Matematická analýza 1b
9. Primitivní funkce
9.1 Základní vlastnosti
Definice Necht’ funkce f je definována na neprázdném otevˇreném ˇ intervalu I. Rekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x ∈ I existuje F ′ (x) a platí F ′ (x) = f (x).
9.1 Základní vlastnosti
Definice Necht’ funkce f je definována na neprázdném otevˇreném ˇ intervalu I. Rekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x ∈ I existuje F ′ (x) a platí F ′ (x) = f (x).
ˇ 9.1 Veta Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevˇreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
9.1 Základní vlastnosti
ˇ 9.2 Veta Necht’ f je spojitá funkce na otevˇreném neprázdném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
9.1 Základní vlastnosti
ˇ 9.2 Veta Necht’ f je spojitá funkce na otevˇreném neprázdném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
ˇ 9.3 Veta Necht’ f má na otevˇreném intervalu I primitivní funkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R. Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I.
9.1 Základní vlastnosti
ˇ 9.4 (o substituci) Veta (i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht’ ϕ je funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodeˇ t ∈ (α, β) vlastní derivaci. Pak Z c f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = F (ϕ(t)) na (α, β).
9.1 Základní vlastnosti
(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bodeˇ intervalu (α, β) nenulovou vlastní derivaci a ϕ((α, β)) = (a, b). Necht’ funkce f je definována na intervalu (a, b) a platí Z c f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = G(t) na (α, β). Pak
Z
c
f (x) dx = G(ϕ−1 (x)) na (a, b).
9.1 Základní vlastnosti
Lemma 9.5 (Darbouxova vlastnost derivace) Necht’ f má na neprázdném otevˇreném intervalu I primitivní funkci. Potom má f na I Darbouxovu vlastnost, tj. f (J) je interval, kdykoliv J ⊂ I je interval.
9.1 Základní vlastnosti
ˇ 9.6 (integrace per partes) Veta Necht’ I je neprázdný otevˇrený interval a funkce f je spojitá na I. Necht’ F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí Z Z g(x)F (x) dx = G(x)F (x) − G(x)f (x) dx na I.
9.2 Integrace racionálních funkcí
Definice ˇ podíl dvou Racionální funkcí budeme rozumet polynomu, ˚ kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q,
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x 2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x 2 + αl x + βl )ql ,
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x 2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x 2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0,
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x 2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x 2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0, (iv) p1 , . . . , pk , q1 , . . . , ql ∈ N,
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x 2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x 2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0, (iv) p1 , . . . , pk , q1 , . . . , ql ∈ N, (v) žádné dva z mnohoˇclenu˚ x −x1 , x −x2 , . . . , x −xk , x 2 +α1 x +β1 , . . . , x 2 +αl x +βl nemají spoleˇcný koˇren,
9.2 Integrace racionálních funkcí ˇ 9.7 (o rozkladu na parciální zlomky) Veta Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x 2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x 2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0, (iv) p1 , . . . , pk , q1 , . . . , ql ∈ N, (v) žádné dva z mnohoˇclenu˚ x −x1 , x −x2 , . . . , x −xk , x 2 +α1 x +β1 , . . . , x 2 +αl x +βl nemají spoleˇcný koˇren, (vi) mnohoˇcleny x 2 + α1 x + β1 , . . . , x 2 + αl x + βl nemají reálný koˇren.
9.2 Integrace racionálních funkcí Pak existují jednoznaˇcneˇ urˇcená cˇ ísla A11 , . . . , A1p1 , . . . , Ak1 , . . . , Akpk , B11 , C11 , . . . , Bq11 , Cq11 , . . . , B1l , C1l , . . . , Bql l , Cql l taková, že platí A1p1 P(x) A11 = + · · · + Q(x) (x − x1 )p1 x − x1
Akpk Ak1 + ··· + + ··· + (x − xk )pk x − xk 1 1 Bq11 x + Cq11 B x + C1 + 2 1 + · · · + + ... (x + α1 x + β1 )q1 x 2 + α1 x + β1 Bql l x + Cql l B l x + C1l + 2 1 + · · · + . (x + αl x + βl )ql x 2 + αl x + βl
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
R(sin t, cos t) dt
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
R(sin t, cos t) dt
vždy lze užít substituci tg 2t = x
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
R(sin t, cos t) dt
vždy lze užít substituci tg 2t = x je-li R(a, −b) = −R(a, b), lze užít substituci sin t = x
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
R(sin t, cos t) dt
vždy lze užít substituci tg 2t = x je-li R(a, −b) = −R(a, b), lze užít substituci sin t = x je-li R(−a, b) = −R(a, b), lze užít substituci cos t = x
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
R(sin t, cos t) dt
vždy lze užít substituci tg 2t = x je-li R(a, −b) = −R(a, b), lze užít substituci sin t = x je-li R(−a, b) = −R(a, b), lze užít substituci cos t = x je-li R(−a, −b) = R(a, b), lze užít substituci tg t = x
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce R
dt 1+sin2 t
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
)1/q ) dt R(t, ( at+b ct+f
q ∈ N, q > 1, a, b, c, f ∈ R, af 6= bc
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce
Typ
R
)1/q ) dt R(t, ( at+b ct+f
q ∈ N, q > 1, a, b, c, f ∈ R, af 6= bc substituce ( at+b )1/q = x ct+f
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
at 2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R: √ √ at 2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
at 2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R: √ √ at 2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 at 2 + bt + c má dva reálné q koˇreny α1 < α2 : √ t−α2 at 2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
at 2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R: √ √ at 2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 at 2 + bt + c má dva reálné q koˇreny α1 < α2 : √ t−α2 at 2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1
at 2 + bt + c nemá reálné koˇreny: pak a > 0, c > 0, a ˇ lze užít nekterou z Eulerových substitucí
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
at 2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R: √ √ at 2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 at 2 + bt + c má dva reálné q koˇreny α1 < α2 : √ t−α2 at 2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1
at 2 + bt + c nemá reálné koˇreny: pak a > 0, c > 0, a ˇ lze užít nekterou z√ Eulerových substitucí √ 2 at + bt + c = ± at + x
ˇ 9.3 Nekteré užiteˇcné substituce Typ
R
√ R(t, at 2 + bt + c) dt, a 6= 0
at 2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R: √ √ at 2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 at 2 + bt + c má dva reálné q koˇreny α1 < α2 : √ t−α2 at 2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1
at 2 + bt + c nemá reálné koˇreny: pak a > 0, c > 0, a ˇ lze užít nekterou z√ Eulerových substitucí √ 2 √at + bt + c = ± at√+ x nebo at 2 + bt + c = tx + c
