Tartalom
Tartalomjegyzék 1. Mi a statisztika?
1
2. A statisztika alapfogalmai
4
3. Deskriptív statisztika 3.1. A deskriptív statisztikáról általában . . . . . 3.2. Egyváltozós elemzés, minőségi változó . . . . 3.3. Egyváltozós elemzés, mennyiségi változó . . . 3.4. Két minőségi változó kapcsolata: asszociáció . 3.5. Két mennyiségi változó kapcsolata: korreláció
. . . . .
6 6 8 9 13 14
4. Induktív statisztika 4.1. A mintavételi helyzet konzekvenciái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Becsléselmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Hipotézisvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 17 20
5. Klinikai vizsgálatok
23
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1. Mi a statisztika? Mi a statisztika? • Hivatalosan: „A statisztika a valóság számszerűsíthető tényeinek szisztematikus összegyűjtésével és elemzésével foglalkozó tudományos módszer és gyakorlat” • Nemhivatalosan: – „A hazugságok három kategóriába sorolhatóak: kis hazugságok, gyalázatos hazugságok, és statisztikák” (Benjamin Disraeli-nek tulajdonítva) – „A statisztika a matematika azon ága, melynek feladata, hogy eszközt adjon a politikusok kezébe, mellyel tetszőleges állítás és annak ellentéte is tudományos alapon igazolható” (Általános iskolai matematika tanárom) Miért jó, ha értünk a statisztikához? • (Személyes vélemény jön) • 3 fő szempont: 1. Hogy ne tudjanak átverni minket 2. Hogy új ismereteket szerezzünk 3. Hogy feltevéseinket precízen vizsgáljuk
1
Feltevések precíz vizsgálata • Elsősorban az agrometriából indult a XX. század elején • Nagyon hamar kapcsolódott az orvoslás is • Ok: az orvostudomány empirikussá válása • Később ez a gondolat az evidence-based medicine-ben teljesedett ki • Például a gyógyszerkísérletek kapcsán hatalmas gyakorlati jelentősége van nüanszoknak is Új ismeretek szerzése • Adatok strukturálása, alkalmas megjelenítése, információtömörítés, lényegkiemelés • Hatalmas motivációt jelent a számítástechnikai (és orvosi) lehetőségek fejlődése miatt létrejövő egyre nagyobb és nagyobb adatbázisok léte Hogy ne tudjanak átverni minket • „A KSH szerint 2011-ben a magyar bruttó átlagkereset 213 ezer forint volt. Mégis, a másik táblázatból az derül ki, hogy az emberek 68%-a ennél kevesebbet keresett! Hogy a fenében lehetne akkor ez az átlag?! A KSH hazudik!” • „A HRT-kezelésben részesülő nők körében 1,8-szer kevesebb a szív-érrendszeri megbetegedés, mint az ilyet nem kapók között. A HRT-kezelés tehát jó hatással van a kardiovaszkuláris rendszerre.” • „A minap a suliból (munkahelyem) hazafelé tartva, a buszra vártam. Néhány diák a közelben beszélgetett. Az volt a téma, hogy milyen sokan hiányoznak az osztályból, mert betegek. Egyikük megjegyezte, hogy ő is azóta beteg, mióta megkapták az oltást.” Korreláció nem implikál kauzalitást • Tűzoltók példája: a tűzesetben esett kár és a kiküldött tűzoltók száma • HRT-s példa: HRT-kezelés megléte és a kardiovaszkuláris rizikó • Két dolog együttjárásából nem következik, hogy az egyik okozza a másikat!
• T1DM és császármetszés: milyen confounder-ek jönnek szóba. . . ?
2
A biostatisztika elhatárolása • „Valószínűségszámítás → Statisztika → Alkalmazott statisztikai ágak” – Biostatisztika, Pszichometria, Agrometria, Ökonometria stb. • vs. bioinformatika: inkább számítástechnikai kérdések, nagy adatbázisokon hatékony algoritmus megoldások • vs. biomatematika: inkább nem-statisztikai, elsősorban analízisbeli modellezési eszközök (pl. differenciál-egyenletek) használata Milyen alapokra van szükség, hogy biostatisztikával foglalkozzak? • Valószínűségszámítás, lineáris algebra • Matematikai statisztika • Orvosi ismeretek Statisztikai programcsomagok • Mai biostatisztika elképzelhetetlen számítógépes támogatás nélkül • Pár közismert, biostatisztikára (is) használható program: SAS