7. Kétváltozós függvények

Villamosmérnök Szak, Távoktatás

Matematika segédanyag

7. Kétváltozós függvények 7.1. Alapfogalmak

Definíció Az A és B halmazok A × B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melynek elemei mindazon (a, b) rendezett párok, amelyekre a ∈ A és b ∈ B. Példa: Ha A = {a, b, c} és B = {1, 4}, akkor A×B = {(a, 1) , (a, 4) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 1) , (c, 4)}

Megjegyzés: Az, hogy A×B elemei rendezett párok, azt jelenti, hogy lényeges, hogy melyik elem van elöl, és melyik a második. A fenti példában (a, 1) ∈ A × B, de (1, a) < A × B.

Példa: R × R elemei a valós számokból álló rendezett párok. (Olyan rendezett párok, melyek els˝o és második eleme is valós szám.) Jelölés: Az R × R halmazt szokás röveiden R2 -tel jelölni.

Megjegyzés: Ezt a halmazt az xy koordináta-síkkal szokás szemléltetni, mert R × R minden x, y elemének megfeleltetjük a sík azon pontját, melynek els˝o koordinátája x, második koordinátája y. (Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelm˝u.) Példa: [2, 4] × [1, 2] elemei olyan valós számokból álló rendezett párok, amelyek els˝o eleme 2 és 4 közé, második eleme 1 és 2 közé esik. Megjegyzések: • Ugyanez a halmaz a következ˝oképpen is felírható: x, y | 2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2

• A halmaz szemléltethet˝o az xy síkban egy téglalappal. y 2 1

x 1 2 3 4

Megjegyzés: Könnyen látható, hogy [2, 4] × [1, 2] ⊂ R2 . Az R2 részhalmazai az xy sík részhalmazaival szemléltethet˝ok, melyek esetenként az elemi geometriából jól ismert síkidomok.

Készítette: Vajda István

87



Definíció Legyen H ⊆ R2 halmaz. Az f : H → R függvényeket kétváltozós függvényeknek nevezzük. Példa:

x2 x, y → 7 y

f : [2, 4] × [1, 2] → R, Jelölés: Ugyanezt a függvényt így is megadhatjuk: f : [2, 4] × [1, 2] → R,

x2 f x, y = y

Megjegyzések: • A függvény értelmezési tartománya a korábban már megismert [2, 4] × [1, 2] halmaz. 2 • Az értelmezési tartomány egyes pontjaihoz tartozó függvényértékeket az f x, y = xy képletbe való helyettesítéssel határozhatjuk meg. Például a (4, 2) ponthoz tartozó függ2 vényérték f (4, 2) = 42 = 8. • A függvény által felvett legkisebb függvényérték 2, melyet a függvény a (2, 2) pontban vesz fel, a legnagyobb függvényérték pedig 16 és a (4, 1) ponthoz tartozik. • Bizonyítható, hogy a függvény értékkészlete a [2, 16] intervallum. Az ábrán az értelmezési tartomány és annak néhány pontjához tartozó függvényérték látható: y 2 1

2 4

6

8

16 x 1 2 3 4

Egy másik lehetséges ábrázolás: y 2 1

x 1 2 3 4 Függvényértékek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16


88



Leggyakrabban háromdimenziós koordinátarendszerben ábrázoljuk a kétváltozós függvényeket: z

x2 z= y

y

x Megjegyzés: El˝ofordul, hogy a koordinátatengelyeken nem ugyanolyan hosszúságú szakaszokat választunk egységnek. Így van ez a fenti ábrán is, ahol a z-tengelyen rövidebb szakasz felel meg egy egységnek, mint az x, illetve y-tengelyen. 7.1.1. Értelmezési tartomány A kétváltozós függvény definíciójában szerepl˝o H halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Az értelmezési tartomány gyakran explicit módon szerepel a függvény me 2 gadásában, mint pl. a fenti f : [2, 4] × [1, 2] → R, x, y 7→ xy függvény esetén. Ha nem adjuk meg külön az értelmezési tartományt, akkor R2 azon legb˝ovebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománynak, ahol a függvény értelmezhet˝o és értékei valós számok. Példák: p • Ha f x, y = 9 − x2 − y2 , akkor a függvényérték csak abban az esetben valós szám, ha 9 − x2 − y2 ≧ 0, azaz x2 + y2 ≦ 0. A függvény értelmezési tartománya tehát D f = x, y | x2 + y2 ≦ 9 . Ennek az értelmezési tartománynak a képe az xy síkban az origó középpontú, r = 3 sugarú (zárt) körlap. y 3 2 1 −3 −2 −1

