T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A kezdetek. Neolitikum M´ar a I.e. VIII. ´evezred elej´en is lakott volt a kellemetlen ¨ okol´ ogiai viszonyok ellen´ere.
´ Az Okori Meopot´amia matematik´aja.
Kev´es ´asv´anyi nyersanyag, puszt´ıt´ o ´arvizek: ¨ oz¨ onvizek. Speci´alis h´az´ep´ıt´esi technika, tellek (telep¨ ul´es-halmok). Az els˝ o v´arosok (falvak) kultikus helyeken 7000-t˝ ol:
Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
I I
2015. szeptember 15.-22.
I
Dzsarmo (Kurdiszt´an) kb. 150 lakos, Jerico (Palesztina) kb. 2000 lakos 6000 k¨ or¨ ul, Ur (D´el-Mezopot´amia) kb. 34.000 (!) lakos 2800 k¨ or¨ ul.
Az itt ´el˝o n´epek Az ˝ oslak´ ok ismeretlenek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
1/1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
2/1
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
IV.-III. ´evezred.
A III. ´evezred.
Az itt ´el˝o n´epek
R´eszlet a Gilgamesb˝ol.
Az els˝o ismert bev´andorl´ok a SUMEROK. Nem tudjuk merr˝ol j¨ottek, biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeur´opai n´epek csal´adj´aba, v´aros´allamokat alap´ıtottak, a IV. ´evezred v´eg´en ¨osszeolvadtak az ˝ oslak´ okkal. Megb´ızhat´o r´eg´eszeti (´ır´asos) forr´asok kb. 2750-t˝ ol vannak, z¨ ommel a v´aros´allamok harcair´ol a hegem´ oni´a´ert. Uruk ↔ Kis, ´es Ur ↔ Lagas. 2800 k¨or¨ ul GILGAMES Uruk kir´alya falat ´ep´ıt v´arosa k¨ or´e.
Gilg´ames bar´atj´aval Enkiduval elindul, hogy h˝ ostetteket hajtson v´egre. Enkidu meg¨ oli Huwaw´at, a c´edruserd˝ o v´edelmez˝ oj´et ´es az ´egi bik´at, akit Innin (Istar) istenn˝ o usz´ıtott a k´et h˝ osre. Enkidunak e l´azad´as´ert hal´allal kell b˝ unh˝ odnie. Gilg´ames k´ets´egbeesetten indul u ´tnak, hogy f¨ olkeresse osapj´at Utnapistit, ´es megtudja t˝ ˝ ole a halhatatlans´ag titk´at. Utnapisti azt tan´acsolja neki, hogy 6 nap ´es 7 ´ejjel virrasszon, de Gilg´ames nem ´allja ki a pr´ ob´at, elalszik. ´ Ujabb hi´abaval´ o pr´ ob´alkoz´as ut´an Gilg´ames bel´atja, hogy a halhatatlans´ag az emberek sz´am´ara el´erhetetlen, de tettei m´egis halhatatlan dics˝ os´eget szereztek sz´am´ara.
2600 k¨or¨ ul: a Gilgames eposz, az els˝ o irodalmi alkot´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
3/1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
4/1
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A III. ´evezred.
A III. ´evezred. A III. ´evezred 2. fele.
¨ onv´ız legend´ak. Oz¨
2500-t´ ol Ur, a kor legnagyobb lakoss´ag´ u v´arosa hegem´ oni´aja.
Mintegy 250 ilyen legenda ismert.
I
G¨or¨og¨ok: Zeusz bossz´ uja az emberi romlotts´ag miatt.
kb. 34.000 lakos ↔ I.sz. XIII. sz-i P´arizs, London.
2400 k¨ or¨ ul Lagas a vezet˝ o hatalom, az els˝ o t´arsadalmi reform: Urukagina a kistermel˝ ok ´erdek´eben, majd az els˝ o k´ıs´erlet egys´eges birodalom l´etrehoz´as´ara. ´ h´ 2370 k¨ or¨ ul Sarrukin (Szargon) vezet´es´evel AKKAD od´ıt´ ok, az els˝ o ´ s´emi n´ep e t´ajon. Atveszik ´es terjesztik a sum´er kult´ ur´at.
