6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
f ( x) sin
x 3
g x cos x
(A) Az f és a h.
(B) Mindhárom.
h x (C) Csak az f.
x 2
2
(D) Az f és a g.
(E) Csak a g.
BME 2015. szeptember 11. (17B)
Megoldás: Az f ( x ) sin
x függvény grafikonja: (A sin x függvény grafikonja az x tengely mentén 33
szorosára nyúlik.)
Mivel 3,14 , ezért az x tengelyen az 1 az árán bejelölt helyen található. A kérdezett intervallumon a függvény szigorúan monoton nő. A g x cos x függvény grafikonja: (A cos x függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.)
Az ábrán látható, hogy a megadott intervallumon ez a függvény is szigorúan monoton nő.
1
A h x
x 2
2
x 2 függvény grafikonja: (Az x függvény grafikonja 2 egységgel
tolódik pozitív irányba az x tengely mentén.)
Ez viszont a 0;1 intervallumban csökkenő függvény Tehát a jó válasz a (D).
2. Az ábrán látható parabola az a)
x x2 2x 3
b)
x x2 2x 3
c)
x x2 2 x 3
d)
x x2 2x 3
függvény grafikonja. ELTE 2014. decemberi teszt
Megoldás: Az x x 2 függvény grafikonja parabola. Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kaptuk az x x 2 függvény grafikonjából az ábrán látható grafikont! A parabola lefelé fordított, tehát 1 -gyel meg van szorozva: x x 2 Az x tengely mentén el van tolva a 1;0 vektorral: x ( x 1) 2 Az y tengely mentén felfelé tolódott a 0;4 vektorral: x ( x 1) 2 4 Bontsuk fel a zárójelet! ( x 1) 2 4 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 3 Tehát a jó válasz a (b).
2
3. Adottak a valós számok halmazán értelmezett f és g függvények:
1 f x x 2 , g x x2 4 x 4 . 3 Ábrázolja a két függvényt, és oldja meg az f x g x egyenlőtlenséget! ELTE 2015. szeptember (fizika BSc)
Megoldás: Az f x egy lineáris függvény, a meredeksége
A g x függvényt alakítsuk át:
1 , az y tengelyt 2-nél metszi. 3
x2 4 x 4
x 2
2
x 2 . Az abszolútérték-függvény
alakja „V”, itt az x tengely mentén kell eltolnunk pozitív irányban 2-vel.
Az
f x g x egyenlőtlenség megoldásához tegyük a két függvényt közös koordináta-
rendszerbe:
3
A két metszéspont könnyen leolvasható: x1 0 , x2 6 . Ellenőrizzük le a metszéspontokat:
1 f x1 0 2 2 , g x1 02 4 0 4 2 3 1 f x2 6 2 4 , g x2 62 4 6 4 16 4 3 f x g x ott igaz, ahol az f ( x ) függvény grafikonja van „feljebb”, tehát a metszéspontok között. A megoldás: 0 x 6 .
4
II. Ismételjünk! 1. Függvény fogalma, tulajdonságai https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf
1-3.oldal
2. Néhány nevezetes függvény https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf
3-4.oldal
3. Függvény-transzformációk https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf
5
4.oldal
III. Gyakorló feladatok 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a)
2. Az
b)
alábbiak közül
c)
melyik intervallum
lesz
a
valós
számok halmazán értelmezett
f ( x ) 3 x 2 függvény értékkészlete? (A) 2;
(B) ;2
(C) ; 3
(D) 3;
(E) ;3
BME 2015. szeptember 11. (16A)
3. Adja meg az f x x 2 x függvény 1;3 intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb 2
értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! ELTE 2007. szeptember (földtudományi szak)
4. Egy másodfokú
f ( x ) függvényről tudjuk, hogy
f 1 0 ,
f 0 3 és f 1 0 .
