A közgazdászok matematikája I. (kezdeti, javítatlan fázis)

A közgazdászok matematikája I. (kezdeti, javítatlan fázis)

1

1. Bevezetés

Próbáljuk már itt a legelején megválaszolni, miért is van szükségünk a valós számokra? Az árak, bevételek, javak, jövedelmek, adókulcsok, átlagköltségek, részesedési arányok, stb. mérésére szükségünk van a valós számokra, úgyhogy a valós számkör iránti érzéseink egyáltalán nem mondhatók érdekmentesnek. Már a természetes számokról is elmondhatjuk, hogy igencsak absztrakt fogalmakat takarnak. Nézzük csak, honnan is erednek… A kő latinul calculus. A kőkorszakban ez volt az ember legfontosabb eszköze, nemcsak azért, mert fegyvereit ebből készítette, hanem azért is, mert a kavicsok segítségével tudott „kalkulálni”, a számokat kövekkel ki tudta fejezni. A számok fogalma korábban alakult ki mint a számneveké, melyek minden bizonnyal csak valamikor az újkőkorban születtek meg. A természetes számok nevei (egy, kettő, három,…) angolul, spanyolul, franciául, olaszul, oroszul, latinul, görögül, szanszkritül nagyon hasonlóak. Keletkezésük időpontja sok ezer évvel megelőzi az írás kifejlődését, ekkor még őseink közös indoeurópai ősnyelvet beszéltek. Egyes számok jele több ezer éves fejlődés eredménye. Bár a számírás története szervesen kapcsolódik az írás történetéhez, bevezetőnkben a képírásig most mégsem tekintenénk vissza. A ma használatos számjegyek Indiából származnak. Egy i.e. 662-ben íródott, Szíriában előkerült könyvben már megtalálhatók az 1-9 számok indiai jelei. Az araboknál a számjegyeket művészi díszítésre is használták. Az első hindu-arab számokkal lapszámozott könyv az 1471-ben megjelent Petrarca kötet. (ld. Székely J. Gábor, Építészmérnök hallgatóknak írt matematika jegyzetterv, 1995). A természetes számok halmazára a következő jelölést használjuk:

: 1,2,3,4,5,... . Az

x 1  0 lineáris egyenletnek az halmazban nincs megoldása, míg az egész számok : ..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... halmazán van, és ez az x  1 . A racionális számok halmazát -val, míg a valós számokét -rel jelöljük. A racionális számok halmaza nem más, mint az összes tört alakban felírható szám halmaza, ezek lehetnek véges tizedestörtek vagy végtelen szakaszos tizedestörtek. A racionális számok halmazát kibővítve a végtelen nemszakaszos tizedestörtekkel kapjuk a valós számhalmazt, azaz a valós számok halmaza tartalmazza a racionális számok halmazának és a nem racionális (azaz irracionális) számok halmazának minden elemét. A természetes számokról sok mindent tudunk már és jó pár kérdés nyitott, sejtjük csupán a választ. Párat ilyenekből is felsorolnánk: Oszthatósági szempontból mindig is érdekesek voltak a prímszámok, azaz azok a természetes számok, melyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Ilyenek a 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,… Ezek a természetes számhalmaz legkisebb építőkövei, hiszen minden természetes szám vagy egység, vagy prímszám, vagy pedig felbontható (szorzási sorrendtől eltekintve) egyértelműen prímszámok szorzatára. Már az ókori görögök indirekt

2

okoskodással belátták, hogy végtelen sok prímszám van. Ha indirekt feltételeznénk, hogy a prímszámok száma véges, akkor őket (mind) összeszorozva és 1-gyet a szorzathoz hozzáadva olyan számot kapnánk, mely nem volna felbontható prímszámok szorzatára, mert bármelyik prímmel elosztva a maradék 1 lenne, azaz újabb prímszámot kapnánk, ami ellentmondáshoz vezet. Az olyan prímszám párosokat, melyeknek különbsége 2, ikerprímeknek nevezzük. A mai napig nem tudjuk, hogy van-e végtelen sok ikerprím, mint ahogy a Goldbach-sejtést sem, hogy minden kettőnél nagyobb páros szám felírható-e két prímszám összegeként. Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerint a tökéletes harmónia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok arányaival fejezhető ki. A püthagoraszi harmóniára egyik legszebb példánk a következő: ha egy háromszög oldalainak aránya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppen Püthagorasz tételéből következik, mert 32  42  52 . Az igazság kedvéért meg kell itt említenünk, hogy bár a matematikatörténet ezt Püthagorasznak tulajdonítja (hiszen ő bizonyította), a babiloniak is használták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a különbséggel, hogy ők nem tudták, hogy ez igaz valamennyi derékszögű háromszögre. A Püthagorasz-tétel (másképpen írva Pitagorasz-tétel) tulajdonképpen közvetlen őse a nagy Fermat-tételnek (amit érdekes módon - bár 1994-ben bonyolult matematikai módszerekkel bizonyítottak - gyakran továbbra is sejtésnek nevezünk). Ez a tétel a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legbonyolultabb elképzeléseivel, ami több mint három évszázadon át lenyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olyan egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti. 1670-ben Toulouse-ban Pierre de Fermat (1601-1665) francia matematikus és jogász halála után megjelent a „Diophantosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel” című kötet, melyben Fermat a 8. probléma tőszomszédságában széljegyzetként kijelentette, hogy az xn  yn  z n egyenletnek bármilyen rögzített n  3,4,5,... számra nincsen pozitív egész

 x, y, z 

megoldása. Matematikusok nemzedékeit „őrjítette meg” ingerkedő megjegyzésével, amit szintén ide írt be: „Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám.” (ld. Simon Singh, A nagy Fermat-sejtés, Park Könyvkiadó, Budapest, 1999) Míg az itt tanult matematika tételek nagy többségének az utca embere hátat fordítana, még a Fermat-sejtés bizonyítása előtti időkben, New Yorkban, a Nyolcadik utcai metróállomás falán a következő falfirka jelent meg: „ xn  y n  z n : nincs megoldás. Igazán csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most nincs időm ideírni, mert jön a metró”. Amikor Püthagorasz Hippaszosz nevű fiatal tanítványa felfedezte, hogy a 2 (pl. az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza) nem fejezhető ki két természetes szám hányadosaként, tehát a „püthagoreus értelemben véve nem szám”, a püthagoreusok egész világszemlélete összeomlott. Úgyhogy inkább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudomást az ilyen számok létezéséről. Talán ez az egyetlen dicstelen tett, ami a nevükhöz kapcsolható. A 2 -t és az irracionális számokat csak a mester halála után merték újra „életre kelteni”.

3

Vegyünk most egy 1 és 2 oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, 2 és 2 oldalú téglalapot kapunk, ami ugyanolyan arányú, mert 1: 2  2 : 2 . Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot „ügyesen” egymás mellé rakva olyan nagyobb lapot kapunk, mely hasonló az eredetihez. Ha egy egységnyi hosszúságú szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbiknek és a nagyobbiknak az aránya egyenlő legyen a nagyobbiknak és az egésznek az arányával, azaz a

1 x x  másodfokú egyenletet kapjuk, melynek egyetlen x 1 1  5 1 5 pozitív megoldása az x  és ekkor a nagyobbik és kisebbik aránya  , 2 2 nagyobbik részt x-szel jelölve, az

az aranymetszési arány. Az aranymetszésről Velencében, 1509-ben Fra Luca Paccioli „De Divina Proportione” címmel könyvet írt, melyet barátja, Leonardo da Vinci illusztrált. Nézzük meg az aranymetszés egyéb előfordulását is. Fibonacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, 1200 körül, nyulak szaporodását vizsgálva, bevezette és tanulmányozta a következő numerikus sorozatot: 1,1,2,3,5,8,13,21,…, azaz általánosan un2  un1  un . A Fibonacci sorozat egymást követő tagjainak hányadosa: 1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,6153, ..., az aranymetszés értékéhez tart. A Fibonacci számok arányai a természetben is megtalálhatók: a szilvafa gallyain a levelek általában félfordulatra követik egymást, a bükknél, mogyorónál ez 1/3, a tölgynél, sárgabaracknál 2/5, körtefánál, nyárfánál 3/8, mandulánál, fűzfánál 5/13, és így tovább. Ezek az arányok éppen a másodszomszéd Fibonacci számok arányai. Kepler szerint éppen az aranymetszés adta az ötletet a Teremtőnek, hogy bevezesse a hasonló dolgoknak hasonló dolgokból való származtatását.

4

2. Alapozás (a középiskolai anyag áttekintése) Fontosabb jelöléseink: A nyílt intervallumra az  a, b  jelölést, a zártra az a, b jelölést használjuk,

 a, b : x 

, a  x  b , a, b : x  , a  x  b , teljesen hasonló módon

definiálhatjuk a balról nyílt, jobbról zárt  a, b , valamint a balról zárt, jobbról nyílt  a, b 

intervallumokat is. A valós számhalmazt jelölhetjük még a  ,  nyílt intervallummal is, ami annyiban különbözik az eddigiektől, hogy a és b szimbólumok, nem számok. ( A  nem tekinthető valós számnak.) Mire érdemes a továbbiakban odafigyelni? A görög ábécé betűi igen gyakran előfordulnak a matematikai képletekben, érdemes megismerkedni velük, mint ahogy az univerzális és egzisztenciális kvantorokkal is: a  „minden”, „bármely”, „minden egyes” jelentéssel bír, míg az egzisztenciális kvantor, a  nem más, mint „létezik”, „van olyan”. Ismernünk kell továbbá az implikációt   , valamint az ekvivalenciát    , ezekre azonban még a matematikai állítások szerkezetének tárgyalásakor részletesebben visszatérünk. Ismernünk kell a szumma (összeg) és a produktum n

(szorzat) jelöléseket, azaz  ak  a1  a2  ...  an és k 1

Egy tetszőleges bizonyítás végét a

n

 ak  a1a2

k 1

an .

jelezheti.

2.1. A halmazelmélet elemei A matematika nyelvének ismeretéhez elengedhetetlen a halmazelméleti fogalmak alapos ismerete. Egyetlen tételt sem tudunk e nélkül megfogalmazni, mint ahogy a bizonyításokban is szükségünk van a halmazra, mint alapfogalomra. Ha mindenképpen meg akarjuk fogalmazni, mi is a halmaz, mondhatnánk, hogy egymástól különböző objektumok összessége, gyűjteménye. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, A, B, C, stb. A halmaz elemeit általában kisbetűkkel jelöljük. Azt, hogy a eleme az A halmaznak, így jelöljük: a  A . Ellenkező esetben az a  A jelölést használjuk. Miképp adhatunk meg egy halmazt? Például úgy, hogy felsoroljuk elemeit, A  1,2,3,...,999,1000 vagy megadjuk azt a tulajdonságot, amellyel csak a halmazunk



elemei rendelkeznek, pl. A  x 

x  1000 .

Tetszőleges a dolog és tetszőleges A halmaz esetén, az a  A és a  A állítások közül pontosan egynek igaznak kell lennie. Azt a halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük, jelölése:  . Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlők, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A = B.

