7. VÉKONY FORGÁSHÉJAK MEMBRÁN ELMÉLETE

7. VÉKONY FORGÁSHÉJAK MEMBRÁN ELMÉLETE 7.1. Alapfogalmak, egyenletek Héj: olyan test, amelynek egyik mérete (a vastagsága) lényegesen kisebb, mint a másik kettő, értelmezhető a középfelület és ez nem sík. Középfelület: a b vastagsági méret felezési pontjai által alkotott felület. Gyakorlati példa héjra: csővezetékek, tartályok, nyomástartó edények, stb. Közös jellemző: a tárolt, szállított közeg (folyadék, gáz) a héj felületére merőleges felületi terhelést hoz létre. Forgásszimmetrikus héj: - a héj középfelülete forgásfelület (a középfelület egy görbének, az ún. meridiángörbének egy adott tengely körüli forgatásával állítható elő), - a héj terhelése is forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus. Következmény: a mechanikai mennyiségek nem függnek a tengely körüli  forgatási szögtől. Meridiánsík: a forgástengelyre illeszkedő sík. Meridián metszet / meridiángörbe: a középfelület és a forgástengelyre illeszkedő sík metszetgörbéje. s – a meridiángörbén mért ívkoordináta, s P0 - a középfelület pontja, n es - a meridiángörbe érintő irányú egységvektora, ez n  ez - a meridiángörbe normális egységvektora, R R es , e , ez - a meridiángörbéhez kötött derékszögű koordiná-taes P 0 rendszer egységvektorai,  ez es - a meridiánsík, O R R - a meridiángörbe görbületi sugara, Os e ez - a normál sík, R - a normál metszet görbéjének görbületi sugara.

Membrán feszültségi állapot: - A feszültségek a héj b vastagsága mentén nem változnak  a mechanikai mennyiségek csak az s ívkoordinátátóltól függnek. - A belső erők (feszültségek) héj vastagsága mentén vett eredő ereje (élerő) az érintősíkba esik. - A belső erők (feszültségek) héj vastagsága mentén vett eredő nyomatéka (élnyomaték) zérus.  s  állandó,    s  s 0      állandó,  a vastagság mentén. A feszültségi tenzor:  F    F  s      s   0 .  s z s z  0  s  állandó. 0 0 

 z  sz   z  0. Vastagság mentén vett feszültségi eredők (élerők): Élerő: - a héj vastagsága mentén vett feszültségi eredő, - vonal mentén megoszló belső erő  N mm . A zérustól különböző élerők membrán állapot esetén: N s  b s , N  b  , Ns  N s  b s  b s .

ez es Ns

N s

P0

e N s

N

b – a héj vastagsági mérete. 212

Igénybevétel: Rudak: a keresztmetszetre számított eredők. (Elnevezés: igénybevételek – erők, nyomatékok). Héjak: a héj vastagságára számított eredők. (Elnevezés: élerők, élnyomatékok). Egyensúlyi egyenlet (forgásszimmetrikus héj, membrán állapot):

N s N   pz . Rs R

Ebben az esetben a három egyensúlyi egyenletből csak ez és a forgástengely irányú egyensúlyi egyenlet marad meg: Fa  0  2R Na  R 2 pa , ahol az a index a forgástengely irányára utal. A forgásszimmetrikus héj membrán feszültségi állapota egyensúlyi egyenletekből határozható meg.

7.2. Példák héjak membrán feszültségi állapotának meghatározására 7.2.1. feladat: A leggyakrabban előforduló héjak geometriai jellemzői a)

R   ,

Kúpos héj ez

R 

r e

r . sin 

 O

b)

Körhenger héj

Gömbhéj

R  R ,

 O

ez

c)

R   ,

R0

e

   .

ez

R  R , R0

R  R .

O

e



O

d)

Körgyűrű héj

R  R ,

r0

ez

R  R  e R0

O



r . sin 

O

213

7.2.2. feladat: Körhenger héj – hengeres tartály Adott: R0 , b , p . Feltételezés: A körhenger héj középső szakaszán, a végektől kb. R0 távolságra, membrán állapot alakul ki. Feladat: A héjban fellépő, Mohr szerint számított legnagyobb redukált feszültség meghatározása.

b

R0

p  R0

 R0

Kidolgozás: A héjat a forgástengelyre merőleges síkkal átmetsszük:

Ns

A forgástengely irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

p

2 R0  N s  R02  p  0 ,

Ns 

Ns

R0 p  állandó . 2

N s N   pz Rs R

Egyensúlyi egyenlet:

0

Az egyenletben: Rs   , R  R0 , pz  p , ezért N  p R0  állandó. N R0 N s R0  p  állandó .  p  állandó,    b b b 2b A   -re vonatkozó összefüggést szokás kazán formulának is hívni.

Feszültségek:

s 

 s 0 A feszültségi tenzor:  F    0   s z  0 0

0 0  állandó . 0 

A Mohr szerint számított redukált feszültség:  red ( Mohr )   1   3    

R0 p  állandó . b

7.2.3. feladat: Gömbhéj – gömbtartály s

Adott: R0 , b , p .

b

Feltételezés: A gömbhéjban membrán állapot alakul ki.

R0 Ns

 2



Ns

p

 



2



Feladat: A héjban fellépő, Mohr szerint számított legnagyobb redukált feszültség meghatározása.

R Kidolgozás: A függőleges (forgás) tengely irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: 2 R  N s sin  R2  p  0 ,

Ns 



2 Ns sin  R p  0 ,



2 Ns

R  R p 0 , R0

R0 p  állandó . 2

214

N s N   pz . Rs R

Egyensúlyi egyenlet:

Az egyenletben: Rs  R  R0 , pz  p , ezért Gömbi (pont) szimmetria: N s  N  Feszültségek:  s    

R p N s N   p  N  R0 p  N s  0  állandó . 2 R0 R0

R0 p  állandó . 2

R0 p  állandó. 2b

 s 0 A feszültségi tenzor:  F    0   s z  0 0

0 0  állandó . 0 

A Mohr szerint számított redukált feszültség:  red ( Mohr )   1   3   s   

R0 p  állandó . 2b

7.2.4. feladat: Körgyűrű (tórusz) héj Adott: R0 , b , p , l .

R

Feltételezés: A körgyűrű héjban membrán állapot alakul ki. Feladat: A héjban fellépő élerők meghatározása.

ez R0

P

es

p

Görbületi sugarak: Rs  R0 , R  R0 

l . sin

A P pont forgástengelytől mért sugara:

l

R  l  R0 sin .

 Kidolgozás:

Elmetszés: - a P ponton átmenő, a tórusz forgástengelyére merőleges síkra, - egy R  l sugarú hengerrel. Az R  l sugarú hengerfelületen:

N s0 Ns

- N s0 önmagában is egyensúlyi erőrendszer,

p



- p önmagában is egyensúlyi erőrendszer.

p

l

 Forgástengely irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: Átalakítás:





2R N s sin  R 2  l 2  p  0.