x 1 2 3

−2 −3

Megjegyzés: A halmaz zárt, ha minden határpontját tartalmazza, nyílt, ha egyetlen határpontját sem tartalmazza. Készítette: Vajda István

89



• Legyen g x, y = ln x + 2y . Mivel csak a pozitív számok logaritmusát értelmezzük, D g = x, y | x + 2y > 0 . Ezt a halmazt az xy síkban egy nyílt félsíkkal szemléltethetjük: y 3 2 1 −3 −2 −1

x 1 2 3

−2 −3

7.1.2. Értékkészlet

Definíció Az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvény értékkészletén azt az R f ⊆ R halmazt értjük, amelynek minden z eleméhez létezik x, y ∈ H, amelyre f x, y = z.

Példák: 2 • A korábban megismert f : [2, 4] × [1, 2] → R, x, y 7→ xy függvény értékkészlete R f = [2, 16] p • Az f x, y = 9 − x2 − y2 függvény értékkészlete az R f = [0, 3] intervallum. • A g x, y = ln x + 2y függvény értékkészlete a valós számok halmaza, azaz Rg = R.

7.1.3. Korlátosság

Definíció Az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvény alulról korlátos, ha ∃k ∈ R, amelyre teljesül, hogy ∀ x, y ∈ H esetén f x, y ≧ k.

Magyarázat: A ∃k ∈ R jelölés azt jelenti, hogy van olyan (k-val jelölt) valós szám, a ∀ x, y ∈ H pedig azt, hogy minden H halmazbeli x, y pár. Tehát a definíció szerint alulról korlátosnak nevezzük azt a függvényt, amelyhez létezik olyan (k-val jelölt) valós szám, amely minden függvényértéknél kisebb vagy egyenl˝o. Készítette: Vajda István

90



Definíció Az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvény felülr˝ol korlátos, ha ∃K ∈ R, amelyre teljesül, hogy ∀ x, y ∈ H esetén f x, y ≦ K. Definíció Az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvény korlátos, ha alulról is és felülr˝ol is korlátos. Megjegyzés: Ha k ∈ R alsó korlátja egy függvénynek, akkor minden k-nál kisebb szám is alsó korlátja és hasonlóan, ha K ∈ R fels˝o korlát, akkor minden K-nál nagyobb szám is fels˝o korlát. Példák: 2 • Az f : [2, 4] × [1, 2] → R, x, y 7→ xy függvény korlátos, mert a 2 alsó- a 16 pedig fels˝o korlátja. Ugyanennek a függvénynek pl. a 0 is alsó korlátja és pl. a 20 is fels˝o korlátja. A függvény legnagyobb alsó korlátja a 2 és a legkisebb fels˝o korlátja a 16. p • Az f x, y = 9 − x2 − y2 függvény ugyancsak korlátos, legnagyobb alsó korlátja 0, legkisebb fels˝o korlátja 3. • A g x, y = ln x + 2y függvény nem korlátos, mert sem alsó, sem fels˝o korlátja nincs. (Pl. a 100 nem fels˝o korlátja ha van olyan x, y pár, amelyre g x, y = ln x + 2y > 100. Ennek feltétele, hogy x + 2y > e100 teljesüljön. Ez könnyen teljesíthet˝o is, ha x-et és y-t elég nagynak választjuk. Ugyanilyen gondolatmenettel bármilyen valós számról bebizonyíthatjuk, hogy nem fels˝o korlátja a függvénynek.) • Az f x, y = x2 + y2 függvény sem korlátos. Igaz, hogy van alsó korlátja (a 0 a legnagyobb alsó korlát), felülr˝ol azonban nem korlátos.


