66

MATRIKS

Departemen Matematika FMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Matriks

Bogor, 2012

1 / 66

Topik Bahasan 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Determinan matriks

4

Matriks Invers

5

Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks

6

Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)

7

Solusi


Matriks

Bogor, 2012

2 / 66

Matriks

Definisi matriks Definisi (Matriks) Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C, D, . . . Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb. 0 a11 a12 . . . a1n B a21 a22 . . . a2n Am n = aij m n = B .. .. .. @ ... . . . am1 am2 . . . amn

1 C C A

aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j. i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. m n = ukuran atau ordo matriks A. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Matriks

Bogor, 2012

3 / 66

Matriks

Mendefinisikan matriks Cara mendefinisikan matriks: dituliskan seluruh elemennya didefinisikan elemennya Soal Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut: 1

A = aij

3 3

, aij =

2

A = aij

4 5

, aij =

1, i = j i, i 6= j

1 + i, i < j i j, i j

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

4 / 66

Matriks

Submatriks Definisi (Submatriks) Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya. Catatan: A adalah submatriks A sendiri. Soal Tentukan submatriks dari matriks A=

1 0 1 2 1 2 3 1 5

!

a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1. b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2. SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

5 / 66

Matriks

Matriks khusus 1

Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Catatan: 1 2

Khusus untuk matriks segi, ordo n n, biasa ditulis ordo n. Jika A = (aij )n n maka elemen a11 , a22 , . . . , ann disebut elemen diagonal utama matriks A.

2

Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

3

Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

4

Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In .


Matriks

Bogor, 2012

6 / 66

Operasi Matriks

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar Definisi (Penjumlahan dan pengurangan) Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m n dan 0 1 0 1 a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n b22 . . . b2n C B a21 a22 . . . a2n C B b C , B = B 21 A=B . . . . . .. .. C . .. @ .. @ .. .. .. .. A . . . A am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A B didefinisikan sebagai berikut: 0 a11 b11 a12 b12 . . . a1n b1n B a21 b21 a22 b22 . . . a2n b2n A B=B .. .. .. .. @ . . . . am1 bm1 am2 bm2 . . . amn bmn


Matriks

1

C C. A Bogor, 2012

7 / 66

Operasi Matriks

Definisi (Perkalian skalar) Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, didefinisikan sebagai berikut: 0 1 ka11 ka12 . . . ka1n B ka21 ka22 . . . ka2n C kA = B . .. .. C .. @ ... . . . A kam1 kam2 . . . kamn Catatan: A = ( 1) A


Matriks

Bogor, 2012

8 / 66

Operasi Matriks

Hukum penjumlahan dan perkalian skalar

Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k adalah skalar, maka 1 2 3 4 5

(A + B) + C = A + (B + C) A + ( A) = A A = O A+B = B+A k(A + B) = kA + kB 0A = O

dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.


Matriks

Bogor, 2012

9 / 66

Operasi Matriks

Definisi (Perkalian matriks) Misalkan A = aij m p dan B = bij p n adalah dua matriks yang berturut-turut berukuran m p dan p n. Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut:

p

dengan cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj = j = 1, 2, ..., n. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

∑ aik bkj . i = 1, 2, ..., m,

k =1

Matriks

Bogor, 2012

10 / 66

Operasi Matriks

Hukum perkalian matriks Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1

Hukum asosiatif (AB)C = A(BC)

2

Hukum distributif kiri A(B + C) = AB + AC

3

Hukum distributif kanan (B + C)A = BA + CA

4

k(AB) = (kA)B = A (kB)

Catatan: secara umum AB 6= BA.


Matriks

Bogor, 2012

11 / 66

Operasi Matriks

Putaran (transpos) matriks

Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks) Misalkan A = (aij ) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis AT , adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut:


Matriks

Bogor, 2012

12 / 66

Operasi Matriks

Sifat matriks putaran

1 2 3 4

(A B)T = AT BT ( AT ) T = A (kA)T = k AT ,dengan k skalar (AB)T = BT AT


Matriks

Bogor, 2012

13 / 66

Operasi Matriks

Soal operasi matriks Soal Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut: A = C =

1 0

1 2 3 4 ! 2 3 5 1 1 0

B=

4 1

D=

2 1 3

!

0 2

3 3

Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya. a. 2A + B b. (2A + B)C c. CT D

d. (AC)T e. AAT f. 3A + BD

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

14 / 66

Determinan matriks

Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1) Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu A = (a11 ) . Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(A) = jAj = a11 . Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulis jAj


Matriks

Bogor, 2012

15 / 66

Determinan matriks

Definisi (Determinan matriks berukuran n x n) Misalkan A = (aij )n n dan Aij adalah submatriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen aij , notasi Mij , didefinisikan sebagai Mij = det(Aij ), dan kofaktor elemen aij , notasi αij didefinisikan αij = ( 1)i+j Mij . Maka n

1

det (A) =

∑ aij αij , untuk sebarang i, i = 1, 2, . . . , n

j=1 n

2

det (A) =

∑ aij αij , untuk sebarang j, j = 1, 2, . . . , n .

i=1


Matriks

Bogor, 2012

16 / 66

Determinan matriks

Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor.


