3
Posunovac´ı oper´ atory, harmonick´ y oscil´ ator
3.1
Jednoduch´ y algebraick´ y syst´ em
ˆ a oper´ator A ˆ † k nˇemu sdruˇzen´ Mˇejme oper´ator A y, kter´e mezi sebou splˇ nuj´ı komutaˇcn´ı 1 relace i h † ˆ ˆ (3.1.1) A, A = m, m ∈ R+ .
Definujme oper´ator
ˆ ≡A ˆ †A ˆ N
(3.1.2)
1. Ukaˇzte, ˇze oper´ator N je samosdruˇzen´ y a pozitivnˇe definitn´ı. i i h h †k k ˆ ˆ ˆ ˆ 2. Naleznˇete, ˇcemu se rovnaj´ı komut´atory H, A a H, A , kde k ∈ N. ˆ 3. Naleznˇete vlastn´ı hodnoty n oper´atoru N.
ˆ 4. Naleznˇete normalizovan´e vlastn´ı vektory oper´atoru N. ˆ † |ni, A ˆ |ni, kde |ni je vlastn´ı vektor oper´atoru N ˆ 5. Ukaˇzte, ˇcemu se rovn´a A pˇr´ısluˇsej´ıc´ı vlastn´ı hodnotˇe n. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Samosdruˇzenost plyne z identit † † ˆ† = A ˆ †A ˆ =A ˆ† = A ˆ †A ˆ=N ˆ. ˆ† A N
(3.1.3)
ˆ staˇc´ı uk´azat, ˇze vˇsechny jeho vlastn´ı hodnoty K dok´az´an´ı pozitivity oper´atoru N jsou nez´aporn´e. Pˇredpokl´adejme, ˇze existuje normalizovan´ y vlastn´ı vektor |ni, ˆ hn| ni = 1 oper´atoru N: ˆ |ni = n |ni , N (3.1.4) kde n je nˇejak´e ˇc´ıslo. Uk´aˇzeme, ˇze n mus´ı b´ yt re´aln´e nez´aporn´e. Plat´ı ˆ |ni = n hn| ni = n hn| N a z´aroveˇ n takˇze
ˆ 2 †ˆ ˆ ˆ hn| N |ni = hn| A A |ni = A |ni ≥ 0 , n ≥ 0.
2. Spoˇc´ıt´ame nejprve i i i h i h h h ˆ †, A ˆ A ˆ = −mA ˆ, ˆ † A, ˆ A ˆ =A ˆ † A, ˆ A ˆ + A ˆ A ˆ = A N, | {z } | {z } 0
1
h
i
−m
ˆ A ˆ † = m1, ˆ kde 1 ˆ je oper´ ator identity. Vztahu (3.1.1) je tˇreba rozumˇet ve smyslu A,
(3.1.5)
(3.1.6) (3.1.7)
(3.1.8)
kde jsme v druh´e rovnosti vyuˇzili rozvoje komut´atoru (2.1.1) a v posledn´ı rovnosti vztahu (3.1.1). D´ale dost´av´ame h i h i h i h i ˆ A ˆ k = N, ˆ A ˆ k−1 A ˆ =A ˆ k−1 N, ˆ A ˆ + N, ˆ ˆ A ˆ k−1 A N, | {z } ˆ −mA
h i h i ˆ A ˆ k−2 A ˆ + N, ˆ2 ˆ k + N, ˆ A ˆ A ˆ k−2 A ˆ = −mA ˆk + A ˆ k−2 N, ˆ A ˆ A = −mA | {z } h
i
ˆ −mA
h
i ˆ A ˆ A ˆ k−3 A ˆ 2 = · · · = −kmA ˆk . ˆ k + N, = −2mA
(3.1.9)
Zcela analogicky se uk´aˇze, ˇze
h
i ˆ A ˆ †k = kmA ˆ †k . N,
(3.1.10)
ˆ musej´ı splˇ 3. Vlastn´ı hodnoty a vektory oper´atoru N novat rovnici (3.1.4). Pˇredpokl´adejme, ˇze n 6= 0. Hled´ame, ˇcemu se bude rovnat, kdyˇz zap˚ usob´ıme na ˆ A. ˆ Vyuˇzijeme pˇritom vztah (3.1.9): stav |ni oper´atorem N h i ˆkN ˆ + N, ˆA ˆ k |ni = A ˆ A ˆ k |ni = A ˆ k |ni (3.1.11) ˆ kN ˆ − mA ˆ k |ni = (n − km) A N ˆ k |ni, dost´av´ame a pokud oznaˇc´ıme |n; −ki ≡ A