R  l  R0 sin ,





Behelyettesítve az egyensúlyi egyenletbe: 2  l  R0  N s sin  l 2  2lR0 sin  R02 sin2   l 2 p  0 ,

215

2  l  R0  Ns sin   2l  R0 sin  R0 sin p  0. R0 p 2l  R0 sin . 2 l  R0 sin

Ns 

N s N   pz . Rs R

Egyensúlyi egyenlet: Behelyettesítve:

l   R0    R0 pz 2l  R0 sin  l  sin   N  R pz  N s   R0  p    Rs  sin  2 l  R0 sin R0 R

 2l  2R0 sin  2l  R0 sin  l  1 2l  R0 sin  p    R0   R0 sin  l    . p 1  sin   2 l  R0 sin  sin 2  l  R0 sin    

N 

p R0  állandó. 2

7.2.5. feladat: Kúp alakú héj

es

Adott: H , x0 ,  ,  .

es

ez Feltételezés: A kúpos héjban membrán állapot alakul ki. A megtámasztás (felfüggesztés) olyan, hogy f  f es .

ez

f

f

 H



Feladat: A héjban kialakuló felületi feszültségi állapot meghatározása. Kidolgozás:



x

Geometria:  

x0



2

  . x  s cos   s sin .

Görbületi sugarak: Rs   , R 

s

O

s tg  s tg  x , tg cos

R  s cos  x tg .

A folyadéknyomás: p  pz    x0  x    g  x0  x  . A feszültségállapot meghatározása: A 0  x  x0 szakaszon:

Ns

R

p

Ns



Gk

R 2  x   (tg 2 ) x 3 . 3 3 Tengelyirányú vetületi egyenlet:

A folyadék súlya: Gk  

x

x0 x

2 R  N s sin  R2 p  Gk  0 ,

Ns 

 tg  3 x0 x  2x2  . 6 cos

Egyensúlyi egyenlet:

O

N s N   pz . Rs R

=0 tg tg N  R pz  x  (x0 - x)   (xx0  x 2 ) . cos cos

216

Az x0  x  H szakaszon:

x

Ns

A teljes folyadék súlya: G  

Ns



3 Tengelyirányú vetületi egyenlet:

tg 2  x 3 .

2  H tg    N s sin  G  0 ,



Ns 

x

G

x0

 tg  2 1 x0 . 6 cos  x

Egyensúlyi egyenlet: N  R pz  0. =0

O 7.2.6. feladat: Folyadékkal töltött hengeres tartály

x

Adott: az ábrán látható, függőleges tengelyű, folyadékkal töltött hengeres tartály Feladat: Feltételezve, hogy a hengeres héjban membrán állapot alakul ki, meghatározni a felületi feszültségi állapotot és az alakváltozási állapotot az alábbi két esetben:



x0

a) Ha   x  x és pz    x  x  .

H

b) Ha x  x  H és pz   .

b R0 Kidolgozás:

R  R .

R   ,

Henger geometria: s  x ,

a) Ha   x  x és pz    x  x  :



Nx

Nx

p



A tartályrészben levő víz súlya: G  R2 x  .

x

A tartályrész fölötti víz nyomása: p( x)    x  x  . Tengely irányú vetületi egyenlet:

G

x

2R N x  R2  x  x   R2 x   ,

Nx 

Egyensúlyi egyenlet:

R  x  x  x 

N N   pz R R

2





R   x   x  . 2 N  R p  R  x  x  .

Alakváltozási jellemzők meghatározása:

 x 

R  1 1 1  R N x  N    x   x   R  x  x      x   x   2  x  x  ,   Eb Eb  2   2 Eb 

  

R R  2 1 1  R N  N x    x  x      x   x      x  x    x   x  .   Eb Eb  2 2   2 Eb 

A sugár irányú elmozdulás-koordináta meghatározása:

217

w  r   r

 1 R    R    R2    x   x    .   pz    N     x  x    R 2 bE    R R   bE 

b) Ha x  x  H és pz   :

x

Nx

Vetületi egyenlet: 2R N x  R2 x   .

Nx

R x   állandó , N  pz R   . 2  N Rx R x  1  N x    ,        . Eb 2 Eb Eb 2 Eb

Nx 

G

x0

 x

x

w  r   

 R2 x 2 Eb

 .

7.2.7. feladat: Folyadékkal töltött gömbtartály Adott: az ábrán vázolt félgömb alakú héj középfelületének meridián görbéje. A meridián görbe R sugarú körív. A héj  fajsúlyú folyadékot tárol. E  2 15 N/mm2 , R   3 mm ,    ,

b  22,5 mm ,   5 1 N/mm3 .

R0 B

Feladat: Feltételezve, hogy a gömbhéjban membrán állapot alakul ki, meghatározni a középfelület B pontjában a) a felületi feszültségi állapot koordinátáit, b) az    fajlagos nyúlást és a radiális irányú w elmoz-

2 R0 R0 / 2 3

dulást. Kidolgozás: a) A felületi feszültségi állapot meghatározása a B pontban: A gömbszelet térfogata: h  3r 2  h 2  . Vsz    6 N Na Na p  N R /2 1  cos  0  B R R0 2

h

Gsz

  6 .

2

r

ea A megoszló terhelés sűrűsége:

R 1  4 0, 2 2 p  pz    R  R      5  1   N/mm2 . 3 2 6 6 6  

Tengelyirányú vetületi egyenlet: 2r N a  r 2 p   Vsz   , 2r N a  r 2 p  

h r 2  h2  3  2  6  r 



Na 

rp rh  h2    3  2  . 2 12  r 

218

Na  B  

N  B  

 3 3 4h 2  8 3 R p   R h  3   12 N/mm ,  4 24 3R  9 

N a ( B ) 16   177,78 N/mm . cos  9

Egyensúlyi egyenlet:

N N   pz , R R

N  R pz  N  4 

1 16 120  1600    N/mm . 30 9 9

b) Az    fajlagos nyúlás és a radiális irányú w elmozdulás meghatározása:

  

1 1 N  N           1 .  5 Eb 2 1  22,5

w  r   4





3  1  ,0098 mm . 2

7.2.8. feladat: Belső nyomással terhelt körhenger héj alakváltozása membrán állapotban u0 P0 w0

P0 x

p

R0

x

Adott: A p belső nyomás, a középfelület R0 sugara, a héj b vastagsága és anyaga ( E , ). A héj membránállapotban levő (záró fedelektől távol eső) részét vizsgáljuk! Feladat: a) A felületi feszültségi állapot meghatározása. b) A fajlagos alakváltozási jellemzők meghatározása. c) Az elmozdulás-koordináták meghatározása.

