Mechanikai rezgések, rezonancia

Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 2012. szept. 24.

Felkészülés Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat) Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud.

A probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi foglalkozásokon. Ajánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 1965. Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 2005. Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1999. Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 299-371, Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 2012. Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged 1996. Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers, Akadémiai Kiadó, Budapest 1998.

Az emberi test mechanikai rezgései, sajátfrekvenciái és helyettesítő mechanikai modelljei, (Voigttestek), amelyek hálózatot képeznek. Voigt-test: párhuzamosan kötött rugó és csillapítás. Akárhol meglököm, az egész test (mint a miskolci kocsonya) rezegni kezd.

Az emberi testben felléphetnek - saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába esnek és - kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel.

A rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas (elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult hálózattá. Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak. Alapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések) megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos - diagnosztizálni, - hatékony terápiát alkalmazni és - mérnökökkel (legalább) szót érteni.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a szív ritmikus mozgása

Mechanikai rezgések okozta panaszok fejfájás beszédbeli nehézségek állkapocs-fájdalmak mellkasi fájdalmak légzési nehézségek hasi fájdalmak

derékfájás székelési inger vizelési inger

J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 1978

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio) L. Auenbrugger már 1761-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak. Az ő nevéhez kötődik a kopogtatás (percussio) és a hallgatózás (auscultatio) eljárásainak meghonosítása, mely a belgyógyászat mai napig használt diagnosztikai módszere.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a tremor A tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső végtag akarattól független, ritmikus, oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján több mint tízféle tremor különíthető el, a leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT) megjelenő tremor. Az egyes tremorok frekvenciatartománya karakterisztikus, de egymást átfedhetik: < 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor, 4 – 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a, 6 - 11 Hz physiológiás tremor, az essentialis tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő tremor 20%-a és > 11 Hz az orthostaticus tremor.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, intervenciós radiológia, lithotripsia

Endoszkópos retrográd kolangiopankreatográfia. Nagyméretű kő a ductus choledochusban.

A ductus choledochus kő az intraendoszkópos mechanikus litotriptor kosarában.

Kőzúzás intraendoszkópos mechanikus litotriptorral. A kosár megkisebbedett.

Az összezúzandó kő a fókuszban

Lökéshullámok

Piezoelektromos lithotriptor

Piezoelektromos elemek (kristályok) gömbfelület mentén elrendezve

A lökéshullámok időbeli lefutása a lithotriptorban. A nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns) idő alatt hatalmas értékre (kb. 40 MPa) emelkedik, amelynek a kő nem tud ellenállni, és elporlad.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, lézeres szemműtétek, KO Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen elfeledkeznek a „dobja el a szemüvegét” program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill. az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás (pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, csont-, porc-, ízületi sérülések A felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében (csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és mozgatószerkezeteit.

Az Achilles-ín krónikus túlterhelése

A szalag-sérülések a térdízület megcsavarodásával és oldalra billenésével, esetleg ugrásból nyújtott térddel való érkezéskor, túlfeszüléssel következik be leggyakrabban.

Fáradásos törés következik be, ha lábszárcsontokra ható erők meghaladják a csontok teherbírását, így állományukban repedés keletkezik.

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, munkaegészségügy A 0-8 kHz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. A mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az infrarezgések (0-16 Hz). Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus orvosi vizsgálatait A. Hamilton végezte 1918-ban. A rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri elváltozásokat okozhat (a napi megengedett expozíciós határérték napi 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s2 (22/2005. (VI. 24.) EüM rendelet), b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett expozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva 1,15 m/s2).

A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, természetgyógyászat, ezotéria „biorezonancia”, lökéshullám terápia, stb.

Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi van a megfigyelések hátterében. Őszintébb azt mondani, hogy - nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de - kizárhatunk bizonyos „fizikai” elveken alapuló értelmezéseket.

Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik.

g (t )  g (t  T ) Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. A periódusidő (rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét ugyanezt az értéket veszi fel. A reciprokát frekvenciának hívjuk: f = 1/T, dimenziója 1/idő, mértékegysége 1/s = 1 Hz.

Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti). Felosztások. A g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet. Harmonikus rezgés (szinuszrezgés):

g (t )  A  sin(t   )

Anharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez. Típikus példák a relaxációs (fűrészfog) rezgések. Szabad és kényszerített rezgések

Harmonikus rezgő mozgás Kinematikai leírás. A hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből leszármaztathatók más mennyiségek is. A kitérés (helykoordináta):

x  A  sin(t   ) A sebesség:

dx v  A  cos(t   ) dt

legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/2, T, ...) és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4, ...).

A gyorsulás:

dv a   A 2  sin(t   )   2  x dt a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.

Harmonikus rezgő mozgás Dinamikai leírás. A mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe):

F  m  a  m  x  k  x 2

A direkciós (irányító) erő:

 2  k  m  m  T  2

A harmonikus rezgő mozgás rezgésideje:

m T  2 k

2

A harmonikus rezgő mozgást végző test energiája Az erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad:

Eösszes

1 1 2 1 2  mv  kx  m 2 A 2  állandó 2 2 2

Feladatok harmonikus rezgőmozgásra 1. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét! 2. A négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében rezgésbe jönnek. A rugók 1 N erő hatására 1,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege 22 tonna, a síndarabok hossza 18 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a rugók kirezgése (a kocsi „zötykölődése”)? 3. A 100 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját 1 m magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 10 cm (rugalmas landolás) ill. 1 cm (tehetetlen, „krumplis-zsák”-szerű esés) hosszú úton fékezi le. Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében?

4. A középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük, amelyben az m = 2 mg tömegű csontocskákat egy k1 = 72 N/m és egy k2 = 7,2 N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük. Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?

Harmonikus rezgések összetevése Alapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik ott sem lenne.

1. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése. a) A frekvenciák megegyeznek

x1  A1 sin t x2  A2 sin(t   0 ) Az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege:

x  x1  x2  A sin( t   ) A  A  A  2 A1 A2 cos  0 2 1

2 2

A2 sin  0 tg  A1  A2 cos  0

Speciális esetek: - azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α0 = 0) az amplitúdók összegződnek: A = A1 + A2, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával egyezik meg α = 0. A rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást. - ellentett fázisú rezgéseknél (α0 = π) az amplitúdók kivonódnak: A = A1  A2 és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha A1 = A2, akkor A = 0, vagyis a rezgések kioltják egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit).

Harmonikus rezgések összetevése b) A frekvenciák különböznek:

x1  A1 sin 1t x2  A2 sin( 2 t   0 )

Az eredő rezgés most nem hozható

x  x1  x2  A sin(t   )

alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω1/ω2) racionális szám. Ekkor ω1 = n1·ω és ω2 = n2·ω (n1 és n2 relatív prím egész számok), és az

x  A1 sin(n1t )  A2 sin(n2t   0 ) függvény értéke T = 2π/ω időközönként ismétlődik.

Harmonikus rezgések összetevése, a lebegés Legyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és nulla a fáziskülönbség!

x1  A sin 1t

x 2  A sin  2 t Az eredő rezgés

x  x1  x2  2 A cos

1   2 2

t  sin

1   2 2

t

A lebegési idő

Tleb

2 1   1   2 f1  f 2

f leb  f1  f 2

Lebegés Az eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő frekvencia különbségével) változik, LÜKTET.

Alkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).

Egymásra merőleges rezgések összetevése, Lissajous-görbék A frekvenciák megegyeznek. A rezgés eredője általában „elliptikus rezgés” (ellipszisben poláros rezgés)

x  A sin t

A frekvenciák különböznek.

x  A sin a t

y  B sin(t   )

y  B sin(b t   )

Példa: ellipszisben poláros rezgés x  A sin t

y  B sin(t   ) sin( t   )  sin  t  cos   cos  t  sin 

Kezdőfázis α

x

y

0o

A· sin(ωt)

B· sin(ωt)

90o

A· sin(ωt)

B· cos(ωt)

180o

A· sin(ωt)

-B· sin(ωt)

270o

A· sin(ωt)

-B· cos(ωt)

