Opgaven hoofdstuk 4 I
Learning the Mechanics
4.1 Geef aan welke van de volgende variabelen continue random variabelen zijn en welke discrete random variabelen zijn: a.
Het aantal kranten dat elke maand door de New York Times wordt verkocht.
b.
De hoeveelheid inkt die wordt gebruikt bij het drukken van een zondagseditie van de New York Times.
c.
Het werkelijk aantal gram wasmiddel in een halve-literfles wasmiddel.
d.
Het aantal defecte onderdelen in een partij moeren en bouten.
e.
Het aantal mensen dat elke maand een werkloosheidsuitkering krijgt.
4.2 Geef een voorbeeld van een continue random variabele die voor een econoom van belang kan zijn. 4.3 Werp drie eerlijke munten en noem x het aantal keren dat ‘kruis’ bovenkomt. a.
Identificeer de uitkomsten die bij dit experiment horen, en ken een waarde van x toe aan elke uitkomst.
b.
Bereken p(x) voor elke waarde van x.
c.
Construeer een kanshistogram voor p(x).
d.
Hoe groot is P(x = 2 of x = 3)?
4.4 Beschouw de kansverdeling voor de random variabele x in de tabel. a.
Bepaal: µ, σ2 en σ.
b.
Maak een grafiek van p(x).
c.
Geef de positie van µ en van het interval µ ± 2 σ op deze grafiek aan. Hoe groot is de kans dat x binnen het interval µ ± 2 σ valt?
4.5 Stel x is een binomiale random variabele; bereken dan p(x) voor elk van de volgende gevallen:
a.
n = 5, x = 1, p = 0,2 b.
n = 4, x = 2, q = 0,4 c.
n = 3, x = 0, p = 0,7
d.
n = 5, x = 3, p = 0,1 e.
n = 4, x = 2, q = 0,6 f.
n = 3, x = 1, p = 0,9
4.6 Stel x is een binomiale random variabele, gebruik dan Tabel II in appendix B om de volgende kansen te berekenen: P(x = 2) voor n = 10, p = 0,4 P(x ≤ 5) voor n = 15, p = 0,6 P(x > 1) voor n = 5, p = 0,1 P(x < 10) voor n = 25, p = 0, 7 P(x ≥ 10) voor n = 15, p = 0,9 P(x = 2) voor n = 20, p = 0,2 4.7 Beschouw de volgende kansverdeling:
a.
Is x een discrete of een continue random variabele? Licht je antwoord toe.
b.
Hoe heet deze kansverdeling?
c.
Maak een grafiek van de kansverdeling.
d.
Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x.
e.
Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van de kansverdeling.
4.8 Stel dat gegeven is dat x een random variabele is waarvoor de Poisson kansverdeling een goede benadering is, gebruik dan Tabel III om het volgende te berekenen: a.
P(x ≤ 2) als λ = 1
b.
P(x ≤ 2) als λ = 2
c.
P(x ≤ 2) als λ = 3
d.
Wat gebeurt er met de kans op de gebeurtenis (x ≤ 2) als λ toeneemt van 1 tot 3? Is dit intuïtief te verklaren?
4.9
Stel dat x een random variabele is waarvoor een Poisson-verdeling met λ = 5 een goede benadering is. a.
Maak een grafiek van p(x) voor x = 0, 1, 2, ..., 15
b.
Bepaal µ en σ voor x en geef de positie van µ en het interval µ ± 2 σ aan op de grafiek.
c.
Hoe groot is de kans dat x binnen het interval µ ± 2 σ valt?
4.10 Bepaal voor elk van de volgende voorbeelden of x een binomiale random variabele is en licht je keuze toe: a.
Een fabrikant van computerchips neemt een aselecte steekproef van 100 chips uit de productie van elk uur, om het aantal defecte chips te schatten. Stel x vertegenwoordigt het aantal defecte chips in de steekproef van 100 chips.
b.
Van de vijf sollicitanten naar een baan zullen er twee worden gekozen. Hoewel de sollicitanten allemaal gelijkelijk gekwalificeerd lijken te zijn, kunnen slechts drie van hen voldoen aan de verwachtingen van het bedrijf. Stel dat de twee keuzes uit de groep van vijf sollicitanten aselect worden gemaakt, en noem x het aantal gekwalificeerde sollicitanten dat is gekozen.
c.
Een softwareontwikkelaar zorgt voor een support hotline voor klanten, die kunnen bellen om vragen te stellen over het gebruik van de software. Noem x het aantal telefoontjes dat de support hotline op een bepaalde werkdag krijgt.
d.
