7. Základní formulace lineární PP

p07 – 1

7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně–napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, že všechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární. Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohy nelineární pružnosti. Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam pro řešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatně jednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená. Nutné podmínky pro lineárnost úlohy: – materiál těles je lineárně pružný, – malé deformační posuvy těles (v porovnání s jejich rozměry), – složky tenzoru přetvoření malé ( 1, obvykle nejvýše řádu 10−3 ), –

okrajové podmínky lineární

Příklad 623

.

V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsou nepodstatné.

OBSAH

další

p07 – 2

7.1. Hookův zákon Zavedli jsme pojem pružné deformace“ tělesa jako deformaci, která je vratná. To zna” mená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžování v tomto okamžiku – nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatost tělesa určena okamžitými parametry zatěžování. Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε má obecně tvar podle obrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významně řešení úloh PP.

U nejběžnějšího strojírenského materiálu – oceli – je však možné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnou přesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový model pružného materiálu – materiál lineárně pružný (hookovský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních (fyzikálních) relací. Tyto vztahy obecně popisují závislosti mezi složkami tenzoru napětí Tσ a tenzoru přetvoření Tε ve vyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování lineárně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost. V případě jednoosé napjatosti (realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je jedinou nenulovou složkou tenzoru napětí Tσ normálové napětí v podélném směru vzorku (osa x) σx

předchozí

OBSAH

další

p07 – 3 a závislost mezi tímto napětím a přetvořením v podélném směru je dána rovnicí σx = Eεx , kde E je konstanta úměrnosti nazývaná Youngův modul pružnosti nebo modul pružnosti v tahu (v tlaku má u drtivé většiny materiálů stejnou hodnotu). Protože při tahové nebo tlakové zkoušce dochází i ke změně příčných rozměrů vzorku (stav deformace není jednoosý, nýbrž trojosý), jsou nenulová i ostatní délková přetvoření a lze je určit ze vztahu εy = εz = −µεx , kde µ je tzv. součinitel příčné kontrakce neboli Poissonovo číslo. Protože u izotropního materiálu (jeho vlastnosti nejsou směrově závislé) nedochází při tahové zkoušce ke zkosům (γij = 0 pro všechna i, j), jsou těmito vztahy definovány všechny složky tenzoru přetvoření. K popisu lineárně elastického chování izotropního materiálu tedy postačují uvedené 2 materiálové konstanty, které obě lze určit z jediné zkoušky (tahem). Pro neizotropní materiál jsou elastické vlastnosti směrově závislé a pro popis konstitutivních vztahů nejobecnějšího anizotropního lineárně elastického materiálu je zapotřebí 21 elastických konstant. Výše uvedené jednoduché vztahy však nestačí ani pro popis lineárně elastického chování izotropního materiálu, protože jejich platnost je omezena na případ jednoosé napjatosti. Pro víceosou napjatost jsou délková přetvoření funkcí všech normálových napětí a obráceně. Tyto vztahy popisuje obecný Hookův zákon, z nějž lze odvodit i další zjednodušený tvar Hookova zákona platný pro smykovou napjatost (v rovině): τ = Gγ. předchozí

OBSAH

další

p07 – 4 V něm konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Běžně se u izotropních materiálů neměří, protože z rovnic obecného Hookova zákona vyplývá vztah pro jeho výpočet ve tvaru E . G= 2(1 + µ) 7.1.1. Obecný Hookův zákon Obecný Hookův zákon popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí (přetvoření) na všech složkách tenzoru přetvoření (napětí). U izotropního materiálu lze tuto závislost vyjádřit pomocí dvou elastických konstant E a µ. Lze jej zapsat maticově ve tvaru σ =D·ε

nebo

ε = D−1 · σ,

kde σ je sloupcová matice tvořená šesti složkami Tσ , ε je taktéž sloupcová matice tvořená šesti složkami Tε a D je čtvercová matice elastických modulů (D−1 matice inverzní), z jejichž 36 prvků je díky symetrii pouze 21 nezávislých (pro anizotropní materiál). Počet vzájemně nezávislých složek je dán vnitřní symetrií materiálu. Nejvyšší symetrii (tj. všechny mechanické vlastnosti nezávislé na směru v prostoru) má materiál označovaný jako izotropní. Pro něj lze všechny prvky matice elastických modulů vyjádřit pomocí 2 nezávislých elastických konstant E a µ.

