4. előadás A gázdinamika alapjai Sugárzási transzport Ütközésmentes abszorpció lézerplazmában: - rezonancia abszorpció - Brunel abszorpció

4. előadás   

2016.03.07.

A gázdinamika alapjai Sugárzási transzport Ütközésmentes abszorpció lézerplazmában: - rezonancia abszorpció - Brunel abszorpció

1

A gázdinamika alapjai Mielőtt a lézerfény-plazma kölcsönhatásokra rátérnénk, összefoglaljuk a gázdinamika alapjait: Szilárdtest, folyadék: nehezen összenyomható (~1000 atm). összenyomhatatlan közelítés, kis sűrűségváltozások karakterisztikus sebessége v


(Ya. B. Zeldovich, Yu. P. Raizer: Physics of Shock Waves and Related Plasma Phenomena, Academic Press, 1966) 2016.03.07.

2

Alapegyenletek megmaradási tételekből 



  





2016.03.07.

Folytonos közeg: „infinitezimális elemek összege” 1 pont = 1 kis térfogatelem u=u(x,y,z,t) sebességeloszlás p=p(x,y,z,t) nyomáseloszlás =(x,y,z,t) sűrűségeloszlás (, p termodinamikai mennyiség) A többi termodinamikai mennyiség (T, e,h) állapotegyenletekből: 5 mennyiség határozza meg a folyadék állapotát.

3

1. Anyagmegmaradás: 

Tek. V0 térfogatot!

m   dV V0

Változás: a felületen való kiáramlás

 udf

 dV   udf    divudV  t

V0

(Gauss-tétel)

tetszőleges kis térfogatra:

     u      j  0 (kontinuitás-egyenlet) t t Összenyomhatatlan esetre:

2016.03.07.

  u   0 4

2. Newton-törvény: térfogatelemre ható erő:

  pdf   pdV

Egységnyi térfogat: -grad p erő! Térfogatelem mozgásegyenlete:



du   gradp dt

du/dt: nem rögzített pontban, hanem a folyadékrészecske gyorsulása Ez : adott pontbeli változás + a dt alatt megtett dr út két végpontja közti sebesség-különbség ugyanazon t-ben u du  dt  dr u u 1 t  Euler-egyenlet:  u u   p du u t    u u dt t

(disszipáció, viszkozitás elhanyagolva, ideális folyadék). 2016.03.07.

5

3. Energiamegmaradás: 

egységnyi térfogat energiája: u2/2+e (e az egységnyi tömeg belső energiája)    u 2   e   ? t  2   u 2 u 2  u u2   u   divu   ugradp  uu u t 2 2 t t 2 1 felhasználva : uu u  uu 2 , 2 p 1 dh  de  d  TdS  dp

 p  dh  TS



  u 2 u2 u2     divu   u h    TuS t 2 2 2 

Felhasználjuk, hogy de=TdS-pdV=TdS+p/2d dh=d(e+pV)=TdS-pdV+pdV+Vdp=TdS+dp/ρ d(e)=ed+de=(h-p/)d+TdS+ p/d=hd+TdS. 2016.03.07.

6

e  S h  T  hdivu   TuS t t t

Ezzel:

izentropikus eset:

Ebből:

     u 2 u2  u2    e    h  divu   u  h   t  2 2 2   

 u2     u 2   e   div  u   h  t  2    2

Fizikai jelentés, ha integráljuk:

  u2   u2   u 2    df (   e ) dV   div  u  h dV    u  h         t 2   2    2

A térfogatelem energiaváltozása a kimenő energia: a felületi integrál alatti tag az energia-áramsűrűség vektor. A jobb oldalon lehet entalpia helyett energiát is használni.  u2   u2    u  h df    u  e df   pudf  I  II  III  2   2 

I. kinetikus energia II. belső energia III. folyadék nyomása által végzett munka 2016.03.07.

7

Az energia-egyenlet felírható a belső energiával + a külső forrás által adott Q energiával:     u2  u2   e      u e    pu  Q t  2 2   

Kontinuitás+ Euler+energia-egyenletek : 5 db, 5 ismeretlenre, , p ux, uy, uz Feltétel: Q ismert külső forrás, e(p,) ismert (állapotegyenlet) Ekkor a hidrodinamikai egyenletek megoldhatók.

