3.
Line´ aris differenci´ alegyenletek
A k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek k´et nagy csoportba oszthat´ok line´aris ´es nemline´aris egyenletek csoportj´aba. Ez a felbont´as kicsit ¨onk´enyesnek t˝ unhet, a megold´asra vonatkoz´o ´altal´anosabb ¨osszef¨ ugg´esek, hasonl´os´agok megl´ete (line´aris) ´es hi´anya (nemline´aris) teszi indokoltt´a. ´ Altal´ anosan, az n-edrend˝ u differenci´alegyenleten a k¨ovetkez˝ot ´ertj¨ uk: a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an y = f (x)
(3.1)
ahol az ismeretlen f¨ uggv´eny y(x), ai (x) egy¨ utthat´ of¨ uggv´enyek, ha minden egy¨ utthat´o konstans, akkor ´alland´o-egy¨ utthat´os differenci´alegyenletr˝ol besz´el¨ unk. Ha f (x) ≡ 0 f¨ uggv´eny, akkor homog´en a differenci´alegyenlet.
3.1.
Homog´ en line´ aris differenci´ alegyenlet
Standard alak: y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = 0.
(3.2)
T´ etel: Homog´en line´aris differenci´ alegyenlet tetsz˝ olegesen kiv´ alasztott megold´asainak b´armely line´aris kombin´ aci´ oja is megold´ as. (Megjegyz´es: ugyanazon az I intervallumon). P´ elda: 1. Az y ′′ − y = 0 egyenletnek megold´asa y1 = e−x ´es y2 = ex . Igazoljuk, hogy y = c1 y1 + c2 y2 is megold´as! y1′′ = e−x , y2′′ = ex ⇒ c1 ex + c2 e−x − (c1 ex + c2 e−x ) = 0 is teljes¨ ul. Feladat: 1. Az y ′′ + y = 1 nemhomog´en egyenletnek megold´asa y1 = 1 + cos x ´es y2 = 1 + sin x. Megold´as lesz ezek line´aris kombin´aci´oja? 2. Az y ′′y − xy ′ = 0 nemline´aris egyenletnek megold´asa y1 = x2 ´es y2 = 1. Megold´as lesz-e ezek line´aris kombin´aci´oja?
11
T´ etel: Ha a (3.2) egyenlet egy¨ utthat´ o f¨ uggv´enyei folytonosak az [a, b] intervallumon, akkor pontosan egy olyan megold´as f¨ uggv´eny van, amely eleget tesz az y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = x1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 kezdeti felt´etelnek, ahol x0 ∈ (a, b). Defin´ıci´ o: Az I intervallumon ´ertelmezett f1 (x), . . . , fk (x) f¨ uggv´enyek halmaz´at az I intervallumon line´arisan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha c1 f1 (x) + · · · + ck fk (x) = 0 ∀x ∈ I eset´en csak u ´ gy ´allhat fenn, ha minden ci egy¨ utthat´o nulla. Ellenkez˝o esetben a f¨ uggv´enyrendszer line´arisan ¨osszef¨ ugg˝ o. Megjegyz´ es: Ha a f¨ uggv´enyrendszer line´arisan ¨osszef¨ ugg˝o, akkor van k¨oz¨ott¨ uk olyan, amely kifejezhet˝o a t¨obbi line´aris kombin´aci´ojak´ent. P´ elda: 1. Mutassuk meg, hogy az {x, 3x, x2 } line´arisan ¨osszef¨ ugg˝o b´armely intervallumon! Az y2 = 3y1 + 0y3 egyenl˝os´eg b´armely x ∈ R eset´en fenn´all. Feladat: 1. Mutassuk meg, hogy az {x, x2 , x3 } f¨ uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek az −1 ≤ x ≤ 2 intervallumon. Defin´ıci´ o: Az I-n ´ertelmezett f1 , f2 , . . . , fk ´es legal´abb (k − 1)-szer deriv´alhat´o f¨ uggv´enyek Wronski determin´ans´an a f1 (x) f (x) . . . f (x) 2 k ′ ′ ′ f1 (x) f2 (x) ... fk (x) W = .. .. .. .. . . . . (k−1) (k−1) (k−1) f1 (x) f2 (x) . . . fk (x) determin´anst ´ertj¨ uk.
