Mátrixok 2015. február 23.
1.
Feladat:
Legyen
A=
1 0 −3 2 1 0
B=
3 0 1 4 1 1
Határozzuk meg A + B, A − B, 2A, −3B, 2A − 3B,AT és (BT )T mátrixokat. Megoldás: A de níciók alapján A+B=
1 + 3 0 + 0 −3 + 1 2+4 1+1 0+1
=
4 0 −2 6 2 1
−2 0 −4 1 − 3 0 − 0 −3 − 1 = A−B= −2 0 −1 2−4 1−1 0−1 2 0 −6 2 · 1 2 · 0 2 · (−3) = 2A = 4 2 0 2·2 2·1 2·0 −9 0 −3 −3B = −12 −3 −3 −7 0 −9 2 − 9 0 + 0 −6 − 3 = 2A − 3B = 2A + (−3B) = −8 −1 −3 4 − 12 2 − 3 0−3 1 2 AT = 0 1 −3 0 3 0 1 T T (B ) = B = 4 1 1
2.
Feladat:
Legyen A=
3 −2 7 0
B=
2 1 0 0
C=
−1 5 −1 −8
Határozzuk meg A + B + C, 5A + B − 7C, AT − 4B − 6CT , mátrixokat. Megoldás:
4 4 A+B+C= = 6 −8 15 + 2 + 7 −10 + 1 − 35 24 −44 5A + B − 7C = = 35 + 0 + 7 0 + 0 + 56 42 56 3 + 2 − 1 −2 + 1 + 5 7+0−1 0+0−8
1
Mivel
T
3 7 −2 0
A =
ezért T
T
A − 4B − 6C =
3.
Vizsgafeladat:
Legyen A =
T
−1 −1 5 −8
C =
3−8+6 7−4+6 −2 − 0 − 30 0 − 0 + 48
1 −4 0 0 5 −1
és B =
1 9 −32 48
=
0 7 3 2 0 −4
.
Határozzuk meg 3((2A − B) − (A − 3B)) mátrixot. Megoldás:
3 ((2A − B) − (A − 3B)) = 3(2A − B − A + 3B) = 3A + 6B = 3 −12 0 0 42 18 3 30 18 = + = 0 15 −3 12 0 −24 12 15 −27
4.
Feladat:
Határozzuk meg AB, BA, (AB)A , A(BA) és A2 mátrixokat, ha A=
Megoldás:
3 −2 7 0
B=
2 1 0 0
Mivel A és B 2×2-es mátrixok, a sorok és oszlopok száma azonos, a szorzások
elvégezhet®ek.
3 -2 7 0
2 1 0 0
2 0
1 0
6
3
14
7
3 7
-2 0
13
-4
0
0
tehát AB =
6 3 14 7
tehát BA =
13 −4 0 0
Vegyük észre, hogy AB 6= BA, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív.
6 3 14 7
3 -2 7 0
3 7
-2 0
39
-12
91
-28
13 0
-4 0
39
-12
91
-28
2
tehát (AB)A =
39 −12 91 −28
tehát A(BA) =
39 −12 91 −28
Vegyük észre, hogy ABA = A(BA) = (AB)A, azaz teljesül a mátrixok szorzásra vonatkozó asszociatív tulajdonság.
3 -2 7 0 5.
Feladat:
Legyen
3 7
-2 0
-5
-6
21
-14
tehát A2 =
2 5 A= 0 4 3 7
−5 −6 21 −14
−4 2 B = 7 −2 9 3
Határozzuk meg azt az X mátrixot, amelyre 2A + X = 5B teljesül. Megoldás:
Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy
−20 10 4 10 −24 0 X = 5B − 2A = 35 −10 − 0 8 = 35 −18 45 15 6 14 39 1
6.
Feladat:
Legyen A=
1 2 3 4 5 6
9 0 B= 8 6 7 9
C=
1 −1 0 1
Határozzuk meg AB + C, AB + B, CB + A és BC + AT mátrixokat. Megoldás: A mátrixok különböz® típusúak, ezért els® lépésben mindig meg kell nézni, hogy vajon a kijelölt m¶velet elvégezhet®-e? AB + C vizsgálata: A B AB = (2 × 3) (3 × 2) (2 × 2)
Mivel A mátrix oszlopainak száma megegyezik B mátrix sorainak számával, azaz a bels® indexek azonosak, a szorzás elvégezhet®, a küls® indexek pedig meghatározzák a szorzatmátrix típusát. Valamint AB C AB + C + = (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2)
azaz AB és C mátrixok azonos típusúak, ezért AB + C m¶velet elvégezhet®. Készítsük el AB szorzáshoz a táblázatot.