2016.03.07.

8

Plazma állapotegyenlet A plazma tekinthető egyatomos gáznak, ami n ionból és nZ elektronból áll. Ideális gázra az állapotegyenlet: p=(1+z)nkT . Az egyatomos gázban a belső energia =3/2nkT , hasonlóan a Z-szer ionizált plazmára 31  Z  3  nkT  p. 2

2

Bevezethető a plazmasűrűség, =nMA , ahol M a protontömeg és A az atomsúly. Az állandó térfogaton vett cV fajhővel:   cV T ,

ahol

cV 

31  Z k 31  Z   R 2 AM 2A

ahol R=k/M=8.3*107erg/gK a gázállandó. Ekkor az állapotegyenlet:

p





2 cV T . 3

Magas hőmérsékletű plazmában termodinamikai egyensúly esetén a feketetest sugárzás dominál, u=aT4 (a=7.67*10-15 erg/cm3K4. A sugárzási nyomás, p=u/3 , Ezért pT-4= const. pT  /  1  const , ahol   c p / cV Ideális gáz adiabatikus változására: 5 / 2 Plazmára az egyatomos gázhoz hasonlóan =5/3, és pT  const pT 4  const Sugárzás dominanciája esetében viszont =4/3 , és

2016.03.07.

9

Euler- és Lagrange-koordináták Eddig tér- és időkoordináták (Euler) Egydimenziós áramlás (többdim. bonyolult): Lagrange-kordináták. Nem térbeli pontot, hanem folyadék-részecskét jelöl, ahhoz kötött mennyiségeket vizsgál. Könnyebben megoldható, szimmetrikus egyenleteket ad. Részecske leírása: referenciahelytől elválasztó össztömeg: m. Síkbeli áramlás (egyszerű): x: Euler-koordináta, x1 referencia (pl. gáz-vákuum határ) x

m   dx

a referencia és a folyadékrész közti tömeg

x1

dm=dx Lagrange- vagy tömeg-koordináta: Kontinuitás-egyenlet: (V=1/)    u   0 t

2016.03.07.

x

V u  t m 10

Kontinuitás egyenlet:

V u  t m

Mozgásegyenlet:

u p  t m

Energiaegyenlet nem változik: e  p V  Q, t t S 0 t

Ideális gáz:

(az utóbbi, ha nincs forrás, termodinamikai egyensúly)

pV   f S (m) pV   const

izentropikus esetben : Végeredmény (szimuláció) transzformáció Euler-koordinátákra Hidrodinamikai egyenletek leírják: - hanghullám - ritkulási hullám - egyszerű hullámok 2016.03.07.

11

Példa: hanghullámok Kis zavarok terjedése: Hangsebesség származtatása. Legyen =0+ , p=p0+p, , p, u kicsi, első rendű perturbációszámítás:  u   0 t x  p   u p p 0     (izentropikus feltételezés : p  ( ) S  t x     S x  p  Állítás : c 2    a perturbálatlan folyadékban. A 2 egyenletből :    S 2  2   2u 2     0 c . t 2 xt x 2

Ez a hullámegyenlet, u-ra szintén levezethető. Általános megoldás: = (xct), hasonlóan p-re és u-ra, ahol c a fent definiált hangsebesség. 2016.03.07.

12

Monokromatikus hanghullámok: f=Acos(/c x - t), vagy f=Aexp[-i (t-x/c)] Minden zavar Fourier-integrálba fejthető monokromatikus hullámok összege. Hallható: =20-20000 Hz (=15m – 1.5 cm) levegő: c~330m/s (=1.4) Példák: Legerősebb hang esetén a sűrűségváltozás (a szimfonikus zenekar fortissimojának százezerszerese): a kezdeti sűrűség 0.4%-a, nyomásváltozás 0.56% igen kis perturbáció, a levegő részecskéje is kicsit mozdul csak el. Hangerősség: 2, p2 Decibel (logaritmikus): fül érzékenysége 0 küszöbű. n dB intenzitásnövekedés ~10n/10 Pl. falevél susogása ~ 10 dB, fortissimo ~80 dB 107 energiakülönbség

2016.03.07.

