Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018
8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně existujících dějů lze reprezentovat matematickými modely, které jsou popsány tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je každá funkce, která vznikne jako výsledek konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí konstantních,
mocninných,
exponenciálních,
logaritmických,
goniometrických
a cyklometrických, tedy tzv. základních elementárních funkcí. Uveďme nyní stručný přehled těchto funkcí včetně jejich vlastností.
KONSTANTNÍ FUNKCE Konstantní funkce je funkce f (x) = a, kde a je pevně zvolené číslo (a ∈ R). Grafem je rovnoběžka s osou x.
MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA Mocninná funkce s přirozeným exponentem n ∈ N je funkce f (x ) = x n , D ( f ) = R. Jejím grafem je tzv. parabola n-tého stupně (pro n = 2 je to známá
kuželosečka). Viz obr. 8.1. Pro n-sudé je xn sudá funkce, rostoucí na intervalu 〈0, + ∞) a klesající na intervalu (− ∞, 0〉. Obor funkčních hodnot je H ( f ) = 〈0, + ∞). Pro n-liché je xn lichá funkce, rostoucí na R a tedy také na celém svém definičním oboru prostá. H ( f ) = R. Mocninná funkce se záporným celým exponentem −n, n ∈ N, je funkce
f (x ) = x −n =
1 . xn
68
Definičním oborem této funkce je D ( f ) = R − {0}. Jejím grafem je tzv. hyperbola stupně
n+1
(pro
n=1
je
to
známá
kuželosečka rovnoosá
hyperbola),
viz obr. 8.2. Pro n-sudé je funkce x −n sudá, rostoucí na intervalu (− ∞, 0) a klesající na intervalu (0, + ∞). Oborem funkčních hodnot je zde H ( f ) = (0, + ∞). Pro n-liché je funkce x −n lichá, klesající na intervalu (− ∞, 0) i (0, + ∞) a tedy na celém svém definičním oboru také prostá. Obor funkčních hodnot je pak H ( f ) = R − {0}.
Obrázek 8.1 Graf funkce f (x ) = x n
Obrázek 8.2 Graf funkce f (x ) = x −n =
1 xn
69
Funkce n-tá odmocnina (n ∈ N, n ≥ 2) je definována jako f (x ) = n x .
Pro n-sudé je definičním oborem této funkce interval 〈0, + ∞), tedy D( f ) = 〈0, + ∞), funkce je rostoucí a obor funkčních hodnot je H( f ) = 〈0, + ∞)
(viz obr. 8.3). Tato funkce je inverzní k funkci y = xn uvažované na intervalu 〈0, + ∞). Pro n-liché je D( f ) = R, funkce je rostoucí, lichá a H( f ) = R (viz obr. 8.4). Funkce je inverzní k funkci y = xn uvažované na R.
Obrázek 8.3 Graf funkce f (x ) = n x (n-sudé)
Obrázek 8.4 Graf funkce f (x ) = n x (n-liché)
EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce tvaru f (x ) = a x ,
70
kde a je pevně zadané, a > 0, a ≠ 1, D ( f ) = R, H ( f ) = (0, ∞). Pro a < 1 je exponenciální funkce klesající, pro a > 1 rostoucí (viz obr. 8.5). Exponenciální funkce je tedy prostá. Je zdola omezená (ax > 0), ale není shora omezená. Grafem této funkce je tzv. exponenciála. Pro exponenciální funkci platí známé vztahy: •
a x +y = a x a y .
•
a x −y =
•
a xy = a x
ax . ay
( )
y
.
Obrázek 8.5 Grafy exponenciální a logaritmická funkce
LOGARITMICKÁ FUNKCE Logaritmická funkce je funkce inverzní k funkci exponenciální, značí se y = log a x ,
číslo a je základ logaritmu (a > 0, a ≠ 1). Z definice inverzní funkce vyplývá, že
D (log ) = (0, ∞), H (log ) = R. Grafy funkcí ax, log a x jsou tedy souměrné podle osy y = x (viz obr. 8.5). Logaritmická funkce o základu 10 (a = 10), se nazývá dekadická logaritmická
funkce, obvykle se značí log x. Speciálně pro a = e, kde e = 2,71828…(iracionální
71
číslo)1 se značí ln x namísto log e x a dostáváme tzv. přirozenou logaritmickou funkci, základ e se pak nazývá přirozený. Jestliže a < 1 je logaritmická funkce klesající, když a > 1 je rostoucí (obr. 8.5.). Není ani zdola omezená ani shora omezená. Grafem logaritmické funkce je tzv. logaritmická křivka. Pro logaritmickou funkci platí známé vztahy:
•
log a (xy ) = log a x + log a y .
