Dobó Andor
A dobó-topa-transzformáció egy újabb tulajdonságáról
Az [1]-ben említést tettünk az affin transzformációk néhány fontosabb alcsoportjáról. Az alábbiakban – ezekhez tartozóan – bevezetünk egy újabb alcsoportot, amelyet hipo-reguláris transzformációnak fogunk nevezni. Evégbıl legyen az n-dimenziós tér affin lineáris pontleképezésének analitikus alakja: (0)
x ∑ a x b
(i= 1, 2, …, n).
Mint ismeretes, az affin transzformáció reguláris, ha det[aij]≠0. A reguláris affin transzformációt hipo-reguláris transzformációnak nevezzük, ha (1)
deta γ ,
ahol γ>0 állandó; γ≠1. (A γ=1 jól ismert esete az affin transzformációknak!)
Állítás: Ha a és a változó mennyiség egyenesen arányos, vagyis ha (2)
γ⋅ ,
ahol a pozitív γ≠1 arányossági tényezı állandó, akkor a Dobó-Topa-transzformáció hiporeguláris. Bizonyítás: A tárgyalást érdemben nem befolyásolja – ugyanakkor a bizonyítást átláthatóbbá és egyszerőbbé teszi –, ha n=4 helyett n=2 dimenzióban maradunk. Ekkor a Dobó-Topatranszformáció alakja (lásd [2]): (3)
(4)
x δ⋅ ⋅x v⋅t α
t δ⋅ ⋅ x t! α
(α
(Most tehát x1=x, x2=t, x x , x& t .)
1
" # ! $
).
Ebben az esetben
(5)
deta '
α
δ⋅ α⋅
δ⋅
⋅
δ⋅
α⋅
α
δ⋅
'
δ ⋅ ⋅
.
A [3]-ban – formailag a (2) alatti arányosságra is tekintettel – láttuk, hogy (6)
δ
(γ
( ⋅
,
ahol most a feltevés folytán γ>0 állandó1. Ebbıl kifolyólag (7)
δ ⋅ ⋅
γ,
ami állításunkat igazolja. Ha γ=1, akkor a Dobó-Topa-féle hipo-reguláris transzformáció ekviaffin transzformációba megy át, ami viszont k0=kv esetén Dobó-Lorentz-transzformációvá alakul. Ha γ≠1, akkor k0=kv esetén a Dobó-Topa-transzformáció nem megy át Dobó-Lorentz-transzformációba, vagyis ekkor elszeparált transzformációt alkot. Ebben az esetben
(8)
(γ⋅) ,
és így az ívelemre nézve az affinitás nem lehet unimoduláris transzformáció. Ma még nem tudjuk megítélni, hogy a hipo-reguláris Dobó-Topa-transzformáció a fizikában milyen szerepet fog betölteni. Föltehetıleg alkalmazása elıbb-utóbb elıtérbe kerül, és az elméleti fizika szerves részévé válik. Ahogyan a Bolyai-féle hiperbolikus geometriában k nemcsak állandó, hanem (görbületi) paraméter is, szintúgy itt γ nemcsak állandónak, hanem paraméternek is tekinthetı2; a szerepét pedig tisztázni kell.
A [3]-ban γ-t általánosabb tényezıként értelmeztük, vagyis nem föltétlenül kellett neki konstansnak lennie. A peremfeltételbıl adódóan azonban γ≡1 lett. Most viszont azzal, hogy egyenes arányosságot követeltünk meg, a γról csak annyit tudunk mondani, hogy dimenzió nélküli állandó. Ez viszont a végeredmény szempontjából azt jelenti, hogy az egyenes arányosság megkövetelése „gyöngébb” feltétel, mint a peremfeltétel. Általa ugyanis γ konkrét értéke még nem határozható meg! Ha viszont γ=1, akkor a peremfeltétel teljesül. 1
2
Nehezen hihetı (szinte kizárható), hogy a természettörvények feltárásakor ne legyen szükség a hipo-reguláris Dobó-Topa-transzformációra, amelyet n=2 esetben az
(9)
x
(γ
(10)
t
(γ
⋅) ⋅x v⋅t
α
α
⋅) ⋅ x t!
egyenletrendszer jellemez. Ekkor bizonyára a diszkutálás tárgyát képezi az x=0 eset, mikor is a sajátidı a
(11)
t τ
α
(γ
⋅) ⋅t
alakot ölti.
A (11) alapján, ha γ→0, akkor →∞; ha pedig γ→∞, akkor →0, akkor is, ha v=c0. Ha kv=k0 és v=c0, akkor
(12)
τ
(γ
⋅
) #$
*
+
⋅t
(1
A (11) illetve (12) alatti sajátidı-kifejezéssel a fizikában eddig még nem találkoztunk. Ez azt jelenti, hogy a sajátidı fogalmát is alaposan át kell gondolni. (Mindez köszönhetı Topa Zsolt „szárnyalásának”, ami ide vezetett, és még ki tudja, hol ér véget!) Ha (9)-ben t=0, akkor
(13)
x x ⋅
(γ ⋅) α
,
és így a „hosszúságkontrakció”:
(14)
&
,- ,. ⋅(γ⋅) ⋅)1 ! .
2
A matematikában nem ritka az ilyen eset; így például valamely függvény Laplace-transzformációja is paraméter-függı; mivel azt egy paraméteres improprius integrál fejezi ki, amelynek rendkívül fontos szerepe van az analízisben – fıleg az állandó együtthatójú lineáris közönséges differenciálegyenletek megoldásainak elıállításában.
