5.A
5.A
5.A
Egyenáramú hálózatok alaptörvényei – Nevezetes hálózatok
Vezesse le az ellenállások soros, párhuzamos és vegyes kapcsolásainál az eredı ellenállás kiszámítására vonatkozó összefüggéseket! Definiálja és igazolja a feszültségosztás törvényét! Definiálja és igazolja az áramosztás törvényét! Értelmezze a változtatható és a beállítható ellenállások gyakorlati felépítését (potenciométer, trimmer)! Vezesse le a csillag-delta átalakítást! Vezesse le a Wheatstone-híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggést! Soros kapcsolás Egy összetett áramkör az alkotóelemek soros, párhuzamos vagy - az ezekbıl kialakított - vegyes kapcsolásából áll. Soros kapcsolásról beszélünk, ha az áramköri elemeken ugyanaz az áram folyik keresztül. Ez akkor keletkezik, ha az egyik ellenállás végéhez a másik kezdetét kötjük, és mindezt az utolsó ellenállásig megismételjük. A gyakorlatban legtöbbször ellenállások kapcsolódnak össze, amelyek együttes, eredı áramkorlátozó hatását egyetlen ellenállással helyettesíthetjük. Ezt eredı ellenállásnak nevezzük.
Soros kapcsolás Soros kapcsolásban nincs elágazás, ezért ugyanakkora áram folyik át minden ellenálláson. Kirchhoff huroktörvényének értelmében: U=U1+U2+U3+...Un Minden ellenállásra külön-külön Ohm törvényét alkalmazva: U1=I·R1, U2=I·R2, U3=I·R3,... Un=I·Rn, Ezeket behelyettesítve a huroktörvénybe, majd a közös mennyiséget kiemelve: U=I·R1+I·R2+I·R3+...+I·Rn U=I·(R1+R2+R3+...+Rn)
Mindkét oldalt elosztva a közös mennyiséggel:
U U = R1 + R2 + R3 + ... + Rn , ahol I I
a kapcsolás eredı
ellenállása.
1
5.A
5.A
Re=R1+R2+R3+...+Rn Ez azt jelenti, hogy a sorosan kapcsolt ellenállások eredıjét az ellenállások összegzésével kapjuk, ami mindig nagyobb bármely a kapcsolást alkotó ellenállás értékénél.
Párhuzamos kapcsolás Párhuzamos kapcsolásnál a kapcsolás közös mennyisége a feszültség, azaz minden ellenálláson azonos nagyságú feszültségesés mérhetı, ami megegyezik a generátor feszültségével.
Párhuzamos kapcsolás A fıágban folyó áramot, vagyis az eredı áramot a csomóponti törvény segítségével határozhatjuk meg: I=I1+I2+I3+...+In Ohm törvénye alapján az egyes ágakban folyó áramok:
I=
U U U U U , I1 = , I2 = , I3 = ...I n = Re R1 R2 R3 Rn
Ezt behelyettesítve a csomóponti törvénybe:
U U U U U = + + + ... + R R1 R2 R3 Rn
A közös feszültséget kiemelve, és egyszerősítve vele:
1 1 1 1 1 = + + + ... + Re R1 R2 R3 Rn Ez az eredı ellenállás reciprokát adja meg. Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredıje mindig kisebb a kapcsolást alkotó legkisebb ellenállásnál is. Két ellenállás esetén az eredı képlete könnyebben kezelhetı alakra hozható:
R2 R1 R + R1 R1 + R2 1 1 1 = + = + = 2 = R R1 R2 R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R2 R=
R1 ⋅ R2 R1 + R2
A reciprokos számítási mőveletet replusz jellel jelöljük:
R = R1 × R2 Ellenállások vegyes kapcsolása Egy áramkörben az alkatrészeket nemcsak sorosan vagy párhuzamosan kapcsolhatjuk össze, hanem a két módszer együttes használatával keletkezı vegyes kapcsolással is.
