Mechanikai rezgések, rezonancia

Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter

Felkészülés Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat)

Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud. A probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi foglalkozásokon. Ajánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 1965. Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 2005. Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1999. Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 299-371, Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 2012. Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged 1996. Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers, Akadémiai Kiadó, Budapest 1998.

Az emberi test mechanikai rezgései, sajátfrekvenciái és helyettesítő mechanikai modelljei, (Voigttestek), amelyek hálózatot képeznek. Voigt-test: párhuzamosan kötött rugó és csillapítás. Akárhol meglököm, az egész test (mint a miskolci kocsonya) rezegni kezd.

Az emberi testben felléphetnek - saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába esnek és - kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel. A rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas (elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult hálózattá.

Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak. Alapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések) megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos - diagnosztizálni, - hatékony terápiát alkalmazni és - mérnökökkel (legalább) szót érteni.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a szív ritmikus mozgása

Mechanikai rezgések okozta panaszok fejfájás beszédbeli nehézségek állkapocs-fájdalmak mellkasi fájdalmak légzési nehézségek

hasi fájdalmak derékfájás székelési inger vizelési inger

J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 1978

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio) L. Auenbrugger már 1761-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak. Az ő nevéhez kötődik a kopogtatás (percussio) és a hallgatózás (auscultatio) eljárásainak meghonosítása, mely a belgyógyászat mai napig használt diagnosztikai módszere.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a tremor A tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső végtag akarattól független, ritmikus, oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján több mint tízféle tremor különíthető el, a leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT) megjelenő tremor. Az egyes tremorok frekvenciatartománya karakterisztikus, de egymást átfedhetik: < 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor, 4 – 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a, 6 - 11 Hz physiológiás tremor, az essentialis tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő tremor 20%-a és > 11 Hz az orthostaticus tremor.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, intervenciós radiológia, lithotripsia

Endoszkópos retrográd kolangiopankreatográfia. Nagyméretű kő a ductus choledochusban.

A ductus choledochus kő az intraendoszkópos mechanikus litotriptor kosarában.

Kőzúzás intraendoszkópos mechanikus litotriptorral. A kosár megkisebbedett.

Az összezúzandó kő

a fókuszban

Lökéshullámok

Piezoelektromos lithotriptor

Piezoelektromos elemek (kristályok) gömbfelület mentén elrendezve

A lökéshullámok időbeli lefutása a lithotriptorban.

A nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns) idő alatt hatalmas értékre (kb. 40 MPa) emelkedik, amelynek a kő nem tud ellenállni, és elporlad.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, lézeres szemműtétek, KO Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen elfeledkeznek a „dobja el a szemüvegét” program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill. az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás (pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, csont-, porc-, ízületi sérülések A felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében (csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és mozgatószerkezeteit.

Az Achilles-ín krónikus túlterhelése

A szalag-sérülések a térdízület megcsavarodásával és oldalra billenésével, esetleg ugrásból nyújtott térddel való érkezéskor, túlfeszüléssel következik be leggyakrabban.

Fáradásos törés következik be, ha lábszárcsontokra ható erők meghaladják a csontok teherbírását, így állományukban repedés keletkezik.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, munkaegészségügy A 0-8 kHz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. A mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az infrarezgések (0-16 Hz).

Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus orvosi vizsgálatait A. Hamilton végezte 1918-ban. A rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri elváltozásokat okozhat (a napi megengedett expozíciós határérték napi 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s2 (22/2005. (VI. 24.) EüM rendelet), b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett expozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva 1,15 m/s2).

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, természetgyógyászat, ezotéria „biorezonancia”, lökéshullám terápia, stb.

Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi van a megfigyelések hátterében. Őszintébb azt mondani, hogy - nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de - kizárhatunk bizonyos „fizikai” elveken alapuló értelmezéseket.

Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik.

g (t )  g (t  T ) Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. A periódusidő (rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét ugyanezt az értéket veszi fel. A reciprokát frekvenciának hívjuk: f = 1/T, dimenziója 1/idő, mértékegysége 1/s = 1 Hz. Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti). Felosztások. A g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet.