3
Most v=c0 esetén lv≠0! (Az Einstein-féle speciális relativitáselmélet szerint, ha v a vákuumbeli fény sebességének értékét veszi fel, akkor lv=co=0!3) Összefoglalva megállapítható: a Dobó-Topa-transzformáció vagy hipo-reguláris (γ≠1), vagy ekviaffin (γ=1) transzformáció. A hivatkozáskor erre tekintettel kell lenni, elkerülendı a félreértéseket. * A „mai hivatalos /ortodox/ kanonizált fizika” mellett (Topa szóhasználata; lásd [4]) fontosnak vélem még megemlíteni az alábbiakat: Belátható, ha γ=1, a sebesség és impulzus négyesvektorának önmagával vett skaláris szorzata:
k & , illetve m&. ⋅k & . (Einsteinnél ezek az értékek c & , illetve m&. ⋅c & !) Tehát egyik érték
sem függ k0-tól! Ugyanakkor kv≠c0 miatt a vektorok „pszeudo-hosszúsága” – ellentétben
Einstein speciális relativitáselméletével – „univerzálisan nem kötött”, mivel értékük függ kvtıl is, ezen keresztül pedig a téridı kDv görbületi paraméterétıl. Mindez jól mutatja, hogy a görbület fogalmának már a speciális relativitáselméletben is jelentıs és megkerülhetetlen szerep jut. Einsteinnél mindennek még csak nyomát sem látjuk. Alapvetıen ez (is) az oka annak, hogy elmélete annyi kívánnivalót hagy maga után. Ha abból indulunk ki, hogy az általános relativitáselmélet görbült térrel számol (Riemann-görbület), akkor speciális esetként a térnek – egyszerőbb változatban ugyan, de továbbra is – görbültnek (Gauss-görbület) kell maradnia. (Ha az n-dimenziós tér görbült, akkor n=2 esetén is az marad. Ekkor a Riemann-tenzor egyetlen el nem tőnı független komponense az R1212 mennyiség.) Ez a felismerés képezi az alapját Topával végzett kutatásainknak! (Newton idején még csak az euklideszi geometriát ismerték, a görbületnek még a fogalma sem létezett!) Naiv hozzáállás ennek realitását és jogosságát megkérdıjelezni. Mint látható, az új világképet adó Einstein nem végzett tökéletes munkát (mert eredményei cáfolhatók); ugyanakkor úttörı 3
Bár (mint korábban már annyiszor rámutattunk) a v=c=c0 sebességértékre az egész Einsteini elmélet matematikailag már teljességgel értelmezhetetlen – magyarán csıdöt mond; pedig az Einstein „csodálatos évében” született. – A modern tudomány történetében az 1666-os esztendıt „csodálatos évnek” (latinul „annus mirabilis”) nevezik. Ekkor vetette meg Isaac Newton a 17. századi tudományt forradalmasító fizika és matematika alapjainak jelentıs részét. Ezt a kifejezést az 1905-ös esztendıre, Albert Einsteinre is vonatkoztatják, aki ekkor alapozta meg newtoni fizikától való elszakadást, ami viszont a 20. századi fizikát forradalmasította. Ami a megalapozást illeti: hát ilyenre sikerült! Az elszakadás sem felel meg annak, ahogyan azt ma értelmezik. Az euklideszi geometriában Newton mechanikája tökéletesen helytálló, benne a mozgásegyenlet nem szorul semmiféle felülvizsgálatra.
4
szerepe a fizikában vitán felül áll. Munkásságának megfelelı történelmi keretekbe való helyezése azonban ma még kellı biztonsággal nem végezhetı el. Jelentıs fejlıdés, forradalmi változás a tudományban mindig akkor következik be, amikor rákényszerülünk elvetni elıdeink hosszú ideig nagyra tartott, csodálatra méltó eredményeit, ami sokáig a tudomány hajtóerejének bizonyult, késıbb viszont a kerékkötıjévé vált. Persze minden kutató arra törekszik, hogy az általa felfedezett „természettörvény” idıálló legyen; vagyis ne lehessen kikezdeni. A szándék ellenére – a korlátolt ismereteink folytán – ez sajnos ritkán sikerül. A legtöbbször nem rendelkezünk azzal a tudással, amely a valóság pontos leírásához kellene, ezért elért eredményeink gyakran „átmenetiek”, késıbb korrigálni, vagy elvetni kényszerülünk ıket. Ebben a folyamatban nem könnyő a helytállás, mert cáfolni kell a „régit”, s védelmezni az „újat”; és fordítva. Mindez elkerülhetetlen konfliktussal jár, mert mindenki ragaszkodik a „saját” igazához – ami emberileg még érthetı is. Budapest, 2010. január 31. IRODALOM [1]
Dobó Andor – Topa Zsolt: Mérleg (kézirat, Budapest, 2010. január 24.)
[2]
Dobó Andor:
A Dobó-Topa-féle transzformáció és alkalmazása (kézirat, Budapest, 2009. december 3.)
[3]
Dobó Andor:
A Dobó-Topa-transzformáció egyértelmővé tétele és következményei (kézirat, Budapest, 2010. január 21.)
[4]
Topa Zsolt:
A Minkowski-modell kiigazítása (kézirat, Budapest, 2009. december 2.)
5