1 2 3 4 5 6
9 8 7
0 6 9
46
39
118
84
tehát AB =
3
46 39 118 84
AB + C =
46 39 118 84
+
1 −1 0 1
47 38 118 85
=
AB + B vizsgálata:
Mivel
AB B + (2 × 2) (3 × 2)
A két mátrix típusa különböz®, az összeadás nem végezhet® el. (BA)2 vizsgálata: B A BA · = (3 × 2) (2 × 3) (3 × 3)
A bels® indexek azonosak, BA szorzat létezik. A m¶velet eredménye egy négyzetes mátrix, így (BA)2 m¶velet is elvégezhet®.
9 0 8 6 7 9
1 4
2 5
3 6
9
18
27
32
46
60
43
59
75
9 18 27 32 46 60 43 59 75
9 18 27 tehát BA = 32 46 60 43 59 75
9 32 43
18 46 59
27 60 75
1818
2583
3348
4340
6232
8124
5500
7913
10326
1818 2583 3348 tehát (BA)2 = 4340 6232 8124 5500 7913 10326 CB + A vizsgálata:
Mivel
C B · (2 × 2) (3 × 2)
a bels® indexek nem egyeznek meg, a m¶velet nem végezhet® el. BC + AT vizsgálata: Mivel B C BC · = (3 × 2) (2 × 2) (3 × 2)
és
BC AT BC + AT + = (3 × 2) (3 × 2) (3 × 2)
a m¶velet elvégezhet®. Számolás: 4
9 0 8 6 7 9
1 0
-1 1
9
-9
8
-2
7
2
9 −9 tehát BC = 8 −2 7 2
Az eredmény:
9 −9 1 4 10 −5 3 BC + AT = 8 −2 + 2 5 = 10 7 2 3 6 10 8
7.
Feladat:
Határozzuk meg AB, BA, és CA szorzatokat,ha
4 A= 0 −1 Megoldás:
1 1 3
B=
C=
0 −2 1 −1 0 1
El®ször nézzük meg a szorzások elvégezhet®ek-e.
Mivel
A B AB = (3 × 1) (1 × 3) (3 × 3)
a bels® indexek azonosak a szorzás elvégezhet®. 4 0 -1 Mivel
1
1
3
4
4
12
0
0
0
-1
-1
-3
tehát
4 4 12 0 0 AB = 0 −1 −1 −3
B A BA = (1 × 3) (3 × 1) (1 × 1)
a bels® indexek azonosak, a szorzás elvégezhet®.
1 1 3 Mivel
4 0 -1
tehát
1
BA =
1
C A CA = (2 × 3) (3 × 1) (2 × 1)
a bels® indexek azonosak, a szorzás elvégezhet®.
0 -2 1 -1 0 1
4 0 -1
tehát
-1 -5
5
CA =
−1 −5
.
8.
Feladat:
Határozzuk meg AAT és AT A mátrixokat, ha A=
Megoldás:
−3 1 0 5
A bels® indexek megegyeznek, a m¶veletek elvégezhet®ek.
−3 0 1 5
−3 1 0 5
−3 0 1 5
−3 0 1 5
−3 1 0 5
T
A =
T
AA = T
A A=
10 5 5 25
9 −3 −3 26
= =
Vegyük észre, hogy AAT 6= AT A, de mindkett® szimmetrikus. 9.
Feladat:
Határozza meg az A · 1 és 1T · A mátrixokat, ha
1 3 5 0 2 A = 10 −8 0 4 1 3 −5 Megoldás:
1 9 1 3 5 0 1 4 10 −8 0 2 = A·1= 1 3 4 1 3 −5 1
A m¶velet eredménye: az A mátrix soraiban lév® elemek összege.
1 3 5 0 2 = (15; −4; 8; −3) 1T A = (1; 1; 1) 10 −8 0 4 1 3 −5
10.
Feladat:
Végezzük el az alábbi m¶veleteket A · e3 és eT 1 · A, ha A=
2 −1 3 0 5 1
Megoldás:
A · e3 =
2 −1 3 0 5 1
0 0 = 3 1 1
A m¶velet eredménye: kiemeltük a mátrix 3. oszlopát. eT 1A
= (1; 0)
2 −1 3 0 5 1
A m¶velet eredménye: kiemeltük a mátrix els® sorát. 6
= (2; −1; 3)
11.