•
x loga = log a x − log a y . y
•
loga x y = y loga x .
•
x = a log a x .
( protože
platí y = log a x ⇔ a y = x
•
x = e lnx .
( protože
platí y = ln x ⇔ e y = x
•
x y = e y ln x .
Užitím
posledního
vztahu
můžeme s (x )
v tzv. exponenciálním tvaru f (x ) = r (x )
)
)
vyjádřit
funkci
s (x )
f (x ) = r (x )
= e s ( x ) ln r (x ) ; což je důležité pro praktické
aplikace.
Příklad: f (x ) = x sin x = e sin x ln x .
GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Goniometrické funkce zavedeme stejným způsobem, jak se zavádějí na střední škole. U všech goniometrických funkcí vystupuje jako nezávisle proměnná velikost úhlu. Velikost úhlu může být zadána v míře stupňové nebo v míře obloukové2, přičemž platí převodní vztahy:
1o = 1 rad =
π 180
180o
π
rad ,
≅ 57o17′45′′ .
n
1 e je tzv. Eulerovo číslo, které se definuje jako limita takto: e = lim 1 + . n→∞ n 2 Jednotkou obloukové míry jsou radiány (rad). 1
72
Formálně
xo =
π 180
x rad =
x rad ,
180
π
xo .
Umístíme-li úhel ∠XOA tak, že X, A leží na jednotkové kružnici se středem O (obr.8.6), pak jeho velikost xo ve stupňové míře odpovídá velikosti x rad v obloukové míře, přičemž x rad je délka příslušného oblouku kružnice. Jeli úhel vyjádřen v obloukové míře, pak se „rad“ vynechává.
Poznámka: Je zřejmé proč převodní vztahy mají shora uvedený tvar. U jednotkové kružnice je totiž její obvod o
roven O = 2π . Délce kružnice 2π tedy odpovídá úhel 360 .
y X
x rad
o
x
x
−1
O
1 A
Obrázek 8.6 Velikost úhlu
Z obrázku 8.6 jsou patrné vztahy 30o = π / 6, 45o = π / 4. V dalším výkladu bude dána přednost míře obloukové. Sestrojme nyní jednotkovou kružnici se středem O (obr. 8.7). Od bodu
A = [1, 0] nanesme na kružnici oblouk délky |x|, a to proti směru otáčení hodinových ručiček, je-li x > 0 a ve směru otáčení hodinových ručiček, je-li x ≤ 0. Tím dostaneme bod X.
y
cotg x X
sin x O
cos x
tg x |x|, x > 0 x A = [1, 0]
Obrázek 8.7 Goniometrické funkce
73
Pak se definuje cos x (čte se kosinus x) jako x-ová souřadnice bodu X, sin x (čte se sinus x) jako y-ová souřadnice bodu X. Dále se definují funkce
tg x =
sin x , cos x
cotg x =
cos x , sin x
(čte se tangens x, kotangens x). Platí D (sin) = D (cos) = R, D (tg) = R − {x; x = π/2 + kπ, k ∈ Z}, D (cotg) = R − {x; x = kπ, k ∈ Z} a H (sin) = H (cos) = 〈 − 1, 1〉, H (tg) = H (cotg) = R. Funkce sin, cos, tg, cotg se souhrnně nazývají goniometrické. Vyjma význačných hodnot jsou hodnoty goniometrických funkcí iracionální čísla. Převážná většina kalkulaček obsahuje goniometrické funkce jako standardní, tj. hledaná hodnota je k dispozici po stisknutí příslušného tlačítka (pozor na nastavení správného režimu pro stupňovou a případně obloukovou míru). Grafy goniometrických funkcí jsou na obrázcích 8.8 8.10.