Harmonikus rezgés (szinuszrezgés):

g (t )  A  sin(t   )

Anharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez. Típikus példák a relaxációs (fűrészfog) rezgések. Szabad és kényszerített rezgések

Harmonikus rezgő mozgás Kinematikai leírás. A hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből leszármaztathatók más mennyiségek is. A kitérés (helykoordináta):

x  A  sin(t   ) A sebesség:

dx v  A  cos(t   ) dt

legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/2, T, ...) és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4, ...).

A gyorsulás:

dv a   A 2  sin(t   )   2  x dt a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.

Harmonikus rezgő mozgás Dinamikai leírás. A mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe):

F  m  a  m 2  x  k  x A direkciós (irányító) erő:

 2  k  m  m  T  2

A harmonikus rezgő mozgás rezgésideje:

m T  2 k

2

A harmonikus rezgő mozgást végző test energiája Az erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad:

1 1 2 1 2 Eösszes  mv  kx  m 2 A 2  állandó 2 2 2

Harmonikus rezgések összetevése Alapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik ott sem lenne.

1. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése. a) A frekvenciák megegyeznek

x1  A1 sin t x2  A2 sin(t   0 ) Az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege:

x  x1  x2  A sin( t   ) A  A  A  2 A1 A2 cos 0 2 1

2 2

A2 sin  0 tg  A1  A2 cos  0

Speciális esetek: - azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α0 = 0) az amplitúdók összegződnek: A = A1 + A2, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával egyezik meg α = 0. A rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást. - ellentett fázisú rezgéseknél (α0 = π) az amplitúdók kivonódnak: A = A1  A2 és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha A1 = A2, akkor A = 0, vagyis a rezgések kioltják egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit).

Harmonikus rezgések összetevése b) A frekvenciák különböznek:

x1  A1 sin 1t x 2  A2 sin( 2 t   0 )

Az eredő rezgés most nem hozható

x  x1  x2  A sin(t   )

alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω1/ω2) racionális szám. Ekkor ω1 = n1·ω és ω2 = n2·ω (n1 és n2 relatív prím egész számok), és az

x  A1 sin(n1t )  A2 sin(n2t   0 ) függvény értéke T = 2π/ω időközönként ismétlődik.

Harmonikus rezgések összetevése, a lebegés Legyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és nulla a fáziskülönbség!

x1  A sin 1t

x 2  A sin  2 t Az eredő rezgés

x  x1  x2  2 A cos

1   2 2

t  sin

1   2 2

t

A lebegési idő

Tleb

2 1   1   2 f1  f 2

f leb  f1  f 2

Lebegés Az eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő frekvencia különbségével) változik, LÜKTET.

Alkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).

Egymásra merőleges rezgések összetevése, Lissajous-görbék A frekvenciák megegyeznek. A rezgés eredője általában „elliptikus rezgés” (ellipszisben poláros rezgés)

x  A sin t

A frekvenciák különböznek.

x  A sin a t

y  B sin(t   )

y  B sin(b t   )

Példa: ellipszisben poláros rezgés x  A sin t

y  B sin(t   ) sin( t   )  sin  t  cos   cos  t  sin 

Kezdőfázis α

x

y

0o

A· sin(ωt)

B· sin(ωt)

90o

A· sin(ωt)

B· cos(ωt)

180o

A· sin(ωt)

-B· sin(ωt)

270o

A· sin(ωt)

-B· cos(ωt)

Görbe egyenlete

Ábrázolás y

y B  x A

x

y 2

2

 x  y     1  A  B 

y B  x A

x y

x y

2

2

x  y      1  A   B 

x

Példa: ellipszisben poláros rezgés, bármely fázisszögre x  A sin t

y  B sin(t   )  B  sin  t  cos   B  cos  t  sin 

Az időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére x kifejezéseit írjuk):

y x x2  cos   1  2  sin  B A A

 x2  y x  2    cos    1  2   sin  A  B A  

x 2 y 2 2 xy 2   cos   sin  2 2 AB A B

2

y

Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek az egyenlete. Az x,y koordináták csak véges, legfeljebb A, ill. B értékeket vesznek fel. Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés. Az ellipszis 2A és 2B oldalhosszúságú téglalapban fekszik, centruma a két rezgés kezdőpontjában van.