ˆ |n; −ki = (n − km) |n; −ki , N
(3.1.12)
ˆ pˇr´ısluˇsej´ıc´ım k vlastn´ı takˇze stav |n; −ki je rovnˇeˇz vlastn´ım stavem oper´atoru N, ˆ vˇsak omezuje moˇzn´e hodnoty k: mus´ı hodnotˇe n − km. Pozitivita oper´atoru N platit, ˇze n − km ≥ 0. Nav´ıc mus´ı existovat takov´e K ∈ N, ˇze ˆ |n; −Ki = 0 |n; −Ki = 0 . N
(3.1.13)
a rovnice (3.1.12) plat´ı jen pro k ≤ K. Kdyby tato podm´ınka nebyla splnˇena, znamenalo by to, ˇze pro nˇejak´e M ∈ N plat´ı n − M m > 0 (vlastn´ı hodnota ˆ pˇr´ısluˇsej´ıc´ı stavu |n; −M i) a z´aroveˇ oper´atoru N n n − (M + 1)m < 0 (vlastn´ı ˆ hodnota oper´atoru N pˇr´ısluˇsej´ıc´ı stavu |n; −M − 1i), ˇc´ımˇz bychom se dostali do ˆ sporu s pozitivitou oper´atoru N. ˆ je tedy n0 = 0 a pˇr´ısluˇsn´ Nejniˇzˇs´ı vlastn´ı hodnota oper´atoru N y normalizoˆ †k po van´y vlastn´ı vektor oznaˇc´ıme |0i. Spektrum nalezneme aplikac´ı oper´atoru A vzoru (3.1.9): h i ˆA ˆ †k |ni = A ˆ †k N ˆ + N, ˆ A ˆ †k |ni = (n + km)A ˆ †k |ni N (3.1.14) ˆ |n; +ki = (n + km) |n; +ki , N
(3.1.15)
ˆ †k |ni. Speci´alnˇe pokud vyjdeme od z´akladn´ıho stavu kde jsme oznaˇcili |n; +ki ≡ A n0 = 0, dost´av´ame ˆ |0; +ki = km |0; +ki . N (3.1.16) ˆ je tedy Spektrum oper´atoru N nk = km ,
k ∈ N0
(3.1.17)
4. Normalizovan´e vlastn´ı vektory |ni nalezneme indukc´ı (vlastn´ı vektory |n; ±ki obecnˇe normalizovan´e nejsou). Pˇredpokl´adejme, ˇze vektor |nk i pˇr´ısluˇsej´ıc´ı k vlastn´ı hodnotˇe nk = km je normalizovan´ y. Z (3.1.14) a (3.1.15) v´ıme, ˇze ˆ † |nk i = N + |nk+1 i , A k
(3.1.18)
kde Nk+ je hledan´ y normalizaˇcn´ı faktor takov´ y, aby |nk+1 i byl normalizovan´ y, hnk+1 | nk+1 i = 1. Dost´av´ame 2 2 ˆ† = N +2 hnk+1 | nk+1 i = N +2 + (3.1.19) A |n i k = Nk |nk+1 i k k a z´aroveˇ n 2 h i ˆ† † †ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A + A, A |nk i = (km + m) hn| ni A |nk i = hnk | AA |nk i = hnk | |{z} | {z } ˆ N m
= (k + 1)m ,
(3.1.20)
takˇze Nk+2 = (k + 1)m , p ˆ † |nk i = (k + 1)m |nk+1 i . A
(3.1.21) (3.1.22)
Obr´acen´ım posledn´ıho vztahu dostaneme
ˆ† A |nk+1 i = p |nk i m(k + 1)
(3.1.23)
a opakovan´a aplikace na vektor z´aklad´ıho stavu |0i d´a ˆ †k A |nk i = √ |0i . k!mk
(3.1.24)
ˆ † |nk i jsme jiˇz nalezli, viz (3.1.22). Analogicky dostaneme 5. P˚ usoben´ı oper´atoru A i h ˆ† ˆ |nk i = A ˆ √A |nk−1 i = √ 1 ˆ A ˆ † |nk−1 i ˆ †A ˆ + A, A A km mk 1 =√ [m(k − 1) + m] |nk−1 i , mk ˆ |nk i = A