Maj´ak: A gy´ek´enyen u ¨l˝o b¨olcsek k¨ onyve. A klasszikus” bibliai t¨ort´enet. ”
Fontos tal´alm´anyaik. lovak haszn´alata,
2200 k¨ or¨ ul: az akk´ad uralom id˝ olegesen megsz˝ unik, sum´er ” m´asodvir´agz´asa” Lagas vezet´es´evel.
l´o vontatta kerekes j´arm˝ uvek.
Az irodalom m´asodvir´agz´asa,
fazekaskorong,
az els˝ o kezdetleges helyi´ert´ekes sz´am´ır´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
5/1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
6/1
2015. szeptember 15.-22.
8/1
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A II. ´evezred.
Hammurapi t¨orv´enyoszlopa 1.
A II. ´evezred utols´o harmada. 2000 k¨or¨ ul t¨obb hull´amban u ´jabb, nom´ad, h´ od´ıt´ o s´emi n´epek j¨ onnek: akk´adok (ism´et), el´amiak, amurok/amorit´ak, m´edek ´es m´asok. Letelepednek, u ´jabb v´arosokat alap´ıtanak, k¨ ozt¨ uk BABILONT (akk´adok). Gyors lakoss´agcsere”, a sumer holt nyelv lesz, az akk´ad ” v´alik ´altal´anosan haszn´altt´a. A XVIII. sz´azad elej´en HAMMURAPI megalap´ıtja az
´ Obabiloni Birodalmat. Hammurapi t¨orv´enyei, I.sz. 1801, Susa. Ma is ´erv´enyes ´es haszn´alt matematikai eredm´enyek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
7/1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Hammurapi t¨orv´enyoszlopa 2.
A II. ´evezred. A II. ´evezred m´asodik fel´et˝ol. 1600 k¨ or¨ ul a hettita h´ od´ıt´ ok megd¨ ontik a birodalmat. R¨ ovidesen a kassuk is j¨ onnek, elterjesztik a l´ oteny´eszt´est. 1500 k¨ or¨ ul alakul ki ´eszakon F¨ onici´aban az els˝ o, ´ek´ır´asos ´ab´ec´e, ami az eddigi sz´ o´ır´as helyett a bet˝ u´ır´as kezdet´et jelenti. A legr´egebbi ismert ilyen sz¨ oveg kb 1250-b˝ ol val´ o Ahiram b¨ ubloszi kir´aly szarkof´agj´an olvashat´ o. A XII. sz´azad elej´en assz´ır h´ od´ıt´ ok (Takulti-Ninurta). ´ Takulti-apil-Esara 1100 k¨ or¨ ul a t¨ ort´enelem folyam´an el˝ osz¨ or: I
n´epcsoportok ´attelep´ıt´ese.
R¨ ovidesen Damaszkusz megalap´ıt´asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
9/1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
10 / 1
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Ahiram b¨ubloszi kir´aly szarkof´agja
II. ´evezred.
´Ir´asos eml´ekek. Az els˝ o sz´amottev˝ o leletegy¨ uttes: Asszurbanipal asszir uralkod´ o Ninive-i k¨ onyvt´ara. 1870. A Behistum k˝ ot´abla megtal´al´asa. A XX. sz´azad els˝ o harmad´aban nagy sz´am´ u matematikai tartalm´ u t´abla ker¨ ult el˝ o az ´asat´asokkor.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
11 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
12 / 1
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A Behistum k˝ot´abla.
A Behistum k˝ot´abla.
perzsa, asszir ´es m´ed nyelven tud´ os´ıt I. Dareiosz perzsa uralkod´ o Kamb¨ uzesz f¨ ol¨ otti gy˝ ozelm´er˝ ol A XIX. sz´azadban a perzsa ismeret´eben megfejtett´ek a m´asik kett˝ ot, majd az asszir alapj´an az akk´adot.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
13 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai aritmetika.
Egy p´elda. H
HHH
J |<
A sz´amjegyek ´ır´asa.
J | | | < HH J < | |
Ha eg´esz sz´am, akkor lehet p´eld´aul
H
|
1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 253.205,
Nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´any´at jel¨olhette.
vagy 1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 5.405,
J <
vagy ak´ar
Ez szolg´alt a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´anya t´ızszeres´enek jel¨ol´es´ere is.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
14 / 1
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
60-as alap´ u helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak. Mind¨ ossze k´et jelet haszn´altak.
