Opgaven hoofdstuk 6
I
Learning the Mechanics
6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen onafhankelijk zijn, de verschillende steekproeven van twee waarnemingen en de bijbehorende kansen door de tabel worden gegeven.
a.
Bepaal de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde .
b.
Maak een kanshistogram voor de steekproefverdeling van .
c.
Wat is de kans dat gelijk is aan of groter is dan 4,5?
d.
Zou je verwachten een waarde voor waar te nemen die gelijk is aan of groter is dan 4,5? Licht je antwoord toe.
6.2 Beschouw een populatie die waarden van x bevat gelijk aan 00, 01, 02, ..., 96, 97, 98, 99. Veronderstel dat deze waarden voor x allemaal dezelfde kans hebben voor te komen. Gebruik de computer om 500 steekproeven met elk n = 25 meetwaarden uit deze populatie te genereren. Bereken het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie s2 voor elk van de 500 steekproeven. a.
Construeer een relatieve-frequentiehistogram voor de 500 waarden van om de steekproefverdeling van te benaderen.
b.
Herhaal a, maar nu voor de 500 waarden van s2.
6.3 Beschouw de kansverdeling die hieronder wordt gegeven.
a.
Bereken µ
b.
Bepaal de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde voor een aselecte steekproef van n = 3 waarnemingen uit deze verdeling.
c.
Bepaal de steekproefverdeling van de mediaan van een steekproef van n = 3 waarnemingen uit deze populatie.
d.
Laat zien, uitgaande van b en c, dat het gemiddelde en de mediaan beide voor deze populatie een zuivere schatter van µ zijn.
e.
Bereken de varianties van de steekproefverdelingen van het steekproefgemiddelde en van de steekproefmediaan.
f.
Welke schatter zou je gebruiken om µ te schatten? Waarom?
6.4 Zie opgave 6.1. a.
Laat zien dat een zuivere schatter van s2 is.
b.
Bepaal de populatievariantie σ2.
c.
Laat zien dat s2 een zuivere schatter van σ2 is.
d.
Bepaal de steekproefverdeling van de steekproefstandaarddeviatie s.
e.
Laat zien dat s een onzuivere schatter van σ is.
6.5 Een aselecte steekproef van n = 64 waarnemingen wordt genomen uit een populatie met een gemiddelde gelijk aan 20 en een standaarddeviatie gelijk aan 16. a.
Geef het gemiddelde en de standaarddeviatie van de (herhaalde) steekproefverdeling van .
b.
Beschrijf de vorm van de steekproefverdeling van . Hangt je antwoord af van de steekproefomvang?
c.
Bereken de standaardnormale z-score die correspondeert met een waarde = 15,5.
d.
Bereken de standaardnormale z-score die correspondeert met een waarde = 23.
6.6 Beschouw een steekproefgrootheid A. Net als alle andere steekproefgrootheden wordt A berekend door een bepaalde functie (formule) van de meetwaarden in de steekproef te gebruiken. (Bijvoorbeeld als A het steekproefgemiddelde zou zijn, zou de bijbehorende formule zijn: sommeer de meetwaarden en deel door het aantal meetwaarden.) a.
Geef een beschrijven van wat we bedoelen met de uitdrukking ‘de steekproefverdeling van de steekproefgrootheid A’.
b.
Stel dat A wordt gebruikt om een populatieparameter α te schatten. Wat wordt bedoeld met de uitspraak dat A een zuivere schatter van α is?
c.
Beschouw een andere steekproefgrootheid, B. Stel dat B ook een zuivere schatter van de populatieparameter α is. Hoe kunnen we de steekproefverdelingen van A en B gebruiken om vast te stellen welke de beste schatter van α is?
d.
Als de omvang van de steekproeven waarop A en B zijn gebaseerd groot is, kunnen we dan de centrale limietstelling toepassen en vaststellen dat de steekproefverdelingen van A en B bij benadering normaal zijn? Waarom, of waarom niet?