Kidolgozás: a) A felületi feszültségi állapot meghatározása: pR N x  0  állandó , N  pR0  állandó . 2 b) Fajlagos alakváltozási jellemzők meghatározása: 1 1  pR0  1  2 R0 p N x  N    pR0   .   Eb Eb  2 2 b E  pR0 1 1   2  R0 p   N x       pR0   .   Eb Eb  2 2 b E 

 x 

 

c) Az elmozdulás-koordináták meghatározása: 2  R02 p  állandó . 2 b E x 1  2 R0 p    x 0 d   x 0  x  x. 2 b E  0

w0  R0  

u0  u0

x 0

0 w0  állandó  a körhenger héj membrán állapotban egyenletesen tágul.

219

7.2.9. feladat: Belső nyomással terhelt gömbhéj alakváltozása membrán állapotban

s dr  ds

Az ábrából:

r



R0

dr  cos . ds

Adott: A p belső nyomás, a középfelület R0 sugara, a héj b vastagsága és anyaga ( E , ). Feltételezzük, hogy a héj membránállapotban van. Feladat: a) A felületi feszültségi állapot meghatározása. b) A fajlagos alakváltozási jellemzők meghatározása. c) Az elmozdulás-koordináták meghatározása.

Kidolgozás: a) A felületi feszültségi állapot meghatározása (egyensúlyi egyenletekből): pR N  N  0  állandó . 2 b) A fajlagos alakváltozási jellemzők meghatározása: R p  1  R0 p 1 1 1  R0 p .  0      N  N  ,     N    ,           Eb  2 2  2 b E Eb Eb c) Az elmozdulás-koordináták meghatározása: 1  R0 p 1  R02 p sin  .  R0 sin    2 b E 2 b E du0   d   0  ctg r 0    0  ctg cos  0 .  ds sin  ds sin 

w0    r 

Átalakítás:

dr  cos . ds

du0 1 cos 2  1  cos 2    0   0   0   0 sin  , ds sin  sin  sin 

Integrálás az ds  R0 d összefüggés figyelembevételével: Peremfeltétel: a  



helyen u0  0 2 1  R02 p u0   R0 0 cos   cos . 2 b E ez

C 0.

Transzformáció:

P0

u0 0 r er w0 P0 



u0   0  sin  d   0 cos  C . R0

R0

0  u0 sin   w0 cos ,

 0  u0 cos  w0 sin  .

ea

Elmozdulás-koordináták a transzformáció után:

0  0 ,  0 

1  R02 p  állandó . 2 b E

A gömbhéj membrán állapotban egyenletesen tágul. 220

8. LEMEZFELADATOK 8.1.Alapfogalmak Lemez: Olyan test, amelynek egyik mérete lényegesen kisebb, mint a másik kettő. Értelmezhető a középsík és a terhelés a középsíkra merőleges. A középfelület pontjainak elmozdulása: p ( x, y )

x

O

u  u ex  v ey  w0ez , 0 0

w0



z

u  w0 ez ,

w0  w0  x, y  ,

x

O

w0  w0  R,  .

A terhelés merőleges a középsíkra: p  p( x, y)ez , q  qz ( x, y)ez

y 8.2. A Kirchhoff-féle lemezelmélet 1

A Kirchhoff -féle hipotézis: A középfelület normálisai az alakváltozott középfelület normálisai maradnak és a normálisokon lévő pontok távolsága nem változik. Kiegészítő feltételezés:  z

 x , y   z  0. P0 - a lemez középsíkon lévő pontja,

y

P - a lemez egy tetszőleges pontja.

x

P0

A P0 pont elmozdulása: u0  v0  0 , w0  w0  x, y  . A P pont elmozdulása: w w u    y z   0 z , v   x z   0 z , x y

w0

w  w0  x, y  .

z A szögelfordulások előjelének értelmezése:

P0

y  0 x  0

y

x

z A Kirchhoff-féle hipotézis következménye:  xz   yz  0 ,  z  0 . Az alakváltozási állapot:

x 

1

2 w u  y  z   20 z , x x x

y 

2 w v  x  z   20 z , y y y

 xy 

 2 w0 u v   2 z. y x xy

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) német matematikai fizikus

221

 2 w0  2 w0 ,    , y x 2 y 2 A lemez alakváltozását a középsík görbületei határozzák meg.

Görbületek a DDKR-ben:

x  

Görbületek a HKR-ben:

R  

 xy 

 2 w0 . xy

 1 w0 1  2 w0   2 , 2   R R R  

 2 w0 , R 2

   

Alakváltozási jellemzők:

 1 w0  .  R  

 R  

DDKR

HKR

 x  x z ,

 R  R z ,

 y  y z ,

   z ,

 xy  2  xy z ,

 R  2 R z .

Az általános Hooke törvény: 1 1 1 1   x  y ,  y   y z   y  y ,  xy  2 xy z   xy  2  xy . E E G E Az egyenleteket átrendezve és bevezetve az E1 jelölést:

 x  x z 







E1 



E E , 2G   1   E1 . 2 1  1  

A lemez alakváltozását a középsík görbületei egyértelműen jellemzik, ezért a továbbiakban a görbületeket tekintjük alakváltozási jellemzőnek.   2 w0

 x  E1  x    y  z   E1 

2  x

 xy  2G xy z   E1 1  

 2 w0  z, y 2 

  2 w0  2 w0   z, 2 y 2   x

 y  E1   x   y  z   E1 

 2 w0 z. xy

Egyensúlyi egyenletek: Feltételezés:



q  qz ez .

 x  xy  xz    0, x y z  yx  y  yz    0, x y z  zx  zy  z     qz . x y z

Az első két egyenletbe behelyettesítve a  x , y és  xy  t és figyelembe véve a peremfeltételeket:





b ,  xz  yz  0  zx  zy  0 . 2   1    2 w  2 w   b2 1    2 w  2 w   b2  zx   E1  20  20    z 2  ,  zy   E1  20  20    z 2  . 2 x  x 2 y  x y   4 y   4  

Dinamikai peremfeltétel: z  

A feszültségi állapot:

Feszültségi tenzor a P pontban:

 x  xy  xz    F ( x, y, z )   yx  y  yz  .    zx  zy 0 

Feszültségeloszlás a lemezvastagság mentén:

222

A  x ,  y ,  xy   yx feszültségkoordináták lineáris függvényei a z-nek. A  xz   zx ,  yz   zy , feszültségkoordináták másodfokú (parabolikus) függvényei a z-nek.