Matriks

Bogor, 2012

17 / 66

Determinan matriks

Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2) Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2 x2 a b A= c d , maka tunjukkan det(A) = ad


bc.

Matriks

Bogor, 2012

17 / 66

Determinan matriks

Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3) Jika matriks A berukuran 3 x 3 A=

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

maka det(A) = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )

!

,

(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 ) .

Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus.


Matriks

Bogor, 2012

18 / 66

Determinan matriks

Soal determinan matriks

Soal Tentukan determinan matriks berikut: 1

2

3

A=

1 3

B=

3 1 0

0

0 B 1 C=@ 0 1

2 1

! 2 1 3 2 3 1 0 1 0 0 1 1 1 1

SOLUSI


1 1 1 C 1 A 1

Matriks

Bogor, 2012

19 / 66

Determinan matriks

Sifat-sifat Determinan 1 2

3

Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0.

Soal Tentukan determinan matriks-matriks berikut: A=

3 0 0 4 2 0 5 1 0

!

, B=

2 5 0 3 0 0

3 7 1

!

0

3 B 0 , dan C = @ 0 0

2 3 2 5

4 3 2 5

8 6 4 1

SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Matriks

Bogor, 2012

20 / 66

Matriks Invers

Matriks invers Definisi (Matriks invers) Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memiliki invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = In . Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A 1 (dibaca: invers matriks A) Sifat matriks invers: 1

Invers suatu matriks bersifat tunggal.

2

Jika matriks A dan B memiliki invers, maka (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 ( AT ) 1 = ( A 1 ) T


Matriks

Bogor, 2012

21 / 66

Matriks Invers

Metode matriks adjoin

Teorema (Metode matriks adjoin) Misalkan A = (aij ) adalah matriks segi berordo n. Jika det(A) 6= 0 dan matriks C = (αij ), dengan αij adalah kofaktor elemen aij , maka invers matriks A adalah 1 CT A 1= det (A) CT disebut matriks adjoin dari matriks A. Catatan: Jika det (A) = 0, A tidak memiliki invers dan disebut singular.


Matriks

Bogor, 2012

22 / 66

Matriks Invers

Contoh Dengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jika matriks A berukuran 2 x 2 a b c d

A=

, det (A) 6= 0, ad

maka A


1

=

1 ad

bc

Matriks

d c

b a

bc 6= 0

.

Bogor, 2012

23 / 66

Matriks Invers

Soal Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan invers matriks-matriks berikut ! 2 1 3 3 1 0 2 1 A= 2 1 , B= 1 1 2 SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

24 / 66


Operasi baris dasar (OBD)

1

Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: Eij

2

Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 6= 0 Notasi: Ei(k)

3

Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k 6= 0, i 6= j Notasi: Eij(k)

Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E1 , E2 , . . . , En yang dikenakan pada matriks A ditulis En . . . E2 E1 (A).


Matriks

Bogor, 2012

25 / 66


Soal operasi baris dasar

Soal Jika diketahui A= Tentukan matriks B = E2(

1 2 3 2 1 2 1 1 4

!

.

1) E13(2) E12 (A).

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

26 / 66


Ekuivalen baris

Definisi Matriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E1 , E2 , . . . , En , sehingga

B,

B = En . . . E2 E1 (A). A˜E1 ˜A1 ˜E2 ˜...˜En ˜B


Matriks

Bogor, 2012

27 / 66


Soal Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A, ! 1 2 3 2 6 10 A= 1 2 9 sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukan determinan dari matriks segitiga atas tersebut. SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

28 / 66


Pangkat matriks

Definisi (Pangkat matriks) Misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi: p (A) (dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordo terbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol.


Matriks

Bogor, 2012

29 / 66


Soal Tentukan pangkat matriks berikut. 1

A=

2

B=

3

C=

1 0 1 2 1 1 0 0 ! 1 1 0 0 1 1 0 2 2 ! 5 1 0 0 2 1 0 0 1

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

30 / 66


Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD

Teorema (Menentukan pangkat matriks) Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal. Catatan: Jika A Prosedur:

B, maka p (A) = p (B).

1

Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehingga berbentuk matriks mirip segitiga atas aij = 0, i > j .

2

Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yang tidak semua elemennya nol.


Matriks

Bogor, 2012

31 / 66


Soal Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut. ! 1 1 2 3 1 0 1 A= 4 2 2 ! 1 1 2 1 3 1 0 1 2 B= 4 2 2 1 SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

32 / 66


Persamaan Linear Definisi (Persamaan linear) Suatu persamaan dalam n variabel x1 , x2 , . . . , xn dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn = k di mana c1 , c2 , . . . , cn dan k adalah konstanta real. Contoh: 1

2x = 5 adalah persamaan linear.