6.7 Er wordt een aselecte steekproef met omvang n genomen uit een grote populatie met gemiddelde gelijk aan 100 en standaarddeviatie gelijk aan 10, en we berekenen het steekproefgemiddelde . Maak een grafiek van σ /√n als functie van n voor n = 1, 5, 10, 20, 30, 40 en 50, om het effect te zien van een verschil in steekproefomvang op de standaarddeviatie van de steekproefverdeling van .
II
Applying the Concepts
6.8 Aan het einde van de twintigste eeuw was de kans voor werknemers om lange tijd bij dezelfde werkgever bleven veel kleiner dan voor hun ouders in vorige generatie (Georgia Trend, december 1999). Realiseren studenten van vandaag zich dat de werkplek die ze binnenkort zullen betreden sterk verschilt van die van hun ouders? Om deze vraag te helpen beantwoorden hebben onderzoekers van het Terry College of Business van de Universiteit van Georgia een steekproef genomen van 344 studenten handelswetenschappen en hebben hun de volgende vraag gesteld: wat is het maximum aantal jaar dat je bij één en dezelfde werknemer denkt te gaan werken? Deze steekproef gaf een gemiddelde van = 19,1 jaar en s = 6 jaar. Stel dat de steekproef van studenten aselect is gekozen uit de 5800 studenten van het Terry College. a.
Beschrijf de steekproefverdeling van .
b.
Als het populatiegemiddelde 18,5 jaar is, wat is dan P( ≥ 19,1 jaar)?
c.
Als het populatiegemiddelde 19,5 jaar is, wat is dan P( ≥ 19,1 jaar)?
d.
Als P( ≥ 19,1 jaar) = 0,5, wat is dan het populatiegemiddelde?
e.
Als P( ≥ 19,1 jaar) = 0,2, is het populatiegemiddelde dan groter of kleiner dan 19,1 jaar? Licht je antwoord toe.
6.9 Een winkelier die wil weten wanneer hij een order moet plaatsen om de voorraad van een product die uitgeput raakt aan te vullen, moet rekening houden met de
doorlooptijden voor de producten. De doorlooptijd is de tijd die verloopt tussen het plaatsen van een order en het beschikken over het product zodat aan de vraag van de klant kan worden voldaan. Dit omvat de tijd nodig voor het plaatsen van de order, het ontvangen van de zending van de leverancier, het controleren van de ontvangen artikelen en het opnemen ervan in de voorraad (Clauss, Applied Management Science and Spreadsheet modeling, 1966). De inkoopafdeling van een grote warenhuisketen is geïnteresseerd in de gemiddelde doorlooptijd µ voor een bepaalde leverancier van herenkleding, en neemt daarom een aselecte steekproef van 50 doorlooptijden voor deze leverancier en vindt daarvoor een waarde = 44 dagen. a.
Beschrijf de vorm van de steekproefverdeling van .
b.
Als µ en σ in werkelijkheid 40 respectievelijk 12 zijn, hoe groot is dan de kans dat een tweede aselecte steekproef van 50 doorlooptijden een waarde voor zouden opleveren die groter is dan of gelijk is aan 44?
c.
Als je de waarden voor µ en σ uit b gebruikt, hoe groot is dan de kans dat een steekproef van 50 doorlooptijden een steekproefgemiddelde geeft dat binnen het interval µ ± 2 σ / √n ligt?
6.10 In Lee County, Georgia, was de verdeling van het weekloon voor werknemers in de bouw in 1997 scheef naar rechts verdeeld met een gemiddelde gelijk aan $473 (Georgia Department of Labor, Labor Market Information, 1999). Stel dat de standaarddeviatie van de verdeling gelijk was aan $25. Een econoom wil een aselecte steekproef van 40 werknemers in Lee County nemen en hun vragen over hun weekloon, hun leeftijd en de duur van hun betrekking. a.
Beschrijf wat er bekend is over de verdeling van x, het weekloon van werknemers in de bouw.
b.
Beschrijf wat er bekend is over de verdeling van y, de leeftijd van de werknemers in de bouw.
c.
