3.3. A feszültség-munkadiagram Eddig csak olyan eseteket vizsgáltunk, amelyeknél az áramkörre ideális feszültségforrást kapcsoltunk (kapocsfeszültsége a terhelés hatására nem változik), és a kör eredő áramának változását vizsgáltuk. Ha az áramkörre UL egy áramforrást kapcsolunk (áramgenerátoros táplálás – 27. ábra), akkor az áramkör eredő árama nem változhat. Az áramkör ellenállását változtatva L az áramkör eredő impedanciája változik, ami az UR Uk áramkör kapcsai között fellépő feszültség (tkp. az Ig p·R0 áramforrás kapocsfeszültsége) változását eredményezi. Ez a mennyiség ugyanúgy ábrázolható, vizsgálható, mint az előző esetben az áramkör 27. ábra eredő árama. Tehát a feszültség-munkadiagram a kapocsfeszültség-fázor végpontjainak mértani helye. A diagram itt is a helygörbét és a hozzárendelt paraméter-skálát jelenti. A kapcsokon fellépő feszültség a kör eredő impedanciájával arányos. Vegyük észre, hogy a feszültség-munkadiagram csak az Ig konstans szorzóban tér el az impedancia diagramtól! Ugyanis az Ig áramot (éppen úgy, mint korábban a feszültséggenerátor feszültségét) nulla fázisúnak tételezzük fel (időfüggvényének fázisszöge nulla), tehát fázora a valós tengelyen helyezkedik el. Ha a feszültségléptéket az
⎡Ω⎤ ⎡V⎤ aU ⎢ ⎥ = I [A ] ⋅ a Z ⎢ ⎥ ⎣ cm ⎦ ⎣ cm ⎦ összefüggés alapján határozzuk meg, akkor az impedancia- és a feszültség-diagram ugyanaz a helygörbe lesz a komplex számsíkon, csak a léptékben különböznek! A 28a ábrán megrajzoltuk a 27. ábrán látható kapcsolás fázorábráját - egy adott ellenállás érték esetén -, míg a 28b ábrán a feszültség-diagramot ábrázoltuk. Természetesen ez a helygörbe is alkalmas teljesítmények leolvasására is. Az U k feszültségfázornak a valós tengelyre vett (tehát az I g áramfázor irányába eső) vetülete U k ⋅ cos ϕ (30b ábra) a hatásos teljesítménnyel arányos ( P = U k ⋅ I g ⋅ cos ϕ ). Az U k
feszültségfázornak a képzetes tengelyre vett vetülete ( U k ⋅ sin ϕ ) a meddő teljesítménnyel ( Q = U k ⋅ I g ⋅ sin ϕ ) arányos. A látszólagos teljesítmény a feszültségfázor hosszával (a helygörbe adott pontjának a koordináta-rendszer középpontjától mért távolságával) arányos ( S = U k ⋅ I g ). A különböző teljesítmények közvetlenül leolvashatók az áram-diagramból is, ha a teljesítmény-léptéket megfelelően definiáljuk: ⎡ VA ⎤ ⎡V ⎤ aP ⎢ = I [A ] ⋅ aU ⎢ ⎥ . ⎥ ⎣ cm ⎦ ⎣ cm ⎦
1
1
Im U 0
UR
p-skála
2
IX L
UL
U k (1)
U k (0)
Uk Ig
ϕ
U k (2) Ig
Re U
2IR0
IR0 a)
b) 28. ábra
Így a valós tengelyen a hatásos teljesítmény, a képzetes tengelyen a meddő teljesítmény leolvasására alkalmas teljesítmény léptéket kapunk Ez a feszültség-munkadiagram. Paraméter-skálaként felhasználható maga a feszültség-munkadiagram, de a vele párhuzamos bármely egyenes is. Általában célszerűbb az utóbbi megoldást választani. Példa: Rajzoljuk fel a 29. ábrán megadott áramkör léptékhelyes feszültség-munkadiagramját! Ig = 10 mA
ω = 200 rad/s R1 = 1,5 kΩ
C0 = 2 µF
R2 = 5 kΩ
a./ Határozzuk meg a kapacitás és a kapocsfeszültség értékét akkor, amikor az eredő fázisszög maximális! b./ Határozzuk meg a teljesítmények maximális Ig és minimális értékeit!