2
5.A
5.A
A vegyes kapcsolások jellegzetessége, hogy nincs olyan összefüggés, amelynek segítségével az összes ilyen kapcsolás eredıje kiszámítható lenne. Ezért az áramkör átalakítása után, a soros és a párhuzamos kapcsolásoknál tanultakat alkalmazva, több lépésben lehet eredményre jutni. A vegyes kapcsolásokat a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolódó elemek összevonásával belülrıl kifelé haladva egyszerősítjük.
Egyszerősítés Figyeljük meg, milyen átalakítások után jutunk el az áramkör eredı ellenállásának meghatározásához! Az R2 és az R3 jelő ellenállás párhuzamosan kapcsolódik egymáshoz, az eredıjük: RA=R2×R3
Vegyes kapcsolás egyszerősítése1 Ha a két ellenállást ezzel az eredıjükkel helyettesítjük, akkor észrevehetjük a soros kapcsolódást az R4 jelzéső ellenálláshoz: RB=RA+R4
Vegyes kapcsolás egyszerősítése2 Az újabb helyettesítés után pedig már csak két ellenállás párhuzamos kapcsolata marad, tehát a teljes vegyes kapcsolat eredı ellenállása ennél az ellenállás hálózatnál: Re=R1×RB
Vegyes kapcsolás egyszerősítése 3 A feszültségosztás törvénye Ha felrajzoljuk két ellenállás soros kapcsolatát, és Ohm törvényének segítségével meghatározzuk a rajtuk átfolyó áram értékét (feszültségeséseik és ellenállásaik függvényében), a következı két egyenletet kapjuk:
I=
U1 R1
és
I=
U2 R2
Mivel mindkét ellenálláson ugyanaz az áram folyik keresztül:
U1 U 2 = R1 R2
, amelybıl
U 1 R1 = U 2 R2
.
3
5.A
5.A
Soros kapcsolásban az egyes ellenállásokon fellépı feszültségek úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellenállások értékei. Ez a feszültségosztás törvénye.
A feszültségosztó A feszültségosztó egy olyan négypólus, amelyet legegyszerőbb esetben két sorba kapcsolt ellenállás alkot. Ha az osztóra feszültséget kapcsolunk, akkor az ellenállásokon átfolyó áram azokon feszültségesést hoz létre. A két feszültség összege megegyezik a bemenı feszültséggel. Az osztó kimeneti feszültségét a két ellenállás bármelyikérıl levehetjük, jelen esetben az R2 -es ellenállásról.
A feszültségosztó Ha az osztóra nem kapcsolunk terhelést, akkor
U ki = U R 2 ,
U R 2 = I ⋅ R2 , I =
U be R1 + R2
,
U ki = I ⋅ R2 =
U be ⋅ R2 , R1 + R2
átrendezve:
U ki = U be ⋅
R1 R1 + R2
.
A képlet számlálójában mindig annak az ellenállásnak kell szerepelnie, amelyrıl az osztó kimeneti feszültségét levesszük, a nevezıben pedig mindig a kapcsolás eredı ellenállását tüntetjük fel. Ha a feszültségosztóra terhelést kapcsolunk, például egy ellenállást Rt, akkor ez az R2 ellenállással párhuzamosan kapcsolódik.
A feszültségosztó Emiatt a nevezıben az elıbb felírt képlet annyiban módosul, hogy az eredı ellenállás értéke: R1+(R2×Rt) összefüggéssel lesz kiszámítható, míg a számláló R2×Rt értékőre változik. Mivel a számláló értéke jobban csökken, mint a nevezıé, ezért a terhelt osztó kimeneti feszültsége mindig kisebb, mint az ideális (terheletlen) érték.
U ki = U be ⋅
R2 × Rt . R1 + (R2 × Rt )
Ez azt is jelenti, hogy feszültség mérésekor - a mőszer véges nagyságú belsı ellenállása miatt - a kapott feszültség mindig kisebb a valóságos értéknél. A feszültségosztás elvén mőködnek például a változtatható értékő ellenállások (potenciométerek) is.