91



7.1.4. Folytonosság

Definíció Legyen P0 x0(, y0 ∈ R2. A P0 pont (R2-beli) δ-sugarú környe) q 2 zetén a Gδ = x, y (x − x0)2 + y − y0 < δ, x, y ∈ R2

halmazt értjük.

Megjegyzés: A fenti környezetet az xy síkban a P0 x0 , y0 középpontú δ-sugarú nyílt körlappal szemléltethetjük.

Definíció Az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvény a P0 x0, y0 pontban folytonos, ha ∀ε > 0 számhoz megadható P0 egy olyan G ⊆ D környezete, amelyre teljesül, hogy ∀ x, y ∈ G esetén f f x, y − f x0, y0 < ε.

Példa: Az f x, y = x2 + y2 függvény folytonos a (0, 0)√helyen (az origóban), mert ha ε tetsz˝oleges pozitív szám, pakkor létezik δ amelyre 0 < δ < ε és ha x, y a (0, 0) δ sugarú 2 2 környezetében van, azaz x + y < δ, akkor f x, y − f (0, 0) = x2 + y2 < δ2 < ε.

Tétel: Ha az f és g kétváltozós függvények folytonosak x0, y0 -ban, akkor ott összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos. f Ha g x0, y0 , 0, akkor g is folytonos x0, y0 -ban.

Megjegyzés: A tételb˝ol következik, hogy a fenti példában szerepl˝o f x, y = x2 + y2 függvény nemcsak a (0, 0) pontban, hanem mindenütt folytonos.


92



7.2. A kétváltozós függvények differenciálszámítása 7.2.1. Parciális derivált

Definíció Legyen az f x, y kétváltozós függvény értelmezve a P0 x0, y0 pont egy környezetében. Ha a f x, y0 − f x0, y0 lim x→x0 x − x0

határérték létezik és véges, akkor az f függvényt az x változó szerint parciálisan differenciálhatónak nevezzük az P0 pontban. A fenti határértéket az f függvény P0-beli x szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Megjegyzés: Hasonlóan értelmezhetjük az y változó szerinti parciális differenciálhatóságot is. Jelölés: Az fx′ x0 , y0 f x, y függvény x0 , y0 pontbeli x szerinti parciális deriváltját ∂f ∂f -lal, y szerinti parciális deriváltját f y′ x0 , y0 -nal, vagy -lal jelöljük. nal, vagy ∂x P=P0 ∂y P=P0 Példák: • Számítsuk ki az f x, y = x2 + y2 kétváltozós függvény P0 (2, 1) pontbeli parciális deriváltjait! Megoldás: x2 + 1 − (4 + 1) x2 − 4 (2, 1) = lim = lim = lim (x + 2) = 4 x→2 x→2 x − 2 x→2 x−2 4 + y2 − (4 + 1) y2 − 1 f y′ (2, 1) = lim = lim = lim y + 1 = 2 y→1 y→1 y − 1 y→1 y−1 fx′

x2 • Számítsuk ki az f x, y = kétváltozós függvény P0 (1, 3) pontbeli x szerinti parciális y deriváltját! Megoldás: fx′

(1, 3) = lim


x→1

2 x 3

−

x−1

1 3

= lim x→1

1 x2 − 1 x+1 2 · = lim = x→1 3 x−1 3 3 93



Megjegyzés: A kétváltozós függvény parciális deriváltjának is van szemléletes jelentése. (Akárcsak az egyváltozós függvény deriváltjának.) Tegyük fel, hogy az f függvény P0 x0 , y0 pontjához tartozó parciális deriváltak léteznek. A P0 x0 , y0 ponton át végtelen sok olyan síkot fektethetünk, amely a koordinátarendszer z tengelyével párhuzamos, de ezek között csak egy olyan van, amely az x-tengellyel is párhuzamos. Ez a függvényt ábrázoló felületb˝ol egy xz síkkal párhuzamos görbét metsz ki. Ehhez a görbéhez az x0 , y0 , f x0 , y0 pontban érint˝ot rajzolhatunk. (Az ábrán pirossal rajzolt egyenes.) Ennek az érint˝onek a meredeksége (a konkrét példában a ba hányados) az x szerinti parciális derivált szemléletes jelentése. Az y változó szerinti parciális derivált szemléletes jelentése hasonló, csak akkor a P0 ponton átmen˝o yz síkkal párhuzamos sík metszi ki a felületb˝ol a megfelel˝o görbét. z