1

1

ey

b

P0

ex

 xy e  yx z

y  zy

x

 zx

z z

z

z z A feszültségek redukciója a középsíkba: Eredő erők (élerők):





Fx  (  zx dz ) ez   Qx ez , Fy  (  zy dz ) ez   Qy ez b 

b

Eredő nyomatékok (élnyomatékok): M x  z  x dz   b   hajlító nyomatékok , M y  z  y dz   b 

dz   b   csavaró nyomatékok.  z  xy dz   b 



M yx 

 z



M xy



yx

Felületi feszültségi (élerő, élnyomatéki) tenzorok:  0  A felületi feszültségi (élerő) tenzor: N   0  Qx 

0  0 . 0 

0 0 Qy

  M yx A felületi nyomatéki (élnyomatéki) tenzor: L   M x  0 Szemléltetés:

ey

P0 e x

Qy

0 0  0 

ey

x

ez

y

M y M xy 0

Qx

P0

ex M yx

ez

y M xy

z

My

Mx

z

x

Az értelmezésben az integrálokat kiszámítva: Mx 

 2 w  2 w0  z  x dz   E1 I1  20   , y 2   x b 



My 

  2 w0  2 w0  z  y dz   E1 I1   , 2 y 2   x b



223

M xy  M yx 



z  yx dz   E1 I1 1  

b

Qx 

  zx dz  E1I1

b

 2 w0 , xy

ahol

I1 

E b3 , E1  . 12 1  2

   2 w0  2 w0     2 w0  2 w0  , Q   dz  E I   2    . y zy 1 1 x  x y  x 2 y 2  y 2  b



Összefüggés a feszültségek és az élerők, élnyomatékok között: My M xy Qy  b 2  Mx Q  b2 2 z , y  z ,  xy  z ,  xz   x   z 2  ,  zy     z . I1 I1 I1 2I1  4 2I1  4   Egyensúlyi egyenletek élerőkkel, élnyomatákokkal: Qx Qy   pz , x y

x 

M yx x



M y y

 Qy  0 ,

M x M xy   Qx  0 . x y

Átalakítás: Az M x ,M y ,M xy -t a 2. , 3. egyenletbe behelyettesítve. A 2. , 3. egyenletből Qx ,Qy -t behelyettesítve az 1. egyenletbe: w0 

A lemezegyenlet:

pz  x, y  I1 E1

A Laplace-féle differenciál operátor: 2 2 DDKR-ben:  2  2 , x y A lemezegyenlet a DDKR-ben:

.

HKR-ben:  

2 1  1 2   . R 2 R R R 2  2

 4 w0  4 w0  4 w0 pz  x, y   2   . I1 E1 x4 x 2 y 2 y 4

Peremfeltételek: a) Egyszerű alátámasztás (csuklós alátámasztás) 

 2 w0  0, y 2

Mx  0 

 2 w0  0. y 2

Az x=0 oldalélen: w0  0

x

y z b) Befalazás (befogás)

Az x=0 oldalélen: w0  0

y 

x

y



 2 w0  0, y 2

w0 0. x

z c) Szabad perem: Az x=0 oldalélen: M x  0 ,

x

y

Qx 

M yx y

 0.

z 224

8.3. Gyakorló feladatok lemezek hajlítására 8.3.1. feladat: Hajlított lemez feszültségi állapota Adott: egy b  4 mm vastagságú lemez középfelületének P0 pontjában a felületi feszültségi állapot: Qy  50 N/mm ,

Qx  100 N/mm ,

M y  4 104 Nmm/mm ,

M x  2 104 Nmm/mm ,

M xy  2 104 Nmm/mm .

Feladat: a) Az N felületi feszültségi, illetve az L felületi feszültségpár (felületi nyomatéki) tenzorok mátrixainak felírása és szemléltetése a P0 pont környezetéből kivágott elemi négyzeten. b) A feszültségek eloszlásának szemléltetése a P0 pont környezetéből kivett elemi hasábon. c) A z  b / 4 koordinátájú pontban a feszültségi tenzor koordinátáinak meghatározása. Kidolgozás: a) A felületi feszültségi és nyomatéki tenzorok felírása és szemléltetése:

 N/mm

A felületi feszültségi tenzor:  0  N  0  Qx 

P0

0  0 0 0   0   0 0 0  N/mm . 0  100 50 0 

0 0 Qy

y

50

100

x

z

 Nmm/mm  A felületei nyomatéki tenzor:   M yx L   M x  0

M y M xy 0

P0

0  2 4 0 0   2 2 0 104 Nmm/mm . 0  0 0 0

2  104

2  104

4  10

2  104

4

y

x

z

b) A feszültségek eloszlásának szemléltetése a P0 pont környezetéből kivett elemi hasábon: Feszültségeloszlás:

x 

Mx z, I1

y 

My I1

I1 

 xy 

z,

b3 12

M xy

 Q  b2  xz   x   z 2  2 I1  4  Q b   yz   y   z 2  2 I1  4 

I1

y

P0

x

 xy

 yx

z

y  zy

x

 zx

z z

2

z

z

z

z z

c) A feszültségi tenzor koordinátáinak meghatározása a z  b / 4 koordinátájú pontban: Mx  b  3M x 6 104 300   37,5 MPa ,     2   2 I1  4  b 16 10 8 M  b 3M 12 104 300 y  y     2 y    75 MPa , I1  4  b 16 102 4

x 

225

M xy  b  3M xy 6 104 600        37,5 MPa ,   2 2 I1  4  b 16 10 16 9Q Q  b2 b2  450  xz   3x      3y   2,8125 MPa , b  4 16  8b 320 6 Q  b2 b2  9Q 450  yz   3y      y   1, 4 MPa . b  4 16  8b 320 6

 xy 

8.3.2. feladat: Hajlított lemez feszültségi állapota Adott: egy b  2 mm vastag lemez középfelületének P0 pontjában ismert a felületi feszültségi állapot N és L tenzora: N  100ez ex  100ez ey  N/mm,

L   666 ex ex  1320 ez ey  2640 ex ey  666 ey ey  Nmm/mm.

Feladat: a) Az N és L tenzorok szemléltetése a P0 pont környezetéből kivágott elemi négyzeten. b) Feszültségeloszlások szemléltetése a vastagság mentén: c) A feszültségek eloszlásának szemléltetése a vastagság mentén és a zB  5 mm koordinátájú pontban ébredő feszültségek értékének meghatározása. Kidolgozás:

 N/mm

a) A felületi feszültségi tenzorok szemléltetése: 0 0  0  N  0 0 0  N/mm , 100 100 0 

x 100

y

100

z

 Nmm/mm

 666 2640 0  Nmm . L  1320 666 0 mm  0 0 0 

666

2640

M xy  M yx  666 MPa ,

1320

666

M x  1320 MPa , M y  2640 MPa .

x

z

y

b) Feszültségeloszlások szemléltetése a vastagság mentén:

A

P0 y

x

 xy

y  zy

x

 yx

 zx

z z

z

z

z

z z 226

c) A feszültségi tenzor koordinátáinak meghatározása a z  b / 4 koordinátájú pontban: b z    5 mm , 4 M xy  b  3M xy M  b 3M 3 1320 3  666  x  3x      2 x    9,9 MPa ,  xy  3      2    5 MPa , 2 b  4 b  4 b 4 10 b 4 102 12 12 2 2 2 Q b b  6Q 3b 9 1 900  zx   x      3 x   Qx    5,625 MPa . 2 I1  4 16  b 16 8 b 160 8.3.3. feladat: Hajlított lemez feszültségi állapota

1

Az ábrán látható b  2 mm vastagságú lemez középfelületének pontjai a 1 hajlító terhelés hatására

A P 2a

y

2c

x

z irányban a w0  C1 x2  C2 y 2 függvény szerint mozdulnak el.