Florida behoort tot een minderheid van staten zonder staatsinkomstenbelasting. Een enquête onder 1000 geregistreerde kiezers wordt uitgevoerd om vast te stellen hoeveel van hen voor een staatsinkomstenbelasting zijn in het licht van de huidige fiscale situatie in de staat. Stel x is het aantal personen in de steekproef dat voor de belasting is.
4.11 Stel x is een binomiale random variabele met n = 20 en p = 0,7. a.
Bepaal P(x = 14)
b.
Bepaal P(x ≤ 12)
c.
Bepaal P(x > 12)
d.
Bepaal P(9 ≤ x ≤ 18)
e.
Bepaal P(8 < x < 18)
f.
Bepaal µ, σ2 en σ.
g.
Hoe groot is de kans dat x in het interval µ ± 2 σ valt?
II
Applying the Concepts
4.12 Hieronder wordt de leeftijdsverdeling per 1 juli 1999 gegeven van de 55 medewerkers van een zeer succesvolle twee jaar oude ‘dot-com’-onderneming in Atlanta. Het is de bedoeling dat er willekeurig een medewerker uit deze populatie wordt gekozen. a.
Kan de relatieve-frequentieverdeling in de tabel geïnterpreteerd worden als een kansverdeling? Licht je antwoord toe.
b.
Maak een grafiek van de kansverdeling.
c.
Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen medewerker ouder is dan 30 jaar? Ouder is dan 40 jaar? Jonger is dan 30 jaar?
d.
Hoe groot is de kans dat de willekeurig gekozen medewerker 25 of 26 jaar oud is?
Bron: Persoonlijke mededeling van P. George Benson. 4.13 Een team van consultants heeft een studie gemaakt van de service in Wendy’s Restaurant in de Woodbridge Mall in Woodbridge. Ze maten de tijdsduur tussen de aankomsten van opeenvolgende klanten in het restaurant in de loop van de dag, en gebruikten deze gegevens om een kansverdeling op te stellen voor x, het aantal klanten dat binnen een periode van 15 minuten arriveert. Deze verdeling wordt in de tabel gegeven. a.
Voldoet de tabel aan de twee vereisten voor een kansverdeling van een discrete random variabele? Licht je antwoord toe.
b.
Hoe groot is de kans dat precies 16 klanten de komende 15 minuten in het restaurant zullen arriveren?
c.
Bepaal p(x ≤ 10).
d.
Bepaal p(5 ≤x ≤ 15).
Bron: Ford, R., Roberts, D. en Saxton, P. Queuing Models. Graduate School of Management, Rutgers University, 1992. 4.14 Het aantal cursuseenheden dat moet worden doorlopen voordat men een complex computerprogramma beheerst, varieert van één tot vijf, afhankelijk van de student. Na veel ervaring heeft de softwarefabrikant de kansverdeling vastgesteld die het percentage gebruikers beschrijft dat na elk aantal cursuseenheden de software beheerst: Aantal eenheden Kans op beheersen
1 0,1
2 0,25
3 0,4
4 0,15
5 0,1
a.
Bereken het gemiddeld aantal cursuseenheden dat nodig is om het programma te leren beheersen. Bereken de mediaan. Interpreteer beide grootheden.
b.
Als het bedrijf er zeker van wil zijn dat ten minste 75% van de studenten het programma leert beheersen, wat is dan het minimum aantal cursuseenheden dat moet worden doorlopen? En voor ten minste 90%?
c.
Stel dat het bedrijf een nieuw cursusprogramma ontwikkelt dat de kans dat slechts één cursuseenheid nodig is, vergroot van 0,1 naar 0,25, de kans dat slechts twee eenheden nodig zijn vergroot naar 0,35, de kans dat drie eenheden nodig zijn gelijk laat aan 0,4, en de noodzaak voor vier of vijf eenheden geheel elimineert. Hoe zullen je antwoorden in a en b veranderen voor dit nieuwe programma?
4.15 Een team van consultants dat voor een grote nationale supermarktketen in New York werkt, heeft een statistisch model ontwikkeld om de jaarlijkse omzet van potentiële nieuwe winkels te kunnen voorspellen. Een onderdeel van hun analyse bestond uit het identificeren van de variabelen die de omzet van de winkel beïnvloeden, zoals de afmeting van de winkel (in square feet), de grootte van de bevolking in de omgeving en het aantal kassa’s. Ze onderzochten 52 supermarkten in een bepaald deel van het land en construeerden de relatieve-frequentieverdeling, die hieronder wordt weergegeven, om het aantal kassa’s per winkel (x) weer te geven. a.
Waarom vertegenwoordigen de relatieve frequenties bij benadering de kansen dat een willekeurig gekozen supermarkt een x aantal kassa’s heeft?
b.
Bepaal E(x) en interpreteer de waarde daarvan in de context van de vraagstelling.
c.