A 10 jele, a sarokp´ant”: ”
2015. szeptember 15.-22.
A mezopot´ amiai aritmetika.
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
Az 1 jele, az ´ek”: ”
Mezopot´ amia
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
60 + 35 = 95 is. 15 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
16 / 1
A mezopot´ amiai aritmetika.
A mezopot´ amiai aritmetika.
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
A mezopot´amiai sz´am´ır´as. Neugebauer ´es Sachs kb. 1930-t´ol.
DE ˝ok hatvanados t¨ortekkel is sz´amoltak, ´ıgy a lehets´eges jelent´esek sz´ama n¨ovekszik.
A 60-as sz´amrendszerben megadott sz´amok decim´alis jegyekkel val´ o f¨ ol´ır´as´ara Neugebauer adott meg egy m´ odszert: a 60-ados jegyeket decim´alisan ´ırjuk, ´es vessz˝ ovel v´alasztjuk el egym´ast´ol.
T¨ortek.
Az akkor nem l´etez˝ o hatvanados-vessz˝ ot” pontosvessz˝ ovel jel¨ olj¨ uk. ” ´Igy az el˝ obbi sz´amok a k¨ ovetkez˝ ok´epp ´ırhatjuk:
N´eh´any lehets´eges jelent´es:
1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 1 1 1 =1+ + + , 6 180 43.200
1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 1, 10, 20, 5 = 253.205, 1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 1, 30, 5 = 5.405, 1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 = 1; 10, 20, 5 1 1 1 =1+ + + 6 180 43.200
35 7 60 + = 60 . 60 12
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
17 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2015. szeptember 15.-22.
18 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
Egyenletek megold´asa.
M´asodfok´u egyenletek.
Megvizsg´alunk n´eh´any olyan probl´em´at, amely — mai sz´ ohaszn´alattal — m´asodfok´ u egyenletre vezet.
Az eredeti sz¨oveges megold´as. 27-et, a hossz´ us´ag ´es a sz´eless´eg ¨ osszeg´et 3, 3-hoz add hozz´a; 3, 30 [az eredm´eny]. 2-t a 27-hez add hozz´a; 29 [az eredm´eny].
1. Probl´ema (Szenkereh). Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg. A hossz´ us´agot ´es a sz´eless´eget ¨ osszeszoroztam, ´es ´ıgy megkaptam a ter¨ uletet. Amennyivel pedig a hossz´ us´ag meghaladja a sz´eless´eget, azt hozz´aadtam a ter¨ ulethez, ´es 3, 3 [-at kaptam]. Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg ¨osszeadva pedig 27. Mi a hossz´ us´ag, sz´eless´eg, ter¨ ulet?
27 3, 3 az ¨ osszegek 15 a hossz´ us´ag 12 a sz´eless´eg 3, 0 a ter¨ ulet Mezopot´ amia
29-b˝ ol let¨ or¨ od a fel´et; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-b˝ ol; 0; 15 a k¨ ul¨ onbs´eg. 0; 15 n´egyzetgy¨ oke 0; 30. Az els˝ o 14; 30-hoz add hozz´a a 0; 30-at: a hossz´ us´ag 15. 0; 30-at a m´asodik 14; 30-b´ ol kivonsz: a sz´eless´eg 14. Azt a 2-t, amit a 27-hez hozz´aadt´al, 14-b˝ ol, a sz´eless´egb˝ ol levonod: 12 a v´egleges sz´eless´eg. A 15 hossz´ us´agot ´es a 12 sz´eless´eget osszeszoroztam. 15-sz¨ ¨ or 12 [az] 3, 0 [ennyi a] ter¨ ulet.
Az eredm´eny k¨ozl´ese.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
A 15 hossz´ us´ag a 12 sz´eless´egen mennyivel ny´ ulik t´ ul? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a ter¨ ulethez adj hozz´a: 3, 3[-at kapsz]. 2015. szeptember 15.-22.
19 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
20 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek.
Elemz´es 1.
Megjegyz´es.
