyek garantálják az egyértelmő stabil egyensúlyi megoldást. Tehát megállapíthatjuk, hogy Hicks – úgy, mint Walras – nem a tapasztalati tényeket felhasználva választotta ki az alkalmas matematikai módszert elmélete kifejtése során, hanem olyan feltételeket írt elı, amelyek szükségesek ahhoz, hogy a kiválasztott matematikai módszert alkalmazni lehessen.

3.2.5 Általános piaci egyensúly és az egyensúly stabilitása

Tegyük fel, hogy N egyén van (i = 1, 2, ..., N), az n jószág xri kezdeti mennyiségét birtokolva (r = 1, 2, ..., n) és a jószágok keresett végsı mennyiségei xri az adott pr áraknál ( pn = 1 ). Az egyéni kereslet feltételei a (3.2.16) (i)(a) és (i)(b) egyenletek. Most tegyük fel, hogy a jószágok cseréjén kívül új kínálatok vannak termelés által, vagy a kezdeti xri erıforrás átalakítása által. Az egyszerőség kedvéért a közbensı termékeket és azokat, amelyek mind fogyasztási javak, mind termelési tényezık, figyelmen kívül hagyjuk. Az n jószágot két egymást nem fedı csoportba soroljuk: m termelési tényezı (s = 1, 2, ..., m) és (n – m) fogyasztási jószág (t = m + 1, m + 2, ..., n). Az r indexet használjuk az n jószág egész csoportjára, ha a kettéosztást tekintjük, akkor az s index utal az m tényezıre és t az (n – m) fogyasztási jószágra. Legyen

95 96

J. R. Hicks: i. m. 63. old. J. R. Hicks: i. m. 66. old.

94

X r = ∑ xri és X r = ∑ xri i

i

adott áraknál az r. jószág kereslete és adott kínálata. Tehát X r vagy csere céljára szolgál (r = t) vagy termelési tényezıként való felhasználásra (r = s); X r vagy egy fogyasztási jószág keresett mennyisége (cserélt vagy új termelésbıl), vagy egy tényezıszolgálat kereslete. Némely jószágra (s index) X s < X s és az egyenleg a tényezı kínálata. Másokra (t index) X t ≥ X t és a további kereslet forrása az új termelés. Innen:

piaci kínálat (tényezık) = − ( X s − X s ) s = 1, 2, ..., m piaci kereslet (fogyasztási javak) = X t − X t t = m+1, m+2, ..., n. Ezek a pr árak függvényeiként adottak. Most az egyének közé beleszámítjuk azokat is, akik vállalkozóként lépnek fel. Tegyük fel, hogy a vállalatok belépése szabad a termelési iparágba, és ez maga után vonja, hogy a nettó profit valamilyen „normális”, fix szinten van tartva. Ez maga után vonja, hogy az i. egyén jövedelme a profit alkalmas Ri szintjével növelve van és a (3.2.16) (i)(b) feltétel a következıvé válik:

∑ p x =∑ p x r

r

ri

r

ri

+ Ri .

r

xri -hez hasonlóan Ri értékei adottak; Ri = 0 ha az egyén nem vállalkozó, és Ri > 0 ha vállalkozó. Tegyük fel, hogy a termelés M cég által történik, jelöljük j indexszel (j = 1, 2, ..., M). Mindegyik cég termelésének technikai feltételeit a termelési függvény fejez ki: f j ( x1 j , x2 j ,..., xnj ) = 0 , ahol xrj az r. jószág termelt mennyisége (ha pozitív) vagy tényezıként való felhasznált mennyisége (ha negatív). Tehát egyes xrj negatív (ha r értéke s = 1, 2, ..., m közül való) és egyes pozitív (ha r t = m+1, m+2, ..., n közül való). Lehetnek jószágok, tényezık vagy termékek, melyekre xrj = 0 ; a konkrét cég az ilyen jószágot nem használja sem tényezıként, és nem állítja elı azokat termékként. Tegyük fel, hogy f j

f rj =

∂f j ∂xrj

(r = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., M)

parciális deriváltjai folytonosak. f rj -k hányadosai fejezik ki a termelésben a technikai helyettesítés határrátáját.

95

Mindegyik cég megállapítja a termelés szerkezetét, hogy a nettó profitját maximalizálja adott árak mellett, a termelési függvénye korlátozásait figyelembe véve. A nettó profit R j = ∑ pr xrj , mely a bevételek ( xrj > 0 ) és a költségek ( xrj < 0 ) különbsége. Walrassal r

ellentétben itt azért nem nulla a profit, mert Hicks nem tételezte fel, hogy a termelés fix technikai együtthatók feltételével történik (konstans skálahozadék). Az R j = maximum f j = 0 mellett feltétele az, hogy a technikai helyettesítés határrátái egyenlık legyenek az adott pr árak hányadosával. Mivel pn = 1 , ezért a feltétel: f rj pr

= f nj (r = 1, 2, ..., n – 1 és j = 1, 2, ..., M).

A piaci feltétel az, hogy a tényezık és fogyasztási javak keresletének és kínálatának egyenlınek kell lenni. Legyen Yr az r. jószág nettó termelése (vagy nettó felhasználása) az összes cég által: Yr = ∑ xrj . Ekkor a piaci feltételek: Yr = X r − X r , ahol r jelölhet egy j

tényezıt vagy egy fogyasztási jószágot is. A teljes rendszer: (i) (a) (b)

u ri = u ni (r = 1, 2, ..., n – 1; i = 1, 2, ..., N). pr

∑ p x =∑ p x r

r

(ii) (a)

f rj pr

ri

r

ri

+ Ri (i = 1, 2, ..., N)

r

= f nj (r = 1, 2, ..., n – 1 és j = 1, 2, ..., M).

(b) f j ( x1 j , x2 j ,..., xnj ) = 0 (j = 1, 2, ..., M) (iii) Yr = X r − X r (r = 1, 2, ..., n –1) Mindamellett a cégek maximalizált profitjai (Rj) kapcsolatban vannak a vállalkozói jövedelmekkel (Ri):

∑R = ∑R j

i

j

.

i

Egyszerően azt mondhatjuk, hogy az együttes profitok egyenlık az együttes vállalkozói jövedelmekkel; nem szükséges feltételezni, hogy valamilyen kapcsolat van egy cég és egy vállalkozó között. Ilyen körülmények között:

∑R = ∑ p Y j

r r

j

és

r

∑p X r

r

= ∑ pr X r + ∑ Ri

r

r

96

i

(i)(b) szerint

∑p X

azaz

r

r

r

= ∑ p r X r + ∑ p r Yr r

r

ahol r 1-tıl n-ig megy. Ezért, ha (iii) érvényes r = 1, 2, ..., n – 1 –re, akkor érvényes r = n –re is. Az

(i)-(iii)

rendszerben

a

változók:

xri ,

xrj

és

pr ,

és

számuk

nN + nM + (n − 1) = n( N + M + 1) − 1 . Az egyenletek száma ugyanennyi. A termelés és a csere itt kifejtett egyensúlya lényegében megegyezik Hicks Érték és tıkében bemutatott egyensúlyelméletével. Az (i)(a) és (i)(b) feltételek megadják az xri egyéni keresleteket az árak függvényében, és így az ( X r − X r ) aggregált kereslet következik minden jószágra (tényezı vagy fogyasztási jószág) az árak függvényében. A (ii)(a) és (ii)(b) feltételek adják a cégek xrj termelését az árak függvényében, és így az Yr aggregált kínálatot minden jószágra az árak függvényében. A (iii) piaci feltételek kifejezik, hogy a kereslet egyenlı a kínálattal a tényezık és a fogyasztási javak minden piacán. A számuk (n – 1) és elegendıek a piaci árak meghatározásához. Hicks azonban Walrastól eltérıen nem írja fel explicite a keresleteket és kínálatokat meghatározó egyenleteket, csak a (iii) általános egyenletet, nem téve különbséget termelési tényezı és termék között. Hicks általános egyensúlyi elmélete, ahogy Walras modellje is, mikroökonómiai alapon épül fel, a fogyasztók és a vállalatok optimalizációs problémáját vizsgálta. „Az egyéni kereslet elemzése csupán eszköz a piaci kereslet tanulmányozásához. Módszerünk szerencsére minden nehézség nélkül lehetıvé teszi, hogy áttérjünk erre az esetre. A piaci keresletet csaknem ugyanazon tulajdonságok jellemzik, mint az egyéni keresletet.”97 Hicks az árváltozás által kiváltott egyéni keresletváltozásokat összegzi egy fogyasztói csoportra, és a csoport keresletének változását felbontja jövedelmi és helyettesítési hatásra. A jövedelmi hatás az egyéni jövedelmi hatások összege, a helyettesítési hatás pedig az egyéni helyettesítési hatások összege. Hicks ezzel indokolja, hogy az egyéni kereslet tulajdonságait átvihetjük a piaci keresletre. Az árváltozások a vállalatok csoportjára vonatkozó hatását Hicks az egyes vállalatokra vonatkozó hatások összegzésével kapja, és „ennyiben a csoport vonatkozásában ugyanazok a törvények érvényesek, mint egyetlen vállalatra nézve.”98 Hicks tehát egy fogyasztói csoport vagy egy vállalatcsoport viselkedését, döntési reakcióit egyetlen fogyasztó vagy vállalat viselkedésére próbálta visszavezetni. Azonban nem vette figyelembe, hogy a fogyasztói csoport viselkedése is befolyásolhatja az egyén döntéseit, 97 98

J. R. Hicks: i. m. 74. old. J. R. Hicks: i. m. 140. old.

97

megváltoztathatja a fogyasztó preferenciáit. Hicks azt tételezte fel, hogy „az egyén adott preferenciaskálával rendelkezik”, és ez a preferencia-sorrend „önmagában független az áraktól”99 A közgazdasági elméletben ismertek olyan extern fogyasztói hatások, melyek során a többi fogyasztó magatartása befolyásolja az egyén preferenciáit. Ilyen hatás a „nyáj” hatás, és a sznob-hatás. A Veblen hatásnál pedig az ár befolyásolja az egyén preferenciáit, mert a fogyasztó az ár alapján következtet a minıségre. Hicks nem vette figyelembe ezeket a külsı hatásokat, és e hatásokból adódó paradox árhatásokat nem lehet megmagyarázni Hicks elmélete alapján. Ha az egyének preferenciarendszerét a többi fogyasztó magatartása vagy az ár is befolyásolja, akkor az egyéni keresleti függvények nem függetlenek, és ezért nem lehet ıket egyszerően horizontális összegzéssel piaci keresleti függvénnyé összegezni. Hicks az Érték és tıkében, Walrashoz hasonlóan elıször a termelés nélküli csere egyensúlyi feltételeit vizsgálta meg, amikor a jószágok mennyisége adott és változatlan, majd utána vizsgálta a termelés egyensúlyi feltételeit. Hicks Walrashoz hasonlóan nagy jelentıséget tulajdonított az általános egyensúlyt leíró szimultán egyenletrendszernek. Hicks szerint a walrasi rendszer terméketlenségének oka – mellyel több közgazdász illette Walras munkáját – az, hogy Walras nem dolgozta ki az általános egyensúlyrendszer változásának törvényeit. Hicks Walras egyensúlyelméletét az egyensúly stabilitásának vizsgálatával egészítette ki. Hicks Walrashoz hasonlóan nem próbálta meg az általános egyensúlyt leíró egyenletrendszer pozitív

megoldásának,

azaz

az

egyensúly

létezésének

lehetıségét

matematikailag

bebizonyítani. Az egyensúly létezése Hicksnél is és Walrasnál is feltételezett és nem bizonyítandó volt.