1 z

1 Adott: a  200 mm , c  240 mm , 1  3000 Nmm/mm ,   , E  200 GPa=2 105 MPa . 3 Feladat: a) Az adott terhelésnek megfelelő peremfeltételek felírása. b) A lehajlásfüggvényben szereplő C1 és C2 állandók meghatározása.

c) A középfelület P  0; y;0  pontjában az N felületi feszültségi és az L felületi feszültségpár tenzor meghatározása. d) Az A pontbeli  xA  y A  0, z A  10 mm  feszültségi tenzor mátrixának felírása.

Kidolgozás: a) Az adott terhelésnek megfelelő peremfeltételek felírása: y  c x  a

M y   1    Mx  0  

b) A lehajlásfüggvényben szereplő C1 és C2 állandók meghatározása: Az összefüggésekben szereplő geometriai és anyagi állandó: I1  A lehajlásfüggvény második deriváltjai:

 2 w0  2 w0 ;  2C2  2 C 1 y 2 x 2

  2 w  2 w0  M y   I1 E1  20     I1 E1  2C2   2C1    1  2  x   y   2 2   w0  w0   M x   I1 E1  2     I1 E1  2C1   2C2   0  2   x  y   

Az első egyenletbe visszahelyettesítve: 2 2C2  2C2  C1   C2  

1 b2 ; E1  E 1  2 12

1 I1 E1

 C1  C2 .

,



C2 

1 6 1  31. 2 1  2 I1 E1 b E

1 1 . 2 1  2 I1 E1

c) A középfelület P  0; y;0  pontjában az N felületi feszültségi és az L felületi feszültségpár tenzor meghatározása: 227

A felületi feszültségi tenzor:

   H w0   0  x     Qy  I1 E1   H w0   0   y Qx  I1 E1

N  0.

A felületi feszültségpár tenzor:   M yx L   M x  0

0 0 1 0 0  0 0 0  0  0 0 0 

M y M xy 0

M yx

My

Mx

y M xy

L  1ex ey

x

z

d) Az A pontbeli  xA  yA  0, z A  10 mm  feszültségi tenzor mátrixának felírása:

y A 

My I1

zA  

0 0  F   0  y  A  0 0

1 I1

zA  

12  3000  10   45 MPa . 203

0  0 0 0  0   0 45 0  MPa . 0  0 0 0 

8.3.4. feladat: Hajlított lemez feszültségi állapota

2 1 y

2a

P0

1 2c

2 z

x

Az ábrán látható b  3 mm vastagságú, téglalap alakú lemez középfelületének pontjai a 1 és a  2 hajlító terhelés hatására irányban a z w0  C1 x2  C2 y 2  C3 xy  C4 x  C5 y  C6 függvény szerint mozdulnak el. Adott: 1  1000 Nmm/mm , 1  1500 Nmm/mm 1   , a  200 mm , c  240 mm , E  2 105 MPa . 3

Feladat: a) Az adott terheléseknek megfelelő peremfeltételek felírása. b) A P0 pontbeli felületi feszültségi állapotot leíró L tenzor mátrixának felírása és szemléltetése az elemi négyzeten. c) A feszültségeloszlás szemléltetése a P0 pont környezetéből kiragadott elemi hasábon. Kidolgozás: a) Az adott terheléseknek megfelelő peremfeltételek felírása: A felületi nyomatéki tenzor:   M xy  L    M x   0

M y M xy 0

0 0 0 

P0

M xy

My y

M xy

Mx

x

z

Peremfeltételek: x  a y  c

  2w  2 w0  M x   I1 E1  20    1 ,  2  y   x   2 2   w0  w0   M y   I1 E1     2 . 2 2   x  y   

228

A nyomatékok kiszámításához szükséges deriváltak:

 2 w0  2C1 x 2

 2 w0  2C2 . y 2

Behelyettesítve a peremfeltételi egyenletekbe: 2 I1 E1  C1   C2   1 2 I1 E1  C1  C2    2

   /  és kivonva  

2I1 E1 1  2  C1  0  1  2



2I1 E1 0  1  2  C2     2  1 

C1  

1 1  1  2  , 2 I1 E1 1  2

1 1  2 1  . 2 I1 E1 1  2 További geometriai feltétel: a deformálódott középfelület érintse az xy síkot az x  y  0 pontban. w0 w0 w0  0,  0,  0  C4  C5  C6  0 . x y Az alakváltozás szimmetrikus:  C3  0 .



C2 

b) A P0 pontbeli felületi feszültségi állapotot leíró L tenzor mátrixának felírása és szemléltetése az elemi négyzeten:  2 w  2 w0  M x   I1 E1  20     2I1E1  C1   C2   y 2   x   1 1 1 1    2 2  2 1   1 ,  2 I1 E1     1 2     2  1  2 2  1 2 I1 E1 1   2 I1 E1  1    2 w0  2 w0  M y   I1 E1     2I1E1  C1  C2   2 y 2   x 1 1 1  1  2 2  2  1    2 .  2 I1 E1   1  2   2  1   1  2  2 I1 E1  1  2

Szemléltetés:   M xy  L    M x   0

M y M xy 0

0  0 0   1 0  0

P0

2 0 0 0

0 0

x

y

1

2

z

c) A feszültségeloszlás szemléltetése a P0 pont környezetéből kiragadott elemi hasábon:

P0

x

x

y

y z

z

z 8.3.5. feladat: Hajlított lemez feszültségi állapota Adott: egy b  2 mm vastagságú lemez középfelületének P0 pontjában a felületi feszültségi állapot N és L tenzora. 229

 Nmm/mm

 N/mm P0

80

8000

x

y

60

x

4000

y

z

6000

z

6000

Feladat: a) Az N felületi feszültségi, illetve az L felületi feszültségpár tenzorok mátrixainak felírása. b) A feszültségek eloszlásának szemléltetése a P0 pont környezetéből kiragadott elemi hasábon. c) A z  5 mm helyen a  x ,  xy és a  zy feszültségek kiszámítása. Kidolgozás: a) Az N felületi feszültségi, illetve az L felületi feszültségpár tenzorok mátrixainak felírása: A felületi feszültségi tenzor:

A felületi feszültségpár tenzor:  6 4 0   L    8 6 0  103 Nmm/mm .    0 0 0 

0 0  0   N   0 0 0  N/mm .   80 60 0  Qx  80 N/mm , Qy  60 N/mm .

