5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. •
•
Půjde o spektrum harmonického oscilátoru, nemá to nic společného se spektrem atomu nebo se spektrálními čarami atomu. Liší se to právě potenciálem! Nakreslete si jak oba potenciály vypadá harmonický potenciál a Coulombovský potenciál. To jsou v přírodě dva velmi důležité případy, nyní se budeme věnovat prvnímu. Ukážeme, že přiřazení ((44) a (45)) a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz 3.4.5) jeden z hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. Operátor energie – Hamiltonián – kvantové částice pohybující se v silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence 2 2 2 2 (54)
m −ℏ −ℏ H = V x = x 2m 2m 2
• • •
(odvodit pro harm. oscilátor) Dosadili jsme zde konkrétní tvar za potenciál V x . Vycházíme z rovnice (51), kterou jsme odvodili ze Schrödingerovy rovnice pro časově nezávislý potenciál. Ukážeme že (omezíme-li definiční obor operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce) je množina vlastních hodnot, tj. čísel λ pro která existuje funkce ψ x splňující
H = •
(55)
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze. Operátor (54) je součtem tří operátorů
H = H 1 H 2 H 3
,
(56)
2
2 −ℏ d m 2 2 H j= xj 2m dx 2j 2
(57)
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru (54) ve faktorizovaném tvaru
x =1 x 1 2 x 2 3 x 3 •
Rovnice (55) pak přejde na tvar 42
(58)
H 1 1 2 3 1 H 2 2 3 1 2 H 3 3 =1 2 3 •
Nalezneme-li vlastní čísla
λ j funkce (formálně stejných) operátorů
H j j = j j
(59)
H j
,
(60)
pak získáme i vlastní čísla operátoru (54) :
=1 23
(61)
Jednorozměrný harmonický oscilátor. Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor 2 2 2 2 2
−ℏ d m H = x 2 m dx 2
• •
(62)
Tento operátor lze považovat za operátor energie jednorozměrného harmonického oscilátoru tj. kvantové částice pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce). [T1] Množina vlastních čísel operátoru (62) působícího v prostoru kvadraticky integrabilních 1 funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly ℏ n , kde n∈Z + . Pro každé n 2 existuje (až na multiplikativní konstantu) právě jedna vlastní funkce
n x = A n e kde =
− 2 /2
H n
m x a H n jsou Hermitovy polynomy ℏ [ n/2] k n−2k
H n z := ∑ −1 2z
,
n! k !n−2k!
(63)
,
(64)
k =0 kde [r ] je celá část reálného čísla r . Konstantu An normalizující funkci n je možno vyjádřit 1 4 (65) n n
A=
•
•
1 m ⋅ 2 n! ℏ
Důsledkem tvrzení [T1] je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s m 2 2 V x= x může nabývat pouze hodnot z diskrétní množiny potenciálem 2 1 {ħω n , n ∈ Z + } . Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro 2 odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa. ħω Nejnižší možná energie není nulová! Člen , představuje tzv. ”nulové kmity”. 2 43
•
Několik prvních Hermitovských polynomů: H 0 x =1 H 1 x =2x H 2 x =4x2 −2 3 H 3 x =8x −12x 4 2 H 4 x =16x −48x 12 H 5 x =32x 5−160x 3 120x H 6 x =64x 6 −480x 4 720x 2 −120 H 7 x =128x 7 −1344x5 3360x3 −1680x 8 6 4 2 H 8 x =256x −3584x 13440x −13440x 1680
[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/]
• •
(66)
[wikipedia: quantum harmonic oscillator]
[wikipedia: hermitian polynomials] I když Hermitovské polynomy utíkají do nekonečna, vlastní funkce Hamiltoniánu jdou k nule díky exponenciálnímu prefaktoru. Připomeňme si jak vypadala pravděpodobnost nalezení klasického harmonického oscilátoru. 1 1 Cvičení: x= 2 A −x 2
Třírozměrný harmonický oscilátor. • Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru (54) pro třírozměrný harmonický oscilátor. Z rozkladu (59) je zřejmé, že funkce
x 1 , x 2 , x 3 = n1 x 1 n2 x 2 n3 x 3 kde n x
(67)
jsou dány vzorcem (63), jsou vlastními funkcemi operátoru (54) s vlastními čísly
44
•
3 =123=n 1n 2n 3 ℏ . 2 Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují:
•
[T2] Množina vlastních funkcí operátoru (62) m
n x= • •
− x K e 2ℏ H n n n! 2 2
m m x ,K= ℏ ℏ
1/4
(68)
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na prostoru R. [T3] Množina funkcí (67), kde ψ n x jsou dány vzorcem (68) je ortonormální bází v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na prostoru R3. Braketovou terminologii: pro funkce (68) a (67) se často používá tzv. ketové značení
n =∣n 〉 , n n n =∣n1 n 2 n 3 〉 1
2
3
(69)
QMCA: Dirakova notace, vztahy 2.23-2.25.