Potenciométerek A feszültségosztók gyakorlati alkalmazásának egyik területe a változtatható értékő ellenállások, vagy más néven potenciométerek. Ez az eszköz a rendelkezésünkre álló feszültség csökkentésére (esetleg szabályozására) használható oly módon, hogy a potenciométer osztásarányát egy csúszóérintkezı segítségével változtathatjuk. A rendelkezésünkre álló feszültség Ube, a szabályozott feszültség pedig Uki. A csúszóérintkezı helyzetétıl függıen az osztó elemeinek megfelelı R1, R2 ellenállások értéke változik, de összegük mindig állandó marad.
4
5.A
5.A
A potenciométer mőködése A potenciométerek csoportosítása ellenálláspálya szerint Az ellenálláspálya kialakítása szerint beszélünk
• •
huzal-potenciométerrıl vagy rétegpotenciométerrıl.
A réteg rendszerint szén, valamilyen fém vagy cermet (fémoxidok, szilikátok és oldószerek keveréke). A hordozótest bakelit, vagy nagyobb teljesítmények esetén kerámia. A csúszóérintkezı anyaga általában grafit vagy fém. Az érintkezı elmozdulása lehet tengelyirányú vagy vertikális.
Huzalpotenciométer
Rétegpotenciométer
Tolópotenciométer Forgópotenciométer
A potenciométerek csoportosítása szerkezeti felépítés szerint Szerkezeti felépítésük alapján megkülönböztetünk:
• beállító (trimmer) potenciométereket (az ellenállás idıszakos beállítását teszi lehetıvé), • szabályozó potenciométereket (például a rádió hangerı és hangszín szabályozása), • finombeállító potenciométereket (jellegzetessége, hogy beállításuk csavarhúzóval vagy kézzel történhet), • többfordulatú (helikális) potenciométereket (nagy pontosságú beállításra alkalmas, a mozgó érintkezı csigavonal mentén halad, követve az ellenálláspálya menetemelkedését),
• többszörösen különfutó potenciométereket (például a televízió három alapszínének szabályozása).
Trimmer potenciométer
Többfordulatú potenciométer (helipot)
Többszörösen különfutó potenciométer
5
5.A
5.A
Potenciométerek katalógusadatai Potenciométerek mechanikai paraméterei Egy elektronikai alkatrész katalógusban a következı adatokat találhatjuk meg, ha például 470 Ω-os, lineáris (A) típusú, egypályás (mono) kivitelő 6 mm-es mőanyag tengellyel ellátott potenciométert választunk:
Elforgatási szög: 300°±5° Mőködtetı forgató nyomaték: 0,4 – 1,5 Ncm Maximális forgató nyomaték: 80 Ncm Maximális tengelyirányú erı: 100 N (max: 5 s) Súlya tengellyel együtt: ~11 g
Potenciométerek elektromos paraméterei Maximális disszipáció (40 °C): 0,4 W Maximális kapocsfeszültség: 500 V, DC Szigetelési ellenállás: >5 GΩ Átütésifeszültség: 1000 V, AC Névleges ellenállás tőrés: ±20%
6
5.A
5.A
Potenciométerek fontos villamos tulajdonságai A potenciométerek további fontos villamos tulajdonságai Névleges ellenállásérték: Az alkatrészen gyárilag feltüntetett adat. Tényleges ellenállás: A potenciométer végkivezetései között mérhetı ellenállásérték. Névleges ellenállás tőrés: A tényleges ellenállásnak a névleges értékhez képest megengedett legnagyobb eltérése százalékban kifejezve. Kezdeti ellenállás: A mozgó érintkezı véghelyzete és a végkivezetés között mérhetı ellenállásérték. Hatásos ellenállás: A teljes ellenállás azon része, amelyen belül az ellenállás értéke az elıírt jelleg szerint változik. A potenciométer típusa: Megkülönböztetünk lineáris jellegőt (a jele: A), logaritmikus jellegőt (B) és fordított logaritmikus jellegőt (C). A lineárist a méréstechnikában, a logaritmikust hangszínszabályozásra, a fordítottan logaritmikust pedig a hangerı szabályozására szokták alkalmazni. Névleges terhelhetıség (maximális disszipáció): A névleges üzemi hımérsékleten tartósan megengedett legnagyobb villamos igénybevétel.
