3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

Absolute verandering = Aantal 2004 – Aantal 1994 = 1625 – 3070 = -1445 Nieuw  Oud Aantal 2004  Aantal 1994  100%   100%  Oud Aantal 1994 Relatieve verandering = 1.625  3.070  100%  47,07% 3.070

Let op: Een absolute verandering is altijd een aantal; Een relatieve verandering is altijd in procenten.

Willem-Jan van der Zanden

1

3.1 Procenten [1] Voorbeeld 1: In 2004 zijn 50 groentewinkels dicht gegaan. Hoeveel procent van het totaal is dit?

Dicht 2004 50  100%   100%  3,1% Totaal 2004 1625 Voorbeeld 2: In 2004 is 3,1% van de groentewinkels dicht gegaan. Hoeveel groentewinkels zijn dit? 0,031 ⋅ Totaal 2004 = 0,031 ⋅ 1625 = 50 groentewinkels. Voorbeeld 3: Van alle speciaalzaken in 2004 is 13% een groentewinkel. Hoeveel speciaalzaken zijn er in 2004? Groentewinkels = 13% van het aantal speciaalzaken 1625 = 0,13 ⋅ aantal speciaalzaken Aantal speciaalzaken = 1625  12.500 0,13


2

3.1 Procenten [1] Voorbeeld 4: In 2004 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2002 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2002 waren. Aantal 2004 = 0,93 ⋅ Aantal 2002 12.500 = 0,93 ⋅ Aantal 2002 Aantal 2002 = 12.500  13.441

0,93

Let op: • Als het oude aantal bekend is, kun je met behulp van de gegeven toename (of afname) het nieuwe aantal uitrekenen: NIEUW = (1 + p/100) · OUD • Als het nieuwe aantal bekend is, kun je met behulp van de gegeven toename

NIEUW (of afname) het oude aantal uitrekenen: OUD = p 1 100 Willem-Jan van der Zanden

3

3.1 Procenten [2] Afspraken bij procentberekeningen: • Rond procenten af op één decimaal; • Geef kleine geldbedragen in centen nauwkeurig; • Rond tijdens de berekening zo weinig mogelijk tussentijds af; • Geef gevraagde hoeveelheden in dezelfde nauwkeurigheid als de gegeven hoeveelheden; • Lees de opgave GOED door. Voorbeeld: In 2004 was het aantal groentewinkels 1.625. In 2005 nam het aantal winkels met 2,6% af. In 2006 was er nog eens een afname van 1,7%. Bereken het aantal groentewinkels aan het eind van 2006 Aantal winkels 2006

= 0,974 ⋅ 0,983 ⋅ Aantal winkels 2006 = 0,974 ⋅ 0,983 ⋅ 1.625 = 1.556

Let op: Hierboven is berekend zonder tussentijds af te ronden. Willem-Jan van der Zanden

4

3.2 Grafische verwerking [1] Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven:

1. Staafdiagram: • • •

De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van elkaar; De volgorde van de staven hoeft niet altijd van belang te zijn. 2. Stapeldiagram (Samengesteld staafdiagram): •

• •

De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van elkaar; De volgorde van de staven hoeft niet altijd van belang te zijn.


5

3.2 Grafische verwerking [1] Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven:

3. Lijndiagram • •

• •

Langs de horizontale as staat meestal de tijd; De opeenvolgende punten zijn verbonden door lijnstukken; Tussenliggende punten hebben geen betekenis; Je kunt indien nodig op de verticale as een scheurlijn gebruiken. 4. Cirkeldiagram

• Een cirkeldiagram brengt de relatieve verdeling in beeld; • Bij een aandeel van p% hoort een sector met een hoek van 0,01p x 360°. Willem-Jan van der Zanden

6

3.2 Grafische verwerking [1] Voorbeeld: 22% van de emissie van fijn stof in 2002 wordt veroorzaakt door de industrie. Bereken de hoek die bij de sector “industrie” hoort. Stap 1: Een cirkel is 360°. Stap 2: Sector “Industrie” = 22% van 360° = 0,22 ⋅ 360° = 79,2° Let op: De vier hier genoemde diagrammen moet je kunnen aflezen en zelf kunnen maken.


7

3.2 Grafische verwerking [2] Hiernaast staan een tweetal cirkeldiagrammen. Deze diagrammen zijn ook oppervlaktediagrammen. Bij een oppervlaktediagram is de oppervlakte een maat voor de totale hoeveelheid. Wanneer oppervlaktediagram II k keer zo groot is als oppervlaktediagram I geldt: Oppervlakte II = k ∙ Oppervlakte I Straal II = √k · Straal I • Als de oppervlakte van cirkeldiagram II 5 keer zo groot is als de oppervlakte van cirkeldiagram I, dan is de straal √5 keer zo groot; • Als de straal van cirkeldiagram II 5 keer zo groot is als de straal van cirkeldiagram I, dan is de oppervlakte 5 ∙ 5 = 25 keer zo groot.


