1
Limita funkce
1.1
Z´ akladn´ı pojmy
Aˇz dosud jsme se zab´ yvali vˇetˇsinou re´aln´ ymi posloupnostmi, tedy zobrazen´ımi s definiˇcn´ım oborem N. Nyn´ı obr´at´ıme svou pozornost na ˇsirˇs´ı tˇr´ıdu zobrazen´ı. Definice 1.1. Zobrazen´ı f , jehoˇz definiˇcn´ı obor Df i obor hodnot Hf je podmnoˇzinou mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel, se naz´ yv´a re´ aln´ a funkcere´ aln´ e promˇ e. enn´ 2 Grafem f se rozum´ı mnoˇzina x, f (x) | x ∈ Df ⊂ R . U ”hezk´ ych” funkc´ı bude moˇzno graf namalovat. Zdaleka ne vˇsechny funkce maj´ı tuto vlastnost. Definujeme dvˇe takov´e funkce: Dirichletova funkce: f (x) = Riemannova funkce: f (x) =
1 q
, 0,
1, 0,
kdyˇz x ∈ Q kdyˇz x ∈ R − Q.
kdyˇz x = pq , kde p ∈ Z, q ∈ N, a nsd(p, q) = 1 kdyˇz x ∈ R − Q.
Zato posledn´ı funkce, kterou ted’ zavedeme, zvan´a signum (z latinsk´eho ”znamen´ı”), m´a velice jednoduch´ y tvar a naˇcrtnout jej´ı graf je snadn´e. Definujeme
sgn(x) =
1, 0, −1 ,
kdyˇz x > 0 kdyˇz x = 0 kdyˇz x < 0 .
Zavedeme nˇekolik uˇziteˇcn´ ych pojm˚ u: ˇ Definice 1.2. Necht’ f je re´aln´a funkce re´aln´e promˇenn´e. Rekneme, ˇze • funkce f je omezen´ a, resp. shora omezen´ a, resp. zdola omezen´ a, kdyˇz obor hodnot Hf je mnoˇzina omezen´a, resp. shora omezen´a, resp. zdola omezen´a, • funkce f je rostouc´ı, kdyˇz (∀x1 , x2 ∈ Df ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )), • funkce f je ostˇ re rostouc´ı, kdyˇz (∀x1 , x2 ∈ Df ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )) , • funkce f je klesaj´ıc´ı, kdyˇz (∀x1 , x2 ∈ Df ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )) , • funkce f je ostˇ re klesaj´ıc´ı, kdyˇz (∀x1 , x2 ∈ Df ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )) , 1
• funkce f je monotonn´ı, kdyˇz je rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, • funkce f je ryze monotonn´ı, kdyˇz je ostˇre rostouc´ı nebo ostˇre klesaj´ıc´ı. Pozn´ amky. 1) Omezenost funkce lze symbolicky zapsat takto: Podobnˇe lze zapsat omezenost shora, resp. zdola.
(∃K ∈ R)(∀x ∈ Df )(|f (x)| ≤ K).
2) Kdyˇz je funkce f ryze monotonn´ı, pak je f prost´a. Proto existuje inverzn´ı funkce f −1 , pˇriˇcemˇz se zachov´av´a typ monotonie, tj. f je ostˇre rostouc´ı ⇒ f −1 je ostˇre rostouc´ı, f je ostˇre klesaj´ıc´ı ⇒ f −1 je ostˇre klesaj´ıc´ı. 3) Prost´a funkce nemus´ı b´ yt ryze monotonn´ı. Pˇr´ıkladem prost´e funkce, kter´a nen´ı ani klesaj´ıc´ı ani rostouc´ı, je x 7→ f (x) = x1 s definiˇcn´ım oborem R − {0}. Definice 1.3. Necht’ f je re´aln´a funkce re´aln´e promˇenn´e, jejiˇz definiˇcn´ı obor Df vyhovuje ˇ podm´ınce (∀x ∈ Df )(−x ∈ Df ). Rekneme, ˇze • funkce f je sud´ a, kdyˇz (∀x ∈ Df )(f (x) = f (−x)); • funkce f je lich´ a, kdyˇz (∀x ∈ Df )(−f (x) = f (−x)). Definice 1.4. Necht’ f je re´aln´a funkce re´aln´e promˇenn´e, pro niˇz existuje kladn´e l ∈ R takov´e, ˇze 1) (∀x ∈ Df )(x + l, x − l ∈ Df ); 2) (∀x ∈ Df )(f (x + l) = f (x)). Funkci f ˇr´ık´ame periodick´ a a ˇc´ıslu l perioda funkce f . Pˇ r´ıklad 1.5. Aplikujme zaveden´e pojmy na v´ yˇse zm´ınˇen´e funkce. 1) Funkce signum je lich´a, nen´ı periodick´a. 2) Konstantn´ı funkce je vˇzdy sud´a. Konstantn´ı funkce je lich´a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze f (x) je identicky rovno 0. Konstantn´ı funkce je periodick´a, jej´ı periodou je libovoln´e kladn´e re´aln´e l, nejmenˇs´ı perioda neexistuje. 3) Dirichletova funkce je sud´a, nav´ıc je periodick´a s periodou libovoln´e racion´aln´ı kladn´e l. Ani zde neexistuje nejmenˇs´ı perioda. 4) Riemannova funkce je sud´a a periodick´a s periodou libovoln´e pˇrirozen´e l, nejmenˇs´ı periodou je tedy ˇc´ıslo 1.
