@100
9. Racionální lomená funkce Definice: Nechť P je polynomická funkce n-tého stupně
P ( x ) an x n
an 1 x n 1 an 2 x n 2 ... a2 x 2 kde an 0, an 1 , an 2 ,...a2 , a1 , a0 R
a1 x a0
A nechť Q je polynomická funkce m-tého stupně
Q( x ) bm x m
bm 1 x m 1 bm 2 x m 2 ... b2 x 2 kde bm 0, bm 1 , bm 2 ,...b2 , b1 , b0 R
b1 x b0
P( x) Q( x ) pro všechna x, pro která platí Q( x ) 0
Racionální lomená funkce R je dána podílem R( x )
Poznámka: Přímý předpis pro racionální lomenou funkci vypadá takto:
an
an x n an 1 x n 1 .... a1 x a0 y bm x m bm 1 x m 1 .... b1 x b0 0, an 1 , an 2 ,...a2 , a1 , a0 , bm 0, bm 1 , bm 2 ,...b2 , b1 , b0 R
A) Definiční obor funkce: Je třeba vyloučit kořeny polynomické rovnice
bm x m
bm 1 x m
1
bm 2 x m
2
... b2 x 2
b1 x b0
0
Jejich konkrétní hodnoty nelze obecně určit. Jen víme, že jich je nejvýše m různých (nemusí být žádný). B) Symetrie Obecně racionální lomená funkce není ani lichá ani sudá ani periodická. C) Derivace Vypočítáme derivaci podle pravidel v kapitole 2. D) Funkční hodnoty - asymptoty Racionální lomená funkce má obecně dva druhy asymptot. Vertikální asymptoty: Všechny body, které musíme vyloučit proto, aby ve jmenovateli nebyla nula (tj. kořeny polynomické rovnice Q(x) = 0), jsou průsečíky asymptot rovnoběžných s osou y. Graf funkce se k těmto asymptotám zleva nebo zprava čím dál tím víc blíží, ale neprotne je.
Šikmé asymptoty: Mohou, ale nemusí být. Závisí to na stupních polynomických funkcí v čitateli a jmenovateli racionální lomené funkce. Viz dále. E) Průsečíky se souřadnými osami s osou y
Pokud není x = 0 vyloučeno z definičního oboru, pak jde o bod R(0) = a0/b0
s osou x Všechny kořeny polynomické rovnice P(x) = 0, pokud nejsou vyloučeny z definičního oboru. Úkol: Lineární lomená funkce je zvláštní případ racionální lomené funkce pro případ n=m=1 n=m-1 n=m+1
@057 Správně. Podmínka n = m = 1 vede k předpisům na lineární lomenou funkci y
a1 x a0 b1 x b0
Úkol: Která další podmínka na stupně polynomů P(x) a Q(x) racionální lomené funkci vede k lineární lomené funkci? pokračování zpět
@060 Příklad: Sestrojte průběh (graf) funkce f : y
x2 3x x2 4
Řešení: A) Definiční obor funkce: Ve jmenovateli nesmí být nula, proto se musí z definičního oboru vyloučit body ±2. Na znamení, že jde o vyloučené body z definičního oboru, uděláme v nich v tabulce dvojitou čáru. B) Symetrie
f ( x)
( x ) 2 3( x ) ( x )2 4
x2 x2
3 4
f ( x)
Funkce není ani sudá ani lichá ani periodická. C) Derivace
( 2 x 3)( x 2 4) ( x 2 y' ( x 2 4) 2
3 x 2 8 x 12 ( x 2 4) 2
3 x )2 x
Derivace má stejný definiční obor jako funkce sama. Derivace se rovná nule právě pro kořeny rovnice 3x2 + 8x + 12 = 0 diskriminant D = 82 – 4.3.12 = 82 – 122 < 0 kořeny neexistují Derivace je pro každé reálné x záporná. Shrnuto: funkce nemá žádný extrém a v každém dílčím intervalu je klesající. D) Funkční hodnoty - asymptoty Máme dva vyloučené body z definičního oboru, proto máme dvě vertikální asymptoty. Hodnoty funkce při přibližování k bodům –2 resp. +2 (asymptotám) se zvyšují nade všechny meze ( ∞). Znaménko určíme podle toho, jestli funkce v daném okolí roste nebo klesá. Protože n = m = 2, má funkce ještě horizontální asymptotu y = 1. Tabulka vypadá nyní takto Df fce Df’ der f’(x) f(x)