8

3.2 Grafische verwerking [2] Voorbeeld 1: Aalsmeer had in 2004 23.100 inwoners. Raalsmeer = 2 cm. Rcoevorden = 2.5 cm. Bereken het aantal inwoners van Coevorden. Stap 1: Straal cirkel Coevorden = 2,5 cm; Straal cirkel Aalsmeer = 2 cm Stap 2: De straal van cirkel Coevorden is 2,5/2 = 1,25 keer zo groot als die van Aalsmeer; De oppervlakte van de cirkel Coevorden is 1,252 keer zo groot als die van Aalsmeer. Stap 3: Het aantal inwoners van Coevorden is: 1,252 ∙ 23.100 = 36.100.


9

3.2 Grafische verwerking [2] Voorbeeld 2: Apeldoorn heeft in 2004 156.000 inwoners. Bereken de straal van het cirkeldiagram Apeldoorn. Stap 1: Apeldoorn heeft 156.000 inwoners; Aalsmeer heeft 23.100 inwoners. Stap 2: Apeldoorn heeft dus 156.000/23.100 = 6,753 keer zoveel inwoners als Aalsmeer. Het cirkeldiagram Apeldoorn is 6,753 keer zo groot als het cirkeldiagram Aalsmeer. Stap 3: De straal van het cirkeldiagram Apeldoorn is dus √6,753 ≈ 2,599 keer zo groot als die van het cirkeldiagram Aalsmeer. De straal is 2,599 · 2 ≈ 5,20 cm.


10

3.2 Grafische verwerking [3] Gegevens kunnen ook weergegeven worden met een beelddiagram. Beelddiagrammen kunnen er verschillend uit zien:


11

3.2 Grafische verwerking [3] In de onderstaande tabel staat de winst van een tweetal bakkers:

Bakkersland

2006

2007

2008

2009

€ 15.000

€ 15.540

€ 16.000

€ 18.000

€ 230.000

€ 240.000

€ 250.000

Bakkersgigant € 220.000

Om deze winsten beter met elkaar te kunnen vergelijken, maken we gebruik van indexcijfers. De winst in het jaar 2006 wordt voor beide bakkers gelijk gesteld aan 100. Winst Bakkersland 2007 =

€15.540  100  103,6 €15.000

€230.000  100  104,5 Winst Bakkersgigant 2007 = €220.000


12

3.2 Grafische verwerking [3] In de onderstaande tabel staat de winst van een tweetal bakkers:

Bakkersland

2006

2007

2008

2009

€ 15.000

€ 15.540

€ 16.000

€ 18.000

€ 230.000

€ 240.000

€ 250.000

Bakkersgigant € 220.000

Hieruit volgt de volgende tabel met indexcijfers: 2006

2007

2008

2009

100

103,6

106,7

120

Bakkersgigant 100

104,5

109,1

113,6

Bakkersland

Procentueel gezien is de winst van Bakkersland in de jaren 2006 – 2009 harder gestegen dan de winst van de Bakkersgigant.


13

3.3 Frequentieverdelingen [1] Kwantitatieve gegevens: gegevens, die een hoeveelheid uitdrukken; Gewicht, salaris, aantal kinderen, leeftijd. Kwalitatieve gegevens: gegevens, die een kenmerk (en dus geen hoeveelheid) uitdrukken. Bloedgroep, geslacht, merk auto, soort woning.

Voorbeeld: Defecten per week

1

2

3

4

Frequentie

14

16

15

18

Een frequentietabel geeft aan hoe vaak een bepaalde gebeurtenis zich voordoet. De totale frequentie is 14 + 16 + 15 + 18 = 62. In de tabel zijn alle mogelijke gebeurtenissen weergegeven. Er is nu sprake van een frequentieverdeling.


14

3.3 Frequentieverdelingen [1] Defecten per week

1

2

3

4

Frequentie

14

16

15

18

De gegevens uit de frequentietabel staan in het histogram rechts. Een histogram is een staafdiagram bij een frequentietabel met kwantitatieve gegevens op de horizontale as. De staven liggen tegen elkaar aan.