1.2
Definice limity funkce
Neˇz pˇristoup´ıme k definici limity funkce, mus´ıme si vyjasnit, v jak´ ych bodech m´a smysl uvaˇzovat o limitˇe funkce.
2
ˇ Definice 1.6. Rekneme, ˇze a ∈ R je hromadn´ ym bodem mnoˇziny A ⊂ R, kdyˇz existuje prost´a posloupnost (xn ) takov´a ˇze lim xn = a. Pˇ r´ıklad 1.7. Uved’me na nˇekolika pˇr´ıkladech, jak mohou vypadat hromadn´e bod˚ u mnoˇziny. • Koneˇcn´a mnoˇzina nem´a ˇza´dn´ y hromadn´ y bod. • Mnoˇzina A = { n1 | n ∈ N} m´a jedin´ y hromadn´ y bod 0. • Interval h0, 1) m´a za hromadn´ y bod libovoln´ y prvek intervalu h0, 1i. Tento pˇr´ıklad ukazuje, ˇze hromadn´ y bod mnoˇziny A m˚ uˇze, ale tak´e nemus´ı patˇrit do mnoˇziny A. • Mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel m´a jedin´ y hromadn´ y bod, a to +∞. • Mnoˇzina cel´ ych ˇc´ısel m´a dva hromadn´e body, a to ±∞. • Mnoˇzina Q m´a za sv´e hromadn´e body celou mnoˇzinu R. Definice 1.8. Necht’ a ∈ R je hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru Df funkce f a necht’ c ∈ R. ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe a limitu c, pokud pro kaˇzdou posloupnost (xn ), jejiˇz ˇcleny xn jsou z mnoˇziny Df \ {a}, plat´ı lim xn = a
=⇒
n→∞
lim f (xn ) = c .
n→∞
Zapisujeme lim f (x) = c nebo zkr´acenˇe lim f = c . x→a
a
Definice, kterou jsme uvedli, je pˇripisov´ana nˇemeck´emu matematikovi Heinrichu Heinemu. P˚ uvodn´ı definice limity funkce nevyuˇz´ıv´a pojmu limita posloupnosti. Jej´ı z´aklady poloˇzil Bernˇ ach. Bolzanovu definici vˇsak hard Bolzano, matematik, kter´ y cel´ y sv˚ uj ˇzivot proˇzil v Cech´ zap´ıˇseme v modern´ı symbolice. ym bodem definiˇcn´ıho oboru Df funkce f a necht’ c ∈ R. Definice 1.9. Necht’ a ∈ R je hromadn´ ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe a limitu c, pokud plat´ı ∀Hc ∃Ha ∀x ∈ Df \ {a} x ∈ Ha =⇒ f (x) ∈ Hc . V pˇr´ıpadˇe, kdy body a a c leˇz´ı v R, tj. jsou to koneˇcn´e hodnoty, lze Bolzanovu definici formulovat v symbolice naz´ yvan´e v matematick´e hant´ yrce ε − δ. Okol´ı Hc bodu c je totiˇz interval Hc = (c − ε, c + ε) pro nˇejk´e ε > 0, a tedy v´ yrok f (x) ∈ Hc lze pˇrepsat jako |f (x) − c| < ε. Podobnˇe okol´ı bodu a je tvaru Ha = (a − δ, a + δ) pro nˇejak´e kladn´e δ. Fakt, ˇze c ∈ R je limitou funkce f v bodˇe a ∈ R lze zapsat i takto: ∀ε > 0) ∃δ > 0 ∀x ∈ Df \ {a} |x − a| < δ =⇒ |f (x) − c| < ε . Nech´ame na ˇcten´aˇri, aby si rozmyslel, jak lze pˇrepsat limitu funkce bez pouˇzit´ı symbol˚ u Ha a Hc v pˇr´ıpadˇe, kdy a = −∞ a c ∈ R, nebo v pˇr´ıpadˇe, kdy a ∈ R a a = +∞, atp. (celkovˇe 9 moˇznost´ı).