5

2.1.1. Halmazműveletek definíciója (az ábrák mindegyike megtalálható itt) Egyesítés (halmazunió): A  B : x x  A vagy x  B .

Halmaz metszet (közös rész): A  B : x x  A és x  B .

Halmazok különbsége: A \ B : x x  A és x  B .

2.1.2. Részhalmaz definíciója: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A minden eleme B -hez is hozzátartozik, azaz A  B  (x  A  x  B) . Jelölése: A  B . Abban az esetben, ha A  B , de A  B , szoktuk még az A  B jelölést is használni, ilyenkor azt mondjuk, hogy „az A halmaz valódi részhalmaza B -nek”.

6

2.1.3. Példa:

 



.

2.1.4. Definíció: Legyen adott valamely U halmaz. Tetszőleges A  U halmaz esetén az U \ A halmazt az A halmaz komplementerének (vagy komplementer halmazának) nevezzük. U \A

A

U 2.1.5. Tétel: Tetszőleges A és B halmazokra igaz a következő: A  B  ( A  BésB  A) . A halmazegyenlőségeket általában ennek a felhasználásával igazoljuk.

7

2.1.6. Definíció: Az A halmaz hatványhalmaza nem más, mint a

  A :  X X  A

halmaz. 2.1.7. Példa: Az A  1,2,3 háromelemű halmaz hatványhalmaza 23  8 elemű és nem más,





mint   A : ,1,2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3 . 2.1.8. Definíció: Az A és B halmazok Descartes-szorzata (vagy kereszt szorzata) nem más, mint az összes olyan rendezett pár halmaza, melynek első komponense A-ból, a második meg B-ből van, azaz A B :  a, b a  A és b  B .



2.1.9. Példa: A sík nem más, mint



2

:  :  a, b a 

és b 

.

2.1.10. Definíció: Az A halmazt felülről korlátosnak mondjuk, ha K  : a  K a  A . Hasonlóan definiáljuk az alulról korlátos halmazt. Egy A halmazt pedig korlátosnak nevezünk, ha van alsó és felső korlátja is, azaz ha k , K  : k  a  K a  A . A korlát nem feltétlenül eleme a halmaznak (későbbi példában látni fogjuk) és nem is egyértelmű, pl. az 1,2 zárt intervallumnak -ben egy felső korlátja a 2, de ugyanígy a 3, a

 , és sorolhatnánk még a végtelenségig. A legkisebb felső korlátja viszont a 2.

2.1.11. Definíció: A legkisebb felső korlátot, ha van ilyen, pontos felső korlátnak, vagy szuprémumnak nevezzük, jelölése sup A , míg a legnagyobb alsó korlátot, ha van ilyen, pontos alsó korlátnak, vagy infimumnak nevezzük, jelölése inf A . 2.2. A valós számok struktúrája (meghatározó tulajdonságai, axiómarendszere): A) A valós számok

halmaza rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1) Értelmezett a következő + „összeadás művelet”: a, b 

esetén a  b  , mely a

következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1a) a  b  b  a a, b  (kommutativitás); 1b)  a  b  c  a  b  c  a, b, c  (asszociativitás); 1c) 0  : a  0  a a  (létezik zéruselem);

1d ) a 

a 

: a  a  0

(minden a

elemnek létezik a  a ellentettje);

2) Értelmezett a következő  „szorzás művelet”: a, b  következő tulajdonságokkal rendelkezik:

2a) a  b  b  a a, b  (kommutativitás); 2b)  a  b  c  a  b  c  a, b, c  (asszociativitás); 2c) 1 : a 1  a a  (létezik egység);

8

esetén a  b  , mely a

2d ) a  \ 0 a 

1 : a  a  1 (minden a \ 0 elemnek létezik a :  a1 a

reciproka.); 3) Disztributivitás:  a  b  c  a  c  b  c a, b, c  . B) A valós számhalmazon van rendezési reláció, amit a  b -vel jelölünk és melynek a következő tulajdonságai vannak:

aa ab a b ab

1a) 1b) 1c) 1d )

a  (reflexivitás); és b  a  a  b a, b  (antiszimmetria); és b  c  a  c a, b, c  (tranzitivitás); vagy b  a a, b  (trichotómia).

2) A műveletek és a rendezés között kapcsolat van: 2a) a  b c  : a  c  b  c ; 2b) a  b és c  0  a  c  b  c .

C)

Teljességi axióma: (a rendezésre nézve) teljes, azaz bármely nemüres, felülről korlátos részhalmazának van -beli pontos felső korlátja (szuprémuma) .

Szemléletesen, ez azt jelenti, hogy „kitölti” a számegyenest, míg például a racionális számok halmaza „lyukacsosan hagyja” ezt. (Azaz nem teljesíti a teljességi axiómát, pedig az összes többit (az A. és B. -belieket) igen. 2.2.1 Példa: Tekintsük a

számhalmazt, azon belül pedig egy A 

következő tulajdonsággal van megadva: A  x 

4

egy felső korlát, de A -nak a

Összefoglalva, a valós számok

részhalmazt, mely a

x    . Az A felülről korlátos, mert pl. számhalmazon belül nincs szuprémuma, mert   .

halmaza tehát egy teljes rendezett test.

2.2.2. Megjegyzés: A felsorolt axiómákból minden -rel kapcsolatos ismeretünk levezethető. Például, az, hogy a  a2  0 , vagy az, hogy az a  b egyenlőtlenséget  1 -gyel beszorozva, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, vagy például azt, hogy az a és b

a b , 2

számok mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő a számtani középnél, azaz,

ab 

stb. Lássuk, hogyan igazoljuk például ez utóbbit: elegendő igazolni, hogy ab 

 a  b2 , 4

ehhez pedig elég belátni azt, hogy a jobboldalból kivonva a baloldalt nemnegatív számot kapunk.

9

 a  b2  ab   a  b2  4ab   a  b2   a  b 2  0 . 4

4

4

 2   

amennyiben megköveteljük, hogy az a és b

a b . ab  2

Ugyanígy az is belátható, hogy

számok különbözzenek egymástól, akkor

2.3. A matematikai állítások szerkezete Az állítások olyan kijelentések, melyek vagy igazak (i), vagy hamisak (h). Az állításokat p, q, r,... betűkkel jelölhetjük. 2.3.1. Definíció (negáció): A p állítás tagadása (negáltja) „non p”, jelölése p (vagy p nem más, mint az az állítás, mely akkor igaz, mikor a p hamis és akkor hamis, amikor a p igaz. A logikai műveletek a következők: 2.3.2. Definíció: Diszjunkciónak nevezzük a p  q állítást, amit még „p vagy q”-nak is nevezünk, és ami abban az esetben igaz, ha legalább az egyik állítás igaz. 2.3.3. Definíció: Konjunkciónak nevezzük a p  q állítást, amit még „p és q”-nak is nevezünk, és ami abban az esetben igaz, ha mindkét állítás egyidőben igaz. 2.3.4. Definíció: A p állítás implikálja a q állítást, jel. p  q , ha minden olyan esetben, amikor p igaz, q is igaz. Szoktuk még úgy is mondani, hogy „ha p, akkor q”, vagy „p-ből következik q”, a „  ” jelet pedig implikációs nyílnak nevezzük. A p  q implikáció azt is jelzi, hogy „p elégséges feltétele a q-nak”, vagy azt, hogy a „q szükséges feltétele a p-nek”. 2.3.5. Példa: Implikáció például a következő: „Ha  ,  és  a táblán lévő háromszög szögei, akkor       180 .” Ez ugyanazt jelenti, hogy „Ha       180 , akkor az  ,  és  nem a táblán lévő háromszög szögei.” 2.3.6. Megjegyzés: A p  q implikáció nem más, mint a  p   q , tehát csak akkor hamis, ha p igaz és q hamis. 2.3.7. Definíció: A p állítás ekvivalens a q állítással, jel. p  q , ha egyidőben p  q és q  p . Szoktuk még úgy is mondani, hogy „p pontosan akkor igaz, ha q is igaz”, vagy „p akkor és csak akkor igaz, ha q is igaz”, vagy azt is, hogy a „p szükséges és elégséges feltétele a q-nak”. A p  q ekvivalencia pontosan akkor igaz, ha mindkét állításunk egyszerre igaz, vagy mindkettő egyszerre hamis. 2.3.8. Példa: Ekvivalencia például a következő: x2  4  2  x  2 .

10

2.4. Bizonyítási módszerek: A matematika legfontosabb eredményeit tételek formájában közöljük és ezeket mindmind logikailag hibátlan bizonyítással kell ellátnunk. Jelen előadásjegyzet csak nagyon kevés tétel bizonyítását tartalmazza, nem ezek képezi jegyzetünk fő részét, most mégis a bizonyítási módszerekre térnénk ki. Azzal kezdenénk, hogy minden tétel megfogalmazható egy p  q implikációként. A p a tétel feltételeit jelöli, más néven a tétel premisszáit, q pedig a tétel konklúzióját, más néven a tétel állítását. 2.4.1. Direkt bizonyítás: az, amikor a p premisszákból kiindulva, lépésről-lépésre, helyes következtetések láncolatán keresztül eljutunk a q konklúzióig. Lássunk egy, a kombinatorikából kiemelt nagyon egyszerű példát erre a bizonyítási módszerre: 2.4.2. Tétel: Legyen n . Ekkor n különböző elem összes lehetséges sorrendjének száma 1 2  n 1  n . Bizonyítás: A sorrend első elemét n -féleképpen választhatjuk ki, a másodikat már csak  n 1 -féleképpen (merthogy a sorrendbeli elemek különböznek egymástól), a harmadikat

 n  2 -féleképpen, és így tovább, az utolsó előtti elemet a sorrendből már csak kétféleképpen, míg az utolsót egyféleképpen választhatjuk ki, ez így 1 2  n 1  n különböző sorrendet jelent, amit bizonyítanunk kellett. 2.4.3. Megjegyzés: A fenti 1 2

 n 1  n számot n elem ismétlés nélküli permutációjának

nevezzük, jelölése n! , azaz „n faktoriális”. 2.4.4. Indirekt bizonyítás: az, amikor egy tételt úgy bizonyítunk, hogy feltételezzük, hogy az állításunk hamis (azaz, az ellenkezője igaz) és ebből lépésről-lépésre, helyes következtetések láncolatán keresztül ellentmondáshoz jutunk. Mivel igaz állításból helyes következtetések láncolatán keresztül lehetetlen hamis állításhoz jutni, akkor eredeti állításunk szükségképpen igaz kell, hogy legyen. Itt tulajdonképpen a reductio ad absurdum érvelési formát használjuk, melynek során bebizonyítjuk, hogy a tétel állításának tagadása képtelenségbe torkollik. Lássunk egy szép példát az indirekt bizonyításra is: 2.4.5. Tétel:

2 irracionális.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy tételünk nem igaz, azaz 2  . Ez azt jelentené, hogy felírható tört alakban, azaz a  és b  , hogy az a és b relatív prímek legyenek, azaz legnagyobb közös osztójuk 1 legyen és

2

a 2  . Ekkor négyzetre emeléssel kapjuk, hogy b

a2 , azaz a2  2b2 , ami azt jelenti, hogy a2 páros, így a is az. Tehát a  2l valamely 2 b

11

l  esetén. Ez azt jelenti, hogy 4l 2  2b2 , azaz b is páros, ami ellentmond annak, hogy az a és b relatív prímek. Tehát hibás volt az a feltételezésünk, hogy 2  . Így 2  . 2.4.6. A teljes indukció: Az induktív észjárásnak sok tételt köszönhetünk a matematikában, de nem szabad elfelejteni, hogy olyan formulák igazolására használjuk, melyek természetes számokra vonatkoznak. Az elv a következő: Tegyük fel, hogy a p  n egy olyan állítás, mely természetes számokra igaz és amelyre  p 1 igaz 

tetszőleges n

esetén, ha a p  n indukciós feltevés igaz, akkor p  n  1 is igaz.