M yx  6000 Nmm/mm , M y  4000 Nmm/mm , M x  8000 Nmm/mm .

b) A feszültségek eloszlásának szemléltetése a P0 pont környezetéből kiragadott elemi hasábon:

x

 xy  yx

y

 zx

z

 zx

z z

z

z z a) A feszültségi tenzor koordinátáinak meghatározása a z  5 mm koordinátájú pontban: b z    5 mm , 4 Mx  b  3M 3  8000 x  3     2 x    60 MPa , b  4 b 400 12 M xy  b  3M 3  60 102  xy  3      2 xy    45 MPa , b  4 b 4 102 12 Q  b2 b2  6Q 3b2 Qy 9 60  9  zy   y      3 y    3,375 MPa . 2 I1  4 16  b 16 b 8 20  8

230

8.4. Tengelyszimmetrikus terhelésű kör és körgyűrű alakú lemezek Feltételezés: A geometria a terhelés és a megtámasztás is tengelyszimmetrikus/forgásszimmetrikus. A tengelyszimmetria miatt minden mennyiség csak az R helykoordinátától függ. Például: w0  w0  R  , pz  pz  R  . R

pz

pz

R

z



A normálisok z tengellyel (forgástengellyel) bezárt szöge: dw     R   0 ,    R  . dR w0  R  - a középsík pontjainak z irányú elmozdulása (lehajlása).

a) Egyenletek forgásszimmetrikus esetben: - Kinematikai egyenletek: d 2 w0 d dw0     ,   R   , R dR dR 2 dR

  0.

 

 R



R n

w0

.

R

z

 R  0 .

1 dw0 , R dR

- Anyagegyenletek: A kifejezésekben szereplő geometriai és anyagi jellemző:

  d M R  E1 I1  R      E1 I1    , R  dR  d   M   E1 I1     R   E1 I1   ,  dR R  M R  M  0 . QR   E1 I1

I1 

b3 E , E1  . 12 1  2

d 1 d  R   , Q  0.  dR  R dR 

- Egyensúlyi egyenletek:

d  RQR  dR

 R pz ,

dM R 1   M R  M    QR  0. dR R

- A lemezegyenlet:

w0  R  

pz  R  I1 E1

.

 d2 pz  R  1 d  d 2 1 d  . A lemezegyenlet HKR-ben:  2   2   w0  R   R dR  dR R dR  I1 E1  dR

b) Kör és körgyűrű alakú lemezfeladatok megoldása: - A lemezegyenlet megoldása: A megoldás keresése: Homogén megoldás:

w0  R   w0h  R   w0 p  R  .

w0h  R  

A 2 R  Bln R  C  D R 2 ln R . 2

231

pz  R   p0  állandó esetén: w0p  R  

Partikuláris megoldás:

Probléma: ha a pz  R  nem folytonos függvény.

p0 R 4 . I1 E1 64

Például:

p0

R

p0

R

z

A probléma egy lehetséges megoldása: a szuperpozíció elv alkalmazása.

A lemez egy henger felülettel kér részre bontjuk:

Terhelés:

p0

pz  p0 ,

0 < R < R0 R0 < R < RK

R0 z

pz  0.

QR

R

p0

R

MR

p0

RK z

R

R0 RK z

R  R0  nál 4 illesztési feltételt kell figyelembe venni. Ez eléggé nehézkes eljárás.

A probléma egy másik lehetséges megoldása: a terhelési függvények módszere A homogén megoldás ugyanúgy állítható elő, mint az előző esetben. Ez a módszer a partikuláris megoldás előállítását egyszerűsíti le szakadásos pz  R  terhelés esetén. A megoldás első lépése: az első skaláris egyensúlyi egyenlet integrálása: R d  RQR   R pz / ........ dR , dR R



B

RQR  R   RB QRB 

R



R pz  R  dR ,

R  RB

QR  R  

R  1  RB QRB  R pz  R  dR  .  R RB  



Példa: Körgyűrű alakú lemez mechanikai jellemzőinek meghatározása

R

p0

f1

Adott: p0 , f1 ,RB ,R1 ,RA RK .

f1

p0

R

RB R1 RA RK z  ) A támasztóerők meghatározása: z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:





Feladat:  ) A támasztóerő meghatározása.  ) A QR  R  meghatározása.  ) A további mechanikai jellemzők előállítása.

p0 RK2  RB2   f1 2R1  f A 2RA ,





2 2 p0 RK  RB R fA    f1 1 2 RA R2

 .

 ) A QR  R  meghatározása: 232

- Az RB < R < R1 körgyűrű tartományon: p0

QR

p0

z irányú vetületi egyenlet:

QR





p0 R 2  RB2   QR 2R  0,

RB R

QR  R  

z

p0 p R2 R 0 B . 2 2 R

- Az R1 < R < RA körgyűrű tartományon:

f1

z irányú vetületi egyenlet:

f1 p0

QR

p0





p0 R 2  RB2   f1 2R1  QR 2R  0,

QR

RB

QR  R  

R1

p0 p R2 R R  0 B  f1 1 . 2 2 R R

R z - Az RA < R < RK körgyűrű tartományon:

f1 QR

f1

p0

p0

QR

RB R1

fA

fA

RA R z

z irányú vetületi egyenlet:





p0 R2  RB2   f1 2R1  f A 2RA  QR 2R  0,

QR  R  

p0 p R2 R R R  0 B  f1 1  f A A . 2 2 R R R

 ) A további mechanikai jellemzők előállítása: dw0 d 1 d szögelfordulás kapcsolata: QR   E1 I1  R   .  dR  R dR dR  Q  R d 1 d Átrendezve:  R     R .   dR  R dR E1 I1  Elvégezve a baloldalon kijelölt deriválásokat, kö- d  1   d    QR  R  ,   zönséges másodrendű Euler típusú differenciál dR  R dR  E1 I1 egyenletet kapunk. 2 Q  R 1 1 d d   2  2  R , R dR dR E1 I1 R

A nyíróerő és a   

R2

R 2QR  R  d 2 d  R     . dR E1 I1 dR 2

A differenciálegyenlet megoldása:   R   h  R    p  R  . A homogén differenciálegyenlet: R2   R     0 ,

A homogén megoldás: h  R   R n . Behelyettesítve: R2 n  n  1 R n2  R n R n1  R n  0 , n  n  1  n  1  0 ,

 n  1 n  1  0



n   1,

233

h  R   C1 R  C2

1 . R

Partikuláris megoldás az Euler differenciál egyenlet   -al jelölt alakjának integrálásával:



R



1 d 1 R p   QR  R  dR , R dR E1 I1 R



B

R

R p  

R

1 R( QR d  ) dR , - Parciális integrálás. I1 E1 R  R





B

B

u

v

2

R v  QR . 2 R   R R  1  R 2 R2    R p   QR d   QR d   ,  I1 E1   2   R 2     RB B RB   u



p  



R R  1  1   2 R Q d   R Q d   . R R 2I1 E1    R R  R  B B  





R R  1 1  1   2  R Q dR  R Q dR  . R R R 2I1 E1  R RR  B  B  Az általános Hooke-törvény felhasználásával a nyomatékok: R R C2  1    1  1   d M R  R   I1 E1      I1 E1 1    C1  1   2   R 2QR dR . 2   QR dR 

Az általános megoldás:   R   h  R    p  R   C1 R  C2

 dR

R



R 



2

RB



2 R

K0  R   

RB

K2  R  



R2 Új változót bevezetve:   2 . RK

  K R      Az A, B konstansok a peremfeltételekből határozhatóak meg. B M      A   K       

M R    A 

B



Terhelési függvények: K R     K0     K2    , K     K0     K2    .