-∞ -∞
-2 -2 -2 -2
—
—
klesající
—
klesající
klesající
+∞
1
-∞
+∞ +∞
2 2 2 2
+∞
-∞
1
E) Průsečíky se souřadnými osami Průsečíky s osami jsou body [0; 0] a [-3; 0]
Úkol: Má racionální lomená funkce za podmínky n < m (v čitateli je polynom nižšího stupně než ve jmenovateli) asymptotu? nemá žádnou asymptotu asymptotou je osa x asymptotou je přímka y = mx + n zpět
@063 Dosud jsme zjistili, že racionální lomená funkce má asymptoty rovnoběžné s osou x, nebo osu x pro případ n ≤ m. Prozkoumejme nyní případ, kdy v čitateli je stupeň polynomu o jedna vyšší než ve jmenovateli, tj n = m + 1. Věta: Graf racionální lomené funkce, kde platí n = m + 1, tj. stupeň polynomu v čitateli je právě o jedničku větší než stupeň polynomu ve jmenovateli
am 1 x m 1 am x m am 1 x m 1 .... a1 x a0 y bm x m bm 1 x m 1 .... b1 x b0 má asymptotu o rovnici y = kx + q, kde am 1 am bm bm 1 am bm am 1bm 1 am 1 a q k bm bm2 bm2
2 x5 x4 2 x 1 Příklad: Graf funkce y má „šikmou“ asymptotu, x4 2 x 3 x 2 3 2 1.1 2.( 2) k 2, q 5 1 12 jejíž rovnice je y = 2x + 5 důkaz věty důkaz přeskočit a pokračovat zpět
@066 Sestrojte graf funkce y
x2
x 1 x 2
Řešení: Protože pro stupně polynomů platí podmínka n = m + 1, má funkce šikmou asymptotu o rovnici y = x + 1. Uveďme ještě pro kontrolu derivaci
y'
( 2 x 1)( x 2) ( x 2 ( x 2) 2
pokračování zpět
x 1)
x2 4x 1 ( x 2) 2
(x 2
3 )( x 2 ( x 2) 2
3)
@069 Správně Protože platí:
y
x3
2x2 2x 1 x2 3x 2
( x 1)( x 2 x 1) ( x 1)( x 2)
Je pravda, že graf funkce F : y
G: y
x2
odpověď zpět
x3
x2
x 1 x 2
2x2 2x 1 je stejný, jako graf funkce x2 3x 2
x 1 , který jsme již vytvořili, viz @066? x 2
@055 Bohužel Podmínku n = m - 1 splňuje například funkce y funkcí. návrat
x 13 , která není lineární lomenou x2 1
@058 Která další podmínka na stupně polynomů P(x) a Q(x) racionální lomené funkci vede k lineární lomené funkci? Řešení: K lineární lomené funkci vede také podmínka n = 0 a m = 1 y
a0 b1 x b0
Úkol: Uvažujme případ n = m. Předpis racionální lomené funkce vypadá takto:
y
am x m bm x m
am 1 x m bm 1 x m
1 1
.... a1 x a0 .... b1 x b0
Proveďte podobnou úvahu pro x rostoucí nade všechny meze (x ∞) jako jsme udělali v kapitole 8 u lineární lomené funkce a určete přímku, která je asymptotou za zadaných podmínek. pokračování zpět
@061 Úkol: Má racionální lomená funkce za podmínky n < m (v čitateli je polynom nižšího stupně než ve jmenovateli) asymptotu? Řešení: Vytkněme v čiteteli xn a ve jmenovateli xm. Dostaneme
an 1 an 2 a1 a0 ) 2 n 1 n x x x x y bm 1 bm 2 b1 b0 x m ( bm ) x x2 xm 1 xm an 1 an 2 a1 a0 an 2 n 1 1 x x x xn . bm 1 bm 2 b1 b0 xm n b m 2 m 1 x x x xm k Vzpomeňme si, že platí k 0, p 0, | x | y 0 xp x n ( an
Tedy levý zlomek se blíží nule (m – n >0) a pravý zlomek se blíží k podílu koeficientů nejvyšších mocnin polynomů čitatele a jmenovatele an/bn a celý výraz se blíží 0.
y
1 x
m n
.
an bm
0.