Mai jel¨ol´esekkel: ha x a hossz´ us´ag, y a sz´eless´eg, akkor az
Vegy¨ uk ´eszre, hogy — mai terminol´ ogi´aval — az t¨ ort´ent, hogy osszeadta a k´et egyenletet ¨ xy + x − y = 3, 3
(xy + x − y ) + (x + y ) = 3, 3 + 27 = 3, 30
x + y = 27
xy + 2x = x(y + 2) = 3, 30 xy 0 = 3, 30
egyenletrendszert kapjuk. A sz´amol´as m´asodik l´ep´es´eb˝ ol l´atszik, hogy az y sz´eless´eg helyett egy u ´j y 0 = y + 2 sz´eless´eg bevezet´es´evel kapjuk, hogy
majd m´asodik egyenletk´ent az x + y + 2 = 27 + 2 = 29 x + y 0 = 29
xy 0 = 3, 30 0
x + y = 29.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
egyenletet tekintette. 2015. szeptember 15.-22.
21 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
22 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek.
Elemz´es 2. Az eredeti megold´as l´ep´esei ´es k¨ ovetkezm´enyei ezen egyenletrendszer alak´ıt´as´aban.
P´arhuzamos sz´amol´as 2.
P´arhuzamos sz´amol´as 1.
√
x + y 0 = 29
2 + 27 = 29
14; 30 × 14; 30 = 3, 30; 15 3, 30; 15 − 3, 30 = 0; 15 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
0; 15 = 0; 30
xy 0 = 3, 30
27 + 3, 3 = 3, 30
29 : 2 = 14; 30
s
14; 30 + 0; 30 = 15
x + y0 = 14; 30 2 x + y0 2 = 3, 30; 15 2 x + y0 2 − xy 0 = 0; 15 2 Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
14; 30 − 0; 30 = 14 14 − 2 = 12
23 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
x + y0 2
2
− xy 0 =
x − y0 = 0; 30 2
x + y0 x − y0 + = x = 15 2 2 x + y0 x − y0 − = y 0 = 14 2 2 y 0 − 2 = y = 12
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
24 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek. ¨ Osszegz´ es.
¨ Osszegz´ es. 1 x = a+w 2
Mai szimbolik´aval a sz¨oveges probl´ema egy
s
1 y = a − w, 2
xy = P
w=
1 a 2
2 − P.
x +y =a A bemutatott sz´amol´as ezen w meghat´aroz´asa alak´ u egyenletrendszerre vezet. Ennek megold´asakor bevezettek egy u ´j w hat´arozatlant (a k´et eredeti hat´arozatlan sz´amtani k¨ozep´et˝ ol val´ o elt´er´est), amelynek r´ev´en egyhat´arozatlanoss´a v´alt a probl´ema:
De mit kellene ehhez tudni? Egyr´eszt ismerni¨ uk kellett az al´abbi azonoss´agokat: (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
´es (a − b)2 = a2 − 2ab + b 2 ,
E m´odszer k´es˝obb m´eg hivatkozunk. m´asr´eszt tudniuk kellett n´egyzetgy¨ ok¨ ot vonni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
25 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
26 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek. VAT 6598. Megoldand´ o az
¨ Osszegz´ es. Hangs´ ulyozni kell, hogy formul´akat kiz´ar´ olag a mai olvas´ o k¨onnyebbs´eg´ere ´ırtunk ´es ´ırunk f¨ ol.
xy = P x −y =d
´ miai ´ırnok minden proble ´ma A mezopota ´ sa ´ t szo ¨ vegesen ´ırta le. megolda
egyenletrendszer.
Megold´as.
Vegy¨ unk sorba n´eh´any tov´abbi korabeli probl´em´at, amelyek megold´asa al´at´amasztja f¨olt´etelez´es¨ unket. A probl´em´akat z¨ ommel csak mai szimbolik´aval fogjuk t´argyalni.
Most a hat´arozatlanok sz´amtani k¨ ozep´ere vezettek be u ´j hat´arozatlant, mi w -vel jel¨ olj¨ uk. d x =w+ , 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
27 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
d y =w− , 2 Mezopot´ amia
s d 2 ahol w = + P. 2 2015. szeptember 15.-22.
28 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek.
Az el˝obbi k´et feladat megold´asi m´ odszere szerepel I. sz. 250 k¨ or¨ ul ´elt alexandriai Diophantosz Aritmetik´aj´aban, mint az ¨ osszeg ´es k¨ ul¨ onbs´eg m´odszere.
BM 13901/8.
