7. OPTIKA II. A fény mint elektromágneses hullám A monokromatikus síkhullám A fényforrások időben és térben változó elektromágneses teret keltenek maguk körül. Ez az elektromágneses tér hullám alakjában terjed. Távol a fényforrástól, átlátszó, homogén, izotrop közegben az elektromágneses tér monokromatikus síkhullámok összegére bontható. Az elektromos térerősség egy ilyen síkhullámban az r helyvektorú pontban: E = E0 sin (k r - t + 0) . (1) E0 a síkhullám amplitúdója, a körfrekvencia, = 2, ahol a frekvencia. A = k r - t + 0 (2) kifejezés a fázis, 0 a fázisállandó, k a hullámszámvektor. A hullám terjedési iránya megegyezik k vektor irányával. Az E0 vektor irányát tekintjük a polarizáció irányának. A fény transzverzális hullám, E0 merőleges a terjedési irányra, így k-ra is. A fény intenzitása az ilyen monokromatikus síkhullámban az amplitúdó négyzetével, E02 -tel arányos. Hullámfront: Azoknak a pontoknak az összessége, melyeken a fázis értéke egy adott időpontban azonos. A hullámfront minden pontjában ugyanaz a térerősség és időben azonos módon változik. Az (1) alakú síkhullámok hullámfrontjai síkok, melyek egyenlete a t időpontban = k r – t + 0 = konst. Ha a hullám az x tengely irányában terjed, a hullámfront, azaz a fázissík egyenlete: = kx –t + 0 = konst. Az (1) síkhullám időben és térben periodikus függvény. A periódusidő, T, az a legrövidebb idő, melynek elmúltával adott helyen ugyanaz lesz a térerősség és a térerősség időderiváltja is, vagyis a fázis változása T idő alatt 2-vel egyenlő: 2. A periódusidő reciproka a frekvencia: = 1/T. A térbeli periódus a hullámhossz, : két szomszédos fázissík távolsága, melyeken a fázis 2 -vel különbözik: = 2 = k , azaz 2/ k. (3) Eszerint a k hullámszámvektor nagysága a hullámhossz reciprokával, a hullámszámmal arányos, annak a 2-szerese. Egy adott fázisú hullámfront helyzete a t időpontban x = t / k + ( - 0) / k , azaz a front v=/k (4) sebességgel („fázissebességgel”) mozog az x tengely mentén. Vákuumban a fázissebesség c. Ha a hullám egy más közegbe lép be, frekvenciája azonos marad, terjedési sebessége azonban változik a közeg optikai sajátságaitól függően. A vákuumbeli és közegbeli terjedési sebesség hányadosa a törésmutató. A törésmutató függ a frekvenciától (diszperzió), átlátszó közegben a frekvencia növekedésével kissé nő. Ekkor normális diszperzióról beszélünk. [Abszorbeáló közegekben a törésmutató komplex szám. Ilyenkor a fény terjedését csillapodó hullámmal írhatjuk le.] A fény frekvenciája, terjedési sebessége és hullámhossza közötti összefüggést (3) és (4) összevetésével kapjuk: 2 2 k =vT, (5) v Tv a fázissík egy periódusidő alatt éppen egy hullámhossz távolságra jut el.