K0 

1  2

R

 RB

QR dR 

1  4





B

RK QR



d ,

K2 

1  1 2 R2



R



R 2QR dR 

RB

1  1 RK QR  d  . 4 



B

A terhelési függvények közvetlenül a terhelésből határozhatók meg. A szögelfordulás meghatározása az általános Hooke-törvényből: 1 1 1  M   M R    M   M R  . 2  I1 E1 1  I1 E A lehajlás a szögelfordulásból integrálásával állítható elő: R dw0     w0  R   w0B    R  dR . dR R



B

Ezzel valamennyi mechanikai jellemzőt meghatároztunk. 234

c) Kör, körgyűrű alakú lemezek méretezése, ellenőrzése: - A   R  meghatározása z irányú vetületi egyenletből. - Az M R  R  , M  R  előállítása a terhelési függvények módszerével.   K R    R2     .  B RK2  M      A   K     

M R    A 

B

Az A , B állandók a peremfeltételekből határozhatók meg.

A leggyakrabban előforduló peremfeltételek:

 ) Egyszerű alátámasztás

R  RK ,

R

MR  0.

RK z

 ) Befalazás/befogás:

R  RK ,

R

 0 

RK

M  M R .

z



 ) Terhelt perem



R  RK ,

R

M R   .

RK z - A veszélyes hely megkeresése a lemezdiagram felhasználásával.  K R     K0     K 2    ,  K R      hR      B K     K0     K 2    . M      A   K        h     - A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés elvégzése. M R    A 

B

 red max  meg . 8.5. Gyakorló feladatok tengelyszimmetrikus terhelésű kör és körgyűrű alakú lemezekre 8.5.1. feladat: Körgyűrű alakú hajlított lemez méretezése, ellenőrzése Adott: a lemez geometriája és terhelése.

K

pz  R 

B

pz  R 

B

K R

RB RK

z

Feladat: a méretezés, ellenőrzés gondolatmenetének bemutatása. Peremfeltételek:

  B , M R  B  hR     B  K R  B  ,

  1 , M R  K  hR    1  K  K R  B  1 . 235

MR

Lemezdiagram:

M

h   

B

B hR   

A

M

K MR

B

K   

KR  

B

1  B

1

B

1

Ebben az esetben M R  0 , M  0. A lemezdiagramból meghatározható a lemez veszélyes sugara. Ebben az esetben a veszélyes sugár B (vagy RB ).

R 

- A feszültségek számítása:

MR z, I1

 

 Rmax ,   max   Rz max .

- Lemezhajlításnál:

- A redukált feszültség maximuma:

I1

 zR  

z,

QR  b2 2   z , 2I1  4 

Veszélyes hely: a z  

R  RB és z  

 red max  meg .

- Méretezés, ellenőrzés:

M

z  0.

b felületek. 2

b helyen  red max      z      B  . max 2

8.5.2. feladat: Kör alakú hajlított lemez b

f1

f1

p0

R

R1 R2

Adott: A vázolt kör alakú tengelyszimmetrikus lemez terhelése és mérete: p0  2 MPa , f1  10 N/mm , R1  50 mm , R2  100 mm , RK  150 mm . Feladat: A QR  R  nyíró felületi feszültség meghatározása és eloszlásának szemléltetése.

RK

z

Kidolgozás: - A támasztóerő meghatározása: b

f1

Forgástengely irányú vetületi egyenlet:

f1

p0

R

R2

ft RK

z

p0 R12 R  f1 K  2 R2 R2 2 2500 150   10  25  15  40 2 100 100

ft 

R1 ft

p0 R12  f1 2RK   ft 2R2  0 ,

ft  40 N/mm

236

- A nyíróerő meghatározása: a) Ha 0  R  R1 : Forgástengely irányú vetületi egyenlet:

p0

QR

p0 R2  QR 2R  0 . p0 QR  R , QR  0   0 , QR  R1   50 N/mm . 2 egyenes

QR

R

b) Ha R1  R  R2 : Forgástengely irányú vetületi egyenlet:

p0

QR

p0 R12  QR 2R  0

QR

R1 R



QR 

p0 2 1 . R1 2 R hiperbola

QR  R1   50 N/mm , QR  R2   25 N/mm .

z c) Ha R2  R  RK :

p0

QR

Forgástengely irányú vetületi egyenlet:

QR

p0 R12  ft 2R2  QR 2R  0

R1

ft

R2

1 p 1 QR   0 R12  ft R2   1500 . R  2 R hiperbola

ft R

QR  R2  

z QR  RK  

p0 R12 p0 R12 R2 R R   f1 K 2   f1 , 2 RK 2 R2 RK R2 RK

p0 R12  ft  25  40  15 N/mm . 2 R2

QR  RK   10 N/mm

- A nyíróerő eloszlás szemléltetése: f1

f 1  10 N/mm

b p0

R

R1

ft

f t  40 N/mm

R2 RK

z QR

50

 N/mm 

25 R -15

-10

237

8.5.3. feladat: Kör alakú, tengelyszimmetrikusan terhelt befogott hajlított lemez Adott: a vázolt lemez geometriája f1 b f1 és terhelése: R f1  12 N/mm , f 2  15 N/mm , R1 R1  40 mm , R2  60 mm , f2 t t f2 RK  70 mm . R2 f f t

t

Feladat: A QR  R  nyíró felületi feszültség meghatározása és eloszlásának szemléltetése.

RK z

Kidolgozás: - A támasztóerő meghatározása: Forgástengely irányú vetületi egyenlet: f1 2R1  f 2 2R2  ft 2RK   0 . 1 ft   f1R1  f 2 R2   6 N/mm . RK - A nyíróerő meghatározása: a) Ha 0  R  R1 : QR  0 b) Ha R1  R  R2 : Forgástengely irányú vetületi egyenlet: f1 f1 2R1 f1  2R QR  0 . QR QR 1 R1 . QR  R1 f1 R R hiperbola z QR  R1   f1  12 N/mm , QR  R2   8 N/mm . c) Ha R2  R  RK : f1

f1 QR

QR

R1

f2

f2

R2 R z

- A nyíróerő eloszlás szemléltetése:

Forgástengely irányú vetületi egyenlet: 2R1 f1  2R2 f 2  QR 2R  0 . 1 1 420 QR   f1 R1  f 2 R2    480  900    . R R R hiperbola QR  R2   7 N/mm , QR  RK   6 N/mm . f1

t

f1

b

R

R1

f2 ft

t

f2

R2

ft RK

z

QR

 N/mm

12

8 R

7

6

238

8.5.4. feladat: Körgyűrű alakú, tengelyszimmetrikusan terhelt hajlított lemez b p0

p0

R

RB R1

ft

ft

R2

Adott: a vázolt körgyűrű alakú lemez geometriája és terhelése: p0  2 MPa , RB  50 mm , R1  100 mm , R2  150 mm , RK  200 mm . Feladat: A QR  R  nyíró felületi feszültség meghatározása és eloszlásának szemléltetése.