13

Lökéshullámok alapfogalmai 



Centrált kompressziós hullám nem létezik, szakadási felületek keletkeznek, lökéshullámok. Megmaradási tételek a szakadási felületekre Lökéshullámfront D sebességű vonatkoztatási rendszerében: u0=-D u1=u-D Tömegmegmaradás: 1u1=0u0 Impulzusmegmaradás: p1+1u12= p0+0u02 Energia-megmaradás: e1+p1/1+u12/2= e0+p0/0+u02/2 Ehhez jön az e(p,) vagy h(p,) ismerete. 2016.03.07.

14

V0 u0  , V1 u1 u02  V02 u12

 V12

p1  p0 , V0  V1 p1  p0 V0  V1

Áramlási sebesség:

u  u0  u1   p1  p0 V0  V1 

1/ 2

Ezt az energia-egyenletbe behelyettesítve kapjuk az Hugoniot-egyenletet: 1 e1  p1,V1   e0  p0 ,V0   h1  h0 

2

 p1  p0 V0  V1  vagy

1  p1  p0 V0  V1  2

Ha az állapotegyenlet ismert, akkor p1=H(V1,p0,V0) explicit kifejezhető. 2 paraméter: p0,V0 A közönséges izentrop csak egyparaméteres (p=p(V,S)) 2016.03.07.

15

Ideális gáz eset: 1  e  cV T  pV ; h  c pT  pV  1  1  p1   1V0    1V1  , p0   1V1    1V0 ; T1 p1V1  , T0 p0V0 V0   1 p0    1 p1  2 2 V0   1 p0    1 p1  2 u1  2   1 p0    1 p1  u02 

Határ:

2016.03.07.

p1p0

1 V0   1 5    4 (  egyatomos gáz)  0 V1   1 3

Még az erős lökéshullám is csak 4szeres kompressziót okoz. Erősebb kompresszióhoz egymást követő lökéshullámok!

16

 p  c 2     pV ,    S  u0    1    1 p1 / p0     1 szuperszonikus, 2  c0  u uígy 1  1 szubszonikus c1 2

Az entrópia ideális gázban

S  cV ln pV 

   p1    1 p1 / p0    1   S1  S0  cV ln         p   1 p / p    1 1 0     0 

Gyenge lökéshullámnál p1~p0, S1S0 erős eset: p1~p0, S1-S0 A lökéshullám disszipatív. Entrópia-növekedés független a disszipációs folyamattól, makroszkopikus leírásban csak a megmaradási törvények határozzák meg.

2016.03.07.

17

Összehasonlítás izentroppal PP’: izentrop HH: Hugoniot Konvex, nem ideális gázra is

Hugoniot és izentrop érintője azonos

Hugoniot alatt nagyobb görbe alatti terület: disszipáció Izentropikus változás leginkább több, egymást követő Lökéshullámmal közelíthető meg. Ez kell a lézerfúzióhoz!!

2016.03.07.

18

Sugárzási transzportegyenlet Kinetikus egyenlet a foton eloszlásfüggvényre. vagy az intenzitásra, I~hcf Tekintsük a  frekvenciájú,  irányba egységnyi térszögben és egységnyi frekvenciaintervallumban terjedő sugárzást. Feltételezünk egy ds hosszúságú és d átmérőjű hengert.

I(,r,t)ddt (I + d I)ddt dI 

I ds I  ds t c s

bal oldalról érkezik a hengerbe. a hengert a jobb oldalon hagyja el. a térbeli és időbeli változás

Változást a hengerben történő abszorpció és emisszió okozhat.   c2 ddsdt Emisszió : j 1  I 3   2 h    Abszorpció:  I ddsdt 19

A sugárzási transzport egyenlete 2. Egyensúlyi feltétel a hengerben:   I  1  I 1  I c2     I c  c  I   j 1  I    3   c  t s  c  t   2h  2h 3 h kT  2 e  c j

Kirchhoff törvénye:





j   1  e h / kt I Definiálva:

a jobb oldal átírható

Az indukált emisszió csökkenti az abszorpciót!