Obrázek 8.8 Grafy funkcí sin x a cos x
Obrázek 8.9 Graf funkce tg x
74
Obrázek 8.10 Graf funkce cotg x
Goniometrické funkce vykazují tyto základní vlastnosti: •
•
sin(− x ) = − sin x , tg (− x ) = − tg x , cotg (− x ) = − cotg x
liché funkce,
cos(− x ) = cos x
sudá funkce;
sin(x + 2kπ ) = sin x , cos(x + 2kπ ) = cos x
periodické funkce se základní periodou 2π
tg (x + kπ ) = tg x , cotg (x + kπ ) = cotg x
periodické funkce se základní periodou π;
pro k ∈ Z. •
sin x , cos x
omezené funkce
tg x , cotg x
neomezené funkce
Funkce cyklometrické jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jsou definované na vhodných intervalech, na kterých jsou funkce goniometrické prosté. Funkce
sin x je
rostoucí
na 〈 − π / 2, π / 2〉; pro
x ∈ 〈 − π / 2, π / 2〉
je
H (sin) = 〈 − 1, 1〉. Funkce k ní inverzní se nazývá arkussinus, značí se arcsin x; D (arcsin) = 〈 − 1, 1〉, H (arcsin) = 〈 − π / 2, π / 2〉 (obr. 8.11).
Příklad: sin
π 4
=
2 π 2 π ; arcsin = ; arcsin 1 = . 2 4 2 2
75
Obrázek 8.11 Grafy funkcí sin x a arcsin x
Obrázek 8.12 Grafy funkcí cos x a arccos x
Funkce cos x je klesající na 〈 0, π 〉; pro x ∈ 〈 0, π 〉 je H (cos) = 〈 − 1, 1〉. Funkce k ní inverzní se nazývá arkuskosinus, značí se arccos x; D(arccos) = 〈 − 1, 1〉, H (arccos) = 〈 0, π 〉 (obr. 8.12).
Příklad: arccos
3 π = ; arccos 1 = 0 . 2 6
Funkce tg x je rostoucí na ( − π / 2, π / 2); pro x ∈ ( − π / 2, π / 2) je H (tg) = R. Funkce k ní inverzní se nazývá arkustangens, značí se arctg x; D (arctg) = R, H (arctg) = ( − π / 2, π / 2) (obr. 8.13).
Příklad: arctg 3 =
π 3
; arctg 1 =
π 4
.
76
Funkce cotg x je klesající na ( 0, π ); pro x ∈ ( 0, π ) je H (cotg) = R. Funkce k ní inverzní
se
nazývá
arkuskotangens,
značí
se
arccotg x;
D (arccotg) = R,
H (arctg) = ( 0, π ) (obr. 8.14).
Příklad: arccotg 3 =
π 6
; arccotg 1 =
π 4
.
Obrázek 8.13 Grafy funkcí tg x a arctg x
Obrázek 8.14 Grafy funkcí cotg x a arccotg x
77
HYPERBOLICKÉ A HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE Na závěr našeho povídání o elementárních funkcích si ještě, pro informaci, uvedeme
definice
a
základní
vlastnosti
funkcí
hyperbolických
a hyperbolo-
metrických. Tyto funkce sice nejsou tak obvyklé, ale své uplatnění nacházejí v technické praxi. Jako
hyperbolické
funkce
označujeme
funkce
hyperbolický
sinus,
hyperbolický kosinus, hyperbolický tangens a hyperbolický kotangens. Konkrétně: Funkci f (x ) =
e x − e −x 2
nazýváme hyperbolický sinus a značíme f (x ) = sinh x. Definičním oborem i oborem hodnot
funkce
je
sinh (-x ) = - sinh x;
množina funkce
D (sinh) = H (sinh) = R ;
není
periodická;
je
funkce
rostoucí.