Ekkor p  n minden n természetes számra igaz. Szemléletesen, ha egy égig érő létránk lenne, ha az első fokra fel tudunk lépni (nagyon fontos lépés minden teljes indukciót használó gondolatmenetben!) és bármely fokról a következőre fel tudunk lépni, akkor a létránk minden fokáig eljuthatunk. 2.4.7. Megjegyzés: Az elv használható olyankor is, mikor csak bizonyos n0 természetes számtól kezdődő n  n0 természetes számokra érvényes állítást szeretnénk igazolni, csak

akkor az első lépésben nem azt kell belátnunk, hogy p 1 igaz, hanem azt, hogy p  n0  igaz, majd második lépésben azt, hogy tetszőleges n  n0 természetes számra ha a p  n indukciós feltevés igaz, akkor p  n  1 is igaz.

A módszer alkalmazásaként, lássuk a következő tétel bizonyítását: 2.4.8. Tétel (Bernoulli-egyenlőtlenség):

1 h

n

h  1 valós szám és

n 

esetén

 1  nh .

Bizonyítás: n szerinti teljes indukcióval történik. Első lépésben, n  1 esetén igaz az állítás, mert 1  h  1 1h . Tegyük fel, hogy az állítás igaz n-re. (indukciós feltétel) Igazoljuk, hogy (n  1) -re is igaz. 1

1  hn1  1  h1  hn 

 ind . felt.

1  h1  nh   1   n  1 h  nh2 

 1   n  1 h, amit igazolnunk kellett, így teljes indukcióval bebizonyítottuk a tételt. Szintén teljes indukcióval bizonyítható a következő két tétel is, bár itt nem bizonyítjuk őket:

12

2.4.9. Tétel (a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség): Tegyük fel, hogy

a  a  ...  an a1, a2 ,..., an  0 . Ekkor n a1a2...an  1 2 . Egyenlőség akkor és csak akkor állhat n

fenn, ha a1  a2  ...  an .

2.4.10. Megjegyzés: Az n  2 esetet bizonyítottuk a 2.2.2. Megjegyzésben. A második beígért (szintén teljes indukcióval bizonyítható) tétel megértéséhez szükségünk van a következő, kombinatorikából jól ismert fogalomra: 2.4.11. Definíció: Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak számát n elem k-ad osztályú

n k 

ismétlés nélküli kombinációjának nevezzük és   -val jelöljük.

 n n! , ahol n!  1 2  n 1  n , mint ahogy azt is, hogy a  k  k ! n  k !  n  n  kiegészítő kombinációs számok egyenlőek, azaz     . k  nk  Könnyű belátni, hogy   

Megegyezés szerint 0!  1. 2.4.12. Tétel (Binomiális tétel): a, b 

 a  bn 

és n  1,2,... esetén

n  n  n  n  n  n  n1  n  n    ank bk    an    an1b    an2b2  ...    ab   n  b . k 0  k   0 1  2  n 1  

2.4.13. Megjegyzés: A binomiális tétel n  1 és n  2 esetei az

 a  b2  a2  2ab  b2 , valamint az  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 . 2 Amennyiben a képletekbe b helyére –b -t írunk, kapjuk, hogy  a  b  a2  2ab  b2 , 3 valamint  a  b  a3  3a2b  3ab2  b3 . 2.5. Egyenesek, körök, parabolák A derékszögű vagy Descartes-féle koordinátarendszer két egymásra merőleges tengelyből áll, a vízszintes az x-tengely, a függőleges az y-tengely, metszetük az O  0,0 origó. A tengelyekre fölmérjük a valós számokat úgy, hogy az origóban legyen mindkét tengelyen a 0 szám. A sík bármely P(x,y) pontjának egyértelműen meghatározható a helye a koordinátarendszer segítségével, azaz minden számpárnak egyértelműen megfeleltethető egy pont az xy-síkban és fordítva, a sík bármely pontjához egyértelműen hozzárendelhető egy valós számpár, melyből az első számot a pont abszcisszájának, míg a másodikat a pont ordinátájának nevezzük.

13

2.5.1. Definíció: Az egyenes egyenlete a síkban felírható az y  mx  b formában, ahol m, b . Az m  tg , ahol  nem más, mint az x-tengely és az egyenes által alkotott (és az óramutató irányával ellentétesen, azaz pozitív trigonometrikus irányban bejárt) szög. Ezért az m együtthatót szoktuk még az egyenes iránytangensének vagy iránytényezőjének nevezni. 10

8

6

4

2

4

2

2

4

Két y  m1x  b1 és y  m2 x  b2 egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha m1  m2 , valamint az előbbi egyenesek akkor és csak akkor merőlegesek, ha m1  m2 1  0 . 2.5.2. Megjegyzés: Amennyiben az egyenest az Ax  By  C alakban adják meg, az y -t kifejezve kapjuk a definícióban megadott alakot: y   2.5.3. Definíció: Az

 a, b 



középpontú, r  0 sugarú kör egyenlete a síkban

 x  a 2   y  b2  r 2 . 4

3

2

C 1, 2

1

1

1

2

A C x . B B

3

14

2.5.4. Megjegyzés: Amennyiben a kör egyenlete nem a definícióban megadott alakban szerepel, a teljes négyzetté alakítás segítségével átírhatjuk. Így a középpont koordinátáit, valamint a sugár hosszát is látjuk. Pl. az x2  3x  y2  2 y  4  0 kör átírható 2

2 2 3  2  29   3 9 2  x  2   4   y 1 1  4  0 alakba, azaz  x  2    y 1   2  , amiből rögtön       29  3  látszik, hogy a kör középpontja   ,1 , sugara pedig . 2  2 

2.5.5. Definíció: Az y  ax2  bx  c , a, b, c , a  0 egyenletet kielégítő pontok parabolát alkotnak. Az a főegyüttható előjelétől függően a parabola szárai állhatnak fölfelé, vagy lefelé. Amennyiben a  0 , a parabolánk szárai felfelé mutatnak, azaz parabolánk konvex, ha pedig a  0 , akkor szárai lefelé mutatnak, azaz parabolánk konkáv. Az első esetben a parabolának minimuma van, a másodikban maximuma.

10 5

4

a  0 eset

4

2

2

2

2 5 10

a  0 eset. 2.5.6. Megjegyzés: Amennyiben az y  ax2  bx  c , a, b, c , a  0 egyenletű parabolát az y  x2 parabolából kiindulva, elemi transzformációk segítségével szeretnénk ábrázolni, a következő átalakításra van szükségünk: 2 2   c b  b2 c  b  b2  4ac   2 b y  a  x  x    a  x    2    a  x    . a a 2a  4a a  2a   4a2   

15

Innen azonnal következik a másodfokú egyenlet megoldóképlete is, azaz amennyiben a

D : b2  4ac diszkrimináns nemnegatív, x1,2 

b  D . 2a

Ugyanez az átalakítás magyarázza azt is, hogy a másodfokú függvény szélsőértékhelye (legyen az minimumhely, ha a  0 , vagy maximumhely, ha a  0 ) xm   szélsőértéke ym  f  xm   

b , míg a 2a

b2  4ac . Szintén innen kaphatjuk a gyökök és együtthatók 4a

közötti összefüggést másodfokú egyenlet esetén, azaz a François Viète matematikusról elnevezett Viète-formulát, mely szerint

x1  x2  

b c és x1  x2  . a a

16

3. Valós-valós függvények 3.1. Néhány nevezetes függvény 3.1.1. Definíció: Legyenek A és B  valós számhalmazok. Rendeljünk hozzá minden x  A számhoz egyetlen y  B számot. Az ilyen egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük, B pedig a függvény képhalmaza. A függvény értékkészlete a B halmaz azon elemeiből áll, melyeket a függvény ténylegesen felvesz. Valós-valós függvényt mondunk akkor, mikor hangsúlyozni szeretnénk, hogy mind az értelmezési tartomány, mind pedig az értékkészlet részhalmaza. 3.1.2. Jelölések: Az f : A  B jelölést szoktuk a függvényre használni (természetesen g,h,…-val is jelölünk függvényeket), az értelmezési tartományt pedig D f -fel jelöljük. Az





értékkészlet pedig R f : y  B x  D f : f  x   y . 3.1.3. Néhány nevezetes függvény:

1) Abszolút érték függvény: abs :



 x, hax  0 x  .  x, hax  0

, x

5 4 3 2 1 4

2

f x

x

2

4

2) Reciprok függvény: f :

1 \ 0  , f  x   , (R f  x

2 1

4

2

2

4

1 2

17

\ 0) .

3) Előjel függvény vagy szignum függvény: sign :

4) Egészrész függvény: int :

 , x

 , x

 1, ha x  0   0, ha x  0 . 1, ha x  0 

 x , ahol  x jelöli az

x valós szám egész részét

(vagy alsó egészét, amit még  x  -szel is jelölhetünk), ami az x -nél kisebb vagy egyenlő egész számok közül a legnagyobb. Az egészrész függvény grafikonja a következő:

5) A törtrész függvény: frac :

 , x

x , ahol x jelöli az

x valós szám törtrészét,

ami nem más, mint x : x   x . A törtrész függvény grafikonja a következő:

18

6) Dirichlet-függvény: f :

 1, hax   , f  x   0, hax  \

.

 , p  x  : a0  a1x  a2 x2  ...  an xn , ahol n a polinom fokszáma. Ha szeretnénk hangsúlyozni a polinom fokát, akkor n -edfokú polinomot mondunk és a deg p  n jelölést használjuk. Az ai  , i 1,..., n , an  0 számokat a polinom együtthatóinak nevezzük, an pedig az n-edfokú polinom főegyütthatója. A konstans 7) Polinom függvények: p :

függvényeket szoktuk még nulladfokú polinom függvénynek tekinteni. Az eddigiekben láttuk már, hogy az elsőfokú polinom függvények (azaz lineáris függvények) grafikonja egyenes, míg a másodfokú polinom függvényeké parabola. 3.2. Polinomok (polinomok osztása, gyöktényezős alakja) A továbbiakban a polinomok egy kényelmes definícióját használjuk, mely szerint (n-ed fokú egyhatározatlanú, valós együtthatós) p  x  polinomnak nevezzük

a

p  x  : a0  a1x  a2 x2  ...  an xn formális kifejezést, ahol n , ai  , i 1,..., n , an  0 . A p  x : a0  a1x  a2 x2  ...  an xn és q  x  : b0  b1x  b2 x2  ...  bn xn polinomokat akkor és csak akkor nevezzük egyenlőknek, ha i 1,2,..., n indexre ai  bi .