2

3x + 6y + 2z = 10 adalah persamaan linear.

3

4xy + 6z = 7 bukan persamaan linear.


Matriks

Bogor, 2012

33 / 66


Sistem Persamaan Linear

Definisi (Sistem persamaan linear) Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .


Matriks

Bogor, 2012

34 / 66


SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B di mana 0

1 a11 a12 . . . a1n B a21 a22 . . . a2n C A=B .. .. C .. @ ... . . . A am1 am2 . . . amn

0

1 x1 B x2 C C X=B @ ... A xn

1 b1 B b2 C C B=B @ ... A bn 0

Catatan: 1

A disebut matriks koefisien

2

(AjB) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng Jika B = O, SPL disebut SPL homogen Jika B 6= O, SPL disebut SPL takhomogen

3 4


Matriks

Bogor, 2012

35 / 66


Soal 1

Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak. 2x1 + x2 x3 = 0 x1 + x2 x3 + x4 = 0 3 sin x1 + x2 + 3x3 = 2 4 x1 + x2 2x3 = x4 + 1 1 2

2

Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B dan matriks yang diperbesar AjB. 3y + 2z = 0

2x 2x 3x

y

z = 1

2y + z = 1

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

36 / 66


Soal Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut. 1 0 1 1 1 2 2 C B 5 4 9 @ 2 0 1 A 3 7 0 1 4 SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

37 / 66


Penyelesaian SPL

Definisi (Penyelesaian SPL) Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s1 , s2 , . . . , sn ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s1 , s2 , . . . , sn ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x1 , x2 , . . . , xn ). Penyelesaian SPL: tidak ada tunggal banyaknya takhingga


Matriks

Bogor, 2012

38 / 66


Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut l1 : a1 x + b1 y = c1 l2 : a2 x + b2 y = c2 ada tiga, yaitu:

Tidak ada


Penyelesaian tunggal

Matriks

Banyak penyelesaian

Bogor, 2012

39 / 66


Kekonsistenan SPL

Definisi (Kekonsistenan SPL) Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memiliki penyelesaian. Teorema (Kekonsistenan SPL) Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika p(A) = p(AjB). Jika SPL konsisten dan 1

p(A) = n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.

2

p(A) < n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian.


Matriks

Bogor, 2012

40 / 66


Soal 1

Tentukan kekonsistenan SPL berikut. 2x + y 2z + 3w = 1 3x + 2y z + 2w = 4 3x + 2y + 3z 3w = 5

2

Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten 3y + 2z = 4

x

2x + y 3x

z = 1

2y + z = α

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

41 / 66


Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordo n. Konsep dasar: 1 Jika (AjB) (CjD), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (AjB) dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (CjD) adalah sama. 2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (CjD) seperti pada gambar:

m

(1)

(2)

C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atas maka SPL AX = B konsisten. 3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (CjD) seperti pada gambar:

(3) maka SPL AX = B takkonsisten. Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Matriks

Bogor, 2012

42 / 66


Prosedur Penyelesaian SPL Prosedur: 1 2

Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (AjB).

Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga (AjB) (CjD), dengan (CjD) merupakan matriks seperti pada gambar (1),(2), atau (3).

3

Jika (CjD) merupakan matriks seperti pada (3), maka SPL takkonsisten.

4

Jika (CjD) merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukan substitusi mundur pada SPL CX = D.

5

Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX = B.


Matriks

Bogor, 2012

43 / 66


Soal Tentukan penyelesaian SPL berikut. 1

2

x1 + 2x2 + x3 2x1 + 2x2 + x3 x1 + 2x2 + 3x3 x1 + x2 + 2x3 x1 + x3 2x1 + x2 + 3x3

=5 =6 =9 = 15 = 10 = 25

SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

44 / 66


Penerapan SPL


Matriks

Bogor, 2012

45 / 66


Soal Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya. SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

46 / 66


Soal Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang. Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang-barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi. SOLUSI


Matriks

Bogor, 2012

47 / 66


Tentang Slide

Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Matriks

Bogor, 2012

48 / 66

Solusi

Solusi Matriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut: ! 1 1 1 2 1 2 1 A= 3 3 1 0 1 0 2 2 2 2 B 1 0 3 3 3 C 2 A= @ 2 1 0 4 4 A 3 2 1 0 5 Soal


Matriks

Bogor, 2012

49 / 66

Solusi

Solusi Submatriks dari matriks A adalah: 0 1 a. Aa = 1 5 b. Ab = ( 2 2 ) Soal


Matriks

Bogor, 2012

50 / 66

Solusi

Solusi Operasi matriks 6 2 1 a. 1 4 11 1 20 b. 7 7 4 c. 7 6 5 d. 5 25 5 11 e. 4 3 f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuran BD adalah 2 x 1. Soal