Potenciométer típusa A potenciométer típusa: megkülönböztetünk lineáris jellegőt (a jele: A), logaritmikus jellegőt (B) és fordított logaritmikus jellegőt (C).
Potenciométerek Az áramosztás törvénye Az áramosztás törvényét párhuzamos kapcsolások esetén értelmezhetjük. A párhuzamosan kapcsolt ellenállásokon a közös mennyiség a feszültség, míg a rajtuk átfolyó áram áramkorlátozó hatásaik függvénye. Áramaikat az
I1 =
U U , I2 = R1 R2
összefüggésekkel határozhatjuk meg. Az egyenletekbıl a közös mennyiséget kifejezve U=I1·R1=I2·R2 és átrendezés után az
I 1 R2 = I 2 R1 összefüggésre jutunk. Ez szövegesen kifejtve azt jelenti, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az áramerısségek fordítottan arányosak az ágak ellenállásaival. Vagyis a csomópontba befolyó áram az ellenállásokon megoszlik, nagyobb ellenálláson kisebb, kisebb ellenálláson nagyobb áram folyik.
Az áramosztó
7
5.A
5.A
A delta-csillag átalakítás Vezessük le a delta-csillag átalakításnál használható összefüggéseket! A kapcsolás három pontja legyen A, B és C. Ezek közé kapcsolódik háromszög alakban RAB, RAC és RBC az indexeiknek megfelelı, és az ábrán látható módon. A delta és a csillag kapcsolás helyettesíthetıségének feltétele, hogy a megfelelı kivezetéseik között mindkét kapcsolási formában ugyanakkora legyen az ellenállás. AB pontok között: deltakapcsolásban RAB× (RAC+RBC), míg csillagkapcsolásban RA + RB, AC pontok között: deltakapcsolásban RAC × (RAB+RBC), míg csillagkapcsolásban RA + RC, BC pontok között: deltakapcsolásban RBC × (RAB+RAC), míg csillagkapcsolásban RB + RC az ellenállás eredıje
A delta-csillag átalakítás A megfelelı eredı ellenállások egyenlısége miatt: RA + RB = RAB × (RAC + RBC) RA + RC =RAC × (RAB + RBC) RB + RC =RBC × (RAB + RAC) Az RA, RB és RC értékének kifejezése érdekében alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, és helyettesítsük be, hogy
Σ R=RAB + RBC + RAC!
R AB ⋅ R AC + R AB ⋅ R BC R AB ⋅ R AC + R AB ⋅ R BC R AB ⋅ R AC R AB ⋅ R BC = = + R AB + R BC + R AC ΣR ΣR ΣR R ⋅ R + R AC ⋅ R BC R AC ⋅ R AB + R AC ⋅ R BC R AC ⋅ R AB R AC ⋅ R BC R A + RC = AC AB = = + R AB + R BC + R AC ΣR ΣR ΣR R ⋅ R + R BC ⋅ R AC R BC ⋅ R AB + R BC ⋅ R AC R BC ⋅ R AB R BC ⋅ R AC R B + RC = BC AB = = + R AB + R BC + R AC ΣR ΣR ΣR
1. , R A
2.
3.
+ RB =
Vonjuk ki az elsı egyenletbıl a másodikat:
R B − RC =
8
R AB ⋅ R BC R AC ⋅ R BC − ΣR ΣR
.
,
,
.
5.A
5.A
Ehhez az eredményhez adjuk hozzá a harmadik egyenletet:
2 ⋅ RB = 2 ⋅
R AB ⋅ R BC ΣR
ebbıl pedig
RB =
R AB ⋅ R BC ΣR
Ezután már csak ezzel kell behelyettesíteni az elsı és a harmadik egyenletbe, és megkapjuk mindhárom ellenállás értékét:
RA =
R AB ⋅ R AC ΣR
,
RB =
R AB ⋅ R BC ΣR
,
RC =
R AC ⋅ R BC ΣR
.
Megállapíthatjuk, hogy csillagkapcsolásban az eredeti hálózat valamely pontjához csatlakozó ellenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a deltakapcsolásban ugyanezen ponthoz csatlakozó két ellenállás szorzatát osztjuk a deltakapcsolás ellenállásainak összegével.