0≤p≤∞
R1 Uk
Megoldás: Az energiatároló elem reaktanciája a megadott körfrekvencián: 1 1 X C0 = = Ω = 2 ,5 kΩ ω ⋅ C 0 200 ⋅ 2 ⋅ 10 −6
R2
p·C0
29. ábra
A kondenzátor reaktanciája a paraméter függvényében változik: X C ( p) =
X 1 2,5 = C0 = kΩ p p ω ⋅ p ⋅ C0
Az egyes paraméter értékeknél az eredő impedancia illetve a kapocsfeszültség: p=0 esetén a kondenzátor szakadással helyettesíthető: Z e (0 ) = R1 + R2 = 1 + 5 = 6 kΩ p=∝ esetén a kondenzátor rövidzárral helyettesíthető: Tehát a kapocsfeszültségek: U k (0 ) = I g ⋅ Z e (0 ) = 10 ⋅ 10
Z e (∞ ) = R1 = 1 kΩ
−3
⋅ 6 ⋅ 10 3 = 60 V
U k (∞ ) = I g ⋅ Z e (∞ ) = 10 ⋅ 10 −3 ⋅ 1 ⋅ 10 3 = 10 V Harmadik paraméterként célszerű p=0,5 értéket választani, mert ekkor a párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája egyszerűen számolható: R2 ⊗ (− j 2 ⋅ X C 0 ) = 5 ⊗ (− j 5) = 2 ,5 − j 2,5 kΩ Így az eredő impedancia értéke:
Z e (0,5) = 1 + 2,5 − j 2 ,5 = (3,5 − j 2,5) kΩ 2
A kapocsfeszültség: U k (0,5) = I g ⋅ Z e (0,5) = 10 ⋅ 10 −3 ⋅ (3,5 − j 2,5) ⋅ 10 3 = (35 − j 25) V A léptékhelyes feszültség-munkadiagram a 30. ábrán látható. V A feszültségléptéket válasszuk aU = 10 -re. cm V mVA Ha a P = 10 mA ⋅ 10 = 100 teljesítmény léptéket választunk, akkor a helygörbe cm cm teljesítmények leolvasására is közvetlenül használható. A maximális fázisszöget az origóból a helygörbéhez húzott érintő V Im Uk határozza meg. Ezt úgy szerkeszthetjük 30 meg, ha az OK szakaszra (az origó és a S kör középpontja közötti távolság) mint 20 átmérőre kört rajzolunk. Ez metszi ki a körön az érintési pontot (E pont). 10 0 Az érintő iránya alapján az eredő Re Uk p=∞ K fázisszög maximális értéke 45o. 0 10 p=0 0,5 A paraméter értékek meghatá-10 p-skála rozásához paraméter-skálát kell szer-20
E
keszteni. Mivel az E pont közel van a p=∞ ponthoz, ezért célszerű a sorozópontos szerkesztést választani. Ez alapján az E ponthoz tartozó paraméter értéke 1,2.
1,2 p=0,5 30. ábra
Tehát a kapacitás értéke: C = p ⋅ C 0 = 1,2 ⋅ 2 µF = 2,4 µF A teljesítmények meghatározásához szükséges léptéket már megadtuk. Az ábra alapján a teljesítmények: mW = 600 mW (p = 0) cm mvar = 2,5 cm ⋅ 100 = 250 mvar (p = 0,5) cm
mW = 100 mW (p = ∞) cm mvar = 0 cm ⋅ 100 = 0 mvar (p=0, ∞) cm
Pmax = 6 cm ⋅ 100
Pmin = 1 cm ⋅ 100
Qmax
Qmin
A meddő teljesítmény természetesen kapacitív jellegű, mert a kapocsfeszültség késik az eredő áramhoz képest (kapacitás van a körben!). A látszólagos teljesítmény maximális, ha a kapocsfeszültség értéke maximális, illetve minimális, ha a kapocsfeszültség értéke minimális: mVA = 600 mVA cm mVA = 1 cm ⋅ 100 = 100 mVA cm
S max = 6 cm ⋅ 100
(p = 0 esetén)
S min
(p = ∞ esetén).
3
3.4. A helygörbék alkalmazása
UR A megismert ábrázolási módszer nemcsak a kör eredő áramának (feszültség-generátoros táplálás esetén), illetve a kapocsfeszültségének (áramgenerátoros táplálás p·R0 esetén) megjelenítésére alkalmas, hanem az áramkör UL bármely elemének árama vagy feszültsége is ábrázolható Ug L hasonló módon. Az alábbiakban erre mutatunk be néhány alkalmazási példát. Vizsgáljuk meg a 31. ábrán látható egyszerű kapcsolásban az elemek feszültségeinek alakulását. 31. ábra Korábban felrajzoltuk a kapcsolás fázorábráját, és azt tapasztaltuk, hogy az egyes elemek feszültségeinek fázora egymásra merőleges, közös pontjuk egy félkörön mozog (l. a 11. ábrát!). Tehát a két mennyiség változását külön-külön helygörbében ábrázolva, mindkét esetben félkört kapunk (32. ábra). A 32a ábrán az ellenállás feszültségét ábrázoltuk, amely az árammal fázisban van, tehát késik Ug feszültséghez képest. A 32b ábrán az induktivitás feszültségének helygörbéje látható. Az induktivitás feszültsége 90o-kal siet az áramhoz képest (l. a 11. ábrát), ezért siet az Ug feszültséghez képest is.
Im U
Im U
Re U
Ug
UL(p) UL
UR
Re U
UR(p)
Ug
a)
b) 32. ábra
Példa: Az 31. ábrán látható kapcsolás esetén a generátor feszültsége és az induktivitás feszültsége között 30o fáziseltérés van. Határozzuk meg az induktivitás feszültségének időfüggvényét, valamint az ellenállás értékét is! Ug = 100 V
ω = 500 rad/s
Ro = 10 Ω
L = 10 mH
0≤p≤∞
Megoldás: A feladatot az induktivitás feszültségének ábrázolásával oldjuk meg. A léptékhelyes helygörbe meghatározásához számoljuk ki az induktivitás feszültségét a szokásos 3 pontban: Az induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: X L = ω ⋅ L = 500 ⋅ 10 ⋅ 10 −3 = 5 Ω . p=0 esetén az ellenállás rövidzárral helyettesíthető, tehát U L (0 ) = U g = 100 V . p=∝ esetén az ellenállás szakadással helyettesíthető, tehát U L (∞ ) = 0 V .
A harmadik pont legyen a p=0,5 paraméterű pont, mert ekkor egyszerűen számolhatunk: U L (0,5) == 100
j ⋅5 j j ⋅ (1 − j ) = 100 = 100 = (50 + j 50) V 10 ⋅ 0,5 + j ⋅ 5 1+ j 2
4
Az UL(p) léptékhelyes helygörbéje a 33. ábrán látható. A 300-os szög körző segítségével egyszerűen megszerkeszthető. A paraméter-skála a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, amelyről az adott ponthoz tartozó paraméter leolvasható (p=0,3). Ez alapján az ellenállás értéke:
R = p ⋅ R0 = 0,3 ⋅ 10 = 3 Ω .