' :  1  e h / kT  a Kirchhoff törvény módosul: j  ' Ip p jelzi a Planck intenzitást

A sugárzási transzport-egyenlet: vagy integrálva a térszögre:

1 I    I  ' Ip  I  c t U  S  c' Up  U  t

A sugárzási energia megmaradását fejezi ki, kontinuitás típusú egyenlet egy meghatározott frekvenciára, az egyensúlyhoz való közeledést írja le.

20

Az egyensúly megközelítése STE: parciális differenciálegyenlet. Feltételezzük, hogy a közeg végtelen, hideg amelyet t=0-kor hirtelen T hőmérsékletre fűtünk. A térbeli gradiens 0, , Ip konstans.



I t   Ip 1  e

 c' t



Az intenzitás közelít az egyensúlyhoz, a relaxációs idő





t p  1 / c'  l' / c  l 1  e h / kT c

ahol l a sugárzás szabad úthossza.

21

STE stacionárius eset T, , I időfüggetlen , ekkor I csak T-től és  T és -tól függ. dI  ' I  ' Ip ds

A lineáris differenciálegyenlet integrálható:  s '   s '  I s     Ip exp    ds" ds' I 0 exp    ds"  s0  s0  s'  s

'

I integrációs állandó, a külső forrás.

A külső forrás abszorpcióval gyengül, az emittált sugárzás parciálisan abszorbeálódik. Általános eljárás: Hidrodinamika, szimuláció átlagolt -val, T és  meghatározása. A sugárzási transzport-egyenlet megoldása: részletes spektrum.

22

A nem egyenletesen fűtött anyag sugárzási hőmérséklete Az effektív sugárzási hőmérséklet a „brightness temperature” T,br: Egy tökéletesen fekete test a felületéről ugyanannyi sugárzást bocsájt ki, egy adott frekvencia-tartományban, mint a teljes test:

S  Tbr4 Sugárzási spektrum és frekvencia-függés optikailag sűrű testnél: A sugárzás a felülethez közeli tartományból jön ki, azaz ahol dx~1. A többi foton abszorbeálódik. Ha adott esetén  nagy, akkor a fotonok egy felülethez közeli hideg réteget látnak. Kisebb  esetén jöhetnek mélyebb rétegekből. Az erősen abszorbeált frekvenciákra a sugárzási hőmérséklet alacsonyabb, mint a gyengébben abszorbeáltakra.

23

A felület felé csökkenő hőmérsékletű test abszorpciós koefficiense inverz módon változik a frekvenciával, úgy hogy a kisebb frekvenciák erősebben abszorbeálódnak. A diszkrét abszorpciós vonalak belevágnak a spektrumba.

Optikailag ritka közeg esetén csak a vonalak közelítik meg a Planck-határt, mivel épp a vonalakon nagy az abszorpció.

24

Valódi plazmaprofil Valódi lézerplazma kölcsönhatásokkor a sűrűségprofil valahogy így néz ki. Adott hullámhosszú lézerre

m  3 nc  1.1  10   cm .    A hőmérséklet néhány eV az összenyomott szilárdtestben, keV nagyságrendű a koronában. A karakterisztikus sebesség a hangsebesség 21 1

v  cs  ZTe / M i

Gradiensek, plazma méret: 2016.03.07.

2

ne  nc .

L  min cs L , Reff . 25

Elektromágneses hullám terjedése inhomogén plazmában Lineáris sűrűségprofil: Nem Vlaszov- (stat. fiz.), hanem hidrodinamikai egyenletből indulunk ki

E  E 0 (x)e it , Euler - egyenletben (mozgásegy enlet), u a folyadék sebessége elhanyagoljuk : u e  u e , u e  B tagokat , első rendben u e e   Ee it t m J  n0 (x)eu e

u e  pe x  J   n0 (x)e  E t t 4 2 x  i pe J E  E 4 2

2016.03.07.

26

Faraday- és Amper-törvényt alkalmazva: i B c 4 i i B  E  E  E, c c c

E 

 2pe  1 2 

A hullámegyenlet E-re és B-re:  2E  E  

Homogén eset:

2 2

E  0

c 2 1 2  B  2 B      B   0.  c

  0,   E  0.

A 2 egyenlet azonos.

E(x)  eikx esetén visszakapjuk : 2  2   pe  k 2c 2 .

2016.03.07.