Két, a0  a1x  a2 x2  ...  an xn és b0  b1x  b2 x2  ...  bn xn polinomot egyenlőnek nevezünk, ha ai  bi i 1,2,..., n . gyöke (vagy zérushelye) a p  x  polinomnak, ha p  x0   0 (azaz x0 megoldása a p  x   0 egyenletnek). 3.2.1. Definíció: Az x0 

3.2.2.

Tétel

(Bézout

tétele):

Az

n-ed

fokú

p  x

 p  x    x  x0  q  x  , ahol q  x  egy  n  1 -ed fokú polinom.

polinomnak

x0

gyöke

3.2.3. Definíció: Ha a p  x  polinom p  x    x  x0  q  x  alakban írható fel, ahol k

q  x0   0 , akkor x0 a p  x polinom k -szoros gyöke. Mondjuk még azt is, hogy az x0 a p  x polinom k multiplicitású gyöke.

3.2.4. Megjegyzés: A Bézout - tételből azonnal következik, hogy egy n -ed fokú polinomnak legfeljebb n db. valós gyöke lehet. Ezek között persze lehetnek többszörös gyökök, őket multiplicitással együtt számoltuk.

19

A gyökök és együtthatók közötti összefüggést n -edfokú egyenletekre is fel tudjuk írni a másodfokú egyenletre bemutatott képletek mintájára. 3.2.5. Tétel (Viète-formula n-edfokú polinomra): Ha a p  x  : a0  a1x  a2 x2  ...  an xn polinomnak az összes c1, c2 ,..., cn gyöke valós szám, akkor

an1     c1  ...  cn   an   an2  a  c1c2  ...  c1cn  ...  cn1cn  n    ank   1k ci1 ci2 cik   an 1i1i2  ik n    a0 n    1 c1c2 cn an  A Viète-formula akkor is igaz, ha a polinomunknak nem minden gyöke valós, erre most a komplex számok ismeretének hiánya miatt nem térnénk ki. A polinomokkal végzett műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, akár valós számmal való szorzás) ismeretében elmondhatjuk, hogy a valós együtthatós polinomok rendelkeznek a 2.2.-ben felsorolt, valós számok axiómarendszerét alkotó A1), A2) és A3) tulajdonságok mindegyikével, kivéve a 2d) tulajdonságot, az itt nem igaz. A zérus elem itt nem más, mint a zérus polinom, míg az egység a q  x   1 konstans 1-es polinom. Polinomokat pontosan úgy oszthatunk maradékosan, mint egész számokat. A párhuzam kedvéért nézzünk meg egy polinom osztást: legyen pn  x  egy n -ed fokú polinom,

pm  x  pedig egy m -ed fokú, n  m . A pn  x  polinomot a pm  x  osztóval maradékosan

elosztva kapunk egy q  x  hányadost és egy r  x  maradékot. A maradék foka szigorúan kisebb az osztó fokával, azaz, ellenkező esetben a maradékos osztás folytatható lenne.

20

3.2.6. Példa (polinom osztás): Megoldás:

 x4  3x3 10x2  8x  8 :  x2  x 1  x2  2x  7  x4  x3  x2  2x3  9x2  8x 2x3  2x2  2x 7 x2  6x  8 7 x2  7 x  7  x  1

Az euklideszi algoritmusban is használatos maradékos osztás az n  m esetben mindig elvégezhető, az ezzel kapcsolatos tétel tehát a következő: 3.2.7. Tétel (polinomok maradékos osztása): Legyen pn  x  egy n -ed fokú polinom,

pm  x  pedig egy m -ed fokú úgy, hogy n  m . Ekkor  q  x  és r  x  polinomok úgy,

hogy deg r  x   deg pm  x  és pn  x   q  x  pm  x   r  x  .

3.2.8. Megjegyzés: A pn  x  polinomot a pm  x  osztóval maradékosan elosztva kapunk egy

q  x  hányadost és egy r  x  maradékot. Az osztás helyességét a pn  x   q  x  pm  x   r  x 

képlettel ellenőrizhetjük. Például, a 3.2.6. –beli osztás helyességét a következőképpen







ellenőrizzük: x2  2x  7 x2  x 1   x  1  x4  3x3  10x2  8x  8 . 3.2.9. Megjegyzés: A pn  x  polinomot a pm  x  osztóval maradékosan elosztva, a q  x  hányados és az r  x  maradék segítségével felírhatjuk

pn  x  r  x  q  x  . Erre még pm x  pm x 

később, a racionális törtfüggvények vizsgálatánál, valamint határozatlan integráljánál még visszatérünk. Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. (Az n-edfokú egyenleteket általában a komplex számok halmazán oldjuk meg). Egy n -edfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük azt a tetszőleges véges lépés után véget érő számítási eljárást, ami csak a négy algebrai műveletet, valamint a gyökvonást használja és tetszőleges n -edfokú egyenlet összes gyökét ki lehet vele számolni. Az első- és másodfokú egyenletek megoldóképletét láttuk már, a harmadfokúakra is van képlet, mely Girolamo Cardano (1501-1576) olasz matematikus nevét viseli, ez a

21

Cardano-képlet (bonyolult, nem szükséges megjegyezni). A negyedfokú esetre Cardano tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) adott megoldóképletet. Később Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy 5-ödfokú esetben nincs megoldóképlet. Évariste Galois (1811-1832) pedig bebizonyította, hogy az 5-nél magasabb fokú esetben sincs ilyen megoldóképlet. Azért egyszerűbb magasabb (pl. n-edfokú) pn  x   0 egyenleteket gyakran meg tudjunk oldani. „Egyszerűbben” most azt értjük, hogy kis egész számok a megoldások. A „módszer” a következő:

1, 2, 3,... számok valamelyikét a polinomba, és amennyiben valamely x0 1, 2, 3,... értékre a helyettesítés 0 eredményt

1. behelyettesítjük a

ad, következhet a 2) lépés 2. elosztjuk a pn  x  polinomot az

 x  x0  -val,

így a megoldandó egyenlet

fokszámát már  n  1 -re csökkentettük, merthogy a pn  x    x  x0  qn1  x 

egyenlőséghez jutottunk. Most már a qn1  x   0 (eggyel kisebb fokú) egyenletnek keressük a gyökeit, így visszatérünk az 1) lépéshez. Ne feledjük, számtalan esetben vannak többszörös gyökeink, így az, hogy az előző, magasabb fokú egyenletnél x0 gyök volt, semmit nem jelent. 3.2.10. Példa: Oldjuk meg az x4  x3  5x2 17 x 12  0 negyedfokú egyenletet. Megoldás: Behelyettesítve az x1  1 értéket, nullát kapunk, így a Bézout-tétel (3.2.2. tétel) és annak 3.2.3. következménye miatt a polinomunk osztható  x  1 -gyel. Az osztást





elvégezve, kapjuk, hogy x4  x3  5x2 17 x 12   x  1 x3  5x 12 .

x3  5x 12 Most már csak az x3  5x 12  0 egyenletre koncentrálunk. Az polinomba behelyettesítve az x2  3 értéket 0-t kapunk, így tovább oszthatunk ( x  3) -mal,





így kapjuk, hogy x3  5x 12   x  3 x2  3x  4 . Az x2  3x  4  0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív, így további valós gyökeink nincsenek, ezért további „felbontás” sem lehetséges. A (valós) gyökök x1  1 és x2  3 .

22

3.3. Függvények elemi tulajdonságainak értelmezése A következőkben mind-mind valós-valós függvényekről lesz szó, azaz olyanokról, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számhalmaz egy-egy részhalmaza. 3.3.1. Definíció: Az f függvény felülről korlátos, ha K  : f  x   K x  D f , alulról korlátos, ha k  : f  x   k x  D f . Az f függvény korlátos, ha van felső és alsó korlátja, azaz K , k 

: k  f  x   K x  D f .

3.3.2. Megjegyzés: Az f függvény korlátosságát abszolút értékes alakban is megfogalmazhatjuk, azaz f korlátos, ha K 

úgy, hogy f  x   K x  D f .

3.3.3. Definíció: Az f függvény monoton növekedő (jel.

x1  x2 , fennáll, hogy f  x1   f  x2  .

), ha x1, x2  D f , melyre

), ha x1, x2  D f , melyre x1  x2 , fennáll, hogy f  x1   f  x2  . Az f függvény szigorúan monoton növő (jel.  ), ha x1, x2  D f , melyre

Az f függvény monoton csökkenő (jel.

x1  x2 , fennáll, hogy f  x1   f  x2  és szigorúan monoton csökkenő (jel.  ), ha

x1, x2  D f , melyre x1  x2 , fennáll, hogy f  x1   f  x2  .

3.3.4. Definíció: Az f függvény páros, ha x  D f esetén  x  D f (tehát értelmezési tartománya szimmetrikus) és f  x   f  x  . Az f függvény páratlan, ha x  D f esetén

x  D f (tehát értelmezési tartománya szimmetrikus) és f  x    f  x  .

3.3.5. Megjegyzés: A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y -tengelyre, míg a páratlan függvények grafikus képe az origóra szimmetrikus. 3.3.6. Definíció: Az f függvény T  0 szerint periodikus, ha x  D f esetén x  T  D f és

f  x  T   f  x  . A T  0 számot a függvény periódusának nevezzük.

23

3.4. Hatvány-, gyök-, trigonometrikus- és exponenciális függvények és elemi tulajdonságaik: 1) Hatványfüggvények: f  x   x k ahol k pozitív egész szám

f1  x   x2

f2  x   x3 f3  x   x4

f4  x   x5 f5  x   x6

f6  x   x7

A hatványfüggvények párosak, amennyiben a kitevőjük páros szám és páratlanok, ha a kitevőjük páratlan szám.

24

2) Páratlan gyökfüggvények:

f1 (x)  x

1 3

3

1 4

4

f2 (x)  x  x

1 5

f3 (x)  x  x 5

mindegyik páratlan függvény

3) Páros gyökfüggvények: 1 2

f1 (x)  x  x

f2 (x)  x  x

1 6

f3 (x)  x  6 x

25

1 7

f4 (x)  x  7 x

4) Trigonometrikus függvények (sinx, cosx, tanx vagy tgx):

A sin és cos függvények periodikusak, főperiódusuk T  2 , míg a tg és ctg (melyek szintén periodikusak) főperiódusa T   . A sin, tg és ctg függvények páratlanok, míg a cos függvény páros. Fontosabb képletek: x, y   addíciós tételek: sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y

cos  x  y   cos x cos y sin x sin y ,

    

a trigonometria alapösszefüggése: sin2 x  cos2 x  1, sin 2x  2sin x cos x , cos2x  cos2 x  sin2 x  2cos2 x 1  1  2sin2 x ,

  sin  x    cos x , 2    sin x  cos  x   , stb. 2 

A ctg függvény grafikonját külön adjuk meg:

26

5) Exponenciális függvények: f  x   a x ,

a 0.