A feszültségfázor hossza 8,7 cm, így a feszültség nagysága: U ( 0,3 ) = 10
V ⋅ 8,7 cm = 87 V , cm
π⎞ ⎛ u L ( t ) = 2 ⋅ 87 ⋅ sin⎜ 500t + ⎟ V . 6⎠ ⎝
tehát a keresett időfüggvény:
Im UL, V
0,5 p-skála
p=0,5 50
p=0,3 UL(p) UL(0,3)
Ug
30o
Re UL, V
0
50
100
33. ábra
Ha a generátor feszültségét (Ug) változtatjuk, akkor ezzel arányosan fog változni az induktivitás feszültsége is (lineáris hálózat). Ilyenkor egyszerű aránypár felírásával meghatározhatjuk az új generátor-feszültséghez tartozó értéket. Ha nem közvetlenül az induktivitás feszültségét ábrázoljuk, hanem két feszültség U arányát – az L arányt -, akkor a helygörbéből leolvasott értéket a generátor feszültségével Ug megszorozva kapjuk meg az induktivitás feszültségét. Az így származtatott helygörbe csak a hálózat jellemzőitől függ, a hálózat viselkedése ezzel egyértelműen jellemző. A következő példában ennek az alkalmazását mutatjuk be. Példa: A 34. ábrán látható áramkör jellemzői: R = 100 Ω C = 10 µF L0 = 0,1 H
ω = 1000 rad/s
0≤p≤∞
Hogyan alakul a bejelölt U2 feszültség értéke, ha az induktivitás változik? Milyen paraméter esetén lesz maximális az U2 feszültség?
5
Megoldás: Írjuk fel a feszültségosztó képletet:
U 2 ( p) = U 1 ⋅
jω ⋅ pL0 + R
1 + jω ⋅ pL0 + R jω C Ha képezzük a két feszültség arányát, akkor a feszültségosztó képlet tört kifejezés részét kapjuk. Ebben csak az áramkör jellemzői szerepelnek, tehát alkalmas az áramkör viselkedésének a leírására. A két feszültség arányát feszültségátviteli tényezőnek nevezzük: U GU = 2 U1 Ha az áramkör valamely elemének értéke változik, akkor C a kifejezés megadja, hogy a paraméter változásának hatására p·L0 hogyan változik a két feszültség aránya, azaz a kimeneti jelnek U1 U2 tekinthető U2 feszültség jellemzői. Ezért ezt a függvényt feszültségátviteli függvénynek nevezzük. A fentebb felírt R feszültségosztó képletből egyszerűen kifejezhető: jω ⋅ pL0 + R U ( p) . = GU ( p) = 2 1 U1 34. ábra + jω ⋅ pL0 + R jω C Határozzuk meg a reaktanciák értékét, és írjuk fel a kifejezést numerikus alakban. Az energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 1 1 X L 0 = ω ⋅ L0 = 1000 ⋅ 0,1 = 100 Ω XC = = = 100 Ω ω ⋅ C 1000 ⋅ 10 ⋅ 10 −6 Az adatokat behelyettesítve a felírt összefüggésbe: jω ⋅ pL0 + R j100 ⋅ p + 100 1+ j ⋅ p = = GU ( p ) = 1 − j100 + j100 ⋅ p + 100 1 − j + j ⋅ p + jω ⋅ pL0 + R jω C A függvény értéke a három szokásos paraméter (p=0, 1, ∞) esetén: 1 1 1 GU (0) = = + j GU (1) = 1 + j GU (∞) = 1 1− j 2 2 Ez alapján megrajzolható a helygörbe, melynek érintője a valós tengely (35. ábra).
Az ábrából megállapíthatjuk, hogy a függvény értéke 1-nél nagyobb is lehet, azaz a kimeneten fellépő feszültség nagyobb az áramkör bemenetére kapcsolt feszültségnél. Ennek legnagyobb értékét a körnek a koordináta-rendszer középpontjától legtávolabbi pontja határozza meg. Ez az origóból a kör középpontján keresztül haladó fázor hosszával egyezik meg. Az ábra alapján U 2 max ≈ 1,6 ⋅ U 1 . A paraméter értékének maghatározásához paraméter-skálát kell rajzolni. A vizsgált pont helyzetéből megállapíthatjuk, hogy most nincs szükség sorozópontos szerkesztésre. A p=∞ paraméterű pontba húzható érintő a valós tengellyel párhuzamos, tehát ilyen helyzetű egyenest kell kijelölni paraméter-egyenesnek. Válasszuk a kör középpontján (K) áthaladó egyenest, mert ekkor a lépték egyszerűen elkészíthető, illetve használható. A skála 0 és 1 pontja közötti távolság a kör sugarával egyezik meg, amiből a p=2 paraméterű skálapont helye is azonnal adódik. A p=∞ paraméterű pontból Gmax végpontjához húzott segédegyenes a paraméter-skálát a p=1,6 pontban metszi, tehát ez a keresett paraméter-érték.