3
Pˇ r´ıklad 1.10. Pro libovoln´ y bod a ∈ R plat´ı lim ex = ea ,
x→a
protoˇze podle vˇety o posloupnostech vztah xn → a implikuje exn → ea . Ze stejn´eho d˚ uvodu je lim ln x = ln a
x→a
pro kaˇzd´e a ∈ (0, +∞). Pˇ r´ıklad 1.11. Uk´aˇzeme, ˇze
1
lim (1 + x) x = e .
(1)
x→0
Abychom urˇcili limitu, podle definice m´ame uvaˇzovat posloupnosti (xn ) takov´e, ˇze lim xn = 0, n→∞
kde nav´ıc xn 6= 0 pro kaˇzd´e n ∈ N. Zˇrejmˇe pro absolutn´ı hodnotu plat´ı lim |x1n | = +∞. n→∞ Pˇripomeˇ nme vztah z kapitoly, kde jsme zavedli ˇc´ıslo e : 1 p n = e. lim |pn | = +∞ =⇒ lim 1 + pn ´ Ulohu posloupnosti (pn ) ted’ hraje posloupnost
lim f (xn ) = lim (1 + xn )
n→∞
1 xn
n→∞
1 . |xn |
Proto
= lim
n→∞
1+
1
! x1
n
= e.
1 xn
Pozn´ amka 1.12. Udˇelejme nˇekolik d˚ uleˇzit´ych koment´aˇru k definci. • Definice nevyˇzaduje, aby byl bod a z definiˇcn´ı ho oboru funkce f . Napˇr. funkce sgn x12 nen´ı definovan´a v bodˇe 0, pˇresto je lim sgn x12 = 1 . x→0
• Je-li bod a ∈ Df , nem´a ˇc´ıslo f (a) ˇz´adn´y vliv na hodnotu limity funkce v bodˇe a. Napˇr. lim sgn x2 = 1 6= sgn 02 = 0 .
x→0
• Poˇzadavek, aby byl bod a hromadn´ym bodem mnoˇziny Df je nezbytn´y k tomu, abychom naˇsli alespoˇ n jednu posloupnost xn ∈ Df \ {a}, kter´a m´a za limitu a. Pozn´ amka 1.13. Kdyˇz se n´am podaˇr´ı naj´ıt dvˇe posloupnosti (xn ) a (yn ) bod˚ u z Df \ {a} takov´e, ˇze lim xn = lim yn = a a lim f (xn ) 6= lim f (yn ) n→∞
n→∞
n→∞
Pak lim f (x) neexistuje. x→a
4
n→∞
Pˇ r´ıklad 1.14. Ukaˇzme, ˇze lim sin x1 neexistuje.
x→0
Zkoumejme dvˇe posloupnosti xn =
1 2πn
1 2πn +
a
yn =
a
lim sin
π 2
.
Pro obˇe plat´ı lim xn = lim yn = 0, ale n→∞
lim sin
n→∞
n→∞
1 = lim sin(2πn) = 0 xn n→∞
n→∞
1 = lim sin(2πn + π2 ) = 1 . yn n→∞
Pˇ r´ıklad 1.15. Zkoumejme dvˇe limity 1 x→0 x lim
1 . x→0 x2
a
lim
O prvn´ı z limit snadno uk´aˇzeme, ˇze neexituje. Poloˇz´ıme-li totiˇz za xn = posloupnosti maj´ı limitu a = 0, zato f (xn ) = 1 2 x→0 x
Zato zˇrejmˇe limita lim
1 1 n
= n → +∞
a
f (xn ) =
1 − n1
1 n
a za yn = − n1 , obˇe
= −n → −∞
= +∞.