Két eset lehetséges a  1 , valamint 0  a  1.

15

10

5

4

2

2

4

a 1

2

4

0  a 1

15

10

5

4

2

Érdemes megjegyezni, hogy az exponenciális függvény monotonitása az alaptól függ: amennyiben a függvény alapja a  1 , az exponenciális függvény szigorúan növekvő, míg a 0  a  1 alap esetén az exponenciális függvény szigorúan csökkenő. Értelmezési tartománya , értékkészlete pedig  0,   . Speciális eset: a természetes alapú exponenciális függvény: y  ex , ahol az alapszám az e~2,718281828 irracionális szám (könnyű megjegyezni az első tizedesjegy utáni 18281828 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Leo Nikolajevics Tolsztoj születési éve 1828.

27

1873-ban Charles Hermite (1822-1901) francia matematikus bizonyította, hogy az e szám egyben transzcendens is (azaz nem gyöke egyetlen racionális együtthatójú polinomnak sem). 3.5. Műveletek valós-valós függvényekkel 3.5.1. Algebrai műveletek definíciója: Legyenek f és g valós-valós függvények úgy, hogy D f  Dg   . Az f függvény k valós konstanssal vett szorzatát, valamint és g függvények összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát a következőképpen értelmezzük: 1. 2. 3. 4.

 k  f  x : k  f  x , x  D f ,  f  g  x : f  x  g  x  , x  D f  Dg ,  f  g  x : f  x   g  x  , x  D f  Dg , f  x f  g   x  : g x , x  D f  Dg értékekre, melyekre g  x   0 .    

3.5.2. Példák: Hányados függvények például a tgx : valamint a ctgx :

cos x , x  \ k k  sin x

sin x , cos x

   x  \  2k  1 k   , 2  

.

3.5.3. Definíció (függvénykompozíció): Legyenek f és g olyan valós-valós függvények,

x  Dg g  x  Df    .

melyekre

Ekkor

az

f g

függvénykompozíció

(vagy

függvényösszetétel) nem más, mint





f g : x  Dg g  x   D f  , x

f

g  x  : f  g  x  .

Az f g függvénykompozíciót szoktuk még „f kör g”-nek nevezni, f a függvénykompozíció külső függvénye, g pedig a belső függvény (a sorrend fontos, a kompozíció nem kommutatív, azaz nem felcserélhető művelet). 3.5.4. Példa: Legyenek f  x  : 1 x , Df :  ,1 és g  x  : x2 , Dg :

. Írjuk fel az

f g és g f összetett függvényeket, ha léteznek.







Megoldás: A D f g : x  Dg g  x   D f  x  Tehát f g : 1,1 

,

f



x2  1  1,1 .

g  x   f  g  x   1  x2 (grafikonja az origó középpontú,

egység sugarú, nemnegatív y -értékű félkör).



 

A Dg f : x  D f f  x   Dg  x   ,1 1  x 

28

  ,1 .

Tehát g f :  ,1 

 



,  g f  x   g f  x  

1 x

2  1 x lineáris függvény  ,1 -

en vett leszűkítése, grafikonja egy félegyenes. Ezen a példán is látszik, hogy általában f g  g f , tehát a függvénykompozíció nem kommutatív művelet.

29

4. Függvények invertálhatósága, további elemi függvények 4.1. Függvény invertálhatóságának és inverzének definíciója 4.1.1. Definíció: Az f függvény invertálható, (vagy injektív), ha b  R f  egyetlen olyan

a  D f , hogy f  a   b . Az f inverz függvényének nevezzük és f 1 -el jelöljük azt a

függvényt, mely minden b  Rf számhoz azt az a  Df számot rendeli, melyre f  a   b , tehát f 1 b   a .

A definícióból következik, hogy





f f 1 b  b b  Df 1 és

f 1  f  a   a ,

a  Df , mint ahogy az is, hogy az f 1 értelmezési tartománya az f értékkészlete, és f 1 értékkészlete az f értelmezési tartománya. Csak kölcsönösen egyértelmű függvénynek van inverze, hiszen szükséges, hogy a egyértelmű legyen.

4.1.2. Példa: Az f :

 , f  x   x2 másodfokú függvény

pl. a b  1 R f  0,  értékhez két, D f  melyre f  a   b .

-en nem invertálható, hiszen

-beli a értéket is meg tudunk adni, a  1 ,

4.1.3. Tétel (egy elégséges feltétel az invertálhatóságra) : Az f függvény invertálhatóságának elégséges (de nem szükséges) feltétele a függvény szigorú monotonitása. Az inverz függvény megőrzi a monotonitást (azaz pl. szigorúan növekvő függvény inverze is szigorúan növekvő).

4.1.4. Megjegyzés: Az f 1 függvény és az f függvény grafikonja egymásnak az y  x egyenesre vett tükörképei. Invertáláskor (már ha létezik az inverz függvény) az x és y „szerepet cserélnek”, igazából ezt jelenti az y  x egyenesre vett tükrözés is.

30

Az ábrán az

1 3

-en értelmezett y  x függvény és inverze, az y  x  3 x látható. 3

Hogyan adhatjuk meg az inverz függvényt invertálható függvény esetén? 4.1.5. Példa: Legyen f  x  x 1 , Df  0,  . Határozzuk meg az f függvény inverzét. Megoldás: R f  1,  , ekkor D f 1  1,  , R f 1  0,  , az inverz leképezési törvényt pedig úgy kapjuk meg a legegyszerűbben, hogy felcseréljük x-et és y-t, majd kifejezzük y-t x y  x 1 , ahonnan függvényében: y  x 1 helyett x  y 1-et írunk, innen

y   x 1 , tehát f 1  x    x 1 . 2

4.1.6. Példa: Legyen f  x  

2

x 1 , Df  x2

\ 2 .

Bizonyítsuk be, hogy f invertálható és állítsuk elő az inverz függvényt. Megoldás: Az f invertálhatóságát kétféleképpen is igazolhatjuk. Vagy belátjuk, hogy szigorúan monoton:

f  x 

x 1 x  2  3 3 .   1 x2 x2 x2

31

1 függvény szigorúan monoton csökkenő a  ,0 és  0,   intervallumokon, x 1 ugyanígy az is szigorúan monoton csökkenő a  ,2 és  2, intervallumokon, így x2 3 az f is az marad. Tehát f invertálható. Sőt, az f  x   1  felírásból az is sejthető, hogy x2 R f  \ 1 . Igazoljuk is ezt. Az

3  0 . Fordítva, R f  \ 1 pedig a következőképpen x2 látható be: y  \ 1 -hez találnunk kell egy olyan x  D f elemet, melyre teljesül, hogy

Rf 

\ 1 nyilvánvaló, mert

f  x   y . Ez ekvivalens azzal, hogy 3 3 3 3 . Mivel x  2 , ezért x  D f . 1 y  y 1 x  2   x  2 x2 x2 y 1 y 1 3 Ezért f inverze f 1 : \ 1  y 2  . Természetesen az f inverz függvényét az x y 1 3 változóban is felírhatjuk, azaz f 1 : \ 1  x 2  . x 1 4.2. A négyzetgyök és a logaritmus függvények, mint inverzek A 4.1.2. példában láttuk már, hogy az f : -en nem invertálható. Ha az f :

 , f  x   x2 másodfokú függvény

 , f  x   x2 függvény 0,  -re való leszűkítését

tekintjük, ami nem más, mint f 0, : 0,   , f 0,  x  : f  x   x2 , akkor ez a függvény az értelmezési tartományán már invertálható, mert a 4.1.2. példában lévő gondot a leszűkítéssel sikerült kiküszöbölnünk. 4.2.1. Definíció: A 3.4.-ben szereplő négyzetgyök függvényt definiálhatjuk úgy is, mint a

h : f 0, : 0,   , h  x  : f 0,  x   x2 függvény inverzét. 4.2.2. Megjegyzés: Így a négyzetgyök függvény nem más, mint Dh1  0,  ,



  x 2  x és

Rh1  0,  , h1  x   x , mert x 0,  h h1  x   h1  h  x   x2  x  x .

4.2.3. Definíció (a logaritmus definíciója): Legyen a  0 , a  1 és b  0 . A loga b : c , melyre ac  b . 4.2.4. Tétel (logaritmus azonosságok): x, y  0 ,  a  0 , a  1 esetén 

loga  xy   loga x  loga y ,

32

x  loga x  loga y , y



loga



loga x y  y loga x (ennél az utolsó egyenlőségnél valójában nem szükséges az

 

y  0 feltétel megkövetelése). 4.2.5. Definíció (a természetes alapú logaritmus függvény): Az f  x   e x (e alapú) exponenciális függvény szigorúan növekvő az -en, tehát mindenhol létezik az inverze. Ezt az inverz függvényt nevezzük természetes alapú logaritmus függvénynek, f 1 :  0,   ,

f 1  x   ln x .

Mivel az e alapú exponenciális függvény szigorúan növekvő, ezért a természetes logaritmus függvény is az.

 

eln x  x x   0,  és ln ex  x x  . Ugyanígy, a g  x   a x , a  0,  \ 1 (a alapú) exponenciális függvény szigorúan monoton az -en, tehát mindenhol létezik az inverze. Ezt az inverz függvényt nevezzük a alapú logaritmus függvénynek, g 1 :  0,   , g 1  x   loga x .

log x a

Itt is a

 

 x x   0,  és loga a x  x x 

33

.

Az a  0 , a  1 alapú logaritmusfüggvény monotonitása megegyezik az ugyanolyan alapú exponenciális függvény monotonitásával.

4.3. A trigonometrikus függvények inverzei 4.3.1. Definíció (arcsin függvény): Az y  sin x függvény nem invertálható a

 ,    

intervallumon, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Invertálható viszont a  ,   2 2 tartományon, mert itt szigorúan monoton növekvő. Az inverz függvényét arkusz szinusz (arcus sinus) függvénynek nevezzük, jele arcsin x .

  

Az y  arcsin x értelmezési tartománya a  1,1 intervallum, értékkészlete pedig  ,  .  2 2

  

Továbbá, amennyiben x1,1 és y   ,  , ha y  arcsin x , akkor  2 2 sin y  sin  arcsin x   x . 4.3.2. Definíció (arccos, arctg (vagy arctan) és arcctg (vagy arccot) függvények): Hasonlóan, a többi trigonometrikus függvényt is egy-egy szigorúan monoton szakaszon invertáljuk, például:  a cos függvényt a 0, intervallumon invertáljuk, így az arccos függvény értelmezési tartománya  1,1 , értékkészlete pedig 0, , grafikonja

34

(Itt is felírhatjuk, hogy amennyiben x1,1 és y 0,  , ha y  arccos x , akkor

cos y  cos  arccos x   x .) 