7. Optika II. / 1
Vákuumban a hullámfront egy periódusidő alatt = c T távolságot tesz meg. A közegbeli terjedési sebesség v = c/n, így a közegbeli hullámhossz c (6) T 0. n n A hullámhossz közegről közegre változik, a vákuumbeli hullámhossz azonban éppúgy jellemzi a hullámot, mint a frekvencia. A látható tartományban a (vákuumbeli) hullámhossz 380 és 760 nm között van. Egy n törésmutatójú közegben beszélhetünk az optikai úthosszról: s = n d, (7) mely a tényleges d úthossz és az n törésmutató szorzata. A hullámok interferenciája; koherencia Tekintsünk két, az x tengely irányában terjedő, azonos irányban (pl. az y tengely irányában) polarizált, azonos frekvenciájú, azonos irányban haladó, de különböző fázisállandójú síkhullámot. Legyen a két síkhullámban az y irányú térerősség E1 és E2 : E1 = E10 sin(kx – t + 10), E2 = E20 sin(kx – t + 20) . Az eredő térerősség E = E1 + E2. Beláthatjuk, hogy ez szintén síkhullám: E = E0 sin(kx – t + 0), melynek amplitúdója E0, fázisállandója . Az eredő hullám amplitúdója,
E 0 E10 E 20 2E10E 20 cos(10 20 ) 2
2
(8)
függ a = 10 – 20 fáziskülönbségtől: az eredő amplitúdó maximális, ha 0 vagy 2 egész számú többszöröse, és minimális, ha páratlan számú többszöröse a fáziskülönbség. Az eredő hullám fázisa: tg0
E10 sin 10 E 20 sin 20 . E10 cos 10 E 20 cos 20
A fázisállandók különbsége úthosszkülönbségnek is felfogható a két összetevő fényhullám között: s , k 2 ahol a közegbeli hullámhossz. Felhasználva, hogy = / n, . n s 0 2 A két fényhullám maximálisan erősíti egymást, ha fázisaik különbsége 2 egész számú többszöröse, illetve ha az optikai úthosszkülönbség köztük a vákuumbeli hullámhossz egész számú többszöröse, és maximálisan gyengíti, ha a félhullámhossz páratlan számú többszöröse. Ha egy párhuzamos fénynyalábban az összetevők fázisainak különbsége időben állandó, akkor a fénynyaláb koherens. Ekkor az azonos irányban polarizált hullámok egyetlen hullámmal helyettesíthetők. Csak azonos frekvenciájú síkhullámok alkothatnak koherens nyalábot. Lineárisan, cirkulárisan és elliptikusan poláros fény A fénynyalábot alkotó azonos frekvenciájú monokromatikus síkhullámok térerősség-amplitúdó vektorai lehetnek párhuzamosak, ekkor a fénynyaláb lineárisan poláros és a polarizáció iránya megegyezik az összetevők polarizáció irányával. Ha a komponensekben az amplitúdó vektorok nem párhuzamosak, akkor az eredő lehet lineárisan, cirkulárisan vagy elliptikusan poláros. Két egymásra merőlegesen poláros síkhullám eredője - lineárisan poláros, ha a fáziskülönbségük 0; - cirkulárisan poláros, ha az amplitúdók nagysága azonos és a fáziskülönbség /2; - elliptikusan poláros különben.
7. Optika II. / 2
A fény intenzitása A fényintenzitás (I) a térerősség abszolút érték négyzetének időátlagával arányos. Az (1) monokromatikus síkhullámban I ~ E02 . Egy koherens fénynyaláb mindig felbontható két egymásra merőleges lineárisan poláros fényhullám összegére. Két egymásra merőlegesen poláros síkhullámból álló nyalábban a fényintenzitás a két merőleges komponens intenzitásainak összege: I = Ip + Im. Itt a "p" (párhuzamos) és az "m" (merőleges) jelzés egy kitüntetett síkra, pl. a beesési síkra vonatkozik. Ha a fénynyalábban a komponensek fázisainak különbsége időben véletlenszerűen változik, akkor ezeknek a komponenseknek az intenzitása összegződik. Két, egymással párhuzamos polarizáció-irányú koherens fénynyaláb interferenciára képes. Ez azt jelenti, hogy az eredő fénynyalábban a térerősségek (8) szerint a fáziskülönbségtől függően erősítik vagy gyengítik egymást, és az eredő intenzitás (9) I I1 I 2 2 I1 I 2 cos10 20 . Koherens és közönséges fényforrások A fényforrásokban a valamilyen módon magasabb energiaállapotokba gerjesztett atomok vagy molekulák sugároznak ki fényt – egy fotont emittálnak, miközben a gerjesztett állapotból az alapállapotba vagy alacsonyabb energiájú állapotba kerülnek. A foton kibocsátása az átmenet alatt, véges ideig történik, ezért a foton egy véges hullámvonulat, véges hossza van: ez a koherenciahossz. A következő foton fázisállandója nem egyezik az előzőével, és ha az emisszió spontán következik be, a fotonok iránya és fázisa véletlenszerű. Így egy közönséges fényforrásból származó fénynyaláb nem koherens, mert benne a fotonok –elemi hullámvonulatok– fázisa időben véletlenszerűen változik. Egy ilyen nemkoherens fénynyalábban egy foton csak önmagával interferálhat – a koherenciahosszán belül. A lézerek monokromatikus, párhuzamos és koherens fénynyalábot szolgáltató fényforrások. (Persze, a lézerfény sem abszolút monokromatikus, párhuzamos és koherens, de a közönséges fényforrásokhoz viszonyítva nagymértékben az.) Ez annak köszönhető, hogy a lézerben a fénykibocsátás indukált emisszióval történik, szemben a közönséges fényforrásokkal, ahol spontán emisszióval. Az indukált emissziónál egy gerjesztő foton hatására az atomi rendszer úgy kerül egy alacsonyabb energiájú állapotba, hogy a gerjesztő fotonnal tökéletesen azonos (azonos frekvenciájú, terjedési irányú és fázisú) fotont bocsát ki.