√
mk |nk−1 i
(3.1.25) (3.1.26)
ˆ A ˆ † posouvaj´ı stav syst´emu z niˇzˇs´ı vlastn´ı hodnoty na vyˇsˇs´ı a naopak, Oper´atory A, proto se naz´ yvaj´ı posunovac´ı oper´atory. Pozn´ amka: Velmi ˇcasto se uvaˇzuje speci´aln´ı pˇr´ıpad m = 1, kter´ y lze z´ıskat z obecn´eho zaveden´ım oper´ator˚ u 1 ˆ , ˆa = √ A m
1 ˆ† ˆa† = √ A , m
nˆ = ˆa† ˆa =
1 ˆ† ˆ A A. m
(3.1.27)
Pak nk = k, vlastn´ı vektory se mohou zjednoduˇsenˇe oznaˇcit |ki a vztahy (3.1.3), (3.1.4), (3.1.22), (3.1.26) a (3.1.24) pˇrejdou na † ˆa, ˆa = 1 , (3.1.28) nˆ |ki = k |ki , k ∈ N0 , (3.1.29) √ ˆa |ki = k |k − 1i , (3.1.30) √ † ˆa |ki = k + 1 |k + 1i , (3.1.31) ˆa†k |ki = √ |0i . k!
3.2
(3.1.32)
Jednorozmˇ ern´ y harmonick´ y oscil´ ator
Harmonick´ y oscil´ator je pops´an Hamiltoni´anem ˆ = 1 pˆ2 + 1 M Ω2ˆx2 , (3.2.1) H 2M 2 p ´hlov´a frekvence oscil´atoru. ˆx je kde M je hmotnost kmitaj´ıc´ı ˇca´stice, Ω = k/M je u oper´ator souˇradnice a pˆ oper´ator k nˇemu pˇridruˇzen´e hybnosti. Oba oper´atory splˇ nuj´ı standardn´ı komutaˇcn´ı vztah [ˆx, pˆ] = i~ . (3.2.2) † ˆ A ˆ a t´ım jej pˇrev´est V harmonick´em oscil´atoru lze vhodnˇe nadefinovat oper´atory A, ˆ ve na algebraick´ y syst´em, kter´ y jsme vyˇreˇsili v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu 3.1. Hledejte A tvaru ˆ = αˆx + βˆp , A α, β ∈ C . (3.2.3) i h ˆ A ˆ † = m a vyj´adˇrete 1. Naleznˇete hodnoty konstant α, β. Spoˇc´ıtejte komut´ator A, hodnotu ˇc´ısla m. ˆ pomoc´ı oper´ator˚ ˆ A ˆ † a pomoc´ı oper´ator˚ 2. Zapiˇste Hamiltoni´an H u A, u ˆa, ˆa† , kter´e † splˇ nuj´ı komutaˇcn´ı relace ˆa, ˆa = 1.
3. Napiˇste spektrum (vlastn´ı energie a vlastn´ı vektory) Hamiltoni´anu.
4. Vyj´adˇrete oper´atory hybnosti pˆ a souˇradnice ˆx pomoc´ı oper´ator˚ u ˆa, ˆa† . 5. Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnoty hk| ˆx |ki , hk| pˆ |ki , hk| ˆx2 |ki , hk| pˆ2 |ki ,
(3.2.4) (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7)
kde |ki je vlastn´ı stav Hamiltoni´anu. 6. Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnoty ˆ |ki , hk| T ˆ |ki , hk| V
(3.2.8) (3.2.9)
ˆ aV ˆ jsou oper´atory kinetick´e, resp. potenci´aln´ı energie oscil´atoru, a srovnejte kde T s hodnotou energie ve stavu |ki (viri´alov´ y teor´em).