z = x2 + y 2

b

y

a

x


94



Definíció Jelentse G azt a halmazt, amelynek pontjaiban az f : R2 ⊇ H → R kétváltozós függvénynek létezik az x-szerinti parciális deriváltja. (Nyilván G ⊆ H.) Ekkor azt a G → R függvényt, amely G minden pontjában az f függvény adott pontbeli x-szerinti parciális deriváltját veszi fel értékül, az f függvény x-szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük. ∂f fx′ x, y , illetve . ∂x Megjegyzések: Jelölés: fx′ ,

• Hasonlóan értelmezhet˝o az y-szerinti parciális deriváltfüggvény is. • A kétváltozós függvény parciális deriváltfüggvényei is kétváltozós függvények. (G ⊆ R2 ) • A kétváltozós függvények parciális deriváltfüggvényeit hasonlóan határozhatjuk meg, mint az egyváltozós függvények deriváltfüggvényeit, mindössze arra kell ügyelni, hogy a másik változót (tehát amelyik szerint éppen nem deriválunk) konstansként kell kezelni. Példák: ∂f • Ha f x, y = x2 y2 + 3xy + 2x + 4y − 6, akkor fx′ x, y = = 2xy2 + 3y + 2, ∂x mert x2 deriváltja 2x és y2 csak konstans szorzónak számít, . . . ∂f f y′ x, y = = 2x2 y + 3x + 4 ∂y Ebben is minden valós az esetben az eredeti függvény is és a parciális deriváltfüggvények 2 ′ ′ x, y számpárra értelmezettek, azaz D f = D fx = D fy = R . p ∂f x • Ha f x, y = 9 − x2 − y2 , akkor fx′ x, y = =−p és ∂x 9 − x2 − y2 y ∂f f y′ x, y = =−p ∂y 9 − x2 − y2 Itt D f (= H) az origó középpontú 3 egység sugarú zárt körlap, míg D fx′ = D fy′ (= G) az origó középpontú 3 egység sugarú nyílt körlap. (Tehát az eredeti függvény értelmezett a körvonal pontjaiban, de ott parciálisan nem differenciálható egyik változó szerint sem.)

Megjegyzés: A korábbiakban láttunk példát a parciális derivált kiszámítására a definíció alapján, azonban sokkal egyszer˝ubb, ha el˝oállítjuk a parciális deriváltfüggvény(eke)t, és behelyettesítünk. Készítette: Vajda István

95



Példák: • Számítsuk ki az f x, y = x2 + y2 kétváltozós függvény P0 (2, 1) pontbeli parciális deriváltjait! Megoldás: fx′ x, y = 2x, ezért fx′ (2, 1) = 4, f y′ x, y = 2y, ezért f y′ (2, 1) = 2. x2 • Számítsuk ki az f x, y = kétváltozós függvény P0 (1, 3) pontbeli x szerinti parciális y deriváltját! 2x 2 Megoldás: fx′ x, y = , ezért fx′ (1, 3) = . y 3

Definíció Ha az f x, y kétváltozós függvény parciálisan differenciálható a P0 x0, y0 pont egy környezetében egyik vagy mindkét változója szerint és parciális deriváltfüggvénye(i) parciálisan differenciálható(k) P0-ban, (az egyik vagy minkét változó szerint), akkor f kétszer differenciálható parciálisan a P0 pontban és parciális deriváltfüggvényének parciális deriváltját másodrend˝u parciális deriváltnak nevezzük. Megjegyzés: Összesen négyféle másodrend˝u parciális derivált lehetséges, mert el˝oször is, másodszor is két-két változó szerint deriválhatunk parciálisan. Jelölések, elnevezések: • Ha el˝oször is és másodszor is az x változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvény x-szerinti tiszta másodrend˝u parciális deriváltjához jutunk: ∂2 f ′′ fxx (P0 ) = . ∂x2 P=P 0