A piaci egyensúly stabilitása

Hicks megvizsgálja az általános egyensúly stabilitását, melyhez az szükséges, hogy „az egyensúlyi helyzettıl való kismértékő eltávolodás következtében olyan erık lépjenek mőködésbe, amelyek az egyensúly visszaállításának irányába hatnak.”100 Két jószág cseréje esetén az egyensúly feltétele az, hogy mindkét termék esetén a kereslet egyenlı legyen a kínálattal, a stabilitás feltétele, hogy az egyik termék árának csökkenése növelje meg a keresletét a kínálatához képest. A 3.1.3 fejezetben leírtuk, hogy Walras is tárgyalta az egyensúly stabilitásának kérdését a

99

J. R. Hicks: i. m. 95. old. J. R. Hicks: i. m. 102. old.

100

98

tatonnement – elméletében. Walras szerint több árucikk esetén a stabil egyensúlyhoz az szükséges, hogy az egyes termékek kereslete egyenlı legyen a kínálatával, vagy ha nem egyenlık, akkor ár növekedjen túlkereslet esetén, és csökkenjen túlkínálat esetén. Az alábbiakban látni fogjuk, hogy Hicks több termék esetére bonyolultabb feltételt ír elı: a többoldalú csere stabil, ha X termék árának csökkenése növeli X keresletét kínálatához képest, ha a többi ár úgy alkalmazkodik az új helyzethez, hogy a többi piac egyensúlya továbbra is fennmarad. Az általános piaci egyensúly problémájában az (n – 1) piaci árakat ( pn = 1 ) a következı egyenletek határozzák meg: Yr = X r − X r (r = 1, 2, ..., n – 1) Itt

az

r.

jószágra

Yr = ∑ xrj =

nettó

termelés

(vagy

(3.2.18) nettó

felhasználás),

és

j

X r − X r = ∑ ( xri − xri ) = nettó fogyasztói kereslet (vagy nettó tényezı kínálat). i

Legyen S r és Dr a kínálat és kereslet az r. jószágra az r. piacon, azaz Fogyasztási jószág esetén

S r = Yr

Tényezı esetén

Sr = X r − X r

Dr = X r − X r

Dr = −Yr

Minden esetben a túlkínálat ugyanaz: S r − Dr = Yr − ( X r − X r )

(3.2.19)

A (3.2.18) piaci egyenletek kifejezik, hogy S r − Dr = 0 minden fogyasztási jószágra és tényezıre. A (3.2.18) egyenletekben az n – 1 ár szerepel, mivel feltételezzük, hogy az egyéni fogyasztók választásai és az egyéni cégek döntései az aggregált X r -t és Yr -t az árak függvényeként adják meg. A kereslet és kínálat n. egyenletét, tehát a numeraire – re vonatkozót, figyelmen kívül hagytuk; ez az egyenlet automatikusan teljesül, ha a többi érvényes. Ha a (3.2.18) egyenletek bármelyike nem teljesül, tehát egy piac nincs egyensúlyban az adott áraknál, akkor a kereslet és kínálat egyenlısége a numeraire – re sem érvényes. Az árak egy egyensúlyi helyzete stabil, ha valamely ár kezdeti változása maga után vonja az ár visszatérését az egyensúlyi szintre. Walras szerint az egyedüli piacon az áregyensúly stabil, ha a kínálati görbe a keresleti görbét alulról metszi. Ha S ( p ) és D ( p ) a kínálati és keresleti függvény, a stabilitási feltétel: d ( S − D ) > 0 olyan p – re, melyre S − D = 0 . dp

99

A túlkínálat (S - D) nulla az egyensúlyi árnál, és pozitívvá válik, ha az ár nı. Hicks az Érték és tıkében e walrasi feltétel kiterjesztését használta a kölcsönös kapcsolatban levı piacok egyensúlya stabilitásának definiálásához. Ha az r. jószág S r kínálata és Dr kereslete az összes ár függvénye, a piac stabil Hicks – i ételemben, ha d ( S r − Dr ) > 0 dp r a piaci egyensúlyból való változás esetén (r = 1, 2, ..., n – 1). Azonban ezt a feltételt különféle módon lehet értelmezni. Egy szélsıséges esetben a pr árban történt változás elıállhat mialatt a többi ár változatlan marad. Ez azt jelenti, hogy nemcsak az r. piac távolodik az egyensúlytól ( pr árban történt változás miatt), hanem az összes többi piac is kilendül az egyensúlyból. Egy másik szélsıséges esetben a pr árban történt változást ellensúlyozza az összes többi árban történt változás úgy, hogy minden piac (kivéve az r. és a numeraire piaca) egyensúlyban marad. E két szélsıséges eset között vannak esetek, ahol némely ár változatlan marad (és a megfelelı piacokon az egyensúly felborul) és mások alkalmazkodnak úgy, hogy a megfelelı piacok egyensúlya fennmaradjon. Hicks szerint az áregyensúly tökéletes stabilitása az, ha a d ( S r − Dr ) > 0 feltétel érvényes minden körülmények között, akár pr - en kívül minden ár dp r változatlan marad, vagy úgy változnak, hogy fenntartsák az egyensúlyt a többi piacon, akár némely változatlan marad és mások változnak. (3.2.19) szerint, mivel X r adott, a Hicks – i tökéletes stabilitás feltétele:

és

Yr − X r = − X r   d (r = 1, 2, ..., m – 1) (Yr − X r ) > 0   dp r 

(3.2.20)

minden esetben, akár változnak az árak, akár nem. Itt

d ∂ (Yr − X r ) a totális derivált. Ezt megkaphatjuk a (Yr − X r ) -hez hasonló parciális dp r ∂p s

deriváltakkal kifejezve, amelyek az egyensúlyi helyzetnél vannak kiértékelve, és így konstansok értékben. Írjuk ezeket a konstansokat a következıképpen: a rs =

∂Y ∂X ∂ (Yr − X r ) = r − r az egyensúlyi áraknál. ∂p s ∂p s ∂p s

A (3.2.20) feltételeket ki lehet fejezni az a rs konstansokkal. A piaci egyensúly tökéletes stabilitásának Hicks – i feltételei az F3.3 függelékben vannak levezetve.

100

3.2.6 A Lagrange-féle multiplikátor módszer elsı használata a közgazdaságtanban

A 3.2.1 és a 3.2.4 fejezetekben láttuk, hogy Hicks az Érték és tıkében felhasználta a Lagrange multiplikátor módszert feltételes szélsıérték-probléma megoldásához. Ebben a fejezetben azt próbáljuk felderíteni, hogy ki használta elıször a közgazdaságtanban a Lagrange multiplikátor módszert. Az 3.1.3 fejezetben leírtuk, hogy Hermann Amstein 1877 január 6-án írt levelében Walras kérésére megoldotta a termelési költségek minimalizálásának problémáját a Lagrange multiplikátor módszert felhasználva. A levél nem vezetett a módszer nyilvánosságra hozott használatához Walras módszer iránti megértésének hiányának köszönhetıen. John Creedy101 kimutatta, hogy a Lagrange – multiplikátorokat a közgazdasági elméletben Edgeworth használta 1877 – ben megjelenı New and Old Methods of Ethics címő könyvében. Creedy professzor cikkének publikálása elıtt az volt általánosan elfogadott, hogy Edgeworth 1881 – ben megjelenı Mathematical Psychics címő könyve tartalmazta elıször a Lagrange – multiplikátorok használatát a közgazdasági irodalomban. Edgeworth a New and Old Methods of Ethics címő könyvében a hasznossági függvény sajátosságait tekintette, és világosan bizonyította, hogy az elsı deriváltja pozitív, és a második deriváltja negatív. Fontos hangsúlyozni, hogy Edgeworth a deriváltak elıjelét a kísérleti pszichológusok eredményeire alapozta. A π hasznossági függvényt a következı alakba írta: k (az élvezethez való képesség) szorozva [ f ( y ) − f ( β )] -vel, ahol y fejezi ki az „élvezet eszközét” és β a küszöb. A probléma az, hogy megkapjuk az egyén jövedelemelosztását, amelyik maximalizálja az egyéni hasznosságok összegét. Az egész élvezetet a következıképpen lehet kifejezni:

k[ f ( y1 ) − f ( β )] + k[ f ( y 2 ) − f ( β )] + k[ f ( y3 ) − f ( β )] + ... , ahol

y1 , y 2 ,...

adottak.

Azért,

hogy

az

egész

maximális

legyen,

k[ f ( y1 ) + f ( y 2 ) + ...] − c( y1 + y 2 + ...) -nek kell maximálisnak lenni: a probléma megoldása (mivel f ′′ feltétel szerint negatív) a következı egyenletekkel adott:

kf ′( y1 ) = c , kf ′( y 2 ) = c , kf ′( y3 ) = c , ... ahol c a Lagrange multiplikátor. Ezért y1 , y 2 ,... mind egyenlık. Jegyezzük meg, hogy Edgeworth elhagyta a konstans tagot, ahelyett, hogy a teljes Lagrange függvényt írta volna fel: 101

J. Creedy: The early use of Lagrange multipliers in economics, The Economic Journal 90 (1980) 371-376. old.

101

L = k ∑ [ f ( yi ) − f ( β )] − c(∑ yi − D) ,ahol a korlátozás D = ∑ yi . i

i

Itt D az elkölthetı jövedelem nagyságát jelöli. Jegyezzük meg, hogy Edgeworth sehol sem definiálta a Lagrange multiplikátort, és nem adott magyarázatot a használt módszerre. Thorkild Davidsen102 azonban felhívta a figyelmet arra, hogy a Lagrange – multiplikátorok közgazdaságtani használata megtalálható Harald Westergaard 1876 – ban a dán Tidsskrift for Mathematik címő folyóiratban megjelenı cikkében. Westergaard és Edgeworth pontosan ugyanahhoz a közgazdasági problémához alkalmazták a Lagrange – multiplikátorokat: a haszonmaximalizálási problémához. Westergaard egy ϕ ( x ) hasznossági függvényt tekintett, amelyrıl csak azt tételezte fel, hogy az elsı deriváltja pozitív és a második deriváltja negatív. Westergaard – mint ahogy Edgeworth tette – az egyén M jövedelmének azon elosztását kereste, amely maximalizálja az egyéni hasznosságok összegét: U = ϕ 1 ( x1 ) + ϕ 2 ( x2 ) + ... + ϕ n ( xn ) . Westergaard feltételezte, hogy ϕ1 = ϕ 2 = ... = ϕ n , tehát a hasznossági függvény ugyanaz minden termék esetén, és minden termék ára egységnyi. A következıképpen járt el:

U = ∑ϕ ( x r ) ,

∑x = M , dU = ∑ϕ ′( x )dx , ∑ dx = 0 d U = ∑ϕ ′′( x )(dx ) + ∑ϕ ′( x )d x , ∑ d r

2

r

r

r

2

r

2

r

r

r

2

xr = 0 ,

és a szükséges feltételt kifejezı egyenlet:

∑ϕ ′( x )dx r

r

+ λ ∑ dxr = 0 ,

ahol λ egy konstans. Ebbıl következik, hogy

ϕ ′( x1 ) + λ = 0 , ϕ ′( x2 ) + λ = 0 , ...

ϕ ′( xn ) + λ = 0 , és mivel a

ϕ ′( xr ) + λ = 0 , egyenletnek csak egy valós gyöke lehet, kapjuk, hogy

102

T. Davidsen: Westergaard, Edgeworth and the use of Lagrange multipliers in economics. The Economic Journal 96 (1986), 808-811. old.