    2 2

a tangenst a   ,  intervallumon invertáljuk, így , így az arctg függvény értelmezési tartománya Darctg :



   , ,  2 2

, értékkészlete pedig Rarctg :  

a kotangenst a  0, intervallumon , így invertáljuk, így , így az arcctg függvény értelmezési tartománya Darcctg :

, értékkészlete pedig Rarcctg : 0,   ,

grafikonjaik a következők:

35

A fenti ábrából is látszik, hogy arctgx  arcctgx  bizonyítjuk).

36

 , x  2

(később, a 7. fejezetben

5. Valós-valós függvények határértéke A valós-valós függvények nagyon sokfélék lehetnek. Bizonyos függvények esetén az x független változó kismértékű megváltozása csak egészen kis változást idéz elő az f  x  függvényértékben is, más esetekben ez különféle szakadásokat, ugrásokat eredményez. A határérték fogalmával ezek a jelenségek (változások) pontosan leírhatók, talán ezért is tekintjük a határértéket (más szóval limeszt) az analízis alapvető fogalmának. Tegyük fel a továbbiakban végig, hogy az f  x  értelmezve van valamely, az x0  körüli nyílt intervallum minden pontjában ( x0 lehet kivétel). 5.1. A kibővített valós számok halmaza Még nem ismerjük a határérték viselkedik a ctgx 

cos x , Dctg  sin x

fogalmát, mégis szeretnénk megvizsgálni, hogyan

\ k k 



függvény a 0 környezetében. Ehhez szükségünk

lesz a  szimbólumokra is. (A +  esetén, akárcsak a pozitív valós számoknál, nem szükséges kitenni az előjelet.) A valós számok halmazához ezt a két szimbólumot hozzávéve kapjuk a kibővített valós számok halmazát, amit még szoktunk „ -fölülvonásnak” is nevezni és jelölése a következő: : ,  . Tudjuk még, hogy

x 

x     , x      , x  \ 0 esetén x pedig  vagy  -t eredményez,

attól függően, hogy az x pozitív, vagy negatív volt,

  ,    ,    ,        ,

       ,    .

Nem lehet azonban megmondani, hogy mennyi (azaz nem értelmezett): 0   , ,   ,

()0 ,

  0 0 c , 1 , 0 , , , ahol c . 0 0 

Ellenben x 

esetén

x x  : 0 .  

5.1.1. Példa: Visszatérve az f  x   ctgx , D f 

\ k k 

 függvényre, a határérték definíciója

nélkül is látjuk, hogy amennyiben a lim f  x  jelölést használjuk az f  x  függvénynek az x0  xx0

helyen vett határértékére, függetlenül attól, hogy x0 , vagy maga a határérték véges szám, vagy  , a következőket olvashatjuk le a grafikonból:

A ctg függvénynek az x0  0 helyen (vagy x0  0 -ban) nincs határértéke, azaz lim ctgx nem x0

létezik. Ugyanez elmondható minden x0  k , k  érték esetén, hiszen amennyiben balról közelítjük meg ezeket az értékeket, a függvény  -hez „tartana”, míg jobbról  -hez. Ha az

x0 



2

környezetében vizsgáljuk a függvényt, ha x az



2

-höz közelít (de nem egyenlő vele),

látható, hogy a ctg függvény a 0-hoz közeledik. Rögzített r  0 szám esetén az a r sugarú környezetén a kr  a  :  a  r, a  r  intervallumot értjük. Az a tetszőleges környezetét k  a  -val szoktuk

5.1.2.

Definíció:

jelölni, itt nem fontos, hogy az a -ra nézve szimmetrikus legyen a környezet. Az a   , valamint az

1 1   a   környezetén a kr   :  ,   , valamint a kr   :  ,   nyílt intervallumokat r r   értjük. Legyen továbbá H  egy adott halmaz. Azt mondjuk, hogy egy x0  H pont a H halmaz egy belső pontja, ha r  0 úgy, hogy kr  x0   H , azaz ha létezik egy x0 -nak egy környezete, mely teljes egészében a H halmazban van. 5.1.3. Megjegyzés: a 

k  a  környezethez   0 k  a   k  a  .

x2  1 függvény az x0  1-ben nem értelmezett, de ha x az x 1 1 -hez közelít (de nem egyenlő vele), látható, hogy a g  x  függvény a 2-höz közeledik.

5.1.4. Példa: A g :

\ 1  , g  x  

Összefoglalva, tegyük fel, hogy az f  x  függvény értelmezve van az x0 egy környezetében

( x0 -ban nem feltétlenül). Azt mondjuk, hogy az f  x  határértéke L , midőn x az x0 -hoz tart, ha f  x  az L -hez közeledik, midőn x az x0 -hoz közelít (de nem egyenlő vele). Lehetséges, hogy az

f függvény semmilyen rögzített L számhoz nem közeledik, miközben x az x0 -hoz közelít. Ekkor mondjuk azt, hogy lim f  x  nem létezik, vagy hogy az f  x  függvénynek nincs határértéke, ha x xx0

az x0 -hoz tart.

38

5.2. A különböző típusú határértékek értelmezése Megadjuk a végesben vett véges határérték, a végesben vett végtelen határérték (2 féle), a végtelenben vett véges határérték (2 féle), valamint a végtelenben vett végtelen határérték (4 féle) definícióját. 5.2.1. Definíció (végesben vett véges határérték): Az f  x  függvénynek az x0  a határértéke és az az L

helyen létezik

valós szám (jelölés lim f  x   L ), ha   0   0 szám úgy, hogy

x  Df : 0  x  x0    f  x   L   .

xx0

5.2.2. Példa: Igazoljuk a függvényhatárérték definíciójával, hogy lim x2  4 , azaz az f  x   x2 x2

másodfokú függvény esetén x ~ 2 , akkor f  x  ~ 4 .

Megoldás: A határérték definíciója akkor teljesül, ha tetszőlegesen rögzített   0 számhoz sikerül olyan   0 számot találni, hogy x  : 0  x  2    x2  4   . Amennyiben figyelembe vesszük, hogy x  2 , tekinthetjük csak a értékeket, ezekre pedig az utolsó egyenlőtlenség



0,4

intervallumbeli x

x2  4  x  2  x  2  6 x  2   , azaz



x  2  , ami azt jelzi, hogy az   egy jó választás. 6 6 Amint az előbbi példán is láttuk, definícióval nehéz igazolni, hogy létezik a limesz, mint ahogy azt is, hogy lim f  x   L . xx0

5.2.3. Definíció (végesben vett végtelen határérték, (I)): Azt mondjuk, hogy az függvénynek az x0 

helyen (plusz) végtelen a határértéke, ha B  0   0 szám úgy, hogy

x  Df : 0  x  x0    f  x  > B .

Jelölés: lim f  x    . xx0

1

5.2.4. Példa: Tekintsük az f  x   , Df  x2

\ 0 függvényt.

2.0

1.5

1.0

0.5

6

4

2

f  x

2

4

6

39

Az előbbi grafikon esetén azonnal látszik, hogy bár az f  x  függvény az x0  0 -ban nem értelmezett, lim f  x   . x0

Hasonlóan definiáljuk a lim f  x    esetet is. xx0

5.2.5. Definíció (végesben vett végtelen határérték, (II)): Azt mondjuk, hogy az f  x  helyen  a határértéke, ha B  0   0 x  Df :

függvénynek az x0 

 f  x  B .

0  x  x0  

Jelölés: lim f  x    . xx0

1

A h  x    , Dh  x2

\ 0 függvény esetén azonnal látszik, hogy bár az h  x  függvény az

x0  0 -ban nem értelmezett, lim h  x   . x0

Megjegyezzük, hogy x  0 esetén, mivel az f  x  és h  x  függvények nem egy jól meghatározott véges számhoz tartanak, hanem  -hez, illetve  -hez, azt mondjuk, hogy „a határérték nem létezik”. (Annak ellenére, hogy a limeszhez beírjuk a „  ”-t, illetve a „  ”t, követjük azt az általános matematikai egyezményt, hogy a limeszek véges számok.) De amint azt az előzőekben láttuk, használjuk azt a kifejezést, hogy lim f  x    vagy xx0

lim f  x   .

xx0

5.2.6. Definíció (végtelenben vett véges határérték (I)): Az f  x  függvény határértéke x  esetén az L

valós szám, ha   0 x  0 x  Df : x  x  f  x   L   .

Jelölés: lim f  x  L . x

Hasonlóan definiáljuk a lim f  x  L esetet is: x

5.2.7. Definíció (végtelenben vett véges határérték (II)): Az f  x  függvény határértéke x  esetén az L

valós szám, ha   0 x  0 x  Df : x  x  f  x   L   .

Az 5.2.4. példa esetén lim

x

1 1  lim 2  0 . 2 x  x x

5.2.8. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (I)): Azt állítjuk, hogy lim f  x   , ha x

B  0 x  0 x  Df : x  x  f  x   B . Hasonlóan definiáljuk a többi három végetlenben vett végtelen határértéket is:

40

5.2.9. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (II)): Azt állítjuk, hogy lim f  x   , x

ha B  0 x  0 x  Df : x  x  f  x   B .

5.2.10. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (III)): Azt állítjuk, hogy lim f  x   , x

ha B  0 x  0 x  Df : x  x  f  x   B .

5.2.11. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (IV)): Azt állítjuk, hogy lim f  x   , x

ha B  0 x  0 x  Df : x  x  f  x   B .

5.2.12. Példa: A 2.5.5. definícióban megadott y  ax2  bx  c , a, b, c , a  0 egyenletet kielégítő parabola esetén, amennyiben az

f  x   3x2  2x 1 , kapjuk, hogy

a  0 , pl.

lim f  x   és lim f  x   , míg ha az a  0 , pl. g  x   3x2  2x 1, kapjuk, hogy

x

x

lim f  x   , valamint lim f  x   .

x

x

Amennyiben használjuk az : ,  -ban értelmezett környezet fogalmát (ld. 5.1.2. definíció), a fenti definíciók egységesíthetők: 5.2.13. Definíció: Az f valós-valós függvénynek az x0 

L

(jelölés

 f  x   k  L .

lim f  x   L  ),

xx0

ha

  0

helyen létezik a határértéke és az az

  0  x  Df :

x  k  x0  \ x0 

5.3. Egyoldali határértékek értelmezése és kapcsolata a határértékkel Amint azt a ctg  x  függvény grafikonján is látni lehet, ld. az 5.1.1. példában, a lim ctgx x0



nem létezik, de elmondható, hogy amennyiben a nullát „jobbról” (jelölés x  0 ) vagy „balról” (jelölés x  0 ) közelítjük meg, az eredmény lim f  x    vagy lim f  x    . Ugyanez x0

x0

elmondható minden k érték esetén.