an bm
0
Z toho plyne, že pro velké hodnoty v kladném i záporném směru se graf racionální funkce za podmínky n < m stále více blíží 0, tj. ose x. Osa x je pro tento případ asymptotou. Úkol: Sestrojte graf funkce g : y výsledek zpět
4x 6 3x2 4x
@064 Věta: Graf racionální lomené funkce, kde platí n = m + 1, tj. stupeň polynomu v čitateli je právě o jedničku větší než stupeň polynomu ve jmenovateli
am 1 x m 1 am x m am 1 x m 1 .... a1 x a0 y bm x m bm 1 x m 1 .... b1 x b0 má asymptotu o rovnici y = kx + q, kde am 1 am bm bm 1 am bm am 1bm 1 am 1 a q k bm bm2 bm2 Důkaz: Předpokládejme, že taková přímka existuje. Její rovnici hledáme ve tvaru y = kx + q. Má-li tato přímka být asymptotou, znamená to, že se pro vysoké hodnoty |x| +∞ graf funkce čím dál tím více přimyká k přímce. Tedy rozdíl hodnoty funkce a hodnoty přímky pro dané x se blíží nule. Musíme tedy určit podmínky, kdy se bude rozdíl
y
am 1 x m 1 am x m am 1 x m 1 .... a1 x a0 bm x m bm 1 x m 1 .... b1 x b0
kx q
0
blížit nule pro |x| +∞ Pravou stranu upravíme, převedeme na společného jmenovatele a v čitateli seřadíme podle mocnin x. Po troše „trápení“ dostaneme
( am
1
kbm ) x m
1
( am kbm 1 qbm ) x m cm 1 x m bm x m bm 1 x m 1 .... b1 x b0
1
.... c1 x c0
(koeficienty ci jsou nějaké výpočty z původních koeficientů čitatele a jmenovatele, ale nás nezajímají, protože jsou u mocnin x menších než xm). Víme z předchozí úvahy, že takovýto zlomek se blíží nule pro velká x, když polynom v čitateli má nižší stupeň než je stupeň polynomu ve jmenovateli. Aby to platilo pro náš zlomek musí platit
am am
1
kbm kbm
0 qbm
1
0
Z první rovnosti vypočítáme směrnici přímky
k
am 1 bm
Za k dosadíme do druhé rovnosti a vypočítáme
q
am bm
am 1bm bm2
1
am 1 am bm bm 1 bm2
Tím je důkaz proveden. q.e.d. pokračování zpět
@067 Shrnutí:
7 racionální lomená funkce název: racionální lomená funkce stupně n/m předpis: y
an x n bm x m
an 1 x n 1 .... a1 x a0 , bm 1 x m 1 .... b1 x b0 an 0, an 1 , an 2 ,...a2 , a1 , a0 , bm
0, bm 1 , bm 2 ,...b2 , b1 , b0 R
zařazení: patří do skupiny racionálních lomených funkcí definiční obor: množina reálných čísel R, kromě reálných kořenů rovnice
bm x m
bm 1 x m
1
bm 2 x m
2
... b2 x 2
b1 x b0
0
b1 x b0
0
obor hodnot: nelze obecně říci graf: příliš individuální křivka: hyperbola, další není pojmenováno asymptoty: má rovnoběžné asymptoty s osou y a v kořenech rovnice
bm x m
bm 1 x m
1
bm 2 x m
2
... b2 x 2
Je-li n<m, pak jednou asymptotou je osa x. Jsou-li n=m, pak má jednu asymptotu rovnoběžnou s osou x a protínající osu y v bodě
y
am . bm
Platí-li n=m+1, pak má jednu šikmou asymptotu y
am 1 x bm
am 1 am bm bm 1 bm2
V případě n>m+1 neexistuje šikmá asymptota. funkce inverzní: racionální lomená funkce není obecně prostá, funkce inverzní obecně neexistuje derivace: nutno použít pravidel pro derivování na konkrétní případ užití: poznámka: zvláštní případ: některé stupně mají zvláštní pojmenování:
Úkol: Je dána racionální lomená funkce F : y šikmou asymptotu. Je jí přímka o rovnici:
x3
n=1, m=1 lineární lomená
2x2 2x 1 . Graf této funkce má x2 3x 2
y=x–2 y=x+1 y = x + 2/3 zpět
@101
Graf funkce F : y
G: y
x2
x3
2x2 2x 1 je skoro stejný, jako graf funkce x2 3x 2
x 1 . Nejde o identické funkce, liší se totiž definičním oborem: x 2
DF = R \ {1; 2}, DG = R \ {2} a proto i graf je jiný v bodě x = 1.