Ennek felhaszn´al´as´aval az I-n ´ertelmezett f¨ uggv´enyek f¨ uggetlens´eg´enek el´egs´eges felt´etele: 12
T´ etel: Ha az I-n ´ertelmezett legal´ abb (k − 1)-szer differenci´ alhat´ o f1 , . . . , fk f¨ uggv´enyek Wronski determin´ansa az I legal´ abb egy pontj´ aban nem nulla, akkor a f¨ uggv´enyek az I intervallumon line´arisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak. Megjegyz´ es: 1. A bizony´ıt´as nem neh´ez. 2. A defin´ıci´ob´ol nyilv´anval´o, hogy ha egy f¨ uggv´enyrendszer az I intervallumon ¨osszef¨ ugg˝o, akkor annak minden r´eszhalmaz´an is az. Viszont, ha az I intervallumon line´arisan f¨ uggetlen, akkor minden olyan intervallumon is az, amely tartalmazza I-t. Feladat: D¨onts¨ uk el, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek-e? Van-e olyan r´eszintervallum, ahol line´arisan ¨osszef¨ ugg˝oek? a.) {ln x, x}, I = (0, ∞) b.) {2, cos2 x, sin2 x}. Defin´ıci´ o: F¨ uggv´enyek valamely rendszer´et a (3.2) egyenlet alaprendszer´enek nevezz¨ uk az I-n, ha a.) n sz´am´ u I-n ´ertelmezett f¨ uggv´enyb˝ol ´all, b.) line´arisan f¨ uggetlenek az I-n c.) mindegyik f¨ uggv´eny megold´asa I-n a (3.2)-nek. Feladat: Igazolja, hogy az y1 = ex ´es y2 = e−2x f¨ uggv´enyek az y ′′ + y ′ − 2y = 0 differenci´alegyenletnek alaprendszer´et alkotja. T´ etel: Legyenek a (3.2)-ben szerepl˝ o p1 (x), . . . , pn (x) egy¨ utthat´ o f¨ uggv´enyek folytonosak az [a, b]-n. Valamely {y1 , y2, . . . , yn } partikul´ aris megold´ asok rendszere, akkor ´es csak akkor alaprendszere (3.2)-nek, ha a f¨ uggv´enyrendszer Wronski determin´ ansa az (a, b)-n sehol nem nulla. Feladat: Igazolja, hogy az y (IV) − 5y ′′ + 4y = 0 differenci´alegyenletnek az {e−2x , ex , e−x , e2x } alaprendszere. T´ etel: Ha p1 (x), . . . , pn (x) egy¨ utthat´ o f¨ uggv´enyek folytonosak [a, b]-n akkor a (3.2) egyenletnek az (a, b)-n van alaprendszere. 13
T´ etel: Ha {y1 , y2 , . . . , yn } a (3.2)-nek alaprendszere ´es p1 (x), . . . , pn (x) folytonosak az [a, b]-n, akkor b´armely y megold´ as f¨ uggv´eny megadhat´ o y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) alakban. A (3.2) egyenlet ´altal´anos megold´ asa az alaprendszer line´ aris kombin´ aci´ ojak´ent adhat´o meg. P´ elda: ´Irja fel az x2 y ′′ − 2y = 4x3 differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´at, ha 1 ismerj¨ uk y1 = ´es y2 = x2 megold´asokat! Ellen˝orizz¨ uk, hogy f¨ uggetlenek-e ill., x hogy a differenci´alegyenletnek alaprendszer´et adj´ak-e! 1 2 x x W = = 2 − 1 6= 0 1 − 2x x2
teljes¨ ul ∀x ∈ R\{0} esetben, teh´at a f¨ uggv´enyek (−∞, 0) ∪ (0, ∞) a differenci´alegyenlet alaprendszer´et alkotj´ak. 1 y = c1 + c2 x2 az ´altal´anos megold´as. x 3 Adjuk meg az y(2) = 5, ´es y ′ (2) = kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o partikul´aris meg2 old´ast! 1 uks´eges. Ehhez y ′ = −c1 · 2 + 2c2 sz¨ x Behelyettes´ıtve: 1 + c2 4 2 3 1 = −c1 · + 2c2 2 4 5 = c1 ·
line´aris egyenletrendszer megold´as´aval c1 = 2 ´es c2 = 1 ad´odik. ´Igy a keresett partikul´aris megold´as: 1 y = 2 · + x2 . x Az el˝oz˝oek alapj´an, teh´at az n-edrend˝ u homog´en differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´ahoz el˝osz¨or egy alaprendszer meghat´aroz´asa sz¨ uks´eges. Az egyszer˝ us´eg ´es a m˝ uszaki gyakorlatban bet¨olt¨ott fontos szerep¨ uk miatt szor´ıtkozzunk az ´alland´o egy¨ utthat´os differenci´alegyenletekre. 14
3.1.1.