6
Feladat: Szerkesztéssel határozzuk meg a fázisszög maximális értékét! Mekkora az induktivitás értéke illetve a két feszültség aránya ebben az esetben? (Az OK szakasz fölé rajzolt félkörnek a helygörbével képzett metszéspontja jelöli ki a keresett pont helyét. ) (ϕmax = 53,1o, L = 50 mH, G = 1) Im G
A helygörbe jellege a fázorábra alapján egyszerűen értelmezhető (36. ábra). Nagyobb paraméter értékeknél (amikor UL > az RL elemek UC) feszültségének eredője (U2) nagyobb mint a három elem eredő feszültsége (U1), mert UL és UC ellenfázisúak (36a ábra). Ebből következik, hogy a két feszültség aránya (G) nagyobb 1-nél (l. a helygörbét). A fázisszög pozitív, mert U2 siet U1-hez képest.
p=1
1
p=1,6 Gmax
p=0
0,5
p-skála
K
0
1
1,6
ϕ 0
2
Re G 0,5
1,5
p=∞ 35. ábra
Ha p=0, akkor UL=0, az U2 feszültség megegyezik az ellenálláson fellépő feszültséggel (36b ábra). Az U1 feszültség a két elem eredő feszültsége, tehát nagyobb U2-nél, így G értéke kisebb 1-nél (l. a helygörbe p=0 pontját). A fázisszög most is pozitív, és értéke 45o, mivel a két elem értéke azonos (R=XC), tehát feszültségeik nagysága is azonos (UR=UC). I
UL U1
U2
ϕ
UC
U2 = UR
UR
U1
ϕ UC
UC UL
UC
a)
b) 36. ábra
Ellenőrző kérdések:
1./ Mi a feszültség-munkadiagram? 2./ Milyen léptékválasztás esetén alkalmas a feszültség-munkadiagram teljesítmények meghatározására is? 3./ Hogyan szerkeszthető paraméter-skála a helygörbéhez? 4./ Milyen jellemzők ábrázolhatók a komplex síkon helygörbékkel? 5./ Mi a feszültségátviteli függvény? 6./ Miért alkalmas a feszültségátviteli függvény a hálózat viselkedésének leírására? 7./ Milyen kapcsolat van a helygörbe és a fázorábrák között? 7
3.5. Az egyenes és a kör egyenlete
Eddigi vizsgálataink alapján megállapíthatjuk, hogy a helygörbe egyszerűen meghatározható és kiértékelhető, ha egyenes vagy kör. A felírt függvényből egyértelműen következtethetünk a helygörbe jellegére. Az alábbiakban röviden foglaljuk össze az ehhez kapcsolódó matematikai ismereteket.
Im
a)
b
p=0
Im b)
p=∞
(p=∞)
a +b
a
A komplex számsíkon az egyenes egyenletét
p=1
Re
p=0
(p=∞)
a
Re
az a +b ⋅ p kifejezés adja meg (37a ábra), ahol az a vektor jelöli ki az egyenes p=0 paraméterhez tartozó pontját, míg a b vektor az egyenes irányát adja meg. A fenti kifejezés reciproka 1 , a +b ⋅ p ami az origón átmenő kör (37b ábra) egyenlete, mert a p=∞ esetén a kifejezés értéke 0. Az általános helyzetű kör (37c ábra) egyenlete az
a +b ⋅ p c +d ⋅p
1/ a p=0
elsőfokú racionális törtfüggvénnyel adható meg. Ez egyszerűen belátható, ha a tört által kijelölt osztási műveletet elvégezzük: 1 a +b ⋅ p b . = +M ⋅ c +d ⋅p d c +d ⋅p
p=1
Im c)
p=0
v (1) p=∞
v (0) v (∞)
37. ábra
Re
Az M az osztás maradéka, értéke a komplex együtthatókból meghatározható: b M = a −c ⋅ . d Ez egy komplex szám, amely a kört nagyítja vagy kicsinyíti, illetve elforgatja.
b komplex szám eltolja az origón átmenő kört, így adódik az általános helyzetű kör. d Tehát origón átmenő kör adódik, ha a = 0 vagy b = 0 : ha a = 0 , a kör átmegy az origón, és p=0 paraméterű pontja van az origóban; na b = 0 , a kör átmegy az origón, és p=∞ paraméterű pontja van az origóban; míg egyenest kapunk c = 0 vagy d = 0 esetén. ha c = 0 , az egyenesnek 1/p szerint lineáris a paraméter-skálája, és a p=0 paraméterhez tartozó pontja tart a végtelenbe. ha d = 0 , az egyenesnek p szerint lineáris a paraméter-skálája, és a p=∝ paraméterhez tartozó pontja tart a végtelenbe. Közismert, hogy a kör 3 pontja ismeretében mindig megrajzolható. Ez a három pont lehet (l. a 38c ábrát): b a +b a p=∞ esetén: v (∞) = ; p=1 esetén: v (1) = . p=0 esetén: v (0) = ; c d c +d A
8
3.6. Frekvencia-diagramok
A váltakozó áramú körökben található energiatároló elemek (tekercs, kondenzátor) ellenállása változik, ha a generátor feszültségének nagysága állandó, de a frekvenciáját változtatjuk. Amint ezt már a korábbiakban megismertük: 1 1 X L = ω ⋅ L = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L illetve X C = = . ω ⋅ C 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C Ebből következik, hogy az induktivitás és a kapacitás reaktanciájának változása miatt az egyes elemek árama, feszültsége is változik, ha a gerjesztő jel frekvenciája változik. Az áramkör jellemzői a rákapcsolt jel frekvenciájától függenek, ha az áramkör energiatároló elemet (tekercs vagy kondenzátor) is tartalmaz. A frekvencia-diagramok olyan helygörbék, amelyeknél a komplex függvény valós független változója a frekvencia (körfrekvencia). A továbbiakban az ω körfrekvenciát tekintjük változónak. 3.6.1. A frekvencia-munkadiagram