• Hasonlóan értelmezhet˝o az y-szerinti tiszta másodrend˝u parciális derivált: 2 ∂ f ′′ (P0 ) = f yy . 2 ∂y P=P0

• Ha az egyik esetben az x, a másik esetben pedig az y változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvény vegyes másodrend˝u parciális deriváltjához jutunk, ami kétféle lehet aszerint, hogy melyik változó szerint deriváltunk el˝oször. Ha el˝oször deriválunk x, másodszor y szerint, akkor az 2 ∂ f ′′ (P0 ) = fxy , ∂y∂x P=P0


96



ellenkez˝o esetben az ′′ f yx

∂2 f (P0 ) = , ∂x∂y P=P 0

vegyes másodrend˝u parciális derivált az eredmény. Figyeljük meg, hogy az els˝o jelölésnél a deriválás sorrendjében balról jobbra, míg a második jelölésnél jobbról balra soroljuk fel a változókat! Megjegyzések: • Hasonlóan értelmezhetjük a harmad-, negyed- és magasabbrend˝u parciális deriváltakat is. • Az els˝orend˝u parciális deriváltfüggvényhez hasonlóan beszélhetünk magasabbrend˝u parciális deriváltfüggvényekr˝ol is. Példák: • Ha f x, y = x3 y + 2x2 y2 − 3xy, akkor fx′ x, y = 3x2 y + 4xy2 − 3y és f y′ x, y = x3 + 4x2 y − 3x ′′ ′′ ′′ ′′ fxx x, y = 6xy + 4y2 , fxy x, y = f yx x, y = 3x2 + 8xy − 3 és f yy x, y = 4x2 ′′ (2, 1) = 16, fxx

′′ ′′ (1, 3) = f yx (1, 3) = 24 és fxy

• Ha f x, y = x2 ln 3x + 2y , akkor

2x2 3x + 2y 6x 3x + 2y − 9x2 3 x, y = 2 ln 3x + 2y + 2x · + = 2 3x + 2y 3x + 2y 12x 9x2 = 2 ln 3x + 2y + − 2 3x + 2y 3x + 2y

fx′ x, y = 2x ln 3x + 2y + ′′ fxx

′′ (−1, 0) = 4 f yy

3x2 3x + 2y

′′ (1, 1) = 2 ln 5 + fxx

′′ fxy x, y =

és

f y′ x, y =

66 25

6x2 + 8xy 4x 6x2 − = 2 2 3x + 2y 3x + 2y 3x + 2y 102 ′′ (3, 2) = fxy 169

Tétel: Ha az f kétváltozós függvény vegyes másodrend˝u parciális deriváltfüggvényei értelmezettek a P0 pont egy környezetében és ′′ (P ) ′′ P0-ban folytonosak, akkor fxy 0 = f yx (P0 ). Készítette: Vajda István

97



7.2.2. Totális differenciálhatóság

Definíció Ha van a P0 x0, y0 pontnak olyan környezete, amelyben az f x, y kétváltozós függvény értelmezett, és amelynek minden P x, y pontjára f (P) − f (P0) = A (x − x0) + B y − y0 + a (P) (x − x0) + b (P) y − y0 , ahol A és B valós számok, és az a (P), b (P) kétváltozós függvényekre teljesül, hogy lim a (P) = lim b (P) = 0, akkor f P→P0

differenciálható a P0 pontban.