´ Alland´ o egy¨ utthat´ os differenci´ alegyenlet
´ Altal´ anos alakja y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0.
(3.3)
A megold´ast eλx alakban fogjuk keresni, ahol λ konstans. Nem neh´ez bel´atni, hogy az ilyen alak´ u f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik a (3.3) egyenletet. Defin´ıci´ o: A (3.3) differenci´alegyenlet karakterisztikus egyenlet´en az n-edfok´ u λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0
(3.4)
algebrai egyenletet ´ertj¨ uk. T´ etel: A (3.3) differenci´alegyenletnek akkor ´es csak akkor megold´ asa az eλx f¨ uggv´eny, ha λ a (3.4) karakterisztikus egyenletnek gy¨ oke. Megjegyz´ es: bizony´ıt´as nem neh´ez. Ez azt jelenti, hogy ha λ gy¨oke (3.4)-nek, λx akkor az e f¨ uggv´eny partikul´aris megold´asa (3.3)-nak. Az algebra alapt´etel´enek felhaszn´al´as´aval tudjuk, hogy az n-edfok´ u algebrai egyenletnek a komplex sz´amok halmaz´an n komplex gy¨oke van a multiplicit´asokat is figyelembe v´eve. Teh´at a (3.3) ´altal´anos megold´as´ahoz el˝o kell ´all´ıtanunk (3.3) alaprendszer´et, ehhez pedig meg kell oldani a (3.4) algebrai egyenletet. Az egyenlet gy¨okeinek sz´am´at figyelembe v´eve a k¨ovetkez˝o eseteket k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg: 1. n db k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os gy¨oke 2. t¨obbsz¨or¨os val´os gy¨oke 3. k¨ ul¨onb¨oz˝o, de komplex gy¨oke 4. val´os ´es komplex, t¨obbsz¨or¨os gy¨oke van a karakterisztikus polinomnak. 1. eset. Ha n sz´am´ u k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os gy¨ok l´etezik, akkor {eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x } f¨ uggv´enyrendszer a (3.3) alaprendszere ´ıgy y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x + · · · + cn eλn x az ´altal´anos megold´as. Megjegyz´es: nem neh´ez bel´atni, hogy {eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x } val´oban alaprendszer. 15
2. eset. L´etezik komplex gy¨ok. Tudjuk, hogy ha egy val´os egy¨ utthat´os polinomnak a z = a + bi komplex sz´am gy¨oke, akkor a konjug´altja z = a − bi is gy¨oke. Felhaszn´alva az Euler formul´at ´es azt, hogy tetsz˝oleges partikul´aris megold´asok b´armely line´aris kombin´aci´oja is megold´asa az n-edrend˝ u, line´aris homog´en egyenletnek ad´odik, hogy λ = a + bi komplex gy¨ok eset´en y1 = eax cos bx ´es y2 = eax sin bx val´os f¨ uggv´enyek szint´en kiel´eg´ıtik a (3.4) egyenletet. Megjegyz´es: k¨onnyen bel´athat´o, hogy y1 ´es y2 line´arisan f¨ uggetlenek. 3. eset. Mindegyik val´os gy¨ok, de van t¨obbsz¨or¨os gy¨ok. Ebben az esetben λ1 x λ2 x λk x e ,e ,...,e (k < n) alak´ u f¨ uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek, de nem λ1 x alkotnak alaprendszert. Bel´athat´o, ha e gy¨oke (pl. 3-szoros gy¨oke) a karakterisztikus polinomnak, akkor xeλ1 x ´es x2 eλ1 x f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik a (3.3) differenci´alegyenletet ´es f¨ uggetlenek is. 4. eset. T¨obbsz¨or¨os val´os ´es komplex gy¨ok¨ok is vannak. Ha λ = a + bi t¨obbsz¨or¨os komplex gy¨ok, akkor az alaprendszerbe az xk eax cos bx ´es xk eax sin bx, k = 0, 1, . . . , m − 1 f¨ uggv´enyeket vessz¨ uk be, ha λ m-szeres gy¨ok. Feladat: Adjuk meg az al´abbi differenci´alegyenletek ´altal´anos ´es az adott kezdeti felt´etelhez tartoz´o partikul´aris megold´as´at! 1. y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0 2. y ′′′ − y ′′ + 100y ′ − 100y = 0, y(0) = 4, y ′ (0) = 11, y ′′(0) = −299 3. y V − 3y IV + 3y ′′′ − y ′′ = 0
3.2.