27

Inhomogén, 1-dimenziós eset, merőleges beesés: n0  n0 ( z )

   ( , z )

Ex   E z exp( it )

d  E  2 Ex , y  0 2 x, y dz c Ez  0 2

2

B-re hasonló:

d2 2 1 d dBx , y Bx , y  2 Bx , y  0 dz 2 c  dz dz dBz 0 dz

z m 2 Legyen n  ncr , ncr  L 4e 2 d 2E  2  z   2  2  1   E  0. dz c  L Változó transzformáció : 1

 2  3    2  z  L , c L d 2E   E  0. d 2 2016.03.07.

28

Inhomogén 1-dimenziós eset, merőleges beesés: A megoldás : Airy függvény <0 esetén állóhullám! A visszavert nyalábban fázistolással. E ( )  Ai ( )  Bi ( )

  0  állóhullám   bomlás Bi(η)   (  )  Legyen   0!

29

Rezonancia-abszorpció 

Ha létezik Ex n komponens  töltéssűrűség-fluktuáció   elektron oszcilláció  Langmuir hullám. Definíció: s-polarizált (senkrecht) = TE nincs ilyen komponens p-polarizált (parallel) = TM van! 2016.03.07.

Ferde beesés esetén a lézerfény rezonancia plazma-oszcillációkat gerjeszthet a kritikus felületen. Az elektrosztatikus plazmarezgések ütközéses vagy ütközésmentes csillapodása a plazma termikus energiáját növeli még akkor is, ha a klasszikus ei kicsi. Magas hőmérséklet (nagy intenzitás), hosszú hullámhossz (nc kicsi) és rövid skálahossz (rövid impulzus) esetén erősebb lehet az inverz fékezési sugárzásnál. 30

Egyszerűbb eset: ferdén beeső s-polarizált fény 

E=Ex(y,z)

Mivel az  a z függvénye, a ky megmarad ky 

 c

sin 

 iy sin   Ex  E z exp  c  

d 2 E z   2 2     z  sin  E z   0. 2 2 dz c 2  z   sin  ,  1   2pe /  2



A fény visszaverődik, ha azaz ha  pe   cos  ,

behelyettesítve:



azaz n=nccos2 azaz a kritikusnál kisebb sűrűségnél.

Korábbi példa: ne=ncrz/L esetén z=Lcos2Θ –nál verődik vissza. 2016.03.07. 31 Ekkor az Airy-függvény innen indul, nem z=L-nél.

Ferdén beeső p-polarizált fényre rezonancia-abszorpció  

E=Eyy+Ezz (E)=0  = EE

innen

E  

1  Ez  z

Nemlineáris válasz (rezonancia) =0, pe= esetén. Az elektronoszcilláció ui. töltéssűrűség-fluktuációt kelt. n  ne (x  xos )  ne x   xos  ne , ahol a jól ismert módon

xos 

eE m 2

pe= esetén ez rezonáns válasz ad a kritikus felületen.

Bár ferde beesésnél ne
2016.03.07.

c

32

B  xBz exp( it 

iy sin  ) c

Az elektromos teret ebből Ampere-törvényével: i   B   E c

amiből

Ez 

sin B( z )  ( z)

Erős csúcs van a kritikus sűrűségnél, amit a rezonáns tér (Ed/(z)) feje ki, ahol az Ed-t a kritikus pontnál tekintjük. Fizikailag az a komponens, ami rezgeti az elektronokat a sűrűség-gradiensen keresztül. Pl. lineáris sűrűség-profil: ne=ncz/L, Ekkor B a fordulóponti érték (B(z=Lcos2)) amit egy exponenciális bomlást kifejező függvénnyel (e-) kell szorozni (szkin-effektus): 

L

1 2 2 2  2 c  pe   cos  dz L cos 

ami lineáris profil esetén

2016.03.07.