A csillag-delta átalakítás Alakítsuk át az ábrán látható csillagkapcsolást úgy, hogy a hálózat többi részén a feszültség és az áramviszonyok ne változzanak meg, tehát az AB, az AC és a BC pontok közötti ellenállás értéke se változzon meg.
A csillag-delta átalakítás Az átalakításnak akkor is helyesnek kell lennie, ha a három pont közül kettıt összekötünk.
A csillag-delta átalakítás Elıször kössük össze a B és a C pontot. Mindkét kapcsolásnál azonosnak kell lennie az A és az összekötött B és C pontok közötti ellenállásnak, tehát a vezetıképességnek is. az A és a B-C pontok között: csillagkapcsolásban GA× (GB+GC), míg deltakapcsolásban GAB + GAC, a B és az A-C pontok között: csillagkapcsolásban GB× (GA + GC), míg deltakapcsolásban GAB + GBC, a C és az A-B pontok között: csillagkapcsolásban GC× (GA + GB) , míg deltakapcsolásban GAC + GBC a vezetıképesség. A megfelelı vezetıképességek egyenlısége miatt: GAB + GAC = GA × (GB + GC), GAB + GBC = GB × (GA + GC), GAC + GBC = GC × (GA + GB).
9
5.A
5.A
Az GAB, GBC és GAC értékének kifejezése érdekében alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, és helyettesítsük be, hogy
ΣG = GA + GB + GC!
G A ⋅ G B + G A ⋅ GC G A ⋅ G B + G A ⋅ GC G A ⋅ G B G A ⋅ GC = = + , ΣG ΣG G A + G B + GC ΣG G ⋅ G A + G B ⋅ G C G B ⋅ G A + G B ⋅ GC G B ⋅ G A G B ⋅ GC = B = = + , ΣG ΣG G A + G B + GC ΣG G ⋅ G A + GC ⋅ G B G C ⋅ G A + G C ⋅ G B G C ⋅ G A G C ⋅ G B = C = = + . G A + G B + GC ΣG ΣG ΣG
1.
G AB + G AC =
2.
G AB + G BC
3.
G AC + G BC
Vonjuk ki az elsı egyenletbıl a másodikat:
G AC − G BC =
G A ⋅ GC G B ⋅ G C − ΣG ΣG
.
Ehhez az eredményhez adjuk hozzá a harmadik egyenletet:
2 ⋅ G AC = 2 ⋅
G A ⋅ GC ΣG
,
amibıl már következik, hogy GAC=GA· GC∑G
G AC =
G A ⋅ GC ΣG
Ezután már csak ezzel kell behelyettesíteni az elsı és a harmadik egyenletbe, és megkapjuk mindhárom vezetıképesség értékét:
G AB =
G A ⋅ GB ΣG
G BC =
,
G B ⋅ GC ΣG
G AC =
,
G A ⋅ GC ΣG
.
Deltakapcsolásban az eredeti hálózat valamely két pontjához csatlakozó ellenállás vezetıképességének értékét úgy kapjuk meg, ha a csillagkapcsolásban ugyanezen két ponthoz csatlakozó két ellenállás vezetıképességének szorzatát osztjuk a deltakapcsolás vezetıképességeinek összegével. Alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, hogy az ellenállás értékeket is ki tudjuk fejezni:
A
G A ⋅ GB 1 egyenletet átalakítva a G = ΣG R 1 1 1 + + R R B RC = A 1 R A ⋅ RB
G AB =
R AB
Ha bevezetjük az
1 1 1 1 + + = R A R B RC R 0
R AB = R A ⋅ R B ⋅
1 R0
összefüggés alapján:
jelölést, akkor
.
Ennek alapján:
R BC = R B ⋅ RC ⋅
1 R0
és
R AC = R A ⋅ RC ⋅
1 R0
.
Deltakapcsolásban az eredeti hálózat valamely két pontjához csatlakozó ellenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a csillagkapcsolásban ugyanezen két ponthoz csatlakozó két ellenállás szorzatát szorozzuk a három ellenállás reciprok értékének összegével.