Gyógyszeripar kedveli, jól standardizált, rettenetesen drága SPSS Általános célú statisztikai programcsomag (eredetileg szociológusoknak), az alap dolgokat könnyű megcsinálni, a komplexebbeket cserében nagyon nehéz R Klasszikus „akadémiai” programcsomag, az alap dolgokat sem könnyű megcsinálni, a komplexebbeket cserében viszont lehet; ingyenes és nyílt forráskódú (!), http://www. r-project.org/ Ez az előadás. . . • Áttekintés a biostatisztika szempontjából legfontosabb statisztikai alapokról • Részletek nélkül, csak bevezető jelleggel (képlet, levezetés általában kevés) • Összbenyomás a területről • Szemléletformálás • Klinikai vizsgálatok, mint a biostatisztika fontos adatforrása, alkalmazási területe
3
2. A statisztika alapfogalmai Pár demonstratív kérdés, amit szeretnénk megválaszolni • Egy új vérnyomáscsökkentő gyógyszer-jelölt valóban csökkenti a vérnyomást? • Egy új vérnyomáscsökkentő gyógyszer-jelölt nem okoz megnövekedett epilepszia-kockázatot? • Magasfeszültségű vezeték közelében tartózkodás növeli a rák-kockázatot? • Milyen tényezők hatnak adott rákban a túlélési időre? • Mennyi jelen kurzus hallgatóinak átlagos testtömege? • Mennyi az I. éves fiú egyetemisták átlagos testtömege? • Igaz-e, hogy az I. éves fiú egyetemisták átlagos testtömege 70 kg? • Van-e összefüggés tehenek takarmányozása és a tejhozamuk között? Pár definíció • Amire (akikre) a kérdésünk irányul: (cél)populáció, sokaság • Elemei: megfigyelési egységek • Amely jellemzőire kíváncsiak vagyunk: változó (vagy ismérv) • A változó értékének meghatározása egy adott sokasági elemre: megfigyelés • Nagyon ritkán tudjuk a sokaság valamennyi elemét megfigyelni (ez lenne a teljeskörű megfigyelés), technikai gondok, és. . . Kicsit elidőzve a sokaság fogalmánál • „Mennyi jelen kurzus hallgatóinak átlagos testtömege?” → véges sokaság (N = 23) • De: „Egy új vérnyomáscsökkentő gyógyszer-jelölt valóban csökkenti a vérnyomást?” – Mi itt a sokaság? – Ez végtelen sokaság! (Szokás fiktívnek is nevezni.) Mintavétel • Tehát: általában nem tudjuk az egész sokaságot megfigyelni → mintavételes helyzet • Amit meg tudunk figyelni: minta • (Illetve tervezett minta, nem biztos, hogy pont ezt figyeljük meg ténylegesen)
4
Sokaság Tényleges minta Tervezett minta
• Induktív statisztikánál foglalkozunk vele tovább Mérés, mérési skálák • A vizsgált tulajdonságot mérhetővé kell tenni – Operacionalizálás – Proxy változók • Mérési skálák (Stevens, 1946) 1. Nominális skála 2. Ordinális skála 3. Intervallum skála 4. Arányskála • Az első két típusba tartozót szokás minőségi (kvalitatív) változónak is nevezni. . . • . . . az utóbbi kettőt pedig mennyiségi (kvantitatív) változónak Adatok jellemzői • Kimenetek száma szerint – Diszkrét (véges, vagy legfeljebb megszámlálhatóan sok, pl. szemszín) – Folytonos (kontinuum sok, pl. testhőmérséklet) • Általában megfeleltetjük a minőségi-mennyiségi csoportoknak (noha ez elvileg nem helyes), de vigyázat: a darabszám nevezetes kivétel • Időbeli jelleg szerint: – Keresztmetszeti (egy eszmei időpontra vonatkozó megfigyelések) – Longitudinális (időbeli követés)
5
Példa adatbázis • Baystate Medical Center (Springfield, Massachusetts, USA) Low Infant Birth Weight adatbázisa (1986) • R-ben: MASS könyvtár birthwt adatbázis • Kis kivonat: low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt
0
19
182
2
0
0
0
1
0
2523
0
33
155
3
0
0
0
0
3
2551
0
20
105
1
1
0
0
0
1
2557
0
45
123
1
0
0
0
0
1
4990
1
28
120
3
1
1
0
1
0
709
1
29
130
1
0
0
0
1
2
1021
A példa adatbázis jellemzése • Keresztmetszeti • n = 189 elemű minta egy fiktív, végtelen sokaságból • Változók: Rövidítés
Tartalom
low
Születési tömeg < 2,5 kg? [0:nem, 1:igen]
Mérési skála Nominális
age
Anya életkora [év]
Arányskála Arányskála
lwt
Anya testtömege (UM) [font]
race
Rassz [1: kaukázusi, 2: afroamerikai, 3: egyéb]