Inhomog´ en line´ aris differenci´ alegyenletek
Az n-edrend˝ u inhomog´en line´aris differenci´alegyenlet y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = f (x)
(3.5)
´es a hozz´a tartoz´o homog´en differenci´alegyenlet y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = 0.
(3.6)
T´ etel: A (3.5) egyenlet ´altal´anos megold´ asa b´ armely I intervallumon el˝ o´ all´ıthat´o egy tetsz˝oleges partikul´aris megold´as´ anak ´es a hozz´ a tartoz´ o homog´en (3.6) egyenlet ´altal´anos megold´as´anak ¨osszegek´ent. 16
Teh´at, ha ismerj¨ uk a homog´en egyenlet alaprendszer´et, akkor m´eg meg kell keresn¨ unk az inhomog´en egyenlet egy partikul´aris megold´as´at. Ezt megtehetj¨ uk a m´ar ismert ´alland´o vari´al´as´anak m´odszer´evel. Eszerint a (3.6) ´altal´anos megold´as´aban szerepl˝o c1 , . . . , cn param´etereket az x v´altoz´o f¨ uggv´enyeinek tekintj¨ uk. Az I intervallumon az ´altal´anos megold´ast y = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + · · · + cn (x)yn (x) alakban keress¨ uk ´es azt is feltessz¨ uk, hogy (i)
(i)
c′1 (x)y1 (x) + c′2 (x)y2 (x) + · · · + c′n (x)yn(i) (x) = 0,
ahol i = 0, 1, . . . , n − 2
´es (n−1) ′ c1 (x)
y1
(n−1) ′ c2 (x)
+ y2
+ · · · + yn(n−1) c′n (x) = f (x)
teljes¨ ulj¨on. Erre az´ert van sz¨ uks´eg, hogy az ismeretlenek sz´am´aval azonos sz´am´ u egyenletet kapjunk (kv´azikonstans tulajdons´ag). Innen Z Z Wn (x) W1 (x) dx, . . . , cn (x) = dx c1 (x) = W (x) W (x) ad´odik, ahol W (x) a (3.6) egyenlet alaprendszer´enek Wronski determin´ansa, Wi (x) az a determin´ans, amit u ´ gy kapunk, hogy a Wronski determin´ans i-edik oszlop´at a 0 0 .. . f (x) oszloppal helyettes´ıtj¨ uk. π π P´ elda: Adjuk meg az ´altal´anos megold´as´at a − , intervallumon a y ′′ + y = 2 2 tg (x) egyenletnek. Az y ′′ + y = 0 alaprendszere {cos x, sin x}. Akkor az inhomog´en
17
egyenlet partikul´aris megold´asa yp = c1 (x) cos x + c2 (x) sin x. cos x sin x =1 W (x) = − sin x cos x 0 sin x = −tg (x) sin x W1 (x) = tg x cos x cos x 0 = sin x W2 (x) = − sin x tg x Z 1 c1 (x) = − tg x sin x dx = sin x − ln + tg x + c1 cos x Z c2 (x) = sin x dx = − cos x + c2 . Mivel tetsz˝oleges partikul´aris megold´ast keres¨ unk, legyen c1 = c2 = 0. ´Igy 1 + tg x cos x − cos x sin x. yp = sin x − ln cos x Az ´altal´anos megold´as: y(x) = c1 cos x + c2 sin x − cos x ln
1 + tg x . cos x
Megjegyz´ es: Az inhomog´en egyenlet ´altal´anos megold´as´ahoz sz¨ uks´eg van a homog´en egyenlet alaprendszer´ere. Ennek meghat´aroz´asa f¨ uggv´enyegy¨ utthat´os egyenletek eset´en nagyon neh´ez is lehet.
´ Alland´ o egy¨ utthat´ os inhomog´ en line´ aris differenci´ alegyenletek
3.3.