Funkce x1 se chov´a velice rozd´ılnˇe podle toho, zda dosazujeme za promˇennou x hodnoty vpravo nebo vlevo od nuly. Takov´e chov´an´ı postihuje pojem jednostrann´e limity. Definice 1.16. Necht’ bod a ∈ R je hromadn´ ym bodem mnoˇziny Df ∩ (a, +∞) a necht’ c ∈ R. ˇ Rekneme, ˇze c je limitou funkce f v bodˇe a zprava, pokud pro kaˇzdou posloupnost (xn ), jejiˇz ˇcleny xn jsou z mnoˇziny Df ∩ (a, +∞), plat´ı lim xn = a
=⇒
n→∞
lim f (xn ) = c .
n→∞
Zapisujeme lim f (x) = c nebo zkr´acenˇe lim f = c . x→a+
a+
Obdobnˇe ˇ Necht’ bod a ∈ R je hromadn´ ym bodem mnoˇziny Df ∩ (−∞, a) a necht’ c ∈ R. Rekneme, ˇze c je limitou funkce f v bodˇe a zleva, pokud pro kaˇzdou posloupnost (xn ), jejiˇz ˇcleny xn jsou z mnoˇziny Df ∩ ((−∞, a), plat´ı lim xn = a
=⇒
n→∞
Zapisujeme lim f (x) = c nebo zkr´acenˇe lim f = c . x→a−
a−
5
lim f (xn ) = c .
n→∞
Pˇ r´ıklad 1.17.
1 = +∞ x→0+ x lim
a
1 = −∞ x→0− x lim
. lim sgn x = 1
a
x→0+
lim sgn x = −1
x→0−
. Pozn´ amka 1.18. Z defince limity a jednostran´ych limit hned plyne tvrzen´ı: lima f = c pr´ avˇe tehdy, kdyˇz souˇcasnˇe lima+ f = c a lima− f = c. Rozd´ılnost jednostrann´ych limit indikuje tedy neexistenci limity celkov´e.
1.3
V´ ypoˇ cet limity funkce
Protoˇze na hodnotu c limity funkce v bodˇe a se lze d´ıvat jako na limitu posloupnosti f (xn ), lze vˇsechny v´ ypoˇcetn´ı vˇety o limit´ach posloupnosti z´ıskat pˇr´ımo z podobn´ ych vˇet pro v´ ypoˇcet limitu posloupnosti. Vˇ eta 1.19. lim(f ± g) = lim f ± lim g, a
a
a
lim(f.g) = lim f. lim g, a
a
a
f lima f = lim a g lima g
za pˇredpokladu, ˇze a je hromadn´ym bodem mnoˇziny Df ±g , resp. Df.g , resp. D f a v´yrazy na g prav´ych stran´ach rovnosti maj´ı smysl. Pˇ r´ıklad 1.20. Uvaˇzujme funkci x4 + 2x2 − 3 x3 − 3x2 + 2x a zkoumejme jej´ı limity postupnˇe v bodech a = −1, 1, 2, −∞ . Protoˇze zˇrejmˇe lim x = x x→a muˇzeme s pouˇzit´ım pˇredchoz´ı vˇety spoˇc´ıtat limitu pro kaˇzd´ y bod a ∈ R, pro kter´ y bude v´ yraz f (a) definov´an. Proto x4 + 2x2 − 3 = f (−1) = 0 . lim 3 x→−1 x − 3x2 + 2x Hodnoty f (1) a f (2) nejsou definov´any. To znamen´a, ˇze 1 a 2 jsou koˇreny polynomu x3 −3x2 +2x. Snadno uprav´ıme f (x) =
(x2 + 3)(x + 1)(x − 1) (x2 + 3)(x + 1) x4 + 2x2 − 3 = = x3 − 3x2 + 2x x(x − 1)(x − 2) x(x − 2) Nyn´ı uˇz m˚ uˇzeme urˇcit prost´ ym dosazen´ım (x2 + 3)(x + 1) = −8 . x→1 x(x − 2)
lim f (x) = lim
x→1
Pro v´ ypoˇcet limity v bodˇe a = 2 uprav´ıme d´ale (x2 + 3)(x + 1) 1 (x2 + 3)(x + 1) = lim x→2 x→2 x(x − 2) x x−2 lim
6
Limita prvn´ıho zlomku je 7, druh´ y zlomek limitu nem´a, protoˇze limita zprava a zleva je +∞ resp. −∞. Proto ani celkov´a limita neexistuje. Pro v´ ypoˇcet limity v bodˇe a = −∞ mus´ıme prov´adˇet upravy jin´eho druhu, abychom mohli vyuˇz´ıt toho, ˇze lim x1 = 0. x→−∞
1 + x22 − x34 1 + x22 − x34 x4 + 2x2 − 3 lim = lim x = lim x lim = −∞.1 = −∞ x→−∞ x3 − 3x2 + 2x x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 − 3 + 22 1 − x3 + x22 x x N´asleduj´ıc´ı vˇeta hraje pˇri v´ ypoˇctu limity funkce d˚ uleˇzitou roli; roli daleko v´ yznamnˇejˇs´ı neˇz je role obdobn´e vˇety u posloupnosti, tedy vˇety o limitˇe vybran´e posloupnosti. Vˇ eta 1.21. (o limitˇ e sloˇ zen´ e funkce) Necht’ a ∈ R je hromadn´ym bodem definiˇcn´ıho oboru sloˇzen´e funkce f g(x) , necht’ b, c ∈ R a necht’ jsou splnˇeny tyto tˇri podm´ınky: 1. lim f (x) = c, x→b
2. lim g(x) = b, x→a
3. bud’ (∃Ha )(∀x ∈ Dg ∩ Ha − {a})(g(x) 6= b) Pak lim f g(x) = c.