P→P0

Megjegyzés: Ha hangsúlyozni kívánjuk, hogy ez a differenciálhatóság más mint a parciális differenciálhatóság, akkor azt mondjuk, hogy f a P0 pontban totálisan differenciálható. (Totális (teljes) differenciálhatóság.) Példa: Láttuk korábban, hogy az f x, y = x2 + y2 függvény mindkét változója szerint parciálisan differenciálható a P0 (2, 1) pontban. Megmutatjuk, hogy ugyanitt totálisan is differenciálható: 2 f x, y − f (P0 ) = f x, y − 5 = 4 (x − 2) + 2 y − 1 + (x − 2)2 + y − 1 , tehát A = 4, B = 2, a (P) = (x − 2), b (P) = y − 1 és lim (x − 2) = lim y − 1 = 0. P→P0

P→P0

Tétel: Ha az f kétváltozós függvény (totálisan) differenciálható a P0 pontban, akkor ott folytonos is. Megjegyzés: Ha az f kétváltozós függvényr˝ol csak annyit tudunk, hogy a P0 pontban parciálisan differenciálható (esetleg mindkét változója szerint), akkor még nem biztos, hogy f folytonos is P0 -ban. Tehát az egyváltozós függvény differenciálhatóságának megfelel˝oje a kétváltozós függvényeknél nem a parciális, hanem a totális differenciálhatóság.


98



Tétel: Ha az f kétváltozós függvény (totálisan) differenciálható a P0 pontban, akkor ott mindkét változója szerint parciálisan is differenciálható. Megjegyzések: • A tétel alapján tehát mondhatjuk, hogy a (totális) differenciálhatóság er˝osebb tulajdonság, mint a parciális differenciálhatóság. (A teljes differenciálhatóságnak szükséges feltétele a (mindkét változó szerinti) parciális differenciálhatóság.) • A totális differenciálhatóság definíciójában szerepl˝o A és B együtthatók éppen a függvény adott pontbeli parciális deriváltjai: A = fx′ (P0 ) és B = f y′ (P0 ).

Definíció Ha az f x, y kétváltozós függvény a P0 x0, y0 pontban totálisan differenciálható, akkor a d f = fx′ x0, y0 dx + f y′ x0, y0 dy

kifejezést az f függvény P0-beli teljes (totális) differenciáljának nevezzük. Példa: Az f x, y = x2 y − 3xy kétváltozós függvény teljes differenciálja a P 0 (2, 3) pontban d f = 3dx − 2dy, mert fx′ x0 , y0 = 2xy − 3y x = 2 = 3 és f y′ x0 , y0 = x2 − 3x x = 2 = −2. y=3


y=3

99



7.3. A kétváltozós függvények differenciálszámításának alkalmazásai 7.3.1. Felület érint˝osíkja

Tétel: Ha az f x, y kétváltozós függvény a P0 x0, y0 pontban totálisan differenciálható, akkor a z = f x, y felületnek az x0, y0, f x0, y0 pontban létezik érint˝osíkja és annak ′ (P ) ′ (P ) n fx 0 , f y 0 , −1 egy normálvektora. Példa: Láttuk, hogy az f x, y = x2 y − 3xy kétváltozós függvény totálisan differenciálható a P0 (2, 3) pontban. Mivel f (P0 ) = −6, ezért az E (2, 3, −6) pont rajta van a kétváltozós függvényt ábrázoló z = x2 y − 3xy felületen. Az E pontban a felülethez érint˝osík húzható, melynek normálvektora n (3, −2, −1). Tehát a felület E ponthoz tartozó érint˝osíkjának egyenlete 3x − 2y − z = 6. 7.3.2. Hibaszámítás

Tétel: Ha az f x, y kétváltozós függvény a P0 x0, y0 pontban totá lisan differenciálható, és az x0, illetve y0 számokat |∆x| és ∆y abszolút hibával tudjuk meghatározni, akkor a függvényérték hibáját az ′ ′ f (P) − f (P0) = ∆ f ≈ fx x0, y0 ∆x + f y x0, y0 ∆y ≦ ′ ′ ≦ fx x0, y0 |∆x| + f y x0, y0 ∆y összefüggés alapján tudjuk becsülni.

