TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 „A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben”
A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
Készítette: Nagy András Vasvár, 2010. június
Az óra jellemzői:
Osztály:
11.
Tantárgy:
Matematika
Téma:
logaritmus
Az óra címe:
A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői
Az óra típusa:
új ismeretet átadó
Felhasznált segédanyagok:
• vonalzó, táblafilcek, számológép • GeoGebra matematikai program • Microsoft Office PowerPoint 2003 • Projektor
Az óra előzményei: A tananyag helye a tematikában: A 11. évfolyamban tanítjuk a függvények témakörében belül. Az ide tartozó feladatok a logaritmus ismeretére épülnek, ismerni kell a logaritmus fogalmát, kapcsolatát a hatványozással. A függvény ábrázolása során szükség van algebrai műveletekre az értéktáblázat készítésekor, grafikon jellemzésekor.
A tanulók előzetes ismeretei: • Logaritmus definíciója. • Logaritmus és a hatványozás kapcsolata (inverz fogalma). • Derékszögű koordináta-rendszer ismerete, rendezett számpár fogalma. • Függvény jellemzése grafikon alapján.
2
Az óra célja, követelményei: 1. Kognitív (értelmi) célok • Ismeret szintjén: A tanulók ismerjék a tananyaggal kapcsolatos fogalmakat. Ezeket tudják felidézni. Ismerjék fel és alkalmazzák a logaritmus és a hatványozás legfontosabb ismereteit. • Megértés szintjén: Tudják értelmezni az összefüggéseket és ezeket saját szavaikkal is tudják megfogalmazni. Tudjanak megfogalmazni fizikai, kémiai, biológiai törvényszerűségeket. • Alkalmazás szintjén: Lássák meg a problémákat, próbálkozzanak ezek megoldásával. Használják a matematikai jeleket, szimbólumokat.
2. Affektív (érzelmi-akarati) célok • Odafigyelés szintjén: A matematika iránti érdeklődés kialakítása, fenntartása. • Reagálás szintjén: Aktív részvétel a tanórai munkában. Együttműködés fejlesztése. • Az értékrendet tükröző viselkedés szintjén: Pontos, esztétikus munkavégzés. 3. Pszichomotoros (mozgásos) célok A feladatok megoldásának világos, áttekinthető rögzítése. Az eszközök – vonalzó, körző, számológép – pontos, helyes használata.
Közvetlen tanórai célok Az óra a középszintű érettségire való felkészülést segíti. Tudja definiálni és használni a feladatok megoldásában
a
logaritmus
fogalmát.
Ismerje
a
logaritmusfüggvény
definícióját.
Az
inverzfüggvény szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából.
3
Az óra felépítése
I.
Jelentés, óraszervezés
II.
A logaritmusfüggvény fogalmának kialakítása, a függvény jellemzői
III.
Feladatok
IV.
Értékelés, házi feladat kijelölése
Tanári, tanulói tevékenységek, munkaformák és módszerek
Szakmai gondolatmenet és munkafázisok I. Jelentés, óraszervezés
Eszközök és feltételek
jelentés, naplóbeírás
Napló
Önálló: táblázat és az ábrázolás közös: ellenőrzés, definíció kimondása
1_feladat projektor
II. Cím: A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői 1. A logaritmusfüggvény definíciója Töltsük ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett értékpárokat ábrázoljuk feladatonként közös koordináta-rendszerben! x 2x x log2x
-2
-1
-0,5
0,125
0,25
0
0,5
0,25
1
0,5
2
1
4
2
2,5
8
2. feladat Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett értékpárokat ábrázold feladatonként közös koordináta-rendszerben! a) x 3x
-2
x
-1
1 81
1 9
-0,5
0
1 3
0,25
1
3
0,5
1
2 A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Ketten az a) részt, ketten a b) részt oldják meg, majd közös megbeszélés.
9
log3x
b) x 3x x
-2
1 81
-1
1 9
-0,5
1 3
0
1
0,25
0,5
3
9
1
2_feladat
2
log3x
4
3. feladat Ábrázold közös koordináta-rendszerben a pozitív valós számok halmazán értelmezett következő függvények grafikonjait! a) f (x) = log3 x g(x) = log4 x h(x) = lg x; b) a(x) = log 1 x b(x) = log 1 x c(x) = lg x.
Önálló ábrázolás 3_a_feladat 3_b_feladat
4
3
Mi állapítható meg a függvények menetéről (növekedés / csökkenés) az a), illetve a b) esetben? Mi állapítható meg a grafikonok növekedésének / csökkenésének üteméből az a), illetve a b) esetben?
frontális
III. Feladatok 4. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket Az eddigi tapasztalatokat általánosítva rajzoljuk meg a logaritmusfüggvény grafikonját, ha a logaritmus alapja 0 és 1 között van, illetve, ha nagyobb 1-nél!
frontális
4_a_feladat 4_b_feladat Geogebra, táblafilc
5. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát! Mire kell figyelemmel lenni? a tört: ⇒ b ≠ 0; b
páros gyök:
2n
frontális
x ⇒ x ≥ 0;
logaritmus: logab ⇒ a > 0, a ≠ 1 és b > 0. a) a (x) = log2 (2x +11)
M: 2 x + 11 > 0 ⇒ x > –5,5. Az értelmezési tartomány: ] – 5,5; + ∞ [ b) b(x) = lg
x−3
M: x − 3 > 0 ⇒ x – 3 > 0 ⇒ x > 3. Az értelmezési tartomány: ] 3; + ∞ [ c) c(x) = log0,2|5 + 3x| 5 M: |5 + 3x| > 0 ⇒ x ≠ − . 3 5 Az értelmezési tartomány: R \ − 3 2 d) d(x) = lg(x -5x + 6)
A tanulók 3-4 fős homogén csoportokban dolgozhatnak. Az a-c feladatot a gyengébb, a d-e feladatot az átlagos képességűek oldják meg
táblafilc
5
M: x2 − 5x + 6 > 0 ⇒ x < 2 vagy x > 3. Az értelmezési tartomány: ] – ∞; 2 [ ∪ ] 3; ∞ [.
5 − 2x e) e(x) = log 2 3x + 8 3 5 − 2x M: >0⇒ 3x + 8 I. 5 – 2x > 0 és 3x + 8 > 0 ⇒ −
8 5 <x< . 3 2
VAGY II. 5 – 2x < 0 és 3x + 8 < 0 ⇒ nincs megoldás.
8 5 Az értelmezési tartomány: − ; . 3 2 6. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt
frontális
6_feladat
f(x) = log 1 ( x − 3) 2
IV. Értékelés, házi feladat kijelölése Házi feladat: Határozd meg a következő függvények értelmezési Értékelem az tartományát! osztály munkáját, megdicsérem a jól a) a(x) = log2x + 3; teljesítőket. b) b(x) = log 1 ( x + 1) ; 2
c) c(x) = log7(x + 7); d) d(x) = log 1 (3 − 2 x) ; 3
e) e(x) = lg(x2 – 25). f) Az a és b esetben ábrázold a függvényeket!
6