Vizsgáljuk meg a 38. ábrán látható kapcsolást, ahol UL a változó ellenállású elem - a körfrekvencia változása miatt – az induktivitás lesz. Írjuk fel a kör áramának függvényét: L U I (ω ) = UR U(ω) R R + jω ⋅ L Ennek a fázornak a végpontja is egy I félkörön mozog. Ábrázolása az ω=0 és ω=∞ pontok alapján elvégezhető: 38. ábra U I (0) = illetve I (∞) = 0 . R A harmadik pont az ω-skála megrajzolásához szükséges. Ehhez tulajdonképpen egy tetszőlegesen felvett körfrekvenciához tartozó pont is megfelelő lenne. Mégis célszerű olyan körfrekvencia értéket választani, hogy az áram értékének meghatározása egyszerűen elvégezhető legyen. Ehhez alakítsuk át a kifejezést: 1 1 U U U I (ω ) = = ⋅ = ⋅ ω L R R + jω ⋅ L R 1 + jω ⋅ 1+ j R ω0 R Im I ahol ω 0 = az áramkör elemeinek Re I U L ω=∝ ismeretében meghatározható. ω=0 Ha az ω=ω0 körfrekvenciát választjuk, akkor a tört I(ω) nevezője (1+j), tehát a gyöktelenítés egyszerűen elvégezhető. A függvény értéke ebben a pontban: 1 1 1⎞ U U U ⎛1 = ⋅ = ⋅⎜ − j ⎟ I ( ω 0 ) == ⋅ ω=ω0 ω 2⎠ R R 1+ j R ⎝ 2 1+ j 0
ω0
39. ábra
A három ismert pont alapján a diagram megrajzolható (39. ábra). Ezeket a diagramokat frekvencia-munkadiagramoknak nevezzük, mivel itt a paraméter a frekvencia (körfrekvencia). A diagram alkalmazása ugyanúgy történik, mint azt korábban már bemutattuk. 9
Példa: Ábrázoljuk a 40. ábrán látható áramkör léptékhelyes frekvencia-munkadiagramját! U = 100 V L = 50 mH R2 = 20 Ω R1 = 50 Ω U(ω) Határozzuk meg a generátor frekvenciáját, az eredő teljesítménytényező (cosϕ) és az eredő hatásos teljesítmény értékét, ha az eredő áram értéke 6 A.
L
Ie
IRL I1
R1
R2
40. ábra
Megoldás: A keresett eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: I e (ω ) = I 1 + I RL (ω ) U 100 V = = 2A R1 50 Ω A másik ág áramát három körfrekvencia esetén kell meghatározni. Ebből ω=0 és ω=∝ esetén mindig számolunk:
Az R1 ellenállás árama nem változik:
I1 =
U U 100 V alapján az áramok: I RL (0 ) = = = 5 A illetve I RL (∞ ) = 0 A . 20 Ω R 2 + jω L R2 A harmadik pont körfrekvenciáját a fent leírtak szerint választjuk meg: R U 1 U ⎛1 1⎞ 20 rad I ( ω 0 ) == = 400 ⋅ = ⋅ ⎜ − j ⎟ = (2 ,5 − j 2 ,5) A ahol ω 0 = 2 = R2 1 + j R2 ⎝ 2 2⎠ L 0,05 s Az eredő áram értéke az egyes körfrekvenciákon: I e (0) = I1 + I RL ( 0 ) = 7 A I e (∞ ) = I1 + I RL ( ∞ ) = 2 A I RL (ω ) =
I e (400) = I1 + I RL ( 400 ) = 2 + (2,5 − j 2,5) = ( 4 ,5 - j2,5) A Az áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk. A A VA Tehát legyen a I = 1 = 100 , amihez a teljesítmény lépték a P = 100 V ⋅ 1 . cm cm cm Ekkor az áramok és teljesítmények leolvasásához ugyanazt a helygörbét használhatjuk. A három pont alapján a léptékhelyes ábra a komplex síkon megrajzolható (41. ábra). A helygörbe egy valós tengelyen nyugvó félkör. A 6 A eredő áramnak megfelelő pontot az origóból rajzolt 6 cm sugarú körívvel jelölhetjük ki. Az ω-skálát a képzetes tengellyel párhuzamos egyenesen az ω=0 és az ω=400 rad/s pontok alapján jelölhetjük ki. Az ω=∝ paraméterű helygörbe pontot a bejelölt áramfázor végpontjával összekötő egyenes metszi ki az ω-skálán a keresett körfrekvenciának megfelelő pontot: ω 252 2 ,9 cm rad rad , tehát a frekvencia: f = = = 40 Hz . ω= ⋅ 400 = 252 2π 2π 4 ,6 cm s s A teljesítménytényező meghatározásához cosϕ-skálát rajzoltunk, ami egy 5 cm sugarú, origó középpontú körív. Ennek a bejelölt áramfázorral képzett metszéspontját kell a valós tengelyre vetíteni (4,6 cm). Mivel az egységnek 5 cm felel meg, a keresett teljesítménytényező: 4,6 cm cos ϕ = = 0 ,92 . 5 cm Az eredő hatásos teljesítmény értékét a bejelölt áramfázornak a valós tengelyre vett vetülete W határozza meg: Pe = 5,5 cm ⋅ 100 = 550 W cm 10
Im I, A
ω-skála
2 1 2 ω=∝
0
U
4
6
0
8 Re I, A ω=0
-1
I
-2
250
ω=400
-3 cosϕ
6A
400
41. ábra
Vizsgáljuk meg, hogy milyen helygörbét kapunk, ha két energiatároló elem van az áramkörben. Példa: Határozzuk meg a 42. ábrán látható áramkör eredő áramának értékét, ha a generátor frekvenciája változik. U = 100 V R = 20 Ω Ug C = 50 µF L = 40 mH
Ie
R
IC
C
IRL
L
Megoldás: 42. ábra Ezt a kapcsolást korábban már vizsgáltuk (l. a 21. ábrát), de akkor a körfrekvencia értéke állandó volt, és az induktivitás értéke változott. Most mindkét ág árama változik, mert mindkét 5 ágban található energiatároló elem, amelyek Im I, A reaktanciája a gerjesztés frekvenciájától 4 függ. Tehát az egyes ágak árama: 3 I C (ω ) = jωC ⋅ U g illetve Ie
2
IC
I RL (ω ) =
. R + jω L Eddigi vizsgálataink alapján nyilvánvaló, hogy az első összefüggés egy egyenes, a második pedig egy kör egyenlete (l. a 3.5. pontban), amelyek a már megismert módon külön-külön ábrázolhatók. Az áramkör eredő árama a két ág áramának összege:
1
ω=ωf
ω=0
•
ω=0
0 1
IRL
2 3
1
0
1
2
43. ábra
3
4
5
Ug
6
Re I, A 11
I e (ω ) = I C (ω ) + I RL (ω ) = jωCU g +
Ug R + jω L
Közös nevezőre hozva és rendezve: 1 + jωCR − ω 2 LC I e (ω ) = U g ⋅ R + jω L a + b ⋅ω függvényalaktól eltérő, hiszen a tört számlálójában másodfokú c + d ⋅ω kifejezés lépett fel, tehát nem lehet kör a helygörbéje.