Mennyivel egyenlő f 2 ? (A) 7
(B) 9
(C) 16
(D) 25
(E) Ezek egyike sem. BME 2014. május 19. (14)
f ( x ) x 2 2 x c függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy
5. Az
a) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; b) a függvény minimuma 5 legyen; c) a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 2007. február (matematika BSc)
6. Ábrázolja az f : \ 3 , x
2 4 függvényt! x3 x
1 7. Ábrázolja az f : , x 2 függvényt! 3 6
8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk.
A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A.
B.
C.
D.
BME 2011. szeptember 12. (16A) alapján
9. Az x log 3 x 1 3 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: 3 -nál metszi. C: 1-nél metszi. D: 3 -nál metszi. ELTE 2014. decemberi teszt
7
10. Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az f : 2; , f ( x) 2log 2 ( x 2) 4 függvény értéke pozitív! 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?
1 f ( x) x2 2 x 1 , g x cos x , h x 2 x (A) Csak az f. (B) Csak a g.
(C) Csak a h.
(D) Több is.
(E) Egyik sem. BME 2014. szeptember 12. (17A) 2
12. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett f x x 1 függvény inverzének hozzárendelési utasítását! (A) x x 2 1 (B) Nincs inverze.
(C) x x 2 1
(D) x
x 1, x 1 (E) x x 1, x 0 BME 2015. szeptember 11. (17B)
13. Tekintse az
f x cos x 2
függvényt! Határozza
meg
az
f 4
f 3
helyettesítési értéket! (A)
2 1 2
(B)
2 1 2
(C)
2 3 2
(D)
2 3 2
(E) Ezek egyike sem. BME 2015. február 13. (16B)
14. Oldja meg grafikusan a
2 3 cos 2 x egyenlőtlenséget! 2 2
15. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B:
A g ( x ) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. 3
1 x függvény periódusa 2 . 2
C: A h x sin
D: Az i x x 2 függvénynek nincs zérushelye.
8
IV. Megoldások: 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a)
b)
c)
Megoldás: A lineáris függvények hozzárendelési utasítása x mx b alakú, ahol m a függvény meredeksége, b az y-tengellyel való metszéspont. Zérushelye: ahol 0-t vesz fel, vagyis, ahol az x tengelyt metszi. a) A függvény meredeksége m 2 (1-et jobbra lépve 2-t megyünk felfele), az y tengelyt 4-nél metszi. A hozzárendelési utasítás: x 2 x 4 . Zérushelye ott van, ahol 2 x 4 0 . Ebből x 2 . A grafikonon is látszik, hogy itt metszi az x tengelyt.
2 . Mert ha 3-at megyünk jobbra, akkor 2-t kell lefele lépni. Ez azt 3 2 2 jelenti, hogy 1-et jobbra lépve, -ot lépünk lefele, vagyis -ot felfele. Az y tengelyt 3 3 3 2 nál metszi. A hozzárendelési utasítás: x x 3 . 3
b) A függvény meredeksége
Zérushelye:
2 9 x 3 0 , ahonnan x 4,5 . A grafikonon is ellenőrizhetjük, hogy 3 2
valóban ez a zérushely. c) Keressünk két rácspontot a grafikonon! A( 1;3) és B (2; 1) . Tehát, ha 3-at megyünk jobbra,
4 . Az y-tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az A 3 4 4 5 ponttól 1-et lépünk jobbra, ezalatt a függvény éppen -ot megy lefelé. Tehát b 3 . 3 3 3 4 5 A hozzárendelési utasítás: x x . 3 3 akkor 4-et lefele. A meredekség
Zérushelye:
4 5 5 x 0 , vagyis 4 x 5 , tehát x 1, 25 . Ismét érdemes a grafikonon is 3 3 4
ellenőriznünk a zérushely helyességét.
