3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efin ována log aritmická fu nkce (logaritmu s) a jaké má zá kladní vlastnosti;
•
důležité vzorce pro práci s logaritmicko u funk cí;
•
co znamená logaritmovat a odlogaritmo vat vý raz.
Klíčová slova této kapitoly: logaritmická funkce, logaritmus, přirozený, dekadický a binární logaritmus, logaritmování a odlogarimování výrazu.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Logaritmická funkce. Definice. Logaritmickou funkcí (zkráceně logaritmem) při základu a nazýváme funkci inverzní k funkci exponenciální. Zapisujeme: y = log a x ⇔ x = a y . Poznámka. a) Nyní je jasné, proč jsme v definici exponenciály vyloučili případ a = 1 . Funkce 1x není prostá a neexistuje k ní tedy funkce inverzní. b) Slovně řečeno: „logaritmem čísla x při základu a je takové číslo y, pro které platí, že x se rovná a na y“. c) Ve dvou případech se zavádí speciální pojmenování a označení. Pro základ a = 10 mluvíme o „desítkovém (dekadickém) logaritmu“ a píšeme prostě log x , tzn. vynecháváme index 10. Pro základ e (Eulerovo číslo) mluvíme o „přirozeném logaritmu“ (logaritmus naturalis) a píšeme ln x . V praxi je významný také logaritmus o základu a = 2 , který nazýváme dvojkový (binární); nemá zvláštní označení. Základní vlastnosti logaritmické funkce. Věta. Logaritmická funkce je definována pouze pro kladná x, je prostá, pro a > 1 rostoucí, pro 0 < a < 1 klesající, neomezená zdola ani shora, graf prochází body [1, 0], [a, 1]. Graf logaritmické funkce. Graf logaritmické funkce pro základ větší i menší než jedna je na obrázku ( a = 2 ). Také jeho tvar je nutné si dokonale zapamatovat.
Věta. Pro každé x > 0 , y > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < b ≠ 1 , k ∈ R platí: a loga x = x , log a a = 1 , log a 1 = 0 , log a xy = log a x + log a y (logaritmus součinu je roven součtu logaritmů), log a xy = log a x − log a y
(logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů, speciálně log a 1x = − log x ), log a x k = k log a x (logaritmus k -té mocniny je roven k -násobku logaritmu), log b x =
log a x log a b
(převod logaritmu na jiný základ, speciálně log 1a x = − log a x ). Poznámka. Pozor! Obecně neplatí žádná obdobná věta o součinu, podílu nebo mocnině logaritmů, tzn. že součin, podíl nebo mocninu logaritmů nemůžeme obecně nijak výhodně upravit. Pouze podíl logaritmů o stejném základu se podle posledního vzorce dá převést na jediný logaritmus o jiném základu, ale taková úprava nebývá v praxi vhodná. Logaritmování a odlogaritmování výrazu. Definice. Logaritmovat (méně přesně zlogaritmovat) výraz znamená vyjádřit jeho logaritmus pomocí logaritmů jednodušších výrazů, příp. proměnných. Používá se přitom zejména vět o logaritmu součinu, podílu a mocniny. Definice. Odlogaritmovat výraz znamená vyjádřit výraz, jehož logaritmus je znám a je zapsán zpravidla pomocí logaritmů jednodušších výrazů, příp. proměnných. Používá se opět vět o logaritmu součinu, podílu a mocniny, tentokrát ale v obráceném směru.
Shrnutí kapitoly: Logaritmickou funkcí, zkráceně logaritmem, nazýváme funkci inverzní k funkci exponenciální. Z této definice plynou její vlastnosti. Logaritmická funkce je definována pouze pro kladné argumenty, oborem hodnot je celá množina reálných čísel. Základ a může nabývat libovolných kladných hodnot kromě hodnoty a = 1 . Pro základ větší než 1 je funkcí rostoucí, pro základ menší než jedna klesající. Graf prochází body [1,0] a [a,1] a je třeba jeho tvar znát zpaměti. Pro práci s logaritmy platí několik důležitých vzorců, z nichž nejvýznamější říká, že logaritmus součinu (podílu) je roven součtu (rozdílu) logaritmů. I tyto vzorce je nutné znát zpaměti. Logaritmovat výraz znamená aplikovat na tento výraz logaritmickou funkci a vzniklý výraz podle vzorců pro práci s logaritmy vyjádřit pomocí logaritmů jednodušších výrazů. Odlogaritmování výrazu znamená proces inverzní k logaritmování.