nebo
(b ∈ Df a f (b) = c).
x→a
Pˇ r´ıklad 1.22. Odvod´ıme d˚ uleˇzitou limitu ln(1 + x) = 1. x→0 x
(2)
lim
Vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce pouˇzijeme na vnˇejˇs´ı funkci f (x) = ln x a bod b = e
1
a
vnitˇrn´ı funkci g(x) = (1 + x) x a bod a = 0 .
Protoˇze podle vztahu (1) je lim g(x) = e = b, je splnˇena 2. podm´ınka vety. Staˇc´ı poloˇzit x→0
c := lim f (x) = ln e = 1 x→e
a je splnˇena i 1. podm´ınka. Protoˇze 1
f (g(x)) = ln(1 + x) x =
ln(1 + x) , x
staˇc´ı k d˚ ukazu tvrzen´ı (2) ovˇeˇrit splnˇen´ı 3. podm´ınky. Jelikoˇz b = e ∈ Df = Dln a f (b) = ln e = c = 1 je pravdiv´a druh´a, ˇca´st 3. podm´ınky. Pˇ r´ıklad 1.23. Dok´aˇzeme
ex − 1 = 1. x→0 x Opˇet pouˇzijeme vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce. Tentokr´ate lim
f (x) =
ln(1 + x) a bod b = 0 x
a 7
g(x) = ex − 1 a bod a = 0 .
(3)
Staˇc´ı poloˇzit c = lim f (x) = lim x→a
x→0
ln(1+x) x
= 1, a protoˇze lim g(x) = lim ex − 1 = 0 = b je vyhovˇeno x→a
x→0
1. a 2. podm´ınce. V tomto pˇr´ıpadˇe, vˇsak b = 0 ∈ / Df . Nicm´enˇe g(x) = ex − 1 6= 0 = b pro kaˇzd´e x 6= 0 = a , je vyhovˇeno i 3. podm´ınce, kde za okol´ı Ha∗ lze zvolit libovoln´e okol´ı bodu 0. Celkovˇe do dosazen´ı m´ame ln(1 + ex − 1) ln ex x = lim = lim x = 1, x x x→0 x→0 e − 1 x→0 e − 1 e −1
lim f (g(x)) = lim
x→0
z ˇcehoˇz uˇz (3) plyne. Pozn´ amka 1.24. Na jendoduch´em pˇr´ıkladˇe uk´aˇzeme, ˇze podm´ınka 3. ve znˇen´ı vˇety nen´ı zbyteˇcn´ a. 2 Uvaˇzujme funkci f (x) = sgn x a bod b = 0. Jak jsme uk´azali v pozn´amce 1.12 je lim f (x) = 1 = x→b
c. Je-li vnitˇrn´ı funkce konstantnˇe rovna 0, tj. g(x) = 0, pak lim g(x) = 0 = b. Pˇresto x→a
lim f (g(x)) = lim 0 = 0 6= 1 = lim f (x) .