Úkol: Načrtněte průběh funkce h : y výsledek zpět
x2 x 2
@056 Bohužel Podmínku n = m + 1 splňuje například funkce y funkcí. návrat
x2
2x 3 , která není lineární x 1
@059 Příklad: Uvažujme případ n = m. Předpis racionální lomené funkce vypadá takto:
y
am x m bm x m
am 1 x m bm 1 x m
1 1
.... a1 x a0 .... b1 x b0
Určeme další asymptotu této funkce. Řešení: Provede se stejná úvaha jako u lineární lomené funkce. Abychom se neopakovali, řekneme si úvahu trochu jinými slovy. Proveďme úpravu předpisu tím, že vytkneme xm jak v čitateli tak ve jmenovateli a tímto členem xm zlomek vykrátíme. Dostaneme
am 1 am 2 a1 a0 ) 2 m 1 x x x xm bm 1 bm 2 b1 b0 x m ( bm ) 2 m 1 x x x xm am 1 am 2 a1 a0 am x x2 xm 1 xm bm 1 bm 2 b1 b0 bm 2 m 1 x x x xm
x m ( am y
k víme (k ≠ 0, p > 0), že pro velká x (milion, miliarda, bilion, …) je xp
O členech typu y
hodnota výrazu y tím blíže nule (a tedy zanedbatelná) čím větší číslo x v absolutní hodnotě je. Symbolicky píšeme
am takže
y bm
k
am 1 x bm 1 x
0, p 0, | x |
y
am 2 a1 2 x xm 1 bm 2 b1 2 x xm 1
a0 xm b0 xm
k xp am bm
0 0 0 0 0
am bm
Přímka o rovnici y = am/bm, která je rovnoběžná s osou x, je asymptotou grafu racionální lomené funkce pro n = m v nevlastních bodech, tj pro x -> ∞. Příklad: Sestrojte průběh (graf) funkce y pokračování zpět
x2 3x x2 4
@062
4x 6 3x2 4x
Sestrojte graf funkce g : y Řešení:
g( x )
4x 6 3x2 4x
2( 2 x 3) => Dg = (-∞; 0) x ( 3 x 4)
(0; 4/3)
(4/3; +∞)
A dále z toho plyne, že graf funkce protíná osu x v bodě x = 1,5 (g(1,5)=0) a má dvě asymptoty rovnoběžné s osou y a to x = 0 a x = 4/3. Protože stupeň polynomu v čitateli je menší než stupeň polynomu ve jmenovateli má graf funkce g ještě za asymptotu osu x. Jemnější analýzu dostaneme pomocí derivace: extrémy, monotonnost.
g' ( x )
4( 3 x 2
4) (4 x 6) 3.2 x ( 3 x 2 4) 2
g’(x) = 0 x = 1 nebo x = 2
12(1 x )( x 2) ( 3 x 2 4) 2
-> to jsou body možného lokálního extrému (min, max)
podle znaménka derivace určíme, kdy je funkce rostoucí a kdy klesající Dg = Dg’ g’(x) g(x)
0 0
-∞
—
—
klesající 0
-∞ g(0) = 2,
g(2) = 1/2
4/3 4/3
1
0
klesající +∞
+
+
rostoucí +∞
2 2
2
0
rostoucí
+∞
— klesající
1/2 1/2
-∞
0
pokračování zpět
@065
Úkol: Sestrojte graf funkce y výsledek zpět
x2
x 1 x 2
@068 Bohužel. Znova!
@102
Načrtněte průběh funkce h : y
x2 x 2
Řešení: Dh = R \ {-2}
průsečík s osou y [0; h(0)] = [0; 0] průsečík s osou x [x; h(x)=0] = [0; 0] => graf funkce protíná obě souřadné osy v počátku
asymptota vertikální (rovnoběžná s osou y) má rovnici x = -2
1 0 šikmá
k = 1/1
h' ( x )
x2 4x ( x 2) 2
1 2 12
q
x ( x 4) ( x 2) 2
2
y=x-2
=> možná extrém v bodech x = 0 -> h(0) = 0 a
Dh h’(x) h(x)
-∞
-4
+
0
rostoucí
-2 -2
0
—
—
klesající
klesající
-∞
0
+ rostoucí
+∞
-8 -8
-∞
x = -4 -> h(-4) = -8
-∞
+∞
0
0
zpět KONEC LEKCE