Tov´abbi probl´em´ak: BM 13901.
r w=
8. Probl´ema: Megoldand´o az
S a 2 − , 2 2
a + w, 2 a y = − w, 2 x=
x 2 + y 2 = S = 21, 40 x + y = a = 50 egyenletrendszer.
formul´ak ´altal le´ırt u ´ton haladtak.
A sz´amol´as az mutatja, hogy a m´asodik egyenlet n´egyzet´eb˝ ol kivont´ak az els˝o egyenletet, ´es ezzel ugyanolyan egyenletrendszert kaptak, mint az els˝o probl´em´aban szerepl˝ o, ´es a Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
29 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
30 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek.
BM 13901/9.
BM 13901/2.
A m´asodik egyenlet most x − y = d = 10 alak´ u, s a megold´as az el˝ obbiekhez hasonl´oan az s 2 S d w= − , 2 2 d x =w+ , 2 d y =w− . 2
Kivontam a n´egyzetet a ter¨ ulet´eb˝ ol ´es az 14, 30.
Az eredeti megold´as. Vedd az 1-et [az egy¨ utthat´ ot] ´es osszad k´et r´eszre. A 0; 30-at szorozd ¨ onmag´aval, az 0; 15. Ezt add hozz´a a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [n´egyzet]gy¨ oke 29; 30. Ezt add hozz´a a 0; 30-hoz, amit ¨ onmag´aval szorozt´al. Ez 30, ami a n´egyzet [oldala].
formul´akkal adhat´o meg.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2015. szeptember 15.-22.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
31 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
32 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek.
M´asodfok´u egyenletek.
BM 13901/2. Elemz´es.
BM 13901/7.
A probl´ema az x 2 − x = 14, 30 egyenlet, egy x 2 − ax = b alak´ u egyenlet, megold´as´at k´ıv´anja.
A n´egyzet h´etszeres´ehez hozz´aadtam a ter¨ ulet tizenegyszeres´et ´es ez 6; 15.
L´athat´o, a bal oldalt teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ak (az eml´ıtett azonoss´ag alkalmaz´as´aval), ´es
A megold´as elve.
a ma m´erlegelvnek” nevezett m´ odszert alkalmazt´ak. ” Az ut´obbi els˝o alkalmaz´as´at az 1930-as ´evekig az I.sz. VIII. sz´azadban ´elt bagdadi al-Khwarizminek tulajdon´ıtott´ak.
A 11x 2 + 7x = 6; 15 egyenletet kell megoldanunk. Ism´et n´egyzett´e alak´ıtott´ak az egyenlet bal oldal´at, de
A sz´amol´as eredm´enye.
ehhez el˝ obb 11-gyel megszorozt´ak az egyenlet, azaz a
Az x 2 − ax = b alak´ u egyenlet megold´asa: s 1 1 2 x = a+ a +b 2 2 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2, 1x 2 + 1, 17x = 1, 8; 45 egyenlettel dolgoztak. 2015. szeptember 15.-22.
33 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
34 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletek. A megold´as mai jel¨ol´esekkel. A megoldand´o egyenlet ax 2 + bx = c
´ Eszrev´ etel. Az el˝ obbi k´et megold´as azt tan´ us´ıtja, hogy tulajdonk´eppen ismert´ek a m´asodfok´ u egyenletek gy¨ okk´eplet´et”, hiszen aszerint sz´amoltak. ” ´ Vil´agos azonban, hogy NEM a KEPLETET ismert´ek, hanem azt az elj´ar´ast, amivel az megkaphat´ o.
alak´ u. ´ Atalak´ ıt´as ut´an kaphatta, hogy a2 x 2 + abx = ac Sz´amol´asuk az
s 2 1 b x= ca + − a 2
b 2
formul´aval ´ırhat´o le.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
35 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
36 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletrendszerek.
M´asodfok´u egyenletrendszerek.
M´eg h´arom feladat m´odszereik erej´enek demonstr´al´as´ara.
BM 13901/14. K´et n´egyzetem ter¨ ulet´et ¨osszeadtam, [az] 25,25. A m´asodik n´egyzet [oldala] k´etharmada az els˝o n´egyzet[´e]nek ´es m´eg 5.