Nominális
smoke
Anya dohányzik? [0:nem, 1:igen]
Nominális
ptl
Korábbi koraszülések száma [darab]
Arányskála
ht
Anyai hipertónia? [0:nem, 1:igen]
Nominális
ui
Irritábilis méh? [0:nem, 1:igen]
Nominális
ftv
Vizitek száma (1. trimeszter) [darab]
Arányskála
bwt
Születési tömeg [g]
Arányskála
3. Deskriptív statisztika 3.1. A deskriptív statisztikáról általában Mi a deskriptív statisztika? • Röviden: nem törődünk a mintavételes helyzettel! • A minta az „univerzum”, úgy vesszük mintha csak a minta „lenne” • Tipikus feladat itt: információtömörítés, a mintában lévő információ legjobban emészthetővé tétele • Trade-off a tömörítésnél: Áttekinthetőség ↔ Hűség 6
Az információtömörítés trade-off-ja • Nyers adat: 2523, 2551, 2557, 2594, 2600, 2622, . . . , 2495, 2495, 2495 • Tömörítések – 2944,6 – 2944,6 ± 729,2 – 2944,6 (2977) ± 729,2 (1073) – 2944,6 (2977) [709 − 4990] ± 729,2 (1073) • Mi a cél? → az eredeti információ átláthatatlan (ki mond meg bármit is 189 számból?) • Az információtömörítés ugyan „adatvesztés”, de épp ez teszi lehetővé, hogy a fontosat észrevegyük! • Egyensúlyozni kell a kettő között Exploratív adatelemzés • Grafikus technikák előnyei • Az emberi agy különösen jó az ilyen (vizuális) információk feldolgozásában • Ügyes vizualizáció sokat érhet! • „There is no excuse for failing to plot and look!” (JW Tukey) A deskriptív statisztika dimenziói • Eszköze szerint – Analitikus (mutatószám) – Grafikus (ábra) • Változók száma szerint – Egyváltozós – Többváltozós – (Sokváltozós) • A változók mérési skálája szerint – Minőségi – Mennyiségi – (Vegyes)
7
3.2. Egyváltozós elemzés, minőségi változó Példa race (rassz): low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt
0
19
182
2
0
0
0
1
0
2523
0
33
155
3
0
0
0
0
3
2551
0
20
105
1
1
0
0
0
1
2557
0
45
123
1
0
0
0
0
1
4990
1
28
120
3
1
1
0
1
0
709
1
29
130
1
0
0
0
1
2
1021
Analitikus eszközök • Gyakorisági sor: Kategória
fi
gi
Kaukázusi
96
0,508
Afroamerikai
26
0,138
Egyéb Összesen
67 189
0,354 1,000
• (Istenigazából semmilyen adatvesztést nem jelent most) Analitikus eszközök • Módusz: leggyakoribb kimenet (Mo = arg maxi fi ); ez már kompromisszum! • Ordinálisnál: van értelme az ún. kumulálásnak is (elvileg mediánról is lehetne beszélni, inkább máshol vezetjük be) • Ezen kívül más mutatónak nincs sok értelme Grafikus eszközök: oszlopdiagram
8
60 40 0
20
Gyakoriság [fő]
80
100
Oszlopdiagram
Kaukázusi
Afroamerikai
Egyéb
Rassz
Grafikus eszközök: tortadiagram Kördiagram
Kaukázusi 50.8 %
Afroamerikai 13.8 % Egyéb 35.4 %
Rassz
Grafikus eszközök • Melyik jobb? Miért? (Van rá tudományos válasz!) • Az emberi szem sokkal jobban érzékeli a lineáris méreteket, mint a relatív területeket
3.3. Egyváltozós elemzés, mennyiségi változó Példa bwt (születési tömeg): low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt
0
19
182
2
0
0
0
1
0
2523
0
33
155
3
0
0
0
0
3
2551
0
20
105
1
1
0
0
0
1
2557
0
45
123
1
0
0
0
0
1
4990
1
28
120
3
1
1
0
1
0
709
1
29
130
1
0
0
0
1
2
1021
9
Analitikus eszközök: osztályközös gyakorisági sor I. • Szokásos gyakorisági sor már nem készíthető (könnyen lehet, hogy minden számból csak 1 lesz!) • Megoldás az osztályközös gyakorisági sor, például: Ci0
Ci1
fi
gi
f0 i
g0 i
500
1000
1
0,005
1
0,005
1000
1500
4
0,021
5
0,026
1500
2000
14
0,074
19
0,101
2000
2500
40
0,212
59
0,312
2500
3000
38
0,201
97
0,513
3000
3500
45
0,238
142
0,751
3500
4000
38
0,201
180
0,952
4000
4500
7
0,037
187
0,989
4500
5000
2
0,011
189
1,000
189
1,000
–
–
Összesen