je
Její
lichá, graf
čili
vidíme
na obr. 8.15. Funkci f (x ) =
e x + e −x 2
nazýváme hyperbolický kosinus a značíme f (x ) = cosh x. Definičním oborem funkce je množina D (cosh) = R ; oborem hodnot funkce interval H (cosh) = 〈 1, ∞ ); funkce je sudá, čili cosh (-x ) = cosh x; funkce není periodická; je rostoucí na intervalu 〈 0, ∞ ) a klesající na intervalu ( − ∞, 0〉. Její graf vidíme na obr. 8.16. Funkci f (x ) =
sinh x e x − e − x = cosh x e x + e − x
nazýváme hyperbolický tangens a značíme f (x ) = tgh x. Definičním oborem funkce je množina D (tgh) = R ; oborem hodnot je interval H (tgh) = (-1, 1); funkce je lichá, čili tgh (-x ) = - tgh x; funkce není periodická; je rostoucí. Její graf vidíme na obr. 8.17. Funkci
f (x ) =
cosh x e x + e − x = sinh x e x − e − x
78
Obrázek 8.15 Graf funkce y = sinh x
Obrázek 8.16 Graf funkce y = cosh x
Obrázek 8.17 Graf funkce y = tgh x
nazýváme oborem
hyperbolický funkce
je
kotangens
množina
a
značíme
D (cotgh) = R − {0};
f (x ) = cotgh x. oborem
hodnot
Definičním intervaly
H (cotgh) = ( − ∞, -1) ∪ ( 1, ∞); funkce je lichá, čili cotgh (-x ) = -cotgh x; funkce není periodická; je klesající na intervalu ( − ∞, 0) a klesající na intervalu ( 0, ∞ ). Její graf vidíme na obr. 8.18.
79
Obrázek 8.18 Graf funkce y = cotgh x
Funkcemi hyperbolometrickými nazveme argument hyperbolického sinu, argument hyperbolického kosinu, argument hyperbolického tangens a argument hyperbolického
kotangens.
Definujeme
je
jako
funkce
inverzní
k funkcím
hyperbolickým (pozor na funkci hyperbolický kosinus – není prostá!). Mějme funkci f (x ) = sinh x. Funkce je na D ( f ) rostoucí, a tedy prostá, tudíž k ní na D ( f ) existuje funkce inverzní f hyperbolického sinu, zapisujeme f Definičním
oborem
i
-1(x
-1.
Tuto funkci nazveme argument
) = argsinh (x)
oborem
hodnot
této
funkce
je
množina
D (argsinh) = H (argsinh) = R ; funkce je lichá, čili argsinh (-x ) = - argsinh x; funkce není periodická; je rostoucí. Její graf vidíme na obr. 8.19. Mějme funkci f (x ) = cosh x. Na intervalu (0, ∞) ⊂ D ( f ) je funkce rostoucí, a tedy prostá, a proto k ní na tomto intervalu existuje funkce inverzní, kterou nazveme argument hyperbolického kosinu, zapisujeme f -1(x ) = argcosh x. Definičním oborem funkce je množina D (argcosh) = 〈 1, ∞) ; oborem hodnot funkce interval H (argcosh) = (0, ∞); funkce není ani lichá ani sudá; funkce není periodická; je rostoucí. Její graf vidíme na obr. 8.20.
Obrázek 8.19 Graf funkce y = argsinh x
80
Obrázek 8.20 Graf funkce y = argcosh x
Mějme funkci f (x ) = tgh x. Funkce je na D ( f ) rostoucí, tedy prostá, a tudíž k ní na D ( f ) existuje funkce inverzní f -1. Tuto funkci nazveme argument hyperbolického tangens, zapisujeme f -1(x) = argtgh x. Definičním oborem funkce je množina D (argtgh) = (-1, 1); oborem hodnot funkce je interval H (argtgh) = R funkce je lichá, čili argtgh (-x ) = - argtgh x; funkce není periodická; je rostoucí. Její graf vidíme na obr. 8.21.
Obrázek 8.21 Graf funkce y = argtgh x
Mějme funkci f (x ) = cotgh x. Funkce je na D ( f ) prostá, tudíž k ní na D ( f ) existuje funkce inverzní f -1. Tuto funkci nazveme argument hyperbolického kotangens, zapisujeme f -1 = argcotgh x. Definičním oborem funkce je množina D (argcotgh f ) = ( − ∞, -1) ∪ ( 1, ∞); oborem hodnot funkce je množina H (argcotgh) = R − {0}; funkce je lichá, čili platí argcotgh (-x ) = - argcotgh x; funkce není periodická; je klesající na intervalu ( − ∞, -1) a klesající na intervalu ( 1, ∞). Její graf vidíme na obr. 8.22.
81
Obrázek 8.22 Graf funkce y = argcotgh x
82
Cílové znalosti 1. Vlastnosti všech elementárních funkcí, jejich grafy.
83