A m´asodik egyenletb˝ ol y -t az els˝ obe helyettes´ıtve,
A megold´as 1.
alak´ u m´asodfok´ u egyenletet kapunk.
a1 x 2 + a2 x = a3
Ha x, y jel¨oli a k´et n´egyzet oldal´at, akkor az
DE, e m´ odszer — a behelyettes´ıt´es — bevezet´es´et szint´en al-Khwarizminek tulajdon´ıtott´ak.
x 2 + y 2 = 25, 25 y = 0; 40x + 5 egyenletrendszert kell megoldani. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
37 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
38 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletrendszerek.
M´asodfok´u egyenletrendszerek.
A megold´as 2.
A megold´as 3.
Az agyagt´abl´an tal´alhat´o sz´amol´as ezt a v´eleked´est is c´afolja, ugyanis a k¨ovetkez˝ok´epp sz´amoltak:
Rendezve (1 + 0; 402 )x 2 + 2 · 5 · 0; 40x = 25, 25 − 52 = 25, 0. Ezen egyenlet megold´as´at az al´abbi sz´amol´asokkal v´egezt´ek el:
1 + 0; 40 · 0; 40 = 1; 26, 40, 5 · 0; 40 = 3; 20, 25, 25 − 5 · 5 = 25, 0
1; 26, 40 · 25, 0 = 36, 6; 40,
Ez pedig nem m´as, mint azon egyenlet egy¨ utthat´ oi kisz´am´ıt´asa, amit az eml´ıtett behelyettes´ıt´essel kapunk, azaz x 2 + (0; 40x + 5)2 = 25, 25.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
3; 20 · 3; 20 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 − 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. Ezut´an megadt´ak a 36, 17; 46, 40 n´egyzetgy¨ ok´et, ami 46; 40, majd ´ıgy folytatt´ak.
2015. szeptember 15.-22.
39 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
40 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
M´asodfok´u egyenletrendszerek.
M´asodfok´u egyenletrendszerek. Elemz´es. Vil´agos, hogy a behelyettes´ıt´es ut´an kapott
A megold´as 4. (erdeti)
ax 2 + 2bx = c
A gy¨oknek ´es annak, amit ¨ onmag´aval szorozt´al a k¨ ul¨ onbs´ege 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 26, 40 reciprok´aval, megkapod az egyik n´egyzetet [a n´egyzet oldal´at], ami 30. A m´asik n´egyzet [oldala] pedig 25.
alak´ u egyenletet el˝ obb a-val megszorozt´ak, olyan l´ep´esek, amelyek els˝ o alkalmaz´as´at al-Khwarizminek szok´as tulajdon´ıtani, majd az egyenlet bal oldal´at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ak,
Megjegyz´ es. Hasznos lehet az ´erdekl˝od˝ok sz´am´ara a reciprok meghat´aroz´asa hatvanados t¨ort alakban, mi nem r´eszletezz¨ uk. Az azonban vil´agos, hogy korrekt megold´ast kaptak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
41 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
(ax + b)2 = ac + b 2 . ezut´an gy¨ okvon´assal kapt´ak a megold´ast: √ ac + b 2 − b x= . a Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
42 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
Tanuls´agok. ´ Az Obabiloni Birodalom ´ırnokai ismert´ek az ¨ osszeg ´es a k¨ ul¨ onbs´eg n´egyzet´ere vonatkoz´o azonoss´agokat.
Egy megmaradt k´erd´es. Hogyan sz´amolt´ak ki (pozit´ıv) sz´amok n´egyzetgy¨ ok´et?
Ismeret´ek m´ar az al Khwarizminek tulajdon´ıtott al-muqabala ´es al-jabr m´odszert. Minden olyan (pozit´ıv egy¨ utthat´ os) m´asodfok´ u egyenletet meg tudtak oldani, amelyiknek volt pozit´ıv gy¨ oke (k´et pozit´ıv gy¨ ok eset´en csak a nagyobbikat adt´ak meg). ´Igy az egyenletek 3 t´ıpus´aval kellett foglalkozniuk:
x 2 = px + q
Ezt a pontoss´agot a renesz´ansz kor v´ege fel´e tudt´ak u ´jra el´erni az eur´ opai, valamint az iszl´am matematikusok.
x 2 + q = px
Mezopot´ amia
1; 24, 51, 10. E sz´am decim´alisan k¨ ozel´ıt˝ oleg 1, 41421296, ami csak kb. 6 · 10−7 -nel t´er el a helyes ´ert´ekt˝ ol.
x 2 + px = q
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A Yale Egyetem gy˝ ujtem´eny´enek YBC 7289-es agyagt´abl´aj´an szerepel a √ 2 kisz´am´ıt´asa 3 hatvanados t¨ ort helyi´ert´ekre:
2015. szeptember 15.-22.