Analitikus eszközök: osztályközös gyakorisági sor II. De vigyázat, itt már van információvesztés! → kérdés, hogy hogyan vesszük fel az osztályközöket Analitikus eszközök: a centrális tendencia mutatói I. • Átlag, jele x: az a szám, mellyel valamennyi megfigyelési egységnél helyettesítve a változó tényleges értékét, az értékösszeg változatlan maradna, azaz Pn xi S x = = i=1 n n • Akkor van értelme, ha a változónál az összeg bír tárgyi értelemmel! (Ha a szorzat, akkor a mértani átlag adódik.) • Előnye, hogy közismert tartalmú, jól értelmezhető, hátránya, hogy nem robusztus (outlierekre érzékeny → trimmelt átlag) Analitikus eszközök: a centrális tendencia mutatói II. • Medián, jele M e: az a szám, melyre teljesül, hogy a megfigyelési egységek fele nála kisebb, fele nála nagyobb, tehát a „középső elem” (páratlan elemszámnál egyértelmű, párosnál legyen mondjuk a két középső átlaga) • Előnye, hogy robusztus, hátránya, hogy kevésbé közismert • p-kvantilis: a medián általánosítása, a minta p-ed része alatta, (1 − p)-ed része felette van • Nevezetes kvantilisek: kvartilisek (negyedelőpontok: Q1 , Q2 ≡ M e, Q3 ), decilisek (tizedelőpontok: D1 , D2 , . . . , D9 ), percentilisek (századolópontok: P1 , P2 , . . . , P99 )
10
Analitikus eszközök: a szóródás mutatói • Minimum, maximum: a minta legnagyobb és legkisebb eleme • Terjedelem, jele R: a maximum és a minimum különbsége • Szórás, jele σx : az átlagtól vett átlagos eltérés, négyzetes átlagot használva s Pn 2 i=1 (xi − x) σx = n • Előnye, hogy közismert tartalmú, hátránya, hogy nem robusztus (duplán nem) • Interkvartilis terjedelem, jele IQR: a felső és alsó kvartilis különbsége (IQR = Q3 − Q1 ); előnye, hogy robusztus • MAD: M AD = Me (|xi − Me (x)|) Analitikus eszközök: alakmutatók • Még finomabb leírása az eloszlásnak • Szimmetria/ferdeség • Csúcsosság Grafikus eszközök: hisztogram
3e-04 2e-04 0e+00
1e-04
Sűrűség
4e-04
5e-04
A születési tömegek hisztogramja
0
1000
2000
3000
4000
5000
Születési tömeg [g]
Grafikus eszközök: hisztogram • A számegyenest diszjunkt intervallumokra osztjuk, és megszámoljuk, hogy az egyes intervallumokba hány megfigyelési egység esik fi n · hi 11
• (Mintha az osztályközös gyakorisági sorból gyártanánk oszlopdiagramot csak rések nélkül) • A hisztogram hatalmas előnye, hogy hihetetlenül szemléletes: az eloszlás rengeteg fontos jellemzője „ránézésre leolvasható” • (A hisztogram a háttéreloszlás sűrűségfüggvényét fogja becsülni) Grafikus eszközök: hisztogram Hátránya, hogy érzékeny az intervallumok határainak megválasztására:
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
6e-04 5e-04 0e+00
1e-04
2e-04
3e-04
Sűrűség
4e-04
5e-04 0e+00
1e-04
2e-04
3e-04
Sűrűség
4e-04
5e-04 4e-04 3e-04 0e+00
1e-04
2e-04
Sűrűség
A születési tömegek hisztogramja
6e-04
A születési tömegek hisztogramja
6e-04
A születési tömegek hisztogramja
0
1000
Születési tömeg [g]
2000
3000
4000
5000
6000
0
1000
2000
Születési tömeg [g]
3000
Grafikus eszközök: magfüggvényes becslő
3e-04 2e-04 0e+00
1e-04
Sűrűség
4e-04
5e-04
A születési tömegek magfüggvényes sűrűségbecslése
0
1000
2000
3000
4000
Születési tömeg [g]
Grafikus eszközök: magfüggvényes becslő • A mintapontokat koncentrált helyett valódi eloszlással helyettesíti • Kevésbé paraméterérzékeny (de azért ezen is kell paraméterezni)
12
4000
Születési tömeg [g]
5000
5000
6000
Grafikus eszközök: boxplot A születési tömegek boxplot-ja
1000
2000
3000
4000
5000
Születési tömeg [g]
Grafikus eszközök: boxplot • Doboz Q1 -től Q3 -ig, benne megjelölve M e • Antennák vagy a minimumig és a maximumig nyúlnak ki, vagy a legtávolabbi elemig, ami nincs messzebb a M e-től mint az IQR α-szorosa (tipikusan α = 1,5) • Ez utóbbi egyszerű outlier-keresést is lehetővé tesz • Nagy előnye, hogy rendkívül kompakt (gondoljunk arra, ha pl. rasszok szerint akarjuk ábrázolni a születési tömeg eloszlását), és robusztus is
3.4. Két minőségi változó kapcsolata: asszociáció Példa • Két minőségi változó kapcsolatát asszociációnak nevezzük • race (rassz) és ui (irritábilis méh): low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt
0
19
182
2
0
0
0
1
0
2523
0
33
155
3
0
0
0
0
3
2551
0
20
105
1
1
0
0
0
1
2557
0
45
123
1
0
0