102

x1 = x2 = ... = xn = és

M , n

m M  m d 2U = ϕ ′′ ∑ (dxr ) 2 + ϕ ′ ∑ d 2 xr =ϕ ′′ ∑ (dxr ) 2 < 0 . n  n  n

Következésképpen U maximális, ha

x1 = x2 = ... = xn .

3.2.7 Az idıtényezı figyelembevétele Hicks elméletében

Az 1870-es évektıl az uralkodó közgazdaság-elmélet az egyensúlyelmélet volt. Ez az elmélet az egyensúlyi helyzetet vizsgálta, vagyis tökéletes verseny esetén a kereslet és a kínálat egyensúlyát. Az egyensúlyelmélet képviselıi nem vették figyelembe az idıtényezıt, a gazdasági folyamatok idıbeni lefolyását. Csak az egyensúly létezésével foglalkoztak, de azzal nem, miként alakul ki az egyensúly, és hogy a nem egyensúlyi helyzetbıl mikor, milyen úton lesz egyensúlyi állapot. A klasszikus közgazdák központi problémája volt a gazdasági növekedés kérdése. A modern növekedéselmélet eredete a klasszikus közgazdák munkáiban keresendık103. Harrod szerint ahogy tökéletesedett a statikus elemzés a marginalizmus által, úgy szorították háttérbe a dinamikus elemzést a közgazdasági vizsgálatokban. Ennek az az oka, hogy a dinamikus elemzéshez a klasszikus analízis eszközei nem nagyon használhatók. Az idıtényezı figyelembevétele a közgazdaságtanban a statika és a dinamika fogalmainak elhatárolódásával járt. A statika és a dinamika egyfajta értelmezését Harrod adta. A dinamika fogalmának Harrod által adott értelmezése „olyan definíciót eredményezne a közgazdaságtanban, amely a statikának és a dinamikának a fizikai tudományokban való elkülönítésével analóg.”104 A statika a fizikában a nyugalom állapotával foglalkozik. A statikus egyensúly Harrod szerint nem jelenti a tétlenség állapotát, mivel a gazdasági tevékenység állandó ütemben halad, növekedés vagy csökkenés nélkül. A statikus egyensúlyi helyzetben bizonyos értékek változatlanok maradnak: a különféle termelési tényezıknek a különféle termékek elıállítására fordított mennyiségei, a különféle termékek évenként gyártott mennyiségei, a termelési tényezık és a termékek árai. A közgazdasági statikában 103

P. Deane: A közgazdasági gondolatok fejlıdése. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. 1997. 59 – 73. old 104 R. Harrod: Dinamikus közgazdaságtan felé. In: A gazdasági fejlıdés feltételei. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1963. 172. old.

103

adottnak tételeznek fel alapvetı feltételeket, mint például a népesség nagyságát, a föld mennyiségeit, az ízléseket, és ezek határozzák meg bizonyos ismeretlenek értékét, mint például a termékek évi termelését, a termelési tényezık és a termékek árait. Harrod szerint a dinamikának olyan közgazdasággal kell foglalkoznia, melyben a termelés üteme és az alapvetı feltételek változnak, és a megoldandó egyenletek ismeretlenjei nem az évi termelési ütemek, hanem az évi termelési ütemek növekedése vagy csökkenése. A statikus elemzés az egyensúllyal foglalkozik, a dinamikus elemzés ezzel szemben a növekedési ütemmel, és ennek változásaival. A statika egyensúlyfogalmának a dinamika egyensúlyi növekedés fogalma felel meg. A statika és dinamika másik definícióját Ragnar Frisch adta. Frisch szerint a statikus elemzés nem számol a gazdasági jelenségek közötti idıbeni kapcsolattal, és feltételezi, hogy „valamennyi változó ugyanahhoz az idıponthoz tartozik”105, mint például Walras rendszerében. A dinamikus elmélet „rávilágít arra, hogy egy adott szituáció miként fejlıdik ki a megelızıbıl. Az ilyen típusú elemzés során nemcsak azt vesszük figyelembe, hogy bizonyos mennyiségek egy adott idıpontban milyen értéket vesznek fel, s ezek között milyen összefüggések vannak, hanem bizonyos változók nagyságát különbözı idıpontokban is vizsgáljuk, és bevezetünk bizonyos egyenleteket is, amelyek egyszerre fognak át számos, különbözı pillanatokhoz tartozó értéket”.106 Frisch szerint a dinamikus rendszernek egy szempontból hasonlítania kell a walrasi rendszerhez: determináltnak kell lennie, vagyis a modellnek annyi egyenletet kell tartalmaznia, ahány ismeretlen szerepel benne. A közgazdasági elméletben Frisch nyomán Harrodtól eltérıen statikán és dinamikán nem a vizsgált jelenség természetét, hanem meghatározott vizsgálati módszert értenek. A statikus elemzés állapotelemzés, az egyensúlyi állapot elemzése. Minden változó értéke azonos idıpontra vonatkozik, nincs kapcsolat a változók különbözı idıpontbeli értékei között, így nem lehet differenciaegyenletet vagy differenciálegyenletet felírni. A gazdasági folyamatok statikus egyensúlyi helyzetek egybevetése révén való vizsgálata az ún. komparatív statika. A komparatív statika nem fejezi ki az egyik egyensúlyi helyzetbıl a másikba való átmenet folyamatát. A dinamikus vizsgálat a statika állapotelemzésével szemben folyamatelemzés. A változók

különbözı

idıpontbeli

értékei

közötti

kapcsolatot

meghatározva

differenciaegyenletet vagy differenciálegyenletet lehet felírni. 105

R. Frisch: Kvantitatív és dinamikus közgazdaságtan (Válogatott tanulmányok). Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1974. 104. old. 106 R. Frisch: i. m. 104. old.

104

Samuelson a dinamikus vizsgálat két módszerét különbözteti meg: periódus- és rátaelemzést. A perióduselemzés a vizsgált idıszakot egymás utáni véges nagyságú periódusokra bontja, a változók az idı függvényében nem folytonosan változnak, hanem a periódus végén ugrásszerően, így nem lehet ıket az idı szerint deriválni. A változók különbözı idıpontbeli értékei közötti kapcsolatot differenciaegyenlettel lehet meghatározni. A rátaelemzés szerint a változók az idı függvényében folytonosan változnak, az idı szerint lehet ıket deriválni. A változók különbözı idıpontbeli értékei közötti kapcsolatot differenciálegyenlettel lehet meghatározni. Az elızı fejezetekben láttuk, hogy a közgazdasági elméletben jórészt a természettudományokban - fıként a fizikában - alkalmazott matematikai módszereket használták fel: a klasszikus analízis, a differenciál- és integrálszámítás, valamint a differenciálegyenletek módszereit. Ezeknek a módszereknek az alkalmazása feltételezi a közgazdasági változók folytonosságát. Valójában a közgazdasági változókat legritkább esetben tekinthetjük folytonosnak. A valósághoz közelebb áll az idı diszkrét kezelése, hiszen például a makrofolyamatokról diszkrét idıpontban állnak rendelkezésre adatok (éves, negyedéves felbontásban).

A dinamikus közgazdaságtan megalapozása az Érték és tıkében

Az Érték és tıke I. és II. részében Hicks a gazdasági rendszert „kölcsönösen összefüggı piacok hálózataként” ábrázolja107. E statikus vizsgálat során nem számol a gazdasági változók között idıben fennálló kapcsolatokkal. A III. és IV. részben a gazdasági rendszert mint idıben végbemenı folyamatot mutatja be. E dinamikus vizsgálat olyan problémákkal foglalkozik, „melyeknél a gazdasági mennyiségek idıbeni keletkezése elsıdleges fontosságú.”108 Hicks a dinamikus problémát formailag azonos statikus problémára vezeti vissza, és a statikus elmélet eredményeit felhasználja a kifejtés során. Hicks a dinamikus vizsgálatot a statikus vizsgálatra alapozza, és ennek során is az egyén optimalizációs magatartását vizsgálja. „A dinamikus rendszerre ... ugyanolyan típusú elemzést kell alkalmaznunk, mint amilyent a második részben a statikus rendszerre nézve elvégeztünk. ... Ismét meg kell vizsgálnunk a magánszemély helyzetét és viselkedésének törvényeit, mindössze itt több dolgot kell figyelembe vennünk.”109

107

J. R. Hicks: Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1978. 152. old. J. R. Hicks: i.m. 152. old. 109 J. R. Hicks: i. m. 227. old. 108

105

A dinamikus modellben az egyének optimalizációs magatartását nemcsak a jelenbeli adottságok, hanem a jövıbeli feltételek is befolyásolják. A fogyasztói magatartás statikus modelljében az egyes jószágok kereslete a jelenbeli árak és jövedelem függvénye, a dinamikus modellben a jövıben várható jövedelmek és árak függvénye is. A termelés statikus modelljében a termék kínálata csak a jelenbeli ártól függ, s a jelenbeli termelést meghatározza a termelési tényezık jelenben felhasznált mennyisége. A termelés dinamikus modelljében a termelés idıben végbemenı folyamat, a vállalatnak a jelenben termelési tervet kell készítenie. A termelési terv a következı alakban írható fel: y10 , y11 , y12 , ..., y1ν y 20 , y 21 , y 22 , ..., y 2ν ... xm +1, 0 , xm +1,1 , xm +1, 2 , ..., xm +1,ν xm+ 2,0 , xm + 2,1 , xm+ 2, 2 , ..., xm+ 2,ν

.... ahol yij jelöli az i. tényezı j. idıszakban felhasznált mennyiségét (i = 1, ..., m; j = 1, ..., ν), xkj pedig a k. termék j. idıszakban elıállított mennyiségét jelöli (k = m+1, ..., n; j = 1, ..., ν). Mint a 3.2.4 fejezetben, kezeljük itt is tényezıket negatív termékekként. A vállalat esetében a dinamikus probléma az, hogy meghatározza a kezdeti felszerelések segítségével elıállítható maximális tıkeértékkel rendelkezı kibocsátásfolyamot. A feladat tehát n

ν

C = ∑∑ β tt p rt xrt r =1 t = 0

összeg maximalizálása az f ( x10 , x20 ,..., xn 0 , x11 , x21 ,..., xn1 , x12 , x22 ,..., xn 2 ,..., x1ν , x2ν ,..., xnν ) = 0

feltétel mellett, ahol β t = 1 /(1 + it ) a t. idıszak diszkonttényezıje, pr 0 az xr jelenbeli ára, p rt pedig a t. idıszakban várt ár. Hicks szerint tökéletes verseny feltételei mellett e probléma formálisan azonos a 3.2.4 fejezetben tárgyalt problémával, ezért az egyensúlyi egyenleteket nem fejti ki itt Hicks. A fejezet elején írtuk, hogy a dinamikus elemzéshez a klasszikus analízis eszközei nem nagyon használhatók. Ezt a megállapítást bizonyítja az, hogy Hicks az Érték és tıkében a vállalat dinamikus problémáját statikusan kezeli, és a Lagrange – multiplikátor módszert alkalmazza a termelési terv jelenbeli értékének maximalizálására. Hicks azért tudta ezt a módszert alkalmazni, és ez a megközelítés azért statikus, mert Hicks nem vette figyelembe a 106

termelési tényezık idıbeli kapcsolatát: az adott idıszakban rendelkezésre álló tényezık nagysága függ a korábbi idıszakban felhasznált mennyiségtıl, és esetleg beruházással növelhetı is. Hicks a technikai feltételeket egyetlen függvénybe „olvasztotta be”.