Feladat:
Végezzük el a következ® szorzást, majd értelmezzük a m¶velet eredményét:
2 1 1 3 ·1 eT 2 · −3 4 Megoldás:
2 1 1 0 1 0 1 3 = 1 −3 4
1 3
1 1
=4
A m¶velet eredménye: kiemeltük a mátrix 2. sorát, majd a sor elemeit összeadtuk. 12.
Feladat:
Mutassuk meg, hogy (AB)T = BT AT , ha A=
2 1 0 −3
B=
0 5 −1 4
Megoldás:
−1 14 0 5 = 3 −12 −1 4 −1 3 (AB)T = 14 −12 0 −1 2 0 −1 3 T T B A = = 5 4 1 −3 14 −12
AB =
2 1 0 −3
Valóban teljesül, hogy (AB)T = BT AT 13.
Feladat:
Végezze el a következ® szorzást: A2 · e2 , ha A=
−7 4 1 2
Végeredmény:
2
A · e2 =
14.
Feladat:
−20 8
Határozza meg az AT A · 1 mátrixot, ha A=
3 0 5 −2
Végeredmény:
AT A · 1 =
7
24 −6
15.
Feladat:
Határozza meg az eT 4 · A · 1 szorzat eredményét, ha
−10 3 0 6 A= 7 11 5 −1 Végeredmény:
16.
Feladat:
eT 4 ·A·1=4
Határozza meg az 1T · A · e2 szorzat eredményét, ha
−10 3 0 6 A= 7 11 5 −1 Végeredmény:
17.
Feladat:
1T · A · e2 = 19
Határozza meg az A · (e3 − e4 ) szorzat eredményét, ha
5 −1 7 2 A = 12 −10 16 14 8 17 1 13 Végeredmény:
5 2 A · (e3 − e4 ) = −12
18.
Feladat:
Határozza meg az bT · A · d mátrixot, ha 5 2 b= −12 3
−10 3 5 14 6 7 A= 4 1 5 6 −1 11
Végeredmény:
bT · A · d = 152
1.
Vizsgafeladat:
1 −1 1 2 0 . Legyen A = −1 0 −1 1
Határozzuk meg (A + A2 )2 mátrixot. Megoldás:
El®ször határozzuk meg A2 mátrixot.
1 -1 1 -1 2 0 0 -1 1 8
1 -1 0
-1 2 -1
1 0 1
2
-4
2
-3
5
-1
1
-3
1
5 2 d= −12
1 −1 1 2 −4 2 3 −5 3 2 0 + −3 5 −1 = −4 7 −1 A + A2 = −1 0 −1 1 1 −3 1 1 −4 2
Végül határozzuk meg (A + A2 )2 mátrixot.
3 -5 3 -4 7 -1 1 -4 2
3 -4 1
-5 7 -4
3 -1 2
32
-62
20
-41
73
-21
21
-41
11
−62 20 73 −21 −41 11 2 1 5 −3 2 −1 0 és B = 0 4 0 . −2 −1 1 3 2
32 Az eredmény: (A + A2 )2 = −41 21 −3 1 2. Vizsgafeladat: Legyen A = 3
Határozzuk meg AB − B2 mátrixot. Megoldás: Mivel
-3 2 1 1 -1 0 3 -2 -1 Tehát
5 0 1
-3 4 3
2 0 2
-14
20
-4
5
-7
2
14
-20
4
AB − B2 −14 20 −4 27 −21 5 −7 2 0 16 = − 14 −20 4 7 15
5 -3 2 0 4 0 1 3 2
5 0 1
-3 4 3
2 0 2
27
-21
14
0
16
0
7
15
6
= 14 −41 41 −18 0 = 5 −23 2 6 7 −35 −2
Egyszer¶bb a számolás, ha észrevesszük, hogy AB − B2 = (A − B)B. 3.