Fényhullámok törése, visszaverődése, elhajlása A fény mint elektromágneses hullám kielégíti az elektromágneses tér Maxwell-egyenleteit és az egyenletekhez tartozó határfeltételeket. Végtelen homogén és izotrop közegben egyetlen síkhullám is megoldás. Ha azonban a közegben inhomogenitások –a fénysugár útjában akadályok– vannak, akkor egyetlen síkhullám már nem felel meg a határfeltételeknek. Tegyük fel, hogy a teret egyetlen sík határfelület két különböző optikai tulajdonságú részre osztja, és az első közegben egy síkhullám terjed a határfelület felé. Megmutatható, hogy az első közegben az elektromágneses tér két hullám –a beeső haladó hullám és egy visszavert hullám– összege lesz, és a második közegben egy megtört, az eredetitől különböző hullámszámvektorú hullám terjed. A két közeg határfelületének normálisa a beesési merőleges. Ha ezzel a beeső fénysugár k hullámszámvektora szöget zár be, akkor a visszavert sugár hullámszámvektora – szöget; a megtört sugáré pedig szöget zár be, ahol az beesési szög és a törési szög között a Snellius-Descartes törvény áll fenn: n1 sin = n2 sin , ahol n1 a beesés oldalán, n2 a határfelület másik oldalán a törésmutató. Ha a két közeg határfelülete görbült, de a görbületi sugár a hullámhossznál sokkal nagyobb, a felület minden pontján az ottani érintősíkkal helyettesíthető, és a törés és visszaverődés törvényei változatlanok maradnak, csupán a sík normálisa –és így a beesési szög is– pontról-pontra változik, és a síkhullám-kép továbbra is érvényes marad.
7. Optika II. / 3
Ha az akadály mérete összemérhető a hullámhosszal, akkor elvész a síkhullámjelleg az akadály közelében. A Huygens-elvvel szemléltethető a fény terjedése ilyen esetben: a hullámfront minden pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja és ezek eredője adja az új hullámfrontot. Ha a fény útjába egy ernyőt teszünk, melyen egy nagyon kicsi lyuk van, akkor az ernyő mögött a hullámfrontok gömbfelületek lesznek (1. ábra).