9
2. Az
alábbiak közül
melyik intervallum
lesz
a
valós
számok halmazán értelmezett
f ( x ) 3 x 2 függvény értékkészlete? (A) 2;
(B) ;2
(C) ; 3
(D) 3;
(E) ;3
BME 2015. szeptember 11. (16A)
Megoldás I.: Az abszolútérték függvény értékkészlete a nemnegatív számok halmaza:
x 0 , ugyanígy x 2 0 . Emiatt x 2 0 . 3 x 2 x 2 3 3 A helyes válasz tehát az (E). Megoldás II.: Ábrázoljuk a megadott függvényt! Az ábrázolás lépései: 1.
x („V” alak; fekete)
2.
x 2 (x tengely mentén tolódik negatív irányba 2-vel; piros)
3.
x 2 (x tengelyre tükröződik; kék)
4. 3 x 2 (y tengely mentén tolódik felfelé 3-mal; zöld)
Az ábráról látszik, hogy a végeredmény (zöld) függvény értékkészlete: y 3 . A helyes válasz az (E). 3. Adja meg az f x x 2 x függvény 1;3 intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb 2
értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! ELTE 2007. szeptember (földtudományi szak)
10
Megoldás: Alakítsuk át a függvény képletét!
f x x 2 2 x ( x 1)2 1 . Ábrázoljuk a megadott
intervallumon! Az x x 2 függvény képe parabola, ezt kell eltolnunk az (1; 1) vektorral.
A függvény minimumhelye az x 1 , minimumértéke az y 1 . A megadott intervallum szimmetrikus az x 1 egyenesre, a függvénynek az intervallum mindkét végpontjában maximuma van. Maximumhelye: x1 1 , x2 3 ; maximumértéke y 3 . 4. Egy másodfokú
f ( x ) függvényről tudjuk, hogy
f 1 0 ,
f 0 3 és f 1 0 .
Mennyivel egyenlő f 2 ? (A) 7
(B) 9
(C) 16
(D) 25
(E) Ezek egyike sem. BME 2014. május 19. (14)
Megoldás I.: Ábrázoljuk a megadott pontokat egy koordinátarendszerben, és illesszünk rájuk parabolát!
A parabola egyenlete ebből könnyen kitalálható: 3 x 2 3 . Érdemes a 3 megadott értéket ellenőriznünk:
11
2
f 1 3 1 3 0 2
f 0 3 0 3 3 f 1 3 12 3 0 Behelyettesítéssel kapjuk f 2 értékét:
f 2 3 22 3 9 A jó megoldás a (B). Megoldás II.: Kereshetjük algebrai úton is a megoldást. Egy másodfokú függvény alakja: y a x 2 bx c . Ebbe behelyettesítve a 3 megadott értéket egy egyszerű egyenletrendszerhez jutunk: 2
0 a 1 b 1 c 3 a 02 b 0 c 0 a 12 b 1 c A második egyenlet szerint c 3 . Ekkor a másik két egyenlet:
ab 3 ab 3 Innen a 3 és b 0 . Tehát y 3 x 2 3 . Az I. megoldás szerint befejezhető a feladat.
f ( x ) x 2 2 x c függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy
5. Az
a) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; b) a függvény minimuma 5 legyen; c) a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 2007. február (matematika BSc)
Megoldás: Egészítsük ki teljes négyzetté a megadott másodfokú kifejezést! x 2 2 x c ( x 1) 2 1 c a) A függvény grafikonja akkor érinti az x tengelyt, ha a másodfokú kifejezésnek egyetlen zérushelye van, vagyis ha a függvény egy kéttagú összeg négyzete (a diszkrimináns nulla). Tehát 1 c 0 , c 1 . b) A függvény minimumértéke 1 c . Ennek kell 5 -nek lennie. Tehát c 4 . c) Ha a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartoznak, akkor a függvény grafikonjának minden pontja az x tengely alatt van. Ez egy parabola esetén csak akkor lehetséges, ha ez egy „lefelé fordított” parabola, vagyis, ha a négyzetes tag együtthatója negatív. A megadott
12
másodfokú függvényre ez nem igaz, így nem lehet megfelelő c-t találni. A feladatnak nincs megoldása. 6. Ábrázolja az f : \ 3 , x
2 4 függvényt! x3
Megoldás:
1 függvény képe hiperbola, első lépésben ezt kell eltolnunk a x tengely mentén negatív x 1 irányba 3-mal. Így kapjuk az függvény grafikonját. (Az ábrán a fekete az alapfüggvény, x3 Az
piros az eltolás után kapott grafikon. A szaggatottal berajzolt x 3 egyenes az „új y tengely”, nem tartozik a grafikonhoz, csak segíti az ábrázolást.)