x→a
1.4
x→a
x→b
Nerovnosti v limit´ ach
Analogicky, jak tomu bylo u limit posloupnost´ı, limita zachov´av´a nerovnosti mezi funkcemi. Vˇ eta 1.25. Necht’ existuj´ı obˇe limity lim f (x) a lim g(x) a necht’ nav´ıc existuje okol´ı Ha∗ takov´e, x→a
x→a
ˇze Ha∗ \ {a} ⊂ Df a Ha∗ \ {a} ⊂ Dg . Pak plat´ı implikace 1. (∀x ∈ Ha∗ \ {a}) f (x) ≤ g(x) =⇒ lim f (x) ≤ lim g(x) . x→a
2. lim f (x) < lim g(x) x→a
x→a
=⇒
x→a
(∃Ha ⊂ Ha∗ )(∀x ∈ Ha \ {a}) f (x) < g(x) .
Pˇr´ım´ ym d˚ usledkem t´eto vˇety je vˇeta o limitˇe sevˇren´e funkce. Vˇ eta 1.26. Necht’ pro funkce f, g, h a body a, c ∈ R plat´ı: 1. existuje okol´ı Ha∗ takov´e, ˇze Ha∗ \ {a} ⊂ Df
T
Dg
T
Dh ;
2. f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) pro kaˇzd´e x ∈ Ha∗ \ {a} ; 3. existuj´ı lim f (x) = lim h(x) = c . x→a
x→a
Pak existuje i limita lim g(x) a je rovna c. x→a
Pˇripomeˇ nme si definice funkc´ı sin, cos a tg. Pro hodnoty x ∈ (0, π2 ) je z geometrick´e pˇredstavy zˇrejm´e, ˇze 0 < sin x < x. Protoˇze funkce sin x je lich´a, plat´ı tak´e −|x| < sin x < |x| pro kaˇzd´e x ∈ (− π2 , π2 ) − {0} 8
Jelikoˇz lim |x| = 0, dostaneme z pˇredchoz´ı vˇety x→0
lim sin x = 0 .
x→0
(4)
Jelikoˇz cos2 x + sin2 x = 1 a cos x ∈ (− π2 , π2 ) je kladn´ y, odvod´ıme pomoc´ı pravidel pro v´ ypoˇcet limity p lim cos x = lim 1 − sin2 x = 1 . (5) x→0
x→0
Vyuˇzijeme jeˇstˇe jednu nerovnost, kterou vyˇcteme z grafick´eho zn´azornˇen´ı trigonometrick´ ych funkc´ı 0 < sin x < x < tg x pro x ∈ (0, π2 ) . Jelikoˇz tg x =
sin x cos x
dostaneme cos x <
sin x < 1 pro x ∈ (0, π2 ) . x
Protoˇze funkce cos x i funkce sinx x jsou sud´e, lze platnost pˇredchoz´ıch nerovnosti rozˇs´ıˇrit na x ∈ (− π2 , π2 ) − {0} . Z vˇety o limitˇe sevˇren´e funkce odvod´ıme sin x = 1. x→0 x lim
(6)
Pro analogick´ y vztah s fukc´ı cos dostaneme cos x x→0 x lim
neexistuje ,
protoˇze limity zprava a zleva jsou r˚ uzn´e totiˇz +∞ a −∞. Pˇ r´ıklad 1.27. Pro v´ ypoˇcet n´asleduj´ıc´ı limity vyuˇzijeme zn´am´eho vztahu sin2 x + cos2 x = 1. cos x − 1 (cos x − 1)(cos x + 1) − sin2 x = lim = lim = x→0 x→0 x(cos x + 1) x→0 x x(cos x + 1) lim
−1 . = lim x→0 cos x + 1
1.5
sin x lim x→0 x
2
. lim x = − 12 . 1 . 0 = 0 . x→0
Dalˇ s´ı d˚ uleˇ zit´ e limity
Zat´ım jsme se vˇenovali hlavnˇe v´ ypoˇctu limity funkce v bodˇe 0. Odvodili jsme ln(1 + x) ex − 1 sin x = 1, lim =1 a lim =1 x→0 x→0 x y→0 x x Tyto limity a vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce pouˇzijeme pˇri v´ ypoˇctu dalˇs´ıch d˚ uleˇzit´ ych limit v obecn´em bodˇe a ∈ R. lim
9
Na zaˇca´tku kapitoly jsme pˇr´ımo z definice limity vidˇeli, ˇze lim ex = ea
a
x→a
lim ln x = ln a .