Példa: Méréssel megállapítottuk, hogy egy egyenes körhenger alapkörének sugara r = 3±0, 01(cm), magassága m = 8±0, 005(cm). Határozzuk meg a henger térfogatát, valamint a számított térfogat abszolút és relatív hibáját! Megoldás: V = r2 mπ ≈ 72π ≈ 226, 2 Készítette: Vajda István

100



A térfogatfüggvény parciális deriváltjai: Vr′ r = 3 = 2rmπ| r = 3 = 48π Vm′ r = 3 = r2 π m=8

m=8

m=8

r=3 m=8

= 9π

A térfogat abszolút hibája: |∆V| = 48π · 0, 01 + 9π · 0, 005 = 0, 525π ≈ 1, 649 cm3 |∆V| 0, 525π A térfogat relatív hibája: δV = = ≈ 0, 0073 |V| 72π


101



7.4. A kétváltozós függvények integrálszámítása 7.4.1. A határozott integrál fogalma

Definíció Legyen adott az xy síkban egy téglalap, melynek oldalai a koordinátatengelyekkel párhuzamosak. Ha a téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesek segítségével kisebb téglalapokra bontjuk, akkor az eredeti téglalap egy felosztását kapjuk. A felosztás finomságán a „kis” téglalapok átlóinak legnagyobbikát értjük. Jelölés: Szokás a felosztást F-fel, a felosztás finomságát dF-fel jelölni. y

dF

x


102



Definíció Egy folytonos, zárt görbe által meghatározott tartomány felosztását egy a tartományt magában foglaló téglalap felosztásával kapjuk. Megjegyzés: A tartomány felosztása olyan síkidomokat határoz meg, melyek csak a határvonaluk mentén érintkezhetnek és együttesen lefedik a tartományt. Területük összege így a tartomány területét adja. y

x


103



Definíció Legyen adott egy folytonos, zárt görbe által meghatározott T tartomány és ennek egy F felosztása, továbbá legyen értelmezett T-n egy f kétváltozós függvény. Az f függvény egy F felosztáshoz tartozó Riemann-féle integrálközelít˝o összegén a n X i=1

f xi, yi ·ti = f x1, y1 ·t1 + f x2, y2 ·t2 +. . .+ f xn, yn ·tn

összeget értjük, ha az F felosztás a T tartományt n síkidomra bontja, melyek területe t1, t2, . . . , tn , és az xi, yi pont a ti terület˝u síkidom egy tetsz˝oleges pontja. y

t2 t1 (x2 , y2 ) (x1 , y1 )

x

Megjegyzés: Ha az f függvény a T tartományon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor az integrálközelít˝o összeg a függvényt ábrázoló felület T tartomány feletti része és a T tartomány közötti térrész térfogatának közelítése. A közelítés annál pontosabb, minél finomabb felosztást alkalmazunk.


104



Definíció Legyen adott egy folytonos, zárt görbe által meghatározott T tartomány és legyen az f kétváltozós függvény értelmezett T-n. Az f függvény Riemann-értelemben integrálható T-n, ha minden végtelenül finomodó felosztássorozat esetén az ehhez tartozó integrálközelít˝o összegek sorozata egy véges számhoz tart. n P (Azaz a lim f xi, yi · ti határérték létezik és véges.) Ezt a n→∞ dFn → 0

i=1

számot az f függvény T tartományon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölés:

!

f vagy

T

! T

Megjegyzések:

f x, y dT

• Bizonyítható, hogyha az f függvény integrálható a T tartományon, akkor mindegy, hogy T melyik végtelenül finomodó felosztássorozatát vesszük, az ehhez tartozó integrálközelít˝o összegek sorozata mindig ugyanahhoz a számhoz tart, függetlenül attól, hogy a résztartományok melyik pontjában felvett függvényértéket használjuk fel az integrálkö zelít˝o összeg kiszámításához. (Tehát nem számít, hogy xi , yi a ti terület˝u tartomány melyik pontja.) Azt mondhatjuk, tehát, hogy a Riemann-integrál, ha létezik, akkor egyértelm˝u. • Ha az f függvény a T tartományon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor a függvényt ábrázoló felület T feletti része és a T tartomány közé es˝o térrész ! térfogata éppen az f függvény T tartományon vett határozott integrálja, azaz V = f . Ez a kétváltozós függvény Riemann-integráljának szemléletes jelentése.


