1
A gúla ~ projekthez – 1. rész Megint találtunk az interneten valami érdekeset: az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] anyagokat. Úgy véljük, hogy az alábbi téma / témakör kiválóan alkalmas lehet projekt - módszerrel történő feldolgozásra. A felsorolt források – bár német nyelvűek – meglehetősen alaposan elő - és felkészítik a témát behatóbban tanulmányozni kívánó olvasót az önálló munkára. A feladat: egy négyzet alapú egyenes gúla – piramis – készítése faforgácslapból. Mindjárt látjuk, hogy a feladat nem igazán triviális: komolyabb rákészülést igényel. Először gondoljuk meg, hogyan készült az iskolai átlátszó műanyag gúla, mint szemléltető eszköz! Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Ezen megfigyelhető, hogy az alaplap és az oldallapok lemezeinek egyes élei látszanak. Utóbbi komoly esztétikai gondot jelenthet, forgácslap alkalmazása esetén. Most gondoljuk meg: bár szemléltető eszközként ez a szerkezeti kialakítás – ragasztott kötésekkel – megfelelő lehet, azonban teherviselő szerkezetként már kevésbé; talán sze rencsésebb lenne, ha az érintkező lemezek komolyabb terheket is képesek lennének egy másnak átadni, biztonságosabban támaszkodva egymáson. Ezek oda vezethetnek, hogy érdemes lehet más szerkezeti kialakítás után nézni. Egy ilyen megoldás lehet a gérvágásos kötéskialakítás – 2. ábra.
2
2. ábra – forrása: [ 1 ] Itt azt látjuk, hogy a forgácslap élek takartak, összeépítés után egymáson biztosan támaszkodhatnak. Hogy ez pontosan így legyen, ehhez geometriai előkészületekre van szükség. A 2. ábrán láthatjuk azt az alaplemezt, melyre rátéve a négy oldallemezt, kialakul a pontos gúla - test. Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra – forrása: [ 2 ]
3
Itt az egyenes gúlát láthatjuk, melyre adott: ~ a négyzet alap élhossza: a ; ~ a gúla magassága: h. Majd tekintsük a 4. ábrát!
4. ábra – forrása: [ 2 ] Itt az egyik készre kialakított oldallemez - darab képét látjuk, a gúla belseje felől nézve. Az oldallemez kialakításához az előző adatokon kívül szükségesek még: ~ hS: az oldallemez magassága; ~ α: az oldallap hajlása / vízszintes síkkal bezárt szöge; ~ β: az oldalháromszög a - n nyugvó szöge, ami egyben a gérvágás szöge is; ~ γ: az oldalháromszög a feletti szöge; ~ δ: a fűrészlap beállítási szöge, ami egyben az a szög, melyet az oldallemez külső síkja és élsíkja zár be; ~ α’, β’, δ’: 90° - ra kiegészítő szögek. A felsorolt keresett ( nem adott ) mennyiségeket számítással határozzuk meg. hS meghatározása A 3. ábra α - t tartalmazó derékszögű háromszögéből Pitagorász tételével: (1)
4
α meghatározása Ugyanebből a derékszögű háromszögből: (2)
β meghatározása A 3. ábra két derékszögű háromszögéből: (3) innen: (4) γ meghatározása A 3. ábra zöld háromszögéből: (5) Az 5. ábra az elkészült termék csúcsán átmenő, az alapélre merőleges függőleges síkmet szetét mutatja. Itt v: a lemezanyag vastagsága.
5. ábra δ meghatározása Ehhez tekintsük a 6. ábrát is!