2L 3 sin  3c 33

Mivel a fordulóponti B kifejezhető az Airy-függvények segítségével és az EFS szabad térbeli elektromos térerősséggel:





1/ 6

B z  L cos   0.9EFS c / L  2

1/ 6

bevezetve a : L / c

1/ 3

Ed 

sin 

és

 c  Bz  L   0.9 EFS    L  

2L sin 3  exp(  ) 3c

változót





EFS   , ahol     2.3 exp  2 3 / 3 . 2 L / c

A tér eltűnik 0 -ra, mivel az elektromos tér komponense a gradiens mentén sin-val változik. Nagyon nagy -ra szintén lecseng, mert a beeső hullámnak nagy távolságon át kellene tunneleznie. A két határ között létezik egy optimális szög, ahol maximális a 1/ 3 rezonancia abszorpció (Ginzburg 1964):

L / c

sin   0.8

Ez a heurisztikus közelítés elég pontos. A tunnelezés helyett Gál Kinga és Varró Sándor az ún. frustrated total absorption fogalmát használták, hasonló eredményt kaptak. 34

Brunel abszorpció F. Brunel, 1987: Nem olyan rezonáns rezonancia-abszorpció Ha intenzív lézersugárzás ferdén esik rá a szilárdtest felületre és meredek sűrűséggradiens jön létre, abszorpció mehet végbe, ha az elektronok a vákuumba lépnek ki, majd térnek vissza a plazmába v~vosc=eE/mec oszcillációs sebességgel. Nagy lézerintenzitás, igen meredek eloszlás. Kondenzátor modell: x≥0 tökéletes vezető, elektron emitter x<0: vákuum ahol Eext=E0sint tér húzza ki az elektronokat t>0-ban. Az l-edik, t=tn –ben emittált részecske a köv. teret látja:

E xm   Eext  Em ,

Em  4 

xm ( t )

x1 ( t )

ndx

ahol n az elektron-sűrűség, x1 és xm az első és utolsó részecske pozíciója a Poisson-egyenletben. A részecskék nem előzhetik meg egymást.  A Em integrál időben állandó és meghatározható a kezdeti feltételekből:

Exm  0  Eext tm   Em  0

vagy

u.i. a térerősség x=0 esetén 0, és t=tm esetén xm=0.

Em   Eext tm 

35

Brunel abszorpció 2 dvm / dt  eE / me

Így a mozgásegyenlet:

vm  vosc cos t  cos tm   vosc t  t m sin tm 1 2 xm  vosc /  sin t  sin tm   vosc t  tm  cos tm  vosc t  tm  sin tm 2

Megoldva a szilárdtestbe való visszaérkezésre, azaz olyan t –re, amikor xm=0, majd behelyettesítve a sebesség-képletbe megkapjuk a visszatérési sebességet, majd az energiát:

Wabs  

5 / 2

 /

1 2   me vm0 nvm 0 dt . 2 

A sűrűséget x-ből kapjuk meg, ha differenciáljuk a fenti x-re felírt egyenletet és az integrális Poisson-egyenletet tl szerint:

n  2nc / t  tm 

2

ahol nc a kritikus sűrűség. 36

Brunel abszorpció 3 A numerikus integrálás megadja az abszorbeált energiát:

1 2 Nme vosc ahol 2 N  E0 / 4e a maximuma a vákuumba kirántott elektronok számának.

Wabs  

A numerikus faktor, 1.57. Az abszorbeált teljesítmény: W osztva az időbeli periódussal 2:

 I abs  voscE02 / 8 2

37

A Brunel és a rezonancia abszorpció összehasonlítása A Debye hossz az elektrosztatikus tér leárnyékolásának hossza. Ebben az esetben vosc /. Ezen tartományon belül a plazma nem semleges, és vosc />L esetben nincs rezonancia abszorpció. A rezonancia abszorpció elmélete szerint a felelős térerő (Ep) :

v p  2voscL 

1/ 2

ahol

v p  eE p / m

Ekkor a maximális E tér rezonancia abszorpció esetén sokkal kisebb, mint a pumpáló tér . Energia-egyensúly: A rezonáns tér maximális energiája:

Wr

 E

2 p



/ 8 l

ahol l=vp/ a hullámtörés karakterisztikus hossza.

A rezonancia abszorpció:

t p  8L / vosc 

1/ 2

Brunel szerint a tér újraépüléséhez idő kell:





I abs  Wr / t p  E02 / 8 L

Kisebb, mint a Brunel abszorpció, ha vosc />L.

38

A Brunel és a rezonancia abszorpció összehasonlítása 2.

39