předchozí

OBSAH

další

p07 – 5 Pak lze maticovou rovnici rozepsat do šesti algebraických rovnic nazývaných zobecněný Hookův zákon [2]: 1 [σ − µ(σ + σ )] εx = E x y z 1 [σ − µ(σ + σ )] εy = E y x z 1 [σ − µ(σ + σ )] εz = E z x y

τxy 2(1 + µ) τ xy = E G τyz 2(1 + µ) γyz = τyz = G E 2(1 + µ) zx γzx = τzx = τG E γxy =

Explicitním vyjádřením složek napětí lze dostat inverzní tvar Hookova zákona: σx = σy = σz = τyz = τxz = τxy =

Eµ E ε + (ε + εy + εz ) = 2Gεx + λ (εx + εy + εz ) (1 + µ) x (1 + µ)(1 − 2µ) x Eµ E ε + (ε + εy + εz ) = 2Gεy + λ (εx + εy + εz ) (1 + µ) y (1 + µ)(1 − 2µ) x Eµ E ε + (ε + εy + εz ) = 2Gεz + λ (εx + εy + εz ) z (1 + µ) (1 + µ)(1 − 2µ) x E γ = Gγyz 2(1 + µ) yz E γ = Gγxz 2(1 + µ) xz E γ = Gγxy 2(1 + µ) xy

kde λ bývá nazýváno Lamého konstanta. předchozí

OBSAH

další

p07 – 6

7.2. Práce síly při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci. Obecně můžeme tuto práci vyjádřit vztahem AF =

Z

F~ d~uA =

u

Z

F duF ,

uF

kde vektor d~uA představuje elementární posuv působiště síly a duF je průmět tohoto vektoru do směru síly. Hodnotu integrálu (a tedy práci) lze vypočítat pouze za předpokladu, že známe závislost velikosti síly na poloze. Předpokládejme, že na lineárně pružné těleso působí jediná osamělá síla F~ v bodě A. Vlivem jejího působení se těleso deformuje, zatěžující vnější síla je v rovnováze s vnitřním působením v tělese a musí se tedy také lineárně měnit se změnou polohy F (uF ) = c · uF v celém intervalu okamžitých hodnot uF ∈ h0; uFK i, roste tedy z hodnoty 0 na konečnou hodnotu FK = c · uFK . Během tohoto děje pak tato proměnná síla vykoná práci u FK

AF =

Z 0

předchozí

u FK

F duF =

Z 0

cuF duF =

cu2FK F2 1 = K = FK uFK . 2 2c 2

OBSAH

další

p07 – 7 Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (uF ) a při lineární závislosti síly a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka.

Budou-li na uvedené těleso působit i další síly, může se poloha síly F~ změnit i jejich vlivem. Můžeme také určit práci, kterou síla F~ vykoná vlivem změn jiných sil (a sama se přitom nemění). Tato práce konstantní síly při posunutí uF jejího působiště podél nositelky z bodu 0 do uFK je u FK

AF =

Z

FK duF = FK uFK .

0

Grafická interpretace tohoto integrálu je obdélník a výsledek skutečně odpovídá jeho obsahu.

předchozí

OBSAH

další

p07 – 8

7.3. Obecné věty lineární pružnosti V lineární pružnosti platí několik vět zásadní důležitosti, z nichž si uvedeme tyto: 7.3.1. Věta o superpozici Příklad: na prut působí 2 osamělé síly F~1 a F~2 . Prodloužení prutu je rovno součtu prodloužení způsobených jednotlivými silami (∆l = ∆l1 + ∆l2 ). Pozor! Věta platí pouze pro lineární část diagramu (lineární pružnost), např. pro šedou litinu superpozice neplatí, protože tahový diagram je od počátku nelineární. Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.