0
0
1
4990
1
28
120
3
1
1
0
1
0
709
1
29
130
1
0
0
0
1
2
1021
Analitikus eszközök: kontingenciatábla • Ez is hordoz minden információt:
13
Összesen
Irritábilis méh Rassz
Nem
Igen
Kaukázusi
83
13
96
Afroamerikai
23
3
26
Egyéb Összesen
55 161
12 28
67 189
• Kapcsolat értelmezése: viszonyítás a függetlenséghez (mennyi információt jelent a sor szempontjából, ha tudjuk, hogy az alany melyik oszlopba tartozik? – és viszont) • Mutatók: χ2 , Cramer-V stb. stb.; nagyon számítanak a feltevések Grafikus eszközök • Esetleg mozaikábra vagy asszociációs ábra – nem túl gyakori • Vetületi megoszlások vagy feltételes megoszlások ábrázolhatóak oszlop-, illetve kördiagramon
3.5. Két mennyiségi változó kapcsolata: korreláció Példa • Két mennyiségi változó kapcsolatát korreláció nevezzük • lwt (anyai testtömeg) és bwt (születési tömeg): low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt
0
19
182
2
0
0
0
1
0
2523
0
33
155
3
0
0
0
0
3
2551
0
20
105
1
1
0
0
0
1
2557
0
45
123
1
0
0
0
0
1
4990
1
28
120
3
1
1
0
1
0
709
1
29
130
1
0
0
0
1
2
1021
Grafikus eszközök: szóródási diagram Ez minden információt hordoz:
14
3000 2000 1000
Születési tömeg [g]
4000
5000
Az anya és az újszülött testtömegének szóródási diagramja
100
150
200
250
Anya testtömege (UM) [font]
Analitikus eszközök: korrelációs együttható • Korrelációs együttható, jele r: a két változó közti sztochasztikus kapcsolat mérőszáma Pn 1 i=1 [(xi − x) (yi − y)] n rx,y = σx · σy • A kapcsolat irányát és szorosságát mutatja Analitikus eszközök: korrelációs együttható A kapcsolat iránya és szorossága szemléletesen:
x
x
x
x
x
Analitikus eszközök: korrelációs együttható De vigyázzunk (Anscombe-kvartett):
15
x
x
corr = 1
y
corr = 0.99
y
corr = 0.7
y
corr = 0.2
y
corr = 0
y
corr = -0.2
y
corr = -0.7
y
corr = -0.99
y
y
corr = -1
x
x
12 4
6
8
y2
10
12 10 8
y1
6 4
5
10
15
5
10
12 10 4
6
8
y4
10 8 4
6
y3
15 x2
12
x1
5
10
15
5
x3
10
15 x4
4. Induktív statisztika 4.1. A mintavételi helyzet konzekvenciái Emlékeztetőül • Nagyon sok esetben technikai okokból, vagy elvileg is lehetetlen a teljes sokaság megfigyelése • Csak egy részét, a mintát ismerjük • És itt jön a kulcsprobléma: mi mégis a sokaságról akarunk nyilatkozni! • Lehet egyáltalán? Hogyan? • Biztosat már nem tudunk mondani. . . de valószínűségi állítást igen! Mintavételi ingadozás • Ha csak a sokaság egy részét (a mintát) ismerjük, akkor minden belőle számolt jellemző két dologtól fog függeni 1. a jellemző sokaságbeli értékétől 2. attól, hogy konkrétan hogyan választottuk ki a mintát • Mi értelemszerűen az elsőre vagyunk kíváncsiak • . . . csakhogy a – kikerülhetetlen – második („pont milyen mintát vettünk”) azt fogja okozni, hogy minden eredményünk mintáról-mintára változni fog • A szerencse: ez az ún. mintavételi ingadozás követ valószínűségszámítási törvényeket, így valószínűségi állításokat meg tudunk fogalmazni! • Hibázhatunk, de ennek természetéről tudunk nyilatkozni 16
Mintavételi hiba • Figyelem, ennél a hibázásnál nem arról van szó, hogy „rosszul” veszünk mintát: például a legtökéletesebben véletlenszerű mintavételnél is előfordulhat, hogy egy 1000 fős sokaságból úgy becsüljük az átlagos testtömeget, hogy pont a 30 legkönnyebbet választjuk ki • De: ennek a valószínűsége extrém kicsi! 30 • (Egész pontosan 1/ 1000 ≈ 4 · 10−56 %) • Így értendő, hogy ez a hiba valószínűségszámítási úton, sztochasztikusan limitálható • Ezt nevezzük mintavételi hibának Nem-mintavételi hiba • Ez természetesen arra vonatkoznak, hogy mi a mintavételi ingadozásból adódó hiba • De nem csak ilyen van: alullefedés, túllefedés, kódolási hiba stb. és a legnagyobb baj: a minta megválasztása • Mi van, ha a minta nem véletlen részhalmaza a sokaságnak? (→ reprezentativitás kérdése) • Literary Digest esete • Különösen óvatosan a kényelmi mintával • Survey statisztika (külön szak!)