43 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
44 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´ amiai algebra.
A mezopot´amiai algebra.
A mezopot´amiai algebra.
Iter´aci´os elj´ar´asuk. √
Konvergencia.
√ Az elj´ar´as nyilv´an konvergens, gyorsas´ag´at mutatja, hogy ha 2 ´ert´ek´et az el˝ obbi m´ odon az a1 = 1 kezd˝ o ´ert´ekkel sz´amoljuk, akkor az a5 ´ert´eke megegyezik azzal a sz´ammal amit a mai ´altal´anosan haszn´alt zsebkalkul´atorok szolg´altatnak. A pontoss´ag kb. 6 · 10−7 .
a-t akarjuk meghat´arozni. 1. l´ep´es: V´alasszunk egy a1 k¨ ozel´ıt´est, √ a m´asodik legyen a b1 = aa1 . a a k´et ´ert´ek k¨ oz¨ ott van. 2 l´ep´es: Legyen a2 = Vil´agos, hogy
√
a1 +b1 2 ,
a
´es b2 =
a2
a a2 .
´es b2
Ut´o´elet.
k¨ oz¨ ott van,
Ezen algoritmust a k´es˝ obbi korok sz´amos tud´ osnak tulajdon´ıtott´ak. Olvashatunk r´ ola u ´gy, mint a I.e. 426-365 k¨ oz¨ ott ´elt tarrentumi Archytas (az utols´ o nagy pitagoreus”), a I.sz. 100 k¨ or¨ ul ´elt alexandriai Heron ” elj´ar´asa, de u ´gy is, mint Newton algoritmusa.
valamint |a1 − b1 | > |a2 − b2 | Az elj´ar´ast a k´ıv´ant pontoss´ag el´er´es´eig kell folytatni, de h´any l´ep´es kell.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
45 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mezopot´ amiai algebra.
Mezopot´ amia
M´eg egy gy¨okvon´asi elj´ar´as.
Legyen a1 = 1; 30, ekkor b1 = 1; 20.
Sz´amos feladatban alkalmazt´ak a p b a2 + b ≈ a + 2a
a2 = 0; 30(1; 30 + 1; 20) = 0; 30 · 2; 50 = 1; 25,
k¨ ozel´ıt´est.
A szerepl˝o ´ert´ek egyszer˝ uen ´es gyorsan megkaphat´ o ezen elj´ar´assal.
2 1;25
46 / 1
A mezopot´ amiai algebra.
Az YBC 7289-es t´abla sz´ama.
b2 =
2015. szeptember 15.-22.
Ez els˝ o l´at´asra (mai szemmel!) a binomi´alis sorral val´ o — k´et tagot figyelembe vev˝ o — k¨ ozel´ıt´es, de ˝ ok ezt nyilv´an nem tudt´ak alkalmazni.
= 1; 24, 42, 21.
Folytatva:
Azonnal ad´ odik azonban az el˝ obbi elj´ar´asb´ ol: legyen a1 = a, ´es az a2 -t kell meghat´arozni mind¨ ossze:
a3 = 0; 30(1; 25 + 1; 24, 42, 21) = 0; 30 · 2; 49, 42, 21 = 1; 24, 51, 10, 30.
a2 + b b =a+ a a a + (a + ba ) b a2 = =a+ 2 2a a1 = a
Ebb˝ol az utols´o jegyet elhagyva, vagy a 21 fel´et egyszer˝ uen 10-nek v´eve, ad´odik a t´abla 1; 24, 51, 10-es ´ert´eke.
b1 =
Ezen egyszer˝ u k¨ ozel´ıt´est m´eg ma is haszn´aljuk. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
47 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
48 / 1
Plimpton 322.
Plimpton 322.
A Plimpton 322. agyagt´abla.
