4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B ⊆ X|∼ , amelyre
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 1/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B ⊆ X|∼ , amelyre 1. B megszámlálható számosságú;
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 1/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B ⊆ X|∼ , amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X1 , X2 ∈ X|∼ , X1 ≻ X2 esetén létezik Y ∈ B, amelyre X1 ≻ Y ≻ X2 (azaz a B halmaz sur ˝ u˝ a ≻ rendezésre nézve).
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 1/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B ⊆ X|∼ , amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X1 , X2 ∈ X|∼ , X1 ≻ X2 esetén létezik Y ∈ B, amelyre X1 ≻ Y ≻ X2 (azaz a B halmaz sur ˝ u˝ a ≻ rendezésre nézve). Ekkor létezik v : X → R értékelo˝ függvény, azaz bármely a, b ∈ X -re teljesül, hogy a ≻ b ⇐⇒ v(a) > v(b), és a ∼ b ⇐⇒ v(a) = v(b).
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 1/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B ⊆ X|∼ , amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X1 , X2 ∈ X|∼ , X1 ≻ X2 esetén létezik Y ∈ B, amelyre X1 ≻ Y ≻ X2 (azaz a B halmaz sur ˝ u˝ a ≻ rendezésre nézve). Ekkor létezik v : X → R értékelo˝ függvény, azaz bármely a, b ∈ X -re teljesül, hogy a ≻ b ⇐⇒ v(a) > v(b), és a ∼ b ⇐⇒ v(a) = v(b).
A tétel megfordítása is igaz: Ha létezik v : X → R értékelo˝ függvény, mely reprezentálja a relációt, akkor gyenge rendezés az X halmazon és a X|∼ halmaznak van megszámlálható számosságú és a ≻ rendezésre nézve sur ˝ u˝ részhalmaza. ´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 1/8 Az e´ rtekel ¨ eny
Mondjunk példát olyan X halmazra és a rajta értelmezett gyenge rendezésre, amelyre a múlt órai értékelo˝ függvényes tétel (4.1.) nem alkalmazható, de a mai (4.2.) már igen!
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 2/8 Az e´ rtekel ¨ eny
1. példa X
=
R
=
˝ ≥ (kisebb vagy egyenlo)
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 3/8 Az e´ rtekel ¨ eny
1. példa X
=
R
=
˝ ≥ (kisebb vagy egyenlo)
Ekkor X|∼ = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sur ˝ u˝ legyen a valós számok közötti nagyobb ˝ vagy egyenlo˝ rendezésre nézve, vagyis tetszoleges két valós szám között legyen B -beli elem.
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 3/8 Az e´ rtekel ¨ eny
1. példa X
=
R
=
˝ ≥ (kisebb vagy egyenlo)
Ekkor X|∼ = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sur ˝ u˝ legyen a valós számok közötti nagyobb ˝ vagy egyenlo˝ rendezésre nézve, vagyis tetszoleges két valós szám között legyen B -beli elem. Itt az értékelo˝ függvény könnyen kitalálható:
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 3/8 Az e´ rtekel ¨ eny
1. példa X
=
R
=
˝ ≥ (kisebb vagy egyenlo)
Ekkor X|∼ = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sur ˝ u˝ legyen a valós számok közötti nagyobb ˝ vagy egyenlo˝ rendezésre nézve, vagyis tetszoleges két valós szám között legyen B -beli elem. Itt az értékelo˝ függvény könnyen kitalálható: v(x) = x.
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 3/8 Az e´ rtekel ¨ eny
2. példa X
=
R2
(x1 , y1 ) (x2 , y2 )
⇔
x21 + y12 ≥ x22 + y22
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 4/8 Az e´ rtekel ¨ eny
2. példa X
=
R2
(x1 , y1 ) (x2 , y2 )
⇔
x21 + y12 ≥ x22 + y22
Ekkor X|∼ = R+ 0 , nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q+ , vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással.
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 4/8 Az e´ rtekel ¨ eny
2. példa X
=
R2
(x1 , y1 ) (x2 , y2 )
⇔
x21 + y12 ≥ x22 + y22
Ekkor X|∼ = R+ 0 , nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q+ , vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással. Megint kitalálható az értékelo˝ függvény:
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 4/8 Az e´ rtekel ¨ eny
2. példa X
=
R2
(x1 , y1 ) (x2 , y2 )
⇔
x21 + y12 ≥ x22 + y22
Ekkor X|∼ = R+ 0 , nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q+ , vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással. Megint kitalálható az értékelo˝ függvény: v((x, y)) = x2 + y 2 .
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 4/8 Az e´ rtekel ¨ eny
Legyen X ⊆ Rn , és vezessük be az (x, y) ∈ X × X rendezett párok halmazán értelmezett ≥ relációt a ˝ következoképpen: x ≥ y ⇐⇒ xi ≥ yi minden i = 1, 2, . . . , n-re, és
létezik olyan j index, hogy xj > yj .
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 5/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 6/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1)
monoton, azaz bármely x, y ∈ X esetén x ≥ y =⇒ x ≻ y;
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 6/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1)
monoton, azaz bármely x, y ∈ X esetén x ≥ y =⇒ x ≻ y;
(2)
folytonos, azaz bármely x, y, z, ∈ X esetén, ha x ≻ y ≻ z, akkor egyértelmuen ˝ létezik olyan λ ∈ (0, 1), hogy y ∼ λx + (1 − λ)z.
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 6/8 Az e´ rtekel ¨ eny
4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1)
monoton, azaz bármely x, y ∈ X esetén x ≥ y =⇒ x ≻ y;
(2)
folytonos, azaz bármely x, y, z, ∈ X esetén, ha x ≻ y ≻ z, akkor egyértelmuen ˝ létezik olyan λ ∈ (0, 1), hogy y ∼ λx + (1 − λ)z.
Ekkor létezik olyan v : X → R függvény, amely reprezentálja -t.
´ o˝ fuggv ´ letez ´ ese ´ (folytatas) ´ – p. 6/8 Az e´ rtekel ¨ eny