4.2. Becsléselmélet Pontbecslés • Feladat: valamely sokasági jellemző meghatározása minta alapján • Például sokaság átlaga/várhatóértéke minta alapján • Naiv tipp: mondjuk a minta átlagát becslésként! • Az ilyen szabály a becslőfüggvény: a mintaelemekből megmondja a legjobb tippünket a sokasági jellemzőre • Mi az, hogy „jó” becslő? A két legfontosabb tulajdonság: 1. Elfogadjuk, hogy a becslőfüggvény által szolgáltatott becslés mintáról-mintára ingadozik, de legalább az teljesüljön, hogy az ingadozás centrumában a valódi (sokasági) jellemző legyen (torzítatlanság) 2. Ennek az ingadozásnak a mértéke lehetőleg minél kisebb legyen (hatásosság) • A becslőfüggvény eloszlása (ugye annak eloszlása lesz, és nem értéke, hiszen mintárólmintára változik; és adott tartományokban különböző valószínűséggel esik!) az ún. mintavételi eloszlás
17
Mintavételi eloszlás: egy állítás • Ha a sokaság X ∼ N µ, σ02 eloszlást követ (tehát figyelem: ez egy ún. eloszlásával (és nem elemeivel!) adott sokaság; fiktív, végtelen sokaságnál tipikus), akkor a belőle vett n elemű minták átlaga, azaz a µ sokasági várhatóérték (mint sokasági jellemző) fenti becslőfüggvénye x ∼ N µ, σ02 /n eloszlást fog követni • (Tehát feltételeztük, hogy azt a priori tudjuk, hogy normális eloszlású a sokaság, sőt, σ-t is ismertnek vesszük → csak a µ a kérdés) • Figyelem, a sokasági jellemző, amit becsülni szeretnénk, itt a µ maga; az tehát nem követ semmilyen eloszlást, egy – konstans – szám! (Csak mi nem ismerjük.) • Ez csak fae (független, azonos eloszlású) mintavételre igaz • Ez matematikai úton (valószínűségszámítási módszerekkel) belátható; hogy legyen pár képlet is, bármennyire is bevezetésről van szó, ezt megmutatjuk Bizonyítás I. • Legyen az n elemű mintánk X1 , X2 , . . . , Xn ∼ N µ, σ 2 fae (mivel fae, mindegyik ugyanolyan eloszlást követ) • Nagy betűket írtunk: ezek nem konkrét (realizálódott) értékek, hanem maguk is val. változók (eggyel nagyobb dimenzió a statisztikai analízishez) Pn Xi • Ezzel a becslőfüggvényünk: X = i=1 n • Valószínűségszámításból tudjuk, hogy 1. Normális eloszlású v.v.-k összege normális (szépen: a normális eloszláscsalád zárt a konvolúcióra) 2. A várhatóérték-képzés lineáris, így az összeg várhatóértéke a várhatóértékek összege 3. Ha ráadásul függetlenek, akkor a szórásnégyzetek (nem a szórások!) is összeadódnak Bizonyítás II. • A fenti háromból már következik, hogy
Pn
i=1
Xi ∼ N nµ, nσ 2
• Szintén valószínűségszámításból tudjuk, hogy 1. E (aX) = a · EX 2. D2 (aX) = a2 · D2 X • Amiből pedig már következik, hogy Pn Xi X = i=1 ∼ N µ, σ 2 /n , n ahogy állítottuk is • Íme egy – nagyon egyszerű – példa a matematikai statisztikára! • Tehát: torzítatlan becslő (többet is be lehetne látni) 18
Intervallumbecslés • A fentiekkel egyetlen számot, „a” legjobb becslést adjuk vissza eredményként • Nem adunk számot arról, hogy ebben mekkora a bizonytalanság. . . • . . . pedig erről is tudunk nyilatkozni! („Kalkulálható bizonytalanság”) • Tipikus szemléltetés: konfidenciaintervallum (CI): mi az a tartomány, amire igaz, hogy ha sokszor megismételnék a mintavételt, és mindegyik mintából megszerkesztenénk a CI-t, akkor ezen CI-k várhatóan 95%-a tartalmazná az igazi (sokasági) értéket (95% megbízhatóság melletti CI) • Nagyobb megbízhatóság ↔ semmitmondóbb intervallum Példa I. • Például: tudjuk, hogy X ∼ N µ, σ 2 /n • Ebből következik, hogy
X−µ √ σ/ n
∼ N (0, 1)
• Azaz X −µ √ < z = Φ (z) − Φ (−z) = Φ (z) − [1 − Φ (z)] = P −z < σ/ n = 2Φ (z) − 1 • Emiatt, ha α α ⇒ z = Φ−1 1 − =: z1− α2 , 2 2 h i akkor rögtön látható, hogy a µ − z1− α2 √σn , µ + z1− α2 √σn tartományba 1 − α valószínűség2Φ (z) − 1 = 1 − α ⇒ Φ (z) = 1 −
gel esik X („deduktív statisztika”) Példa II. • Átrendezve „kapjuk” az induktív statisztikát: X −µ √ < z1− α2 = 1 − α ⇒ P −z1− α2 < σ/ n σ σ ⇒ P X − z1− α2 √ < µ < X + z1− α2 √ =1−α n n • Tipikusan: α = immár egy konkrét mintára a h 0,05, ekkor a 95%-os konfidenciaintervallum i fenti alapján: x − z1− α2 √σn , x + z1− α2 √σn • Vigyázat, csak mintavétel előtt vannak val. változók, utána („kis betűk”) már nem, ezért használtuk a megbízhatóság szót a valószínűség helyett – az állítás csak (képzeletbeli) „ismételt mintavételi” értelemben igaz
19
4.3. Hipotézisvizsgálat A hipotézisvizsgálat alapfogalmai • Feladat: sokaságra vonatkozó állítás eldöntése minta alapján • Lényegében az intervallumbecslés ikertestvére, de hatalmas gyakorlati jelentősége miatt külön eszköztára van • Alapeszköze a statisztikai próba (vagy teszt), mely a mintaelemek alapján kiszámol egy ún. tesztstatisztikát (próbafüggényt) • Vizsgált állításaink: nullhipotézis – ellenhipotézis • Egy tipikus példa: H0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 • Itt µ0 általunk megadott, ismert szám (pl. µ0 = 70 kg a példánkban) Próbafüggvény megszerkesztése • Itt jön a kulcs: a próbafüggvényt úgy kell megszerkeszteni, hogy H0 fennállása esetén ismert eloszlást kövessen (nulleloszlás) • Például (sokasági normalitás, ismert szórás): – X: nem jó, mert X ∼ N µ0 , σ 2 /n (most ugye H0 -t igaznak vesszük!) és ez függ µ0 -tól (σ-tól és n-től is, de az nem baj, mert azokat tudjuk most) – Próbálkozzunk máshogy, X − µ0 : technikailag jó, mert X − µ0 ∼ N 0, σ 2 /n , de nem túl praktikus, mert minden σ-hoz és n-hez külön táblázat kéne √ 0 : teljesen jó, minden paramétertől függetlenül N (0, 1) eloszlást – Ennek fényében X−µ σ/ n követ, ez lesz a jó próbafüggvény
Próbafüggvény megszerkesztése • Ez ún. pivot, eloszlása már nem függ ismeretlen paramétertől: Z :=
X − µ0 H0 √ ∼ N (0, 1) , σ/ n
azaz a próbafüggvény H0 fennállása esetén N (0, 1) eloszlást követ Döntés a hipotézisvizsgálatban I. • Hihető-e, hogy az empirikus (adott, konkrét mintából kapott) érték ebből az eloszlásból származik? • Biztos döntés nincs! De: mennyire hihetőek ezek?