107

Függelék F1. Függelék a 2.3 fejezethez Az egyéni keresleti görbe levezetése

A keresleti görbe levezetését a hasznosság-maximalizálási folyamat vizsgálatával végezzük abban az egyszerő esetben, amikor csak két jószágot tekintünk, (A)-t és (B)-t. Tekintsünk egy egyént (jelöljük (1)-el), aki csak a (B) jószág egy bizonyos mennyiségét birtokolja, de (B) egy részét el kívánja cserélni (A) jószág egy mennyiségére. Ki fog derülni, hogy az (A) iránti keresletet meg lehet határozni az (A) és (B) jószágok egyéni határhaszon (rareté) görbéi alapján, amelyekrıl feltesszük, hogy a megfelelı mennyiség csökkenı folytonos függvényei.

q

q

βq,1 ρ

qb,1 y’

αq,1 x’’’ da,1 x’’

β’

α α’’ β’’

y’’ y α’

x’ 0

(a)

β

y’’’

r αr,1

0

(b)

βr,1

r

F1 ábra Az F1 ábrán az (1) egyén φ a ,1 és φb ,1 határhaszon (rareté) függvényei látható. Az egyén kezdeti mennyiségét (B)-bıl qb ,1 jelöli, (A)-ból a kezdeti mennyisége nulla. Feltesszük, hogy (A) ára (B)-ben kifejezve pa . Walras feltette, hogy (A) és (B) szőkösségeinek (rareté) aránya 108

a csere kezdetén nagyobb pa -nál110, vagyis az F1(a) ábrán 0α r ,1 hossz nagyobb, mint a F1(b) ábrán qb ,1 ρ szorozva pa -val, azaz

φa ,1 (0) > paφb ,1 (qb ,1 ).

(F1.1)

Walrasnak ez a feltétele azt fejezi ki, hogy az egyénnek elınyös lemondani (B) bizonyos mennyiségérıl (A)-ért. Ezt a következıképpen lehet megmagyarázni. Legyen x′ (A) egy kis mennyisége, melyet az egyén megvásárol a cserében (B) qb ,1 − y ′ = p a x′ egységéért. (F1.1) miatt meg tudjuk x′ -t választani úgy, hogy φ a ,1 ( x' ) > p aφb ,1 ( y ' ) teljesüljön. Az egyenlıtlenség megfelelı oldalait megszorozva pa x′ -vel, illetve (qb,1 − y ′) -vel, és a kapott egyenlıtlenség mindkét oldalát pa -val osztva kapjuk, hogy x'φ a ,1 ( x' ) > (qb ,1 − y ' )φb,1 ( y ' ) . Ez azt jelenti, hogy a vonalkázott téglalap területe az F1(a) ábrán nagyobb, mint a vonalkázott téglalap területe az F1(b) ábrán. Ebbıl következik, hogy a 0α r,1α ′x ′ „trapéz” területe az F1(a) ábrán nagyobb, mint qb ,1 ρβ ′y ′ „trapéz” területe az F1(b) ábrán. Ez azt jelenti, hogy az egyén teljes haszna nıtt a tranzakció következtében. Nyilvánvaló, hogy (B) további cseréje (A)-ért pa áron hasonlóképpen elınyös, feltéve, hogy az elıbbi egyenlıtlenségek fennállnak. Legyen x′′ a hasznosság növelı tranzakciók sorozatának eredménye az F1(a) ábrán a megfelelı y ′′ -vel az F1(b) ábrán, és tegyük fel, hogy

φ a ,1 ( x' ' ) > paφb ,1 ( y ' ' ) fennáll. A végsı helyzetben az

egyénnek (A)-ból d a ,1 mennyisége lesz, míg (B)-bıl marad neki

y , így fennáll

pa d a ,1 = qb,1 − y és

φ a ,1 (d a ,1 ) = p aφb ,1 ( y ) .

(F1.2)

A tranzakció, amelyben d a ,1 − x′′ egység (A)-t cserélnek y ′′ − y egység (B)-ért, még mindig elınyös. Ezt a következıképpen láthatjuk be: (F1.2)-bıl következik, és abból, hogy pa mindig az elcserélt mennyiségek hányadosa (vagyis pa = ( y ′′ − y ) /(d a ,1 − x′′) ), hogy (d a ,1 − x' ' )φ a ,1 (d a ,1 ) = ( y ' '− y )φb,1 ( y ) .

(F1.3)

Ez azt jelenti, hogy az ábrán a két sötét téglalap területe egyenlı. De d a ,1αα ′′x′′ területe nagyobb, mint y ′′β ′′β y területe. Ezért a tranzakció elınyös. Egy további tranzakció, amit pl. x′′′ és y ′′′ mutat, ahol (A) x′′′ − d a ,1 egységét cserélik (B) y − y ′′′ egységére, csökkenti a teljes

110

L. Walras: Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. 1954. 122. old.

109

hasznosságot, amelyet az egyén d a ,1 egység (A) és y egység (B) fogyasztásakor ér el. Ezt a fenti

módon

lehet

bizonyítani:

(A)

hasznosságnövekménye

kisebb,

mint

(B)

hasznosságcsökkenése. Ez azt jelenti, hogy az egyén számára maximális teljes hasznosságot d a ,1 egység (A) és y egység (B) fogyasztása okoz.

Összefoglalva: két termék esetén bármely egyén akkor ér el maximális hasznosságot, ha a termékek szőkösségeinek (rareté) aránya megegyezik az árral. Az egyéni keresleti függvényt a következıképpen lehet levezetni. Legyen ob ,1 = qb,1 − y ((B) kínált mennyisége), a hasznosság-maximalizálás (F2.2)-es feltételét a

következıképpen lehet felírni:

φa ,1 (d a ,1 ) = p aφb,1 (qb,1 − ob ,1 )

(F1.4)

Mivel ob ,1 = d a ,1 p a , ezért a következıt kapjuk (F1.4)-bıl:

φa ,1 (d a ,1 ) = p aφb,1 (qb ,1 − d a ,1 pa )

(F1.5)

Ebbıl d a ,1 -et ki lehet fejezni pa függvényeként:

d a ,1 = f a ,1 ( pa ) ,

(F1.6)

amely az (1) egyén (A) iránti egyéni keresleti függvénye111.

F2. Függelék a 2.4 fejezethez F2.1 A kereslet jövedelem- és árrugalmassága két termék esetén

Az egyensúlyi feltételek:

1 Rxy xp x + yp y = M és = px p y

(F2.1)

(a) Jövedelemrugalmasság. Differenciáljuk (F2.1) elsı egyenletét parciálisan M szerint: px

∂x ∂y ∂x ∂y + py = 1 ⇒ Mp x + Mp y = M ⇒ xp x E M ( x) + yp y E M ( y ) = M ∂M ∂M ∂M ∂M

felhasználva (2.4.4)-et. (F2.1) második egyenlete átrendezve: p x Rxy = p y . Ezt M szerint differenciálva:

111

L. Walras: i. m. 81. szakasz.

110

∂ ∂x ∂ ∂y  ∂ y ∂x ∂ y ∂y  = 0 ⇒ M p x  Rxy + Rxy Rx +M Rx =0 ⇒ ∂M ∂y ∂M  ∂x ∂M ∂y ∂M  ∂x ∂ y ∂ ⇒ Rx xE M ( x) + Rxy yEM ( y ) = 0 ∂x ∂y Tehát a következı egyenletrendszert kaptuk: xp x E M ( x) + yp y E M ( y ) = M   ∂ y ∂ y Rx xEM ( x) + Rx yE M ( y ) = 0  ∂x ∂y

(F2.2)

Az egyenletrendszert E M (x) -re és E M ( y ) -ra megoldva: M ∂ y Rx y xy ∂y E M ( x) = = ∂ y ∂ y ∂ ∂ xyp x Rx − xyp y Rx p x Rxy − p y Rxy ∂y ∂x ∂y ∂x M

∂ y Rx y ∂y

M ∂ y Rx x xy ∂x EM ( y) = = . ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y xyp x Rx − xyp y Rx px Rx − p y R x ∂y ∂x ∂y ∂x −M

∂ y Rx x ∂x

−

Felhasználva σ , ρ x , ρ y (2.4.4) egyensúlyi értékeit, E M (x) -re és E M ( y ) -ra a következıt kapjuk:

E M ( x) = σ ⋅ ρ x és E M ( y ) = σ ⋅ ρ y

(F2.3)

(b) Árrugalmasság. (F2.1) elsı egyenletét p x szerint deriválva kapjuk, hogy ∂x ∂y ∂x 2 ∂y px + x + py = 0 ⇒ − px − p x p y = xp x ⇒ xp x E px ( x) + yp y E px ( y ) = xp x ∂p x ∂p x ∂p x ∂p x (F2.1) második egyenlete átrendezve: p x Rxy = p y . Ezt p x szerint differenciálva:

∂ ∂x ∂ ∂y  ∂ ∂x ∂ ∂y  = 0 ⇒ − p x Rxy Rxy + p x  Rxy + Rxy − p x Rxy = Rxy ⇒ ∂p x ∂y ∂p x  ∂x ∂p x ∂y ∂p x  ∂x ⇒ x

py ∂ y ∂ R x E px ( x) + y R xy E px ( y ) = ∂x ∂y px

Tehát a következı egyenletrendszert kaptuk: xp x E px ( x) + yp y E px ( y ) = xp x   p ∂ y ∂ y y  x Rx E px ( x) + y R x E px ( y ) = ∂x ∂y p x  Az egyenletrendszert E px (x) -re és E px ( y ) -ra megoldva kapjuk, hogy

111

(F2.4)

2 yp y2 ∂ y yp y ∂ y xp x y Rx − p x Rx ∂y px px ∂y E px ( x) = = − = ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y   ∂ ∂ y y xp x y Rx − yp y x Rx px Rx − p y Rx xy p x Rx − p y Rx   ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x   = κ x E M ( x) + κ yσ = κ x E M ( x) + (1 − κ x )σ

∂ y ∂ Rx x 2 p x Rxy xp px ∂x y ∂x E px ( y ) = = = − ∂ y ∂ y xp x y Rx − yp y x Rx xy p x ∂ Rxy − p y ∂ Rxy  xy p x ∂ Rxy − p y ∂ Rxy   ∂y  ∂y ∂y ∂x ∂x  ∂x    = −κ xσ + κ x E M ( y ) xp x

py

− xp x x

felhasználva σ egyensúlyi értékét.

F2.2 Helyettesítési rugalmasság (2.4.14) bizonyítása: R xy dy + R xz dz = 0 , azaz dy + R yz dz = 0 (X konstans) y ∂ ∂ ∂ z ∂  y 1 R y dz + R yz dz d   = dy − 2 dz , dR yz = R yz dy + R yz dz = − R yz ∂y ∂z ∂y ∂z z z z

yz

σ yz

 y d  z R yz z  Ry z  = ⋅ =− dR yz y yz

y + R yz z 1 ∂ z Ry ∂y

R yz ∂ z Ry ∂z

.

(2.4.15) bizonyítása: dx + Rxz dz = 0 (Y konstans), y  y d   = − 2 dz , z z

xz

dR yz =

σ yz

∂ z ∂ ∂ ∂ R y dx + R yz dz = − Rxz R yz dz + R yz dz , ∂z ∂x ∂z ∂x

 y d  z z Ry z =  z ⋅ = dR y y

− R yz

1

z⋅ ∂ z Ry ∂x

R xz ∂ z Ry ∂z

.

(2.4.16) bizonyítása: dx + Rxy dy = 0 (Z konstans),  y 1 d   = dy , z z

dR yz =

∂ z ∂ ∂ ∂ R y dx + R yz dy = − Rxy R yz dy + R yz dy , ∂x ∂y ∂x ∂y

112

xy σ yz

 y d  z z Ry z =  z ⋅ = dR y y

R yz 1

y⋅ ∂ z Ry ∂x

Rxy ∂ z Ry ∂y

.

