1) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b)
1
a) formulujte Leibnitzovo kritérium včetně absolutní konvergence b) aplikujte toto kritérium na řadu a) formulujte podílové kritérium b) posuďte konvergenci řady c) kolik členů této řady stačí sečíst, aby chyba nepřesáhla 10-4
k
k 1
2 k 0
1 k 3
1 k!
k
sin kx k2 k 1
a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R
1
a) formulujte integrální kritérium b) pomocí něj rozhodněte o konvergenci či divergenci řady
2k 1
a) definujte absolutní konvergencí b) pomocí integrálního kritéria rozhodněte, zda konverguje řada
1
k 1
Rozhodněte o konvergenci a v případě konvergence určete součet
k
k 1
2k k 1 2
k
1 2 3 k 1 2
k
2) FOURIEROVY ŘADY (6b) 0 f ( x) 1 0
x 0;1) x (1;2 sinová na <0;3> x (2;3
x 1 0 x 1 kosinová na (0;2) f ( x) 4 x 1 x 2
a) napište vzorec pro ak / bk (integrály nepočítejte) b) napište příslušnou řadu c) nakreslete součet řady na (-6;6) d) rozhodněte o typu konvergence
f ( x) arctgx Fourierova na (-1;1)
;
f ( x) e x
f ( x) sin x kosinová na (0;)
;
f ( x) x 2 kosinová na (0;2)
Fourierova na (-;)
3) POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PROBLÉMY ODR (3b) Napsat počáteční a okrajový problém pro nehomogenní lineární ODR2 s nekonstantními koeficienty Určete a tak, aby okrajový problém měl a) právě jedno, b) žádné, c) nekonečně mnoho řešení y(0) = , y()= y y 0 Napsat počáteční problém pro soustavu dvou nelineárních ODR1 + napsat příklad lineární ODR2 s poč. podmínkami a nelineární ODR2 s okrajovými podmínkami Napsat počáteční problém pro soustavu dvou nehomogenních lineárních ODR1 s nekonstant. koef.
4) VLASTNOST ODR A JEJICH ŘEŠENÍ (5b) Ověřte lineární nezávislost fundamentálních vektorů a jejich platnost pro systém rovnic
y1 y 2 y 2 y 3
1 sin x cos x u 0 v cos x w sin x sin x cos x 0
y3 y 2
Převeďte rovnici y xy y na soustavu ODR1 a doplňte podmínky tak, aby byl definován poč. problém. Počáteční problém převeďte na problém pro soustavu čtyř ODR1
y f ( x, y, z, y , z ) z g ( x, y, z, y , z )
y (0)
z (0)
y (0) z (0)
Systém funkcí {cos2x,x2} doplňte tak, aby tvořil fundamentální systém řešení homogenní lineární ODR s konstantními koeficienty. Jakého nejmenšího řádu tato rovnice může být? Systém funkcí {x.ex,sinx} doplňte tak, aby tvořil fundamentální systém řešení homogenní lineární ODR s konstantními koeficienty. Jakého nejmenšího řádu tato rovnice může být? Určete homogenní LODR2 s konst. koef., jejíž fundamentální systém řešení tvoří funkce e-2x a x.e-2x Pomocí Wronskiánu ověřte, zda funkce y1=ex, y2=2x-ex, y3=x tvoří fundamentální systém řešení rovnice y y 0 . V kladném případě napište obecné řešení, v opačném systém opravte a napište obecné řešení.
5) NUMERICKÁ ŘEŠENÍ ODR
(5b)
Popište exp/imp Eulerovu metodu. Co lze říci o řádu přesnosti a stabilitě metody? Je dána n-kroková formule. Určete n, rozhodněte, zda je metoda exp. nebo imp. a na základě těchto vlastností uveďte některé její výhody/nevýhody
Yi 1 Y1
h 9 f ( xi 1 , Yi 1 ) 19 f ( xi , Yi ) 5 f ( xi 1 , Yi 1 ) f ( xi 2 , Yi 2 ) 24
Naznačte diskretizaci úlohy diferenční metodou s krokem h=0,6
y 2(sin x) y (1 x 2 ) y cos x ,
y(0) 2 ,
Naznačte diskretizaci úlohy diferenční metodou s krokem h=0,2 y xy y x , y(0) 1 , y(1) 0
y(3) 1
6) ŘEŠENÍ ODR ROZVOJEM DO MOCNINNÉ ŘADY (5b) Pomocí rozvoje do mocninné řady určete přibližné řešení počátečního problému ve tvaru Taylorova polynomu 4tého stupně y y 1 , y(0) y (0) 1 Pomocí rozvoje do mocninné řady určete přibližné řešení počátečního problému ve tvaru Taylorova polynomu 6tého stupně y xy 0 , y(0) 0 , y (0) 1 Pomocí rozvoje do mocninné řady určete řešení počátečního problému y y 0 , y(0) 1 , y (0) 0 Pomocí rozvoje do mocninné řady určete řešení počátečního problému y y 0 , y(0) 0 , y (0) 1
Ověřte, že mocninná řada
x
k
je řešením počáteční úlohy
(1 x) y y 0 ,
y(0) 1
k 0
Ověřte, že mocninná řada
1 k 0
k
x 2k je řešením počáteční úlohy k!
y 2 xy 0 , y(0) 1
7) SLOVNÍ ÚLOHA NA ODR (5b) Harmonický oscilátor s rovnicí y 4 y 0 , y(0)=1, y‘(0)=0. Určete polohu a rychlost oscilátoru v čase /4 Intenzita proudu v RL obvodu s konstantním napětím u je řešením poč. problému
L ln 2 R Pohyb hmotného bodu je popsán rovnicí v mg kv , v(0) 0 .