1. ábra. A fény elhajlása ernyőn lévő kis nyíláson
Nagy távolságból nézve egy ilyen gömbfelületnek csak egy kis térszögű részét észleljük, és ez a hullámfrontdarab síkkal is helyettesíthető, a hullám pedig a megfigyelés környezetében síkhullámmal. Bárhonnan nézzük az ernyőt, a rajta lévő nyílásból, mint pontszerű fényforrásból fény jut a szemünkbe. (A fénysugarakhoz kötődő szemléletünk szerint az ernyő mögötti térbe minden irányba fénysugarak indulnak ki az ernyőn lévő nyílásból.) Tegyünk egy párhuzamos, monokromatikus fénynyaláb útjába a terjedési irányra merőlegesen egy ernyőt, melyen két párhuzamos keskeny rés van D távolságban egymástól (2. ábra). A réseken a fény elhajlik, nagy távolságból olyan a hullámkép, mintha a résekből az ábra síkjában minden irányban síkhullámok indulnának ki. Tekintsük azt az irányt, mely az ernyő normálisával szöget zár be. Ebben az irányban a két réstől származó párhuzamos fénynyaláb közti úthosszkülönbség D∙sin, és a fáziskülönbség = 2 D∙sin / . (10) A két fénynyalábhoz tartozó térerősségek összeadódnak az eredő nyalábban; E = E1 + E2. Mivel az amplitúdók a két elhajlított nyalábban megegyeznek, az intenzitás (9) szerint I = 2 I0 ( 1 + cos ). L D
beeső síkhullám
x elhajlított nyaláb
2. ábra. Elhajlás kettős résen Ha 0 vagy 2 egész számú többszöröse, azaz D∙sin a hullámhossz egész számú többszöröse, maximális erősítést kapunk, míg ha páratlan számú többszöröse, azaz D∙sin a félhullámhossz páratlan számú többszöröse, teljes kioltást kapunk. A résektől bizonyos L távolságban elhelyezett ernyőn sötét és világos csíkokat fogunk észlelni, a maximális gyengítés és maximális erősítés irányainak megfelelően. D∙sin = (2m+1) ∙/2 : kioltás, D∙sin = m ∙ : maximális erősítés. (11)
7. Optika II. / 4
Az optikai rács Ha egy átlátszó lemezt egyenlő távolságban, párhuzamosan bekarcolunk, vagy valamilyen más eljárással párhuzamos, periodikusan váltakozva átlátszó és átlátszatlan csíkokat hozunk létre rajta, transzmissziós optikai rácsot kapunk. Hasonló módon, reflektáló felületen periodikus, tükröző és nem-tükröző, egymással párhuzamos csíkokból álló mintázatot létrehozva reflexiós rácsot kapunk. A rácsot koherens fénynyalábbal megvilágítva és a rács által elhajlított fényt ernyőn felfogva a fényforrás elhajlási képét kapjuk, egy –a rács csíkjaira merőleges egyenesen elhelyezkedő– fényfoltsorozatot az el nem hajlított nyalábnak megfelelő transzmittált vagy reflektált kép mindkét oldalán; úgy mint a kettős rés esetén, csak nagyobb intenzitással. Ha a fény merőlegesen esik a síkrácsra, az elhajlási kép szimmetrikus és a kioltás és erősítés feltételét (11) adja meg. Így ha az m-edik és (–m)-edik elhajlított kép távolsága az ernyőn 2xm, a rács és az ernyő távolsága L és a rácsállandó D, akkor (11)-nek megfelelően xm = L ∙ tg = L ∙ m / D 2 ( m) 2 ,
(12)
ahonnan a rácsállandó kiszámítható. Ha m << D, akkor D = m L / xm.
A Michelson-féle interferométer Először Th. Young hozott létre interferenciaképeket úgy, hogy keskeny fénynyalábot irányított két szorosan egymás mellett elrendezett résre. A résekkel szemben elhelyezett ernyőn a réseken keresztül ráeső fényből szabályos, sötét és világos sávokból álló kép jött létre. Young kísérlete fontos bizonyítéka volt a fény hullámtermészetének. 