F2.3 A kereslet jövedelem- és árrugalmassága három termék esetén

Az egyensúlyi feltételek: xp x + yp y + zp z = M és

1 Rxy Rxz = = px p y pz

(F2.5)

(a) Jövedelemrugalmasság. Differenciálva (F2.5)-öt M szerint, a kéttermékes esethez hasonlóan kapjuk a következı egyenletrendszert:

  xp x E M ( x) + yp y E M ( y ) + zp z Eµ ( z ) = M  ∂ y ∂ y ∂ y  Rx xE M ( x) + Rx yE M ( y ) + Rx zE M ( z ) = 0 ∂x ∂y ∂z  ∂ z ∂ z ∂ z Rx xEM ( x) + Rx yE M ( y ) + Rx zE M ( z ) = 0  ∂x ∂y ∂z 

(F2.6)

Az egyenletrendszert Cramer-szabállyal megoldva kapjuk, hogy

xE M ( x) yE M ( y ) zE M ( z ) M = = = Dx Dy Dz D Felhasználva a (2.4.18) alatti értékeket, a következıt kapjuk: E M ( x) = σ ⋅ ρ x ; E M ( y ) = σ ⋅ ρ y ; E M ( z ) = σ ⋅ ρ z

(F2.7)

(b) Árrugalmasság. Differenciálva (F2.5)-öt p x szerint, a kéttermékes esethez hasonlóan kapjuk a következı egyenletrendszert:

xp x E px ( x) + yp y E px ( y ) + zp z E px ( z ) = xp x ∂ ∂ ∂ x Rxy E px ( x) + y Rxy E px ( y ) + z Rxy E px ( z ) = ∂x ∂y ∂z ∂ z ∂ z ∂ x Rx E px ( x) + y Rx E px ( y ) + z Rxz E px ( z ) = ∂x ∂y ∂z Az egyenletrendszert Cramer-szabállyal megoldva kapjuk, hogy

113

   py   px  pz  p x 

(F2.8)

xE px ( x) xp x py px pz px

py ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

yE px ( y )

= pz ∂ y Rx ∂z ∂ z Rx ∂z

px

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

xp x py px pz px

zE px ( z )

= px

pz

∂ y Rx ∂z ∂ z Rx ∂z

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

py ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

=

1 , D

xp x py px pz px

azaz

E px ( x) =

p  ∂   p  ∂  ∂ ∂ yz p x2 σ  xp x Dx + y  p z Rxz − p y Rxz  + z  p y Rxy − p z Rxy  p x  ∂y ∂z  p x  ∂z ∂y  µ p y pz  = κ xσ ⋅ ρ x −

 yz p y  ∂ ∂ σ  p y R yz − p z R yz  , µ p z  ∂z ∂y 

felhasználva (2.4.18) kifejezéseit és elvégezve az Rxz = R yz ⋅ Rxy átalakítást. Innen (2.4.18)-at és (F2.7)-et felhasználva kapjuk, hogy

E px ( x) = κ x E µ ( x) + (1 − κ x )

σ . yz σ yz

(F2.9)

Hasonló módon kapjuk, hogy

E px ( y ) = κ x E µ ( y ) + κ x

σ σ és E px ( z ) = κ x Eµ ( z ) + κ x . xy σ yz xz σ yz

(F2.10)

F2.4 A kereslet stabilitása

Tegyük fel, hogy az Y és Z vásárlásainak dy és dz növekményei egyensúlyi helyzetbıl

 py  p indulnak az X szükséges  dy + z dz  csökkenésével együtt. A helyettesítési határráták új px   px értékei megközelítıleg ( Rxy + dRxy ) és ( Rxz + dR xz ) , ahol

∂Rxy ∂Rxy ∂Rxy ∂Rxz ∂Rxz ∂Rxz z dR = dx + dy + dz és dRx = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z y x

(F2.11)

Most tegyük fel, hogy az új vásárlásokból egy pontosan hasonló változás megy végbe. X vásárlásának szükséges csökkenése: (−dx) sz =

py px

dy +

114

pz dz , px

(F2.12)

de X kompenzáló csökkenése most (− dx) k = ( Rxy + dR xy )dy + ( Rxz + dRxz )dz .

(F2.13)

Az eredeti vásárlások stabilak ha a második változás nem válik azzá, azaz ha X kompenzáló csökkenése kisebb, mint a szükséges csökkenés: ( Rxy + dRxy )dy + ( Rxz + dRxz )dz <

py px

dy +

pz dz = Rxy dy + Rxz dz , px

(F2.14)

dRxy dy + dRxz dz < 0 ,

azaz

(F2.15)

ahol a vásárlások változásai kielégítik a

p x dx + p y dy + p z dz = 0 és a dx + Rxy dy + Rxz dz = 0

(F2.16)

feltételeket. Felhasználva dRxy és dRxz kifejezéseit kapjuk, hogy

 ∂R z ∂R y ∂Rxy ∂R z ∂R y ∂R z (dy ) 2 + x (dz ) 2 + x dxdy + x dxdz +  x + x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z  ∂y 0(dx) 2 +

azaz a

 dydz < 0 , 

(F2.17)

1 ∂Rxy 1 ∂Rxz dxdy + dxdz + 2 ∂x 2 ∂x

∂Rxy 1 ∂Rxy 1  ∂Rxz ∂Rxy  2 dydz + + dxdy + (dy ) +  + 2 ∂x ∂y 2  ∂y ∂z 

(F2.18)

∂Rxz 1 ∂Rxz 1  ∂Rxz ∂Rxy  dydz + + + dxdz +  (dz ) 2 ∂z  ∂z 2 ∂x 2  ∂y kvadratikus

alaknak

negatív

definitnek

kell

lenni

azzal

a

kikötéssel,

hogy

dx + Rxy dy + Rxz dz = 0 . Innen 0

1

D= 1

0

R 0

1

1

0

∆ = Ry x Rxz

1 ∂Rxy 2 ∂x 1 ∂Rxz 2 ∂x

y x

1 ∂Rxy 2 ∂x

Rxy 1 ∂Rxy 2 ∂x ∂Rxy ∂y 1  ∂Rxz ∂Rxy  + ∂z 2  ∂y 115

Rxy 1 ∂Rxy > 0, 2 ∂x ∂Rxy ∂y

  

Rxz 1 ∂Rxz 2 ∂x 1  ∂R2 ∂Rxy  + 2  ∂y ∂z ∂Rxz ∂z

 <0.  

(F2.19)

A fogyasztó szükséges feltételek által adott kereslete stabil minden ár és jövedelem esetén, ha R xy és Rxz pozitívak és ha D > 0 és ∆ < 0 minden vásárlásra. Ezek az általános stabilitási feltételek. Bizonyos egyszerősítést el lehet végezni:

Rxy 1 y y ∂Rx + Rx 0 ∂y

1 D = − 1 ∂Rxy 2 ∂x

Rxy ∂Rxy 1 y ∂Rxy 1 y ∂Rxy y + Rx + Rx = 1 ∂Rx = − ∂y 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x

1 y ∂Rxy y ∂R x = Rx − = − ∂Rxy ∂x ∂y ∂x

1 ∂Rxy Továbbá legyen ∆′ = ∂x ∂Rxz ∂x

Rxy ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y

Rxy ∂Rxy . ∂y

Rxz ∂Rxy . ∂z ∂Rxz ∂z

A determinánsok kifejtésével meg lehet mutatni, hogy ∆ + ∆ ′ = λ2 , ahol y y ∂Rxz  1  y ∂R xz z ∂R x   ∂R x     . λ =  Rx − Rx + − 2  ∂x ∂x   ∂z ∂y 

(F2.20)

A stabilitási feltételek ( D > 0 és ∆ < 0 ) így a következıkre redukálódnak:

1 ∂Rxy ∂x

1 R ∂Rxy ∂R < 0 és ∂x ∂y ∂Rxz ∂x y x y x

Rxy ∂Rxy ∂y ∂Rxz ∂y

Rxz ∂Rxy > λ2 . ∂z ∂Rxy ∂z

(F2.21)

F3. Függelék a 3.2 fejezethez F3.1 Stabilitási feltételek az Érték és tıkében

Vizsgáljuk meg a lokális maximum létezésének szükséges és elégséges feltételeit úgy, hogy az (3.2.1) feltételes maximalizálási feladatot visszavezetjük feltétel nélküli maximalizálási feladattá.

116

Tekintsük elıször a kétváltozós esetet, tehát a max u ( x1 , x2 ) feltéve, hogy p1 x1 + p2 x2 = M

(F3.1)

feltételes lokális maximalizálási feladatot. A korlátozó feltétel miatt az u ( x1 , x2 ) célfüggvény egyedül az x1 függvénye. A du / dx1 kiszámításával egy lokális szélsıértékekre vonatkozó szükséges feltételt kapunk. A d 2u / dx12

elıjelének vizsgálatából pedig egy lokális

szélsıértékekre vonatkozó elégséges feltétel adódik. A korlátozó feltételbıl x2 -t kifejezve kapjuk, hogy x2 =

M p1 − x1 . p2 p2

(F3.2)

dx2 p =− 1 . dx1 p2

Ebbıl

(F3.3)

 p  du = u1′ ( x1 , x2 ) + u ′2 ( x1 , x2 ) − 1  . dx1  p2 

(F3.4)

Ezt egyenlıvé téve nullával adódik a lokális szélsıérték létezésének szükséges feltétele: u1′ ( x1 , x2 ) p1 = , u ′2 ( x1 , x2 ) p 2

(F3.5)

ami megegyezik (3.2.4) elsı egyenletével. Feltéve, hogy u kétszer folytonosan differenciálható, és figyelembe véve, hogy x2 az x1 függvénye kapjuk, hogy 2

 p  p  p   p  p p d 2u ′′ + u12 ′′  − 1  −  u 21 ′′ + u 22 ′′  − 1   1 = u11 ′′ − u12 ′′ 1 − u12 ′′ 1 + u 22 ′′  1  = = u11 2   p2 p2 dx1  p2    p2   p2  p2  1 ′′ p 22 − 2u12 ′′ p1 p 2 + u 22 ′′ p12 = = 2 u11 p2

(

)

0 1 = − 2 p1 p2 p2

p1 ′′ u11 ′′ u12

p2 ′′ , u12 ′′ u 22

(F3.6)

mert a determináns kifejtésével könnyen ellenırizhetı, hogy

0 aq − 2bpq + cp = − p q 2

2

p q a b

b. c

(F3.7)

A lokális maximum létezésének másodrendő elégséges feltétele az, hogy a stacionárius pontban d 2u / dx12 < 0 teljesüljön, azaz

117

0 p1 p2

p1 ′′ u11 ′′ u12

p2 0 1 ′′ = 2 u1′ u12 µ ′′ u 22 u 2′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

u 2′ ′′ > 0 u12 ′′ u 22

(F3.8)

ami Hicks feltétele n = 2 esetén. Azonban Hicks ezt a feltételt szükségesnek mondta, és nem elégségesnek. A lokális maximum másodrendő szükséges feltétele d 2u / dx12 ≤ 0 , azaz

0 u1′ u 2′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

u 2′ ′′ ≥ 0 u12 ′′ u 22

(F3.9)

Most tekintsük a többváltozós esetet, azaz az (3.2.1) feltételes lokális maximalizálási feladatot. A korlátozó feltételbıl

x1 =

p p M p2 − x2 − ... − i xi − ... − n xn = g ( x2 ,..., xn ) . p1 p1 p1 p1

(F3.10)

A maximalizálandó függvény: u ( x1 , x2 ,..., xn ) = u ( g ( x2 ,..., xn ), x2 ,..., xn ) = f ( x2 , x3 ,..., xn ) .