Plimpton 322 Neugebauer ´at´ır´as´aban I [1, 59, 0, ]15 [1, 56, 56, ]58, 14, 50, 6, 15 [1, 55, 7, ]41, 15, 33, 45 [1, ]5[3, 1, ]0, 29, 32, 52, 16 [1, ]48, 54, 1, 40 [1, ]47, 6, 41, 40 [1, ]43, 11, 56, 28, 26, 40 [1, ]41, 33, 59, 3, 45 [1, ]38, 33, 36, 36 1, 35, 10, 2, 28, 27, 24, 26, 40 1, 33, 45 1, 29, 21, 54, 2, 15 [1, ]27, 0, 3, 45 1, 25, 48, 51, 35, 6, 40 [1, ]23, 13, 46, 40
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
49 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Plimpton 322.
II(= b) 1, 59 56, 7 1, 16, 41 3, 31, 49 1, 5 5, 19 38, 11 13, 19 9, 1 1, 22, 41 45 27, 59 7, 12, 1 29, 31 56
III(= d) 2, 49 3, 12, 1 1, 50, 49 5, 9, 1 1, 37 8, 1 59, 1 20, 49 12, 49 2, 16, 1 1, 15 48, 49 4, 49 53, 49 53
Mezopot´ amia
IV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2015. szeptember 15.-22.
50 / 1
Plimpton 322.
A Plimpton 322 agyagt´abla.
A Plimpton 322 agyagt´abla. Az el˝obbi l ´ert´ekek. sor 1 2 3 4 5
Neugebauer elemz´ese 1. A II. ´es a III. oszlopban ´all´o b, d sz´amok u ´n pitagoraszi sz´ amok, ugyanis d 2 = l 2 + b2 , Az l sz´am ugyan nem tal´alhat´ o meg a (jelenlegi) t´abl´azaton, de k¨onnyen kisz´am´ıthat´o b ´es d ismeret´eben. V´elhet˝oen egy id˝ok¨ozben let¨ or¨ ott (´es vissza nem ragasztott) oszlopban szerepeltek.
2015. szeptember 15.-22.
l 6, 0 45, 0 16, 0 10, 0 1, 48, 0
sor 11 12 13 14 15
l 1, 0 40, 0 4, 0 45, 0 1, 30
1
Milyen elv szerint rendezt´ek el a sz´amh´armasokat?
2
Hogyan sz´amolt´ak ki a t´abl´azaton szerepl˝ o sz´amokat? Hogyan hat´aroztak meg olyan n´egyzetsz´amokat, amelyek ¨ osszege n´egyzetsz´am?
3
Milyen szinten”, milyen m´elys´egben” ismert´ek a Pitagorasz-t´etelt? ” ”
s˝ot itt kezd˝ od¨ ott a pitagoraszi-sz´ amh´ armasok vizsg´ alata?
Mezopot´ amia
sor 6 7 8 9 10
H´arom megv´alaszoland´o k´erd´es.
Itt a Pitagorasz-t´ etel?,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
l 2, 0 57, 36 1, 20, 0 3, 45, 0 1, 12
51 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
52 / 1
Plimpton 322.
Plimpton 322.
A v´alaszok.
A v´alaszok.
1. K´erd´es. Az els˝o sorb´ol
b 1, 59 = = 0; 59, 30 ≈ 1 l 2, 0
2. K´erd´es.
azaz a h´aromsz¨og egyenl˝osz´ar´ u, egy n´egyzet fele.
Ennek megv´alaszol´asa messze vezetne, nem r´eszletezz¨ uk.
Egyszer˝ uen kaphat´o, hogy a 15. sornak megfelel˝ o der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨og k´et hegyessz¨oge k¨ ozel´ıt˝ oleg 30◦ ´es 60◦ . d2 A k¨ozb¨ uls˝o ´et´ekek pedig olyanok, hogy az I. oszlopbeli 2 ´ert´ekek l d k¨ozel´ıt˝oleg line´arisan cs¨okkennek, ami m´eg ink´abb teljes¨ ul a l ´ert´ekekre.
Egy m´asik el˝ oad´asban az ´erdekl˝ od˝ ok r´eszletes v´alaszt kaphaznak r´a. Csak annyit, hogy egyenletmegold´asi m´ odszereiket kell alkalmazni.
3. K´erd´es. A v´alasz egyszer˝ u: emp´ırikus eredm´enyk´ent. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
53 / 1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amia
2015. szeptember 15.-22.
54 / 1