T

105



7.4.2. A határozott integrál kiszámítása

Tétel: Ha az f nkétváltozós, valós függvény értelmezett és integrálható o a T = x, y ∈ R2 | a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d téglalapon, akkor ezen téglalapon vett határozott integrálja:     d b b d " Z Z Z Z          f =  f x, y dx dy =  f x, y dy dx     c

T

a

a

c

Megjegyzés: • Mint a tételb˝ol látszik kétféleképpen lehet az integrált kiszámítani: El˝oször az x majd az y változó szerint integrálunk, vagy éppen fordítva el˝oször az y majd az x változó szerint. • Amikor az egyik változó szerint integrálunk, akkor a másikat konstansként kell kezelni. Példák: • Számítsuk ki az f x, y = x2 + 4xy függvény határozott integrálját a 2 T = x, y ∈ R | 1 ≦ x ≦ 3, 2 ≦ y ≦ 5 téglalapon! Megoldás: " T

  #3 Z5 Z3 Z5 " 3   x   2 2   f x, y dT = + 2x y dy = x + 4xy dx dy =  3  1 2

2

1

=

Z5 2

26 5 26 2 16y + dy = 8y + y = 194 3 3 2

Második megoldás: (Fordított sorrendben integrálva:) " T

  Z3 Z5 Z3 h  i5   2 2 2  dx =  x + 4xy dy x y + 2xy dx = f x, y dT =    2 1

2

1

=

Z3 1


h i3 3x2 + 42x dy = x3 + 21x2 = 194 1

106



• Számítsuk ki az f x, y = x2 + ln y függvény határozott integrálját a 2 T = x, y ∈ R | 1 ≦ x ≦ 3, 1 ≦ y ≦ 2 téglalapon! Megoldás: " T

  #3 Z2 Z3 Z2 " 3  x  2   f x, y dT = x + ln y dx dy = + x ln y dy =  3  1 1

1

1

=

Z2 1

2 20 20 26 + 2 ln y dy = y + 2y ln y = + 4 ln 2 3 3 3 1

Tétel: Ha az f nkétváltozós, valós függvény értelmezett és integrálható o 2 a T = x, y ∈ R | a ≦ x ≦ b, ϕ1 (x) ≦ y ≦ ϕ2 (x) tartományon, akkor ezen tartományon vett határozott integrálja:   (x) ϕ b 2  " Z  Z    f = f x, y dy dx    a

T

ϕ1 (x)

Megjegyzés: A tételben leírt tartományt tehát alulról és felülr˝ol egy-egy függvénygörbe, balról és jobbról pedig egy-egy egyenesszakasz határolja. (Az egyenesszakaszok esetleg ponttá is fajulhatnak.) y ϕ2 (x)

ϕ1 (x) x


107



Példák: • Integráljuk az f x, y = xy függvényt az A = (0, 0), B(4, 0), C(4, 4) pontok által meghatározott háromszögtartományon! Megoldás: y

"

4 ϕ2 (x) = x

  Z4 Zx Z4 " 2 #x   xy   xydy dx = f x, y dT = dx =   2 0  

T

0

0

0

x

=

ϕ1 (x) = 0 4

Z4 0

• Integráljuk az f x, y = y sin x függvényt a T = tartományon!

" 4 #4 x3 x dx = = 32 2 8 0

π x, y ∈ R2 | 0 ≦ x ≦ , 0 ≦ y ≦ cos x 2

Megoldás: y 1

ϕ2 (x) = cos x x ϕ1 (x) = 0

π 2

" T

π   cos x Z2  Z      dx = f x, y dT = y sin xdy  

0

π 2

=

Z " 0

0

π

2

y sin x 2

#cos x 0

dx =

Z2

1 cos2 x sin xdx = 2

0

π2 1 1 3 = − cos x = 6 6 0


108

7. Kétváltozós függvények

Recommend Documents