10
5.A
5.A
A Wheatstone-híd Hídnak nevezzük azokat a négypólusokat, amelyekben az egyes áramköri elemek értékeit úgy kell megválasztani, illetve beállítani, hogy a kimeneti feszültség nulla legyen. Ez a híd kiegyenlített, azaz egyensúlyi állapota. A hídkapcsolásokat a felhasználási módnak megfelelıen többféle alkatrészbıl is elkészíthetjük, de most csak az ellenállásokkal felépített ún. Wheatstone-híd felépítését és mőködését ismerjük meg.
A Wheatstone-híd Ha megvizsgáljuk és átalakítjuk a Wheatstone-híd kapcsolását, akkor azt vehetjük észre, hogy két, azonos feszültségrıl táplált feszültségosztóból áll. Az R1 és R2, illetve R4 és R3 ellenállásokból felépített osztókra kapcsoljuk a négypólus bemeneti feszültségét (Ube).
A Wheatstone-híd A Wheatstone-híd kiegyenlítése A feszültségosztás törvényének ismeretében vezessük le a Wheatstone-híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggést! Ha a híd kiegyenlített állapotban van, akkor a kimenetére kapcsolt mőszeren nem folyik áram, tehát az osztók terheletlenek. Ebben az esetben felírhatjuk, hogy: Uki = UA−UB = 0. A négypólus kimeneti feszültsége csak akkor nulla, ha a két osztó kimeneti feszültsége azonos: UA = UB. Írjuk fel a két osztóra a feszültségosztás törvényét!
U A = U be ⋅
R3 R3 + R4
, illetve
U B = U be ⋅
R2 R1 + R2
Ha figyelembe vesszük, hogy a két feszültség azonos, akkor:
U be ⋅
R3 R2 = U be ⋅ R3 + R4 R1 + R2
Egyszerősítsünk a bemeneti feszültséggel, és szorozzuk mindkét oldalt R3+ R4 −gyel és R1+ R2 −vel.
R3 R2 = R3 + R4 R1 + R2 amely a szorzás elvégzése után az R3·R1 + R3·R2 = R2·R3 + R2·R4 alakban írható fel. Ha kivonjuk mindkét oldalból az R2· R3-at, akkor eljutunk a híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggéshez: R1· R3 = R2·R4.
11
5.A
5.A
A kapcsolási rajz ismeretében elmondhatjuk, hogy a Wheatstone-híd kiegyenlített (a kimeneti feszültsége nulla), ha az egymással szemben lévı hídágak ellenállásainak szorzata nulla.
A Wheatstone-híd alkalmazása A Wheatstone-hidat elsısorban alkatrészek és nem villamos mennyiségek (hımérséklet, kis elmozdulás, nyúlás, stb.) mérésére alkalmazhatjuk.
Ellenállás mérése Az ellenállás mérésére alkalmas Wheatstone-híd kapcsolási rajzán láthatjuk, hogy RX ismeretlen ellenállás hídágában egy RP hitelesen, és kis fokozatokban állítható normál ellenállást tartalmaz, amellyel a kimeneti feszültséget tudjuk nagyon pontosan nullára beállítani. RPértéke a fokozatkapcsolók állásain vagy egy skálán olvasható le. Kiegyenlített állapotban: RX·R2=RP·R1. Az ismeretlen ellenállást pedig ebbıl az összefüggésbıl kifejezve: RX=RP·R1R2.
A hídáttétel Az R1/R2 hányadost hídáttételnek vagy hídviszonynak nevezzük, és minden értéke 10-nek valamilyen egész hatványa, 10
−2
, 10
−1
2
,1,10,10 , stb.
A mérés elvégzése után az ismeretlen ellenállás értékének kiszámításához a kiegyenlítéskor leolvasott RP értéket a hídáttétellel kell megszorozni.
A galvanométer A kimenetre egy nagyon érzékeny mőszert, egy galvanométert kell kapcsolni. Ez a mőszer kiegyenlítéses rendszerő, ami azt jelenti, hogy akkor kell a beállított értékeket leolvasni, amikor a mőszer egyensúlyi, vagyis nulla állapotot jelez.
Wheatstone-híd
12