15

3.3 Frequentieverdelingen [1] Cijfer

3

4

5

6

7

8

Frequentie

0

5

6

3

2

0

De gegevens uit de frequentietabel staan in de frequentiepolygoon rechts. Er is nu gebruik gemaakt van absolute frequenties. Dit is een relatieve-frequentiepolygoon. Er is nu gebruik gemaakt van relatieve frequenties. Relatieve frequentie =

frequentie  100% tot. frequentie Willem-Jan van der Zanden

16

3.3 Frequentieverdelingen [2] Lengte 1,50 - 1,55 - 1,60 - 1,65 (m) < 1,55 < 1,60 < 1,65 < 1,70

1,70 -< 1,75 - 1,80 - 1,85 - 1,90 1,75 < 1,80 < 1,85 < -< 1,90 1,95

Freq.

16

4

10

12

25

11

7

4

1

Wanneer je een verzameling gegevens hebt, waarin vaak de frequentie 1 voorkomt, ga je de gegevens indelen in klassen. In dit voorbeeld is er een klassenindeling gemaakt met een klassenbreedte van 0,05 meter. Van de klassen 1,55 -< 1,60 zijn 1,55 en 1,60 de klassengrenzen. De gegevens zijn weergegeven in een frequentiepolygoon. De punten staan nu steeds in het midden van de klasse.


17

3.3 Frequentieverdelingen [2] Gegeven is de volgende reeks getallen: 24 26 28 28 36 37 38 39 39 41 41 44 44 45 45 45 46 53 53 54 55 63 64 72 Deze kunnen geordend worden met een steel-bladdiagram: • In de eerste kolom staan de tientallen; • In de tweede kolom staan de eenheden; • Het getal 45 komt drie keer voor, daarom staat in de rij met als steel 4, drie keer het blad 5.


18

3.3 Frequentieverdelingen [3] Afgelegde afstand in km (x 1000)

Frequentie

Klassenbreedte

0 -< 20

5

20

20 -< 35

17

15

35 -< 60

35

25

60 -< 100

39

40

100 -< 150

25

50

In de bovenstaande tabel is de afstand weergegeven, die de bedrijfsauto’s van een bedrijf hebben afgelegd. De klassenbreedte is nu niet voor elke klasse hetzelfde. Je kunt nu dus niet zomaar conclusies trekken over de verdeling van bovenstaande gegevens.

frequentie van de klasse Frequentiedichtheid van een klasse = klassenbreedte Willem-Jan van der Zanden

19


Frequentie

Klassenbreedte Frequentiedichtheid

0 -< 20

5

20

0,25

20 -< 35

17

15

1,13

35 -< 60

35

25

1,4

60 -< 100

39

40

0,975

100 -< 150

25

50

0,5

Met behulp van de frequentiedichtheid kun je nu de conclusie trekken dat de frequentiedichtheid het grootst is voor de klasse 35 -< 60. Dit is dus niet noodzakelijk de klasse met de grootste frequentie.

Als je deze gegevens in een histogram zet, zijn niet alle staven even breed.


20


Frequentie

Klassenbreedte Frequentiedichtheid per 10

0 -< 20

5

20

2,5

20 -< 35

17

15

11,33

35 -< 60

35

25

14

60 -< 100

39

40

9,75

100 -< 150

25

50

5

Een andere mogelijkheid om gegevens te vergelijken is het kiezen van een eenheid van klassenbreedte. Neem als eenheid van klassenbreedte 10. De klasse 60 -< 100 heeft dan een klassenbreedte van 40 : 10 = 4 De frequentie dichtheid per 10 van de klasse 60 -< 100 is dan 39/4 = 9,75


21

3.3 Frequentieverdelingen [4] Klasse

Frequentie

Cumulatieve frequentie

Relatieve cumulatieve frequentie

1,50 -< 1,55

4

4

4,44%

1,55 -< 1,60

10

14 (10 + 4)

15,56%

1,60 -< 1,65

12

26 (14 + 12)

28,89%

1,65 -< 1,70

25

51

56,67%

1,70 -< 1,75

16

67

74,44%

1,75 -< 1,80

11

78

86,67%

1,80 -< 1,85

7

85

94.44%

1,85 -< 1,90

4

89

98,89%

1,90 -< 1,95

1

90

100%

• De cumulatieve frequentie van een klasse krijg je door de frequentie van deze klasse en alle voorgaande klassen op te tellen; • De relatieve cumulatieve frequentie van een klasse krijg je door de cumulatieve frequentie van deze klasse te delen door het aantal waarnemingen ⋅ 100%. Willem-Jan van der Zanden

22

3.3 Frequentieverdelingen [4] Als je de cumulatieve frequenties in een polygoon tekent, krijg je een cumulatief frequentiepolygoon. • Op de horizontale as staan de klassen; • Boven de rechtergrens van elke klasse wordt de cumulatieve frequentie gezet; • Boven de linkergrens van de eerste klasse wordt de cumulatieve frequentie 0 gezet; • Verbindt de punten door lijnstukjes. Als je de relatieve cumulatieve frequenties in een polygoon tekent, krijg je een relatief cumulatief frequentiepolygoon.