předchozí

OBSAH

další

p07 – 9 7.3.2. Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta) o

n

n

o

Uvažujme nosník zatížený soustavou dvou osamělých sil danou množinou sil F~1 ∪ F~2 . V průběhu zatěžování se nosník deformuje, působiště sil se posouvají. Označme posuv působiště síly F~i po její nositelce způsobený silou F~j symbolem uij . Analogický význam mají indexy u práce. Uvažujme 2 historie zatěžování: 1. Nejprve zatížíme silou F~1 a pak připojíme sílu F~2 n o

n

n o

n

o

n

o

n

~0 → F~1 → F~1 ∪ F~2

o

.

o

Při zatěžování ~0 → F~1 vykoná síla F~1 deformační práci A11 1 danou vztahem A11 = F1 u11 . 2 n

o

n

o

n

o

Analogicky při zatěžování F~1 → F~1 ∪ F~2 vykoná síla F~2 1 práci A22 = F2 u22 , 2 a současně, protože síla F~2 vyvolá posuvy všech bodů prutu (s výjimkou nepohyblivě vázaných), vykoná síla F~1 práci A12 =

u11R+u12 u11

F1 du12 = F1 u12 a celková práce je 1 1 A1 = A11 + A22 + A12 = F1 u11 + F2 u22 + F1 u12 . 2 2

předchozí

OBSAH

další

p07 – 10 ~ ~ 2. n Uvažujme o n nyní o opačný n o postup. n o Nejprve zatížíme silou F2 a pak připojíme sílu F1 ~0 → F~2 → F~2 ∪ F~1 . Obdobným způsobem dostaneme práci: 1 1 A2 = A22 + A11 + A21 = F2 u22 + F1 u11 + F2 u21 . 2 2 Protože při zatěžování tělesa v pružném stavu nezávisí napjatost ani deformace na historii zatěžování, nezávisí na historii zatěžování ani deformační práce (silová soustava je konzervativní, tedy zachovávající energii). Proto musí platit A1 = A2 . Po dosazení dostaneme 1 1 1 1 F1 u11 + F2 u22 + F1 u12 = F2 u22 + F1 u11 + F2 u21 2 2 2 2 a po úpravě F1 u12 = F2 u21 . Tato rovnost vyjadřuje nejjednodušší podobu Bettiho věty. Slovně ji lze vyjádřit takto: Bettiho věta: Při působení F~1 a F~2 na lineárně pružné těleso platí: Práce síly F~1 na složkách deformace vyvolaných silou F~2 je rovna práci síly F~2 na složkách deformace vyvolaných silou F~1 . předchozí

OBSAH

další

p07 – 11 Větu je samozřejmě možné zobecnit i na silové soustavy. Pro nás je však podstatnější její zjednodušení zavedením jednotkových sil. Jsou-li obě síly jednotkové (F1 = F2 = 1), lze je v rovnici vykrátit. Příslušné posuvy pak nazýváme příčinkové součinitele a platí pro ně η12 = η21 . V souladu se zavedeným značením posuvů pak např. součinitel η12 znamená posuv působiště síly F~1 od jednotkové síly F~2 . Tyto příčinkové součinitele jsou již pro dané těleso a jeho zvolené body charakteristickými konstantami. Lze z nich snadno určit posuv pů~ sobiště síly při n zatížení o tělesa silovou soustavou. Např. posuv působiště F1 při zatížení soustavou sil F~1 ; F~2 je dán vztahem u1 = F1 η11 + F2 η12 . 7.3.3. Deformační práce soustavy osamělých sil Na lineárně pružné těleso působí soustava osamělých sil Π = {F~1 , F~2 }. Protože deformační práce nezávisí na zatěžovací historii, zvolíme zatěžování tak, že nejprve necháme působit sílu F~1 , pak přidáme sílu F~2 , atd. Pak deformační práce: {~0} → {F~1 } ⇒ A1 = 12 F1 u11 . {~0} → {F~1 } → {F~1 } ∪ {F~2 } ⇒ A2 = A1 + 21 F2 u22 + F1 u12 = = 21 F1 (u11 + u12 ) + 12 F2 u22 + 12 F1 u12 . Využitím Bettiho věty dostaneme