Görbe egyenlete

Ábrázolás y

y B  x A

x y

2

2

 x  y     1  A  B 

y B  x A

x

y x y

2

2

x  y      1  A   B 

x

Példa: ellipszisben poláros rezgés, bármely fázisszögre x  A sin t

y  B sin(t   )  B  sin  t  cos   B  cos  t  sin 

Az időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére x kifejezéseit írjuk):

y x x2  cos   1  2  sin  B A A

 x2  y x  2    cos    1  2   sin  A  B A  

x 2 y 2 2 xy 2   cos   sin  2 2 AB A B

2

y

Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek az egyenlete. Az x,y koordináták csak véges, legfeljebb A, ill. B értékeket vesznek fel. Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés.

Az ellipszis 2A és 2B oldalhosszúságú téglalapban fekszik, centruma a két rezgés kezdőpontjában van.

x B A

Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre, Fourier tétele Fourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz

g (t )  g (t  T ) akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói (Ai és Bi, i = 0,1,2,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú sokszorosai: ωi = i·ω (i = 1,2,...):

g(t) = A0/2 + A1cosωt + A2cos2ωt + ...+ B1sinωt + B2sin2ωt +... ahol az Ai és Bi együtthatókat a következő integrálok határozzák meg: T

2 Ai   g (t ) cos(it ) dt T0

T

2 Bi   g (t ) sin(it ) dt T0

(i  0,1,2,3,...)

Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés 1

1 1 1 x(t )  (sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t  ...)  3 5 7

Csillapított rezgő mozgás Rugóerő:

F1 = -k·x

Súrlódási (fékező) erő:

F2 = -η·v

Voigt-test periodikus mozgása

        0     2m  

k   m 

A súrlódás kicsiny

d 2x dx m  2  k  x    dt dt A frekvenciát a csillapítás eltolja (a súrlódás csökkenti a frekvenciát):

  02   2

A mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés:

x  A e

t

 sin(t   )

Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω0 A súrlódás nagy

Az x(t = 0) = 0 és v(t = 0)= v0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás

x

v0

 2  02



e t sh  2   02 t



ahol sh (x) az ú.n. szinuszhiperbolikusz függvény:

sh x 

exp( x)  exp( x) 2

A mozgás aperiodikus, mert a csillapítás (súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer csak az egyik irányban tér ki, és csak (elvileg) végtelen hosszú idő elteltével fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni. Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl. mézben) kitérített inga mozgása.

Kényszerrezgések Ha a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó („gerjesztő”) erő is hat, akkor az kényszerrezgést fog végezni. A hozzá tartozó mozgásegyenlet a csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést kifejező erővel:

d 2x dx m  2  k  x     F0 sin t dt dt

amelynek általános megoldása κ < ω0 (kis csillapítás) esetében

x(t )  A cos(t   )  ae Periódikus tag (rezgés)

ahol

A



F0 / m 2 0





2 2

 4 2 2

t



sin     t   2 0

2



Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú) idővel eltűnik.

2 tg  2 0   2

csillapítás         0     2m  

k   m 

Rezonancia

Amplitúdó

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb (nagyobb amplitúdójú) a rezonancia. Határesetben ez ú.n. „rezonanciakatasztrófához” vezethet.

Fázis

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál. Rezonanciánál π/2 a fáziskülönbség a gerjesztés és a kényszermozgás között, azaz egyirányba esnek.

Feladatok csillapított rezgésre és rezonanciára 1. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét (Maxwell-modell)! 2. Mi az oka a „Lépést ne tarts!” vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad át? 3. A belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a hidat. A tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem következik be. Miért?

Egyéb feladatok 1) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal megterhelve? 2) A járást a Weber testvérek (1836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel a hátulról előre való lendítés során („lógó láb” koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = 1 m hosszúságú szabad lábat a csípő mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük? 3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket!

4) Az egységnyi magasságú „háromszög-rezgés” Fourier-sora

x(t ) 

8

2

(sin t 

1 1 1 sin 3  t  sin 5  t  sin 7t  ...) 2 2 2 3 5 7

Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű bizonyíték, csak „vizuális inspekció”).