20
0.5 0.0
0.1
0.2
f
0.3
0.4
0.5 0.4 0.3 f 0.2 0.1 0.0
-4
-2
0
2
4
-4
-2
z
0
2
4
z
Döntés a hipotézisvizsgálatban II. • Valahol „határt kell húznunk” → szó szerint is! • Azt mondjuk, hogy a nagyon kis valószínűségű területekre esést már nem hisszük el • Pedig az nem lehetetlen, sőt: az is tudható, hogy az oda esés (azaz a fenti logikával történő hibázás) valószínűsége épp ez a nagyon kis valószínűség • Tipikus, hogy a felső és alsó szélén is 2,5-2,5 % valószínűségű területet jelülünk ki (α = 5%, ez a szignifikanciaszint), határai: a ca alsó és a cf felső kritikus értékek (példában: ±1,96) p-érték • Vagy: Mennyi lenne az a szignifikanciaszint, ami mellett a mintából kapott (empirikus) tesztstatisztika-érték épp az elfogadás és az elutasítás határára kerülne? • (Ez nem más, mint az empirikus értéktől extrémebb helyeken vett integrálja a mintavételi eloszlásnak) • A neve: p-érték • Manapság (hogy a számításigény már nem probléma), ezt szokták megadni, mert nem binarizálja az eredményt • „Az olvasó is tud dönteni”: ha a választott szignifikanciaszint nagyobb, mint a p-érték, akkor elutasítunk, különben elfogadunk • Frekvencionista szemlélet! Példa I. • (Csak szemléltetésként, részletek nélkül) • Van-e különbség a dohányzó és a nem-dohányzó nők gyermekeinek születési tömege között? • A mintában 2772 g a dohányzóknál az átlag, 3056 g a nem-dohányzóknál; csakhogy a kérdés nem ez. . . • Ez egy sokaságra vonatkozó kérdés → próbát kell végeznünk! 21
• Adott a dohányzó nők sokaságában az újszülöttek tömegének eloszlása, és ugyanez a nemdohányzó nők sokaságában – operacionalizáljuk úgy a kérdést, hogy a várhatóértékük eltére egymástól • Erről kell minta alapján dönteni Példa II. • Elég nagy minta, ún. kétmintás Welch-próba alkalmazható: p = 0,007 • Szokásos szignifikanciaszinteken elvethető a feltevés, hogy a dohányzó és a nem-dohányzó nők csoportjában azonos a születési súly: a születi súly kapcsolatban van azzal, hogy dohányzik-e a várandós anya • „A dohányzás csökkenti a születési súlyt!” – na ilyet viszont nem mondhatunk! (Korreláció nem implikál kauzalitást!) Confounderek? • (Bár itt jó eséllyel tényleg kauzális kapcsolat van, de ezt csak más kísérleti elrendezéssel lehet szabatosan kimutatni) Próba hibái I. • Elvetjük H0 -t, pedig fennáll (elsőfajú hiba, α): pontosan szabályozható valószínűségű • Elfogadjuk H0 -t, pedig el lehetne vetni (másodfajú hiba, β): általánosságban nem ismert, függ a valóságtól • 1 − β: próba ereje („mennyire ismeri fel az eltérést, ha tényleg van”) • Mi két dologgal tudjuk befolyásolni a próba erejét, mindkettőhöz egy-egy tételmondat: 1. Választott próba: „mindig annyi előfeltevésre építő próbát használjunk, amennyit tudunk, se többet se kevesebbet” (több előfeltevésre építő próbák erősebbek ugyan, de ha szükséges előfeltevés nem teljesül, a próba nem lesz valid) 2. Mintanagyság: „kis hatáshoz nagy minta kell, nagy hatáshoz elég a kisebb minta is” Próba hibái II. • Bár néhol bevett szokás, de elvileg nem korrekt egy próba előfeltevését ugyanazon mintán egy másik próbával eldönteni („testing hypothesis suggested by data”) Szignifikanciavadászat I. Mivel minden tesztnek α elsőfajú hibája van, ezért (sajnos!) aki keres az talál!