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = f (x)
(3.7)
alak´ u egyenletek ´altal´anos megold´as´ara az el˝oz˝oekben eml´ıtett t´etelek igazak. Viszont a hozz´atartoz´o homog´en egyenlet alaprendszer´enek meghat´aroz´asa ut´an az inhomog´en egyenlet egy partikul´aris megold´as´at megkereshetj¨ uk az u ´ n. pr´ obaf¨ uggv´eny m´odszerrel. Ez azt jelenti, hogy yp az f (x)-nek (zavar´o f¨ uggv´eny) megfelel˝o alakban keress¨ uk. A m´odszert egyszer˝ u p´eld´an kereszt¨ ul ismerj¨ uk meg. P´ elda: 18
1. Oldjuk meg az y ′′ + 4y = 8x2 egyenletet. A jel¨ol´est haszn´alva f (x) = 8x2 a zavar´o f¨ uggv´eny. A hozz´a tartoz´o y ′′ + 4y = 0 homog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x. Mivel f (x) m´asodfok´ u f¨ uggv´eny, ez´ert keress¨ uk az inhomog´en partikul´aris meg2 old´as´at yp = k2 x + k1 x + k0 alakban. Akkor yp′′ = 2k2 ´es ezt helyettes´ıts¨ uk be az eredeti egyenletbe 2k2 + 4(k2 x2 + k1 x + k0 ) = 8x2 ´es keress¨ uk azokat a k2 , k1 , k0 ´ert´ekeket, amelyre a k´et polinom azonosan egyenl˝o lesz. (Egyenl˝o egy¨ utthat´ok m´odszere). ´Igy 2k2 = 8, 4k1 = 0, 2k2 + 4k0 = 0 line´aris egyenletrendszert kapjuk ahonnan k2 = 2, k1 = 0, k0 = −1 ad´odik. ´Igy y = yh + yp = c1 cos 2x + c2 sin 2x + 2x2 − 1. Megjegyz´ es: Az yp = k2 x2 nem megold´as. Magyar´azzuk meg mi´ert? 2. Oldjuk meg az y ′′ − 3y ′ + 2y = ex egyenletet. yh = c1 ex + c2 e2x . Mivel f (x) = ex ez´ert, ha yp = cex alakban keresn´enk, akkor az nem lenne megfelel˝o, mert ez a f¨ uggv´eny megold´asa a homog´en egyenletnek (rezonanx cia) ez´ert yp = cxe alakban kell keresn¨ unk. Ha ez is megold´asa lenne a homog´en egyenletnek (t¨obbsz¨or¨os gy¨oke lenne a karakterisztikus polinomnak) akkor yp = cx2 ex lenne. Helyettes´ıts¨ uk be y = cxex , y ′ = c(ex + xex ) ´es ′′ x x y = c(2e + xe ) f¨ uggv´enyeket az eredeti egyenletbe ´es az egyenl˝o egy¨ utthat´ok m´odszer´evel azt kapjuk, hogy c = −1. Az inhomog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa teh´at y = c1 ex + c2 e2x − xex . Megjegyz´ es: Gy˝oz˝odj¨ unk meg r´ola, hogy yp = cex nem lenne megfelel˝o. 1
3. Oldjuk meg y ′′ + 2y ′ + 5y = 1.25e 2 x + 40 cos 4x − 55 sin 4x ´es y(0) = 0.2, y ′ (0) = 60.1 kezdeti´ert´ek probl´em´at! a.) homog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa yh = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) mivel 1 f (x) t¨obb f¨ uggv´enynek az ¨osszege ez´ert legyen yp = Ae 2 x + B cos 4x + C sin 4x alak´ u. Az yp , yp′ ´es yp′′ f¨ uggv´enyeknek a behelyettes´ıt´es´evel ´es az egyenl˝o egy¨ utthat´ok m´odszer´enek felhaszn´al´as´aval az al´abbi line´aris egyenletrendszerhez jutunk: 6.25A = 1.25, −11B + 8C = 40, −8B − 11C = −55. Innen 1
y = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) + 0.2e 2 x + 5 sin 4x. 19
A megadott felt´etelt kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´as 1
y = 20e−x sin 2x + 0.2e 2 x + 5 sin 4x. K¨ ul¨onb¨oz˝o zavar´o f¨ uggv´enyek eset´en, milyen alakban c´elszer˝ u keresni egy partikul´aris megold´ast? 1. t´abl´azat. f (x)
yp
keax kxn (n = 0, 1,. . .) k cos ax k sin ax
ceax kn xn + kn−1 xn−1 + · · · k1 x + k0 K cos ax + M sin ax
20