23

3.4 Steekproeven [1] Als bepaalde zaken onderzocht worden zoals: • Het stemgedrag van de Nederlandse bevolking; • Het beste soort wasmiddel; • De kwaliteitscontrole van een product. Dan wordt gebruik gemaakt van een steekproef. Bij een steekproef wordt een selectie gemaakt uit de volledige groep (bijvoorbeeld 10.000 personen Uit de Nederlandse bevolking wordt naar hun politieke voorkeur gevraagd). Op basis van deze selectie kunnen dan bepaalde conclusies getrokken worden. Een steekproef moet representatief zijn, om een juiste afspiegeling van de volledige groep (populatie) te zijn. 1) De steekproef moet voldoende groot zijn; (Er moeten voldoende mensen ondervraagd worden) 2) De steekproef moet aselect zijn. (Iedereen moet evenveel kans hebben om in de steekproef voor te komen)


24

3.4 Steekproeven [2] Voorbeeld gelote steekproef: Uit een groep van 200 personen, moeten er 10 gekozen worden. Schrijf de namen op 200 briefjes. Doe deze in een vaas en haal er hier vervolgens 10 uit. Algemeen: Elk element van de populatie heeft dezelfde kans om in de steekproef terecht te komen. Voorbeeld systematische steekproef: Uit een groep van 200 personen, moeten er 10 gekozen worden. Als toevalsgetal wordt 47 genomen.

De stapgrootte is nu 200/10 = 20. Dit betekent dat de getallen 7 – 27 – 47 – 67 – 87 – 107 – 127 – 147 – 167 – 187 gekozen worden. Algemeen: Er wordt één toevalsgetal gegenereerd. De andere steekproefelementen volgen hieruit door met vaste stappen door de gehele populatie te lopen. Willem-Jan van der Zanden

25

3.4 Steekproeven [2] Voorbeeld gelaagde steekproef: Uit een groep van 200 personen, moeten er 10 gekozen worden. De groep bestaat uit 35 kinderen, 120 mensen tussen de 18 en 65 en 45 mensen boven de 65. 35  10  1,75 = 2 kinderen geselecteerd; 200 120 Er worden nu  10  6 = 6 volwassenen geselecteerd; 200 Er worden nu 45  10  2,25 = 2 mensen boven de 65 geselecteerd. 200

Er worden nu

Algemeen: In een gelaagde steekproef komen de te onderscheiden groepen in dezelfde verhouding voor als in de gehele populatie.


26

3 Samenvatting Een absolute verandering is een verandering in aantallen: NIEUW – OUD;

Een relatieve verandering is een verandering in procenten:

Nieuw  Oud  100% Oud

Gegevens kunnen op grafische wijze in een diagram worden weergegeven: • Staafdiagram; • Stapeldiagram; • Lijndiagram; • Cirkeldiagram; Voor een oppervlaktediagram geldt: Oppervlakte cirkel II = k ∙ Oppervlakte cirkel I dan Straal cirkel II = √k · Straal cirkel I Kwantitatieve gegevens drukken een hoeveelheid uit. Kwalitatieve gegevens drukken een kenmerk (en dus geen hoeveelheid) uit. Willem-Jan van der Zanden

27

3 Samenvatting Met behulp van een frequentietabel kun je aangeven hoe vaak een bepaalde gebeurtenis zich voordoet. De gegevens uit de frequentietabel kun je zetten in: • een frequentiepolygoon. Er is nu gebruik gemaakt van absolute frequenties. • een relatief-frequentiepolygoon. Er is nu gebruik gemaakt van relatieve frequenties. Relatieve frequentie =

frequentie  100% tot. frequentie

Wanneer nodig deel je de gegevens in, in klassen: De klasse 1,55 -< 1,60 heeft een klassenbreedte van 0,05 meter. 1,55 en 1,60 zijn de klassengrenzen.


28

3 Samenvatting In een steel-bladdiagram staan: • In de eerste kolom de tientallen; • In de tweede kolom de eenheden.

frequentie van de klasse Frequentiedichtheid van klasse = klassenbreedte Cumulatieve frequentie = tel de frequentie van de klasse en alle voorgaande klassen op (Grafisch weergeven in cumulatief frequentiepolygoon); Rrelatieve cumulatieve frequentie = Deel de cumulatieve frequentie van de klasse te delen door het aantal waarnemingen ⋅ 100% (Grafisch weergeven in relatief cumulatief frequentiepolygoon). Een steekproef moet voldoende groot en aselect zijn (Representatief) • Gelote steekproef; • Gelaagde steekproef; • Systematische steekproef. Willem-Jan van der Zanden

29

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625

Recommend Documents