Ez az általános
Ennek szemléltetésére az egyes áramok illetve az eredő áram léptékhelyes hely-görbéjét a 43. ábrán felrajzoltuk (ωf a fázis-rezonancia körfrekvencia). Ellenőrző kérdések:
1./ Hogyan változik az energiatároló elemek reaktanciája a frekvencia függvényében? 2./ Mi a frekvencia-munkadiagram? 3./ Milyen mennyiséget használunk paraméterként? 4./ Hogyan célszerű kiválasztani az ábrázoláshoz szükséges harmadik pontot? 5./ Milyen helygörbe adódik két különböző típusú energiatároló elemek tartalmazó körnél? 3.6.2. Az amplitúdó-fázis diagram (Nyquist-diagram)
Eddig többnyire különböző fizikai mennyiségek (impedancia, admittancia, áram, feszültség) ábrázolásnak lehetőségeit, jellemzőit vizsgáltuk. Ugyanakkor láttuk, hogy minden olyan mennyiség ábrázolható ezen a módon, amely komplex számmal jellemezhető (nagysága és fázisszöge jellemzi). Tehát két azonos jellegű mennyiség (pl. feszültség) aránya is vizsgálható a fenti módszerrel (l. a 3.4. pontban). Ezekre jellemző, hogy lineáris áramkörök esetén (jelenleg csak ilyeneket vizsgálunk) a gerjesztés értékétől független, csak az áramkör jellemzőit tartalmazó kifejezéseket jelentenek, így alkalmasak az adott áramkör jellemzésére. Az előzőekben (3.4. pont) valamely elem értékének változásakor létrejövő jelenségekkel foglalkoztunk. Most azt vizsgáljuk meg, hogy a gerjesztés frekvenciájának változásakor hogyan alakulnak ezek a jellemzők, tehát az áramkör frekvenciafüggő viselkedésének jellemzőit határozzuk meg. Határozzuk meg a 44. ábrán látható soros RC-kör R esetén a kapacitás kapcsain fellépő feszültség értékét, ha a U1 C U2 rákapcsolt feszültség nagysága (amplitúdója) állandó, de a frekvenciáját változtatjuk. A vizsgált áramkörnek négy kitüntetett pontja (pólusa) van. Két pontjára kapcsoljuk a vizsgáló U1 feszültséget 44. ábra (bemeneti kapocspár), míg másik két pontja (a kondenzátor kapcsai, tehát a kimeneti kapocspár) között mérhető U2 feszültséget vizsgáljuk. Az ilyen elrendezést kétpóluspárnak nevezzük. A kimeneten és a bemeneten fellépő feszültségek nagyságban és fázisban is U Gu = 2 különbözhetnek, ezért a két feszültség aránya U1 komplex mennyiség, amit feszültségátviteli tényezőnek nevezünk. Ha U1 = 1 V és ϕ1=0, akkor Gu = U 2 , tehát a feszültségátviteli tényező a kétpóluspár bemenetére kapcsolt egységnyi nagyságú, adott frekvenciájú, nulla fázishelyzetű feszültség hatására fellépő kimeneti feszültség jellemzőit adja meg. Természetesen a fogalom általánosítható: egy tetszőleges 12
áramkör bármely két – tetszőlegesen kijelölt - pontja között fellépő feszültséget tekinthetjük kimeneti feszültségnek. Írjuk fel a feszültségosztó képletet a 44. ábrán látható elrendezésre: 1 1 jω ⋅ C U 2 = U1 ⋅ = U1 ⋅ 1 1 + jω ⋅ C ⋅ R R+ jω ⋅ C U2 1 = U 1 1 + jω ⋅ C ⋅ R olyan függvényt kapunk, amelynek változója az ω valós paraméter. A felírt kifejezés megadja, hogy a kondenzátoron fellépő feszültség és az áramkör bemenetére kapcsolt feszültség – a körfrekvencia függvényében - hogyan aránylik egymáshoz. A jobb oldalon látható kifejezés csak az áramkör elemeinek értékétől (R, C) és a rákapcsolt feszültség frekvenciájától függ. Így alkalmas az áramkör frekvenciafüggő viselkedésének jellemzésére, amit feszültségátviteli függvénynek nevezzük. (Mivel a kétpóluspár kimenetén nincs terhelés, ezért üresjárási feszültségátviteli függvény.) Ezt behelyettesítve az előző kifejezésbe:
GU (ω ) =
Az átviteli függvény frekvenciafüggését a komplex számsíkon ábrázoló helygörbét Nyquistdiagramnak nevezzük (e. nájkviszt). A helygörbe ábrázolásakor a munkadiagramoknál már megismert módon járunk el. Az ω=0 és ω=∞ paraméterek esetén a kifejezés értéke egyszerűen meghatározható: GU ( 0 ) == 1 illetve GU ( ∞ ) = 0 . A harmadik pont meghatározásához Im G most is olyan körfrekvenciát kell 1 Re G választanunk, hogy az ábrázolás és 0,5 0 az ω-skála elkészítése egyszerűen ω=∝ ϕ ω=0 elvégezhető legyen. Vegyük észre, hogy a jωCR kifejezés G dimenziója is 1, tehát az CR szorzat a körfrekvencia reciprokát jelenti. 1 1 GU(ω) GU (ω ) = = ω 1 + jω ⋅ C ⋅ R 1+ j -0,5 ω 0