(F3.11)

Az f függvény elsırendő parciális deriváltjai:

 p  ∂f ∂g = u1′ + ui′ = u1′  − i  + ui′ (i = 2, 3, ..., n) ∂xi ∂xi  p1 

(F3.12)

A lokális maximum létezésének elsırendő szükséges feltétele:

 p  u′ p u1′  − i  + ui′ = 0 , azaz i = i (i = 2, 3, ..., n), u1′ p1  p1 

(F3.13)

ami ekvivalens a (3.2.4) elsı n − 1 egyenletével. Az f függvény másodrendő parciális deriváltjai:

f ij :=

  pj   p  pp p  p  p ∂2 f ′′  −  + u1′′j  − i  + ui′′1  − j  + uij′′ = u11 ′′ i 2 j − u1′′j i − u1′′i j + u ij′′ = u11 ∂xi ∂x j   p1  p1 p1 p1  p1   p1 

(i, j = 2, 3, ..., n)

(F3.14)

Az f stacionárius pontjában a lokális maximum létezésének elégséges feltétele az, hogy az

f 22 ,

f 22 f 23

f 22

f 23 , f 23 f 33 f 24

f 23

f 24

f 33 f 34

f 34 , ..., f 44

f 22 f 23 M f 2n

f 23 f 33 M f 3n

... ... .M. ...

f 2n f 3n M f nn

(F3.15)

determinánsok váltakozva legyenek negatívak és pozitívak. Ezeket a determinánsokat átalakíthatjuk, például:

118

− p12

f 22 f 23

f 23 f 33

0 p = 1 p2 p3

p1 ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

0 0 f 22 f 23

0 0 0 p = 1 f 23 p 2 f 33 p3

p1 ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

p2 ′′ u12 u ′22′ u ′23′

p3 ′′ u13 . u ′23′ ′′ u 33

(F3.16)

Az utolsó determinánst úgy kapjuk az elızıbıl, hogy az elsı két oszlop megfelelı többszöröseit hozzáadjuk a többi oszlophoz. (Például a harmadik oszlophoz hozzáadjuk a

 u ′′ p  ′′  -szeresét.) második oszlop p2 / p1 -szeresét és az elsı oszlop  12 − 22 u11  p1 p1  pr helyébe

u ′r

µ

-t írva kapjuk, hogy

0 p1 p2 p3

p1 ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

p2 ′′ u12 ′′ u 22 ′′ u 23

p3 0 ′′ u13 1 u′ = 2 1 ′′ u 23 µ u ′2 ′′ u33 u 3′

u1′ ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

u ′2 ′′ u12 ′′ u 22 ′′ u 23

u 3′ ′′ u13 . ′′ u 23 ′′ u33

(F3.17)

Tehát a lokális maximum létezésének elégséges feltétele az, hogy a

0 u1′ u 2′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

0 u 2′ u′ ′′ , 1 u12 u ′2 ′′ u 22 u 3′

u1′ ′′ u11 ′′ u12 ′′ u13

u ′2 ′′ u12 u ′22′ u ′23′

0 u3′ u1′ ′′ u13 , …, u 2′ u ′23′ M ′′ u 33 u n′

u1′ ′′ u11 ′′ u12

u ′2 ′′ u12 u ′22′

M u1′′n

M u 2′′n

... u ′n ... u1′′n ... u ′2′n .M. M ′′ ... u nn

(F3.18)

determinánsok váltakozva legyenek pozitívak és negatívak, ami megegyezik Hicks feltételével. A lokális maximum másodrendő szükséges feltételét a következıképpen fogalmazhatjuk meg: Legyen x0 az (F3.11)-ben szereplı f ( x2 ,..., xn ) stacionárius pontja, és ∆ r ( x0 ) az ( f ij )i , j =2 n

Hesse-mátrix egy tetszıleges r -edrendő fıminora. Ekkor ha x0 lokális maximumhely ⇒ (−1) r ∆ r ( x0 ) ≥ 0 minden r = 1, ..., n – 1 esetén

(F3.19)

Ezeket az r -edrendő fıminorokat (F3.16)-hoz hasonlóan átalakíthatjuk, például

− p12

f 22 f 24

f 24 f 44

0 p = 1 p2 p4

p1 ′′ u11 ′′ u12 ′′ u14

0 0 f 22 f 24

0 0 0 p = 1 f 24 p2 f 44 p4

119

p1 ′′ u11 ′′ u12 ′′ u14

p2 ′′ u12 ′′ u 22 ′′ u 24

p4 ′′ u14 ′′ u 24 ′′ u 44

(F3.20)

Hicks du = 0 feltétele is magyarázatra szorul. Mivel az egyén M jövedelmét x1 , x2 ,..., xn

változatlannak tekintettük, ezért az n

∑ p dx

változásainak teljesíteni kell a

i =1

i

vásárlások minden

dx1 , dx2 ,..., dxn

= 0 feltételt. Felhasználva az ui′ = µpi (i = 1,2,..., n)

i

szükséges feltételeket kapjuk, hogy n

n

0 = ∑ pi dxi =∑ i =1

u i′

i =1

µ

dxi =

1

n

∑ u ′dx µ i =1

i

i

=

1

µ

du , azaz du = 0 .

(F3.21)

Mivel (3.2.6) egy kvadratikus alak lineáris feltétel melletti negatív definitségének feltételei, vizsgáljuk meg a kvadratikus alakok egy érdekes tulajdonságát. Legyen Q = x T Ax negatív definit kvadratikus alak, így A egy nemszinguláris és szimmetrikus mátrix. Alkalmazzuk az y = Ax vagy x = A −1 y lineáris transzformációt, így ha x ≠ 0 , akkor y = Ax ≠ 0 . Ekkor

(

)

T

Q = A −1 y A( A −1 y ) = y T ( A −1 ) T ( AA −1 ) y = y T A −1 y ,

(F3.22)

mivel AA −1 = I és ( A −1 )T = A −1 A szimmetrikus volta miatt. Így, ha x T Ax negatív definit, úgy y T A −1 y is negatív definit. n

n

Most tegyük fel, hogy Q = ∑∑ aij xi x j negatív definit a i =1 j =1

n

n

n

∑α x i =1

i

i

= 0 feltétel mellett.

n

Legyen R = ∑∑ aij xi x j + 2λ ∑α i xi , ahol λ tetszıleges skalár, és i =1 j =1

i =1

 0   α1 B = α 2   M α  n

α1

α2

a11 a 21 M an1

a12 a 22 M an 2

... ... ... .M. ...

αn 

 a1n   0 αT  . a 2 n  =    α A  M  a nn 

Ekkor R = ~ x T B~ x , ahol ~ x = (λ , x1 , x2 ,..., xn )T , mivel n  0 α T  λ  ~   = λx T α + λα T x + x T Ax = x T Ax + 2λ ∑α i xi = R . x T B~ x = (λ , x T )  i =1  α A  x 

120

(F3.23)

n

Így Q negatív definit a

∑α x i

i =1

n

∑α x i =1

i

i

i

= 0 feltétel mellett pontosan akkor, ha R negatív definit a

= 0 , ( x1 ,..., xn ) ≠ (0,...,0) feltétel mellett. Alkalmazzuk az ~ y = B~ x vagy ~ x = B −1 ~ y lineáris transzformációt, és jegyezzük meg, n

hogy ha ~ y = ( y0 , y1 , y 2 ,..., y n )T , akkor y 0 = ∑ α i xi = 0 . i =1

A fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy R = ~ y T B −1 ~ y , ahol ~ y = (0, y1 , y 2 ,..., y n )T ≠ (0,0,...,0) T . Ismeretes, hogy B −1 =

adj ( B) , ahol B

  b11 b12 ... b1n    B11      b21 b22 ... b2 n    B12 adj ( B) = adj   = M M .M. M    M      B b b ... b nn    1n   n1 n 2

... Bn1   ... Bn 2  , Bij a B mátrix determinánsának .M. M   ... Bnn 

B21 B22 M B2 n

bij eleméhez tartozó elıjeles aldeterminánsa. Mivel ~ y elsı eleme nulla, ezért R a következı formában írható fel: n

n

R=~ y T B −1 ~ y = ∑∑ i =1 j =1

Aij B

yi y j ,

(F3.24)

ahol Aij az A mátrix determinánsának aij eleméhez tartozó elıjeles aldeterminánsa. n

Tehát ha

n

∑∑ a i =1 j =1

ij

n

∑α x

xi x j < 0 a n

i

i =1

n

i

= 0 feltétel mellett, akkor

Aij

∑∑ B y y i =1 j =1

i

j

< 0,

( y1 ,..., y n ) ≠ (0,...,0) .

(F3.25)

Ezt felhasználva (3.2.6) stabilitási feltételek helyett a következı feltételeket írhatjuk fel Allen szerint112: n

n

U ij

∑∑ U i =1 j =1

yi y j < 0 ,

( y1 ,..., y n ) ≠ (0,...,0) ,

(F3.26)

ahol U jelöli a (3.2.6) utolsó determinánsát és U ij pedig ebben a determinánsban az uij′′ elemhez tartozó elıjeles aldetermináns. Az (F4.26) feltételek nem ekvivalensek a (3.2.6)

112

R. G. D. Allen: Mathematical Economics. Macmillan, London. 1957. 660. old.

121

n

feltételekkel, mert a

n

U ij

∑∑ U i =1 j =1

yi y j < 0 feltételt csak olyan ( y1 ,..., y n ) -re kell megkövetelni,

amely esetén ~ x = B −1 ~ y -ra teljesül, hogy

n

∑α x i =1

i

i

=0.

Allen a „A Reconsideration”-ban külön vizsgálja az integrálhatóság esetét, azaz ha teljesül a ∂ y ∂ z ∂ ∂ Rx − R x + Rxy Rxz − R xz Rxy = 0 ∂z ∂y ∂x ∂x

(F3.27)

feltétel. Ha ez a feltétel teljesül, létezik egy u = F {φ ( x, y, z )} hasznossági indexfüggvény, ahol

φ ( x, y, z ) a dx + Rxy dy + Rxz dz = 0 egyenlet egy integrálja és F egy tetszıleges függvényt jelöl. φ ( x, y, z ) parciális deriváltjait φ x , φ y és φ z -vel jelölve kapjuk, hogy R xy =

φy φ és R xz = z . φx φx

(F3.28)

Vizsgáljuk meg az integrálhatósági esetben az Allen által elıírt

1

∂ y Rx ∂x

1 Rxy ∂ y ∂ y < 0, Rx Rx ∂x ∂y ∂ z Rx ∂x

Rxy ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

Rxz ∂ y Rx > 0 ∂z ∂ z Rx ∂z

(F3.29)

feltételeket. (F3.28)-at felhasználva kapjuk, hogy ∂ y φ xyφ x − φ yφ xx ∂ z φ xzφ x − φ zφ xx Rx = ; Rx = 2 ∂x φx ∂x φ x2 ∂ y φ yyφ x − φ yφ xy ∂ z φ yzφ x − φ zφ xy Rx = ; Rx = ∂y φ x2 ∂y φ x2 ∂ y φ yzφ x − φ yφ xz ∂ z φ zzφ x − φ zφ xz Rx = ; Rx = 2 ∂z φx ∂z φ x2