A számlálóban lévő 2-es miatt ezt meg kell szoroznunk 2-vel, vagyis az y tengely mentén kell kétszeresére nyújtani. Így a
2 grafikonját kapjuk. (Ismét fekete az előző lépés végeredménye, x3
piros az új grafikon.)
13
Végül a kapott függvényből ki kell vonnunk 4-et, vagyis az y tengely mentén kell 4-gyel lefelé tolnunk a függvényt. (A piros grafikon a feladat megoldása a szaggatott egyenesek csak segédvonalak.)
x
1 7. Ábrázolja az f : , x 2 függvényt! 3 Megoldás: (Az előző feladathoz hasonlóan az ábrákon mindig a piros az új függvény, a fekete az előző lépés végeredménye.)
1 3
x
Ábrázoljuk először az x függvényt!
14
x
1 A grafikont az y tengelyre tükrözve kapjuk az x függvény grafikonját: 3
x
1 Ebből az x függvény grafikonját az x tengelyre tükrözve kapjuk: 3
x
1 2 függvény grafikonját megkapjuk, ha az előző grafikont 2-vel 3
Végül az f : x
feljebb toljuk az y tengely mentén:
15
Megjegyzés: Az ábrázolás előtt átalakíthatjuk a függvényt
a negatív kitevő értelmezése szerint:
x
1 2 3x 2 . Így a 3 x függvényből indulva eggyel kevesebb lépésben jutunk a 3 megoldáshoz. 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk.
A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A.
B.
C.
D.
BME 2011. szeptember 12. (16A) alapján
Megoldás: Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kapjuk az f ( x ) függvény grafikonjából az
f (1 x) -ét. f (1 x ) f x 1 . Az f ( x 1) grafikonját úgy kapom, ha az f ( x ) függvény grafikonját az x tengely mentén eltolom negatív irányba 1-gyel. 16
Most nézzük az f ( x 1) -et! Ellentett változóértékekhez fog ugyanaz a függvényérték tartozni, tehát ez a grafikon az előzőnek az y tengelyre vonatkozó tükörképe lesz. Tehát a B grafikon a helyes. 9. Az x log 3 x 1 3 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: 3-nál metszi. C: 1-nél metszi. D: 3 -nál metszi. ELTE 2014. decemberi teszt
Megoldás: A függvény grafikonja az y tengelyt az x 0 -nál felvett helyettesítési értéknél metszi.
f 0 log 3 0 1 3 0 3 3 A jó válasz a D. 10. Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az f : 2; , f ( x) 2log 2 ( x 2) 4 függvény értéke pozitív! Megoldás: Ábrázoljuk a megadott függvényt függvény-transzformáció segítségével! Az ábrázolás lépései: 1. x log 2 x
17
2. x log 2 x 2 Az előző grafikont 2-vel kell eltolni az x tengely mentén negatív irányba. (A szaggatott x 2 egyenes csak segédvonal, nem tartozik a grafikonhoz.)
3. x 2 log 2 x 2 Az y tengely mentén kétszeresére nyúlik a grafikon.
4. x 2 log 2 x 2 4 Az előző grafikont 4 egységgel toljuk lefelé az y tengely mentén.
18
A függvényértékek ott pozitívak, ahol a grafikon pontjai az x tengely fölött vannak. Mivel a függvényünk szigorúan monoton nő, ez a zérushelynél nagyobb x értékekre igaz. A zérushely: x 2 . Ellenőrizzük behelyettesítéssel a leolvasás helyességét!
f (2) 2 log 2 (2 2) 4 2 2 4 0 A megoldás: x 2 . 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?