ω=ω0
A fentiek alapján a harmadik pont45. ábra hoz tartozó körfrekvencia legyen: 1 1 ω0 = . Ekkor a függvény pontos értéke: GU (ω 0 ) = = 0,5 − j ⋅ 0,5 1+ j C⋅R A három pont alapján a helygörbét (félkör) már megrajzolhatjuk (45. ábra). Példa: Rajzoljuk meg a 46.ábrán megadott kétpóluspár léptékhelyes Nyquist-diagramját! R1 = 400 Ω R2 = 100 Ω L = 100 mH Mekkora frekvencián lesz a kimeneten fellépő feszültség a rákapcsolt feszültség fele, és mennyi ekkor a fázistolás értéke? Megoldás: 13
Írjuk fel a függvényt paraméteres alakban: R 2 + jω ⋅ L GU ( jω ) = R1 + R2 + jω ⋅ L Ez a komplex síkon egy kör egyenlete (l. a 3.5. pontban). Mivel fizikai jelentése csak az ω ≥ 0 paramétereknek van, R1 ezért egy félkört kapunk. Ennek ábrázolásához három L pontját kell ismernünk. Ehhez két pont nyilvánvalóan U2 U 1 adódik: 100 + j 0 ⋅ 0,1 100 R2 GU (0) = = = 0,2 illetve 400 + 100 + j 0 ⋅ 0,1 500 GU ( ∞ ) = 1 . 46. ábra A harmadik pontot (körfrekvenciát) úgy célszerű megválasztani, hogy a kifejezés értéke egyszerűen számolható legyen, ami ω·0,1 = 500 alapján ω = 5000 r/s. 100 + j 5000 ⋅ 0,1 100 + j 500 0,2 + j 0,2 + j − j 0,2 + 1 GU (5000) = = = = = 0,6 + j 0,4 500 + j 5000 ⋅ 0,1 500 + j 500 1+ j 2 A másik lehetőség során a kifejezés paraméteres alakját rendezzük úgy, hogy a célszerűen választható körfrekvencia értéke könnyen meghatározható legyen: L 1 + jω R2 R 2 + jω ⋅ L R2 GU ( jω ) = = ⋅ L R1 + R2 + jω ⋅ L R1 + R2 1 + jω R1 + R2
Im G
ω-skála 5000
0,5
ω=5·103 2600
G ω=0 0
ϕ
ω=∝
0 1
0,5 47. ábra −3
1+ j
ω
1 + jω ⋅ 10 1000 , = 0 ,2 ⋅ −4 ω 1 + jω ⋅ 2 ⋅ 10 1+ j 5000 ami alapján nyivánvaló, hogy ω=5000 rad/s a célszerű behelyettesítési érték.
A behelyettesítések után:
GU ( jω ) = 0 ,2 ⋅
14
Re G
A léptékhelyes diagramot az 47.ábrán rajzoltuk meg a munkadiagramoknál már megismert szabályok alapján. Adott U1 feszültség esetén az U2 feszültség értékét az U2=G·U1 összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol G az adott pont távolsága az origótól. Jelen esetben a két feszültség arányát ismerjük, tehát G = 0,5 sugárral kell kört rajzolnunk origó középponttal: a helygörbe és a körív metszéspontja adja meg a keresett pontot. Az ehhez tartozó körfrekvencia az ω-skála alapján: ω = frekvencia
f =
0,3 rad , illetve a ⋅ 5000 ≈ 2600 0,57 s
ω 2600 = = 414 Hz . 2π 2π
A fáziseltérést az adott pont vetületeiből kapjuk meg pl. a tangens szögfüggvény alkalmazá0 ,33 sával: ϕ = arc tg = 41,3 fok = 0 ,72 rad . 0 ,375 Példa: Határozzuk meg a 48.ábrán látható hídkapcsolás léptékhelyes Nyqiust-diagramját! R = 1 kΩ
UR
C = 1 µF
Megoldás: Az U2 feszültség meghatározásához írjuk fel az ellenállás és a kondenzátor feszültségét: R 1 U R ( jω ) = U 1 ⋅ = U1 ⋅ illetve R+R 2 1 1 jω C U C ( jω ) = U 1 ⋅ = U1 ⋅ 1 1 + jω ⋅ CR R+ jω ⋅ CR
R U2
R
R UC
U1
C
48. ábra
⎛1 ⎞ 1 ⎟⎟ U 2 = U R − U C = U 1 ⋅ ⎜⎜ − ⎝ 2 1 + jω ⋅ CR ⎠ Közös nevezőre hozva, és az átviteli függvényt kifejezve: U 1 − 1 + jω ⋅ CR GU ( jω ) = 2 = ⋅ U 1 2 1 + jω ⋅ CR U2 +UC −UR = 0
amiből
Az utóbbi kifejezés kapcsán szeretnénk felhívni a figyelmet arra, hogy a függvény argumentumában az ’ω’ helyett ’jω’ szerepel. Természetesen a függvény független változója továbbra is valós mennyiség (az ω körfrekvencia), de a kifejezés felírásakor és rendezésekor az energiatároló elemek leírására használt jωL illetve jωC mennyiségekben szereplő jω 1 kifejezést nem írunk fel!). Ennek hangsúszorzótényezőket nem választjuk szét (pl. − j ωC lyozására vezetjük be ezt a jelölést. (Mélyebb értelmezésére később, a Bode-diagramok kapcsán – Laplace-operátoros alak - térünk majd vissza) A helygörbe meghatározásához két pont nyilvánvalóan adódik: 1 − 1 + j 0 ⋅ CR 1 1 GU (0) = ⋅ illetve =− GU ( ∞ ) = . 2 1 + j 0 ⋅ CR 2 2 -3 A harmadik ponthoz tartozó körfrekvencia CR = 10 alapján: ω = 1000 rad/s. 15