Bereken de standaarddeviatie van x.
d.
Welk percentage supermarkten zal naar verwachting vallen binnen µ ± σ, als je de regel van Tsjebysjev toepast? Binnen µ ± 2 σ ?
e.
Wat is het werkelijk aantal supermarkten dat binnen µ ± σ valt? En binnen µ ± 2 σ? Vergelijk je antwoorden met die van d. Zijn de antwoorden consistent?
Bron: Overgenomen uit Chow, W. et al. “A model for predicting a supermarket’s annual sales per square foot.” Graduate School of Management, Rutgers University, 1994. 4.16 Naarmate de babyboomgeneratie ouder wordt, zal het aantal werknemers dat op het werk letsel oploopt toenemen. Uit een recente enquête van de Gallup Organization die gesponsord werd door CIGNA Integrated Care uit Philadelphia is gebleken dat ongeveer 40% van de werknemers werk heeft moeten verzuimen vanwege een of andere aandoening van het bewegingsapparaat (rugletsel) (National Underwriter, 5 april 1999). Noem x het aantal medewerkers uit een steekproef dat werk heeft moeten verzuimen vanwege rugletsel. a.
Verklaar waarom x bij benadering een binomiale random variabele is.
b.
Gebruik de gegevens uit de Gallup enquête om p te schatten voor de binomiale random variabele in a.
c.
Er wordt een aselecte steekproef genomen van 10 werknemers van een bepaalde fabriek. Gebruik de p uit b om het gemiddelde en de standaarddeviatie te bepalen van x, het aantal werknemers dat werk heeft verzuimd vanwege een rugletsel.
d.
Bereken de kans voor de steekproef in c dat precies één werknemer het werk heeft verzuimd vanwege een rugletsel. Dat meer dan één werknemer het werk heeft verzuimd vanwege rugletsel.
4.17 Een probleem dat een toenemende invloed op de Amerikaanse economie heeft, zijn de groeiende kosten van Medicare (een Amerikaanse ziektekostenverzekering voor bejaarden en gehandicapten) en andere medische diensten die door de overheid worden gefinancierd. Een van de aspecten van dit probleem is het hoge percentage personen dat om medische behandeling vraagt zonder dat er een fysieke basis voor hun aandoeningen is. Een voorzichtige schatting is dat het percentage personen dat om medische hulp vraagt terwijl ze geen echte fysieke aandoeningen hebben 10% bedraagt, en sommige artsen denken dat het wel 40% bedraagt. Stel dat we een aselecte steekproef nemen uit de patiëntengegevens van een arts en daarbij vinden dat vijf van de 15 patiënten die medische hulp hebben gezocht fysiek gezond waren. a.
Wat is de kans dat je vijf of meer gezonde patiënten in een steekproef van 15 waarneemt als het percentage dat de arts gewoonlijk ziet 10% bedraagt?
b.
Wat is de kans dat je vijf of meer gezonde patiënten in een steekproef van 15 waarneemt als het percentage dat de arts gewoonlijk ziet 40% bedraagt?
c.
Waarom zou je antwoord in a je ertoe kunnen leiden te denken dat p groter is dan 0,10?
4.18 De Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) verzekert deposito’s tot $100 000 in banken die lid zijn van het Federal Reserve System tegen verliezen tengevolge van faillissementen van banken of diefstal. De afgelopen vijf jaar was het gemiddelde aantal bankfaillissementen onder de verzekerde banken gelijk aan 4,4 per jaar (FDIC, nov. 1999). Veronderstel dat x, het aantal bankfaillissementen per jaar onder de verzekerde banken beschreven kan worden door een Poisson kansverdeling met gemiddelde gelijk aan 4. a.
Bepaal de verwachte waarde en de standaarddeviatie van x.
b.
In 1997 ging slechts één bank van de verzekerde banken failliet. Hoe ver (in standaarddeviaties) ligt x = 1 onder het gemiddelde van de Poisson-verdeling? Dat wil zeggen: bepaal de z-score voor x.
c.
In 1999 gingen zes van de verzekerde banken failliet. Bepaal P(x ≤6).
d.
Bespreek de voorwaarden waaronder de aanname van een Poisson-verdeling plausibel zou zijn.