Otázky: •
Jak je defin ována logaritmick á fun kce? Nap ište defin ici matemat ick y.
•
Jaké základní vlastnosti má loga ritmická funkce? Jaký má defini ční obor a obor hod not? Jak je to s její monotónno stí?
•
Jakých hod not mů že nabývat základ lo garitmu? Pro č v ylučujeme ho dn otu 1?
•
Načrtněte zpaměti graf logaritmické funkce pro základ a = 3 a a = 1 . Jakými
2
význačnými body tyto grafy musí p ro cházet? •
Napište zpaměti zák ladní v zo rce p ro p ráci s lo g aritmy, zejména vzorec pro logaritmu s součin u, po dílu, mo cnin y a p ro přev od log aritmu na j iný základ .
Řešený příklad 1. Logaritmujte při základu 10 výraz V =
106 ⋅ x 5 ⋅ y 3
( z − x)
3
.
Řešení. Aplikujeme operaci „log“ na obě strany rovnice a upravíme podle výše uvedených vzorců: log V = 6 log10 + 5log x + 3log y − 32 log ( z − x ) = 6 + 5log x + 3log y − 32 log ( z − x ) .
Řešený příklad 2 . Odlogaritmujte výraz 3 + 12 log 2 ( x − 2 ) + 2 log 2 y − 3log 2 z . Řešení. Naším úkolem je najít výraz V , aby platila rovnice log 2 V = 3 + 12 log 2 ( x − 2 ) + 2 log 2 y − 3log 2 z . Můžeme použít dvě ekvivalentní metody. Upravíme pravou stranu tak, aby měla tvar binárního logaritmu jediného výrazu: 3 + 12 log 2 ( x − 2 ) + 2 log 2 y − 3log 2 z = log 2 23 + log 2 x − 2 + 23 ⋅ x − 2 ⋅ y 2 . z3 Nyní z rovnosti logaritmů plyne rovnost argumentů (logaritmus je funkce prostá!), tzn. 23 ⋅ x − 2 ⋅ y 2 V= . z3 + log 2 y 2 − log 2 z 3 = log 2
Jinou možností je aplikovat na každou stranu rovnice exponenciální funkci se základem 2: 2log 2 V = 2
3+ 12 log 2 ( x − 2 ) + 2log 2 y − 3log 2 z
.
Tuto rovnici dále upravíme podle výše uvedených vět o logaritmické, resp. exponenciální funkci: 1 log x − 2 2 −3 V = 23 ⋅ 2 2 2 ( ) ⋅ 22log2 y ⋅ 2−3log2 z = 23 ⋅ 2log2 x − 2 ⋅ 2log2 y ⋅ 2log 2 z = 23 ⋅ x − 2 ⋅ y 2 ⋅ z −3 . Druhý postup použijí asi ti studenti, kterým se lépe pracuje s exponenciální funkcí než s funkcí logaritmickou. Příklad 1. Na základě definice logaritmu určete hodnotu proměnné. 3 3 1 a) log 3 x = − ; b) log u = ; c) log 4 = v ; d) log 2 3 0,5 = t ; e) log a 0, 25 = −1 ; 2 4 4 3 f) log b 8 = − ; g) log 2 x = −3 . 2 Příklad 2. Logaritmujte výraz: 5
2 x2 y3 a 3b 4 a) V = ; b) U = . 7 2 3 z c d
Řešení příkladů: 1 1 1 1 ; 1b) u = 4 1000 ; 1c) v = − ; 1d) t = − ; 1e) a = 4 ; 1f) b = ; 2 3 4 27 1g) x = 2 . 4 1a) x =
1 2a) log V = 5 ⋅ log 2 − log 3 + 2 log x + 3log y − 7 log z ; 2 1 1 1 2b log U = ⋅ log a + log b − 2 log c − log d . 4 3 2
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