Vizsgafeladat:
Határozzuk meg AB és AC mátrixokat, ha
2 −3 −5 4 5 A = −1 1 −3 −4 1 4 1 0 1 1 1 B= 2 1 −2 1 2 0 7 3 2 C = 3 −2 −1 −1 0 1 3 4 Megoldás:
9
2 -3 -5 -1 4 5 1 -3 -4
2 -3 -5 -1 4 5 1 -3 -4 Tehát
1 2 1
4 1 -2
1 1 1
0 1 2
-9
15
-6
-13
12
-10
8
14
-9
9
-6
-11
0 3 0
7 -2 1
3 -1 3
2 -1 4
-9
15
-6
-13
12
-10
8
14
-9
9
-6
-11
−9 15 −6 −13 8 14 AB = AC = 12 −10 −9 9 −6 −11
De ebb®l nem következik B = C egyenl®ség. 4.
Vizsgafeladat:
Határozzuk meg (AB)C és A(BC) mátrixokat, ha
1 −2 2 A = −2 0 3
2 1 0 B= 0 5 3 1 1 −3 0 C= 0 2 −2 3
Megoldás:
0 −1 1 1 1 4
El®ször nézzük meg, hogy a m¶velet elvégezhet®-e. A B C ABC = (3 × 2) (2 × 4) (4 × 3) (3 × 3)
Az egymás mellett lév® bels® indexek megegyeznek, ezért a szorzások elvégezhet®ek. Ebben az esetben használjuk fel, hogy a mátrixok szorzása asszociatív, azaz (AB)C = A(BC), így elég csak (AB)C mátrixot kiszámolni. Határozzuk meg AB szorzatot.
1 -2 -2 2 0 3
2 0
1 5
0 3
0 -1
2
-9
-6
2
-4
8
6
-2
0
15
9
-3
10
Határozzuk meg (AB)C mátrixot.
2 -9 -6 2 -4 8 6 -2 0 15 9 -3 Tehát
5.
Feladat:
1 -3 0 -2
1 0 2 3
1 1 1 4
25
-4
-5
-24
2
8
-39
9
12
25 −4 −5 2 8 (AB)C = A(BC) = −24 −39 9 12
Határozzuk meg AAT és AT A mátrixokat, ha
1 2 1 A = 3 −1 0 2 1 3
Egy négyzetes mátrix transzponáltja is vele azonos típusú négyzetes mátrix, így a szorzások elvégezhet®ek.
Megoldás:
1 2 1 3 -1 0 2 1 3 Tehát
1 2 1 6 1 7
3 -1 0
2 1 3
1
7
10
5
5
14
6 1 7 AAT = 1 10 5 7 5 14
1 3 2 2 -1 1 1 0 3
1 3 2
2 -1 1
1 0 3
14
1
7
1
6
5
5
10
7
14 1 7 AT A = 1 6 5 7 5 10
Vegyük észre, hogy szimmetrikus mátrixokat kaptunk, de AAT 6= AT A 6.
Vizsgafeladat Egy utazási iroda 4 társasutazásra a hét els® három napján különböz® számú jegyet adott el. Ezeket az adatokat az alábbi A mátrix mutatja:
11
Hétf® Kedd Szerda
London Párizs Róma Bécs 10 18 16 14 12 16 12 12 12 8 8 10
Az egyes utazások ára a táblázatban lév® sorrendnek megfelel®en: pT = (15; 10; 20, 5) pénzegység. Végezzük el az alábbi m¶veleteket és értelmezzük az eredményeket: T Ap, eT 2 A1, Ae3 , 1 Ap.
Írja fel mátrixm¶velettel és számítsa ki, hogy mennyi volt a bécsi jegyek eladásából származó naponkénti bevétel! Megoldás:
10 18 16 14 A = 12 16 12 12 12 8 8 10
10 18 16 14 Ap = 12 16 12 12 12 8 8 10
15 10 p= 20 5 15 720 10 640 = 20 470 5
A kapott vektor megadja a naponkénti bevételt. Azaz hénf®n 720 pénzegység, kedden 640 pénzegység, szerdán 470 pénzegység. 1 10 18 16 14 1 12 16 12 12 eT A1 = (0; 1; 0) 2 1 = 52 12 8 8 10 1
Kedden az iroda összesen 52 repül®jegyet adott el. 0 10 18 16 14 16 0 12 Ae3 = 12 16 12 12 1 = 12 8 8 10 8 0
Az eredmény megmutatja, hogy naponta hány repül®jegyet adtak el a Rómába. 15 10 18 16 14 10 T 1 Ap = (1; 1; 1) 12 16 12 12 20 = 1830 12 8 8 10 5
A bécsi jegyek eladásából származó naponkénti bevétel:
0 0 10 18 16 14 0 12 16 12 12 0 = pT e4 Ae4 = (15; 10; 20, 5) 0 0 12 8 8 10 1 1
12
0 10 18 16 14 70 0 60 = 5 12 16 12 12 0 = 12 8 8 10 50 1
7.