1881-ben (78 évvel Young után) A. A. Michelson hasonló elven működő interferométert épített. Michelson eredetileg az éternek, az elektromágneses sugárzások –így a fénynek is– terjedését biztosító feltételezett közegnek a kimutatására szerkesztette meg interferométerét. Részben az ő erőfeszítéseinek is köszönhetően az éter feltételezését ma nem tekintjük életképes hipotézisnek. Ezen túlmenően azonban a Michelsonféle interferométer széleskörűen elterjedt a fény hullámhosszának mérésére, illetve ismert hullámhosszúságú fényforrás alkalmazásával rendkívül kis távolságok mérésére és optikai közegek vizsgálatára. A 3. ábrán a Michelson-féle interferométer vázlata látható. A lézer sugárnyalábja sugárosztóra esik, amely a beeső fény 50 %-át visszaveri és másik 50 %-át átengedi. A beeső fény így két nyalábra oszlik. Az egyik a (tengelye mentén előre-hátra) mozgatható tükörre (M1) esik, a másik az álló tükörre (M2) verődik. Mindkét tükör a sugárosztóra veri vissza a fényt. A mozgatható tükörről visszavert fény egyik fele most a megfigyelő ernyőre esik be, és az álló tükörről visszaverődő fény fele a sugárosztón áthaladva szintén a megfigyelő 3. ábra ernyőre esik. Ily módon az eredeti sugárnyaláb először kettéosztódik, majd a keletkezett nyalábok egy része visszafelé egyesül egymással. Mivel a nyalábok ugyanabból a fényforrásból származnak, fázisuk erősen korrelált. Így, amikor lencsét helyezünk a lézer fényforrás és a sugárosztó közé, a fénynyaláb kitágul és a megfigyelő ernyőn sötét és világos gyűrűkből álló kép jelenik meg (4. ábra). 4. ábra 7. Optika II. / 5
Mivel a két interferáló nyaláb ugyanabból a forrásból származik, fázisuk eredetileg azonos volt. Relatív fázisuk, amikor a megfigyelő ernyő bármely pontjában találkoznak, attól az optikai úthossztól függ, amelyet ezen pont eléréséig megtettek. M1 mozgatásával az egyik nyaláb úthossza változtatható. Mivel a nyaláb az M1 és a sugárosztó közötti utat kétszer teszi meg, M1-et 1/4 hullámhossznyival közelítve a sugárosztóhoz, a nyaláb úthossza 1/2 hullámhossznyival csökken. Eközben megváltozik az interferenciakép. A maximumok sugara oly módon csökken, hogy a korábbi minimumok helyét foglalják el. Ha M1-et tovább mozgatjuk 1/4 hullámhossznyival a sugárosztó felé, a maximumok sugara tovább csökken úgy, hogy a maximumok és a minimumok ismét helyet cserélnek, és az új elrendezés megkülönböztethetetlen lesz az eredeti képtől. Lassan mozgatva a tükröt egy meghatározott dN távolságon és közben leszámolva N-et, vagyis annak számát, hányszor jutott a gyűrűkép az eredeti állapotába, meghatározható a fény hullámhossza: 2d N . (13) N Ha a fény hullámhossza ismert, ugyanígy meghatározható a dN távolság.
Mérési feladatok 1.A. Lézer hullámhosszának meghatározása reflexiós ráccsal Eszközök: - optikai sín, lovasok - pozicionálható lézerdióda - vízszintes korong - fém vonalzó, bekarcolt 1 mm-es ill. 0,5 mm-es beosztással - ernyő - milliméterpapír - mérőszalag Reflexiós rácsként fém vonalzót használunk. A vonalzó az 1 ill. 0,5 mm-es skálájával tulajdonképpen egy 1 ill. 0,5 mm rácsállandójú reflexiós rács. A bekarcolt jelek mentén a fény elhajlik, a szomszédos beosztásokon elhajlott fénynyalábok interferálnak egymással, és ha a beesési szög elég nagy (súrló beesést hozunk létre), akkor az ernyőn egy sorozat fénypöttyöt kapunk, a különböző rendű rácsképeket. [Az eredeti ötlet, hogy tolómérő felhasználható reflexiós rácsként, és tolómérővel ily módon nemcsak egy cső vagy valami munkadarab szélessége, hossza, hanem a fény hullámhossza is mérhető, annak ellenére, hogy a hullámhossz sokkal kisebb, mint a legfinomabb beosztás, a Trinity College Fizika Intézetéből (Dublin, Írország) származik.]