x→a
Abychom uk´azali, ˇze rovnˇeˇz lim sin x = sin a, budeme potˇrebovat souˇctov´ y vzorec pro funkci sin x→a
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β . M˚ uˇzeme proto psat sin x = sin (x − a) + a = sin(x − a) cos a + cos(x − a) sin a , a tedy lim sin x = cos a lim sin(x − a) + sin a lim cos(x − a) =
x→a
x→a
x→a
= cos a lim sin y + sin a lim cos y = cos a . 0 + sin a . 1 = sin a y→0
y→0
V posledn´ım kroku u ´prav jsem vyuˇzili vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce, kde za vnitˇrn´ı funkci bereme y = g(x) = x − a, a rovnˇeˇz jsme pouˇzili vztahy (4) a (5). Ze znalosti souˇctov´eho vzorce pro cos(α + β) obdobnˇe odvod´ıme, ˇze lim cos x = cos a. x→a
Pˇ r´ıklad 1.28. Pro a ∈ R odvod’te ex − ea lim = ea . x→a x − a Upravujeme ea ex−a − 1 ex − ea ex−a − 1 ey − 1 lim = lim = ea lim = ea lim = ea .1 = ea . x→a x − a x→a x→a x − a y→0 x−a y Pro pˇredposledn´ı rovnost jsme vyuˇzili vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce, kde za vnitˇrn´ı funkci jsme vzali g(x) = x − a. Pˇ r´ıklad 1.29. Pro a > 0 odvod’te 1 ln x − ln a = . x→a x−a a lim
Upravujeme x a
ln ln x − ln a = lim = lim x→a x→a x − a x→a x−a lim
ln 1 + a
x a
x −1 ln 1 + − 1 a 1 ln(1 + y) 1 1 = lim = . = lim x a x→a −1 a y→0 y a −1 a x a
Opˇet jsme vyuˇzili vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce, tentokr´ate za vnitˇrn´ı funkci jsme vzali g(x) = xa −1. Pˇ r´ıklad 1.30. S pouˇzit´ım binomick´e vˇety vypoˇc´ıtame limitu x 5 − a5 (x − a)(x4 + x3 a + x2 a2 + xa3 + a4 ) = lim = lim (x4 + x3 a + x2 a2 + xa3 + a4 ) = 5a4 . x→a x − a x→a x→a x−a lim
Stejn´ ym postupem dostaneme x n − an = nan−1 , pro kaˇzd´e n ∈ N . x→a x − a lim
10
Opust´ıme-li podm´ınku celoˇc´ıselnosti exponentu n, mus´ıme vyuˇz´ıt sloˇzitˇejˇs´ı apar´at. Pˇripomeˇ nme, x ˇze funkce e a ln x jsou k sobˇe navz´ajem inverzn´ı, a tedy jejich sloˇzen´ım dostaneme identitu. Proto plat´ı eln b = b pro kaˇzd´e b > 0. Pˇ r´ıklad 1.31. Uvaˇzujme nyn´ı parametry α ∈ R a a > 0 a dokaˇzme x α − aα = αaα−1 . x→a x − a lim
Upravujeme α
α
x −a = lim x→a x − a x→a
aα
lim
x α a
−1
x−a
x
x aα eα ln a − 1 = lim
x→a
x−a
=
x
eα ln a − 1 α ln xa eα ln a − 1 ln x − ln a α = a lim = αa lim lim = x x x→a x→a x→a α ln a x − a α ln a x−a α
ey − 1 ln x − ln a 1 . lim = αaα . 1 . = αaα−1 y→0 x→a y x−a a
= αaα lim
Pro z´avˇer v´ ypoˇctu jsme pouˇzili pˇr´ıklad 1.29 a vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce s vnˇejˇs´ı funkc´ı f (y) = ey −1 a vnitˇrn´ı funkci g(x) = α ln xa . y Pˇ r´ıklad 1.32. Odvod´ıme, ˇze
sin x − sin a = cos a . x→a x−a K v´ ypoˇctu t´eto limity postupnˇe vyuˇzijeme souˇctov´ y vzorec pro sin(α + β), v´ ysledek pˇr´ıkladu 1.27 a vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce. lim
lim
x→a
sin x − sin a sin(x − a) cos a + cos(x − a) sin a − sin a = lim = x→a x−a x−a
cos(x − a) − 1 sin(x − a) + sin a . lim = cos a . 1 + sin a .0 = cos a . x→a x→a x−a x−a
= cos a . lim
11