1 f ( x) x2 2 x 1 , g x cos x , h x 2 x (A) Csak az f. (B) Csak a g.
(C) Csak a h.
(D) Több is.
(E) Egyik sem. BME 2014. szeptember 12. (17A)
Megoldás: Páratlan egy függvény, ha f x f x . A páratlan függvények grafikonja az origóra szimmetrikus.
f ( x) x 2 2 x 1 ( x 1) 2 x 1 . Nem páratlan. (Egyrészt a grafikonja „V” alakú, nem szimmetrikus az origóra. Másrészt x helyére x -et helyettesítve: x 1 x 1 x 1 .)
g x cos x sin x . Páratlan függvény. 2 (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy sin( x) sin x .)
h x
1 . Páratlan függvény. x
(Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy
1 1 .) x x
A helyes válasz tehát a (D). 2
12. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett f x x 1 függvény inverzének hozzárendelési utasítását! (A) x x 2 (B) Nincs inverze.
(C) x x 2 1
(D) x
x 1, x 1 (E) x x 1, x 0 BME 2015. szeptember 11. (17B)
19
Megoldás: Egy f ( x ) y függvény inverze g, ha g ( y ) x . Az y x 2 1 képletben x-et és y-t kicserélve, majd y-t kifejezve ( y 0 ) kapjuk a keresett inverz függvényt.
y x2 1 x y2 1 y 2 x 1 y x 1, x 1 A helyes válasz a (D). 13. Tekintse az
f x cos x 2
függvényt! Határozza
meg
az
f 4
f 3
helyettesítési értéket!
(A)
2 1 2
(B)
2 1 2
(C)
2 3 2
(D)
2 3 2
(E) Ezek egyike sem. BME 2015. február 13. (16B)
Megoldás:
f 4
2 3 2 3 f cos cos cos cos 4 6 2 2 2 3 4 2 3 2
A helyes válasz a (C). 14. Oldja meg grafikusan a
2 3 cos 2 x egyenlőtlenséget! 2 2
Megoldás: Ábrázoljuk a cos 2x függvényt!
20
Jelöljük be az y
2 3 és az y egyeneseket! Keressük, hogy hol metszik az egyenesek a 2 2
grafikont.
A pontos metszéspontokat kiszámítjuk. Mivel páros függvénnyel van dolgunk, elegendő egyetlen
metszéspontot kiszámítanunk, pl. a 0; intervallumban. A további megoldások megtalálásában 2 segít az ábránk.
cos 2 x
2 2
3 2 2x 6 x 12
cos 2 x
3 4 3 x 8
2x
; intervallumba eső megoldás: 2 2
Az ábráról leolvasható a
3 3 x1 x2 vagy 8 12 12 8
A cos 2x függvény periodusa , emiatt az összes megoldás:
3 3 k1 x1 k1 vagy k2 x2 k2 , ahol k1 , k 2 8 12 12 8
15. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x ) tg x függvény páros. B:
A g ( x ) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. 3
1 x függvény periódusa 2 . 2
C: A h x sin
D: Az i x x 2 függvénynek nincs zérushelye. 21
Megoldás: A: Az állítás hamis. A tg x páratlan függvény. tg x tg x . B: Az állítás igaz. Az log a x függvény szigorúan monoton csökken, ha 0 a 1 , és szigorúan monoton nő, ha a 1 .
1 x függvény periódusa kétszer 2
C: Az állítás hamis. A sin x függvény periódusa 2 . A sin akkora, tehát 4 .
D: az állítás hamis. A zérushelyet kiszámíthatjuk, ha megkeressük, hol veszi fel a függvény a nullát. x 2 0 , tartományában.)
x 2 , x 4 , x 4 . (Ami benne van a függvény értelmezési
22