5. ábra. A fény elhajlása a reflexiós rácson súrló beesésnél 7. Optika II. / 6
Vizsgáljuk meg, mennyi az úthosszkülönbség két szomszédos beosztásról származó elhajlított hullám (a és b) között (5. ábra)! s = CB – AD . (14) Ha adott az beesési szög, akkor maximális erősítést azoknál a m elhajlási szögeknél kapunk, melyekre az úthosszkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, D∙(sin – sinm) = m∙ . (15) D, a rácsállandó esetünkben 0,5 mm. Feladat: Ragasszunk egy milliméterpapír-csíkot az ernyőre, és tegyük az ernyőt az optikai sín végére egy alacsony lovasba. A sín másik végére tegyük fel a lézert (alacsony lovasban), és állítsuk be úgy, hogy a lézersugár az ernyő alsó részét érje. Ezután helyezzük a vonalzót a forgatható korongra (magas lovason) úgy, hogy a lézersugár a 0,5 mm-es skálára essen. A vonalzó és a korong helyét, valamint a lézert állítsuk be úgy, hogy a legfényesebb pötty (az egyszerű visszavert sugár) alatt legfeljebb egy pötty, fölötte viszont legalább 8 pötty legyen látható az ernyőn. (Ha szükséges, emeljük meg a lézertartót a lovasban.) Jelöljük meg a pöttyök helyét (P0, P1,....) a milliméterpapíron, mérjük meg a mérőszalaggal a vonalzón látható fényfolt közepének távolságát (L) az ernyőtől, és (a korongot levéve) jelöljük meg az eltérítetlen lézersugár foltját (R) is. Kiértékelés: A 4. ábrán látjuk kissé eltorzítva a mérési elrendezést a kiértékeléshez szükséges mennyiségek feltüntetésével. Az el nem térített lézersugár helye az ernyőn R, az elhajlási kép fényfoltjainak helye rendre P0, P1,…. A P0 pont, a legfényesebb fényfolt középpontja, a nulladrendben elhajlított fénynyalábtól származik. A nulladrendben elhajlított nyaláb tulajdonképpen az egyszerű visszavert sugár, úgyhogy 0 = . Az RP0 szakasz felezőpontja az O pont. Ettől a ponttól mérjük az egyes fényfoltok távolságát: x m OPm . A vonalzón lévő fényfolt távolsága az ernyőtől L. Látható, hogy tg m = L / xm . (16)
6. ábra. A mérési elrendezés lézer hullámhosszának meghatározásához Ebből meghatározzuk az elhajlási szögeket, majd sinm-et: L L sin m sin arctg xm L2 x 2 m
ábrázoljuk m függvényében. Másrészt (14)-ből kifejezve sinm-et: sinm = sin – m∙/D (17) látható, hogy ez egy egyenest ad m függvényében, melynek meredeksége –/D. tehát meghatározható a mérési pontokra illesztett egyenes meredekségéből a rácsállandó ismeretében. 7. Optika II. / 7
A jegyzőkönyvben beadandó: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük m-et, xm-et, és sin m értékét 6 tizedes pontossággal kiszámítva. Ábrázoljuk sin m-et az elhajlás rendjének, m-nek a függvényében! Számoljuk ki a lézerdióda hullámhosszát és annak hibáját, az egyenes meredekségét és annak szórását a legkisebb négyzetek módszerével meghatározva! 1.B. Hajszál vastagságának mérése A hajszál vastagsága összemérhető a fény hullámhosszával, így alkalmas arra, hogy megfigyeljük rajta az elhajlás jelenségét. A hajszál szélein elhajló fénynyalábok által létrehozott elhajlási képből megmérhető a hajszál vastagsága is. Eszközök: - optikai sín, lovasok, diatartó, ernyő - pozicionálható lézerdióda - hajszál diakeretben - mérőszalag Feladat: Az előző méréshez hasonlóan helyezzük el az optikai sínen a lézert és az ernyőt, majd közéjük a diatartóban a hajszálat. A lézer pozicionálásával állítsuk elő az elhajlási képet. Mérjük meg az első 3 kioltási hely pozícióját az ernyőn, és mérjük meg a hajszál távolságát az ernyőtől. Kiértékelés: A hajszál két széléről, azaz egymástól D távolságról kiinduló két fénynyaláb interferenciája következtében (11) szerint kioltás azokon a helyeken jön létre, ahol D∙sinm = (2m+1) ∙/2. Mivel kicsi, sin közelíthető tg-val, vagyis sin m ≈ tg m = x m /L. A hajszáltól L távolságra lévő ernyőn tehát a kioltási helyek távolsága a középponttól (azaz a nulladrendű maximumtól) xm = (2m+1) ∙ L / 2D , és két szomszédos kioltási hely távolsága x =L / D . Két szomszédos kioltási hely távolságából tehát kiszámolható a hajszál vastagsága. (A lézer hullámhosszát, azaz értékét az előző feladatban meghatároztuk.) Vessük össze a most kiszámolt értéket az Optika I. mérésnél kiszámolt értékkel! 