předchozí

OBSAH

další

p07 – 12

F1 u12 = F2 u21

⇒

1 1 A2 = F1 (u11 + u12 ) + F2 (u21 + u22 ) 2 2

Protože platí ui = ui1 + ui2 , dostáváme pro práci celé soustavy 2 2 2 1 X 1X 1 X u1i + F2 u2i + · · · = A = F1 Fi ui , 2 i=1 2 i=1 2 i=1

kde ui je celkový posuv působiště síly F~i ve směru její nositelky vlivem všech působících sil. Sumu lze samozřejmě zobecnit na libovolný počet sil. Působí-li na lineárně pružné těleso soustava osamělých sil Π = {F~1 , F~2 , · · · F~n } a označíme-li posuvy jejich působišť A1 , A2 , · · · An ve směru nositelek u1 , u2 , · · · un , pak platí n 1 1 1 1X A = F1 u1 + F2 u2 + · · · + Fn un = Fi ui . 2 2 2 2 i=1

předchozí

OBSAH

další

p07 – 13 Deformační práce při působení silové dvojice Na lineárně pružné těleso působí silová dvojice určená momen~ jehož velikost je M = 2rF . Posuvy působišť sil silové tem M, dvojice můžeme vyjádřit ve tvaru u = r tg ϕ a pro malý úhel . (což je předpoklad lineární pružnosti a pevnosti) ( tg ϕ = ϕ) platí u = rϕ. Práce silové dvojice je: 1 1 1 1 1 1 A = F1 u1 + F2 u2 = F rϕ − F (−rϕ) = F 2rϕ = Mϕ 2 2 2 2 2 2 a) Natočení tělesa ϕ v bodě A je určeno změnami směrových úhlů přímky pevně spojené s tělesem v bodě A. b) Deformační práce osamělé silové dvojice je: A = 12 Mϕ, kde úhel ϕ udává natočení v rovině silové dvojice mezi výchozím a deformovaným stavem. 7.3.4. Věta Castiglianova Castiglianovu větu zde odvodíme zjednodušeně pro prutové těleso. Pro zájemce je k dispozici i navazující obecné odvození Castiglianovy věty. Mějme prut zatížený dvěma silami podle kap. 7.3.2. Deformační práce A vykonaná při jeho zatěžování (pro prut z elastického materiálu je rovna vratné energii napjatosti W ) je lineární funkcí zátěžných sil, která byla odvozena ve tvaru 1 1 A = W = F1 u1 + F2 u2 . 2 2 předchozí

OBSAH

další

p07 – 14 Oba posuvy působišť sil u1 a u2 jsou rovněž lineárními funkcemi obou zátěžných sil. Tyto posuvy lze vyjádřit pomocí příčinkových součinitelů η ve tvaru u1 = F1 η11 + F2 η12

u2 = F2 η22 + F1 η21

Význam příčinkových součinitelů byl vysvětlen v kap. 7.3.2. Bettiho věta. Po dosazení do uvedené rovnice pro výpočet deformační práce dostaneme pro energii napjatosti vztah W =

 1 2 F1 η11 + F1 F2 η12 + F22 η22 + F1 F2 η21 , 2

který lze již snadno derivovat podle kterékoli síly (příčinkové součinitele ηij jsou pro dané těleso a dané body konstanty). Např. derivací podle F1 dostaneme: 1 ∂W = (2F1 η11 + F2 η12 + F2 η21 ) . ∂F1 2 ∂F1 = 0 = ∂F2 . ) Přitom vycházíme ze vzájemné nezávislosti sil (tzn. ∂F ∂F1 2 Protože pro příčinkové součinitele platí nezávislost na pořadí indexů (η12 = η21 jako důsledek Bettiho věty), lze vztah upravit do tvaru ∂W 1 = (2F1 η11 + 2F2 η12 ) = u1 . ∂F1 2 Zobecněním pro J-tou sílu soustavy osamělých sil dostáváme 1. část Castiglianovy věty: uJ = předchozí