RK

z

Kidolgozás: - A támasztóerő meghatározása: Forgástengely irányú vetületi egyenlet: p0  R12  RB2    2R2 ft  0 , ft 

p0 R12  Rb2   50 N/mm .  2 R2

- A nyíróerő meghatározása: a) Ha RB  R  R1 :

QR

p0

p0 RB

Forgástengely irányú vetületi egyenlet: p0  R2  RB2   QR 2R  0 ,

QR

p0 p R2 1 R  0 B . 2 2 R egyenes hiperbola QR  RB   0 , QR  R1   75 N/mm . QR 

R

z

b) Ha R1  R  R2 :

QR

p0

Forgástengely irányú vetületi egyenlet:

p0

QR

RB

p0  R12  RB2   QR 2R  0 , p0 2 1 R1  RB2  .  2 R hiperbola QR  R1   75 N/mm , QR  R2   50 N/mm . QR 

R1 R z

c) Ha R2  R  RK : p0

p0 RB

ft

R

ft

R1

Forgástengely irányú vetületi egyenlet: p0  R12  Rb2   2 R2 ft  2R QR  0 . 0

QR  0 .

R2

R z

239

- A nyíróerő eloszlás szemléltetése:

p0

p0

R

RB

R1

ft

ft

R2 RK

z QR

 N/mm 75 50

R

8.5.5. feladat: Körgyűrű alakú, tengelyszimmetrikusan terhelt befogott hajlított lemez

b f 1

t

f1

0 0

f2

RB R1

ft

R

t

f2 ft

Adott: a vázolt befogott körgyűrű alakú lemez geometriája és terhelése. 0  20 Nmm/mm , f1  8 N/mm , f 2  16 N/mm , RB  30 mm , R1  40 mm , R2  80 mm , RK  10 mm .

R2 RK

z Feladat: A QR  R  nyíró felületi feszültség meghatározása és szemléltetése. Kidolgozás: - A támasztóerő meghatározása: Forgástengely irányú vetületi egyenlet: f1 2R1  f 2 2R2  ft 2RK   0 , 1 ft   f1R1  f 2 R2   9,6 N/mm . RK - A nyíróerő meghatározása: a) Ha RB  R  R1 :

QR  0 .

b) Ha R1  R  R2

2R1 f1  2R QR  0 . 1 QR  R   f1 R1 . R

c) Ha R2  R  RK

QR  R1   f1  8 N/mm , QR  R2   f1

R1  4 N/mm . R2

2R1 f1  2R2 f 2  2R QR  0 . 1 960 QR   f1 R1  f 2 R2     N/mm . R R QR  R2   12 N/mm , QR  RK   9,6 N/mm .

240

- A nyíróerő eloszlás szemléltetése:

b f 1

t

f1

0 0

f2

R

RB R1

ft

t

f2

ft R2

RK z QR  N/mm

8

4

R 9,6

12

8.5.6. feladat: Tisztán hajlított kör alakú lemez szilárdságtani ellenőrzése

R

0

b

RK

0

z

Adott: Körlemezt peremén 0 állandó sűrűségű megoszló erőpárrendszer terhel. 0  8 kNmm/mm , b  20 mm RK  250 mm ,  meg  180 MPa .

Feladat: a) A peremfeltételek felírása. b) Az M R    és M     diagramok megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével. c) A felületi feszültségi állapot szemléltetése az elemi négyzeten és az L nyomatéki tenzor felírása. d) A lemez szilárdságtani ellenőrzése a Mohr-féle elmélet szerint. Kidolgozás: a) A peremfeltételek felírása: A nyomatékok előjele: M R  L    M R   0

M  M R 0

0  0 0   M R 0   0

M  0 0

0 0 . 0 

e

Peremfeltétel: R  RK R0

eR

M  0

MR  0 ez

M R  0 , M R , M  véges nagyságú.

b) Az M R    és M     diagramok megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével:

241

  K R       B M      A   K       M R    A 

K R     K     0 .

B



2

R . RK2

Peremfeltétel: R  0 (  B  0) M R , M  véges nagyságú  B  0 . R  RK (  1)

M R  0



A feszültségeloszlás: M R     M     0  -8 kNmm/mm  áll.

 kNmm/mm

MR

M



OR

A   0 .

O M  0

MR  0 8

8

c) A felületi feszültségi állapot szemléltetése az elemi négyzeten és az L nyomatéki tenzor felírása:  0 A nyomatéki tenzor:  L     0  0

0 0  0 0

0  . 0 

0 e

0

eR ez

d) A lemez szilárdságtani ellenőrzése a Mohr-féle elmélet szerint: MR z, I1

z  0,

R 

 R max 

M R b 6 0 ,  I1 2 b2

 

I1

I1 

z,

b3 . 12

M  b 6 0 .  I1 2 b 2  b 6 6  8000  0  20   120 MPa . I1 2 b 400

  max 

 red max   z   R max ,  red max   meg ,

M

 red max

120  180 ,

A lemez szilárdságtani szempontból megfelel.

8.5.7. feladat: Tisztán hajlított körgyűrű alakú lemez szilárdságtani méretezése Adott: a külső peremén befogott körgyűrű-lemez, amelyet a belső peremén állandó 0 sűrűségű megoszló erőpárrendszer (nyomaték) terhel. 1 0  300 Nmm/mm , RB  200 mm , RK  400 mm ,   ,  meg  120 MPa . 3

b

0

0

R

RB

RK z Feladat: a) A nyomatéki tenzor és a peremfeltételek felírása. b) Az M R    és M     diagramok megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével. 242

c) A lemez méretezése a Mohr-elmélet szerint, ha  meg  120 MPa ! Kidolgozás: a) A nyomatéki tenzor és a peremfeltételek felírása: A nyomatéki tenzor:  0 M  0  L    M R 0 0    0 0 0 

Peremfeltételek: R  RB (  B ) M R  0 , R  RK (  1)

MR  0

A nyomatéki tenzor szemléltetése:

B 

  0  M   M R .

RB2  0, 25 RK2

M  0 eR

M  0

MR  0

e

ez

b) Az M R    és M     diagramok megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével: K R     K     0 .

  K R       B M      A   K      

A nyomatéki függvények:

M R    A 

B

A nyomatéki diagramok: MR

M 300

150 MR

OR

B

 M RK

M RK

KR  

1

50

1  B

1

M  0

K   

B

O

M   0 100

c) A lemez méretezése a Mohr-elmélet szerint, ha  meg  120 MPa : M red max   M R  M  B  300  100  400 Nmm/mm .

 red max 

6M red   meg b2



b

6M red

 meg



2400  20  4, 47 mm . 120

b  5 mm .

243