1.C. Transzmissziós rács rácsállandójának meghatározása Eszközök: - optikai sín, lovasok, diatartó, ernyő - diakeretbe foglalt transzmissziós rács - pozicionálható lézerdióda Feladat: Az előző méréshez hasonlóan helyezzük el az optikai sínen a lézert és az ernyőt, majd közéjük a diatartóban a transzmissziós rácsot, és állítsuk elő az elhajlási képet. Mérjük meg az első 2-3 kioltási hely pozícióját az ernyőn, és mérjük meg a rács távolságát az ernyőtől. A jegyzőkönyvben beadandó: a rácsállandó értéke. 2.A. A Michelson-féle interferométer összeállítása és beszabályozása (demonstráció) 1. Szereljük a lézertartót, a sugárosztót és a tükröket az interferométer alapra! Most mindkét tükör álló, de a dőlésszögük állítható. 2. Helyezzük el a sugárosztót a lézernyalábbal 45°-os szöget bezárólag a jelzések közé úgy, hogy a visszavert nyaláb az M2 tükör közepére essék. 3. Ekkor két fényes pontsorozatot kell látnunk a megfigyelő ernyőn. Az egyik pontsorozat az egyik tükörről, a másik a másik tükörről jön létre, mindegyik pontsorozat egy fényes pontot és két vagy több kevésbé fényes pontot tartalmaz (a többszörös visszaverődés miatt). Állítsuk a sugárosztó 7. Optika II. / 8
szögét addig, amíg a két pontsorozat a lehető legközelebb kerül egymáshoz, majd rögzítsük a sugárosztó helyzetét! 4. A tükrök hátoldalán lévő csavarokkal állítsuk be azok hajlásszögét úgy, hogy a két pontsorozat a megfigyelő ernyőn egybeessék! 5. Helyezzünk egy (18 mm fókusztávolságú) lencsét a lézer és a sugárosztó közötti nyalábba, és állítsuk be úgy, hogy a széttartó nyaláb a sugárosztóra koncentrálódjék! Ekkor koncentrikus gyűrűknek kell megjelenniük a megfigyelő ernyőn. Ha nem így volna, állítsunk be a tükrök dőlésszögén, amíg a gyűrűk meg nem jelennek. 2.B. Kerámiacső lineáris hőtágulási együtthatójának meghatározása (közös feladat) 6. Cseréljük ki az egyik tükröt a kerámiacsövet tartó állványra. A vízszintesen befogott kerámiacső végére van rögzítve a tükör. A kerámiacső feszültség ráadásával fűthető, és a hőmérsékletét tudjuk mérni egy benne elhelyezett Pt ellenálláshőmérővel. 7. Állítsuk be a tükör dőlésszögét úgy, hogy megjelenjenek a koncentrikus gyűrűk. 8. Az Pt ellenálláshőmérő névleges ellenállása t0 = 0 C-on R0 = 1000 . Olvassuk le az ellenállásmérő műszerről az ellenállást, és mérjük meg a szobahőmérsékletet. Számoljuk ki ezek alapján, hány -ot kell mutasson az ellenállásmérő műszer, ha 25 C-kal akarjuk emelni a kerámiacső hőmérsékletét. R(t) = R0 ( 1 + (t–t0) ) 9. Jelöljünk meg az ernyőn egy kioltási pontot a belső gyűrűk egyikén. Kezdjük el fűteni a kerámiacsövet. A koncentrikus gyűrűk sugara most folyamatosan változik, az ernyőn kijelölt pontban hol erősítés, hol kioltás lesz (az adott pont hol világos, hol sötét lesz). 10. Figyeljük, mikor érjük el a 25 C-os hőmérsékletnövelésnek megfelelő ellenállásértéket, és közben számoljuk, hányszor lett újra sötét a megfigyelt pont. 11. Számoljuk ki, mennyivel változott meg a kerámiacső hossza! = 650 nm 12. Olvassuk le a kerámiacső hosszát. Számoljuk ki a kerámiacső lineáris hőtágulási együtthatóját.