1

∂ y Rx ∂x

=−

1

φ x4

0

φx 0

1 Rxy ∂ y = φ xyφ x − φ yφ xx Rx ∂y 2

φx

φy φx

φ yyφ x − φ yφ xy φ x2

=

1

φx

φy

φ φ xyφ x − φ yφ xx φ yyφ x − φ yφ xy 3 x

=

φx φy φx φy 0 0 φx φ y 1 1 φ xx φ xy = − 3 φ x φ xx φ xy φ xx φ xy = − 4 φx φx φx φ y φ xy φ yy φ xφ y φ xyφ x φ yyφ x φ xyφ x − φ yφ xx φ yyφ x − φ yφ xy 122

0 Rxy ∂ y < 0 feltétel ekvivalens az Érték és tıkében elıírt φ x Rx ∂y φy

1

Tehát a ∂ y Rx ∂x

φx φ y φ xx φ xy > 0 φ xy φ yy

feltétellel, ha φ x pozitív, azaz nincs telítıdés az x jószágból.

y x

1 ∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

0 =−

1 φx φ x6 0 0

z x

R ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

=

1

R φ xyφ x − φ yφ xx ∂ y Rx = ∂z φ x2 ∂ z φ xz φ x − φ zφ xx Rx ∂z φ x2 1

φ x5

φx

φ yz φ x − φ yφ xz = φ x2 φ zz φ x − φ zφ xz φ x2

φz

φx φy φz φx φy φz 0 φ xx φ xy φ xz φ xx φ xy φ xz 1 φx =− 6 = φ xyφ x − φ yφ xx φ yyφ x − φ yφ xy φ yzφ x − φ yφ xz φ x φ xφ y φ xyφ x φ yyφ x φ yzφ x φ xzφ x − φ zφ xx φ yzφ x − φ zφ xy φ zzφ x − φ zφ xz φ xφ z φ xzφ x φ yzφ x φ zzφ x

1

φx φy φz

φz φx

φ xyφ x − φ yφ xx φ yyφ x − φ yφ xy φ yzφ x − φ yφ xz = φ xzφ x − φ zφ xx φ yzφ x − φ zφ xy φ zzφ x − φ zφ xz

=−

0

φ yy φ x − φ yφ xy φ x2 φ yz φ x − φ z φ xy φ x2

φy

0

Tehát a

φy φx

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

Rxy ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

1 φx

φ x4 φ y φz

Rxz ∂ y Rx > 0 ∂z ∂ z Rx ∂z

φx φ y φz φ xx φ xy φ xz . φ xy φ yy φ yz φ xz φ yz φ zz

feltétel ekvivalens az Érték és tıkében elıírt

φx φ y φz φ xx φ xy φ xz < 0 feltétellel. φ xy φ yy φ yz φ xz φ yz φ zz

F3.2 A jövedelem- és az árváltozás hatása a keresletre

Írjuk a (3.2.3) egyensúlyi feltételeket a következı alakba:

123

p1 x1 + p 2 x2 + ... + pn xn = M   − p1 µ + u1 = 0  − p2 µ + u 2 = 0   ...........................   − pn µ + u n = 0

(F3.30)

M szerinti parciális differenciálással kapjuk, hogy

∂x ∂x1 ∂x  + p 2 2 + ... + p n n = 1  ∂M ∂M ∂M  ∂x ∂x ∂x ∂µ − p1 + u11 1 + u12 2 + ... + u1n n = 0  ∂M ∂M ∂M ∂M  ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂µ  − p2 + u 21 + u 22 + ... + u 2 n = 0 ∂M ∂M ∂M ∂M ................................................................   ∂x ∂x ∂x ∂µ − pn + u n1 1 + u n 2 2 + ... + u nn n = 0 ∂M ∂M ∂M ∂M  p1

(F3.31)

Ezt az egyenletrendszert megoldva a Cramer – szabállyal:

0 p1 ∂xr = p2 ∂M M

p1 u11 u12 M

... p r −1 ... u1,r −1 ... u 2,r −1 .M. M

1 p r +1 0 u1,r +1 0 u 2,r +1 M M

pn

u1n

... u r −1,n

0 u r +1,n

... p n 0 ... u1n p1 ... u 2 n : p 2 .M. M M ... u nn pn

p1 u11 u12 M u1n

p2 u12 u 22 M u2n

... p n ... u1n ... u 2 n . .M. M ... u nn

Mivel p s = u s / µ , ez úgy is írható, hogy 1

∂xr µ = 1 ∂M

Ur

µ2

U

=

µU r U

.

(F3.32)

ahol U r jelöli az U-ban szereplı u ′r elemhez tartozó elıjeles aldeterminánst. Ezután tegyük fel, hogy pr értéke változik, a többi ár és a jövedelem változatlan. (F3.30)-ból azt kapjuk, hogy

∂x ∂x1 ∂x  + p 2 2 + ... + p n n = − xr  ∂p r ∂p r ∂p r  ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂µ − p1 + u11 + u12 + ... + u1n =0  ∂p r ∂p r ∂p r ∂p r  .........................................................  ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂µ − pr + u1r + u 2r + ... + u rn = µ ∂p r ∂p r ∂p r ∂p r   ..........................................................  ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂µ − pn + u1n + u2n + ... + u nn = 0 ∂p r ∂p r ∂p r ∂p r  p1

124

(F3.33)

Ezt megoldva a Cramer-szabállyal:

0 p1 M ∂xs = pr ∂p r M

p1 u11 M u1r M

... p s −1 ... u1,s −1 .M. M ... u r ,s −1 .M. M

− xr 0 M M

p s +1 u1,s +1 M u r ,s +1 M

pn

u1n

... u s −1,n

0

u s +1,n

=

− x rU s

µ

1

µ

+ µU rs

1

µ2

... pn 0 ... u1n p1 .M. M : p2 ... u rn M .M. M pn ... u nn

p1 u11 u12 M u1n

p2 u12 u 22 M u 2n

... p n ... u1n ... u 2 n = .M. M ... u nn

1

µ2

=

U

− xr µU s + µU rs U

ahol U rs jelöli az U-ban szereplı u rs′′ elemhez tartozó elıjeles aldeterminánst. (F3.32)-t felhasználva ezt a következı alakban is felírhatjuk: U ∂xs ∂x = − xr s + µ rs ∂p r ∂M U

(r, s = 1, 2, ..., n)

(F3.34)

Az r = s esetén a felbontás a következı lesz: ∂xr ∂x µU rr = − xr r + . U ∂p r ∂M

(F3.35)

Most hasonlítsuk össze az integrálhatósági esetben fejezetben vizsgált

E px (x)

∂xr ∂p r

felbontását a 2.4.2.2

(2.4.21) felbontásával. A helyettesítési tagokat fogjuk

összehasonlítani. Mivel E px ( x) = −

p x ∂x , ezért, az (F4.35)-ben szereplı helyettesítési tagot x ∂p x

E px ( x) felbontásában szereplı (1 − κ x )

σ yz σ yz

−x  -szeresével kell helyettesítési tag  p  x

összehasonlítani. Az u hasznossági indexfüggvény parciális deriváltjait u x , u y és u z -vel jelölve kapjuk, hogy R xy =

uy ux

és R xz =

A (3.2.3) egyensúlyi feltételeket felhasználva kapjuk, hogy

125

uz . ux

px

D=

∂ y Rx ∂x ∂ z Rx ∂x

py ∂ y Rx ∂y ∂ z Rx ∂y

ux ∂ y 1 u xy u x − u y u xx Rx = ∂z µ u x2 ∂ z u xz u x − u z u xx Rx ∂z u x2 pz

ux 1 = 4 u xy u x − u y u xx µu x u xz u x − u z u xx 0 1 ux =− 5 µu x 0 0

ux u xx u xy u x − u y u xx u xz u x − u z u xx

=−

py ∂ z Ry ∂y

σ yz σ yz

u x2 u yz u x − u z u xy

u x2 u zz u x − u z u xz u x2

u x2

u yz u x − u y u xz = u zz u x − u z u xz

uz 0 u xz 1 ux =− 5 u yz u x − u y u xz µu x u x u y u zz u x − u z u xz u xu z

0

ux

uy

uz

1 ux µ u x3 u y uz

u xx u xy u xz

u xy u yy u yz

u xz 1 =− U u yz µ u x3 . u zz

ux u xx u xy u x u xz u x

uz uy u zz u y − u z u yz = 1 µu y2 u yz u y − u z u yy u y2

uy

uz

u yy u yz u y − u z u yy

u yz u zz u y − u z u yz

=

uz

u yy u x − u y u xy u yz u x − u z u xy

0 1 = − 2 uy µu y uz

(1−κx )

uz u yz u x − u y u xz

uy

uy u xy u yy u x − u y u xy u yz u x − u z u xy

uy pz 1 u u −u u ∂ z = yz y z yy Ry µ 2 uy ∂z 0 1 = − 3 uy µu y 0

uy u yy u x − u y u xy

0 1 = − 3 uy µu y uzu y uy u yy u yz

uy u yy u yz u y

uy u xy u yy u x u yz u x

uz = u zz u y − u z u yz uz u yz = u zz u y

uz

1 u yz = − 2 U xx . µu y u zz

py pz py pz 2 ∂ z ∂ z ∂ ∂ − py Ry Ry R yz R yz p p ∂z ∂y ∂z M 1 ∂y y z = (1−κx ) ⋅ 2 ⋅ ⋅ = = 2 xyz p x D − M ( 1 − κ x ) p z xp x D yzp y p y2

u 2y

µu y

µ 3 u y2

U xx 2

=

−

2 x 3 x

xp U µu

=

−

U xx

2 x 3 3 x

xu U µ u

126

=

− u xU xx . xU

uz u xz = u yz u x u zz u x

xu U U −x σ ⋅( 1 − κ x ) = x xx = µ xx . px p x xU U yz σ yz

A Cobb – Douglas – típusú preferenciák Tegyük fel, hogy a hasznossági függvény a következı alakú: U = x α y β (α, β > 0). Ebben az esetben a helyettesítési határráta: MRS =

∂U / ∂x αx α −1 y β αy = = . ∂U / ∂y β xα y β −1 βx

A fogyasztó egyensúlyi egyenletei:

αy p x = βx p y

   M = p x x + p y y  Ebbıl a fogyasztó optimális keresleti mennyiségei: y =

M α   + 1 p y β 

, x=

M β   + 1 p x α 

.