Beschrijf de verdelingen van en Ў.
d.
Bepaal P( > $465).
e.
Welke extra informatie is nog nodig om P( ≤ 30) te kunnen berekenen?
6.11 In Statistiek in de praktijk 6.1 wordt iemand beschreven die $1000 wil investeren in elk van n = 5 verschillende aandelen. Het maandelijks rendement van elk aandeel heeft een gemiddelde µ = 10% en een standaarddeviatie σ = 4%. Het maandelijks rendement voor de belegger van de portefeuille van vijf aandelen is ř = Σ ri /5.We hebben gezien dat de variantie van het maandelijks rendement voor de belegger gelijk is aan σ2r = σ2 / n = 3,2 en dat dit getal een maat is voor het risico dat de belegger loopt.
a.
Als deze persoon nu $1000 in slechts drie van de vijf aandelen belegt, neemt het risico voor de belegger dan toe of af? Licht je antwoord toe.
b.
Stel dat $1000 wordt belegd in elk van 10 aandelen met een rendementskarakteristiek die gelijk is aan die hierboven werd beschreven.Bereken het risico dat de belegger loopt en vergelijk dit met het risico van de belegging in slechts vijf van deze aandelen.
6.12 Om vast te stellen of een draaibank waarmee machinelagers worden geproduceerd goed afgesteld is, wordt een random steekproef van 36 lagers genomen en wordt de diameter van elk lager gemeten. a.
Als de standaarddeviatie van de diameters van de lagers over een lange periode gemeten gelijk is aan 0,001 inch, wat is dan bij benadering de kans dat de gemiddelde diameter van de steekproef van 36 lagers binnen 0,0001 inch van het populatiegemiddelde van de lagerdiameters ligt?
b.
Als de populatie van diameters zeer sterk scheef is verdeeld, wat voor invloed heeft dit dan op je benadering in a?
c.
De gemiddelde diameter van de lagers die door de machine worden geproduceerd, wordt geacht 0,5 inch te zijn. Het bedrijf besluit het steekproefgemiddelde te nemen om te beslissen of het proces onder controle is, dat wil zeggen of het lagers produceert met een gemiddelde diameter van 0,5 inch. De machine wordt geacht niet meer onder controle te zijn als het gemiddelde kleiner is dan 0,4994 inch of groter dan 0,5006 inch. Als de werkelijke gemiddelde diameter van de lagers die worden geproduceerd gelijk is aan 0,501 inch, hoe groot is dan bij benadering de kans dat de toets zal aangeven dat het proces niet meer onder controle is?
6.13 Een bottelaar van frisdrank koopt glazen flessen in van een verkoper. De flessen moeten een interne druksterkte van ten minste 150 pounds per square inch (psi) hebben. Een potentiële verkoper van flessen claimt dat zijn productieproces flessen produceert met een gemiddelde interne druksterkte van 157 psi en een standaarddeviatie van 3 psi. De bottelaar komt met de verkoper overeen dat de bottelaar een steekproef mag nemen van het productieproces van de verkoper, om de claim van de laatste te toetsen. De bottelaar kiest aselect 40 flessen uit de 10 000 meest recent geproduceerde flessen, meet de interne druksterkte van elke fles, en vindt een gemiddelde waarde voor de druksterkte die 1,3 psi lager ligt dan het procesgemiddelde dat door de verkoper wordt geclaimd. a.
Veronderstel dat de claim van de verkoper juist is; hoe groot is dan de kans dat je een steekproefgemiddelde vindt dat zoveel lager, of nog lager, ligt dan het procesgemiddelde? Wat suggereert je antwoord met betrekking tot de geldigheid van de claim van de verkoper?
b.
Als de processtandaarddeviatie 3 psi is, zoals door de verkoper wordt geclaimd, maar het gemiddelde zou 156 psi zijn, zou het waargenomen
resultaat van de steekproef dan meer of minder waarschijnlijk zijn dan in a? En als in plaats daarvan de standaarddeviatie 6 psi zou zijn?