Vizsgafeladat
Egy termel® a piacon négyféle gyümölcsöt árul. Az A mátrix mutatja, hogy a hét egyes napjain mennyit adott el a különféle gyümölcsökb®l. Hétf® Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Szilva 1 5 6 6 7 8 Körte 4 3 4 5 7 7 szibarack 3 4 2 3 10 9 Ringló 2 1 4 5 8 12 A táblázat az eladott mennyiséget kg-ban mutatja. Az egyes gyümölcsfajták kilogrammonkénti árát (a táblázatbeli sorrendnek megfelel®en) az árvektor tartalmazza, amely a következ®: pT = (100; 120; 130; 90).
Végezzük el az alábbi m¶veleteket és értelmezzük az eredményeket! a) pT A b) e1 T A c) Ae3
d) A(e5 − e1 ) e) A1 f ) pT A1 g) 1T A
Megoldás:
1 4 pT A = (100; 120; 130; 90) 3 2
5 3 4 1
6 4 2 4
6 7 8 100 500 600 600 700 800 480 360 480 600 840 840 5 7 7 = 3 10 9 390 520 260 390 1300 1170 5 8 12 180 90 360 450 720 108
A táblázatból leolvasható gyümölcsönként a napi bevétel.
1 4 e1 T A = (1; 0; 0; 0) 3 2
5 3 4 1
6 4 2 4
6 7 8 5 7 7 = (1; 5; 6; 6; 7; 8) 3 10 9 5 8 12
Megkaptuk szilvából az eladott napi mennyiséget.
6 4 Ae3 = 2 4 Ae3 =szerdán a gyümölcsönkénti forgalom A(e5 − e1 ) = (1; −4; −2; −1; 1; 4) A(e5 − e1 ) =naponta mennyivel többet adtak el ringlóból, mint szilvából 33 30 A1 = 31 32
13
A1 = gyümölcsönként a heti forgalom
3300 3600 pT A1 = 3640 1908 pT A1 =gyümölcsönként a heti forgalom Ft-ban. 1T A = (10; 13; 16; 19; 32; 36) 1T A =naponkénti összes gyömölcs forgalom.
8.
Egy étteremben négyféle levesb®l eladott adagok számát a hét els® három napján az alábbi A mátrix mutatja: Vizsgafeladat
Rántott leves Zöldségleves Paradicsomleves Csontleves Hétf® 20 30 5 10 Kedd 30 20 10 10 Szerda 25 30 20 20 Az egyes levesek ára: pT = (5; 7; 10; 12) pénzegység. (a) (b) (c) (d) 9.
Mennyi a leves forgalom naponként pénzegységben? Mennyi a leves forgalom összesen a 3 nap alatt? Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: 1T A. Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: Ae2 − Ae3 .
Vizsgafeladat Három étteremben négyféle ételb®l egy napon eladott adagok számát mutatja az alábbi A mátrix:
1. 2. 3. 4.
étel étel étel étel
I. vendégl® II. vendégl® III. vendégl® 20 10 30 30 10 40 50 20 30 40 25 20
Az egyes ételek ára: 600 Ft, 500 Ft, 800 Ft, 400 Ft. (a) Mennyi az egyes vendégl®k forgalma Ft-ban? (b) Mennyi az egyes ételekb®l eladott adagok száma a három vendégl®ben együttesen? (c) Mennyi az összes étel forgalom Ft-ban? 10.
Egy utazási iroda 4 társasutazásra a hét els® három napján különböz® számú jegyet adott el. Ezeket az adatokat az alábbi A mátrix mutatja: Vizsgafeladat
Párizs Berlin Varsó Amszterdam Hétf® 16 18 16 14 Kedd 14 16 12 12 Szerda 12 8 8 10 14
Az egyes utazások ára: pT = (9; 6; 7; 8) pénzegység. Írja fel mátrixm¶velettel és számítsa ki, hogy: (a) mennyi volt az utazási iroda bevétele naponta; (b) három nap alatt az egyes városokba hány jegyet adtak el! Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: (a) eT 2 A1 (b) (1; −1; 0)Ap.
15