7. Ovˇeˇrte platnost relac´ı neurˇcitosti mezi polohou a hybnost´ı. 8. Pomoc´ı posunovac´ıch oper´ator˚ u vyj´adˇren´ ych v x reprezentaci naleznˇete vlnov´e funkce Harmonick´eho oscil´atoru. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Dosad´ıme do (3.1.2) a dostaneme ˆ = (α∗ˆx + β ∗ pˆ) (αˆx + βˆp) ˆ =A ˆ †A N = |α|2 ˆx2 + α∗ β ˆxpˆ +αβ ∗ pˆˆx + |β|2 pˆ2 |{z} p ˆˆ x+i~
2 2
= |α| ˆx + (α∗ β + αβ ∗ ) pˆˆx + i~α∗ β + |β|2 pˆ2 .
(3.2.10)
Nyn´ı srovn´av´ame s Hamiltoni´anem (3.2.1). Pˇrednˇe vid´ıme, ˇze v Hamiltoni´anu nejsou ˇza´dn´e sm´ıˇsen´e ˇcleny oper´atoru souˇradnice a hybnosti. Proto poˇzadujeme, aby α∗ β + αβ ∗ = 0 , (3.2.11) z ˇcehoˇz plyne, ˇze α∗ β mus´ı b´ yt ryze imagin´arn´ı ˇc´ıslo. Bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme nyn´ı zvolit α re´aln´e a β ryze imagin´arn´ı. Srovn´an´ım pˇr´ısluˇsn´ ych ˇclen˚ u v´ yrazu (3.2.10) s Hamiltoni´anem (3.2.1) lze pˇriˇradit r r 1 1 α= M Ω2 , β=i (3.2.12) 2 2M Je jeˇstˇe potˇreba ovˇeˇrit, ˇze jsou splnˇeny komutaˇcn´ı relace (3.1.1): h i † ˆ ˆ m = A, A = (αˆx + βˆp) (α∗ˆx + β ∗ pˆ) − (α∗ˆx + β ∗ pˆ) (αˆx + βˆp) = (αβ ∗ − α∗ β) ˆxpˆ + (α∗ β − αβ ∗ ) pˆˆx |{z} p ˆˆ x+i~
∗
∗
= (αβ − α β) i~ = 2αβ ∗ i~ = ~Ω ,
(3.2.13)
kde jsme v posledn´ı rovnosti vyuˇzili (3.2.12). 2. Z v´ ysledk˚ u pˇredchoz´ı ˇca´sti vid´ıme, ˇze ˆ =A ˆ †A ˆ + ~Ω H 2 K jednoduˇsˇs´ım oper´ator˚ um ˆa, ˆa† pˇrejdeme pomoc´ı vztah˚ u (3.1.27): ~Ω 1 † † ˆ = mˆa ˆa + = ~Ω ˆa ˆa + H . 2 2
(3.2.14)
(3.2.15)
3. Spektrum je d´ano pomoc´ı vzorce (3.1.29): ~Ω ˆa† ˆa |ki + ~Ω k +
ˆ |ki = Ek |ki H 1 |ki = Ek |ki 2 1 |ki = Ek |ki , 2
(3.2.16)
takˇze
1 Ek = ~Ω k + 2
,
k ∈ N0
(3.2.17)
a vlastn´ı vektory jsou dan´e vztahem (3.1.32). 4. Dosad´ıme α, β z (3.2.12) do (3.2.3), ˇc´ımˇz dostaneme ! r r ˆ A 1 1 1 M Ω2ˆx + i pˆ ˆa = √ =√ 2 2M ~Ω ~Ω r i MΩ = ˆx + pˆ , 2~ MΩ r i MΩ † ˆa = pˆ . ˆx − 2~ MΩ Seˇcten´ı a odeˇcten´ı vede k inverzn´ım vzorc˚ um r ~ " † ˆa + ˆa , ˆx = r2M Ω ~M Ω " † pˆ = i ˆa − ˆa . 2
(3.2.18) (3.2.19)
(3.2.20) (3.2.21)
5. K v´ ypoˇctu stˇredn´ıch hodnot dosad´ıme vyj´adˇren´ı oper´ator˚ u ˆx, pˆ z (3.2.20)—(3.2.21) a k pr´aci s posunovac´ımi oper´atory vyuˇzijeme vztah˚ u (3.1.30)—(3.1.31): r ~ hk| ˆx |ki = hk| ˆa† + ˆa |ki 2M Ω r √ ~ √ = k + 1 hk| k + 1i + k hk| k − 1i = 2M Ω = 0, (3.2.22) jelikoˇz vlastn´ı vektory |k − 1i, |ki a |k + 1i jsou na sebe kolm´e. Podobnˇe dostaneme hk| pˆ |ki = 0 .