•
•
•
•
Z tvrzení [T2] a [T3] rovněž plyne, že spektra Hamiltoniánů (62) a (54) jsou čistě bodová (SKM 7.3.9). Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru – se liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu ℏ /2 . Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních funkcí operátoru (54) s vlastním číslem λ=7/ 2 ħ je tvořen lineárním obalem funkcí (67), kde trojice n1 , n2 , n3 nabývají hodnot (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0). Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru (54) s vlastním číslem λ=n3/ 2 ħω je n1 n2/ 2 . To je zásadní věc. Pokud jsme byli schopni změřit energii jednorozměrného oscilátoru, znali jsme okamžitě jeho stav. Pro 3D harmonický oscilátor odpovídá jedné hodnotě energie více nezávislých vlastních funkcí, musíme tedy provést ještě další měření, které vlastní funkci upřesní (samo měření energie už nestačí). Už v první přednášce jsme také viděli, že měření v kvantové fyzice jsou invazivní. Mohou tedy změnit kvantový stav částice. Musíme tedy měření provádět velmi chytře, aby ke změně stavu nedošlo. Jak to udělat, tomu se budeme dále věnovat. Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá základním stavem, zatímco ostatní stavy se nazývají excitované.
Závěr z přednášky: • Hladiny energie jsou diskrétní. Tentokrát to není (jako v Planckově případě) tvrzení ad hoc, ale důsledek pečlivě budované teorie. • Existuje malá, ale nenulová pravděpodobnost nalezení oscilátoru mimo oblast, která je z klasického pohledu zakázaná. To úzce souvisí s tunelovým jevem. • V limitě velkých energií se pravděpodobnost nalezení oscilátoru v určité vzdálenosti od rovnovážného stavu blíží ke klasickému výsledku odvozenému na cvičení. • Pro 1D HO energie jednoznačně identifikuje vlnovou funkci a tudíž I stav systému. V případe 3D HO tomu tak není, a jedné hladině energie odpovídá více různých vlnových funkcí, a tedy I více stavů systému. Jak je rozlišit budeme studovat v následujících přednáškách. • To, co bylo odvozeno pro 3D HO platí pro izotropní HO. Tedy takový, který má ve všech 3 45
směrech stejnou silovou konstantu a tudíž také stejné . Stav neizotropního 3D HO může být určen energií jednoznačně. •
Viděli jsme, k naší smůle, že na houpačce se nemůžeme houpat jak chceme, máme k dispozici pouze diskrétní energetické hladiny. Takže, když vám váš synek bude prosit abyste ho pohoupali na energetické hladině jiné než ℏ n3/ 2 , tak ho budete muset zklamat. Naštěstí je ale ℏ velmi malé, takže ho budete moci houpat s energií jen nepatrně odlišnou od požadované a tudíž je velká šance že si toho ani nevšimne. Větší problém tak bude s frekvencí, která je přímo definovaná hmotností synka na houpačce a její délkou (pro malé výchylky). Srovnej kyvadlo hodin, evoluta cykloidy atp.
46