Li Ri u , i(0) 0 . Určete intenzitu v čase t
Jakou dráhu urazí hmotný bod za dobu t*=(ln2)/k Ochlazování tělesa o počáteční teplotě 120°C je popsáno rovnicí T 20 T [°C.min-1] Určete teplotu tělesa T v čase ln10 minut Kulička padá z výšky h0 = 20m s nulovou počáteční rychlostí.
2h g . Určete výšku kuličky v čase t = 1s Její pohyb je popsán rovnicí h Pohyb kuličky zavěšené na matematickém kyvadle je po provedení linearizace popsán rovnicí 4 0 . Určete výchylku v čase /4 je-li počáteční výchylka rovna /8 a poč. rychlost nulová. Hmotný bod se pohybuje podle rovnice y s nulovou počáteční polohou i rychlostí. Určete tak, aby urazil za 10s vzdálenost 50 m.
8) POČÁTEČNÍ OKRAJOVÝ PROBLÉM PDR (6b)
u 2u a2 2 t t
u ( x,0) g ( x)
0xl
u (0, t ) h1 ( x)
0tT
a) jaký fyzikální děj rovnice popisuje, co znamenají jednotlivé podmínky b) naznačit numerické řešení této rovnice
u (l , t ) h2 (t ) u x,0 0 t
Napište počáteční-okrajový problém pro úlohu kmitání struny a proveďte jeho fyzikální interpretaci (rovnice i podmínek) Napište počáteční-okrajový problém pro vedení tepla v tyči a proveďte fyzikální interpretaci. Napište obecný tvar lineární PDR2 v rovině (tj. pro funkci dvou proměnných) Uveďte, jaké tři typy rovnic rozlišujeme (klasifikaci rovnic) a příklady (základní typy těchto rovnic) – kanonické tvary Napište rovnici vedení tepla v tenké tyči konečné délky a doplňte ji homogenními Dirichletovými okrajovými podmínkami a vhodnou počáteční podmínkou. Napište v jakém tvaru bychom hledali řešení, kdybychom chtěli tuto úlohu řešit Fourierovou metodou.
9) NEKONEČNÉ ŘADY (15b)
f ( x)
1 cos x , x
a) určete rozvoj do mocninné řady (obecný předpis a prvních n členů) b) určete poloměr/obor konvergence b) pomocí rozvoje vypočtěte limitu (resp. ln3) d) pomocí rozvoje vypočtěte integrál Návod: chyba částečného součtu Pn < 1,04.|Pn+1| 0, 2
lim x0 f ( x) ,
f ( x)dx s chybou 10 0
t
1 x f ( x) ln ln(1 x) ln(1 x), 1 x f ( x) f ( x)
-2
ln 3 ,
f ( x)dx 0
1 1 2x sinh 2 x e e 2 x , lim x0 f ( x) , x 2x
1 1 (cosh 2 x 1) 2 e 2 x e 2 x 2 , 2 4x 8x
0, 2
f ( x)dx s chybou 10 0
0,5
lim x0 f ( x) ,
2
f ( x)
1 x arctg , x 4 1 ln(1 2 x) x
0
f ( x)dx s chybou 10
lim x0 f ( x) ,
0
0,5
lim x0 f ( x) ,
f ( x)dx s chybou 10 0
f ( x)
f ( x)dx s chybou 10
0 ,1
1 sin x 1 cos(2 x) , f ( x) 2x 2 x f ( x)
-4
1 ex
-3
-4
-3
10) ODR1 (15b) a) určete, ve kterých bodech není zaručena existence a jednoznačnost řešení b) najděte obecné řešení (v explicitním tvaru) c) určete řešení procházející bodem * ; ] a určete na kterém intervalu je toto řešení definováno d) určete přibližné řešení y( ) počáteční úlohy z c) pomocí imp/exp Eulerovy metody a výsledek porovnejte s přesným řešením
y 2 xy 2 2 x , x 3 y 2x 2 y 4 ,
y(0) 0
y 1 y , xy y 2 y , x y y , y x y 3( y 1) 2 / 3
y(0) 0 ,
y(0.2), h=0.1
y(1) 0,5 ,
y(1.2), h=0.1
y(1) 2 ,
y(1.2), h=0.1
y(1) 2
y(1.1), h=0.1
2
y(2) 15 / 4 , y(2,2), h=0,2
(1 x ) y 2 xy (1 x ) , 2
y(0,1), h=0,1
2 2
y(2) 1 , y(-1.3), h=0.2
11) LODRn (15b) - určit obecné/partikulární řešení y 4 y 4 y e 2 x cos 2 x 2 y y 2 y 4e 2 x 20 sin x 6
y 2 y 17 y 16 xe x 8 cos 4 x sin 4 x y y 2 y x 3 e 2 x sin x y y 2 y xe x sin x 1 y 4 y cos 2 x x 2 , y(0) 0 , y (0) 1 y y cos x y(0) 0 , y (0) 1 , w ≥ 0 je reálný parametr (Návod: rozlište případy =0, =1,ostatní )
12) SLODR1 (15b) y1 y1 y 2 e 2 x y 2 2 y1 3 y 2 6
y1 (0) 0
y1 2 y1 y 2 9 x y 2 y1 4 y 2 6
y1 (0) 2
y 2 (0) 0
y 2 (0) 1
y1 2 y1 3 y 2 1 y 2 3 y1 2 y 2 1
y1 (0) 1
y1 y1 y 2 y 3 y 2 y3 y 3 y1 y 2
y1 (0) 2
y 2 (0) 1
y 2 (0) 1 y 3 (0) 0