∂W . ∂FJ

OBSAH

další

p07 – 15 Působí-li na prut navíc silová dvojice MJ , vykoná při zatěžování tělesa práci 1 A = W = MJ ϕJ , 2 kde ϕJ je úhel natočení přímky spojené s tělesem v působišti momentuMJ . Pak za podmínek vzájemné nezávislosti vnějších momentů a sil lze dojít stejným postupem k analogickému vztahu pro 2. část Castiglianovy věty: ϕJ =

∂W . ∂MJ

Slovně lze pak obě části vyjádřit následovně: Posuv působiště síly F~J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly. ~ J v rovině jejího působení je dán parÚhel natočení v místě působení silové dvojice M ciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této silové dvojice.

Příklad 422

Castiglianova věta je nejdůležitější větou lineární pružnosti z hlediska praktického použití, protože umožňuje počítat deformační charakteristiky jakéhokoli lineárně pružného tělesa, pokud umíme matematicky formulovat vztah pro jeho energii napjatosti. Celou soustavu těles musíme do energie napjatosti zahrnout tehdy, jestliže deformace okolních těles (resp. základního tělesa) nejsou zanedbatelné v porovnání s deformacemi vyšetřovaného tělesa.

předchozí

OBSAH

další

p07 – 16 Poznámka: Záporné znaménko posuvu (úhlu natočení) znamená, že tento posuv (toto natočení) nastává proti smyslu působení příslušné síly (silové dvojice). Castiglianova věta je proto nezávislá na znaménkových konvencích, protože kladná práce znamená vždy posuv ve smyslu působící síly. Obecné odvození Castiglianovy věty Uvažujme izotropní těleso, na které působí obecná silová soustava Π (jednu sílu z této silové soustavy s působištěm v bodě J označíme F~J ). Tato silová soustava vykonala deformační práci A. Je-li těleso v lineárně pružném stavu, nezávisí deformační práce na historii zatěžon P vání: A = Ai , kde Ai je práce vykonaná i-tým prvkem silové soui=1

stavy. Vykonaná práce se projeví zvýšením energie napjatosti (viz 7.3.3) n n P P 1F u . ∆W = Ai = i i i=1 i=1 2 Zderivujeme energii napjatosti (parciálně) podle velikosti síly F~J : ∂W ∂A1 ∂A2 ∂AJ ∂An = + + ··· + + ··· + . ∂FJ ∂FJ ∂FJ ∂FJ ∂FJ Každý člen tohoto součtu se dá s ohledem na jeho definici zapsat ∂Ai 1 ∂ui 1 ∂Fi = Fi + ui ∂FJ 2 ∂FJ 2 ∂FJ předchozí

OBSAH

další

p07 – 17 ∂Fi a protože z definice práce plyne Fi = ∂W ∂ui a dále ∂FJ je jen 1 nebo 0, tak n n n X ∂ui ∂W ∂Ai 1X 1 1X ∂W ∂ui 1 Fi = = + uJ = + uJ . ∂FJ 2 i=1 ∂FJ 2 2 i=1 ∂ui ∂FJ 2 i=1 ∂FJ

Suma v posledním výrazu představuje zápis parciální derivace složené funkce, dá se tedy rovnice napsat ve tvaru 1 ∂W 1 ∂W = + uJ ∂FJ 2 ∂FJ 2

=⇒

∂W = uJ . ∂FJ

~ dostaneme druhou část Když budeme místo osamělé síly F~ uvažovat silovou dvojici M, Castiglianovy věty. Jiným postupem jsme dospěli k téže matematické formulaci Castiglianovy věty, kterou lze rozšířeně vyslovit takto: Castiglianova věta: Působí-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv uJ působiště síly F~J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (sou∂W . stavy) podle této síly uJ = ∂F J ~ J v rovině jejího půÚhel natočení ϕJ přímky spojené s působištěm silové dvojice M sobení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této ∂W . dvojice ϕJ = ∂M

Příklad 422

J

předchozí

OBSAH

následující kapitola