Matriks

Bogor, 2012

51 / 66

Solusi

Solusi

jCj = 0

0+1

= ((1 + 0 + 0) = 1+2 = 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 (1 + 1 + 0))

1 0 0 0 1 1 1 1 1 (( 1 + 0 + 0) (0 + 1 + 0)) 1

, determinant 1

Soal


Matriks

Bogor, 2012

52 / 66

Solusi

Solusi jAj = 0 jBj = 6 jCj = 0 Soal


Matriks

Bogor, 2012

53 / 66

Solusi

Solusi A

1

=

1 2

1 3

B

1

=

3 1 2

1 1 1

5 2 4

!

Soal


Matriks

Bogor, 2012

54 / 66

Solusi

Solusi B=

4 1 1

3 2 1

10 3 4

!

Soal


Matriks

Bogor, 2012

55 / 66

Solusi

Solusi A=

1 2 1

2 6 2

3 10 9

!

1 0 0

2 2 4

3 4 12

!

1 2 0 2 0 0

3 4 4

!

=B

dan determinan matriks B adalah 8. Soal


Matriks

Bogor, 2012

56 / 66

Solusi

Solusi 1

Pangkat = 2

2

Pangkat = 2

3

Pangkat = 3 Soal


Matriks

Bogor, 2012

57 / 66

Solusi

Solusi Penentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar. ! ! 1 1 2 1 1 2 3 1 0 0 2 6 . Pangkat = 2 1 A= 4 2 2 0 0 0 ! ! 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 2 6 2 . Pangkat = 3 2 B= 4 2 2 1 0 0 0 1 Soal


Matriks

Bogor, 2012

58 / 66

Solusi

Solusi 1

Persamaan sebelumnya adalah: Linear. Tidak linear, karena terdapat perkalian x2 x3 . 3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri. 4 Linear. 1 2

2

SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar: 2 2 3

3 1 2

2 1 1

0 1 1

!

Soal


Matriks

Bogor, 2012

59 / 66

Solusi

Solusi SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebut adalah: x + y + 2z = 1 5x + 4y + 9z = 2 2x y

3z =

1

4z = 7

Soal


Matriks

Bogor, 2012

60 / 66

Solusi

Solusi 0 1

2

2 1 2 3 5 @ 0 1 2 2 2 0 0 4 5 penyelesaian.

1 5 2

1

1

A. Konsisten dan memiliki banyak

Penentuan nilai α 1 0 0

3 7 0

2 5 0

4 7 α 5

!

Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α = 5. Jika α 6= 5, maka SPL tersebut tak konsisten. Soal


Matriks

Bogor, 2012

61 / 66

Solusi

Solusi 1

Penyelesaian SPL 1 0 0

2 2 0

1 1 2

5 4 4

!

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaian tunggal dengan nilai x3 = 2, x2 = 1, x1 = 1. 2

Penyelesaian SPL 1 0 0

1 1 0

2 1 0

15 5 0

!

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyak penyelesaian. Misal x3 = s, maka x2 = 5 s dan x1 = 10

s

Soal


Matriks

Bogor, 2012

62 / 66

Solusi

Solusi Misal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap baris merepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut. Kuli Mandor Mobil

x 8 2 1

y 5 3 2

z 10 3

Ketersediaan 74 18 20

8x + 5y + 10z = 74 2x + 3y = 18 x + 2y + 3z = 20 x, y, z 0

Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah:

E21(

2) E31(

˜

! 8 5 10 74 E13 2 3 0 18 ˜ 1 2 3 20 1 2 3 20 8) 0 1 6 22 0 11 14 86


Matriks

! 1 2 3 20 2 3 0 18 8 5 10 74 ! 1 2 E32( 11) 0 1 ˜ 0 0

3 6 52

Bogor, 2012

2 2 15

63 / 66

Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan 52z = 156 =) z = 3 y

6z =

22 =)

y

18 =

22 =) y = 4

x + 2y + 3z = 20 =) x + 8 + 9 = 20 =) x = 3 solusi z = 3, y = 4, x = 3. Solusi Jadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya, luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luas kebun C adalah 3 hektar. Soal


Matriks

Bogor, 2012

64 / 66

Solusi

Solusi Misal diberikan variabel sebagai berikut: w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C. x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D. y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C. z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D. 0 B B B @


Matriks

1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2000 1000 3000 1000

Bogor, 2012

40 20 30 50 900

65 / 66

Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut: Solusi Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang. Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang. Tidak ada barang dari gudang B ke C. Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang. Soal


Matriks

Bogor, 2012

66 / 66

66

Recommend Documents