5
6. ábra A δ szöget az ODT függőleges és a QDT α hajlású síkok zárják be. Két sík szögét megállapíthatjuk úgy is, hogy meghatározzuk a normálisaik által bezárt szöget, ahogyan azt a jobb oldali mellékábra is szemlélteti. A vektoralgebra nyelvén: (6) ahol a jobb oldali vektorok a mondott síkok normális egységvektorai. Részletezés: (7) Majd: (7/1) (8) Részletezve:
6
(9) most ( 8 / 1 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Ezután: ( 11 ) ( 12 ) majd ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) E normálvektor abszolút értéke / hossza: ( 14 ) Most ( 7 / 1 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) Hasonlóan eljárva: (7/2) (8/2) ( 16 ) ( 17 ) most ( 8 / 2 ), ( 16 ) és ( 17 ) szerint: ( 18 ) E normálvektor abszolút értéke / hossza: ( 19 ) Majd ( 7 / 2 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
7
( 20 )
Ezután ( 6 ), ( 15 ) és ( 20 ) szerint: ( 21 )
ámde a 3. ábra szerint: ( 22 ) így ( 21 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Az inverz függvénnyel: ( 24 ) Más alakhoz jutunk, ha δ kiegészítő szögével dolgozunk: ( 25 ) most ( 23 ) és ( 25 ) - tel: tehát: ( 26 ) innen pedig: ( 27 ) Látjuk, hogy a ( 24 ), ( 25 ), ( 27 ) képletekkel könnyen és gyorsan intézhetjük el δ és δ’ meghatározását. Most alkalmazzuk a kapott képleteket egy számpéldában!
8
SZÁMPÉLDA – [ 1 ] , [ 2 ], [ 3 ] adataival és eredményeivel Adott: a = 20 cm ; h = 20 cm. Keresett: hS ; α , α’ , β , β’ , γ , δ , δ’ .
(A)
Megoldás: ( 1 ) és ( A ) - val: tehát: ( E1 ) ( 2 ) és ( A ) - val: tehát: ( E2 ) tehát: ( E3 ) ( 4 ) és ( E2 ) - vel: tehát: ( E4 ) tehát: ( E5 ) ( 5 ) és ( E4 ) - gyel: tehát:
9
( E6 ) ( 24 ) és ( E2 ) - vel: tehát: ( E7 ) tehát: ( E8 ) Látjuk, hogy bár némely esetben más úton jártunk, eredményeink mégis megegyeznek a forrásokban megtalálhatókkal.
☺
A 7. ábrán az elméleti eredmények gyakorlati alkalmazását foglalták össze, még egyszer. Minthogy faanyag - megmunkálási feladatról van szó, nem lehet megkerülni az alkalma zandó gépek, szerszámok, stb. kérdéseit sem. A projekt ezen részéért a faipari technoló giát tanító / oktató személy a felelős. Valójában azért készítettük el ezt az összeállítást, hogy magyar és matek nyelven is könnyebben emészthetővé, így a gyakorlat számára is elérhetővé tegyük ezt a nem is annyira ritka típusfeladatot. Úgy tudjuk, hogy az asztalos szakképzés során az ilyen típusú feladatokat leginkább szerkesztéssel szokás megoldani. Ebben a tekintetben nagyon hasonló a helyzet az ács szakképzéshez, ahol szintén vagy fél évszázados késéssel kezdenek nálunk is beindulni a számításos feladatmegoldásra felké szítő szakmai / szakképzési folyamatok – a fejlettebb nyugathoz képest. Ezen folyamatok egyike lehet jelen tevékenységünk is. Ami hamarosan folytatódik. Ugyanis a forrásokban levezetés nélkül közölt képletek úgy álltak elő, hogy a szerző elvégezte a szabályos n szög alapú egyenes gúla megfelelő adataira vonatkozó számításokat, majd az így kapott képleteket alkalmazta az n = 4 fenti esetre. Természetes, hogy kíváncsiak vagyunk, hogy hogyan állnak elő a forrásokban megadott, az itteniektől eltérő alakú képletek. Ezzel fog lalkozunk majd dolgozatunk 2. részében. Megemlítjük, hogy az itteni feladatban előforduló levezetések, számítások nem csak az asztalosok és az ácsok, hanem más szakmák dolgozói számára is érdekesek lehetnek. Gondolunk például az üvegpiramisokat építő építőipari technikusokra, akiknek munkájuk során megeshet, hogy az itteniekhez nagyon hasonló problémákat kell megoldani.
10
7. ábra – forrása: [ 3 ] Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk. Köszönjük Leopoldinak ezt a szép famegmunkálási projekt - feladatot!
11
Források: [ 1 ] – http://www.max-mg.de/Pyramidenschnitt.pdf [ 2 ] – http://www.max-mg.de/Pyramidenschnitt_math.pdf [ 3 ] – http://www.max-mg.de/Pyramidenschnitt_Beispiel.pdf
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2017. március 23.