GU (1000) =
1 − 1 + j1000 ⋅ 10 −3 1 − 1 + j 1 ⋅ = ⋅ = j −3 2 1 + j1000 ⋅ 10 2 1+ j 2
Im G 0,5 ω=1000
G ϕ
ω=0
ω=∝
0
-0,5
0,5
Re G
49. ábra
Az így adódó görbe egy origó középpontú, 0,5 egység sugarú kör, tehát a kimeneten – a frekvenciától függetlenül - mindig ugyanakkora feszültség jelenik meg (49. ábra). A frekvencia változásának hatására csak a két feszültség közötti fáziseltérés változik, ezért ezt a kapcsolást fázistoló kapcsolásnak is nevezzük. Vizsgáljuk meg itt is, hogy két energiatároló elemet tartalmazó áramköröknél hogyan használható az ábrázolási módszer (50. ábra). Írjuk fel a feszültségosztó képlet alkalmazásával: GU ( jω ) =
U2 = U1
1 jω C R + jω L +
R
1 jωC
L
U1
U2
C
A jωC-vel történő bővítés után a 0.1
ω=∝
11.ábra ábra 50.
ω=0
GU ( jω ) =
0.1
Im GU 0.3 0.5 0.7
0.2
0
0.2
0.4
Re GU
0.6
0.8
1
1
1 + jωCR + ( jω ) LC 2
kifejezést kapjuk, amelynek nevezőjében másodfokú kifejezés található. Tehát ebben az esetben sem ábrázolható a függvény a 3 pontos módszerrel, hiszen a helygörbe nem lehet kör. Adott RLC értékek esetén létrejövő helygörbe látható az 51. ábrán.
51. ábra
A komplex síkon történő ábrázolásnál 16
a két jellemző (az áram nagysága és a fáziseltérés mértéke) egyetlen diagramban ábrázolható, illetve abból leolvasható. Ez az ábrázolási módszer - a G ( jω ) ábrázolása a komplex síkon nagyobb körfrekvenciák esetén már pontatlan, mert 1./ a körfrekvencia növekedésével a pontok egyre sűrűbben helyezkednek el a félkörön, tehát az adott körfrekvenciához tartozó pont megkeresése egyre nehezebb 2./ G értéke egyre kisebb lesz (tart a nullához), tehát a leolvasás egyre pontatlanabb. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a bemutatott ábrázolási módszer csak akkor a + b ⋅ω használható célszerűen, ha az átviteli függvény alakú, tehát ω-ra nézve elsőfokú c + d ⋅ω kifejezés szerepel a tört számlálójában és nevezőjében is. Ilyenkor a helygörbe egyenes vagy kör, 3 pontja alapján ábrázolható. Több energiatároló elemet tartalmazó, bonyolultabb hálózatok esetén (pl. összetett szabályozási körök) általában magasabb fokszámú kifejezések is fellépnek, vagy elsőfokú kifejezések többszörös szorzata léphet fel. Ezekben az esetekben más ábrázolási, vizsgálati módszert kell keresnünk. Ellenőrző kérdések:
1./ Mi értünk feszültségátviteli tényező alatt? 2./ Mi a feszültségátviteli függvény? 3./ Mit értünk Nyquist-diagram alatt? 4./ Miért alkalmas az áramkör frekvenciafüggő viselkedésének jellemzésére? 5./ Hogyan célszerű kiválasztani az ábrázolásához szükséges harmadik pontot? 6./ Hogyan írható fel a feszültségátviteli függvény hídkapcsolás esetén? 7./ Mit értünk fázistoló kapcsolás alatt, és hogyan jellemezhető az átviteli függvénye? 8./ Milyen esetekben nem célszerű a Nyquist-diagram használata? 3.7. Tájékoztató jellegű vizsgakérdések (alapfogalmi kérdések)
•
Rajzolja meg az ábrán látható kapcsolás eredő impedancia és admittancia diagramját (0 ≤ p ≤ ∞)! Jelölje be az ábrába a p = 0; 1 és ∞ paraméterű pontokat!
U
C
p·R0
R0 = 10 Ω XC = 10 Ω
•
U
p·L0
R
XL0 = 10 Ω R = 10 Ω
U
L
p·R0
XL = 10 Ω R0 = 10 Ω
Írja fel az alábbi ábrán látható kétpóluspárok komplex (feszültség) átviteli karakterisztikáját!
17
R
U1
C = 1 µF
R = 2 kΩ
U2
R = 1 kΩ
R
L = 10 mH
R L
R = 25 Ω
U1
U2
L = 10 mH
R U1
R
L L
R = 10 Ω
C
C = 1 µF
R
U1
•
U1
U2
C
R = 10 Ω
R
R
U2
U1
L = 25 mH
U2
C
R = 1 kΩ
U2
C = 1 µF
Rajzolja meg a fenti ábrán látható kétpóluspárokra az átviteli karakterisztika frekvenciahelygörbéjét a komplex számsíkon! Jelölje be az ábrába az ω=0; 1000 rad/s; és a ∞ paraméterű pontokat!
18