x

B A

Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre, Fourier tétele Fourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz

g (t )  g (t  T ) akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói (Ai és Bi, i = 0,1,2,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú sokszorosai: ωi = i·ω (i = 1,2,...):

g(t) = A0/2 + A1cosωt + A2cos2ωt + ...+ B1sinωt + B2sin2ωt +... ahol az Ai és Bi együtthatókat a következő integrálok határozzák meg: T

2 Ai   g (t ) cos(it ) dt T 0

T

2 Bi   g (t ) sin(it ) dt T 0

(i  0,1,2,3,...)

Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés 1

1 1 1 x(t )  (sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t  ...)  3 5 7

Csillapított rezgő mozgás Rugóerő:

F1 = -k·x

Súrlódási (fékező) erő:

F2 = -η·v

Voigt-test periodikus mozgása

        0     2m  

k   m 

A súrlódás kicsiny

d 2x dx m  2  k  x    dt dt A frekvenciát a csillapítás eltolja (a súrlódás csökkenti a frekvenciát):

  02   2

A mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés:

x  A e

t

 sin(t   )

Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω0 A súrlódás nagy

Az x(t = 0) = 0 és v(t = 0)= v0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás

x

v0

 2   02



e t sh  2   02 t



ahol sh (x) az ú.n. szinuszhiperbolikusz függvény:

sh x 

exp( x)  exp(  x) 2

A mozgás aperiodikus, mert a csillapítás (súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer csak az egyik irányban tér ki, és csak (elvileg) végtelen hosszú idő elteltével fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni. Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl. mézben) kitérített inga mozgása.

Kényszerrezgések Ha a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó („gerjesztő”) erő is hat, akkor az kényszerrezgést fog végezni. A hozzá tartozó mozgásegyenlet a csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést kifejező erővel:

d 2x dx m  2  k  x     F0 sin t dt dt

amelynek általános megoldása κ < ω0 (kis csillapítás) esetében

x(t )  A cos(t   )  ae Periódikus tag (rezgés)

ahol

A



F0 / m 2 0





2 2

 4 2 2

t



sin     t   2 0

2



Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú) idővel eltűnik.

2 tg  2 0   2

csillapítás         0     2m  

k   m 

Rezonancia

Amplitúdó

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb (nagyobb amplitúdójú) a rezonancia. Határesetben ez ú.n. „rezonanciakatasztrófához” vezethet.

Fázis

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál. Rezonanciánál π/2 a fáziskülönbség a gerjesztés és a kényszermozgás között, azaz egyirányba esnek.

Feladatok harmonikus rezgőmozgásra 1. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét! 2. A négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében rezgésbe jönnek. A rugók 1 N erő hatására 1,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege 22 tonna, a síndarabok hossza 18 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a rugók kirezgése (a kocsi „zötykölődése”)?

3. A 100 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját 1 m magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 10 cm (rugalmas landolás) ill. 1 cm (tehetetlen, „krumplis-zsák”-szerű esés) hosszú úton fékezi le. Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében? 4. A középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük, amelyben az m = 2 mg tömegű csontocskákat egy k1 = 72 N/m és egy k2 = 7,2 N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük. Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?

Feladatok csillapított rezgésre és rezonanciára 1. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét (Maxwell-modell)! 2. Mi az oka a „Lépést ne tarts!” vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad át?

3. A belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a hidat. A tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem következik be. Miért?

Egyéb feladatok 1) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal megterhelve?

2) A járást a Weber testvérek (1836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel a hátulról előre való lendítés során („lógó láb” koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = 1 m hosszúságú szabad lábat a csípő mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük? 3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket! 4) Az egységnyi magasságú „háromszög-rezgés” Fourier-sora

x(t ) 

8

2

(sin t 

1 1 1 sin 3  t  sin 5  t  sin 7t  ...) 2 2 2 3 5 7

Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű bizonyíték, csak „vizuális inspekció”).