Kérdések, gyakorló feladatok: A jegyzetben szereplő legfontosabb fogalmak ismertetése: pl. elhajlás, Huygens-elv, interferencia … A mérési elrendezések rajzai. Igaz-e, hogy * - a 0,5 m hullámhosszú elektromágneses sugárzás a látható fény tartományába esik? - az elsőrendű elhajlási képek távolsága arányos a hullámhosszal? - ha az elektromágneses hullám más közegbe lép be, a hullámhossza változatlan marad? - interferencia esetén az eredő amplitúdó akkor minimális, ha a fáziskülönbség 2egész számú többszöröse? - a törésmutató függ a fény frekvenciájától? * A válaszokhoz indoklást is kérünk! Feladatok: 1. Üvegbe levegőből érkező 710 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60, a törési szög 30. Mekkora a fény - sebessége - hullámhossza - frekvenciája az üvegben? 2. Transzmissziós rácsot merőlegesen beeső koherens fénynyalábbal világítunk meg, a hullámhossz 633 nm (He-Ne lézer). Az elsőrendű elhajlási képek távolsága 50 cm, a rács és az ernyő távolsága 75 cm. Számítsuk ki a rácsállandót! 7. Optika II. / 9
Gyakorló feladatok: 1. Üvegbe levegőből érkező 760 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60, a törési szög 30. Mekkora az üvegben a fény – hullámhossza, – terjedési sebessége és – frekvenciája? Adjuk meg a hullámszámvektor nagyságát is az üvegben! Megoldás: A beesési és törési szögből számolható az üveg törésmutatója: n = sin 60 / sin 30 = 1,732. Az üvegbeli hullámhossz: = / n, ahol = 760 nm a vákuumbeli hullámhossz, tehát = 439 nm. A terjedési sebesség az üvegben v = c/n = 3108 / 1,732 = 1,732108 m/s. A frekvencia = c / 0 = v / = 3,951014 Hz A k vektor nagysága k = 2 = 2/(43910-9) = 1,43107 m-1, iránya a terjedés iránya. 2. Két, azonos irányban lineárisan polarizált, azonos frekvenciájú síkhullám alkot egy fénynyalábot. Az egyes síkhullámokban az elektromos térerősség nagysága: E1 = 3 sin(t – kx –/6) E2 = 4 sin(t – kx + /3). Adjuk meg az eredő hullám amplitúdóját és fázisállandóját! Megoldás: Vezessük be a = t–kx jelölést, és legyen az eredő hullám amplitúdója A, fázisállandója . E1 = 3 sin cos(/6) – 3 cos sin(/6) , E2 = 4 sin cos(/3) + 4 cos sin(/3) E1 + E2 = sin(3cos(/6)+4cos(/3)) + cos(4sin(/3)–3sin(/6)) = Acossin + Asincos. A cos-t és sin-t tartalmazó tagok együtthatóit egyenlővé téve a fenti egyenlet mindkét oldalán, kapjuk: A sin = 4 sin(/3) – 3sin(/6) , A cos = 3cos(/6) + 4cos(/3). Mindkét egyenletet négyzetre emelve és a két egyenletet összeadva: A2 = 16 + 9 – 24 sin(/3)sin(/6) + 24 cos(/3)cos(/6) = 25 – 24 cos(/3+/6) = 25 → A = 5. A két egyenletet elosztva: tg = 0,4272 → = 0,4037. 3. Transzmissziós rácsot merőlegesen beeső koherens fénynyalábbal világítunk meg, a hullámhossz 633 nm (He-Ne lézer). Az elsőrendű elhajlási képek távolsága 50 1 cm, a rács és az ernyő távolsága 60 1 cm. Számítsuk ki a rácsállandót és a rácsállandó hibáját! Megoldás: (11) szerint D∙sin = , ahol az első rendben elhajlított sugár és a rácssík normálisa által bezárt szög, = 633 nm a hullámhossz. tg = x/L, ahol L = 0,6 m, és x az elsőrendű képpont távolsága a nulladrendű képponttól, vagyis x = 0,25 m. Behelyettesítve
x 2 L2 1,65 m . sin arctg ( x / L) x A rácsállandó hibája: (x = 0,5 cm és L = 1 cm) D
2
2 2 L D D L2 D L x L x 0,04 m . 2 2 2 2 2 L x x x L x x L 2
7. Optika II. / 10