A sign :

 , x

 1, ha x  0   0, ha x  0 (ld. 3.1.3., harmadik függvény) esetén is elmondható, 1, ha x  0 

hogy nem létezik a lim sign  x  , de a függvénynek van a 0-ban jobb-és baloldali határértéke (csak a x0

kettő nem egyenlő egymással): lim sign  x   1 , valamint lim sign  x   1. x0

x0

41

5.3.1. Definíció (a jobboldali határérték): Az f  x  függvénynek az x0  jobboldali határértéke és az az L

helyen létezik a

valós szám (jelölés lim f  x   L vagy lim f  x   L ), ha xx0 0

xx0

  0   0 x  Df : x0  x  x0    f  x   L   .

5.3.2. Definíció (a baloldali határérték): Az f  x  függvénynek az x0  baloldali határértéke és az az L

valós szám (jelölés lim f  x   L vagy lim f  x   L ), ha

  0   0 x  Df : x0    x  x0  f  x   L   .

xx0 0

xx0

5.3.3. Tétel (egyoldali határértékek kapcsolata a határértékkel):

( lim f  x  ,  lim f  x  és lim f  x   lim f  x   L) . xx0

xx0

xx0

helyen létezik a

 lim f  x  L  xx0

xx0

5.4. Függvényhatárértékek meghatározásához használható tételek: 5.4.1. Tétel (Műveleti tételek az általános esetben, avagy a műveletek és a határérték kapcsolata): Tegyük fel, hogy az f és g olyan valós-valós függvények, melyekre D f  Dg   . Ha lim f  x   L  xx0

és lim g  x   M 

, akkor a két függvény összegéről, különbségéről,

xx0

szorzatáról, hányadosáról a következők mondhatók el: 1. 2. 3.

lim  f  x   g  x   L  M , feltéve, hogy L  M értelmezve van.

xx0

lim  f  x   g  x   L  M , feltéve, hogy L  M értelmezve van.

xx0

lim  f  x   g  x   L  M , feltéve, hogy L  M értelmezve van.

xx0

4. ha M  0 , akkor lim

xx0

f  x L L értelmezve van.  , feltéve, hogy g  x M M

5.4.2. Megjegyzés: Az előző tételben azon, hogy „ L  M értelmezve van” a következőt értjük: pl.   ,    , de  nincs értelmezve, mint ahogy szorzásnál pl. 0 sincs értelmezve. 5.4.3. Tétel: (Összetett függvény határértéke): Ha lim g  x   b és lim f  x  c , továbbá van xa

olyan   0 szám, hogy 0  x  a   esetén

xb

g  x   b , akkor lim f  g  x   c . xa

5.4.4. Tétel (közrefogási elv vagy szendvicstétel függvényhatárértékekre): Ha az f, g és h függvények értelmezve vannak az x0 pont egy környezetében ( x0 esetleg lehet kivétel) és itt

f  x   g  x   h  x  , valamint lim f  x  lim h  x  L , akkor lim g  x  L . (Később látunk xx0

xx0

xx0

példát az alkalmazására.) 5.4.5. Következmény: Egy korlátos és egy 0-hoz tartó függvény szorzata 0-hoz tart.

42

5.5. Kritikus határértékek Láttuk már az

bevezetésénél (5.1. legelején), hogy a nem értelmezett esetek

tulajdonképpen a következők: 0   , ,   , ()0 ,

  0 0 c , 1 , 0 , , , ahol c . 0 0 

Kritikus határértékeknek nevezzük azokat a határértékeket, melyekben a fenti esetek előfordulnak. Ilyenkor a műveleti tételek sem használhatóak, úgyhogy az ilyen határértékeket „kezelnünk” kell, azaz át kell alakítanunk őket nem kritikus határértékekké.

Határérték számításnál először is behelyettesítünk ( x helyére x0 -t). Amennyiben konkrét szám, Legtöbbször azonban a  , vagy  a helyettesítés eredménye, készen vagyunk.

0  0 , ,0    ,  ,00 ,   ,1 alakú határozatlan kifejezések (esetek) valamelyike áll fenn, a 0 

feladat megoldása nem ilyen egyszerű, szükségünk lehet a következő tételekre. 5.6. Nevezetes függvényhatárértékek. Az e szám bevezetése.

sin x x  1 (természetesen, lim  1 is x0 x x0 sin x

1. Ha az x szöget radiánban adjuk meg, akkor lim igaz),

x tgx  1 (természetesen, lim  1 is igaz). x0 x x0 tgx

Ugyanakkor igaz, hogy lim

0, ha 0  a  1 .  , ha 1  a

2. lim a x   x

A címben említett e számot láttuk már az elemi függvények ábráinál is, ahol szó esett arról is, hogy e~2,718281828 irracionális szám, egyben transzcendens is (azaz nem gyöke egyetlen racionális együtthatójú polinomnak sem). A következő képlettel azonban határértékként vezethetjük be az e számot:

 

1 x

x

1

3. lim 1   : e (természetesen, lim 1 y  y  e is igaz, a lényeg, hogy úgy tekintsük a x y0 képletet, mint egy 1  ... 4.

1 ...

alakot, ahol ...  0 ),

loga 1 x  1 ,  loga e  x0 x ln a

lim

amennyiben

a  0,a  1,

ln 1  x   1, x0 x

lim

a x 1 e x 1  ln a , ha a  0, a  1, speciális esetben lim 1, x0 x0 x x

5. lim

43

speciális

esetben

6.

 1  x  1  lim   , ahol   x0

x

.

Bizonyítani csak az 1. tulajdonságot fogjuk a közrefogási elv segítségével:

Ívmértekkel mérve az x szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy sin x  x  tgx , innen sin x -szel osztva

1

x 1  sin x cos x

Mivel lim x0

1 x  1 , ezért a rendőrelv szerint lim  1. x  0 cos x sin x

sin x 1  lim  1. x0 x x0 x sin x

Ekkor lim

44

5.7. Néhány fontos példa függvényhatárérték számításra Az alábbi példákon bemutatjuk, hogyan kell hatványfüggvények, polinom függvények, racionális törtfüggvények, trigonometrikus függvények határértékét kiszámolni:

Szimbolikusan

   

Példa 1)

4 1 3  2 3x2  4x 1 x x 3 lim  lim 2 x x 1 1  2x 2 2 x2

(Kiemeltük

x

előforduló

legmagasabb hatványát (ugyanezt tettük volna, ha x  ), majd leegyszerűsítettünk.) 2) Amennyiben exponenciális tagjaink vannak, kiemeljük a legnagyobb alapú exponenciális kifejezést, kihasználva az exponenciális függvény következő tulajdonságát: lim ax   , ha a  1 , és lim a x  0 , ha x

x

0  a  1 (ld. az exponenciális függvény grafikus képét). x   3 x  x 3  4   2   x   4    4 2 3x  2  4x 4   lim  lim  lim     x 0 x x x x 3  5x  4x  1 x x 5      4 1  4 1 x 3     5  3         5  5   5  5 

0 0  

3) számlálóban vagy nevezőben vagy  gyöktelenítenünk kell, pl. a következőképpen:

lim x0

x2 100 10  lim x0 x2



x2  100 100



x2  100  10 x2

 lim x0

3

 3 , stb. esetben

1 x2  100  10



1 . 20

sin x sin x sin x 1  lim  lim . x  0 x  0 x x x x x x5  x4  x2 x2 ( x3  x2 1) 1  1 5) lim  lim  1      , valamint 6 2 2 4 x0 5x  4x x0 x (5x  4) 4  4 4) lim x0

x5  x4  x2 x2 ( x3  x2 1)  lim  0   1  0 . (Vegyük észre, hogy x0 x0 x3  x x( x2 1) amennyiben x  0 , x előforduló legalacsonyabb hatványát 6) lim

emeljük ki.)

0 0

7) amennyiben   típusú a limesz, de x egy 0-tól különböző számhoz tart,

45

 x 1   x  2  lim  x  2  3 x2  x  2  lim 2 x1 x1 x1 x x x   x 1 x

szorzatra bontunk, pl. lim

     

1 1 3 1      x2 x3 x4 x5  1 1 3 1  9) lim 5x5  4x3  x2  3x 1  lim x5   5  4 2  3  4  5    x x x x x x  





x

  1   

x

3    10) lim x  x  lim x 1  x 2    (Használtuk, hogy    és x x      .)  2  2 x    sin x   lim  sin x   lim  2 x   0 11) lim  sin x     x0 x  x0  x x  x0  x  



   0    

 

8) lim 5x5  4x3  x2  3x 1  lim x5   5  4

2



2

5

5x  1 x   1 x  5 13) lim   lim 1     e  x x   x   x  

46

6. Valós-valós függvények folytonossága Ha egyszerűen szeretnénk fogalmazni, egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha a független változó „kis változása” a függvény értékének „kis változását” vonja maga után. Geometriai szemszögből tekintve, folytonosnak nevezünk egy függvényt, ha grafikonja összefüggő, azaz nincsenek szakadásai (ha a grafikont le tudjuk rajzolni a ceruzahegy megemelése nélkül). Ha csak „ugrásokkal” tudjuk a függvény grafikonját megrajzolni, akkor a függvényt szakadásosnak nevezzük. A közgazdaságtanban különböző jelenségek időbeli változását függvényekkel reprezentáljuk, melyekben az idő a változó. Ezek folytonossága azt jelenti, hogy hirtelen változások nélküli, azaz fokozatos a fejlődés, azaz valamilyen váratlan hír vagy történés nem befolyásolhatja jelentősen ezt. 6.1. A pontbeli folytonosság értelmezése Azt sugalltuk az előbbi bevezetőnkben, hogy az f  x  függvény folytonos az x0 helyen, ha

nincs ott szakadása, azaz az f  x  érték nem sokkal térhet el az f  x0  helyettesítési értéktől, amikor x közel van x0 -hoz. Ez magyarázza a következő definíciót: 6.1.1. Definíció: Az f  x  függvény folytonos a Df értelmezési tartomány egy belső x0 pontjában, ha

  0

  0

úgy, hogy

f  x   f  x0    .

x  Df , melyre

1

Például az 5.2.4. példában ábrázolt f  x   , Df  x2

x  x0  

kapjuk, hogy

\ 0 függvény nem folytonos a 0-

ban, míg mindenütt máshol igen. A szinusz és coszinusz függvények folytonosak az minden pontjában.

halmaz

6.1.2. Jelölés: f  C x0 . 6.2. Kapcsolat a folytonosság és a határérték között 6.2.1. Tétel: Legyen f valós-valós függvény és tegyük fel, hogy x0 az értelmezési tartomány belső pontja (azaz k  x0   D f ). Ekkor f  C x0  (  lim f  x  és lim f  x  f  x0  ). xx0

xx0

A következő ábrán látszik, hogy lim f  x  A . Ez a függvény akkor lesz folytonos az a pontban, xa

ha először is a -ban a függvényt értelmezzük, a az értelmezési tartomány belső pontja és f a  A .

47

A szignum függvény nem folytonos 0-ban, mert a lim signx nem létezik. Az egészrész függvény x0

nem folytonos egyetlen egész pontban sem.