F3.3 A piaci egyensúly stabilitása Hicks – i tökéletes stabilitás feltétele: Yr − X r = − X r   d (r = 1, 2, ..., m – 1) (Yr − X r ) > 0   dp r

és

(F3.36)

minden esetben, akár változnak az árak, akár nem. Legyen

a rs =

∂Y ∂X ∂ (Yr − X r ) = r − r az egyensúlyi áraknál. ∂p s ∂p s ∂p s

Az (F3.36) feltételeket ki lehet fejezni az a rs konstansokkal. Legyen p1 az az ár, amelyik változik, az elsı piacon ekkor felborul az egyensúly. Tegyük fel, hogy a többi ár változatlan marad, piacuk egyensúlya szintén felborul. (F3.36) szerint d ∂ (Y1 − X 1 ) = (Y1 − X 1 ) = a11 > 0 . dp1 ∂p1

127

Hasonlóan a 22 , a33 ,... mindegyikének pozitívnak kell lenni, mivel a változó ár tetszıleges volt. Ezután tegyük fel, hogy amint p1 változik, p2 alkalmazkodása megtartja a második piac egyensúlyát. A többi ár újra változatlan marad, és a piacuk egyensúlya felborul. Ezért (F3.36) szerint d d (Y1 − X 1 ) > 0 miközben (Y2 − X 2 ) = 0 . dp1 dp1 dp dp d ∂ ∂ (Y1 − X 1 ) = (Y1 − X 1 ) + (Y1 − X 1 ) 2 = a11 + a12 2 dp1 ∂p1 ∂p 2 dp1 dp1

Most

dp d (Y2 − X 2 ) = a 21 + a22 2 . dp1 dp1

és hasonlóan

dp 2 a = − 21 és dp1 a 22

Az utóbbit egyenlıvé téve nullával kapjuk, hogy

 a  a a −a a d (Y1 − X 1 ) = a11 + a12  − 21  = 11 22 12 21 > 0 . dp1 a22  a22  Mivel a22 pozitív, ezért

a11a22 − a12 a21 =

a11 a21

a12 >0. a22

Ugyanez a feltétel érvényes bármely két árra és piacra, azaz minden ilyen másodrendő determináns pozitív. Most tegyük fel, hogy amint p1 változik, p2 és p3 alkalmazkodása a két piacot egyensúlyban tartja. Ekkor (F3.36) szerint d d d (Y1 − X 1 ) > 0 miközben (Y2 − X 2 ) = 0 és (Y3 − X 3 ) = 0 . dp1 dp1 dp1 Most dp dp dp dp d ∂ ∂ ∂ (Y1 − X 1 ) = (Y1 − X 1 ) + (Y1 − X 1 ) 2 + (Y1 − X 1 ) 3 = a11 + a12 2 + a13 3 , dp1 ∂p1 ∂p 2 dp1 ∂p3 dp1 dp1 dp1 és hasonlóan dp dp d (Y2 − X 2 ) = a 21 + a 22 2 + a 23 3 , dp1 dp1 dp1

dp dp d (Y3 − X 3 ) = a31 + a32 2 + a33 3 . dp1 dp1 dp1

Ezeket nullával egyenlıvé téve kapjuk a következı egyenletrendszert:

128

dp dp2  + a23 3 = −a 21  dp1 dp1   dp3 dp2 a32 + a33 = − a31   dp1 dp1

a 22

Ezt az egyenletrendszert Cramer – szabállyal megoldva kapjuk, hogy

dp2 − a21 = dp1 − a31

a23 a22 : a33 a32

a23 dp3 a22 és = a33 dp1 a32

a23 . a33

d (Y1 − X 1 ) = dp1

Tehát a12 = a11 +

− a21 a22 : − a31 a32

a a − a21 a 23 − a 21 a13 22 a11 22 a32 − a31 a32 − a31 a33 + = a 22 a 23 a22 a 23 a32 a33 a32 a33

a És mivel 22 a32

a 23 a33

a11

a12

a13

= a21 a31

a22 a32

a a23 : 22 a a33 32

a11 a23 pozitív, ezért a21 a33 a31

a12

a13

a22 a32

a23 > 0 . a33

+ a12

a − a21 a 23 + a13 22 a32 − a31 a33 a 22 a23 a32 a33

− a 21 − a31

=

a23 >0 a33

Az eredmények általánosak akárhány ár alkalmazkodása esetén is. Tehát a piaci egyensúly tökéletes stabilitásának Hicks – i feltételei:

a a11 > 0 ; 11 a21

a11 a12 > 0 ; a21 a22 a31

és hasonlóan a jószágok bármely csoportjára.

129

a12

a13

a22 a32

a23 > 0 ; ... a33

Irodalomjegyzék Allen, R. G. D. (1932): The foundations of a mathematical theory of exchange. Economica 12, 197-226. old. Allen, R. G. D. (1949): Mathematical Analysis for Economists. Macmillan, London. Allen, R. G. D. (1957): Mathematical Economics. Macmillan, London. Arrow, K. J. (1979): Egyensúly és döntés. Válogatott tanulmányok. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. Baumol, W. J. – Goldfeld, S. M. (szerk.) (1968): Precursors in Mathematical Economics: An Anthology. The London School of Economics and Political Science (University of London). Bekker Zs. (szerk.) (2000): Alapmővek, alapirányzatok. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem. Courant R. – Robbins H. (1966): Mi a matematika? Gondolat Könyvkiadó, Budapest. Cournot, A. A. (1960): Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Frank Cass & Company LTD., England. Creedy, J. (1980): The early use of Lagrange multipliers in economics, The Economic Journal 90, 371-376. Davidsen, T. (1986): Westergaard, Edgeworth and the use of Lagrange multipliers in economics. The Economic Journal 96, 808-811. Deane, P. (1997): A közgazdasági gondolatok fejlıdése. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. Debreu, G. (1987): Közgazdaságtan axiomatikus módszerrel. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. Eatwell, J.- Milgate, M.- Newman, P. (szerk.) (1987): The New Palgrave. A Dictionary of Economics. Macmillan, London. Eves, H. (1953): An Introduction to the History of Mathematics. Rinehart, New York. Eves, H. (1981): Great Moments in Mathematics (After 1650). The Mathematical Association of America. Filep L. (1997): A tudományok királynıje (A matematika fejlıdése), TYPOTEX – Budapest, Bessenyei Kiadó – Nyíregyháza. Frisch, R. (1974): Kvantitatív és dinamikus közgazdaságtan (Válogatott tanulmányok). Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. Harrod, R. (1963): Dinamikus közgazdaságtan felé. In: A gazdasági fejlıdés feltételei. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 130

Heller F. (2001): A közgazdasági elmélet története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem. Heretik, S. (1977): A modern polgári közgazdaságtan elméleti alapjai. Kossuth Könyvkiadó. Hicks, J. R. – Allen, R. G. D. (1934): A Reconsideration of the Theory of Value, Economica, február, május. Hicks, J. R. (1934):Léon Walras. Econometrica, 2. Hicks, J. R. (1978): Érték és tıke. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. Ingrao B. – Israel G. (1990): The Invisible Hand. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts London, England. Jaffé, W. (1969): A. N. Isnard, progenitor of the Walrasian general equilibrium model. History of Political Economy 1, 19-43. Jaffé, W. (1977): The birth of Léon Walras’s Eléments. History of Political Economy, vol. 9. No. 2. Jevons, W. S. (1888): The Theory of Political Economy, 3rd.. Macmillan, London. Magyarul részletek in: Bekker 2000. Jolink, A. – Jan van Daal (1989): Léon Walras’s mathematical economics and the mechanical analogies, History of Economics Society Bulletin, 11 (1), 25-32. Kopányi M. (szerk.) Mikroökonómia. Mőszaki Könyvkiadó – Aula, Budapest. Kuhn, T. S. (2002): A tudományos forradalmak szerkezete, Osiris Kiadó, Budapest. Lehmann, H. (1971): Határhaszon-elmélet. Kossuth Könyvkiadó. Marx, K. (1958, 1961): Értéktöbblet – elméletek (A „Tıke” IV. Könyve) 1. – 2. Budapest. Mátyás A. (1997): A korai közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. Mátyás A. (1999): A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. Mirowski, P. – Cook, P. (1990): Walras’ „Economics and Mechanics”: Translation, Commentary, Context. In Samuels 1990. Mirowski, P. (1989): More Heat than Light. Cambridge University Press. Mirowski, P. (2000): A fizika és a „marginalista forradalom”. In: Közgazdaságtani eszmetörténet, szerk. Madarász Aladár, Osiris Kiadó, Budapest. Prill R.: On Hicks’ conditions for stability. European Integration Studies. Volume 4 Number 1 (2005) 125 – 133. old. Prill R.: Allen stabilitási feltételeirıl, VI. Nemzetközi Konferencia Miskolc-Lillafüred, 2007. 199 – 204. old. Ricardo, D. (1991): A politikai gazdaságtan és az adózás alapelvei. KJK, Budapest. Ruzsa I. (1966): A matematika néhány filozófiai problémájáról. Tankönyvkiadó, Budapest. 131

Samuels, W. J. (szerk.) (1990): Economics As Discourse. An Analysis of the Language of Economists. Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London. Schumpeter, J. (1965): Geschichte der ökonomischen Analyse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen. Simonyi K. (1986): A fizika kultúrtörténete. Gondolat Kiadó, Budapest. Struik, D. J. (1958): A matematika rövid története. Gondolat Kiadó. Sydsaeter – Hammond (1998): Matematika közgazdászoknak. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem. Van Daal, J.- Jolink, A. (1993): The Equilibrium Economics of Léon Walras. Routledge, London- New York. Varian, H. R. (2001): Mikroökonómia középfokon. Egy modern megközelítés. KJK – KERSZÖV, Budapest. Walker, D. A. (szerk.) (1983): William Jaffe’s Essays on Walras. Cambridge University Press. Walras, L. (1909): Économique et Méchanique. Angolul in Mirowski – Cook 1990. Walras, L. (1954): Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, London. Weintraub, E. Roy (2002): How Economics Became a Mathematical Science. Durham, NC: Duke University Press. Zalai E. (2000): Matematikai közgazdaságtan. KJK- KERSZÖV, Budapest.

132

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés................................................................................................................................1 2. Az érték definiálása és matematikai megalapozása................................................................5 2.1 A marginalista forradalom és a határhaszon-elmélet.........................................................5 2.2 Walras munkásságának elızményei.................................................................................16 2.3 A walrasi elmélet.............................................................................................................25 2.3.1 Walras és a matematikai közgazdaságtan..................................................................25 2.3.2 Walras „tiszta” közgazdaságtana...............................................................................27 2.3.3 Az egyéni kereslet meghatározása két termék esetén................................................30 2.4 Hicks értékelmélete..........................................................................................................35 2.4.1 A szubjektív értékelmélet továbbfejlıdése................................................................35 2.4.2 Az értékelmélet felülvizsgálata..................................................................................37 2.4.2.1 Egyéni kereslet elemzése kettı és több termék esetén........................................39 2.4.2.2 A kereslet stabilitása............................................................................................50 2.4.3. A közömbösségi görbék rendszerének bírálata.........................................................53 3. Az egyensúlyelmélet.............................................................................................................56 3.1 Walras egyensúlyelmélete................................................................................................56 3.1.1 A csere elmélete két termék esetére...........................................................................60 3.1.2 A csere elmélete több termék esetére.........................................................................64 3.1.3 Walras termelési modellje..........................................................................................67 3.1.4 Kísérlet az általános gazdasági egyensúly dinamikus modelljének létrehozására.....76 3.1.5 Az Elements kritikái...................................................................................................79 3.2 Az egyensúly Hicks – i megközelítése............................................................................81 3.2.1 A fogyasztó egyensúlya.............................................................................................84 3.2.2 A jövedelem- és az árváltozás hatása a keresletre.....................................................86 3.2.3 A csere egyensúlya.....................................................................................................89 3.2.4 A vállalat egyensúlya. Az egyensúlyi feltételek........................................................91 3.2.5 Általános piaci egyensúly és az egyensúly stabilitása..............................................94 3.2.6 A Lagrange-féle multiplikátor módszer elsı használata a közgazdaságtanban.......101 3.2.7 Az idıtényezı figyelembevétele Hicks elméletében……………………………...103 Függelék..................................................................................................................................108 F1. Függelék a 2.3 fejezethez...............................................................................................108 F2. Függelék a 2.4 fejezethez...............................................................................................110 133

F2.1 A kereslet jövedelem- és árrugalmassága két termék esetén....................................110 F2.2 Helyettesítési rugalmasság........................................................................................112 F2.3 A kereslet jövedelem- és árrugalmassága három termék esetén...............................113 F2.4 A kereslet stabilitása.................................................................................................114 F3. Függelék a 3.2 fejezethez...............................................................................................116 F3.1 Stabilitási feltételek az Érték és tıkében..................................................................116 F3.2 A jövedelem- és az árváltozás hatása a keresletre....................................................123 F3.3 A piaci egyensúly stabilitása.....................................................................................127 Irodalomjegyzék.....................................................................................................................130.

134