22
Szignifikanciavadászat II. • Védekezés ellene: az orvosok nem viszik túlzásba. . . • A p-érték korrekciója: Bonferroni-, Holm-, Hochberg-, Hommel-eljárások • Ezek az ún. familywise α (az összes tesztben együtt mennyi az elsőfajú hiba; értsd: legalább egy tesztben hibásan elutasítunk) erős kontrollját jelentik • Alternatíva: például az FDR-eljárások • A microarray és hasonló adatok kiértékelése kapcsán nagyon megnőtt a jelentőségük
5. Klinikai vizsgálatok Empirikus adatgyűjtés nehézségei • Szolgáltatott információk: – Keresztmetszeti adatokból nem lehet időbeli viszonyokon alapuló következtetést levonni – Korreláció nem implikál kauzalitást – stb. • Nehézségek: – Technikai (szervezési, pénzügyi, stb.) – Időbeli – Bioetikai – stb. • Evidenciák hierarchiája (tipikusan trade-off a két fenti szempont között: az informatívabb, megbízhatóbb vizsgálat nehezebb)
23
Klinikai vizsgálatok kategorizálása • Klinikai vizsgálat (clinical study) lehet 1. Experimentális (beavatkozásos), más szóval klinikai kísérlet 2. Obszervációs (megfigyeléses) Klinikai kísérletek fajtái • A fő kérdések: – Randomizálás – Kontrollálás – Vakosítás • A kettős vak RCT a „gold standard” egy kérdés megválaszolására – ugyanis nem érzékeny a ’korreláció nem implikál kauzalitást’ problémára! • Cserében a legösszetettebb, legdrágább stb. feladat a megvalósítása • Gyógyszerbevezetésnél különösen fontos a szerepe (elsősorban fázis-III) Megfigyeléses vizsgálatok • Főbb típusok: 1. Kohorsz 2. Eset-kontroll 3. Keresztmetszeti 4. Ecological 5. (Esetismertetés, case series) • Ez a megbízhatóság sorrendje is • Közös gond: ki vannak téve a confounding-nak (különféle bias-ek) • Például: ABC-hipotézis (tudományos szempontok mellett a politika (és a média) megjelenése tette tanulságossá) A világ első dokumentált klinikai kísérlete • Leírás: 10 És mondá az udvarmesterek fejedelme Dánielnek: Félek én az én uramtól, a királytól, aki megrendelte a ti ételeteket és italotokat; minek lássa, hogy a ti orcátok hitványabb amaz ifjakénál, akik egykorúak veletek? és így bűnbe kevernétek az én fejemet a királynál. 11 És mondá Dániel a felügyelőnek, akire az udvarmesterek fejedelme bízta vala Dánielt, Ananiást, Misáelt és Azariást: 12 Tégy próbát, kérlek, a te szolgáiddal tíz napig, és adjanak nékünk zöldségféléket, hogy azt együnk, és vizet, hogy azt igyunk. 13 Azután mutassák meg néked a mi ábrázatunkat és amaz ifjak ábrázatát, akik a király ételével élnek, és aszerint cselekedjél majd a te szolgáiddal. 14 És engede nékik ebben a dologban, és próbát tőn velük tíz napig. 15 És tíz nap mulva szebbnek látszék az ő ábrázatuk, és testben kövérebbek valának mindazoknál az ifjaknál, akik a király ételével élnek vala. • Dokumentálás helye: Biblia, Dániel könyve, 1. fejezet (Károli Gáspár fordítása)
24
Mik ezzel a bajok? Nagyon jó, de felmerül azért pár kérdés is: • Dániel beszerezte a Regionális Bioetikai Bizottság engedélyét a kutatáshoz? • A résztvevők teljes írásos tájékozott beleegyezéssel vettek részt a kísérletben? • Regisztrálta Dániel a kutatást nemzetközi adatbázisban (pl. ClinicalTrials.gov-on)? • Nem világos a végpont meghatározása: a „szebbnek látszék az ő ábrázatuk” pontosan milyen módon került operacionalizálásra? Hiányzik a használt kvantitatív mérési eljárás kellő pontosságú megadása. • Nem derül ki, hogy a kísérleti alanyok randomizálásra kerültek-e, illetve milyen módszerrel. • Nem világos, hogy a vizsgálók, illetve az alanyok vakosítva voltak-e az ételek tekintetében. • Az eredményközlés elégtelen: hiányzik a végpontokon mért numerikus kimenet, és szignifikanciára vonatkozó statisztikai próba dokumentálása.
DE! DE! A fenti mégis fantasztikus: felmerült a gondolat (kb. i.e. 600-ban vagyunk!), hogy a
empirikus
Tények alapján (nem szent
kérdést alapon kell megválaszolni! iratok, sámánok, vakszerencse vagy tapasztalati sejtés alapján)! Útravaló jótanácsok
1. És végül a legfontosabb: „Csak olyan statisztikának higyj, amit sajátkezűleg hamisítottál!” (Churchill-nek tulajdonítva) 2. A korreláció nem implikál kauzalitást! 3. „Az anekdota többes száma nem az adat!” (Roger Brinner) 4. Döntést csak adatra alapozhatunk! 5. Mindig ellenőrizzük és gondoljuk végig az adatok származását! Köszönöm szépen a figyelmet!
[email protected]
25