4.19 In een grote fabriek wordt de werkvloer verlicht door 3200 gloeilampen. Als het tempo waarin de lampen kapot gaan gekenmerkt wordt door een Poisson-verdeling met een gemiddelde van drie gloeilampen per uur, hoe groot is dan de kans dat precies drie gloeilampen het binnen een uur begeven? Hoe groot is de kans dat geen enkele gloeilamp het begeeft binnen een uur? Dat geen gloeilampen het begeven in een shift van acht uur? Welke aanname is nodig om deze laatste kans te berekenen? 4.20 Een drukkerij die een aanzienlijke groei in de omzet voorziet voor de komende vijf jaar, maakt op dit moment een planning voor de magazijnruimte die het bedrijf over vijf jaar nodig heeft.Uiteraard kan het bedrijf niet weten hoeveel vierkante voet opslagruimte, x, het over vijf jaar nodig heeft, maar het bedrijf kan een projectie maken van wat het nodig heeft door een kansverdeling te gebruiken zoals hieronder:
Wat is het verwachte aantal vierkante voet opslagruimte dat de drukkerij over vijf jaar nodig heeft? 4.21
In het Journal of Applied Psychology (Vol. 71, 1986) staat een verslag van een uitgebreid onderzoek naar het voorkomen van ‘klokkenluiders’ onder werknemers van de federale overheid. Een klokkenluider is een werknemer die wangedrag van medewerkers rapporteert. Uit de enquête is gebleken dat gedurende de afgelopen 12 maanden ongeveer 5% van de werknemers wangedrag heeft gerapporteerd. Veronderstel dat contact wordt opgenomen met een steekproef van 25 werknemers binnen één bureau, en noem x het aantal van hen dat gedurende de afgelopen 12 maanden wangedrag heeft waargenomen en gerapporteerd. Veronderstel dat de kans dat een medewerker van de federale overheid in de afgelopen 12 maanden klokkenluider is geweest, gelijk is aan 0,05. a.
Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x. Kan x gelijk zijn aan de verwachte waarde? Licht je antwoord toe.
b.
Schrijf de gebeurtenis dat ten minste vijf van de medewerkers klokkenluiders zijn in termen van x. Bepaal de kans op deze gebeurtenis.
c.
Als vijf van de 25 medewerkers waarmee contact is opgenomen gedurende de laatste 12 maanden klokkenluiders zijn geweest, wat is dan je conclusie over de toepasbaarheid van de 5% aanname voor dit bureau? Gebruik het antwoord in b om je conclusie te rechtvaardigen.
4.22 Veel ondernemingen maken gebruik van steekproefschema’s om de kwaliteit te controleren van gefabriceerde artikelen die klaar zijn om verzonden te worden, of van binnenkomende artikelen (onderdelen, ruwe grondstoffen etc.) die zijn aangekocht. Veronderstel nu eens ter illustratie van het gebruiken van zo’n steekproefschema dat je partijen elektrische zekeringen verstuurt, waarbij elke partij 5000 zekeringen bevat. Het schema specificeert dat je een aselecte steekproef van 25 zekeringen uit elke partij neemt en deze partij goedkeurt (en verstuurt) als het aantal defecte zekeringen x in de steekproef minder is dan 3. Als x ≥ 3 keur je de partij af. Bepaal de kans dat je een partij goedkeurt (x = 0, 1 of 2) als de werkelijke fractie defecte zekeringen in de partij gelijk is aan: a. 0 g. 0,95
b. 0,01
c. 0,10
d. 0,30
e. 0,50
f. 0,80
h. 1
i.
Teken een grafiek van P(A), de kans op het goedkeuren van een partij, als functie van de fractie defecte zekeringen in die partij, p. Zo’n grafiek wordt een karakteristieke krommevoor het steekproefschema genoemd.
j.
Stel nu dat volgens het steekproefschema een steekproef van 25 zekeringen wordt genomen waarbij de partij wordt goedgekeurd als x ≤ 3. Herhaal nu voor dit schema de berekeningen als in a - h en teken een karakteristieke kromme voor dit steekproefschema. Vergelijk deze kromme met die van i. (Merk op hoe de kromme aangeeft hoe goed het schema slechte partijen uit de zending weet op te sporen.)
4.23
Als de graanprijs laag is, doen veel boeren in de VS mee met een door de overheid gefinancierd programma voor opslag op de boerderij in plaats van dat ze hun graan verkopen. Maar opslag kan insectenplagen uitlokken, en graanpakhuizen geven boetes aan boeren die hun door insecten aangetast graan leveren. Het U.S. Grain Marketing Research Laboratory schat dat 80% van de opslagruimten voor maïs in het land door insecten is aangetast. Stel dat 20 opslagruimten voor maïs aselect worden geselecteerd en onderzocht op aantasting door insecten. a.
Hoe groot is de kans (ongeveer) dat minder dan de helft van de opslagruimten is aangetast?
b.
Welke aanname heb je gemaakt bij het beantwoorden van a?
c.
Waarom is je antwoord in a een benadering?
d.
Zou je verrast zijn als zou blijken dat alle 20 voorraadruimtes aangetast waren? Licht je antwoord toe.