6.3. Egyoldali folytonosság 6.3.1. Definíció: Tegyük fel, hogy f  x  függvény értelmezett az x0 helyen, és annak egy „jobb oldali környezetében”, azaz  x0 , x0  -ban valamely pozitív  -ra. Azt mondjuk, hogy az f  x  függvény jobbról folytonos az x0 pontban, ha

  0   0 x  Df : x0  x  x0    f  x   f  x0    .

6.3.2. Példa: az egészrész függvény jobbról folytonos minden egész pontban (bár ezekben a pontokban a függvény nem folytonos).

6.3.3. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az x0 helyen, és annak egy

 x0 , x0  -ban valamely pozitív f  x  és lim f  x   f  x0  ). x x

„jobb oldali környezetében”, azaz folytonos az x0 pontban  (  lim xx0

 0

48

 -ra. Ekkor f jobbról

6.3.4. Definíció: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az x0 helyen, és annak egy „bal oldali környezetében”, azaz  x0 , x0  -ban valamely pozitív  -ra. Azt mondjuk, hogy az

f  x  függvény balról folytonos az x0 pontban, ha

  0   0 x  Df : x0    x  x0 

f  x   f  x0    .

 1, hax   ,0 függvény balról folytonos az x0  0  , f  x   0, hax   0, 

6.3.5. Példa: Az f :

ban, míg ebben a pontban nem folytonos. 6.3.6. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az x0 helyen, és annak egy „bal oldali környezetében”, azaz  x0 , x0  -ban valamely pozitív  -ra. Ekkor f balról folytonos az x0 pontban  (  lim f  x  és lim f  x   f  x0  ). xx0

xx0

6.3.7. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az x0 helyen, és annak egy „környezetében”, azaz

 x0 , x0  -ban

valamely pozitív  -ra. Ekkor f folytonos az x0

pontban  f balról is és jobbról is folytonos az x0 pontban. 6.3.8. Definíció (nyílt intervallumon vett folytonosság értelmezése):: Az f  x  függvény folytonos az  a, b  intervallumon, ha annak minden pontjában folytonos.

6.3.9. Definíció (zárt intervallumon vett folytonosság értelmezése): Az f  x  függvény folytonos az [a,b] intervallumon, ha folytonos az (a,b) intervallumon és az a pontban jobbról-, b pontban pedig balról folytonos. 6.3.10. Példa: A g :

 , g  x   c ( c ) konstans függvény mindenütt folytonos.

6.3.11. Példa: Az f :  , f  x   x identikus függvény mindenütt folytonos, a hatványfüggvények, az abszolút érték függvény, a trigonometrikus függvények, az exponenciálisés logaritmusfüggvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak.

1, hax  0, hax  \ 

6.3.12. Példa: az f  x   

Dirichlet függvény sehol sem folytonos.

6.4. Szakadási helyek és osztályozásuk 6.4.1. Definíció: Az f valós-valós függvénynek az x0  Df szakadási helye, ha f  C x0  . 6.4.2. Definíció: Az f függvénynek az x0  Df megszűntethető szakadási helye, ha  lim f  x  xx0

(véges) és lim f  x  f  x0  . xx0

49

6.4.3. Definíció: Az f függvénynek az

x0  Df elsőfajú szakadási helye, ha  lim f  x  és xx0

 lim f  x  , (mindkettő véges), de lim f  x   lim f  x  . Ekkor azt mondjuk, hogy x0 -ban az fxx0

xx0

xx0

nek ugrása van, a lim f  x   lim f  x  értéket pedig az f ugrásának nevezzük. xx0

xx0

6.4.4. Példa: A szignum függvénynek 0-ban 2 az ugrása és az x0  0 ebben az esetben nem megszűntethető a szakadási hely. 6.4.5. Definíció: Az f függvénynek az x0  Df megszűntethető és nem elsőfajú szakadási hely.

másodfajú

szakadási helye, ha nem

6.4.6. Példa: A Dirichlet függvénynek minden valós helyen másodfajú szakadási helye van, mert sem a jobb-, sem pedig a baloldali határértéke nem létezik a függvénynek egyetlen valós pontban sem. Akkor is másodfajú szakadásunk van az x0  Df pontban, ha valamelyik egyoldali határérték (vagy maga a határérték) végtelen.

6.5. Függvények folytonos kiterjesztése

 x2 1 , ha x  1  6.5.1. Példa: A g :  , g  x    x 1 függvénynek az x0  1 Df megszűntethető  0, ha x  1  szakadási helye, mert lim f  x  2  0  f 1 , mindenütt máshol folytonos az f. x1

Amennyiben megváltoztatjuk a függvényértéket x0  1 -ben és ott 2-nek vesszük, azaz tekintjük a

h:

 x2  1 , ha x  1   , h  x    x 1 függvényt, ez mindenütt folytonos lesz.  2, ha x  1 

6.5.2. Megjegyzés: Ha az f függvénynek az x0  Df megszűntethető szakadási helye,

 f  x  , hax  D \ x  f 0  h  x   mindenütt máshol folytonos, akkor a  lim f  x  , hax  x 0 xx0 konstrukcióval a függvény folytonossá tehető, azaz az így definiált h  C x0  .

50

,

Dh : Df

6.6. Műveletek folytonos függvényekkel 6.6.1. Tétel: Folytonos függvények összege, szorzata, hányadosa (ha a nevező nem zérus) folytonos. 6.6.2. Tétel (Összetett függvény folytonossága): Ha egy g  x  függvény folytonos az x0 helyen,

f  x  pedig folytonos a g  x0  helyen és létezik az f g kompozíció (azaz f  g  x  ), akkor az

f g is folytonos az x0 helyen. 6.6.3. Következmény: Minden p : folytonos -en.

 , p  x  : a0  a1x  a2 x2  ...  an xn polinom függvény

6.6.4. Következmény: Minden r  x  

p  x racionális törtfüggvény folytonos az értelmezési q  x

tartományának minden pontjában. 6.6.5. Példa: Határozzuk meg az a valós paraméter értékét úgy, hogy az

1  cos x ,hax  \ 0  f  x    x2 .  a,hax  0 Megoldás:

x x 2sin sin 1  cos x 2 2  1, lim f  x   lim  lim 2 x0 x0 x0 xx x 2 4 22 1 f  0  a , így folytonosság csak az a  esetben lehetséges. 2 6.6.6. Tétel (Inverz függvény folytonossága): Ha f : Df  folytonos, akkor létezik az

függvény szigorúan monoton és

f 1 : Rf  , (Rf 1 : Df ) inverz függvény, ami megőrzi a

monotonitást és szintén folytonos.

51

6.7. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Bolzano-tétel és Weierstrass-tétel): A nyílt és zárt intervallumokon vett folytonosságot értelmeztük a 6.3.8., illetve 6.3.9. definíciókban. 6.7.1. Tétel: Az a, b zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. 6.7.2. Bolzano-tétel vagy Bolzano-féle közbülsőpont tétel: Ha az f  x  függvény folytonos az

a, b

zárt intervallumon és f  a   f b , akkor f az f  a  és f  b  között minden értéket felvesz. A Bolzano-tételből azonnal következik a következő igen sokszor alkalmazott állítás: 6.7.3. Tétel (a Bolzano-tétel következménye): Ha az f  x  függvény folytonos az a, b zárt intervallumon és f  a   f b   0 , akkor   a, b  úgy, hogy f    0 .

6.7.4. Megjegyzés: A 6.7.3. tétellel gyakran bizonyítjuk egyenletek megoldásának létezését, főleg olyankor, amikor a megoldás nem fejezhető ki explicit módon. 6.7.5. Példa: Bizonyítsuk be, hogy az ex  2  x egyenletnek van megoldása (azaz, grafikusan, bizonyítsuk be azt, hogy a valós számok halmazán értelmezett h  x   e x exponenciális függvény és a g  x   2  x lineáris függvény grafikonjai metszik egymást). Megoldás: Legyen az f : folytonos függvény

 , f  x   ex   2  x  különbség függvény, mely a 6.6.1. tétel miatt

-en. Az f  0 valamint f 1 függvényértékeket kiszámolva

f  0  1   2  0  1  0 és f 1  e   2 1  e 1  0 , így a Bolzano-tétel következménye miatt

  0,1 úgy, hogy f    0 .

6.7.6. Példa: Bizonyítsuk be, hogy bármely páratlan fokú (valós együtthatós) polinomnak van valós gyöke. Megoldás: Legyen p  x  : a0  a1x  a2 x2  ...  a2n1x2n1 , ahol a főegyüttható, azaz a2n1  0 . Tegyük fel, hogy a2n1  0 . (Amennyiben azt tennénk fel, hogy a2n1  0 , a bizonyítás menete nem változik meg.) Mivel





lim p  x   lim a0  a1x  a2 x2  ...  a2n1x2n1 

x

x

1 1  a  lim x2n1   2n01  a1  2n  a2  2n1  ...  a2n1   , x x x x  x1  0 úgy, hogy p  x1  . Hasonlóan végigszámolva,

52





lim p  x   lim a0  a1x  a2 x2  ...  a2n1x2n1 

x

x

, 1 1  a  lim x2n1   2n01  a1  2n  a2  2n1  ...  a2n1   , x x x x  azaz x2  0 úgy, hogy p  x2   . Azt kaptuk, hogy az  x1, x2  intervallumon folytonos p

függvényre p  x1   p  x2    . Ekkor a Bolzano-tétel következménye miatt   x2 , x1  úgy, hogy

p    0 .

Megjegyezzük, hogy példánkban fontos az a feltétel, hogy páratlan fokú a polinom, ellenkező esetben állításunk nem igaz, ld. például a q  x   x2  1 polinomnak nincs valós gyöke. 6.7.7. Weierstrass-tétel: Az a, b korlátos és zárt intervallumon folytonos függvény felveszi

abszolút maximumát és abszolút minimumát az a, b intervallumon, azaz x1 a, b úgy, hogy

f  x   f  x1  x a, b és x2 a, b úgy, hogy f  x2   f  x  x a, b .

6.7.8. Megjegyzés: fontosak a tétel feltételei, bármelyiküket elhagynánk, már nem kapnánk igaz

1 , x  0,1 nyílt intervallumon folytonos függvényre nem igaz a tétel, mint x ahogy akkor sem, ha a függvény folytonosságát nem követeljük meg az a, b intervallumon. állítást: pl. az f  x   Például, a

1  ,hax   0,1 g  x   x  2,hax 0,1 függvény az abszolút minimumát nem veszi fel a 0,1 intervallumon. 6.7.9. Definíció: Az előző tételben definiált x1 -et az f függvény abszolút maximum helyének

nevezzük az a, b korlátos és zárt intervallumon, míg az x2 -t az f függvény abszolút minimum helyének nevezzük az a, b intervallumon. Amint az a tételből is kiderült, az f  x1  az abszolút maximum (érték), f  x2  pedig az abszolút minimum (érték).

A Bolzano tételből és a Weierstrass-tételből kapjuk azonnal a következőt: 6.7.10. Tétel: Ha az f  x  függvény folytonos az a, b korlátos és zárt intervallumon, akkor az abszolút minimuma és abszolút maximuma között minden értéket felvesz.

53