(3.2.23)
M˚ uˇzeme odpozorovat pravidlo, ˇze stˇredn´ı hodnota hk| f (r, s; ˆa, ˆa† ) |ki, kde f (r, s; ˆa, ˆa† ) je funkce souˇcinu r oper´ator˚ u ˆa a s oper´ator˚ u ˆa† v libovoln´em poˇrad´ı, je nenulov´a pouze tehdy, kdyˇz r = s. Obecnˇeji maticov´ y element hl| f (r, s; ˆa, ˆa† |ki je nenulov´ y, pokud l + r = k + s.
Pro kvadratick´e oper´atory dost´av´ame " 2 ~ hk| ˆa† + ˆa |ki 2M Ω ~ = ˆa2 |ki hk| |{z} ˆa†2 +ˆaˆa† + ˆa† ˆa + |{z} 2M Ω 0 0 √ √ √ √ ~ = hk| k + 1 k + 1 + k k |ki 2M Ω ~ = (2k + 1) , 2M Ω " 2 ~M Ω hk| ˆa† − ˆa |ki hk| pˆ2 |ki = − 2 ~M Ω =− ˆa†2 |ki hk| |{z} ˆa†2 −ˆaˆa† − ˆa† ˆa + |{z} 2 hk| ˆx2 |ki =
0
0
=
~M Ω (2k + 1) . 2
6. Oper´ator kinetick´e energie je
(3.2.24)
ˆ = 1 pˆ2 . T 2M
(3.2.25)
(3.2.26)
Dosazen´ım z (3.2.25) dostaneme 1 1 1 Ek ~M Ω ˆ |ki = hk| T (2k + 1) = ~Ω k + . = 2M 2 2 2 2 Podobnˇe pro potenci´al
ˆ = 1 M Ω2ˆx2 V 2
(3.2.27)
(3.2.28)
dostaneme uˇzit´ım (3.2.24) Ek ~ 1 1 1 2 ˆ |ki = M Ω = (2k + 1) = ~Ω k + . hk| V 2 2M Ω 2 2 2
(3.2.29)
Viri´alov´ y teor´em ud´av´a vztah mezi stˇredn´ı hodnotou oper´atoru kinetick´e energie a oper´atoru potenci´alu v libovoln´em stavu |ψi2 : ˆ |ψi = hψ| ˆx 2 hψ| T
d ˆ V(ˆx) |ψi , dˆx
(3.2.30)
ˆ x) je homogenn´ı funkce stupnˇe s, zjednoduˇs´ı na coˇz se v pˇr´ıpadˇe, ˇze V(ˆ ˆ |ψi = s hψ| V ˆ |ψi . 2 hψ| T
(3.2.31)
V pˇr´ıpadˇe harmonick´eho oscil´atoru je s = 2 a z vyj´adˇren´ı stˇredn´ıch hodnot kinetick´e energie (3.2.27) a potenci´alu (3.2.29) vid´ıme, ˇze viri´alov´ y teor´em je splnˇen. 7. Relace neurˇcitosti znˇej´ı ∆x2 ∆p2 ≥ 2
V´ yrazu
d ˆ x) dˆ x V(ˆ
je tˇreba rozumˇet ve smyslu
d dx V
~2 , 4
(x)|x=ˆx .
(3.2.32)
kde ∆x2 = hk| ˆx2 |ki − hk| ˆx |ki2 , 2
∆p2 = hk| pˆ2 |ki − hk| pˆ |ki .
(3.2.33) (3.2.34)
Dosad´ıme-li do relace neurˇcitosti stˇredn´ı hodnoty ze vztah˚ u (3.2.22), (3.2.24), (3.2.23), (3.2.25), dostaneme ∆x2 ∆p2 = hk| ˆx2 |ki hk| pˆ2 |xi ~ ~M Ω = (2k + 1) (2k + 1) 2M Ω 2 ~2 = (2k + 1) . 4
(3.2.35)
Vid´ıme, ˇze jelikoˇz k ≥ 0, relace neurˇcitosti jsou splnˇeny. Stav s nejmenˇs´ı moˇznou neurˇcitost´ı je z´akladn´ı stav s k = 0.
