3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
V této kapitole se dozvíte: •
jak je g eo metrick y definován a ku želosečka zv aná parabola;
•
co je to ohn isko, řídící přímk a, vrchol, osa, parametr paraboly;
•
tvar v rcholové a ob ecn é rovn ic e paraboly v n o rmální poloze;
•
jak analyzo vat vzájemnou polohu b odu a parab oly a přímk y a p ara boly.
Klíčová slova této kapitoly: kuželosečka, parabola , ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly, normální poloha, vrcholová rovnice, obecná rovnice, vzájemná poloha paraboly a bodu, vzájemná poloha paraboly a přímky.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,25 + 0 ,5 hodin y (teo rie + řešení p říkladů )
Parabola patří mezi tzv. kuželosečky, jedná se tedy o rovinnou křivku, kterou je možné získat průnikem roviny a kuželové plochy (viz obrázek).
Definice paraboly. Parabola P je množina všech bodů roviny, které mají od dané přímky d stejnou vzdálenost jako od daného bodu F . Zápis: P = {X ∈ Π 2 : XF = d (X, d )} . Takto definovaná křivka je souměrná podle osy, kolmé na přímku d (viz obrázek). Označení: F – ohnisko paraboly, d – řídící přímka (direktrix), o – osa paraboly ( o ⊥ d , F ∈ o ), V = [ v1 , v2 ] – vrchol paraboly. Číslo p = d (F, d ) > 0 je tzv. parametr, který je roven vzdálenosti ohniska F od řídící přímky d. Rovnice paraboly v normální poloze. Vrcholová rovnice paraboly v normální poloze: a) Osa paraboly je rovnoběžná s osou x : ( y − v2 ) = ±2 p ( x − v1 ) . Je-li znaménko na pravé 2
straně kladné, resp. záporné, je parabola otevřená doprava, resp. doleva. b) Osa paraboly je rovnoběžná s osou y : ( x − v1 ) = ±2 p ( y − v2 ) . Je-li znaménko na pravé 2
straně kladné, resp. záporné, je parabola otevřená nahoru, resp. dolů. Obecná rovnice paraboly: a) Osa paraboly je rovnoběžná s osou x : a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 . b) Osa paraboly je rovnoběžná s osou y : a11 x 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 . V praxi ověříme, zda se jedná o rovnici paraboly v normální poloze, nejlépe tak, že se ji pokusíme převést na vrcholový tvar.
Vzájemná poloha bodu a paraboly. Nechť je dán bod X = [ x, y ] a parabola P v normální poloze. Mohou nastat tři případy: a) X ∈ P ⇔ d ( X, d ) = XF , kde d ( X, d ) je vzdálenost bodu X od přímky d ; b) X leží ve vnější oblasti paraboly P ⇔ d ( X, d ) < XF ; c) X leží ve vnitřní oblasti paraboly P ⇔ d ( X, d ) > XF . Vzájemná poloha přímky a paraboly. Je dána přímka p a parabola P . Mohou nastat čtyři případy: 1. průnik p ∩ P je prázdný ⇔ p je nesečnou P . 2. průnikem p ∩ P je jeden bod. a zároveň p není rovnoběžná s osou paraboly ⇔ p je tečnou P . 3. průnikem p ∩ P je jeden bod. a zároveň p je rovnoběžná s osou paraboly ⇔ p je sečnou P , rovnoběžnou s její osou. 4. průnikem p ∩ P jsou dva body ⇔ p je sečnou P , různoběžnou s osou paraboly. Vyšetřit polohu přímky a paraboly tedy znamená určit počet řešení soustavy rovnic, tvořené rovnicemi obou útvarů a v případě, že vyjde jedno řešení, ještě zjistit, zda je přímka rovnoběžná s osou paraboly či nikoliv.
Shrnutí kapitoly: Parabola patří mezi kuželosečky, tj. křivky, které lze získat p růnikem roviny a pláště kužele. V rovinné geometrii se parabola definuje jako množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu roviny (ohniska) a dané přímky (řídící přímky). Kromě ohniska a řídící přímky jsou u paraboly dalšími důležitými pojmy vrchol paraboly, osa paraboly a tzv. parametr, což je vzdálenost ohniska od řídící přímky. Parabolu v normální poloze, kdy je hlavní osa rovnoběžná s osou x , popisujeme vrcholovou nebo obecnou rovnicí. Vrcholová rovnice má tvar
( y − v2 )
2
= ±2 p ( x − v1 ) nebo ( x − v1 ) = ±2 p ( y − v2 ) , 2
podle toho, zda je osa paraboly rovnoběžná s osou x nebo y . Znaménko ± rozhoduje o směru, ve kterém se parabola rozevírá. Bod X je prvkem paraboly, pokud splňuje její rovnici, nebo-li pokud platí d ( X, d ) = XF . Pokud tomu tak není, může ležet uvnitř paraboly (platí-li d ( X, d ) > XF ) nebo vně paraboly (platí-li d ( X, d ) < XF ) . Přímka může být sečnou, tečnou nebo nesečnou paraboly. Rozhodnutí, který případ nastává, provedeme nejlépe pomocí průniku obou útvarů. Ale pozor! Jednobodový průnik neznamená vždy tečnu, může se jednat o sečnu rovnoběžnou s osou paraboly.
Otázky: •
Co jsou to kuželosečky?
•
Jak je v rovinné geometr ii definován a p arabola?
•
Nakreslete parabolu a v yznačte její ohnisko , řídící p římk u, v rch ol, o su , parametr.
•
Co rozu míme no rmál ní polohou paraboly?
•
Formulu jte vrch olovo u a obecnou rovnici paraboly v normální pol oze.
•
Jako u v zájemnou polohu mohou mít b od a parabola? Jak u rčíme, zd a bod leží na, uvnitř n ebo vn ě p araboly?
•
Jakou vzájemnou polohu mohou mít p římk a a p arabola? Jak ji u rčí me? Znamená jednobodov ý p růnik au to matick y tečnu?
Příklad 1. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici paraboly v normální poloze: a) x 2 + 6 x + y + 10 = 0 ; b) y 2 + 4 x + 4 y = 0 . Příklad 2. Napište rovnici paraboly s ohniskem F = [ −1, 1] a řídící přímkou d : y = −1 . Návod. Na základě výše uvedeného obrázku paraboly a ze znalosti polohy ohniska a řídící přímky snadno naleznete vrchol paraboly a její parametr. Příklad 3. Určete vzájemnou polohu přímky p a paraboly P :
P : ( x − 3) = −4( y + 2) , p : y + 2 = 0 . 2
Řešení příkladů: 1a) ano, V = [ −3, −1] , p =
1
2
, F = [ −3, − 5 4 ] , d : y = − 3 4 , otevřena dolů;
1b) ano, V = [1, −2] , p = 2 , F = [ 0, −2] , d : x = 2 , otevřena doleva. 2) Rovnice paraboly: x + 2x − 4 y +1 = 0 . 2
3) Tečna.
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
